Tempo de MatemAtica p 67 - 198 9 ano

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<p>Exercícios selecionados 10 Calcule dois números cuja diferença seja 1 e produto 20. Solução: Vamos representar os números por Assim: x-y=1 - Todo sistema que recai em equação do grau é chamado de sistema do grau. Na resolução, utilizamos o método de substituição. = 1 + y Isolando a "x" na equação e substituindo na equação, vem: y = 1 2 + 9 = 8 2 = 4 2.1 = 2 y = -1 9 = -10 = -5 2 2 Então: Par ordenado: (4, 5) y Par ordenado: (-5, -4) Resposta: Os números são 4 e 5 ou 11 Calcule número de gols dos dois primeiros artilheiros de um campeonato, sabendo que sua diferença é 2 e seu produto 120. 12 A diferença entre as idades de dois irmãos é de 3 anos e produto de suas idades é 270. Qual é a idade de cada um? 13 (Vunesp) Tenho material suficiente para fazer 54 m de cerca. Pre- ciso ter um cercado retangular com de área. A diferença entre o lado maior e o lado menor do cercado em metros, é igual a: a) 2 c) 4 b) 3 d) 5 14 (Saresp) Um laboratório embalou 156 comprimidos de vitamina em duas caixas, uma com duas cartelas de comprimidos cada e outra com quatro cartelas de y comprimidos cada. Sabendo-se VITAMINA que y é quadrado de X, quantos comprimidos havia em cada AMOSTRA cartela? a) 4 e 16 c) 6 e 36 b) 5 e 25 d) 7 e 49 67</p><p>Testes de revisão 15 (PUC-RJ) Se 1 - + = 0, então vale: 4 4 20 (Mack-SP) Um grupo de amigos reunidos X em um restaurante resolveu "rachar" a conta de No entanto, dois deles perceberam que estavam sem dinheiro, o b) 1 que fez cada um dos outros contribuir com 2 mais Sendo o número total de pessoas, a equação que melhor representa a situação é: d) 1 4 16 (Fuvest-SP) A equação 2 1 + = 1: x2 - 1 a) não tem raiz real. b) tem duas raízes reais. c) tem apenas uma raiz real. d) admite 10 como raiz. 17 (FGV-SP) A equação a) 600 - 600 = 10 X 2 5 = 5 + 5 tem: X - 5 5 b) 600 - 600 = 10 X a) uma única raiz. c) 600 - 600 = 10 b) infinitas raízes. c) exatamente duas raízes. d) 590 - 600 10 d) conjunto solução vazio. 21 (Unifor-CE) Seja problema seguinte: "Qual é o número que, somado com o dobro de 18 (PUC-SP) Considere o seguinte problema: seu inverso, é igual a 3?". A equação que "Achar um número que, somado com 1, nos dá a solução desse problema é: seja igual ao seu inverso". Qual das equa- ções representa esse problema? a) 3x + 2 = 0 - - - d) 22 (UCSal-BA) Um professor dispunha de 144 19 (FGV-SP) A quantia de deveria doces para dividir igualmente entre os alu- nos de sua classe. Como no dia da distri- ser repartida para um certo número de crianças. No entanto, quatro crianças deixa- buição faltaram 12 alunos, ele dividiu os ram de comparecer, aumentando com isso 144 doces igualmente entre os presentes, em a quantia para cada uma das cabendo a cada aluno 1 doce a mais. o nú- crianças restantes. Qual era o número ini- mero de alunos presentes no dia da distri- cial de crianças? buição era: a) 10 a) 36 b) 20 b) 40 c) 30 c) 42 d) 40 d) 48 68</p><p>8 EQUAÇÕES BIQUADRADAS CAPÍTULO E EQUAÇÕES IRRACIONAIS Equação biquadrada Chama-se equação biquadrada toda equação que pode ser escrita na forma: bx2 + sendo a variável e a, be cnúmeros reais. Exemplos: A - 7x2 + 8 = 0 Equação biquadrada 3x4 - 3x2 - x4 + 3x2 = 0 " "duas vezes quadrada" D 2x4 - Observe que a equação biquadrada é do grau e os expoentes da variável são números pares. Resolução de equações biquadradas em R Resolvemos uma equação biquadrada, transformando-a numa equação do grau, por meio da mudança de sua variável. Exemplo: Resolver Solução: Fazemos recaindo numa equação de grau. Veja como fica a equação: - y = = 18 = 9 2.1 - 2 = 2 2 2 y = 10 2 - 8 = 2 2 = 1 9 = + 1 Logo: 69</p><p>Exercícios de fixação 1 Considere a equação 9x4 - a) Essa equação é biquadrada? b) Qual é a equação do grau que se obtém ao substituir x2 por y? c) Quais são as raízes da equação do item b? d) Quais são as raízes da equação 9x4 - 13x2 + 4 = 0? 2 Resolva a equação 11x4 - 0 Solução: Fazemos recaindo numa equação do grau. Veja como fica a equação: - = 7 + 2-11 = 22 1 = = - 22 22 11 Como x2 = y, temos: y = 11 4 x2 = 11 4 11 4 IR Logo: S ={+1,-1} 3 Resolva as equações biquadradas em IR. a) x4 - 17x2 + 16 = 0 = 0 0 d) 4x4 - 37x2 + 9 = 0 4 Resolva as equações biquadradas em IR. - - - 3 d) = 40 5 Resolva as equações biquadradas em IR, sendo 0. 6 Um número real é tal que sua quarta potência é igual a 4 somado com triplo do seu quadrado. Qual é esse número?</p><p>Equação irracional Chama-se equação irracional toda equação que tem incógnita sob radical. Exemplos: A x+1 = 4 D = Resolução de equações irracionais em IR Na resolução de equações irracionais, procedemos do seguinte modo: Isolamos um dos radicais em um dos membros da equação dada. Elevamos os dois membros da equação a um expoente adequado. Se ainda restar um ou mais radicais, repetimos as operações anteriores. Resolvemos a equação obtida. 5° Verificamos as soluções encontradas. Por que verificar? Quando se elevam os dois membros de uma equação a um mesmo expoente par, a equação obtida tem, em geral, raízes estranhas à equação original. Veja: Equação Elevando ao dada. quadrado. Obtivemos as raízes 3 e -3, e apenas 3 é raiz da equação X = 3. Portanto, ao resolvermos uma equação ir- racional, com radical de índice par, devemos verificar quais das raízes encontradas satisfazem a equação original. Saiba mais Por = número 9, como todo o número real positivo, tem duas raízes quadradas: uma positiva, igual a 3 e outra negativa, igual a -3. Porém, quando trabalhamos com números reais, é uma convenção adotada que o símbolo represente sempre a raiz quadrada positiva. Se adotássemos = 3 e a contradição Em Matemática, os símbolos devem ter um único significado e com esta convenção representa unica- mente número 3 e a igualdade = - -3 é falsa 71</p><p>Como se resolvem equações irracionais em IR Exemplos: A Resolver a equação irracional = Solução: Isolar radical. Elevar os membros ao quadrado. 7x+2=16 Reduzir os termos semelhantes. 7x=14 Resolver a equação de 1° grau. x=2 Verificação: Para =4 Na verificação de uma equação irracional 14+2 =4 com radical de indice par, considere apenas valor positivo da raiz. 4=4 (verdadeira) Logo: = Resolver a equação irracional - = Solução: Elevar os membros ao quadrado. = Desenvolver. Colocar todos os termos no membro. x2 - 0 Reduzir os termos semelhantes. x2 - Resolver a equação do grau. = 4 2 = = - 1 Verificação: 1 2 Para X = - - -1+5 -2 = 3=3 (verdadeira) -2 = 2 (falsa) Logo: 72</p><p>Exercícios de fixação 7 Resolva as equações irracionais em IR. a) 7 e) b) = 4 f) 0 c) g) d) = h) 0 8 Resolva as equações irracionais em IR. a) 20 e) b) = f) - c) 1 g) d) - 1 = 2 9 A raiz quadrada de um número natural somada com próprio número é igual a 12. Qual é esse número? 10 A diferença entre um número e sua raiz quadrada é 20. Calcule esse número. 11 (Fuvest-SP) Subtraindo-se 3 de um certo número, obtém-se o dobro da sua raiz quadrada. Qual é esse número? 12 Resolva a equação irracional Solução: Verificação: Elevar os membros ao cubo. =2 Isolar radical =2 Elevar os membros ao quadrado. 2=2 x+1=36 Resolver a equação do grau. Logo: 13 Resolva as equações irracionais em IR. a) =2 d) b) =3 e) =2 c) f) - =2 14 Resolva as equações irracionais em IR. a) b) 5x+1 6 -1=0 73</p><p>Testes de revisão 15 (FSM-SP) A equação x4 9x2 + 36 = 0 21 (PUC-RJ) Se = então equi- a) tem uma raiz real. vale a: b) tem duas raízes reais. a) 2 c) tem quatro raízes reais. b) 4 d) não tem raízes reais. c) 8 d) 16 16 (Unirio-RJ) o produto das raízes positivas de 22 x4 11x2 + 18 = 0 vale: (FGV-SP) A equação a) tem duas raízes reais. a) b) tem três raízes reais. b) c) não tem raízes c) d) tem uma única raiz real. d) 23 Subtraindo-se 4 de um certo número, ob- 17 (UGF-RJ) A diferença entre a maior e a me- tém-se o triplo da sua raiz quadrada. Então nor raiz da é: esse número é igual a: a) 3 a) 1 b) 4 b) 4 c) 5 c) 9 d) 6 d) 16 18 As soluções da equação biquadrada 24 Há nove anos, a idade do irmão do Rodrigo era igual à raiz quadrada do número de x4 - - 5 são: anos que terá daqui a três anos. Qual é a 4 3 idade do irmão de Rodrigo? a) 2e-1 a) 11 anos b) 12 anos c) 13 anos d) 14 anos 25 (Vunesp) o tempo t, em segundos, que 19 - 4 = 8, então o valor de uma pedra leva para cair de uma altura X, em metros, é dado aproximadamente pela a) 6 fórmula b) 12 5x t = 5 c) 18 Se o tempo t da d) 36 queda é de 4 segun- dos, a altura é: 20 Se 81 = 63 então o valor de é: a) 80 m X 35 b) 75 m a) 5 c) 55 m b) 9 d) 40 m c) 25 d) 50 74</p><p>CAPÍTULO 9 SISTEMA CARTESIANO Par ordenado A figura abaixo representa a planta de uma sala de aula. Nessa sala, as carteiras individuais estão dispostas em linhas e colunas. linha linha linha linha linha linha Professor A carteira A está situada na terceira linha e segunda coluna. Indicamos assim: (3; A carteira B está situada na segunda linha e terceira coluna. Indicamos assim: (2; 3). Como as carteiras ocupam lugares diferentes, é fácil perceber que: (3; Isso mostra que a ordem em que escrevemos esses números é importante. Os pares de números em que a ordem dos elementos deve ser respeitada são chamados pares ordenados. Então: Par ordenado Par ordenado (3, 2) (2,3) elemento elemento elemento elemento Um par ordenado é indicado entre parênteses, e os elementos são separados por vírgula ou ponto e vírgula. 75</p><p>Plano cartesiano 0 plano cartesiano é formado por duas retas numeradas (perpendiculares), denominadas eixos e que se interceptam no ponto zero (origem), e dividem o plano em quatro regiões (quadrantes). y eixo das ordenadas 4 3 quadrante quadrante 2 1 eixo das abscissas -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 X -1 -2 quadrante quadrante -3 -4 A representação de um ponto no plano cartesiano é feita por meio de dois números: 0 primeiro número do par ordenado chama-se abscissa do ponto. 0 segundo número do par ordenado chama-se ordenada do ponto. Veja a representação dos seguintes pares ordenados: y B ( 5) quadrante (-2, 5) quadrante (-3, - -2) quadrante A (2,3) quadrante F( 4,0) X Os pontos situados sobre os eixos não E pertencem a nenhum dos quadrantes. (-3,-2) D 4) 76</p><p>Exercícios de fixação 1 Complete os pares ordenados abaixo, segundo a indicação: a) (-8, ) primeiro elemento = segundo elemento. b) ( , 7) primeiro elemento + segundo elemento = 3. c) ( , ) primeiro elemento = segundo elemento = -5. d) (3, ) segundo elemento = dobro do primeiro elemento. 2 Complete com os símbolos = ou #: a) (8,3) (8, 3) d) (-5,2) (2, -5) b) (5, -4) (-4,5) e) (-9, -4) (-4, -9) 21 (-1,8) 3 Determine e y para que cada uma das igualdades seja verdadeira: a) (x,y) = b) (x, -3) = (-4, y) f) -7) c) g) -8) 0) h) 2y) 4 (Saresp) Imagine um jogo em que um dos jogado- res deva adivinhar a localização de algumas peças ABCDEFGHI desenhadas num tabuleiro que está nas mãos do 1 outro jogador. Veja um desses tabuleiros com 2 uma peça desenhada. 3 4 A sequência de comandos que acerta as quatro 5 6 partes da peça desenhada é: 7 a) D4, E3, F4, E4. c) D4, E3, F3, E4. 8 b) D4, E4, F4, E5. d) D4, E3, F4, E5. 9 10 5 Dê as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano: y C A D F K G H 77</p><p>Exercícios complementares 6 Veja mapa apresentado abaixo: A B C D E F G H VENEZUELA GUIANA SURINAME 1 FRANCESA RORAIMA GUIANA 1 Vista AMAPA Equador do Macapa 2 2 São AMAZONAS PARA CEARÁ Fortaleza RIO GRANDE Teresina 3 DO NORTE Natal 3 PARAIBA ACRE João Porto Branco Palmas ALAGOAS 4 RONDONIA SERGIPE PERU TOCANTINS MATO Aracaju 4 GROSSO BAHIA DISTRITO Salvador Culaba FEDERAL BOLÍVIA 5 MINAS 5 MATO GOIAS GERAIS GROSSO DO SUL Belo Horizonte OCEANO ESPIRITO SANTO PACIFICO Campo SÃO Vitória 6 Grande 6 PAULO PARAGUAI CHILE RIO DE JANEIRO de PARANA Trópico de 7 N ARGENTINA SANTA 7 CATARINA RIO L GRANDE DO 0 550 8 1100 km 8 S cm 550 km A B C D E F G H Fonte: Atlas nacional do Brasil. Rio de Janeiro: IBGE, 2000. Utilizando o sistema de coordenadas (letra, número), localize alguns pontos do a) Boa Vista c) Goiânia e) Natal b) Cuiabá d) Salvador f) Belo Horizonte 7 Represente, no plano cartesiano, os pontos: A (2, 4) E (4, -2) B (4, 2) F (-3, 1) J (-4, 0) C (0, 5) K (0, 0) D (5, 0) 2 8 No plano cartesiano ao lado estão representados Ab dois sistemas de eixos. a) Obtenha as coordenadas dos pontos A, B e C no sistema de eixos 0x e 0y. A b) Obtenha as coordenadas dos pontos A, B, a C no sistema de eixos e O'b. 0 B x 0 9 o ponto N de coordenadas (m - 2; 5) pertence ao eixo das ordenadas. Determine m.</p><p>Exercícios selecionados 10 Indique qual ou quais dos pontos: A,B, C, D, E, F e G corresponde(m) a cada y uma das seguintes afirmações: G A a) A ordenada é negativa. B b) A abscissa é igual à ordenada. c) A abscissa é metade da ordenada. d) A ordenada é nula. E 0 e) A abscissa é nula. f) A abscissa é o dobro da ordenada. F D 11 Os pares ordenados (1, 3); (3, 9); (-1,-3) satisfazem a condição y=3x? 12 o par ordenado (a, 2a) é a solução da equação 2x + 3y = 16. Qual é o valor de a? 13 Obtenha as coordenadas dos pontos em que a curva corta o eixo das abscissas. y 1 Qual é a ordenada desses pontos? 0 14 (Obmep) Gabriel testou sua pontaria lançando cinco flechas que atingiram o alvo nos pontos A, B, C, D e E. As coordenadas desses pontos são: A = (1; -1), (-1; = tabela mostra quantos pontos ganha-se quando a flecha acerta um ponto dentro de cada uma das três regiões, conforme mostra a figura. ordenada = 300 pontos = 100 pontos = 50 pontos a) Marque os pontos A, B, C, D e E. b) Quantas flechas Gabriel acertou no inte- rior do menor círculo? c) Quantos pontos Gabriel fez ao todo? abscissa 79</p><p>Testes de revisão 15 (PUC-MG) o mapa de certa cidade foi dividi- 18 o ponto E pertence: do em quatro quadrantes por meio de duas a) ao primeiro quadrante. retas perpendiculares e numeradas, que se cortam no ponto (0, 0), cada um deles cor- b) ao segundo quadrante. respondendo a um quadrante do plano car- c) ao terceiro quadrante. tesiano. o sentido positivo do eixo y é o d) ao quarto quadrante. norte, e o sentido positivo do eixo é o les- te. Edificações que, nessa cidade, estiverem 19 No quadriculado abaixo, considere a me- a mais de um quilômetro a oeste e a mais dida de cada quadradinho igual a 1 cm e de um quilômetro ao norte estarão locali- a origem no ponto Localize os pontos zadas no: A (2, 0), B (8, 0), (5, 2) e D (3, 2). Una os Rua M (km) pontos consecutivos. Com base na figura, de 4 Rua G podemos concluir que sua área é: Praça da 3 Rua N Paz Praça do 2 Vento da Praça do Chuva 1 (km) -4 -3 -2 -1 Rua 2 3 4 Praça da -1 N Brisa Rua F Rua H 0 -2 Av. 23 de agosto a) 8 Rua B b) 9 -4 Praça da Lua c) d) 8,5 a) primeiro quadrante. b) segundo quadrante. 20 Considere o segmento de extremidades o (0, 0) e A (9, 12) de um plano cartesiano. c) terceiro quadrante. Incluindo o e A, qual é o número de pon- d) quarto quadrante. tos, de coordenadas inteiras, que perten- 16 Se = (6, y), então o valor de X + y é: cem a esse segmento? a) 2 c) 9 a) 3 c) 5 b) 3 d) 18 b) 4 d) 6 17 (Ceeteps-SP) o par ordenado de números que representa a represa é: 21 (Fesp) Os pares ordenados (3x + y, 1) e são iguais. Então + y - 1 vale: y Escola a) 2 c) 4 3 Igreja b) 3 2 Reservatório de 1 22 (Fuvest-SP) Se (m + 2n, e (2 m, 2n) 4 3 2 1 1 2 3 4 representam mesmo ponto do plano car- 1 tesiano, então é igual a: 2 Represa 3 a) 1 Zoológico 4 c) a) (-5, -3) c) (5, -3) 2 b) (-3, -4) d) (-4, -3) 80</p><p>CAPÍTULO 10 NOÇÕES DE FUNÇÃO Introdução 0 valor que pagamos pelo combustível do carro depende da quantidade de litros colocada no tanque. está em função Litros 0000000 A tabela que traduz a correspondência entre o número de litros de gasolina e custo é a seguinte: a pagar 0000000 Número de litros de Custo gasolina 1 2,30 Gasolina 2 4,60 R$ 2,30 o litro 3 6,90 Mas essa função também pode ser representada por uma expressão. A expressão que traduz a situação é: Custo = 2,30 número de litros de gasolina De modo mais simples, podemos escrever: y = 2,30 X Fórmula matemática da função custo preço número por de litros Se chamarmos fa função y = 2,30 X, a sua expressão é dada por: Quando escrevemos a lei de formação de uma fun- y ção, utilizamos, em geral, as letras xe ypara representar as variáveis que estamos sendo a variável y determinada em função de X. 9,20 Finalmente, veremos como a função acima pode ser representada por um gráfico. 2,30 1 2 3 4 Número de litros Concluindo: Tabela, gráfico e expressão são os modos mais comuns de representar uma função. 81</p><p>Correspondência - conceito de função Outra maneira de representar uma função é por meio do diagrama de setas. Veja: A.. é dobro de B Note que cada elemento de A é 7 origem de uma 10 4 única seta. 14 5 18 9 Dados os conjuntos A e B, dizemos que foi estabelecida uma função de A em se a cada elemento de A corresponde um único elemento de B. Mas, atenção! Nem todas as correspondências são funções. Veja: A.. é metade de B A é divisor de B 1 2 3 6 4 8 3 5 9 5 10 Não é função: 5 não tem correspondente em B. Não é função: 0 3 tem dois elementos correspondentes em B. Função de A em 1 Veja a função de A em B definida por A B Cada seta 5 Temos que: determina um 6 y = X par ordenado. 7 y=2+4=6 = 8 y=3+4=7 9 y=5+4=9 Valores de X. Valores de y. Os pares ordenados (x, y) dessa função são: (2, 6), (3, 7) e (5, 9). 2 Veja a função de A em B definida por y = A B Como y pode ainda ser indicado por f(x), temos: 1 1 2 trocando X por 1 f(1) = - 1 3 trocando por 2 trocando X por -1 2 4 f(-1) = trocando X por -2 f(-2) = = 4 Valores de Valores de y. Os pares ordenados (x, y) dessa função são: (1, 1), (2, 4), (-1, 1) e (-2, 4). 82</p><p>Exercícios de fixação 1 Observe o quadro e responda. Número de Preço a) Qual é o preço a pagar numa compra de 3 refrigerantes a pagar refrigerantes? 1 R$ b) Quantos refrigerantes podem ser compra- 2 R$ 4,80 dos com 3 R$ 7,20 c) o preço a pagar está em função do número de refrigerantes comprados? 4 R$ 9,60 5 d) Qual é o preço y a pagar numa compra de X R$ 12,00 refrigerantes? 6 R$ 14,40 2 Dada a função y = 2x - 1, determine valor de y para: 3 Dada a = função y 1 determine o valor de y para: b) 2 4 Complete as tabelas. a) -3 - 1 0 2 5 b) -2 0 4 quadrado de dobro de 6 18 5 Dada a função 7x + 10, responda. a) Para = 0, quanto vale y? c) Para = 1 quanto vale y? 2 b) Para quanto vale y? d) Para quais valores de tem-se y = 18? 6 Gustavo dizia um número, e Rafael respondia outro usando uma regra que só ele conhecia. 12 14 20 25 32 25 29 41 51 a) Qual número deve ser respondido por Rafael para ocupar último quadradinho? b) Chame X os números ditos por Gustavo e y os números respondidos por Rafael. Escreva uma expressão matemática que dê yem função de X. 7 o preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada ban- deirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$3,20 e cada quilômetro rodado custa responda: TARIFA a) Qual o valor V a pagar em uma corrida de n quilômetros? R$ b) Quanto vai custar uma corrida de 12 qui- L PRECO A PAGAR lômetros? c) Quanto vai custar uma corrida de 6 qui- lômetros e 800 metros? d) Qual é a distância percorrida por um passageiro que pagou pela cor- rida? 83</p><p>Exercícios complementares 8 Qual diagrama representa uma função de A em B? a) A B b) A B c) A B Jan. 31 Fev. Out. 30 30 Fev. 29 Set. Nov. 31 31 Mar. 28 Mar. Dez. 9 Frederico leu a história do profes- 5 sor Matema, que construiu uma 2 máquina dos números. Quando o professor Matema colocava na 0 entrada da máquina o número 7, saia o 22. " TRIPLICA SAÍDA a) Se professor colocasse na E DEPOIS máquina 15, que número sai- SOMA 1" ria? ENTRADA b) Que número professor teria de colocar na máquina, para que lhe o 34? 1 10 Dada a função y = 3x + 1, determine o valor de y 11 Considerando a função dada por y = 2x2 1, responda. a) Para X = 0, quanto vale y? c) Para X = -2, quanto vale y? b) Para X = 2, quanto vale y? d) Para quais valores de tem-se y=17? 12 Considerando a função dada por y = responda. 3x-7 a) Para X = 0, quanto vale y? b) Existe X, tal que y = 1? 13 Qual é o valor de 14 Um automóvel gasta 8 litros de gasolina para rodar 100 km. Complete a tabela que indica consumo de combustível pelo automóvel. Distância (km) 40 80 120 160 200 de litros 15 Em cada um dos itens, escreva a expressão que liga as duas variáveis. a) 0 1 2 3 -1 -2 b) 3 4 5 -1 -2 -3 y 1 2 3 4 0 -1 y 27 64 125 -1 -8 -27 84</p><p>Exercícios selecionados 16 o Hotel "Sonodez" tem a seguinte tabela de preços: de noites Preço (R$) Hotel Sonodez 1 80 2 130 3 180 4 230 30 + 50x a) Escreva os três termos seguintes da sequência: 80, 130, 180, 230, b) Fernando dormiu cinco noites no hotel. Quanto gastou? c) Patrícia pagou por uma estada no hotel. Quantas noites dormiu? 17 (Saresp) A tabela abaixo apresenta o consumo médio de gasolina de certo veículo, em função da distância por ele percorrida. consumo médio (litros) 0,25 1,25 2,75 4,5 distância percorrida (quilômetros) 3 15 33 54 Qual seria, em litros, o consumo médio de gasolina de tal veículo para percorrer 270 km? 18 (CTI-Unesp-Bauru) Na confeitaria do Céu, quanto maior a encomenda, mais barato sai cada doce Veja no gráfico abaixo: Examinando o gráfico, complete a tabela. Preço da encomenda (Reais) Número de doces da encomenda 50 100 150 200 50 40 30 Preço da encomenda (em reais) 20 10 Preço de cada doce (em reais) 0 50 100 150 200 Número de doces encomendados 19 (Obmep) Antônio tem um papagaio que faz contas fantás- ticas com números inteiros, mas não sabe nada sobre deci- mais. Quando Antônio sopra um número em seu ouvido, o papagaio multiplica esse número por 5, depois soma 14, divide resultado por 6, finalmente subtrai 1 e grita o re- sultado. a) Se Antônio soprar o número 8, qual número o papagaio grita? b) Se papagaio gritou 3, qual é o número que Antônio soprou em seu ouvido? c) Porque o papagaio nunca grita o número 7? 85</p><p>Testes de revisão 20 Se f(x) = então os valores de f(0); f(-1); 27 - 1, então f(2); f(-2) são respectivamente: a: a) 2, 2, 4, -4 b) 0, 2, 16, 16 a) 3 4 c) b) 15 4 21 (FECABC-SP) o valor da função y 17 c) = -1 é: 4 a) 0 4 b) 2 d) -2 28 (Mack-SP) Se f(x - = então valor de 22 (UFPR) o valor da função y = para f(2) é: 1 a) 1 a) 0 b) 4 b) 1 c) 6 c) -1 d) 9 29 (Cefet-RN) Regina descobriu que a relação 23 (UC-MG) o valor da expressão entre tempo t (em minutos) de utilização para = -2,1 é: da Internet e o valor V (em reais) a ser pago por ela no final do mês é representado pela a) 1,3 fórmula V = 30 + 0,15t. Quanto gastará Re- b) 2,6 gina se, durante mês, utilizar a Internet c) -1,2 por 10 horas e 20 minutos? -1,6 24 (Cesgranrio-RJ) o valor de y = + para 1 X = é: 2 5 c) 5 a) 8 8 b) 5 d) 5 32 32 a) c) R$ 120,30 25 (Mack-SP) o valor de + para 5 b) R$ 81,30 d) R$ 123,00 é: 30 A fórmula N = dá o valor aproxi- 4 a) 3 c) 9 mado do número do calçado (N) em função 5 25 do comprimento (p), em centímetros, do pé 9 b) 6 de qualquer pessoa. De acordo com a d) 5 25 mula, comprimento do pé de quem calça em centímetro, 26 (PUC-SP) Sendo f(x) = 7x + 1, então f(12) f(9) é igual a: 3 a) 3 b) 5 c) 7 a) 22 b) 24 25 d) 26 86</p><p>CAPÍTULO 11 FUNÇÃO DO GRAU Função do 10 grau em IR É toda função que pode ser escrita na forma y = ax + b, sendo ae reais e a # 0. Exemplos: São funções A y=3x+1 cujos gráficos são y=4-2x y=5x D Gráfico da função do grau Vamos construir 0 gráfico da função: Atribuímos valores quaisquer a X e obtemos, pela substituição, os valores correspondentes de y. Veja: Para y=2+1 y=3 Para y=1+1 y=2 Para y=0+ 1 y=1 Para X = - - 1 + 1 y=0 Para X = -2 - = y=-1 A seguir, localizamos no plano cartesiano os pontos que representam cada par ordenado. Observe que os pontos estão alinhados. Quanto mais pares ordenados da função representarmos, mais pontos alinha- dos obteremos. Tabela Pontos y y 2 3 (2, 3) 4 1 2 (1, 2) 3 Como o gráfico de uma 2 0 1 (0,1) . função do 1° grau é 1 - 1 0 (-1,0) -4 -2 sempre uma reta, basta localizar dois de seus 0 1 2 3 4 X -2 - 1 (-2, -1) 1 pontos para : Todos os pontos que representam os pares ordenados dessa função formam seu gráfico, que é uma reta. 87</p><p>Exemplos: A Traçar o gráfico da função y 1. Solução: Para Para y 3 Tabela y Pontos 1 1 1 (1, 1) 0 1 2 X 2 3 (2, 3) Traçar 0 gráfico da função y = 3. Solução: Para y y=3 Para y y=1 y 3 Tabela 1 y Pontos 0 1 0 3 (0, 3) 1 1 (1, 1) Traçar gráfico da função y=3x. Solução: Para Para y 3 Tabela y Pontos 0 1 X 0 0 (0, 0) 1 3 (1, 3) : Se em y = ax + b temos b = 0, a função assume a forma y = ax. Nesse caso, recebe nome de função linear e passa pela origem do sistema cartesiano. 88</p><p>Exercícios de fixação 1 Complete a seguinte tabela: -2 0 1 3 4 y=2x dobro de a) Construa o gráfico da função "dobro de x". b) Verifique se os pontos A (-7, -13) e B (-10, -5) pertencem ao gráfico. 2 Considere a função definida pelo gráfico: 3 2 1 -4 10 1 2 3 4 5 6 X 1 -2 -3 a) Indique as coordenadas de quatro pontos do gráfico da função. b) Qual expressão relaciona 3 Construa gráfico de cada uma das seguintes funções: a) y=2x g) y=x h) c) i) 4 Uma função está definida pela expressão a) Complete a tabela. 0 0,5 1 2 3 y b) Quais dos seguintes pontos pertencem ao gráfico dessa função? A (10,11) B (100, 51) C (11,20) c) Determine de modo que d) Determine X de modo que y 5 Em um mesmo sistema de eixos cartesianos, faça o a)y=2x gráfico das funções. o que você observou? b)y=2x+1 d)y=2x+3 89</p><p>Função constante Considere a função: y=3 que também pode ser escrita na forma y=0.x+3 Esta é uma função constante, pois sempre igual a 3, qualquer que seja o valor de X. Representação gráfica y 3 Tabela X y 1 3 (1,3) DICA 5 3 (5,3) 1 LEGAL 0 gráfico de uma função constante (a=0) é sempre uma reta paralela ao eixo X. Zeros da função do grau Chama-se zero ou raiz da função do grau valor de X para que y = 0. Assim, para calcular zero da função, basta resolver a equação do grau: Exemplo: 0 zero ou raiz da função y=2x 4 é obtido fazendo y=0. y (2,0) X zero ou raiz da função Então, a reta y=2x 4 corta eixo X no ponto (2,0). 90</p><p>Exercícios complementares 6 Considere a função y = 6x - 1. a) Complete a tabela associada à função: x 0 1 -1 y 11 b) Construa gráfico da função. 7 Considere a a) Complete a tabela associada à função: 0 4 -3 -2 b) Construa gráfico da função. 8 Estabeleça a correspondência entre cada gráfico e cada função. I y II y III y IV y 1 1 1 0 1 0 1 0 1 X 0 1 S p a) b) c) y = 1 d) y = -2x 9 Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções: a) y=1,5x 10 Determine os zeros das seguintes funções do 1° grau: a) )y=x+6 c) y = -2x + 10 = b) 3 d) y = -5x + 3 f) 11 Durante o último trimestre de 2010, preço do feijão da marca ZÃO manteve-se constante e igual a R$3,00. Feijão Feijão Feijão a) Utilizando essa informação, complete o gráfico. Preço (R$) 3 2 1 Feijão Feijão Feijão 0 Mês Out. Nov. Dez. b) o modelo matemático que descreve a situa- ção é uma função constante. Qual é a expres- Feijão R$ 3,00 são dessa função? 91</p><p>Exercícios selecionados 12 Construa o gráfico de cada uma das funções seguintes definidas de IR em IR: = 13 Seja a função a) Complete a tabela. -2 -1 0 y 9 5 1 b) Represente graficamente a função. 14 (UFMG) Esboce o gráfico de y = 15 (Fuvest-SP) Esboce o gráfico da função 16 Calcule o zero de cada uma das seguintes funções: 3 4 17 (Encceja-MEC) A escola de natação "Nada ou tudo" cobra R$ 100,00 de matrícula e R$ de mensalidade para o uso da piscina duas vezes por semana. valor total que um usuário paga depende do número de meses que frequenta a escola. o gráfico cartesiano que representa o valor total V pago pelo usuário em função do número n de meses é: a) V (real) b) V (real) c) V (real) d) V (real) 200 200 200 200 100 100 100 100 0 0 0 0 1 2 n (mês) 1 2 n (mês) 1 2 n (mês) 1 2 n (mês) 18 (Saresp) A relação entre a temperatura em graus Celsius e em Fahrenheit é dada por C F - 32 Sabendo que a temperatura mínima da cidade de São Paulo durante o ano de 2002 5 9 foi de 5 °C, podemos afirmar que essa temperatura em graus Fahrenheit (F) foi de: Celsius Fahrenheit 0°C 32°F a) 20° b) 37° c) 41° d) 100° 19 (Cefet-SP) Suponha que você resolva poupar certa quantidade de dinheiro, guardando-o em casa, sem a possibilidade de render juros ou sofrer correção monetária, e começar guardando no primeiro dia R$ e a partir do segundo dia acrescentar 5,00 por dia. Considere y como sendo a quantia acumulada e XO número de dias que se passaram após o início da poupança. Qual é a fórmula que melhor representa essa situação? a) 5 + 92</p><p>Testes de revisão 20 Qual das funções abaixo não é do grau? 26 Considere gráfico da função y As coordenadas do ponto em que esse grá- fico corta eixo das abscissas (x) são: a) (3, 0) b) (0,3) c) (-3, 0) d) (0, -3) 21 f(x) = 4x, qual das seguintes igualdades 27 (UFMA) A representação gráfica da função é falsa? y = - -3 é uma reta: a) f(2) = 8 a) que intercepta os dois eixos. b) b) paralela ao eixo das ordenadas. c) c) perpendicular ao eixo das abscissas. d) d) perpendicular ao eixo das ordenadas. 22 (Saresp) Das funções do grau definidas 28 abaixo, aquela cujo gráfico contém ponto (Saresp) Em uma cidade, uma corrida de táxi custa R$3,00 mais por km roda- do. Com R$ 15,00, posso pagar por uma corrida de no máximo: a) 5 km b) 8 km c) 10 km d) 12 km 23 (Saresp) o ponto (-2, 1) pertence ao gráfico da função dada por y = kx + 5. Por isso con- clui-se que a constante real k é igual a: a) -1 b) -2 29 (UMC-SP) A equação da reta r da figura é: c) 1 y d) 2 24 (Mack-SP) Seja a função do o valor de y=0,75 é: a) 5 2 8 b) 8 5 15 -2 0 c) 16 d) 16 15 25 (Univap-SP) A equação y=5x é representa- da no plano cartesiano por uma reta: a) paralela ao eixo dos X. a) y=x+2 b) paralela ao eixo dos y. c) que passa pela origem. d) coincidente com eixo dos X. d) 93</p><p>Testes de revisão 30 (FMIT-MG) o gráfico abaixo pode represen- 32 o zero da função = 3x + 4 é: tar qual das expressões? a) 3 c) -3 b) 6 d) -6 y 33 3 (Ceeteps-SP) o gráfico mostra o salário mensal dos vendedores de aparelhos ele- trônicos em função da quantidade vendida. A função que relaciona salário ye a quan- tidade vendida é dada por: Salário em R$ 2 0 580 500 a) y = 2x - 3 c) 0 2 Quantidade vendida d) a) y = 500 + 40x + 20x 31 (Saresp) Qual dos gráficos abaixo represen- ta a função dada por y = -2x-3? b) = 500 - 40x a) 3 b) y 34 3 (SEE-SP) Uma empresa fabrica um único pro- y 2 2 duto e toda sua produção é vendida. o gráfi- 0 CO abaixo representa o custo total C e a recei- 0 X ta R em função da quantidade vendida. Custo em R$ R 2000 C -3 -3 1000 c) y 3 2 0 20 40 Quantidade 3 0 Dado que lucro L da empresa é a diferen- ça R - C, podemos garantir que: d) y a) a empresa só terá lucro se fabricar mais de 20 peças do produto. 3 b) a empresa só terá lucro, se fabricar mais de 40 peças do produto. c) fabricando 40 peças, o lucro será de R$2.000,00. d) lucro máximo ocorre fabricando 40 3 2 peças. 0 X 94</p><p>12 FUNÇÃO DO GRAU OU CAPÍTULO FUNÇÃO QUADRÁTICA Função do grau em IR Dizemos que uma função é do grau se é definida por: + 0 Exemplos: A C y=3x2 8 D - 9 Gráfico da função do grau 0 gráfico da função do grau é uma parábola. Vamos esboçar, com auxílio de uma tabela, os gráficos de algumas funções do grau. Exemplos: A Construa gráfico da função Solução: Atribuimos a X os valores - -2, -1,0, 1, 2, 3 e 4 e calculamos os valores de y. y 5 -2 y=(-2)2-2(-2)-3 = 5 (-2,5) 4 -1 (-1,0) 3 2 0 = -3 1 1 (1,-4) -2-1 0 1 2 4 X 2 1 -2 3 = 0 (3,0) 3 da 4 5 (4,5) -4 parábola Observamos que: A parábola tem a concavidade voltada para cima (a = 1 a A função admite dois 0 vértice da curva é no ponto (1, -4), que é ponto de altura mínima. 95</p><p>Construa gráfico da função 4. Solução: Atribuimos a X os valores - 3, 2, 1, 0, 1, 2 e 3 e calculamos os valores de y. (x, y) -3 (-3,5) y 5 -2 (-2,0) 4 3 -1 (-1, -3) 2 1 0 (0, -4) -3-2 10 1 2 3 X 1 1 (1, -3) 2 3 2 (2,0) 4 3 (3, Observamos que: A parábola tem a concavidade voltada para cima A função admite dois = 0 vértice da curva é (0, -4), que é ponto de altura mínima. Neste caso, eixo y é eixo de simetria da parábola. Construa gráfico da função y = -x2 + 4. Solução: Atribuimos a X os valores -2, - -1,0, 1 e 2 e calculamos os valores de y. y -2 (-2,0) 4 -1 (-1,3) 3 2 0 = (0, 4) 1 -10 1 2 3 X 1 (1,3) 2 (2,0) Observamos que: A parábola tem a concavidade voltada para baixo (a = - a A função admite dois zeros: 0 vértice da curva é (0, 4), que é ponto de altura máxima. Também neste caso, 0 eixo y é eixo de simetria da parábola. 96</p><p>Resumo Os exemplos mostram-nos que: (positivo), a concavidade é voltada <0 "para cima". Se a <0 (negativo), a concavidade é voltada concavidade "para baixo". "para cima" concavidade "para baixo" Nos exercícios a seguir, observe estas informa- ções sobre os gráficos: A parábola sempre corta eixo das ordenadas (eixo y) em um só ponto. A parábola pode cortar eixo das abscissas (eixo x) em 2 pontos, 1 ponto ou não cortar esse eixo. Exercícios de fixação 1 Seja a função y x2 4x - 5. Complete a tabela e esboce o seu gráfico. -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y 2 Seja a função y = -x2 + 4x - 3. Complete a tabela e esboce seu gráfico. x -1 1 2 3 4 5 y 3 Seja a função y 4x + 4. Complete a tabela e esboce seu gráfico. -1 0 1 2 3 4 5 y 4 Seja a função y = -x2 + 6x. Complete a tabela e esboce seu gráfico. 0 1 2 3 4 5 6 y 5 Observe cada função do grau e escreva se gráfico da parábola tem concavidade "para cima" ou "para baixo". e) c) - 2 f) y = 12x 18 6 Represente graficamente as funções do 2° grau. g) b) e) - 1 h) c) 9 i) 97</p><p>Coordenadas do vértice Podemos determinar vértice da parábola calculando primeiro a abscissa, que é dada pela fórmula: coeficiente do termo em X 2a coeficiente do termo em 0 valor da ordenada do vértice da parábola é obtido atribuindo-se o valor de à variável X da função dada. Exemplo: Vamos determinar vértice da função = 2 Então, as coordenadas do vértice são (2, -1). Zeros da função do grau Achar os zeros (ou raízes) da função do grau equivale a resolver a equação: Exemplos: A Dada a a) Obter os zeros da função. b) Com os zeros obtidos, esboçar gráfico da função. Solução: a) Fazendo y = 0, temos: A = = 2 = = = 2 Os zeros da função são b) Esboço do gráfico a = 1 (positivo) a parábola tem a concavidade voltada para cima. a parábola "corta" eixo X em dois pontos distintos. Assim: concavidade "para cima" -1 3 X raiz raiz 98</p><p>B Dada a função y = -x2 a) Obter os zeros da função. b) Com os zeros obtidos, esboçar o gráfico da função. Solução: Dica: a) Fazendo y=0, temos: Para esboçar o gráfico, A = fique ligado no A = 16 - 16 coeficiente de A X = - = -4 = 2 -2 -2 -4 + X = = 2.(-1) X = -4 - 0 = -4 = 2 -2 -2 0 zero da função é 2. b) Esboço do gráfico a = -1 - (negativo) a parábola tem a concavidade voltada para baixo. A = 0 a parábola tangencia eixo X em um ponto. Assim: raiz 2 X Concavidade "para baixo" Dada a a) Obter os zeros da função. b) Com os zeros obtidos, esboçar gráfico da função. Solução: a) Fazendo y=0, temos: A A =4-20 A = -16 X = - (-2) 2.1 + ( Não existe raiz real. Neste caso, a função não tem zeros reais. b) Esboço do gráfico a = 1 (positivo) a parábola tem a concavidade voltada para cima. = a parábola "não corta" 0 eixo X. Assim: concavidade "para cima" X 99</p><p>Exercícios complementares 7 Quais dos pontos pertencem à a) (0, -3) c) (1, -3) e) (3,0) b) (1, -4) d) (2, -3) f) (4, -3) 8 Faça um esboço gráfico das funções: Resumo: gráfico intercepta em dois pontos. Se = 0,0 gráfico tangencia X. Se A gráfico não intercepta eixo X. b) y c) 1 d) - 1 e) y = -3x2 + 2x - 5 f) y = 3x2 - 4x + 2 9 Determine m de modo que a - - concavidade voltada "para cima". 10 Determine m de modo que a parábola y = (2m - tenha concavidade voltada "para bai- 11 Determine vértice da parábola que representa a função definida por: - 15 12 Determine vértice da parábola que representa a função definida por: 13 (UNB-DF) Esboçar o gráfico da função y = 4x2 14 (UMC-SP) Dada a função - 5, pedem-se: a) os pontos em que seu gráfico corta eixo b) os pontos em que seu gráfico corta eixo y, c) as coordenadas do vértice de seu gráfico; d) gráfico da função. 15 (Faap-SP) Que tipo de curva representa a função 16 (PUC-SP) gráfico da função quadrática passa pelo ponto (1, 2). Determine a. 17 (USF-SP) Determine mínimo valor da função y 5. 18 (FMU-SP) A parábola da equação y - 8 é tangente ao eixo X. Calcule b. 100</p><p>Exercícios selecionados 19 (CPII-RJ) Na figura temos uma sequência de operações que devem ser efetuadas com um número real de "entrada". entrada multiplique por 2 some 3 eleve ao quadrado subtraia 7 resultado a) Se o valor de entrada é 5, qual é o resultado? b) Chame de o valor de entrada e obtenha uma expressão simplificada para o valor do resultado. c) Utilizando a expressão obtida no item b, determine o(s) valor(es) de entrada quando resul- tado é 18. 20 (CAP-UFRJ) Lucas joga uma pedra para cima. A altura dessa pedra até chão pode ser calculada, em cada instante pela fórmula: em que h é a altura (em metros) e té o tempo (em segundos) decorrido desde o lançamento. a) Calcule a altura da pedra no instante b) Calcule os instantes em que a pedra se encontra a 16,5 m de altura do chão. 21 Estabeleça a correspondência entre cada função e cada esboço de gráfico. A C E y = -x2 + 2x + 1 D y = x2 F y = x2 - I y II y III y X -2 3 X 1 0 2 IV y V y VI y X X -2 4 X 5 101</p><p>Testes de revisão 22 (PUC-SP) A função quadrática 29 (PUC-SP) o gráfico da função quadrática y = - + 2) X - 1 está é: definida quando: a) y c) y c) 5 7 -5 7 X 23 (UFPR) A parábola de equação ponto (1, 0). b) y d) y a) 0 c) 3 5 7 X b) 2 d) 5 24 (UNB-DF) Os valores que anulam a função 30 (Esan-SP) Considerando o gráfico da função 6 são: X - 6, vale afirmar que: a) pares. c) positivos. a) não corta eixo dos X. b) impares. d) negativos. b) corta o eixo dos y no ponto (0, 6). 25 (UFPA) As coordenadas do vértice da função c) tem concavidade voltada para baixo. 1 são: d) corta o eixo dos nos pontos (-2, 0) e (3, 0). a) (1,0) c) (-1, 1) d) (-1,4) 31 (Saresp) Quais são as coordenadas do ponto A assinalado na figura, referente ao gráfico 26 (UNB-DF) o vértice da parábola da função y = 8? o ponto cujas coordenadas são: a) (-2,8) a) (2, 0) c) (0, 4) b) (-1,6) y b) (2, -2) d) (0, -4) c) (-3,8) 27 (UFC-CE) Qual é a parábola abaixo que po- d) (-3,6) deria representar uma função quadrática A com discriminante negativo? a) c) y X -4 0 +1 b) d) y 32 (UFRGS-RS) Uma bola colocada no chão é chutada para o alto, percorrendo uma tra- jetória descrita por y = -2x2 + 12x, em que X y é a altura dada em metros. A altura máxi- ma atingida pela bola é de: 28 (PUC-SP) o esboço do gráfico da função quadrática y + é: a) y c) y 1 3 1 3 X X b) y d) y 3 a) 6 m c) 18 m 1 3 X X b) 12 m d) 36 m 102</p><p>CAPÍTULO 13 SEGMENTOS PROPORCIONAIS Razão entre segmentos Sejam os segmentos AB e CD : 2 cm A 5 cm D A razão entre AB e CD será: AB 2 cm ou seja: AB 2 = CD 5 cm CD 5 A razão entre CD e AB será: CD 5 cm = ou seja: CD = 5 AB 2 cm AB 2 A razão entre dois segmentos é o quociente entre as suas medidas, tomadas na mesma unidade. Segmentos proporcionais Sejam os segmentos da figura: 2 cm 4 cm A B E F 3 cm 6 cm C D G H Temos: AB=2 cm razão: AB 2 = CD = 3 cm CD 3 EF = 4 cm razão: EF 4 = GH = 6 cm GH 6 Mas 2 4 ; então AB EF = = é uma proporção. 3 6 CD GH Lembrando: Numa proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim: ze 3 4 6 formam uma proporção, pois 2 6 = 12 12 103</p><p>Exercícios de fixação 1 Calcule X. Observe o exemplo: Produto dos extremos = Produto dos meios X 6 = + 2) + 2 10 10x = 6x + 12 Essa propriedade é a famosa multiplicação "em cruz". 28 7 = c) X = + 3 a) e) 2 = 15 - X 3x 6 6 15 1 X b) 9 = 12 d) - = 12 f) 6 = X 2x 4 X 20 10 X + 2 2 A razão entre a altura de Maria e a de Fabiana é A altura de Maria é 170 Qual é a altura de Fabiana? 170 Maria Fabiana 3 Divida um segmento de 45 cm em partes proporcionais a 2, 3 e 4. Solução: y Z Sejam X, y e Z as partes desconhecidas. Então, podemos escrever: X = y = Z = 2 3 4 Como 2k+3k+4k=45 k=5 Assim: A y=3k z=4k y=3.5 z=4.5 y=15 Resposta: 10 cm, 15 cm e 20 cm. 4 Divida um segmento de 66 centímetros em partes proporcionais a 2, 4 e 5. 104</p><p>Teorema de Tales a b de transversal Quando três retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, os segmentos determinados numa das retas transversais são proporcionais aos segmentos determinados na outra. Veja a prova dessa afirmação: S t A D a V B u V E b V V C V F C 1 Medindo os segmentos AB e BC na unidade temos: BC=3u AB 2 Então: = 1 BC 3 2 Pelos pontos de divisão dos segmentos AB e traçamos paralelas às retas do feixe. Essas paralelas dividem DE e EF em segmentos congruentes. Então: DE 2 = 2 EF 3 EF =3v Comparando 1 e 2 temos AB DE BC EF Veja um exemplo no qual utilizamos teorema de Tales: Exemplo: Calcular X, sabendo que a // b // C. Podemos montar as propor- Solução: ções de outras maneiras: a Trocando os meios: Pelo teorema de Tales: 3 12 3 X 3 X X 16 12 16 b Trocando os extremos: 12x = 48 16 12 16 X X = 48 12 3 C 12 E assim por diante... 105</p><p>Exercícios de fixação 5 Calcular X, sabendo que a // b // C. Solução: Escrevemos a razão entre dois segmen- a b C Pelo teorema de Tales: tos de uma transversal, por exemplo: 9 X 24 9 = 18 18 Depois, olhamos para a outra transver- X 24 sal e escrevemos a razão entre os seg- 18 mentos que correspondem a esses dois 18x = 216 anteriormente considerados, escreven- do-os na mesma ordem: 9 18 216 X = 24 X 18 A proporção fica assim: 9 18 X = 12 X 24 6 Calcule X, sabendo que a // b // a) c) a a 3 9 b b 8 4 + 2 12 C C b) d) a b C a 2x - 2 4 6 b 3x+1 7 4 1,8 C 7 A planta abaixo mostra as medidas de três lotes que têm frente para a rua "A" e para a rua As divisas laterais são perpendiculares à rua "A". Quais são as medidas de X e y indicadas na figura? Rua B y 28 m 3 2 1 20 m 25 m 40 m Rua A 106</p><p>Exercícios de fixação 8 Calcule X, sabendo que a // b // C: a) a b C b) 4 A a 10 X 5 6 b 7,5 6 4 C 9 (Cefet-RN) Ao executar a fiação de um prédio, um eletricista verificou que os dois fios que puxa- ra - representados pelas retas re S na figura abaixo - passavam transversalmente pelo conjunto de fios paralelos que pertencem à linha de transmissão - representados pelas retas a, b, ce d. Podemos afirmar que os comprimentos X e y na figura são respectivamente: 15 cm 10 cm a) 4 cm e 10 cm b b) 4 cm e 12 cm cm 6 cm c) 6 cm e 12 cm 8 cm y cm d) 6 cm e 10 cm 10 Calcular X, sabendo que a // b // Solução: Pelo teorema de Tales: X X 6 7 6 7 - X 8 8x = 42 - 6x a 8x+ 6x = 42 8 b 14x = 42 X = 42 14 11 Calcule X, sabendo que a // b // a) b) a 3 b 8 6 6 10 6 C 107</p><p>Teorema de Tales nos triângulos Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo determina, sobre os outros dois lados, segmentos pro- porcionais. Veja: A Podemos concluir que: D E AD = AE DB B C Exercícios de fixação 12 Calcule X, sabendo que BC//EF: a) B b) A 6 8 10 E E F 4 X A 10 F C / 13 Calcule X, sabendo que BC//GH. a) B C b) H 3 A C 4 6 3x G H G 1 1 2 3 A B 14 (UTFPR) o jardineiro do sr. Artur fez um canteiro triangular composto por folhagens e flores onde as divisões são todas paralelas à base AB do triângulo ABC, conforme figura. y 35 cm X B 20 cm 25 cm 40 cm A Sendo assim, as medidas xeydos canteiros de flores são, respectivamente: a) 30 cm e 50 cm. c) 50 cm e 30 cm. b) 28 cm e 56 cm. d) 56 cm e 28 cm. 108</p><p>Exercícios complementares 15 (Saresp) No desenho abaixo estão representados os terrenos I, II e III. dos Rua das Margaridas Rua I 24 m 15 m II III Rua das Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que faz frente com a rua das Rosas? a) 20 m c) 32 m b) 24 m d) 35 m 16 Calcule X, sabendo que a // b // C. a) b) a b C a 4 3 5 b 16 12 X 12 17 (CPII-RJ) As ruas Amor, Bondade e Caridade são paralelas e as avenidas Paz e Felicidade são trans- versais a essas ruas. A Rua Amor E 120m 200 m Rua Bondade 360 m C Rua Caridade B Artur mora na esquina da Rua Amor com a avenida Paz indicada pelo ponto A. a) Para à videolocadora situada na esquina da Rua Caridade com a Avenida Paz, indicada pelo ponto B, quantos metros, no mínimo, Arthur percorre? b) Arthur faz uma caminhada de 200 metros em 3 minutos. Para ir à sua escola, situada na esquina da Rua Caridade com a Avenida Felicidade, indicada, pelo ponto C, ele anda pela Avenida Paz e vira na Rua Caridade. Quanto tempo Arthur demora para chegar à escola? 109</p><p>Exercícios complementares 18 Na figura, valor de 15 10 a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 X 12 19 Calcule xey, sabendo que a) b) 8,4 X b 6 5,6 4 y C 25 5 9 16 y d a b C d 20 o mapa abaixo mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por três vias transversais. Cal- cule as distâncias entre os cruzamentos dessas vias, supondo as medidas em quilômetros: 6 3 y 2 Z 4 8 21 (UC-MG) Nesta figura, os segmentos de retas AO, BP, CQ e DR são paralelos. A medida do seg- mento PQ, em metros, é: R a) 24 120 m Q b) 35 c) 40 P d) 50 A B D 40 m 30 m 20m 110</p><p>Exercícios selecionados 22 Calcule os elementos desconhecidos, sabendo que b // a) b) a 3 X 5 b 4 X 2x 4 2 6 3 y a b C 23 (Univap-SP) Calcule t, V, X, ye Z, sabendo que a // b // a 8 6 7 Z b 12 t V y C 4 3 u d 24 Calcule X, sabendo que BC//MN. a) B C b) A 2y 10 X 2 M N M N 1 1 3y X 2 1 4 2 A 25 Esta planta representa dois terrenos. As divisas laterais são perpendiculares à rua. Quais as me- didas das frentes dos terrenos que dão para a avenida, sabendo-se que a frente total para essa avenida é de 90 metros? Rua 30 m 45 m 1 2 y Avenida 111</p><p>Testes de revisão 26 (Saresp) Joana quer dividir um segmento 29 (Cesgranrio-RJ) As retas r, e r3 são para- AB em 5 partes iguais. Traçou então uma lelas e os comprimentos dos segmentos semirreta, a partir de A, fazendo um ângu- de transversais são indicados na figura. lo agudo com AB. Também a partir de A, Então é igual a: marcou na semirreta 5 pontos distantes igualmente um do outro: P, P4 e r, 1 Ligou a B e traçou paralelo a X 1 5 Concluiu então, corretamente, que C A B 15 3 P1 P2 P3 r3 P4 P5 a) 6 a) AC é igual a 8 15 b) AC é a metade de AB. b) d) 5 2 c) AC é a quarta parte de AB. d) AC é a quinta parte de AB. 30 (Saresp) Três terrenos têm frentes para a rua A e fundo para a rua B, como na fi- 27 (Saresp) Valdemar tem um terreno na for- gura. As divisas laterais são perpendicu- ma de um trapézio. Um riacho paralelo à lares à rua A. Sabendo-se que a soma das estrada em que se situa divide o terreno em medidas dos fundos desses terrenos é duas partes, como mostra a figura abaixo. 180 m, qual é a medida do fundo de cada Estrada terreno? 60 m Riacho 20 m Ele já cercou quase todo limite externo do terreno e só falta o trecho X, cuja medi- da em metros é: a) 15 c) 36 b) 20 d) 45 28 (Cefet-SP) Dois lotes estão representados na figura abaixo. Calcule as medidas de frente para a rua R de cada um dos terrenos, res- pectivamente. R 40 m 20 30 m Rua A P a) 15 m e 26 m c) 22 m e 33 m a) 60 m, 90 m, 30 m c) 70 m, 50 m, 60 m b) 21 m e 32 m d) 23 m e 34 m b) 65 m, 65 m, 50 m d) 80 m, 60 m, 40 m 112</p><p>CAPÍTULO 14 SEMELHANÇA DE Ampliação e redução Quando duas figuras são semelhantes, podemos dizer que são congruentes ou então que uma delas é ampliação ou redução da outra. A B As figuras A e são semelhantes e congruentes. dos : Eudocimus ruber Eudocimus P Q As figuras P e Q são semelhantes. A figura P é ampliação da figura A figura Q é redução da figura P . Figuras semelhantes congruentes ampliação redução 113</p><p>Construção de figuras semelhantes usando quadriculado Observe as figuras: A D D C As figuras A e são semelhantes. 2 4 = 3 6 Logo, seus lados são proporcionais e seus retângulos são semelhantes. As figuras A e não são 2 4 3 5 Logo, seus lados não são proporcionais e seus retângulos não são semelhantes. Exercícios de fixação 1 As figuras seguintes são semelhantes. Calcule os comprimentos indicados (a unidade usada é o centímetro). y 6 6 X 5 7,5 2 Na bandeira nacional, se dividirmos o comprimento pela altura, o resultado será sempre 10 Qual deve ser a altu- 7 ra de uma bandeira de 6 m de com- primento? 3 Lídia ampliou uma fotografia de seus dois filhos para fazer um pôster. A fotografia original era um retângu- lo de 15 cm 8 cm. A ampliação foi de Quais são as dimensões da 8 cm fotografia ampliada? 15 cm 114</p><p>Noção de semelhança de triângulos Observe os triângulos ABC e RST da figura: R AB é paralelo a RS. A BC é paralelo a ST. cm AC é paralelo RT. B S 8 cm T Comparando esses dois triângulos, é possível perceber que eles têm a mesma forma, sendo um deles ampliação ou redução do outro. Em geometria, dizemos que eles são triângulos semelhantes. Assim: Dois triângulos são semelhantes quando têm: os ângulos respectivamente congruentes; os lados correspondentes proporcionais. São os lados opostos ao mesmo ângulo. A razão de semelhança do menor triângulo para maior é: 3 = 4 = 3,5 ou seja 1 razão de semelhança 6 8 7 2 Se a razão de semelhança de dois triângulos é igual a 1, esses triângulos são congruentes. Exercício resolvido Determine y, sabendo que os triângulos são semelhantes. R A 6 y 3 4 B 5 C S T Solução: Os triângulos são semelhantes: X y 6 = = 5 4 3 Então: 6 = 3x = 30 y = 6 3y = 24 5 3 4 3 30 3 3 y=8 115</p><p>Exercícios de fixação 4 Determine e y, sabendo que os triângulos são semelhantes: a) S b) S 4 8 15 X X r y 3 y 3 . 4 12 7,5 5 Um edifício projeta uma sombra de 10 m, e um poste de 12 m projeta uma sombra de Qual é a altura do edifício, sabendo que ele e o poste são perpendiculares ao solo? 4 m 10 m 6 Determine X e y, sabendo que os triângulos são semelhantes. a) A b) A F 6 7 F 3 y 30 15 18 360 G H B 8 1 G y H B 24 7 Paulo tem 1,50 m de altura e o comprimento da sua sombra mede 1,25 m, conforme observamos na ilustração. Calcule e complete a tabela com a medida da sombra de alguns dos amigos do Paulo no mesmo dia e à mesma hora. 1,50 m Paulo 1,25 m Pedro Lúcio Medidas das alturas Medidas das sombras Paulo 1,50 m 1,25 m Pedro 1,68 m Lúcio 1,80 m 116</p>