Relações entre Circunferências

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Internas
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Quando duas circunferências internas têm 
centros coincidentes, dizemos que elas 
são concêntricas. Nesse caso, a medida 
da distância (d) entre os centros das 
circunferências é igual a zero.
Externas
Nas circunferências externas, temos a relação a seguir.
 d > ( r 1 + r 2 ) 
Quando as circunferências têm dois pontos 
comuns, dizemos que elas são secantes.
Nas circunferências secantes, temos a relação 
a seguir.
 ( r 1 − r 2 ) < d < ( r 1 + r 2 ) 
Quando as circunferências não têm ponto comum, elas podem ser internas ou externas uma 
da outra.
Caso 2
Caso 3
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Nas circunferências internas, temos a 
relação a seguir.
 d < ( r 1 − r 2 ) 
 d = 0 
203
A fim de avaliar o conhecimen-
to dos estudantes sobre posição 
relativa entre circunferências, pro-
ponha a eles o seguinte problema: 
sejam as circunferências de centros 
A e B tangentes externas. Sabendo 
que o comprimento do raio dessas 
circunferências mede, respecti-
vamente, 10 m e 7 m , determine a 
medida da distância entre os pon-
tos A e B.
Resolução e comentários
Como as circunferências são tan-
gentes externas, então d = r A + r B , 
em que d, r A e r B indicam, respec-
tivamente, a medida da distância 
entre A e B, a medida do compri-
mento do raio da circunferência 
de centro A e a medida do compri-
mento do raio da circunferência de 
centro B. Assim:
 d = 10 + 7 = 17 
Portanto, a distância entre os pon-
tos A e B mede 17 m .
Obtenha informações sobre ava-
liações no tópico Avaliação, nas 
orientações gerais deste manual.
Sugestão de avaliação
A
B
C D
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H
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Atividades Faça as atividades 
no caderno.
 8. Na imagem a seguir, estão representa-
das várias circunferências em uma ma-
lha quadriculada, cujos centros estão 
indicados com as letras de A a H.
Sabendo que os pontos em laranja indi-
cam os pontos de interseção entre elas, 
determine a posição relativa entre as cir-
cunferências de centros:
a ) A e D.
b ) B e D.
c ) C e D.
d ) F e G.
e ) G e D.
f ) E e H.
g ) B e F.
h ) F e C.
i ) A e E.
 9. Na figura geométrica a seguir, o com-
primento do diâmetro da circunferên-
cia de centro A mede 6 m , de centro B, 
8 m , e de centro C, 4 m .
As circunferências 
apresentadas são 
tangentes externas.
Atenção!
Calcule a medida do perímetro do △ABC .
 10. A distância entre os centros de duas 
circunferências tangentes internas mede 
 3 cm e o comprimento do raio da 
maior mede 8 cm . Qual é a medida do 
comprimento do raio da circunferência 
menor?
 11. De acordo com as medidas indicadas 
em cada item, determine a posição re-
lativa entre as circunferências de centro 
A e A’ , cujos comprimentos dos raios 
medem, respectivamente, r e r’ , saben-
do que a distância entre os centros de-
las mede d .
a ) r = 5 cm ; r’ = 4 cm ; d = 2 cm .
b ) r = 4 cm ; r’ = 1 cm ; d = 3 cm .
 12. Determine o valor de x na figura geo-
métrica a seguir, sabendo que as cir-
cunferências são concêntricas.
 • r = 8 cm 
 • r’ = 15 cm 
 13. Na imagem, o comprimento do raio da 
circunferência de centro A mede 5 cm 
e o comprimento do raio da circunfe-
rência de centro B mede 4 cm . Saben-
do que os pontos F, A, E, B e C são 
colineares, calcule mentalmente a me-
dida do comprimento de cada segmen-
to de reta indicado a seguir.
a ) ‾ AB 
b ) ‾ AF 
c ) ‾ BF 
d ) ‾ CF 
e ) ‾ AD 
f ) ‾ BD 
g ) ‾ BE 
h ) ‾ AE 
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8. Respostas: a) Secantes; b) Tangentes internas; 
c) Internas; d) Tangentes internas; e) Tangentes 
internas; f) Tangentes externas; g) Externas; 
h) Secantes; i) Externas.
9. Resposta: 18 m .
10. Resposta: 5 cm .
11. Respostas: a) Secantes; b) Tangentes internas.
12. Resposta: 
x = 7 cm .
13. Respostas: a) 5 cm ; b) 5 cm ; c) 10 cm ; d) 14 cm ; 
e) 5 cm ; f) 4 cm ; g) 4 cm ; h) 1 cm. 
204
• Caso os estudantes apresentem 
dificuldades na atividade 8, com a 
ajuda deles, desenhe na lousa cir-
cunferências tangentes externas, 
tangentes internas, secantes, inter-
nas, concêntricas e externas. De 
acordo com o que foi representa-
do, reforce as definições. Depois, 
permita que resolvam a atividade.
• Ao trabalhar com a atividade 9, 
verifique se os estudantes utilizam 
corretamente a relação entre cir-
cunferências tangentes externas. 
Além disso, se necessário, retome 
o conceito de perímetro de um 
polígono.
• Na atividade 10, verifique se os 
estudantes utilizam corretamente 
a relação entre circunferências tan-
gentes internas. Se necessário, re-
tome essa relação com exemplos.
• Para a resolução da atividade 11, 
forme pequenos grupos de estu-
dantes e instigue-os a elaborar a 
representação das circunferências. 
Se apresentarem dificuldades, pe-
ça a ajuda deles para representar a 
situação do item a na lousa e de-
terminar a posição relativa entre as 
circunferências. Depois, sorteie um 
grupo para expor a resolução do 
item b para a turma.
• Caso os estudantes apresentem 
dificuldades na atividade 12, com 
questionamentos, leve-os a perce-
ber que x = r − r’ .
• Durante o desenvolvimento da 
atividade 13, selecione alguns estu-
dantes para apresentar e justificar 
suas respostas na lousa. Se neces-
sário, retome o conceito de pontos 
colineares.
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3x x
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Ângulos em uma circunferência
Ângulo central
O relógio com ponteiros a seguir está marcando 3 horas. Vamos representar o menor 
ângulo formado pelos ponteiros do relógio em uma circunferência de centro O , obtendo os 
pontos A e B sobre a circunferência.
O ângulo A ̂ O B é um ângulo central da circunferência e, nesse caso, sua medida é 90° .
Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro da cir-
cunferência. Na figura geométrica ao lado, A ̂ O B é um ân-
gulo central e 
⟶
 OA e 
⟶
 OB são os seus lados.
O ângulo central divide a circunferência em duas par-
tes. Cada uma delas é chamada arco da circunferência. 
Os pontos A e B são as extremidades do arco.
O arco menor dessa circunferência pode ser indicado 
por 
⌢
 AB .
A medida de um arco, em graus, é igual à medida do respectivo ângulo central. 
Assim, na figura geométrica anterior, med ( 
⌢
 AB ) = med (A ̂ O B) .
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
 14. Determine, em graus, as medidas ̂ a , ̂ b 
e ̂ c dos ângulos centrais indicados na 
circunferência a seguir, sabendo que 
elas são iguais.
 15. Na circunferência de centro O a seguir 
estão indicadas as medidas de três ân-
gulos centrais. Calcule a medida de ca-
da um deles em graus.
a ) A ̂ O B 
b ) A ̂ O C 
c ) B ̂ O C 
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ORA
14. Resposta: ̂ a = ̂ b = ̂ c = 60° . 15. Respostas: a) 162° ; b) 54° ; c) 144° .
205
• Nas atividades 14 e 15, verifique 
se os estudantes percebem que 
a soma das medidas dos ângulos 
centrais indicados em cada uma 
das circunferências é igual a 360 o . 
Caso apresentem dificuldades, re-
solva a atividade 14 com eles.
• A atividade 15 utiliza conceitos 
de Álgebra para resolver um pro-
blema geométrico, propiciando a 
compreensão das relações entre os 
diferentes campos da Matemática, 
associando, assim, a Competência 
específica de Matemática 3.
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Ângulo inscrito
Com o GeoGebra, Marcelo construiu uma circunferência de centro A e um ângulo central 
B ̂ A B’ medindo 60° . Em seguida, ele construiu o ângulo B ̂ C B’ , cujo vértice C ficou sobre a 
circunferência. O ângulo B ̂ C B’ é chamado ângulo inscrito.
Que tal realizar essa construção? Na seção a seguir, são apresentados os passos executa-
dos por Marcelo.
Ângulos na circunferência com o GeoGebra
Para obter a construção feita por Marcelo, siga as orientações do professor e os 
passos apresentados. 
 Com a ferramenta Círculo dados Centro e Um de seus Pontos, construa a cir-
cunferência de centro A que passa por B. Para isso, selecione o centro (ponto A) 
e, depois, o ponto B.
 Selecione a ferramenta Ângulo com Amplitude Fixa, clique sobre os pontos B e 
A, nessa ordem, e na janela Ângulo com Amplitude Fixa digite a medida do ân-
gulo, que nesse caso é 60° . Desse modo, obtém-se o ângulo central B ̂ A B’ .
 Com a ferramenta Ponto, marque o ponto C sobre a circunferência de centro A, 
conforme indicado na imagem.
 Com a ferramenta Ângulo, construa o ângulo B ̂ C B’ (ângulo inscrito, cujo respec-
tivo ângulo central é B ̂ A B’ ). Para isso, clique sobre os pontos B, C e B’ , nessa 
ordem.
 Por fim, trace as semirretas AB, AB’ , CB e CB’ .
1º.
2º.
3º.
4º.
5º.
Instrumentos e softwares
A a=2
A
B’
B
C 30° 60°
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• No tópico Ângulo inscrito, os 
estudantes são desafiados a resol-
ver problemas por meio do estabe-
lecimento de relações entre arcos, 
ângulos centrais e ângulos inscritos 
na circunferência, fazendo uso, in-
clusive, de softwares de geometria 
dinâmica, desenvolvendo, assim, a 
habilidade EF09MA11.
• Desenvolva a seção Instrumentos 
e softwares usando o GeoGebra, 
um software de geometria dinâmica 
que utiliza conceitos de Geometria 
e Álgebra. Nesse programa, é pos-
sível realizar diversas construções 
geométricas utilizando pontos, re-
tas, circunferências e outras curvas, 
considerando relações entre os ele-
mentos envolvidos, como posição 
relativa, pertinência e interseção. 
Usado em escolas e universidades 
de diversos países, o software po-
de ser obtido gratuitamente e está 
disponível em vários idiomas, inclu-
sive em português. O download po-
de ser feito no site disponível em: 
https://www.geogebra.org. Acesso 
em: 16 ago. 2022.
• Caso o trabalho com essa seção 
seja realizado no laboratório de in-
formática da escola, certifique-se 
de que todos os computadores es-
tão com o software instalado. Uma 
alternativa é utilizar a versão on-line 
do GeoGebra, disponível no mesmo 
site.
Metodologias ativas
• Ao desenvolver o trabalho com a 
seção Instrumentos e softwares, 
avalie a possibilidade de utilizar a 
metodologia ativa Tiras de classifi-
cação. Obtenha informações sobre 
essa metodologia no tópico Meto-
dologias e estratégias ativas, nas 
orientações gerais deste manual.
https://www.geogebra.org
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Um dos lados do ângulo inscrito contém um diâmetro da circunferência. Analise a figura 
geométrica a seguir.
 • O △AOC é isósceles, pois ‾ OA ≅ ‾ OC .
 • Como A ̂ O B é um ângulo externo do △AOC , temos:
 x = y + y ⇒ x = 2y ⇒ y = x _ 2 
Assim, med (A ̂ C B) = 
med (A ̂ O B) _________ 2 .
A medida do ângulo externo de 
um triângulo é igual à soma das 
medidas dos ângulos internos 
não adjacentes.
Atenção!
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Qual é a medida do ângulo B ̂ A B’ ? E do ângulo B ̂ C B’ ?
Com a ferramenta Mover, mova o ponto C sobre a circunferência construída na 
seção da página anterior. A medida do ângulo variou de acordo com a posição do ponto C?
Questão 1.
Questão 2.
Considere a construção apresentada 
ao lado. Sabendo que O (1, 1) , A (3, 2) e C (− 1, 0) , 
determine a medida do ângulo A ̂ C B .
Questão 3.
Utilize o GeoGebra para 
determinar a medida do 
ângulo A ̂ C B .
Atenção!
Em sua opinião, qual é a relação entre a medida do ângulo inscrito e a medida do 
respectivo ângulo central?
Na questão 4, caso você tenha respondido que a medida do ângulo inscrito é metade 
da medida do respectivo ângulo central, você está correto! Essa propriedade é válida para 
todos os respectivos ângulos inscrito e central em uma circunferência.
Para demonstrar essa propriedade, vamos considerar três casos.
Questão 4.
AB
O
C
120°
Questão 1. Respostas: 60° ; 30° .
Questão 2. Resposta: Espera­se que os estudantes concluam que a medida do ângulo é fixa.
Questão 3. Resposta: 60° .
Questão 4. Resposta pessoal.
207
• Na questão 1, oriente os estudan-
tes a analisar a imagem obtida na 
construção apresentada na seção 
Instrumentos e softwares.
• Ao trabalhar com a questão 2, 
forneça as devidas explicações para 
que os estudantes consigam mover 
o ponto sobre a circunferência.
• Na questão 3, caso os estudantes 
tenham dificuldade em marcar os 
pontos necessários, oriente-os. Ex-
plique-lhes, por exemplo, que para 
marcar o ponto O (1, 1) basta digitar 
(1, 1) no campo Entrada....
• Possibilite aos estudantes que 
realizem a questão 4 em grupos, 
a fim de que troquem experiência 
e conhecimentos. Se necessário, 
oriente-os a analisar as conclusões 
obtidas nas questões anteriores e a 
construir outras circunferências no 
GeoGebra, indicando ângulos cen-
trais e inscritos. Durante o desen-
volvimento dessa questão, comen-
te com eles que conjecturas devem 
ser demonstradas para que possam 
ser tomadas como verdadeiras.
O
D
B
A
C
t y
t + y
x
z
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O
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a b
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Caso 2
O centro da circunferência pertence à região 
angular do ângulo inscrito nela.
 • Traçamos o diâmetro ‾ CD , de modo que 
y = a + b e x = c + d .
 • Do 1º caso, temos c = 2a e d = 2b .
 • Como med (A ̂ O B) = c + d , então,
 c + d = 2a + 2b , ou seja, c + d = 2 ⋅ (a + b) .
Pela construção do ângulo, temos y = a + b 
e x = c + d . Então, substituindo-os na equação 
anterior, obtemos:
 x = 2y ou y = x _ 2 
Assim, med (A ̂ C B) = 
med (A ̂ O B) _________ 2 .
Caso 3
O centro da circunferência não pertence à re-
gião angular do ângulo inscrito.
Traçamos o diâmetro ‾ CD , como indicado na 
figura geométrica ao lado.
 • O △BOC é isósceles, pois ‾ OB ≅ ‾ OC . Então, 
pelo 1º caso, temos z = 2t .
 • O △AOC também é isósceles, pois ‾ OA ≅ ‾ OC . 
Sendo assim, analogamente, temos 
x + z = = 2 (t + y) .
 • Substituindo z por 2t , obtemos:
 x + 2t = 2y + 2t ⇒ x = 2y ⇒ y = x _ 2 
Assim, med (A ̂ C B) = 
med (A ̂ O B) _________ 2 .
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O ângulo A ̂ O B ao lado determina no plano 
três conjuntos de pontos compostos por:
 • pontos interiores ao ângulo (C, D, ...) ;
 • pontospertencentes ao ângulo (O, A, B, ...) ;
 • pontos exteriores ao ângulo (E, F, ...) .
A região angular desse ângulo é a região determinada 
pela união do conjunto de pontos pertencentes ao ângulo 
com o conjunto de pontos interiores a ele.
Atenção!
O
F
E
C D
A
B
O
A
Bregião
angular
208
PORTELLA, Hiago Portella de; 
LEIVAS, José Carlos Pinto. Uso do 
software GeoGebra para desen-
volver conhecimentos acerca de 
algumas propriedades da circunfe-
rência. Revemat, Florianópolis, v. 12, 
n. 2, 2017. p. 133-147. Disponível em: 
https://pdfs.semanticscholar.org/b
027/459952dee3f384970f79b7fabf
e449a90f09.pdf. Acesso em: 29 jul. 
2022.
Nesse artigo, é possível acom-
panhar um fragmento de uma pes-
quisa realizada em uma escola da 
rede municipal, em Júlio de Castilho 
(RS), na qual foi usada a tecnologia 
para constatar propriedades de cir-
cunferência.
Algo a mais
https://pdfs.semanticscholar.org/b027/459952dee3f384970f79b7fabfe449a90f09.pdf
https://pdfs.semanticscholar.org/b027/459952dee3f384970f79b7fabfe449a90f09.pdf
https://pdfs.semanticscholar.org/b027/459952dee3f384970f79b7fabfe449a90f09.pdf
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Na figura geométrica a seguir, o arco 
⌢
 AB , indicado em vermelho, mede 180° e é cha-
mado semicircunferência.
Qualquer ângulo inscrito em uma semicircunferência é um ângulo reto, ou seja, mede 90° .
Nessa figura geométrica, por exemplo, o ângulo A ̂ C B é um ângulo inscrito na semi-
circunferência, e A ̂ O B é o ângulo central correspondente. Assim:
 med (A ̂ C B) = 
med (A ̂ O B) _________ 2 = 180° _ 2 = 90° 
Nela, F ̂ D G e F ̂ E G são ângulos inscritos e F ̂ O G é o respectivo ângulo central correspondente aos dois ângulos 
inscritos. Assim:
 • med (F ̂ D G) = 
med (F ̂ O G) __________ 2 ⇒ x = t _ 2 • med (F ̂ E G) = 
med (F ̂ O G) __________ 2 ⇒ y = t _ 2 
Portanto, x = y , isto é, med (F ̂ D G) = med (F ̂ E G) .
Atenção!
Quando dois ângulos inscritos em uma circunferência têm o mesmo arco correspondente, as medidas desses 
ângulos inscritos são iguais.
Considere a figura apresentada a seguir.
209
Considere a circunferência de 
centro O e o triângulo ABC cujos 
vértices pertencem à circunferência. 
48°
A C
B
O
Qual é a medida dos ângulos in-
ternos desse triângulo?
Resolução e comentários
Como qualquer ângulo inscrito em 
uma semicircunferência é um ângu-
lo reto, temos ̂ B = 90° . Além disso, 
como a soma das medidas dos ân-
gulos internos de um triângulo é 
igual a 180° , temos:
 48° + 90° + ̂ C = 180° ⇒ ̂ C = 42° 
Portanto, ̂ A = 48° , ̂ B = 90° e 
ˆ C = 42° .
• Oriente os estudantes a construir 
a figura apresentada nesta Atividade 
a mais no GeoGebra.
Atividade a mais
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A 
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8x + 40°
6x
A
G
F
E
D
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B
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52°
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O
 D
A 
ED
IT
O
RA
 16. Determine a medida ̂ a indicada na cir-
cunferência de centro O a seguir.
 17. Calcule o valor de x e as medidas dos 
ângulos B ̂ A C e B ̂ O C na circunferência 
de centro O a seguir.
 18. Os ângulos inscritos A ̂ C B , A ̂ D B , A ̂ E B , A ̂ F B 
e A ̂ G B na figura geométrica a seguir de-
terminam o mesmo arco na circunfe-
rência. O que você pode concluir a res-
peito das medidas deles?
 19. Rita desenhou uma circunferência e tra-
çou um dos diâmetros, ao qual deno-
minou ‾ MN . Em seguida, ela determinou 
o ângulo central M ̂ O N e o arco 
⏜
 MN . 
Depois, construiu os ângulos inscritos 
M ̂ P N e M ̂ Q N , conforme a figura a seguir.
Quais são as medidas dos ângulos ins-
critos construídos por Rita?
 20. Considere a circunferência de centro O 
e o triângulo ABC cujos vértices perten-
cem a circunferência. Reproduza essa 
figura no software GeoGebra. Qual é a 
medida de cada ângulo inscrito na cir-
cunferência?
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O
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Atividades Faça as atividades 
no caderno.
16. Resposta: ̂ a = 25° .
17. Resposta: x = 10° ; med (B ̂ A C) = 60° ; 
 med (B ̂ O C) = 120° .
18. Resposta: São iguais.
19. Resposta: Ambos medem 90° .
20. Resposta: med (A ̂ B C) = 90° ; 
 med (B ̂ A C) = 52° ; med (A ̂ C B) = 38° .
210
• Se achar necessário, diga aos 
estudantes que, para solucionar 
as atividades 16 e 17, basta aplicar 
a relação estudada na página 208. 
Caso apresentem dificuldades, for-
neça as devidas explicações.
• Ao trabalhar com as atividades 18 
e 19, verifique se os estudantes per-
cebem que, em cada uma delas, os 
ângulos inscritos determinam um 
mesmo arco. Aproveite o momen-
to e proponha aos estudantes que 
construam uma figura semelhante à 
apresentada na atividade 18, usando 
o GeoGebra. Em seguida, peça-lhes 
que verifiquem a medida dos ângu-
los inscritos obtidos.
• Ao trabalhar com a atividade 20, 
se julgar necessário, retome a soma 
das medidas dos ângulos internos 
de um triângulo.
O
4x + 37°
7x + 10°
C B
30° O
A
x
O
44°
4x
OA
D C
B
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19
98
.
 25. Em seu caderno, elabore um problema 
utilizando como referência a figura geo­
métrica a seguir. Dê o problema para 
um colega resolver e, em seguida, veri­
fique se a resposta que ele obteve está 
correta.
 22. Determine a medida ̂ x na figura geomé­
trica a seguir, sabendo que O é o cen­
tro da circunferência.
 21. Determine o valor de x na circunferên­
cia de centro O a seguir.
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O
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O
RA
A
B
O
C
D
 23. Considere a circunferência de centro O 
e alguns segmentos de reta traçados a 
seguir.
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O
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A 
ED
IT
O
RA
a ) Quais desses segmentos de reta são 
diâmetros da circunferência? E quais 
são raios?
b ) O △AOB é isósceles? Por quê?
c ) Identifique os triângulos retângulos.
d ) O △AOB e o △DOC são congruen­
tes? Justifique sua resposta.
 24. Considere as seguintes informações so­
bre a figura geométrica representada.
 • O comprimento do raio da circunfe­
rência de centro O mede 2,5 m .
 • med (A ̂ B C) = 65° .
 • med ( ‾ DA ) = 2,11 m .
 • Os triângulos ABD e BAC são con­
gruentes.
a ) O △ABE é equilátero, isósceles ou 
escaleno?
b ) Qual é a medida do ângulo A ̂ E B ?
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O
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A 
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O
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25. Resposta pessoal.
21. Resposta: x = 11° .
22. Resposta: ̂ x = 60° .
24. Respostas: a) Isósceles; 
b) med (A ̂ E B) = 130° .
23. Respostas: a) São diâmetros da circunferência: ‾ AC e ‾ BD ; São raios da circunferência: ‾ OB , ‾ OC , ‾ OD 
e ‾ OA ; b) Sim, pois dois de seus lados são raios da circunferência, ou seja, têm medidas iguais; c) △ABC e △BCD ; 
d) Sim, pois seus respectivos lados são congruentes e seus respectivos ângulos internos também o são.
211
• Na atividade 21, é esperado que 
os estudantes verifiquem que os 
ângulos inscritos determinam um 
mesmo arco e, consequentemente, 
são congruentes.• Ao trabalhar com a atividade 22, 
espera-se que os estudantes com-
preendam que qualquer ângulo ins-
crito em uma semicircunferência é 
um ângulo reto. Caso apresentem 
dificuldades, forneça as devidas ex-
plicações.
• Durante o desenvolvimento da 
atividade 23, verifique se os estu-
dantes reconhecem os conceitos 
de raio e diâmetro de uma circunfe-
rência. Além disso, se julgar conve-
niente, retome os casos de congru-
ência de triângulos.
• Na atividade 24, verifique se os 
estudantes reconhecem o que são 
triângulos congruentes. Caso apre-
sentem dificuldades, ofereça as 
devidas explicações. Além disso, se 
julgar necessário, retome o concei-
to de perímetro de um polígono.
• A atividade 25 tem por objetivo 
que os estudantes elaborem um 
problema e proponham a um co-
lega que o resolva. Essa ação – de 
elaborar problemas – permite ao 
estudante expressar ideias, usar 
criatividade, além de exercitar a 
empatia e o respeito ao desenvol-
ver um trabalho entre os pares, 
abordando, assim, as Competên-
cias gerais 2 e 9.
O
A
B
y
6 cm
95°
212
R
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19
98
.
Medida do comprimento do arco de uma 
circunferência
Para calcular a medida do comprimento C de uma circunferência, conhecida a medida do 
comprimento de seu raio r ou do diâmetro d, podemos utilizar a fórmula a seguir.
 C = 2 ⋅ r ⏟
 
d
 ⋅ π ou C = dπ O número irracional π é dado por π = 3,141592654… 
No entanto, vamos usar uma aproximação de π com 
duas casas decimais, isto é, π = 3,14 .
Atenção!
Considere, por exemplo, a circunferência A, cujo comprimento do diâmetro mede 5 cm , 
e a circunferência B, cujo comprimento do raio mede 3,5 cm . Tomando π = 3,14 , vamos 
calcular a medida do comprimento dessas circunferências.
 C = dπ = 5 ⋅ 3,14 = 15,7 C = 2πr = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 3,5 = 21,98 
Portanto, o comprimento da circunferência A mede aproximadamente 15,7 cm, e o da 
circunferência B, aproximadamente 21,98 cm .
Também podemos determinar a medida do comprimento de apenas uma parte da circun-
ferência, ou seja, de um arco de circunferência.
No exemplo a seguir, vamos calcular a medida do comprimento de um arco de circunfe-
rência determinado por um ângulo central.
Antes de calcular a medida do comprimento y, calculamos inicialmente a medida do com-
primento da circunferência.
 C = 2πr = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6 = 37,68 
Em seguida, com o auxílio de uma regra de três simples, calculamos a medida do compri-
mento do arco da circunferência. Como a medida do comprimento de um arco e a medida 
do ângulo central que determinam esse arco são grandezas diretamente proporcionais, temos:
Medida do ângulo 
central (em graus)
Medida do comprimento 
do arco ( cm )
360 37,68
95 y
 360 _ 95 = 37,68 _ y 
 360 ⋅ y = 95 ⋅ 37,68 
 360y = 3579 ,68 
 y ≃ 9,94 
Portanto, a medida aproximada do comprimento do arco é 9,94 cm .
Nessa circunferência:
 • O é centro;
 • 6 cm é a medida de comprimento do raio;
 • 95° é a medida do ângulo central;
 • y é a medida do comprimento do arco.
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O
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212
• Antes de apresentar o conteú-
do, verifique o conhecimento dos 
estudantes relacionado à medida 
do comprimento de uma circun-
ferência (perímetro) e ao número 
irracional π . Permita que eles deem 
suas explicações e conversem entre 
si, oportunizando o resgate do co-
nhecimento prévio sobre o assun-
to, tornando, assim, o estudo mais 
significativo.
Para que os estudantes conhe-
çam um pouco mais sobre a his-
tória do número π e sua relação 
com a circunferência, convide-os a 
assistir ao vídeo História do número 
PI. Disponível em: http://www.ime.
unicamp.br/~apmat/numero-pi/. 
Acesso em: 30 jul. 2022.
Algo a mais
http://www.ime.unicamp.br/~apmat/numero-pi/
http://www.ime.unicamp.br/~apmat/numero-pi/