Círculos e Circunferências

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Círculos e Circunferência
1. Introdução
Um dos tópicos muito importantes da Geometria Plana são dos Círculos e as
Circunferências. Inicialmente, iremos compreender a diferença entre círculo e
circunferência, para depois entender outras características dessa figura geométrica.
2. A Circunferência
A Circunferência é a região do plano formada por pontos equidistantes, ou seja, de
mesma distância, de um ponto central da figura. Observe:
Fonte: autoria própria utilizando o Google Presentations.
Dessa forma, podemos observar que todos os pontos de uma circunferência são
equidistantes (possuem a mesma distância) em relação ao centro dessa figura. Vale
ressaltar que a circunferência compreende todos esses pontos equidistantes, mas
não os pontos pertencentes ao interior da figura.
2.1 Elementos da Circunferência
2.1.1 O Raio
O Raio é um segmento de reta que liga o centro da circunferência, ou seja, seu
ponto central, à extremidade. Observe a ilustração do raio na seguinte figura:
Fonte: autoria própria utilizando o Google Presentations.
2.1.2 O Diâmetro
O Diâmetro é o segmento de reta que liga duas extremidades da circunferência
passando pelo ponto central, assim como é demonstrado na figura:
Fonte: autoria própria utilizando o Google Presentations.
2.1.3 O Perímetro
O Perímetro de uma circunferência é a medida, em certa unidade, que uma
circunferência possui e também pode ser chamado de medida do comprimento da
circunferência.
Para calcular o perímetro, podemos utilizar a seguinte fórmula:
C = 2 rπ
3. O Círculo
O Círculo é uma figura plana e é composto pela circunferência e sua região interna,
como mostra a figura a seguir.
Fonte: autoria própria utilizando o Google Presentations.
3.1 Elementos do círculo
Como o círculo é delimitado por uma circunferência, ele compartilha dos mesmo
elementos principais de uma circunferência, ou seja, o raio e o diâmetro. Observe a
figura abaixo:
Fonte: autoria própria utilizando o Google Presentations.
3.1.1 A Área do Círculo
A Área do Círculo é a medida total da região que a circunferência delimita, sendo
assim, é toda a medida representada na figura a seguir pela cor rosa.
Fonte: autoria própria utilizando o Google Presentations.
Para calcular a área do círculo, utilizamos a seguinte fórmula:
Ac = r²π
Área de Figuras Planas
Júlia Cristina Ferreira - Administração Pública FGV EAESP - 2º semestre
1. Introdução
A Área de uma figura plana é a medida de sua superfície.
2. Figuras Planas e suas Áreas
2.1 Os Quadriláteros
2.1.1 O Quadrado
O Quadrado é uma figura geométrica plana com quatro ângulos retos e quatro
lados iguais. Observe a figura:
Fonte: autoria própria utilizando o Google Presentations.
Para calcular a área do quadrado, é necessário realizar a multiplicação de dois de
seus lados. Uma outra forma de entender a fóruma, é elevar um lado da figura ao
quadrado (que seria o mesmo que multiplicar dois lados dessa figura). Assim:
A = ou A =𝐿² 𝐿 × 𝐿
2.1.2 O Retângulo
O Retângulo é uma figura plana composta por quatro lados e quatro ângulos de
90º. Observe:
Fonte: autoria própria utilizando o Google Presentations.
Para calcular a área do triângulo, deve-se multiplicar a base pela altura. Assim:
A = 𝑏 × ℎ
2.1.3 O Losango
Os Losangos são quadriláteros equiláteros, ou seja, com quatro lados iguais, com
dois ângulos agudos (menores que 90º) e dois ângulos obtusos (maiores que 90º).
Veja a seguir:
Fonte: autoria própria utilizando o Google Presentations.
Para calcular a área do Losango, é necessário multiplicar as duas diagonais da
figuras, partindo as arestas, e dividir por dois. Assim:
A = 𝐷 × 𝑑
2
2.1.4 O Trapézio
O Trapézio é um quadrilátero com dois lados e duas bases. Observe:
Fonte: autoria própria utilizando o Google Presentations.
Para calcular a área, deve-se somar a medida das bases, multiplicar pela altura da
figura e dividir o resultado por dois. Observe a fórmula:
A = (𝐵+𝑏) × ℎ
2
2.1.5 O Triângulo
Os triângulos são figuras geométricas com três lados.
Fonte: autoria própria utilizando o Google Presentations.
A primeira maneira para descobrir a área utiliza a base a aultura da figura para
realizar o cálculo, como na fórmula a seguir:
A = 𝑏 × ℎ
2
Resumo e dicas
1. Círculo e Circunferência
Lembrar: por vezes, a área pode ser representada também por “S”.
Fonte: autoria própria utilizando o Google Presentations.
2. Área de Figuras Planas
Fonte: autoria própria utilizando o Google Presentations.
Questões Comentadas
1. (Enem - 2016) Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com
áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está
demarcado e, embora não tenha um formato convencional (como se observa na
Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo
possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso,
precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo
comprimento seja 7 m maior do que a largura.
Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno
retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais,
respectivamente, a
a) 7,5 e 14,5
b) 9,0 e 16,0
c) 9,3 e 16,3
d) 10,0 e 17,0
e) 13,5 e 20,5
Resolução: Primeiramente, como o pai deseja comprar terrenos de áreas iguais,
sendo assim, a área da figura A possui a mesma medida que da figura B, podemos
calcular a área da figura B, já que a questão traz mais dados sobre suas medidas.
Assim:
Agora, devemos entender como encontrar a área da figura B:
Após realizar tais passos, devemos igualar as áreas da figura B com o valor da área
da figura A, objetivando encontrar o valor de x.
𝑥² + 7𝑥 = 144
Desenvolvendo:
𝑥² + 7𝑥 − 144 = 0
Agora, é necessário resolver a equação do segundo grau.
𝑎 = 1; 𝑏 = 7; 𝑐 = − 144
∆ = 49 − 4. 1. (− 144)
∆ = 49 + 576 
∆ = 625
𝑥1 = −7 +25 
2 = 9
𝑥2 = −7 −25 
2 = − 16
Como se trata de uma figura geométrica, não consideramos o x2 - negativo. Assim,
x = 9. Portanto, a largura do terreno representado pela figura A é de 9m, ou seja, x,
e o comprimento é de 16m, x+7.
Resposta: B.
2. (ENEM 2013) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente,
com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a
figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48
metros de comprimento.
A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é
A) 6.
B) 7.
C) 8.
D) 11.
E) 12.
Resolução:
Resposta: C.
3. A roda de um automóvel tem um diâmetro que mede 50 cm. Determine a
distância percorrida por esse veículo após uma de suas rodas completar 1750
voltas. Adotar π = 3,14 e supor que a roda não deslize durante a rolagem.
a) 2,82 km
b) 3 km
c) 3,6 km
d) 2,75 km
e) 2,91 km
Resolução:
1º passo - calcular o comprimento da roda, ou seja, seu perímetro, através da
fórmula: C = 2. .r. Considerar que o diâmentro é igual a 2r, portando r = d/2.π
Assim,
C = 2. .rπ
C = 2. .25π
C = 2. .253, 14
C = 157cm
2º passo - Considerando que foram 1750 voltas, é possível multiplicar esse número
de voltas pelo valor obtido no passo anterior, a fim de descobrir a distância total.
Dessa forma,
157 . 1750 = 274.750 centímetros.
3º passo - converter o valor em centímentros obtido no passo anterior para km.
Para essa conversão, deve-se dividir o valor em centímetros por 100.000. Assim,
274.750/100.000 = 2,74… e, portanto, aproximadamente 2,75 km.
Resposta: D.
Bibliografia
Disponível em:
https://soexercicios.com.br/plataforma/questoes-de-vestibular/ENEM/261/-circulo-
e-circunferencia-rec-/1. Acesso em 5 de agosto de 2020.
Disponível em:
https://blogdoenem.com.br/circulo-e-circunferencia-matematica-enem/. Acesso em:
4 de agosto de 2020.
Disponível em:
https://www.infoescola.com/geometria-plana/#:~:text=A%20geometria%20plana%
20estuda%20o,de%20suas%20%C3%A1reas%20e%20per%C3%ADmetro. Acessoem: 4 de agosto de 2020.
Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/geometria-plana.htm.
Acesso em: 5 de agosto de 2020.