Problemas de Cálculo e Geometria

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Resolução: Encontramos a derivada da função, então substituímos \(\frac{\pi}{4}\) para 
encontrar a inclinação da reta normal. Em seguida, usamos o ponto dado 
\(\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)\) e a inclinação para escrever a equação da reta. 
 
89. Problema: Encontre os pontos de inflexão da curva \(y = e^x\). 
 Resolução: Encontramos a segunda derivada da função, igualamos a zero e resolvemos 
para 'x' para encontrar os pontos de inflexão. 
 
90. Problema: Determine a área da região que está dentro do círculo \(x^2 + y^2 = 1\) e 
fora da reta \(y = x\). 
 Resolução: Podemos resolver isso encontrando a área da região dentro do círculo e 
subtraindo a área da região abaixo da reta. 
 
91. Problema: Calcule a integral definida \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \,dx\). 
 Resolução: Podemos usar a substituição trigonométrica para resolver esta integral. 
 
92. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \(y = \sqrt{x}\) no ponto onde 
\(x = 4\). 
 Resolução: Encontramos a derivada da função, então substituímos \(x = 4\) para 
encontrar a inclinação da reta tangente. Em seguida, usamos o ponto dado \((4, 2)\) e a 
inclinação para escrever a equação da reta. 
 
93. Problema: Determine os pontos de interseção da curva \(y = \cos(x)\) e sua inversa. 
 Resolução: Encontramos a inversa de \(y = \cos(x)\), então igualamos as duas funções e 
resolvemos para 'x'. 
 
94. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \(y = e^x\) e \(y = \ln(x)\). 
 Resolução: 
 
 Encontramos os pontos de interseção das duas curvas, então usamos integração para 
encontrar a área entre elas. 
 
95. Problema: Determine a equação da reta normal à curva \(y = \sqrt{x}\) no ponto onde 
\(x = 1\).