Progressões Aritméticas

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Disciplina: Matemática
TÓPICO 12: Progressões
P rogressões são sequências numéricas orde-
nadas que obedecem a certas regras de for-
mação. As progressões abordadas nesse ma-
terial serão as progressões aritméticas e geométri-
cas.
1 Progressões Aritméticas
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de
números cuja diferença entre um termo e seu anteces-
sor é uma constante. A essa constante dá-se o nome
de razão (r).
As principais representações utilizadas em uma PA
são:
• An: Sequência dos termos
• an: Enésimo termo (termo geral)
• r : Razão da PA
• Sn: Soma dos n primeiros termos
Por exemplo, na PA (2; 5; 8; 11; 14) temos os seguin-
tes parâmetro:
• An = (2; 5; 8; 11; 14)
• a1 = 2, a2 = 5, a3 = 8, a4 = 11, a5 = 14
• r = 3
• S5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40:
1.1 Classificações de uma PA
As progressões aritméticas podem ser classificadas
quanto a sua monotonicidade. Uma PA é dita:
• Crescente, se cada termo for maior que seu ante-
rior, ou seja, r > 0. Exemplo: (−3; 0; 3; 6; . . . )
• Decrescente, se cada termo for menor que seu an-
terior, ou seja, r < 0. Exemplo:(3; 1;−1;−3;−5)
• Constante, se cada termo for igual ao seu anterior.
Neste caso, r = 0. Exemplo: (5; 5; 5; . . . )
As progressões aritméticas podem também ser clas-
sificadas quanto ao número de termos. Uma PA é dita:
• Finita, se tem um número finito de termos. Exem-
plo: (9; 9− 1
2
; 8; 8− 1
2
)
• Infinita, se tem um número infinito de termos.
Exemplo: (1; 1 +
√
2; 1 + 2
√
2; . . . )
1.2 Fórmula do termo geral
Considerando a sequência (a1, a2, a3, . . . , an, . . . )
como uma PA de razão r, podemos escrever:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
...
an−1 = an + r
an = an−1 + r
Somando membro a membro as n − 1 equações,
temos:
a2 + a3 + · · ·+ an−1 + an =
= (a1 + r) + (a2 + r) + · · ·+ (an + r) + (an−1 + r)
Efetuando as simplificações que decorrem, obtemos a
fórmula do termo geral de uma PA:
an = a1 + (n− 1) · r
Com essa fórmula podemos encontrar qualquer um
dos elementos da sequência, dada sua posição.
Exemplo: Determine o vigésimo termo da PA:
(3; 7; 11; 15; . . . ) Solução:
a20 = a1 + (20− 1) · r = 3 + 19 · 4 = 79
Exemplo: Sabendo que para uma certa PA a4 = 18 e
a8 = 30, determine a15.
TÓPICO 12: Progressões
Solução:
a4 = a1 + 3 · r = 18
a8 = a1 + 7 · r = 30 ∴
a8 − a4 = a1 + 7 · r − (a1 + 4 · r) = 4r
r =
a8 − a4
3
=
30− 18
4
∴ r = 3
a15 = a1 + 14 · r = a1 + 7 · r + 7 · r = a8 + 7 · r
a15 = 30 + 7 · 3 = 51
1.3 Soma dos n primeiros termos
Antes de encontrar a fórmula da soma dos n primei-
ros termos, é importante destacar uma propriedade
comum a todas as progressões aritméticas. Dois ter-
mos de uma PA são ditos equidistantes dos extremos
quando o número de termos que precede um deles
é igual ao número de termos que segue o outro. Por
exemplo: na PA (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29), os nú-
meros 5 e 26, 8 e 23, 11 e 20, 14 e 17, são equidistantes
dos extremos 2 e 29. Note que se fizermos a soma
de cada um desses pares de números, o resultado é
sempre igual a 31.
De forma geral, a soma dos termos equidistan-
tes dos extremos é igual à soma dos extremos. De
forma geral:
a1 + an = a2 + an−1 = a3 + an−2 = · · · = a1 + an−1
Assim, se denotarmos a soma dos n primeiros termos
por Sn, obtemos:
Sn = a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an (I)
ou
Sn = an + an−1 + · · ·+ a2 + a1 (II)
Somando membro a membro as igualdades (I) e (II),
obtemos:
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an−1) + . . .
· · ·+ (a2 + an−1) + (a1 + an)
∴ 2Sn = n · (a1 + an)
Assim, a soma dos n primeiros termos é dada por:
Sn =
n · (a1 + an)
2
1.4 Interpolação Aritmética
Designamos por meios aritméticos os termos situa-
dos entre dois termos não consecutivos de uma PA. In-
terpolar k termos entre dois números A e B é o mesmo
que construir uma PA com k + 2 termos cujo primeiro
termo é A e o último é B. A interpolação consiste, por-
tanto, em se determinarem os termos intermediários e
a razão da PA formada. Ou seja :
A = a1, B = an, n = k + 2 ∴
B = A+ (k + 2− 1) · r ∴
r =
B −A
k + 1
Definida a razão r, é trivial encontrar qualquer dos
meios aritméticos utilizando a fórmula do termo geral.
1.5 Exercı́cios
Exercício 1
Obter uma PA decrescente com 5 termos cuja
soma dos termos é -10 e a soma dos quadrados
é 69
RESOLUÇÃO: Escrevendo a PA da seguinte
forma: (a− 2r; a− r; a; a+ ra+ 2r) .
S5 = (a− 2r) + (a− r) + a+
+ (a+ r) + (a+ 2r) = 5a
5a = −10 ∴ a = −2
Denotando por S2
5 a soma dos quadrados dos
termos, podemos escrever:
S2
5 = (−2− 2r)2 + (−2− r)2 + (−2)2+
+ (−2 + r)2 + (−2 + 2r)2 ∴
S2
5 = (4 + 4r + 4r2) + (4 + 2r + r2) + 4+
+ (4− 2r + r2) + (4− 4r + 4r2) ∴
S2
5 = 20 + 10r2 = 69 ∴ r2 = 49 ∴
r = ±7
Dessa forma podemos temos as seguintes PA’s
((−16); (−9);−2; (5); (12))
ou
((12); (5);−2; (−9); (−16))
Exercício 2
Qual a soma dos múltiplos de 11 compreendi-
dos entre 100 e 10000?
RESOLUÇÃO: Começamos encontrando o
menor múltiplo de 11 maior que 100 (a1) e o
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maior múltiplo de 11 menor que 10000 (an).
Podemos fazer isso escrevendo esses números
em termos de múltiplos de 11:
100 = 9 · 11 + 1
10000 = 909 · 11 + 1
∴ a1 = 9 · 11 + 11 = 110
e an = 909 · 11 = 9999
Em seguida, utilizamos a fórmula do termo ge-
ral para encontrar o número de termos da PA
de razão 11, com a1 = 110 e an = 99999.
an = a1 + (n− 1) · r ∴
9999 = 110 + (n− 1) · 11 ∴
n =
9999− 110
11
+ 1
n = 900
Ou seja, temos 900 múltiplos de 11 entre 100
e 10000.
Exercício 3
Insira n meios aritméticos entre 1 e 2n. Deter-
mine a razão da PA.
RESOLUÇÃO: Inserir n meios aritméticos equi-
vale a construir uma PA com n+2 termos. Para
isso podemos usar a fórmula para a razão em
interpolação aritmética:
a1 = 1 an+2 = 2n
r =
2n− 1
n+ 1
Podemos construir a PA da seguinte forma:
(1; 1 +
2n− 1
n+ 1
; 1 + 2 · 2n− 1
n+ 1
; · · · ; 2n)
Problema 1
(UFRJ) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua
inabalável paciência, deseja bater o recorde
mundial de construção de castelo de cartas. Ele
vai montar um castelo na forma de um prisma
triangular no qual cada par de cartas inclina-
das que se tocam deve estar apoiado em uma
carta horizontal, excetuando-se as cartas da
base, que estão apoiadas em uma mesa. A fi-
gura a seguir apresenta um castelo com três
níveis.
Num Ka Kay quer construir um castelo com 40
níveis. Determine o número de cartas que ele
vai utilizar
(a) 2460
(b) 1230
(c) 4840
(d) 2420
(e) 4920
RESOLUÇÃO: Note que cada nível tem 3 cartas
a mais que o nível logo acima, de tal maneira
que o número de cartas em cada nível formam
uma progressão aritmética de razão r = 3 e
termo inicia a1 = 3 e número de termos n = 40
onde a1 é o nível mais alto e a40 o nível mais
baixo.
Primeiro devemos calcular o último termos
(a40).
a40 = a1 + (n− 1) · r = 3 + (40− 1) · 3 ∴
a40 = 120
Agora podemos calcular o total de cartas utili-
zando a fórmula da soma nos n primeiros ter-
mos.
S40 =
(a1 + an) · n
2
=
(3 + 120) · 40
2
∴
S40 = 2460
Entretanto a base do castelo não precisa de car-
tas base para se apoiar, então devemos subtrair
tais cartas. Note que seriam 120 cartas na base
se para cada duas cartas apoiadas utilizássemos
outra carta como base, mas é necessário sub-
trair um terço das cartas da base, ou seja, 40
cartas. Assim o total de cartas no castelo é:
2460− 40 = 2420
Resposta: Letra (d).
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Problema 2
(Fuvest) 500 moedas são distribuídas entre
três pessoas A, B e C, sentadas em círculo, da
seguinte maneira: A recebe uma moeda, B
duas, C três, A quatro, B cinco, C seis, A sete, e
assim por diante, até não haver mais moedas
suficientes para continuar o processo. A pessoa
seguinte, então, receberá as moedas restantes.
(a) Quantas foram as moedas restantes e quem
as recebeu? (Deixe explícito como você
obteve a resposta.)
(b) Quantas moedas recebeu cada uma das
três pessoas?
RESOLUÇÃO: O número de moedas distribuído
até a n-ézima vez que moedas são dadas é
dado pela somada PA (1, 2, 3,...,n).
Sn =
(1 + n)n
2
(fórmula da soma dessa PA)
500 =
(1 + n)n
2
∴ n2 + n− 100 = 0
n = 31, 126oun = −32, 126
O número de termos n é inteiro e positivo, por-
tanto devemos adotar o número inteiro anterior
à 31,126. No caso n=31. Agora calculando o
número de moedas distribuídas em n=31.
S31 =
(1 + a31)31
2
=
(1 + 1 + (31− 1)31
2
= 496
Ou seja, sobraram 500-496= 4 moedas. Note
que em 30 rodadas todos receberam moedas
10 vezes, então na 31 quem recebe é A e na
próxima seria B, entretanto não há moedas su-
ficientes. Portanto quem recebe o resto de 4
moedas é B.
Note que o número de moedas que A recebe é
1+4+7+... e que se foram 31 rodadas, nesse
caso A recebeu 11 vezes. Assim o número de
moedas que A possui é dado pela soma dos 11
primeiros números da PA (1, 4, 7,...).
SA =
(1 + 1 + (11− 1)3)11
2
= 176
A recebe 176 moedas
Analogamente para C, o número de moedas
será dado pelos 10 primeiros termos da PA (3,
6, 9,...)
SC =
(3 + 3 + (10− 1)3)10
2
= 165
C recebe 165 moedas
B recebe 500 -165 -176 = 159 Respostas: a) B
recebe o resto de 4 moedas. b) A=176, B=159
e C=165 moedas.
Problema 3
(Unesp) As medidas dos lados de um triângulo
retângulo formam uma progressão aritmética
crescente de razão r
(a) Mostre que as medidas dos lados do tri-
ângulo, em ordem crescente, são 3r, 4r e
5r.
(b) Se a área do triângulo for 48, calcule r
RESOLUÇÃO: Denotando por a-r, a, a+r as
medidas dos lados do triângulo, e assumindo r
> 0 podemos aplicar o teorema de Pitágoras.
(a+ r)2 = (a− r)2 + a2 ∴
��a
2 + 2ar +��r
2 = ��a
2 − 2ar +��r
2 + a2 ∴
4ar = a2 ∴
a = 0
absurdo, a é lado de um triângulo, então
a = 4r ∴ os lados são: (3r; 4r; 5r)
A área de um triângulo retângulo é a metade
do produto dos catetos.
48 =
3r · 4r
2
= 6r ∴ r = 6
Resposta: r=6
2 Progressões Geométricas
Uma progressão geométrica é uma sequência de
números reais não-nulos em que, a partir do segundo
termo, o quociente entre cada termo e seu antecessor
é uma constante. A essa constante dá-se o nome de
razão (q).
Exemplo: Verificar se as seguintes sequências são
progressões geométricas:
a) (1, 3, 9, 27, 81)
b) (2, 4, 8, 10)
Solução:
a) A sequência é uma PG de razão q = 3, pois:
3
1
=
9
3
=
27
9
=
81
27
= 3 =⇒ q = 3
b) A sequência não é uma PG, pois, apesar de 4
2
=
8
4
= 2, temos 10
8
6= 2.
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2.1 Classificações de uma PG
As progressões geométricas podem ser classificadas
quanto ao número de termos. Uma PG é dita:
• Finita, se possuir uma quantidade limitada de
termos. Exemplo: (1; 3; 9; 27)
• Infinita, se possuir uma quantidade infinita de
termos. Exemplo: (a; a · b; a · b2; a · b3; . . . )
Também podemos classificar as progressões quanto à
monotonicidade. Uma PG é dita:
• Crescente, se cada termo for maior que seu
antecessor. Isso pode ocorrer de duas maneiras:
– Caso os termos sejam positivos e q > 1.
Exemplo: (3; 6; 12; 24; 48)
– Caso os termos sejam negativos e 0 < q < 1.
Exemplo: (−10;−2; −25 ; −225 ; . . . )
• Decrescente, se cada termo for menor que seu
anterior. Isso pode ocorrer de duas maneiras:
– Caso os termos sejam positivos e 0 < q < 1.
Exemplo: (2; 1; 1
2 ;
1
4 ;
1
8 )
– Caso os termos sejam negativos e q > 1.
Exemplo: (−2;−6;−18;−54;−162; . . . )
• Constante, se cada termo for igual ao seu an-
tecessor. Isso ocorre quando q = 1. Exemplo:
(3; 3; 3; 3; 3)
• Alternante, se os termos alternam o sinal. Neste
caso q < 0. Exemplo: (2;−6; 18;−54; 162; . . . )
Casos especiais: alguns casos requerem especial
atenção por não se enquadrarem em nenhum dos
casos previamente citados. São eles:
• PG nula, quando todos os termos são nulos.
Neste caso, a sequência é dita constante e de
razão indeterminada. Exemplo: (0; 0; 0; 0; . . . )
• PG de razão nula e termo inicial não nulo.
Neste caso, a sequência não tem monotonicidade,
ou seja, não é crescente, decrescente ou constante.
Exemplo: (8; 0; 0; 0; . . . )
2.2 Fórmula do termo geral
Considerando a sequência (a1, a2, a3, . . . , an, . . . )
como uma PG de razão q, podemos escrever:
a2 = a1 · q
a3 = a2 · q
...
an = an−1 · q
Multiplicando membro a membro essas n−1 equações,
obtemos:
a2 · a3 · ... · an−1 · an = a1 · a2 · ... · an−1 · qn−1
Efetuando as simplificações possíveis, obtemos a fór-
mula do termo geral de uma PG:
an = a1 · qn−1
Exemplo: Dermine a fórmula do termo geral da PG:
(
1
3
; 1; 3; 9; 27 · · · )
Solução: Primeiramente, encontramos a razão q,
dividindo um termo qualquer por seu antecessor. Em
seguida, utilizamos a fórmula para termo geral:
q =
3
1
= 3
an = a1 · qn−1 =
1
3
· 3n−1
Exemplo: Encontrar o décimo termo da PG:
(5; 10; 20; 40; · · · )
Solução:
q =
10
5
= 2
a10 = a1 · qn−1 = 5 · 210−1
a10 = 5 · 29 = 2560
2.3 Interpolação Geométrica
Similar ao que acontece com uma PA, podemos in-
serir k termos entre dois números A e C, de mesmo
sinal, formando assim uma PG com k+2 termos e cujos
extremos são A e C. A interpolação geométrica consiste
em encontrar a razão q da PG.
Consideremos então: A = a1, C = an, n = k + 2 as-
sim, utilizando a fórmula do termo geral encontramos:
C = Aqk+2−1 ∴ q =
k+1
√
C
A
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Exemplo: Interpolar 3 meios geométricos entre 2 e
162.
Solução: nesse exemplo k = 3 A = 2 e C = 162,
então:
q =
3+1
√
162
2
= 3 ∴
An = (2; 6; 18; 54; 162)
Exemplo: Inserir 2 meios geométricos entre 3 e 21.
Solução: Para esse exemplo k = 2, A = 3 e C = 21:
q =
2+1
√
21
3
=
3
√
7 ∴
An = (3; 3 · 3
√
7; 3 · ( 3
√
7)2; 21)
2.4 Soma dos termos de uma PG finita
Vamos agora considerar a soma dos n primeiros
termos de uma PG com razão não nula e diferente de
1 denotada por Sn
Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an ∴
Sn · q = a1 · q + a2 ·+a3 · q + . . . an · q ∴
Sn · q = a2 + a3 + a4 + · · ·+ an + an+1
Subtraindo a terceira equação da primeira e fazendo
as simplificações que decorrem, obtemos:
Sn − Sn · q = a1 − an+1 ∴
Sn · (1− q) = a1 − an+1
Aplicando a fórmula do termo geral para an+1 e iso-
lando Sn, obtemos a fórmula da soma dos n primeiros
termos dada por
Sn =
a1 · (1− qn)
1− q
2.5 Soma dos termos de uma PG infi-
nita (|q| < 1)
Para uma PG com razão q, em que |q| < 1, a soma de
seus infinitos termos é um número finito. Isso acontece
pois os termos vão se tornando cada vez menores em
módulo, de tal forma que sua soma se aproxima cada
vez mais de um dado valor. Voltando à fórmula da
soma dos n primeiros termos:
Sn =
a1 · (1− qn)
1− q
Se n tender ao infinito (n→∞), qn tenderá a zero
(qn → 0) e a soma Sn tenderá ao valor dado por:
Sn =
a1
1− q
FIQUE LIGADO
É importante notar que a fórmula da soma de in-
finitos termos de uma PG de razão com módulo
menor que um também é válida para razões
negativas. Como citado no exemplo a seguir
Exemplo: Calcule a soma da PG infinita com pri-
meiro termo a1 = 1 e razão q = − 1
2 .
Solução: Note que é uma PG com razão com mó-
dulo menor que um. Então podemos realizar a soma
infinita pela fórmula.
S =
a1
1− q
=
1
1− (− 1
2 )
=
2
3
S =
2
3
2.6 Propriedades da PG
Todas as progressões geométricas satisfazem
algumas propriedades, a saber:
• Cada termo a partir do segundo é a média geomé-
trica entre seu termo antecessor e sucessor. Desse
modo:
an = ±√an−1 · an+1
Exemplo: Seja a PG (5; 10; 20; 40; 80; · · · ):
√
20 · 80 =
√
1600 = 40
ou
√
5 · 20 =
√
100 = 10
É necessário observar o sinal que os termos da
sequência seguem para a escolha do sinal correto
para o radical (nesse caso, positivo).
• Em uma PG finita, o produto de dois termos equi-
distantes dos extremos é igual ao produto dos
extremos. Desse modo:
ai · an−i = a1 · an
Exemplo: Dada a PG ( 12 ; 1; 2; 4; 8; 16; 32), pode-
mos notar que:
1
2
· 32 = 1 · 16 = 2 · 8 = 4 · 4
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FIQUE LIGADO
Em alguns exercícios trabalharemos com o
produto dos termos de uma PG. Nesses casos
pode se tornarconveniente escrever a PG da
seguinte maneira:
Para um número ímpar de termos:
(· · · ; a
q2
;
a
q
; a; aq; aq2; · · · )
Para um número par de termos:
(· · · ; a
q
3
2
;
a
q
1
2
; aq
1
2 ; aq
3
2 ; · · · )
Dessa forma, quando efetuarmos o produto dos
termos, as parcelas em que a razão aparece irão
se cancelar. Isso é útil quando o produto dos
termos é conhecido mas não conhecemos os
termos e/ou a razão.
Exemplo: Sabendo que o produto de 5 termos con-
secutivos de uma PG é 243 e que o primeiro termo é 1
3
determine todos os termos.
Resolução: Denotaremos por P5 o produto desses 5
termos:
An = (· · · ; a
q2
;
a
q
; a; aq; aq2; · · · ) ∴
Pn =
a
��q
2
· a
�q
· a · a�q · a��q
2 = a5 ∴
243 = a5 ∴ a =
5
√
243 = 3
a1 =
a
q2
∴
1
3
=
3
q2
∴ q = ±3
An = (
1
3
; 1; 3; 9; 27)
ou
An = (
1
3
; −1; 3; −9; 27)
2.7 Exercı́cios
Exercício 4
A soma dos termos de uma PG de cinco termos
reais é 186, sendo a soma dos termos de ordem
par, 60. Determine os termos dessa progressão.
RESOLUÇÃO: Seja (a) o termo central (a3) po-
demos reescrever;
a · ( 1
q2
+
1
q
+ 1 + q + q2) = 186 (1)
a · (1
q
+ q) = 60 (2)
Dividindo a primeira equação pela se-
gunda,vem:
1
q2 + 1
q + 1 + q + q2
1
q + q
=
31
10
fazendo y = q +
1
q
, temos:
q2 +
1
q2
= y2 − 2 ∴
1
q2 + 1
q + 1 + q + q2
1
q + q
=
31
10
=
=
y2 + y − 1
y
=
31
10
∴
y1 = −2
5
, y2 =
5
2
.
Mas y1 nos oferece q não reais, o que não é
aceitável. A raiz y2 nos oferece q = 2 ou q = 1
2 .
Utilizando y2 na equação (2) :
a · y2 =
31
10
∴ a = 24
Substituindo encontramos (6; 12; 24; 48; 96)
ou (96; 48; 24; 12; 6)
Resposta: (6; 12; 24; 48; 96) ou (96; 48; 24;
12; 6)
Exercício 5
Um quadrado de Área A é dividido em quatro
partes e tem uma dessas partes é pintada de
verde, em seguida, um dos quadrados em
branco é partido em quatro e tem uma de suas
partes pintadas de verde (conforme a figura).
Se o processo se repetir infinitamente qual será
o total de área verde dentro do quadrado?
RESOLUÇÃO: Se o quadrado inicial tem área
A, então o primeiro quadrado verde que foi
pintado tem área A/4. Da mesma forma, cada
quadrado verde terá uma área que corresponde
a um quarto do quadrado verde anterior. Assim
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TÓPICO 12: Progressões
as áreas verdes formam uma PG de razão 1/4
e termo inicial A/4. Podemos agora calcular
o total de área verde através da soma dos
infinitos termos dessa PG.
Averde =
a1
1− q
=
A
4
1− 1
4
Averde =
A
3
Resposta: A
3
Problema 4
(Unicamp-Adaptada) Considere uma progres-
são geométrica de termos não-nulos, na qual
cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma
dos dois termos imediatamente anteriores.
Calcule os dois valores possíveis para a razão q
dessa progressão.
RESOLUÇÃO: Três termos consecutivos quais-
quer devem satisfazer a condição do problema
dada por:
an = an−1 + an−2
a1q
n−1 = a1q
n−2 + a1q
n−3
dividindo ambos os membros por a1qn−3 :
q2 = q + 1 ∴ q2 − q − 1 = 0
q =
1±
√
5
2
Resposta: q = 1±
√
5
2
3 Lista de Exercı́cios
Alguns dos exercícios apresentados na lista abaixo,
bem como alguns resolvidos nesta aula, foram retira-
dos de Lopes, 1998; Bianchini e Paccola, 1993 e do
site Projeto Medicina. Outros problemas foram retira-
dos diretamente dos cadernos de prova dos referidos
vestibulares.
1. Qual é o centésimo primeiro termo de uma PA
cujo primeiro termo é 107 e a razão é 6?
2. Qual é a posição do termo 109 em uma PA de
razão 3, cujo primeiro termo é igual a 10?
3. Calcule 31º termo da sequência (4, 7, 10, ... )
4. (UNESP) Um estacionamento cobra R$1,50
pela primeira hora. A partir da segunda, cujo
valor é R$1,00 até a décima segunda, cujo
valor é R$ 0,40,os preços caem em progressão
aritmética. Se um automóvel ficar estacionado 5
horas nesse local, quanto gastará seu proprietário?
5. (UEL) Numa progressão aritmética de primeiro
termo 1/3 e razão 1/2, a soma dos n primeiros
termos é 20/3. O valor de n é?
6. (UFRS) As medidas dos três lados de um triângulo
retângulo são números em progressão aritmética.
Qual o valor da área do triângulo, sabendo-se que
o menor lado mede 6 cm?
7. (PUC-PR) Um balão viaja a uma altitude de
cruzeiro de 6600 m. Para atingir esta altitude,
ele ascende 1000 m na primeira hora e, em cada
hora seguinte, sobe uma altura 50 m menor que
a anterior. Quantas horas leva o balonista para
atingir a altitude de vôo?
8. (UFRJ) Em uma PA não constante de 7 termos,
com termo médio igual a 6, os termos a2, a4 e a7,
nesta ordem, formam uma PG. Determine esta PA.
9. (UFSM) Numa progressão aritmética crescente,
os dois primeiros termos são as raízes da equação
x2 + 2x − 8 = 0. Sabendo que o número de
termos dessa P.A. é igual ao triplo da sua razão.
Qual o valor da soma dos termos dessa PA?
10. (FEI) (a, 2a, a2, b) formam, nessa ordem, uma
progressão aritimética estritamente crescente.
Qual o valor de b?
11. A soma de quatro termos consecutivos de uma PA
é -6 e o produto do primeiro deles pelo quarto é
-54. Determine esses termos.
12. (UEPG) Assinale o que for correto:
01) As raízes da função f(x) = x2 − 3x − 4 são
os dois primeiros termos de uma P.A. decrescente.
Então, o terceiro termo dessa P.A. vale 15.
02) A sucessão (s , 2s , 3s, ...) com s 6= 0 , é uma
P.G. crescente.
04) A razão da P.G. (ex, e2x, e3x, ...) é ex.
08) Numa P.A. de número ímpar de termos, o
primeiro termo é 3 e o último termo é 27. Assim,
o termo médio dessa P.A. vale 15.
16) A razão da P.A. (log 4, log 12, log 36, ...) é log 3.
13. (UFSC) Sejam an uma progressão geométrica e
bn uma progressão aritmética cuja razão é 3/10
da razão da progressão geométrica an. Sabendo
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TÓPICO 12: Progressões
que a1 = b1 = 2 e que a2 = b7 calcule a soma
b1 + b2 + · · ·+ b7
14. (Fuvest) Uma progressão geométrica tem pri-
meiro termo igual a 1 e razão igual a
√
2. Se o
produto dos termos dessa progressão é 239, então
o número de termos é igual a:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
15. A soma de três números em PG é 19. Subtraindo-
se 1 ao primeiro eles passam a formar uma PA.
Calcule-os.
16. (UFPR) Considere as progressões geométricas nas
quais an indica o n-ésimo termo, sendo a3 = 8 e
a5 = 32. É correto afirmar que:
01) A razão de cada uma dessas progressões é 4.
02) Todos os termos dessas progressões são
necessariamente positivos.
04) O primeiro termo de cada uma dessas
progressões é 1.
08) Se i > 0 é a razão de uma das progressões
geométricas, os números logb a1 , logb a3 e logb a5
formam, nesta ordem, uma progressão aritmética.
17. (UDESC) Numa Progressão Aritmética de termos
diferentes e positivos, o 1º termo, o 5º termo e o
21º termo formam, nesta ordem, uma Progressão
Geométrica. Encontre a razão desta PG.
18. (UFRS) Na seqüência de figuras, cada quadrado
tem 1 cm2 de área. Supondo que as figuras
continuem evoluindo no mesmo padrão aqui
encontrado, a área da figura 20 terá valor:
a) entre 0 e 1000
b) entre 1000 e 10.000
c) entre 10.000 e 50.000
d) entre 50.000 e 100.000
e) maior que 100.000
19. (Ufv) Na sequência de quadrados representada
nas figuras a seguir, cada novo quadrado tem seus
vértices nos pontos médios do quadrado que o
antecede. Se o perímetro do primeiro quadrado
é P e supondo que essa sequência continue
indefinidamente, calcule o perímetro:
a) do terceiro quadrado;
b) do n-ésimo quadrado;
c) de todos os infinitos quadrados, somados.
20. (UFSC) Sabendo que a sequência (1-3x, x-
2,2x+1) é uma P.A. e que a sequencia (4y, 2y-1,
y+1) é uma P.G., determine a soma dos números
associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. A P.A. é crescente.
02. O valor de y é 1/8.
04. A soma dos termos da P.A. é zero.
08. -3/2 é a razão da P.G.
16. O valor de x é 2.
21. Determine a razão da PG infinita cujo primeiro
termo é 1 e cada termo é igual a soma de todos
os termos que o sucedem.
A DESAFIO A
Num exame era pedida a soma dos cinco termos de
uma PG crescente, sendo dados o primeiro e o último.
Um aluno aplicou, erradamente, a fórmulada soma
dos termos de uma PA e achou um valor 6,5 a mais que
o valor verdadeiro (S5 + 6, 5). Sabendo que seu termo
médio é 1, determine o valor da razão da PG.
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4 Respostas dos Exercı́cios
RESPOSTAS
1. a100 = 707
2. n=34
3. a31 = 94
4. R$ 5,14
5. 05
6. 24cm2
7. 8h
8. (3;4;5;6;7;8;9)
9. 846
10. 12
11. (-9;-4;1;6)
12. 28
13. 35
14. b
15. (4;6;9) ou (9;6;4)
16. 08
17. 4
18. e
19. P3 = P
2 , Pn = P√
2n−1
, SP = P (2 +
√
2)
20. 01+02+04+08+16=31
21. q = 1
2
COLABORADORES DESTA AULA
• Texto:
Henrique Bonafé Takamori
James S. Eger
• Diagramação:
Henrique Bonafé Takamori
James S. Eger
• Revisão:
James S. Eger
Referências Bibliográficas
Bianchini, E. e H. Paccola (1993). Curso de Matemática
- volume único. Vol. 1. São Paulo: Editora Moderna.
Lopes, L. (1998). Manual de Progressões. Vol. 1. Rio de
Janeiro: Interciência.
Sousa, Júlio. Projeto Medicina. url: https :
/ / projetomedicina . com . br / materia /
progressoes/ (acesso em 11/11/2020).
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