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LIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
9.° ANO - LIVRO 1
ENSINO FUNDAMENTAL
SAE DIGITAL S/A
Curitiba
2021
SAE DIGITAL S/A
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 1 16/09/2020 14:14:26
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Diretoria editorial Lucélia Secco
Gerência editorial Tassiane Aparecida Sauerbier
Coordenação editorial Ednei Leite de Araújo
Edição Eliane Peixoto de Lima, Rodrigo Zeni Stocco 
Revisão Everson de Lara Caetano, Gabriele Varão, Juliana Basichetti Martins, Priscila Sousa, Thainara Gabardo, 
Victor Truccolo
Coordenação de qualidade -
Qualidade Brunno Freire, Igor Spisila, Mariana Chaves
Cotejo Anna Karolina de Souza, Ludmilla Borinelli, Rafaella Ravedutti, Wagner Revoredo
Supervisão de produção visual Jéssica Suelen de Morais
Iconografia Jhennyfer Pertille
Cartografia Júlio Manoel França da Silva
Ilustrações Carlos Morevi, Deny Machado, Scarllet Anderson
Arte da capa Deny Mayer Machado | Catay/Shutterstock/PIUS OTOMI EKPEI/AFP via Getty Images
Projeto gráfico Gustavo Ribeiro Vieira
Diagramação André Lima, Gustavo Ribeiro Vieira, Jéssica Xavier de Carvalho, Luana Santos, Luisa Piechnik Souza, 
Ralph Glauber Barbosa, Raphaela Candido, Silvia Santos, Thaísa Werner, Thiago Figueiredo Venâncio
Coordenação de Processos Janaina Alves
Processos Janio Lima, Raul Jungles, Vitor Ribeiro
Autor José Wilson Cardoso, Márcia Martins Romeira Sakai, Rosenilda de Souza Nagata, Ednei Leite de Araujo
Coordenação pedagógica Cristiane Sliva, Jardiel Loretto Filho
© 2021 – SAE DIGITAL S/A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do deten-
tor dos direitos autorais.
Todos os direitos reservados.
SAE DIGITAL S/A. 
R. João Domachoski, 5. CEP: 81200-150 
Mossunguê – Curitiba – PR 
0800 725 9797 | Site: sae.digital 
Catalogação na Publicação (CIP)
Ensino Fundamental : Matemática : 9.o ano: livro 1 : professor – 1. ed. – 
Curitiba, PR : SAE Digital S/A, 2020.
112 p.
ISBN: 978-85-535-1120-4
1. Ensino Fundamental. 2. Matemática. 3. Educação. 
I. Título.
 CDD: 510
  CDU: 501:371.1
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1. Pilares pedagógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .VI
2. Ensino Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII
3. Conheça o material do SAE Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
4. Pressupostos teórico -metodológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVIII
5. Programação anual de conteúdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XVII
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Fruir e participar de práticas 
diversificadas da produção 
artístico-cultural.
Tomar decisões com base em princípios 
éticos, democráticos, inclusivos, 
sustentáveis e solidários.
Investigar causas, elaborar e testar 
hipóteses, formular e resolver 
problemas e criar soluções.
Entender e explicar a realidade, 
continuar aprendendo e 
colaborar com a sociedade.
Comunicar-se, acessar e 
produzir informações e 
conhecimentos, resolver 
problemas e exercer 
protagonismo e autoria.
Cuidar de sua saúde física e emocional, 
reconhecendo suas emoções e as dos 
outros, com autocrítica e capacidade 
para lidar com elas.
Formular, negociar e defender ideias, 
pontos de vista e decisões comuns, 
com base em direitos humanos, 
consciência socioambiental, consumo 
responsável e ética.
Expressar-se e partilhar informações, 
experiências, ideias, sentimentos e 
produzir sentidos que levem ao 
entendimento mútuo.
Entender o mundo do trabalho e fazer 
escolhas alinhadas à cidadania e ao seu 
projeto de vida com liberdade, autonomia 
criticidade e responsabilidade.
Fazer-se respeitar e promover respeito ao 
outro e aos direitos humanos, com 
acolhimento e valorização da diversidade, 
sem preconceito de qualquer natureza.
Repertório cultural
Cultura digital
Autoconhecimento e 
autocuidado Responsabilidade e cidadania
Conhecimento
Pensamento científi-
co crítico e criativo
Comunicação
Trabalho e 
projeto de vida
Empatia e cooperação
Argumentação
Educação Infantil
Construção do letramento científico, 
matemático e linguístico em consonância 
com os direitos de aprendizagem e os 
campos de experiências.
Quantidade considerável de questões de 
vestibular e de Enem que trazem 
abordagens complexas e interdisciplinares.
Estímulo em rodas de conversa e 
valorização do conhecimento 
prévio da criança. 
Problematização e vínculo entre curiosidade, 
bem como estabelecimento de ponte entre 
conhecimentos prévios e novos.
Estímulo à oralidade e 
troca de experiências.
Relação do conhecimento prévio 
com os saberes das ciências. 
Pré-vestibular
Compreensão da abordagem teórica 
com apresentação de conteúdo relevante, 
sistematizado e hierarquizado.
Conexões entre todos os campos de 
experiências e objetivos de aprendizagem e 
desenvolvimento preconizados pela BNCC.
Construção e apresentação dos 
conceitos estruturais das ciências que 
permitirão o desenvolvimento das 
habilidades previstas no segmento.
Vínculo do conteúdo com o 
contexto e exploração de 
questões complexas em 
relação a conceitos ou a 
visões de mundo. 
Busca por novas conexões entre os 
objetos apreendidos, atrelando-se 
um ou mais conhecimentos de 
diferentes áreas.
Os objetos de conhecimento são estudados 
e analisados sob diferentes perspectivas: 
geográfica, científica, matemática, histórica, 
filosófica e linguística. Ensino Médio
Exposição sistematizada e hierarquizada de 
conhecimento e informação relevante. 
Pré-vestibular
Novas 
conexões
Mundo do 
aluno
Mundo 
revisitado
Tomada de 
ações
Saberes 
iniciais
Iniciativa 
concreta
Aproximação 
pelo afeto
Engajamento
Autonomia
Mundo 
transformado
Mundo das 
ciências
Pesquisas e 
descobertas
Domínio 
das bases 
conceituais
Relevância
Interdependência 
dos saberes
Conhecimentos 
de diferentes 
áreas
Educação Infantil
Ensino Médio
Ensino Médio
Educação Infantil
Fundamental 
Anos Iniciais
Fundamental 
Anos Finais
Aprofundamento do conhecimento 
científico por meio de apresentação e 
sistematização de conteúdos relevantes.
Protagonismo
Rigor conceitual e
conteúdo
relevante
Tr
an
sf
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aç
ão
da
re
al
id
ad
e
Complexidade e saberes múltip
los
Tomada de ações, transformação da realidade 
local, engajamento naquilo que o aluno pode e 
consegue empreender e em ações que 
transformam o mundo. 
Estabelecimento de relação entre os 
conteúdos curriculares para compreensão 
e interação com o mundo, bem como 
engajamento social e científico.
Estabelecimento de relação entre 
os conteúdos curriculares para 
compreensão e interação com o 
mundo.
Observação da realidade para 
compreensão do mundo e 
desenvolvimento integral da criança.
Ensino Médio
Fundamental 
Anos Iniciais
Fundamental 
Anos Iniciais
Fundamental 
Anos Finais
Fundamental 
Anos Finais
Educação Infantil
Fundamental 
Anos IniciaisFundamental 
Anos Finais
SAE Digital 
e BNCC
IV MATEMÁTICA
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Fruir e participar de práticas 
diversificadas da produção 
artístico-cultural.
Tomar decisões com base em princípios 
éticos, democráticos, inclusivos, 
sustentáveis e solidários.
Investigar causas, elaborar e testar 
hipóteses, formular e resolver 
problemas e criar soluções.
Entender e explicar a realidade, 
continuar aprendendo e 
colaborar com a sociedade.
Comunicar-se, acessar e 
produzir informações e 
conhecimentos, resolver 
problemas e exercer 
protagonismo e autoria.
Cuidar de sua saúde física e emocional, 
reconhecendo suas emoções e as dos 
outros, com autocrítica e capacidade 
para lidar com elas.
Formular,negociar e defender ideias, 
pontos de vista e decisões comuns, 
com base em direitos humanos, 
consciência socioambiental, consumo 
responsável e ética.
Expressar-se e partilhar informações, 
experiências, ideias, sentimentos e 
produzir sentidos que levem ao 
entendimento mútuo.
Entender o mundo do trabalho e fazer 
escolhas alinhadas à cidadania e ao seu 
projeto de vida com liberdade, autonomia 
criticidade e responsabilidade.
Fazer-se respeitar e promover respeito ao 
outro e aos direitos humanos, com 
acolhimento e valorização da diversidade, 
sem preconceito de qualquer natureza.
Repertório cultural
Cultura digital
Autoconhecimento e 
autocuidado Responsabilidade e cidadania
Conhecimento
Pensamento científi-
co crítico e criativo
Comunicação
Trabalho e 
projeto de vida
Empatia e cooperação
Argumentação
Educação Infantil
Construção do letramento científico, 
matemático e linguístico em consonância 
com os direitos de aprendizagem e os 
campos de experiências.
Quantidade considerável de questões de 
vestibular e de Enem que trazem 
abordagens complexas e interdisciplinares.
Estímulo em rodas de conversa e 
valorização do conhecimento 
prévio da criança. 
Problematização e vínculo entre curiosidade, 
bem como estabelecimento de ponte entre 
conhecimentos prévios e novos.
Estímulo à oralidade e 
troca de experiências.
Relação do conhecimento prévio 
com os saberes das ciências. 
Pré-vestibular
Compreensão da abordagem teórica 
com apresentação de conteúdo relevante, 
sistematizado e hierarquizado.
Conexões entre todos os campos de 
experiências e objetivos de aprendizagem e 
desenvolvimento preconizados pela BNCC.
Construção e apresentação dos 
conceitos estruturais das ciências que 
permitirão o desenvolvimento das 
habilidades previstas no segmento.
Vínculo do conteúdo com o 
contexto e exploração de 
questões complexas em 
relação a conceitos ou a 
visões de mundo. 
Busca por novas conexões entre os 
objetos apreendidos, atrelando-se 
um ou mais conhecimentos de 
diferentes áreas.
Os objetos de conhecimento são estudados 
e analisados sob diferentes perspectivas: 
geográfica, científica, matemática, histórica, 
filosófica e linguística. Ensino Médio
Exposição sistematizada e hierarquizada de 
conhecimento e informação relevante. 
Pré-vestibular
Novas 
conexões
Mundo do 
aluno
Mundo 
revisitado
Tomada de 
ações
Saberes 
iniciais
Iniciativa 
concreta
Aproximação 
pelo afeto
Engajamento
Autonomia
Mundo 
transformado
Mundo das 
ciências
Pesquisas e 
descobertas
Domínio 
das bases 
conceituais
Relevância
Interdependência 
dos saberes
Conhecimentos 
de diferentes 
áreas
Educação Infantil
Ensino Médio
Ensino Médio
Educação Infantil
Fundamental 
Anos Iniciais
Fundamental 
Anos Finais
Aprofundamento do conhecimento 
científico por meio de apresentação e 
sistematização de conteúdos relevantes.
Protagonismo
Rigor conceitual e
conteúdo
relevante
Tr
an
sf
or
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aç
ão
da
re
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id
ad
e
Complexidade e saberes múltip
los
Tomada de ações, transformação da realidade 
local, engajamento naquilo que o aluno pode e 
consegue empreender e em ações que 
transformam o mundo. 
Estabelecimento de relação entre os 
conteúdos curriculares para compreensão 
e interação com o mundo, bem como 
engajamento social e científico.
Estabelecimento de relação entre 
os conteúdos curriculares para 
compreensão e interação com o 
mundo.
Observação da realidade para 
compreensão do mundo e 
desenvolvimento integral da criança.
Ensino Médio
Fundamental 
Anos Iniciais
Fundamental 
Anos Iniciais
Fundamental 
Anos Finais
Fundamental 
Anos Finais
Educação Infantil
Fundamental 
Anos IniciaisFundamental 
Anos Finais
I N F O G R Á F I C O
S A E E B N C C
VMATEMÁTICA
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VI MATEMÁTICA
1. Pilares pedagógicos
Os pilares pedagógicos do sistema de ensino do SAE Digital vêm ao en-
contro das habilidades esperadas dos aprendizes, expostos a um ambiente 
que exige leitura plural do mundo, caracterizada por constantes mudanças 
nos campos científico, tecnológico e político.
Os desafios da atualidade preveem uma formação que priorize a capa-
cidade de refletir e de interpretar as realidades local e global, bem como agir 
de acordo com as necessidades coletivas por meio do desenvolvimento da 
empatia, da resiliência e do senso de cooperação.
Para desenvolver habilidades que atendam a tão complexas necessida-
des, as estratégias do SAE Digital estão fundamentadas em quatro pilares do 
trabalho pedagógico: protagonismo, rigor conceitual e conteúdo relevante, 
complexidade e saberes múltiplos e transformação da realidade.
Protagonismo
Uma prática pedagógica estruturada no protagonismo considera o es-
tudante como centro do processo de sua aprendizagem, tem como ponto de 
partida os conhecimentos prévios que ele possui para, a partir deles, promover 
o fortalecimento de sua identidade, a sua autonomia e o desenvolvimento das 
habilidades necessárias à concretização de seu projeto de vida e sua atuação 
na sociedade com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sus-
tentáveis e solidários.
Rigor conceitual e conteúdo relevante
Esse pilar, que abarca duas ideias complementares, corrobora o enten-
dimento de que a educação deve sempre se pautar em bases conceituais do 
conhecimento acadêmico e científico. Na era da informação, a escola assume 
o papel de propulsora da pesquisa para a escolha, a apropriação e a produção 
do conhecimento por parte dos professores e dos estudantes, a fim de garantir 
a sistematização dos processos de ensino e de aprendizagem pautados na 
precisão da cientificidade e na relevância do currículo.
Complexidade e saberes múltiplos
O paradigma atual do conhecimento requer a superação da disposição 
estanque do currículo escolar. Trazemos como proposta para o trabalho peda-
gógico o pilar complexidade e saberes múltiplos visando ao desenvolvimento 
do pensamento complexo, que só se efetiva por meio de um trabalho inter e 
transdisciplinar. Promover a religação dos saberes com vistas à formação de 
leitores competentes e capazes de atuar em um cenário complexo é um dos 
compromissos impreteríveis dos quais a escola não pode se eximir.
 Os pilares pedagógicos 
do sistema de ensino 
do SAE Digital visam 
o desenvolvimento de 
competências que contribuam 
para viabilização do projeto de 
vida dos estudantes, de forma 
que ele incida positivamente 
na sociedade global. 
 A educação é o único 
fazer capaz de transformar 
potenciais em competências 
para viver. Agir em favor 
de nossas gerações, nessa 
perspectiva, é criar concepções 
e práticas educacionais 
que sejam capazes de 
gerar competências 
para que o indivíduo 
transforme a si mesmo e 
as suas circunstâncias a 
partir do desenvolvimento 
pleno de seus potenciais. 
(DELORS, 2001, p. 100) 
 O material didático 
consistente fundamenta-se 
em cuidadosa construção 
conceitual e adequação 
metodológica. As formas e os 
mecanismos que norteiam 
a realização do trabalho e a 
elaboração de suas conclusões 
são claros, apropriados e 
resistentes ao processo de 
crítica franca e aberta. Ele gera 
conhecimento confiável. 
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VIIMATEMÁTICA
Transformação da realidade
Com base no entendimento da educação como agente transformador da 
realidade, o sistema de ensino do SAE Digital incorpora à sua proposta pedagó-
gica um trabalho sistemático com temas contemporâneos de relevância social 
que afetam a vida humana em escala local, regional e global. Ao promover 
a consciência dos direitos e deveres de todo ser humano, o exercício pleno 
da cidadania e a tomada de decisões para iniciativas concretas de impacto 
socioambiental, visamos à manutenção do estado democrático de direito e 
à transformação da realidade.
Tecnologia digital 
relevante – SAE Digital
Conceito de tecnologia digital 
relevante – SAE Digital
São recursos digitais– livros, atividades, jogos, realidade aumentada, 
vídeos, animações, aplicativos, plataforma adaptativa, avaliações, ferramentas 
de gestão escolar, de gestão da aprendizagem e de desenvolvimento dos 
profissionais da Educação – concebidos com intencionalidade pedagógica, 
integrados à proposta e aos conteúdos dos materiais impressos e com uma 
dinâmica eficiente, a fim de que cumpram um papel efetivo no processo 
educativo por meio
1) da interação do aluno com o conteúdo digital, tendo como propósito 
contribuir para a sua aprendizagem;
2) da sensibilização/motivação do aluno para a aprendizagem;
3) da promoção da apropriação de conceitos ou do desenvolvimento de 
habilidades e atitudes; 
4) do acompanhamento do desempenho e das adaptações e das perso-
nalizações necessárias a uma aprendizagem significativa; 
5) da gestão do desempenho e da aprendizagem do aluno;
6) da formação permanente do professor. 
Outras considerações a respeito 
de tecnologia digital relevante
O projeto de Tecnologia digital relevante – SAE Digital também tem como 
enfoque aproximar a produção do SAE Digital às metodologias contemporâ-
neas da aprendizagem:
• Por desenvolver o conteúdo digital produzido em consonância com 
o material impresso, pode ser considerado como um modelo híbrido 
de ensino.
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VIII MATEMÁTICA
• Por promover a autonomia do aluno em seu processo de aprendiza-
gem, os objetos digitais podem ser considerados como metodologia 
ativa.
• Por promover o uso de diversas mídias digitais, os objetos digitais 
podem contribuir para o letramento digital. 
• Por ofertar feedbacks do desempenho dos alunos, pode contribuir 
com a regulação e a autorregulação da aprendizagem.
2. Ensino Fundamental
O Ensino Fundamental faz parte de um dos níveis da Educação Básica. 
Desde 2006, passou a ter duração de 9 anos, de acordo com a Lei de Diretrizes 
e Bases da Educação (LDB n.º 9.395/96), em que foram alterados os artigos 
29, 30, 32 e 87, por meio da Lei Ordinária n.º 11.274/2006.
O Ensino Fundamental é obrigatório e atende as crianças a partir dos 6 
anos de idade. Está dividido da seguinte forma:
• Anos iniciais – do 1.o ao 5.o ano.
• Anos finais – do 6.o ao 9.o ano.
Além da LDB, o Ensino Fundamental é regido por documentos, como as 
Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental, o Plano Nacional 
de Educação (PNE) de 2014, as resoluções do Conselho Nacional de Educação 
(CNE) e a Base Nacional Comum Curricular (BNCC).
A versão homologada, em dezembro de 2017, da BNCC apresenta as 
competências gerais que se inter-relacionam e perpassam todos os compo-
nentes curriculares ao longo da Educação Básica.
2.1 SAE Digital no Ensino Fundamental
Nos anos finais do Ensino Fundamental, o trabalho escolar deve instigar 
nos alunos a curiosidade e o prazer pelas descobertas, além de promover a 
aprendizagem das diferentes formas de sistematização das informações e dos 
temas trabalhados. Isso porque o conhecimento adquirido já nos primeiros 
anos do Ensino Fundamental é essencial para o desempenho dos alunos nas 
próximas fases da vida escolar.
Os conteúdos sistematizados que compõem o sistema de ensino do SAE 
Digital estão relacionados às seguintes áreas de conhecimento:
• Linguagens.
• Matemática.
• Ciências da Natureza.
• Ciências Humanas.
 Segundo o artigo 32 da 
LDB, o Ensino Fundamental 
tem como objetivo:
1) o desenvolvimento da 
capacidade de aprender, 
tendo como meios básicos 
o pleno domínio da leitura, 
da escrita e do cálculo;
2) a compreensão do 
ambiente natural e social, 
do sistema político, da 
tecnologia, das artes e 
dos valores em que se 
fundamenta a sociedade;
3) o desenvolvimento 
da capacidade de 
aprendizagem, tendo 
em vista a aquisição 
de conhecimentos e 
habilidades e a formação 
de atitudes e valores;
4) o fortalecimento dos 
vínculos de família, dos 
laços de solidariedade 
humana e de tolerância 
recíproca em que se 
assenta a vida social. 
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IXMATEMÁTICA
2.1.1 Linguagens
Para expressar ideias, pensamentos, sentimentos e intenções e estabe-
lecer relações interpessoais, faz-se necessário o uso da linguagem. É também 
pela linguagem que se podem construir os quadros de referências culturais 
– concepções e ideologias, mitos, representações, conhecimento científico 
e arte.
A linguagem – oral, escrita, imagética ou corporal – faz parte da atividade 
discursiva, ou seja, do ato de falar, de expressar claramente ideias, informações 
ou sentimentos a alguém. 
A linguagem possibilita ao homem a apreensão do mundo exterior, dan-
do-lhe meios para se posicionar criticamente perante os outros, tornando-o 
agente transformador. Dessa forma, a linguagem é compreendida como a 
maior ferramenta da convivência humana, assim como das transformações 
que a educação busca. Parece difícil alcançar as mudanças necessárias para 
a construção de um mundo melhor sem os saberes provenientes da área de 
linguagens e sua aplicação prática.
Essas são as reflexões das quais partem a seleção e a sistematização do 
material didático SAE Digital nessa área, que compreende:
• Língua Portuguesa.
• Língua Inglesa.
• Língua Espanhola.
• Arte.
• Educação Física.
2.1.2 Matemática
O trabalho desenvolvido em Matemática tem como objetivo a compreen-
são e o uso dos conteúdos relevantes na resolução de desafios e problemas; 
a busca pelos resultados; a prática de levantar hipóteses e confrontá-las, sem 
receio de errar.
[...] A Matemática se faz presente desde cedo e durante toda a vida dos indivíduos. O 
indivíduo está imerso num mundo de números (quantificando, medindo, comparando, 
realizando cálculos etc.) quando realiza diversas atividades do cotidiano: em casa, nas 
ruas, na escola [...]. Para que ele seja bem-sucedido nessas atividades é necessário que o 
indivíduo seja numeralizado. Mas o que significa ser numeralizado? [...] ser numeralizado 
significa “ser capaz de pensar sobre e discutir relações numéricas e espaciais utilizando as 
convenções da nossa própria cultura” [...]. Ser numeralizado está além de resolver cálculos, 
é ter uma boa compreensão e intuição sobre os números, sendo capaz de compreender as 
regras implícitas que envolvem os conceitos matemáticos, utilizando-os nas suas prática co-
tidianas, nos diversos contextos e em diferentes sistemas de comunicação e representação.
[...]
O sentido de número [...] refere-se à habilidade de lidar, de forma flexível e eficiente, 
com números e quantidades nas situações cotidianas extraescolares. [...]
BATISTA, Rosita Marina Ferreira; SILVA, Juliana Ferreira Gomes da; SPINILLO, Alina Galvão. 
Os usos e funções dos números e medidas em situações escolares e extraescolares. 
Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. Pernambuco, 2008.
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X MATEMÁTICA
Com base nessas reflexões, o material do SAE Digital apresenta os conteú-
dos relevantes da área de Matemática relacionados à resolução de problemas 
na vida cotidiana e à aplicação desses saberes nos desafios próprios do mun-
do escolar. A proposta de trabalho leva em conta a capacidade intelectual, a 
estruturação do pensamento e o desenvolvimento do raciocínio lógico dos 
alunos, reforçando que não há como desassociar um aspecto do outro. 
Dessa forma, o material do SAE Digital propõe um trabalho no qual en-
sinar e aprender Matemática não se limite a dar respostas, mas sim a propor 
investigações, respeitar as ideias e o conhecimento prévio de cada aluno, pos-
sibilitando o desenvolvimento da vontade de estudar os conteúdos da área.
2.1.3 Ciências Humanas
A área das Ciências Humanas tem um objetivo maior, que é ampliar a 
compreensão dos alunos sobre sua realidade e a das pessoas em outros es-
paços e outros períodos.
Para tanto, essa área trabalha com a consciência de que os alunos são 
agentes transformadores do seu momento histórico, doseu espaço geográ-
fico, e fazem constantes reflexões sobre os acontecimentos na sociedade em 
que vivem. Dessa forma, podem fazer escolhas e estabelecer critérios para 
orientar suas ações de maneira mais consciente e propositiva.
No material do SAE Digital, as Ciências Humanas compreendem:
• Geografia. • História. • Filosofia.
A Geografia estuda as relações entre o processo histórico que regula a 
formação das sociedades humanas e o funcionamento da natureza, por meio 
da leitura do espaço geográfico e da paisagem.
A História estuda as sociedades ao longo do tempo, proporcionando aos 
alunos condições para se compreenderem como sujeitos históricos.
A Filosofia apresenta conceitos e situações que estimulam os alunos a 
desenvolver o raciocínio, o espírito crítico e o gosto pela busca do conhe-
cimento e dos saberes elaborados por diferentes filósofos em períodos e 
locais diversos.
2.1.4 Ciências da Natureza
O ensino de Ciências da Natureza possibilita que diferentes explicações 
do mundo, das transformações produzidas pelos seres humanos e dos fe-
nômenos da natureza possam ser expostas, comparadas e compreendidas. 
O trabalho nessa área permite que o conhecimento prévio dos alunos seja 
explorado e contraposto com diferentes explicações, de forma crítica, ques-
tionadora, investigativa e reflexiva. As propostas de reflexão desenvolvem a 
percepção dos limites de cada conceito e a explicação dos modelos científicos, 
favorecendo a construção da autonomia de pensamentos e ações.
São características gerais do trabalho escolar com as Ciências da Natureza: 
a) buscar a compreensão dos fenômenos da natureza; b) gerar representações 
do mundo; c) descobrir e explicar fenômenos naturais; d) organizar e sintetizar 
o conhecimento científico em teorias.
 As propostas de 
trabalho partem sempre 
do conhecimento prévio 
dos alunos sobre os 
conteúdos relevantes, 
confrontando-o com as 
explicações apresentadas 
no espaço escolar. 
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XIMATEMÁTICA
3. Conheça o material do SAE Digital
3.1 Impressos
O material de cada ano está organizado em quatro livros, contendo to-
dos os componentes curriculares: Língua Portuguesa, Matemática, História, 
Geografia, Ciências, Língua Inglesa, Arte, Educação Física e Filosofia.
Além desses, o componente curricular Língua Espanhola, para todos os 
anos, é oferecido separadamente.
3.1.1 Livros – aluno
Os componentes curriculares são organizados em unidades, e estas, em 
capítulos.
As aberturas dos capítulos funcionam como uma provocação para os 
alunos, que são convidados a apresentar o que já sabem sobre o tema, rela-
cionando esse saber à leitura de imagens.
Em seguida, o material conduz os alunos por um caminho de leituras, 
debates, relação de atividades individuais e coletivas, produções de textos 
e experimentos. A intenção é ampliar e aprofundar conhecimentos ou, em 
algumas situações, confrontar saberes e elaborar outros. As propostas de tra-
balho são apresentadas em seções de atividades com objetivos específicos. 
Conheça melhor cada uma delas na página seguinte. Conheça melhor cada uma delas na página seguinte. 
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XII MATEMÁTICA
Conheça as seções, os boxes e os ícones do seu livro
Esta seção apresenta exercícios mais 
desa� adores e de � xação que devem ser 
resolvidos no caderno.
VAMOS PRATICAR MAIS?
É um espaço que apresenta relações entre o conteúdo que você 
está estudando e as tecnologias referentes a ele. 
MATEMÁTICA E TECNOLOGIA
ATIVIDADES
Geralmente esta seção está no � nal de cada 
capítulo. Seu objetivo é levá -lo a rever os con-
teúdos estudados. 
PARA SABER MAIS
Indica o momento de aprofundar ou ampliar 
algum aspecto do conteúdo que você está 
estudando no capítulo.
CONEXÃO
Este é um espaço que apresenta texto e 
atividades que fazem a articulação entre 
diversos conteúdos.
INTERAÇÃO
Quando aparecer esta seção, será proposto um 
trabalho em grupo, como debate, pesquisa e 
elaboração de painel.
PARA IR ALÉM
Aqui você encontra dicas de leituras, músicas 
ou vídeos para aprofundar seu conhecimento.
COLOCANDO EM PRÁTICA
É um espaço que apresenta exercícios resolvidos 
para você compreender a sua sistematização.
TER ATITUDE
Esta seção apresenta uma proposta para um 
trabalho prático.
DESENVOLVER E APLICAR
Esta seção propõe atividades investigativas e 
motivadoras para você resolver individualmente. 
DE OLHO NA PROVA
É uma seção exclusiva para o 9.º ano e apre-
senta questões de provas para auxiliar você a 
ingressar no Ensino Médio.
EM TEMPO
É o momento de recordar uma ideia ou uma 
fórmula já estudada. Pode apresentar, também, 
a explicação ou o signi� cado de um termo ou 
de um conteúdo apresentado no texto.
Este ícone indica que há uma Realidade 
aumentada que pode ser acessada com 
o celular ou tablet.
Quando aparecer este ícone, será a hora 
de exercitar a oralidade com os colegas 
de turma.
Esta seção aparece quando há necessi-
dade de explicar os procedimentos para 
realização de uma atividade.realização de uma atividade.COMO FAZE
R
Este ícone indica o 
desenvolvimento 
da educação para o 
consumo consciente.
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XIIIMATEMÁTICA
As unidades e os capítulos programados para cada livro, por componen-
tes curriculares, buscam se adequar ao trabalho realizado em dez semanas 
de aula, com a seguinte sugestão de distribuição:
Componente curricular Aulas por semana Total de aulas 
Matemática 5 50
Língua Portuguesa 5 50
Geografia 3 30
História 3 30
Ciências 3 30
Artes 1 10
Língua Inglesa 2 20
Filosofia 1 10
Educação Física 2 20
Língua Espanhola 1 10
3.1.2 Livros – professor
O material para o professor apresenta uma organização especial. No 
livro 1 são expostas:
• apresentação dos princípios pedagógicos do material;
• proposta de trabalho pedagógico por componente curricular;
• explicação das seções do Livro do professor;
• programação anual dos conteúdos (unidades, capítulos, conteúdos 
descritos, número de aulas).
O miolo do Livro do professor apresenta o Livro do aluno de forma 
reduzida. No entorno do Livro do aluno, são apresentadas ao professor as 
orientações pedagógicas, organizadas nas seguintes seções: 
• Objetivos do capítulo – sempre no início de cada capítulo, determi-
nam as metas a serem alcançadas, relacionadas ao conteúdo abordado 
e à expectativa de aprendizagem por parte dos alunos.
• Encaminhamento metodológico – orientações sugeridas, sejam com 
relação ao conteúdo, ao procedimento ou à atitude para desenvolver 
o trabalho;
• Habilidades trabalhadas no capítulo de acordo com a BNCC;
• Dica para ampliar o trabalho – indicações de filmes e sites, sinopses 
e pequenos textos;
• Sugestão de atividade – indicações de tarefa para serem realizadas 
em sala de aula;
• Realidade aumentada – apresenta a lista de RAs que fazem parte do 
capítulo;
• Orientação para RA – encaminhamentos metodológicos e sugestões 
de atividade inseridos na página que apresenta o ícone da RA.
• Resposta – gabaritos e sugestões de resposta às atividades propostas.
3.2 Digital
A experiência com os materiais didáticos do SAE Digital vai além do 
trabalho com o material impresso. 
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XIV MATEMÁTICA
Alunos e professores contam com uma versão digital dos livros, dispo-
nível para lousa digital, computadores, tablets e smartphones, na qual estão 
inseridos os objetos digitais e os áudios para língua estrangeira. Também 
há atividades propostas na Plataforma de Aprendizagem Adaptativa, na 
Plataforma Literária e no Portal SAE Digital. 
Conheça a seguir cada um desses materiais.
3.2.1 Livros digitais e Realidade 
aumentada – aluno
Essas ferramentas permitem visualizar digitalmente o livro igual ao 
impresso, porém acrescido de animações e recursos para ampliar imagens, 
acompanhar slides e fixar o conteúdo por meio de diversosexercícios. Ao todo, 
são 14 formas de interação disponíveis para auxiliar o trabalho do professor 
e tornar o aprendizado mais dinâmico, sendo um complemento para a sala 
de aula e para os estudos em casa. Depois de baixados, os recursos podem 
ser utilizados offline, ou seja, não necessitando a conexão com a internet.
Nos livros impressos, um ícone com o código RA (Realidade aumentada) 
permite a visualização dos objetos digitais.
As Realidades aumentadas estão disponíveis do 6.º ao 9.º ano para 
os componentes curriculares de Língua Portuguesa, Matemática, História, 
Geografia, Ciências, Língua Inglesa, Arte, Filosofia, Educação Física e Língua 
Espanhola. 
3.2.2 Livros digitais e Realidade aumentada – professor
O Livro digital do professor apresenta o mesmo conteúdo do Livro digital 
do aluno, acrescido de orientações metodológicas. Estas referem-se tanto às 
propostas de trabalho do livro impresso quanto aos objetos digitais e as RAs.
Os encaminhamentos metodológicos para os Objetos digitais e às RAs 
referem-se ao conteúdo do componente curricular e à forma do próprio 
objeto. Além disso, oferecem sugestões de como ampliar o trabalho com a 
atividade proposta.
3.2.3 Plataforma de Aprendizagem Adaptativa
A ferramenta oferece questões e videoaulas prontas para os alunos uti-
lizarem como forma de estudo.
Esse espaço possibilita ao estudante acompanhar videoaulas de con-
teúdos ministrados em sala de aula e testar seus conhecimentos por meio 
de questões vinculadas ao assunto que está sendo estudado. O sistema gera 
dados para que o professor e a gestão pedagógica acompanhem o desem-
penho do estudante na realização das atividades propostas na plataforma 
e a assertividade nas questões acerca dos conteúdos estudados. Com base 
nos dados coletados, o professor e a gestão pedagógica têm parâmetros para 
estabelecer novas estratégias de ensino.
As atividades propostas na plataforma estão disponíveis para todos os 
livros que serão usados no ano escolar.
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XVMATEMÁTICA
3.2.4 Plataforma Digital Literária
A Plataforma Digital Literária é uma ferramenta que tem como objetivo 
o trabalho com obras significativas das literaturas brasileira e mundial.
Antes do período de matrículas, a escola recebe a lista de obras que 
são indicadas para serem trabalhadas, por livro, com cada turma do Ensino 
Fundamental. 
São oferecidas cinco opções de trabalho para os 6.º, 7.º e 8.º anos, en-
quanto para o 9.º ano há oito opções. A escola pode, então, escolher com 
qual obra prefere trabalhar.
Por meio dessa ferramenta, o professor realiza o trabalho com o livro 
selecionado. Para isso, ele conta com:
• encaminhamentos metodológicos;
• avaliações;
• propostas de produção de texto;
• vídeos de contextualização histórica, que podem ser exibidos em sala 
de aula.
Ao trabalhar com a plataforma literária, os alunos contam com:
• vídeos que instigam a leitura;
• quiz;
• questões digitais elaboradas sobre o contexto literário da obra.
Os livros selecionados e indicados pelo sistema de ensino do SAE Digital 
para a escolha da escola são:
Plataforma literária - Ensino Fundamental II
Ano Título do livro Autor Editora
6.º
O que é liberdade Renata Bueno Cia das Letrinhas
Dom Quixote (em quadrinhos) Miguel de Cervantes - Adaptação 
de Márcia Williams Ática
Diário de Pilar em Machu Picchu Flávia L. e Silva Zahar
A guerra de Troia em 
versos de cordel Mauricio de Sousa e Fábio Sombra Melhoramentos
A cidade sinistra dos corvos Lemony Snicket Cia das Letrinhas
7.º
A droga da obediência Pedro Bandeira Moderna
Comédias para se ler na escola Luis Fernando Verissimo Objetiva
Sonhos em Amarelo Luiz Antonio Aguiar Melhoramentos
O menino sem imaginação Carlos Eduardo Novaes Ática
A megera domada William Shakespeare - Adaptação 
de Flávio de Souza Editora FTD
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XVI MATEMÁTICA
Plataforma literária - Ensino Fundamental II
Ano Título do livro Autor Editora
8.º
O mistério das aranhas verdes Carlos Heitor Cony e Anna Lee Salamandra
O mistério da Casa Verde Moacyr Scliar Ática
O Médico e o Monstro Robert Louis Stevenson Melhoramentos 
Volta ao mundo em 80 dias Júlio Verne Melhoramentos
Chapeuzinho Vermelho 
em Manhattan Jerome Kakan Martins Fontes
9.º
Eu sou Malala Malala Yousafzai e Christina Lamb José Olympio
O melhor da crônica brasileira 
Ferreira Gullar, José Lins do 
Rego, Rachel de Queiroz e 
Luis Fernando Verissimo
José Olímpio
A menina que roubava livros Markus Zusak Intrínseca
Viagem ao centro da Terra Júlio Verne Melhoramentos
Os miseráveis Vitor Hugo - Tradução e 
adaptação de Walcyr Carrasco Moderna
Orgulho e preconceito Jane Austen Paulus
Casa de pensão Aluísio de Azevedo Obliqclássicos
Histórias de vaqueiros e cantadores Luis Câmara Cascudo Global
*A Plataforma Literária apresenta atividades para todos os livros indicados, 
porém, tais livros não são vendidos pelo SAE Digital.
3.2.5 Desafio SAE Teens 
Tem como objetivo dimensionar o desempenho dos alunos em seus 
processos de aprendizagem, oferecendo resultados e hipóteses para investir 
neles, redirecionar a prática pedagógica e aprimorar nossos materiais. Conta 
com aplicação impressa e online, sendo que neste segundo modelo ofere-
cemos correção em duas metodologias – Teoria de Resposta ao Item/TRI e 
Teoria Clássica de Testes/TCT – e disponibilizamos os relatórios de resultados 
dos alunos.
O Desafio SAE Teens conta com 38 questões para o 6.º e o 7.º ano, 48 para 
o 8.º ano e 54 para o 9.º ano. Os componentes curriculares cobertos são 
Língua Portuguesa, Língua Inglesa, Língua Espanhola, Matemática, História, 
Geografia, Ciências, Filosofia e Arte, sendo que o aluno opta por uma das 
duas línguas estrangeiras.
3.2.6 Portal SAE Digital
O Portal SAE Digital é um ambiente virtual desenvolvido para ampliar a 
possibilidade de interação e troca de informação entre educadores e escola.
São várias ferramentas de interação e conteúdo pedagógico disponibi-
lizadas em diferentes formatos e linguagens, dentre elas:
Teoria Clássica de Testes/TCT – e disponibilizamos os relatórios de resultados 
dos alunos.
o 8.º ano e 54 para o 9.º ano. Os componentes curriculares cobertos são 
Língua Portuguesa, Língua Inglesa, Língua Espanhola, Matemática, História, 
Geografia, Ciências, Filosofia e Arte, sendo que o aluno opta por uma das 
duas línguas estrangeiras.
3.2.6 Portal SAE Digital
possibilidade de interação e troca de informação entre educadores e escola.
lizadas em diferentes formatos e linguagens, dentre elas:
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XVIIMATEMÁTICA
Banco de provas.
Áudio para download e 
acompanhamento das 
aulas de Língua Inglesa 
e Língua Espanhola.
Conteúdos programáticos. Material do professor.
Planejamento da 
plataforma literária. Videoaulas.
O Banco de provas apresenta uma avaliação bimestral para cada um dos 
componentes curriculares. Cada prova conta com 10 questões, entre disser-
tativas e de múltipla escolha, que abordam todo o conteúdo trabalhado no 
livro. Todas as questões recebem um valor de acordo com o grau de desafio 
apresentado.
As provas estão disponíveis em dois formatos:
• PDF – não editável, para a aplicação de um mesmo instrumento de ava-
liação em todas as turmas, caso a escola considere essa possibilidade.
• Word – editável, para se adequar à realidade de cada turma, caso a 
escola considere essa possibilidade.
Em ambos os formatos há tanto a versão para o aluno, com o espaço 
destinado às respostas, quanto a versão para o professor, com os gabaritos.
3.2.7 Caderno digital de produção de textos 
É oferecido bimestralmente, no Portal SAE Digital, um caderno de pro-
dução textual para cada ano. O material amplia o estudo dos gêneros desen-
volvidos pelo material didático. Nesse caderno, com base em textos atuais 
e diversificados, é feita uma análise detalhada da estrutura dos gêneros que 
dãofundamento ao texto a ser desenvolvido pelo aluno, num total de cinco 
produções bimestrais. 
O caderno proporciona, também, subsídios ao professor para proceder 
à correção, bem como orientar a reescrita de textos de seus alunos.
3.2.8 Caderno digital de atividades de Matemática 
No Portal SAE está disponibilizado bimestralmente, para os professores, 
quatro cadernos digitais de atividades, um para cada um dos anos finais do 
Ensino Fundamental.
Cada caderno tem, em média, 100 exercícios distribuídos entre os capítu-
los de cada livro, sempre conectado ao material didático. O objetivo é oferecer 
aos alunos a possibilidade de ampliar o contato com o raciocínio matemático. 
O professor pode decidir quantos e quais exercícios utilizar com sua 
turma, levando em conta a realidade local. Todos os cadernos apresentam 
os gabaritos para os professores.
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XVIII MATEMÁTICA
4. Pressupostos teórico -metodológicos
A Base Nacional Comum Curricular
A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) é um documento 
de caráter normativo que define o conjunto orgânico e progressivo 
de  aprendizagens essenciais  que todos os alunos devem desenvolver 
ao longo de etapas e modalidades da Educação Básica, de modo que 
tenham assegurados seus direitos de aprendizagem e desenvolvimento, 
em conformidade com o que preceitua o Plano Nacional de Educação 
(PNE). Este documento normativo aplica-se exclusivamente à educação 
escolar, tal como a define o § 1.º do Artigo 1.º da Lei de Diretrizes e Bases 
da Educação Nacional (LDB, Lei n.º 9.394/1996)1, e está orientado pelos 
princípios éticos, políticos e estéticos que visam à formação humana 
integral e à construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva, 
como fundamentado nas Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação 
Básica (DCN)2.
Referência nacional para a formulação dos currículos dos sistemas 
e das redes escolares dos estados, do Distrito Federal e dos municípios e 
das propostas pedagógicas das instituições escolares, a BNCC integra a 
política nacional da Educação Básica e vai contribuir para o alinhamento 
de outras políticas e ações, em âmbito federal, estadual e municipal, refe-
rentes à formação de professores, à avaliação, à elaboração de conteúdos 
educacionais e aos critérios para a oferta de infraestrutura adequada para 
o pleno desenvolvimento da educação.
Nesse sentido, espera-se que a BNCC ajude a superar a fragmentação 
das políticas educacionais, enseje o fortalecimento do regime de cola-
boração entre as três esferas de governo e seja balizadora da qualidade 
da educação. Assim, para além da garantia de acesso e permanência na 
escola, é necessário que sistemas, redes e escolas garantam um patamar 
comum de aprendizagens a todos os estudantes, tarefa para a qual a 
BNCC é instrumento fundamental.
Ao longo da Educação Básica, as aprendizagens essenciais definidas 
na BNCC devem concorrer para assegurar aos estudantes o desenvolvi-
mento de dez  competências gerais, que consubstanciam, no âmbito 
pedagógico, os direitos de aprendizagem e desenvolvimento.
Na BNCC, competência é definida como a mobilização de conhe-
cimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas 
e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas com-
plexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo 
do trabalho.
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XIXMATEMÁTICA
Ao definir essas competências, a BNCC reconhece que a “educação 
deve afirmar valores e estimular ações que contribuam para a transforma-
ção da sociedade, tornando-a mais humana, socialmente justa e, também,
voltada para a preservação da natureza” (BRASIL, 2013)3, além de se mos-
trar alinhada à Agenda 2030 da Organização das Nações Unidas (ONU)4.
É imprescindível destacar que as competências gerais da Educação 
Básica, apresentadas a seguir, inter-relacionam-se e desdobram-se no 
tratamento didático proposto para as três etapas da Educação Básica 
(Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio), articulando-se 
na construção de conhecimentos, no desenvolvimento de habilidades e 
na formação de atitudes e valores, nos termos da LDB.
Competências gerais da Educação Básica 
1) Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos 
sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e 
explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a 
construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.
2) Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria 
das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a 
imaginação e a criatividade para investigar causas, elaborar e testar 
hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive 
tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
3) Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das 
locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas 
da produção artístico-cultural.
4) Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como 
Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como 
conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, 
para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e 
sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que 
levem ao entendimento mútuo.
5) Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação 
e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas 
diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comuni-
car, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, 
resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida 
pessoal e coletiva.
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6) Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apro-
priar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem 
entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer esco-
lhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, 
com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
7) Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis 
para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e deci-
sões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a 
consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito
local, regional e global, com posicionamento ético com relação 
ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.
8) Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, 
compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas 
emoções e as dos outros com autocrítica e capacidade para lidar 
com elas.
9) Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a coopera-
ção, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos 
direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade 
de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes suas identidades, 
suas culturas e suas potencialidades, sem preconceitos de qual-
quer natureza.
10) Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, 
flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com 
base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis 
e solidários.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Educação 
é a Base. Versão Final. Brasília: MEC/CONSED/UNDIME, 2018.
BNCC no Ensino Fundamental – Anos Finais
Ao longo do Ensino Fundamental – Anos Finais, os es-
tudantes se deparam com desafios de maior complexida-
de, sobretudo devido à necessidade de se apropriarem 
dos conhecimentos relacionados às áreas nas diferentes 
lógicas de organização. Tendo em vista essa maior es-
pecialização, é importante, nos vários componentes 
curriculares, retomar e ressignificar as aprendizagens 
do Ensino Fundamental – Anos Iniciais no contexto 
das diferentes áreas, visando ao aprofundamento e à 
ampliação de repertórios dos estudantes.Nesse sentido, também é importante  fortalecer 
a autonomia  desses adolescentes, oferecendo-lhes 
condições e ferramentas para interagir criticamente com 
diferentes conhecimentos e fontes de informação.
BRASIL. Ministério da Educação. 
BNCC no Ensino Fundamental – Anos Finais
Ao longo do Ensino Fundamental – Anos Finais, os es-
tudantes se deparam com desafios de maior complexida-
de, sobretudo devido à necessidade de se apropriarem 
dos conhecimentos relacionados às áreas nas diferentes 
lógicas de organização. Tendo em vista essa maior es-
pecialização, é importante, nos vários componentes 
curriculares, retomar e ressignificar as aprendizagens 
do Ensino Fundamental – Anos Iniciais no contexto 
das diferentes áreas, visando ao aprofundamento e à 
ampliação de repertórios dos estudantes.
a autonomia  desses adolescentes, oferecendo-lhes 
condições e ferramentas para interagir criticamente com 
diferentes conhecimentos e fontes de informação.
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XX MATEMÁTICA
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XXIMATEMÁTICA
Os estudantes dessa fase inserem-se em uma faixa etária que cor-
responde à transição entre infância e adolescência, marcada por intensas 
mudanças decorrentes de transformações biológicas, psicológicas, sociais 
e emocionais. Nesse período de vida, como bem aponta o Parecer CNE/
CEB n.º 11/2010, ampliam-se os vínculos sociais e os laços afetivos, as 
possibilidades intelectuais e a capacidade de raciocínios mais abstratos. 
Os estudantes tornam-se mais capazes de ver e avaliar os fatos pelo ponto 
de vista do outro, exercendo a capacidade de descentração, “importante 
na construção da autonomia e na aquisição de valores morais e éticos” 
(BRASIL, 2010).
As mudanças próprias dessa fase da vida implicam a compreensão 
do adolescente como sujeito em desenvolvimento, com singularidades 
e formações identitárias e culturais próprias, que demandam práticas 
escolares diferenciadas, capazes de contemplar suas necessidades e seus 
diferentes modos de inserção social. Conforme reconhecem as DCN, é 
frequente, nessa etapa,
observar forte adesão aos padrões de comportamento dos jovens da mesma idade, 
o que é evidenciado pela forma de se vestir e também pela linguagem utilizada por 
eles. Isso requer dos educadores maior disposição para entender e dialogar com as 
formas próprias de expressão das culturas juvenis, cujos traços são mais visíveis, 
sobretudo, nas áreas urbanas mais densamente povoados.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Educação 
é a Base. Versão Final. Brasília: MEC/CONSED/UNDIME, 2018.
Há que se considerar, ainda, que a cultura digital tem promovido 
mudanças sociais significativas nas sociedades contemporâneas. Em de-
corrência do avanço e da multiplicação das tecnologias de informação e 
comunicação e do crescente acesso a elas pela maior disponibilidade de 
computadores, telefones celulares, tablets e afins, os estudantes estão di-
namicamente inseridos nessa cultura, não somente como consumidores. 
Os jovens têm se engajado cada vez mais como protagonistas da cultura 
digital, envolvendo-se diretamente em novas formas de interação multi-
midiática e multimodal e de atuação social em rede, que se realizam de 
modo cada vez mais ágil. Por sua vez, essa cultura também apresenta forte 
apelo emocional e induz ao imediatismo de respostas e à efemeridade 
das informações, privilegiando análises superficiais e o uso de imagens 
e formas de expressão mais sintéticas, diferentes dos modos de dizer e 
argumentar característicos da vida escolar.
Todo esse quadro impõe à escola desafios ao cumprimento do seu 
papel relacionado à formação das novas gerações. É importante que a 
instituição escolar preserve seu compromisso de estimular a reflexão e 
a análise aprofundada e contribua para o desenvolvimento, no estudan-
te, de uma atitude crítica em relação ao conteúdo e à multiplicidade de 
ofertas midiáticas e digitais. Contudo, também é imprescindível que a 
escola compreenda e incorpore mais as novas linguagens e seus modos 
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XXII MATEMÁTICA
de funcionamento, desvendando possibilidades de comunicação (e tam-
bém de manipulação), e que eduque para usos mais democráticos das 
tecnologias e para uma participação mais consciente na cultura digital. 
Ao aproveitar o potencial de comunicação do universo digital, a escola 
pode instituir novos modos de promover a aprendizagem, a interação 
e o compartilhamento de significados entre professores e estudantes.
Além disso, e tendo por base o compromisso da escola de propiciar 
uma formação integral, balizada pelos direitos humanos e princípios 
democráticos, é preciso considerar a necessidade de desnaturalizar 
qualquer forma de violência nas sociedades contemporâneas, incluindo 
a violência simbólica de grupos sociais que impõem normas, valores e 
conhecimentos tidos como universais e que não estabelecem diálogo 
entre as diferentes culturas presentes na comunidade e na escola.
Em todas as etapas de escolarização, mas de modo especial entre os 
estudantes dessa fase do Ensino Fundamental, esses fatores frequente-
mente dificultam a convivência cotidiana e a aprendizagem, conduzindo 
ao desinteresse e à alienação e, não raro, à agressividade e ao fracasso 
escolar. Atenta a culturas distintas, não uniformes nem contínuas dos 
estudantes dessa etapa, é necessário que a escola dialogue com a diver-
sidade de formação e vivências para enfrentar com sucesso os desafios 
de seus propósitos educativos. A compreensão dos estudantes como 
sujeitos com histórias e saberes construídos nas interações com outras 
pessoas, tanto do entorno social mais próximo quanto do universo da 
cultura midiática e digital, fortalece o potencial da escola como espaço 
formador e orientador para a cidadania consciente, crítica e participativa.
Nessa direção, no Ensino Fundamental – Anos Finais, a escola pode 
contribuir para o delineamento do projeto de vida dos estudantes, ao 
estabelecer uma articulação não somente com os anseios desses jovens 
em relação ao seu futuro, como também com a continuidade dos estudos 
no Ensino Médio. Esse processo de reflexão sobre o que cada jovem quer 
ser no futuro, e de planejamento de ações para construir esse futuro, pode 
representar mais uma possibilidade de desenvolvimento pessoal e social.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Educação 
é a Base. Versão Final. Brasília: MEC/CONSED/UNDIME, 2018.
Nas próximas páginas, você encontrará os pressupostos teórico-meto-
dológicos e os objetivos gerais de todos os componentes curriculares. Para 
conhecer os objetivos específicos e os encaminhamentos metodológicos para 
cada capítulo, por componente curricular, você deve usar o livro do professor.
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XXIIIMATEMÁTICA
4.2 Matemática
A invenção de símbolos matemáticos e suas atribuições foi e continua 
sendo uma construção gradual, caracterizada por regras. O ser humano não 
pode, porém, ficar preso à simples memorização dessas regras, porque é po-
tencialmente capaz de desenvolver raciocínios e estratégias próprias para a 
resolução de problemas, embora muitas vezes não domine completamente 
toda a linguagem simbólica convencional. 
Partindo dessa ideia, a linguagem e a compreensão matemáticas, propos-
tas no material, orientam os alunos na construção de sentido e significado de 
uma linguagem matemática. Dessa forma, a intenção é que eles se apropriem 
de unidades temáticas, propostas na BNCC, para a compreensão dessa ciência:
• Números – Resolver problemas com números naturais, inteiros e ra-
cionais, envolvendo as operações básicas; dominar o cálculo da por-
centagem e suas variações; resolver situações-problemas, incluindo 
geometria.
• Álgebra – Desenvolver as ideias de regularidades; saber generalizar 
padrões; conhecer e aprofundar as propriedadesde igualdade; com-
preender o significado de incógnita e variável; aprofundar o estudo 
de funções e equações, sabendo diferenciar os conceitos.
• Geometria – Analisar e produzir transformações e ampliações/reduções 
de figuras geométricas planas, identificando seus elementos variantes 
e invariantes; desenvolver os conceitos de congruência e semelhan-
ça; formar o raciocínio hipotético-dedutivo; aproximar a Álgebra da 
Geometria, desde o início do estudo do plano cartesiano, por meio da 
geometria analítica. 
• Grandezas e medidas – Reconhecer comprimento, área, volume e 
abertura de ângulo como grandezas associadas a figuras; resolver 
problemas envolvendo essas grandezas com o uso de unidades de 
medida padronizadas mais usuais; estabelecer e utilizar relações entre 
diversas grandezas, para abordar grandezas derivadas como densi-
dade, velocidade, energia, potência etc.; determinar expressões de 
cálculo de áreas de quadriláteros, triângulos e círculos e as de volumes 
de prismas e de cilindros; introduzir medidas de capacidade de arma-
zenamento de computadores como grandeza associada a demandas 
da sociedade moderna. 
• Probabilidade e estatística – Planejar e construir relatórios de pesqui-
sas estatísticas descritivas, incluindo medidas de tendência central 
e construção de tabelas e diversos tipos de gráfico; definir questões 
relevantes da população a ser pesquisada, a decisão sobre a necessi-
dade ou não de usar amostra e, quando for o caso, a seleção de seus 
elementos por meio de uma adequada técnica de amostragem.
clawan/shutterstock
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 23 16/09/2020 14:16:53
XXIV MATEMÁTICA
1) Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto de 
necessidades e preocupações de diferentes culturas, em dife-
rentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui 
para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para 
alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no 
mundo do trabalho.
2) Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a ca-
pacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos 
conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
A organização didática do material decorre da compreensão das estrutu-
ras de cada conteúdo que se deseja ensinar e do entendimento de que cada 
pessoa tem sua maneira própria de aprender. Privilegiou-se a problematiza-
ção das ideias como meio de construção de conceitos e do significado das 
notações numéricas e geométricas. Os assuntos foram abordados de forma 
clara e precisa – e, na medida do possível, por meio de exemplos práticos, 
pois não se aprende matemática sem praticar.
As questões resolvidas não têm intenção de servir como “manual de 
utilização”, mas representam o pontapé inicial para as atividades a serem 
solucionadas individualmente, a fim de reforçar os conceitos já assimilados. 
A abordagem teórica segue uma linha destinada a consolidar e enriquecer 
uma teoria necessária. Procurou-se dar atenção especial para os conteúdos 
não serem apresentados de uma única maneira.
A metodologia adotada pressupõe intervenções constantes do professor, 
com a finalidade de orientar os alunos e de permitir-lhes estabelecer relações 
com situações vivenciadas anteriormente, levando-os a expressar o pensa-
mento por meio da linguagem espontânea e, posteriormente, por meio da 
linguagem matemática convencional. Dessa forma, será possível desmistificar 
os “mitos matemáticos”, que serão, então, substituídos por uma aprendizagem 
prazerosa e estimulante.
Por fim, é importante esclarecer que uma concepção de ensino que va-
loriza a criatividade, a intuição e os processos de raciocínio e de aquisição de 
conceitos necessita de uma prática pedagógica dinâmica e de um processo 
avaliativo mais abrangente e diversificado. Nesse sentido, a avaliação é parte 
do processo educativo e não deve ter caráter de finalização, ou seja, deve 
servir para evidenciar o que os alunos aprenderam e o que ainda necessitam 
aprender.
Competências específicas para a Matemática:
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 24 16/09/2020 14:16:54
XXVMATEMÁTICA
3) Compreender as relações entre conceitos e procedimentos 
dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, 
Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do co-
nhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de 
construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo 
a autoestima e a perseverança na busca de soluções.
4) Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e 
qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo 
a investigar, organizar, representar e comunicar informações 
relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, 
produzindo argumentos convincentes.
5) Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecno-
logias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas 
cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando 
estratégias e resultados.
6) Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se 
situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto 
prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, 
utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, 
esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras lin-
guagens para descrever algoritmos, como fluxogramas e dados).
7) Desenvolver ou discutir projetos que abordem, sobretudo, 
questões de urgência social, com base em princípios éticos, de-
mocráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade 
de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos 
de qualquer natureza.
8) Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando cole-
tivamente no planejamento e no desenvolvimento de pesquisas, 
para responder a questionamentos, e na busca de soluções para 
problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não 
na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo 
de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Educação 
é a Base. Versão Final. Brasília: MEC/CONSED/UNDIME, 2018.
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XXVI MATEMÁTICA
5. Programação anual de conteúdos
Nas próximas páginas, você encontrará as programações anuais de todos 
os componentes curriculares referentes aos 4 anos do Ensino Fundamental – 
Anos Finais. Elas foram organizadas para que você possa montar um grande 
painel em sua sala, se achar conveniente. Para isso, basta recortar as progra-
mações do seu livro da coordenação.
A elaboração desse painel possibilitará a você ter uma visualização com-
pleta dos conteúdos que serão trabalhados em todos os anos e todos os com-
ponentes curriculares. Dessa forma, você poderá auxiliar os seus professores 
na identificação de conteúdos que aparecem em mais de um componente 
e que poderão ser trabalhados em paralelo, bem como na elaboração de 
projetos interdisciplinares ou complementares.
O material do SAE Digital passa por atualizações constantes ao longo 
do ano, em todos os livros. Então, é importante que você fique atento para 
algumas mudanças que vierem a ocorrer nas programações dos conteúdos. 
Se isso acontecer, você pode fazer uma cópia da programação que é enviada 
bimestralmente no livro do professor. Dessa maneira, o painel da sua sala de 
coordenação estará sempre atualizado.
Ainda, no QR Code aqui disposto, apresentamos também uma propos-
ta de trabalho para os modelos trimestrais. O QRcode irá direcioná-lo a um 
arquivo em PDF. Esse arquivo pode ser impresso, e também está disponível 
para consulta no Portal.
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XXVIIMATEMÁTICA
Programação anual de conteúdos – Matemática – 9.º ano
Unidades Capítulos Conteúdos Habilidades Aulas
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1
1. Potenciação 
e radiciação
1. Potências
• Conceito de potência
• Propriedades da potenciação• Notação científica
EF09MA02
EF09MA03
EF09MA04
EF09MA18
5
2. Raízes
• Raiz de número real
• Potência com expoente fracionário
• Propriedades das raízes
• Simplificação de radicais
EF09MA02
EF09MA03 5
3. Operações com radicais
• Adição, subtração, multiplicação e divisão
• Potenciação e radiciação
• Racionalização de denominadores
EF09MA02
EF09MA03 6
2. Equações do 
2.º grau
1. Equações do 2.º grau 
completas e incompletas
• Classificação de equações do 2.º grau
• Conjunto solução de uma equação do 2.º grau
• Resolução de equações incompletas e completas
• Relações entre os coeficientes e as raízes 
em uma equação do 2.º grau
• Fatoração de trinômios do 2.º grau
EF09MA09 11
2. Equações fracionárias, 
biquadradas, irracionais 
e sistemas
• Equações redutíveis a uma equação do 2.º grau: 
equações fracionárias, biquadradas e irracionais
• Sistemas de equação do 2.º grau
EF09MA09 11
3. Sistema de 
coordenadas 
cartesianas
1. Coordenadas cartesianas 
na reta e no plano
• Coordenadas na reta numérica
• Distância de um número em relação ao zero
• Intervalos
• Par ordenado
• Coordenadas cartesianas no plano
EF09MA16 4
2. Relações e representações 
do produto cartesiano
• Representação gráfica do produto cartesiano
• Representação por diagramas do produto cartesiano
• Relações
• Domínio e imagem de uma relação
EF09MA06 4
Li
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2
4. Funções
1. Noção de função
• Relação de dependência 
• Funções
• Domínio, imagem e contradomínio
EF09MA06 4
2. Funções polinomiais 
do 1.º grau
• Função afim e linear
• Zero ou raiz da função afim
• Gráficos de funções afins no plano cartesiano 
e interpretação geométrica
• Estudo do sinal da função afim
EF09MA06 7
3. Funções polinomiais 
do 2.º grau
• Gráfico da função quadrática
• Raízes da função quadrática
• Coordenadas do vértice, máximos e mínimos
• Sinais das funções quadráticas e a concavidade da parábola
EF09MA06 7
5. Proporções 
geométricas
1. Razão e proporção
• Razão entre grandezas de mesma espécie
• Razão entre grandezas de espécies diferentes 
• Grandezas proporcionais
• Propriedades das proporções
• Razão de segmentos e segmentos proporcionais
EF09MA07
EF09MA08 7
2. Teorema de proporção
• Ângulos formados por retas paralelas 
cortadas por uma transversal
• Teorema de Tales
• Teorema das bissetrizes 
• Teorema de Pitágoras
EF09MA10
EF09MA14 12
6. Polígonos 
regulares
1. Definições
• Polígonos inscritos e circunscritos a uma circunferência
• Definições e elementos de um polígono regular
• Propriedades dos polígonos regulares
EF09MA15 7
2. Relações métricas
• Relações métricas do quadrado, do hexágono regular e do 
triângulo equilátero inscritos
• Cálculo do lado e do apótema do quadrado, do hexágono 
regular e do triângulo equilátero inscritos
EF09MA15 11
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 27 16/09/2020 14:16:54
XXVIII MATEMÁTICA
Unidades Capítulos Conteúdos Habilidades Aulas
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3
7. Estatística e 
Probabilidade
1. Organização, leitura 
e interpretação
• Organização de dados em tabelas
• Tipos de gráficos e qual o ideal para cada pesquisa
• Análise de veracidade de dados
• Leitura e interpretação
• Resolução de problemas
EF09MA21
EF09MA22
EF09MA23
4
2. Medidas de tendência 
central e de dispersão
• Média aritmética, média geométrica, moda e mediana
• Amplitude total, desvio médio, variância, desvio padrão
EF09MA22
EF09MA23 4
3. Princípio multiplicativo 
e probabilidade
• Princípio multiplicativo e árvore de possibilidades
• Probabilidade de dois eventos independentes 
ocorrerem simultaneamente
EF09MA20 6
8. Triângulos
1. Semelhança de triângulos
• Semelhança de formas geométricas
• Semelhança de triângulos e propriedades
• Propriedades dos triângulos semelhantes
EF09MA12 7
2. Relações métricas no 
triângulo retângulo
• Elementos de um triângulo retângulo
• Teorema de Pitágoras
• Relações métricas
EF09MA13
EF09MA14 7
3. Razões trigonométricas 
e relações métricas em 
um triângulo qualquer
• Razões trigonométricas no triângulo 
retângulo (seno, cosseno e tangente)
• Valores notáveis
• Relações métricas em um triângulo qualquer
• Relação do lado oposto a um ângulo agudo
• Relação do lado oposto ao ângulo obtuso
• Natureza de um triângulo quanto aos ângulos
• Lei dos senos e dos cossenos
EF09MA01 11
Li
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o 
4
9. Superfícies 
planas e 
espaciais 
1. Circunferência
• Elementos da circunferência e ângulo inscrito
• Relações entre cordas, entre secantes 
e entre secante e tangente
• Potência de um ponto em relação a uma circunferência
• Comprimento de uma circunferência
• Medida de um arco de circunferência
• O radiano e a transformação de graus em 
radianos e de radianos em graus
EF09MA11 7
2. Áreas de polígonos 
e de círculo
• Área da superfície de um polígono e polígonos equivalentes
• Área do retângulo, do quadrado, do paralelogramo, do 
triângulo, do losango e do trapézio
• Fórmula de Herão
• Distância entre pontos no plano cartesiano
• Área do setor circular
EF09MA16 7
3. Figuras espaciais
• Volume do paralelepípedo e do cubo
• Volume do cilindro reto
• Perspectiva e vistas ortogonais
EF09MA17
EF09MA19 9
10. Matemática 
financeira
1. Grandezas proporcionais, 
aumentos e descontos
• Grandezas diretamente proporcionais e 
grandezas inversamente proporcionais
• Porcentagem
• Aumentos e descontos simples
• Aumentos e descontos sucessivos 
EF09MA05
EF09MA08 9
2. Juros simples e compostos 
• Juros simples, sua fórmula e seu gráfico
• Juros compostos e sua fórmula
• Situações-problema
EF09MA05
EF09MA06 9
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Matemática
Unidade 1 | Potenciação e radiciação
Capítulo 1 | Potências .................................................................................................. 70
Capítulo 2 | Raízes ......................................................................................................... 81
Capítulo 3 | Operações com radicais .................................................................... 92
Unidade 2 | Equações do 2.º grau
Capítulo 1 | Equações do 2.º grau completas e incompletas ............... 101
Capítulo 2 | Equações fracionárias, biquadradas, 
irracionais e sistemas ......................................................................117
Unidade 3 | Sistema de coordenadas cartesianas
Capítulo 1 | Coordenadas cartesianas na reta e no plano .................... 129
Capítulo 2 | Relações e representação do produto cartesiano. ......... 140
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 69 16/09/2020 14:16:57
70 MATEMÁTICA
Objetivos do capítulo
• Ampliar e consolidar o con-
ceito de potência.
• Relembrar as propriedades 
das potências.
• Representar e interpretar 
números na forma de notação 
científica.
Realidade aumentada
• Notação científica
Encaminhamento 
metodológico
Neste capítulo, trabalhare-
mos as habilidades EF09MA02, 
EF09MA03, EF09MA04 e 
EF09MA18, indicadas na BNCC. 
A primeira, EF09MA02, é a habi-
lidade de reconhecer um núme-
ro irracional como um número 
real cuja representação decimal 
é infinita e não periódica, e 
estimar a localização de alguns 
deles na reta numérica. A segun-
da, EF09MA03, é a habilidade de 
efetuar cálculos com números 
reais, inclusive potências com 
expoentes fracionários. A tercei-
ra, EF09MA04, é a habilidade de 
resolver e elaborar problemas 
com números reais, inclusive em 
notação científica, envolvendo 
diferentes operações. A quarta, 
EF09MA18, é a habilidade de re-
conhecer e empregar unidades 
usadas para expressar medidas 
muito grandes ou muito peque-
nas, tais como distância entre 
planetas e sistemas solares, 
tamanho de vírus ou de células, 
capacidade de armazenamento 
de computadores, entre outros.
Ao desenvolver a questão 
proposta na página de abertura, 
comente com os alunos que a 
multiplicação de algumas bac-
térias acontece duas a duas em 
determinado espaço de tempo. 
Com essa informação, é possí-
vel determinar a população de 
bactérias em dado períodode 
horas. Por isso, é importante 
que os horários dos medica-
mentos sejam respeitados.
Dica para ampliar 
o trabalho
As seções Interação, 
Desenvolver e aplicar, 
Matemática e tecnologia, 
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01
Introdução à potenciação
Na natureza, nos deparamos com medidas muito grandes e muito pequenas.
 Exemplos:
Medidas muito grandes:
• distância da Terra até o Sol – aproximadamente 150 000 000 km;
• massa do Sol – 1 989 100 000 000 000 000 000 000 000 000 kg;
• velocidade da luz – aproximadamente 1 080 000 000 km/h.
Medidas muito pequenas:
• raio do átomo de hidrogênio – 0,000000005 cm;
• massa de um grão de poeira – 0,0000000007 kg;
• tamanho do vírus da caxumba – 0,0000001 cm.
Podemos escrever números astronômicos ou microscópicos de maneira mais simples usando no-
tação científica, que é uma potência de base 10. Para compreender como é feita essa representação, 
vamos relembrar a potenciação e suas propriedades.
A expressão a seguir representa a potenciação, em que a é a base e n é o expoente ( a ∈  e a ≠ 0, 
n ∈ ).
a a a a a a a an
n vezes
� � � � � � � �...� ��� ���
Portanto, dizemos que:
Potência é todo número na forma an, em que a é um número real e n é o expoente.
 Exemplos:
• 3 3 3 3 3 814
4
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vezes
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• 1
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vezes
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Voltando ao exemplo da abertura, considere que 
uma bactéria se divide em duas a cada oito horas, 
logo em 16 horas serão 4, em 24 horas serão 8, e 
assim sucessivamente.
Quantas bactérias haverá em 72 horas?
O primeiro passo é entender qual potên-
cia deve ser utilizada. Como as bactérias evoluem 
de 8 em 8 horas, basta dividir 72 por 8, obtendo 
9. Logo, como elas multiplicam-se de 2 em 2, 
devemos calcular 29.
29 = 2 · 2 · 2 · ... · 2 = 512 bactérias. 
EM TEMPO
A base sempre será o valor do fator. O ex-
poente é a quantidade de vezes que o fator 
se repete quando n é inteiro. A potência é 
o resultado desse produto.
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idade
70
1. Potências
Quando um médico receita antibióticos, ele designa um horário para que esses antibióticos sejam 
ingeridos pelo paciente. Pode ser que ele peça de 12 em 12 horas, 8 em 8 horas. Tudo depende da bactéria 
que precisa ser combatida. Esse horário deve ser respeitado, porque relaciona-se com o crescimento da 
população de bactérias. 
Você saberia dizer como acontece a proliferação de bactérias em um organismo?
1
• Introdução à potenciação
• Propriedades da potenciação
• Notação científica
Potenciação e radiciação
Escola Digital
Conexão e Ter atitude apresentam atividades contextualizadas, que buscam a interação 
com os saberes de colegas ou com informações provenientes de diferentes textos e 
imagens. Antes de iniciar o trabalho do bimestre com os alunos, sugerimos que você 
selecione essas seções em cada capítulo, reservando para cada uma um espaço ade-
quado em seu planejamento. 
Já a seção Atividades apresenta exercícios com outro objetivo: sistematizar, de 
maneira direta, os conteúdos trabalhados. A seção está localizada, geralmente, ao final 
de cada capítulo, antes do mapa conceitual. Sugerimos duas possibilidades para você 
desenvolver o trabalho com ela:
• selecionar as atividades de acordo com a sequência do conteúdo e pedir aos alunos 
que resolvam em casa;
• trabalhar com todas elas ao final do capítulo como revisão do que foi estudado.
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01
Introdução à potenciação
Na natureza, nos deparamos com medidas muito grandes e muito pequenas.
 Exemplos:
Medidas muito grandes:
• distância da Terra até o Sol – aproximadamente 150 000 000 km;
• massa do Sol – 1 989 100 000 000 000 000 000 000 000 000 kg;
• velocidade da luz – aproximadamente 1 080 000 000 km/h.
Medidas muito pequenas:
• raio do átomo de hidrogênio – 0,000000005 cm;
• massa de um grão de poeira – 0,0000000007 kg;
• tamanho do vírus da caxumba – 0,0000001 cm.
Podemos escrever números astronômicos ou microscópicos de maneira mais simples usando no-
tação científica, que é uma potência de base 10. Para compreender como é feita essa representação, 
vamos relembrar a potenciação e suas propriedades.
A expressão a seguir representa a potenciação, em que a é a base e n é o expoente ( a ∈  e a ≠ 0, 
n ∈ ).
a a a a a a a an
n vezes
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Portanto, dizemos que:
Potência é todo número na forma an, em que a é um número real e n é o expoente.
 Exemplos:
• 3 3 3 3 3 814
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vezes
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3
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vezes
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Voltando ao exemplo da abertura, considere que 
uma bactéria se divide em duas a cada oito horas, 
logo em 16 horas serão 4, em 24 horas serão 8, e 
assim sucessivamente.
Quantas bactérias haverá em 72 horas?
O primeiro passo é entender qual potên-
cia deve ser utilizada. Como as bactérias evoluem 
de 8 em 8 horas, basta dividir 72 por 8, obtendo 
9. Logo, como elas multiplicam-se de 2 em 2, 
devemos calcular 29.
29 = 2 · 2 · 2 · ... · 2 = 512 bactérias. 
EM TEMPO
A base sempre será o valor do fator. O ex-
poente é a quantidade de vezes que o fator 
se repete quando n é inteiro. A potência é 
o resultado desse produto.
Voltando ao exemplo da abertura, considere que 
uma bactéria se divide em duas a cada oito horas, 
logo em 16 horas serão 4, em 24 horas serão 8, e 
Quantas bactérias haverá em 72 horas?
O primeiro passo é entender qual potên-
cia deve ser utilizada. Como as bactérias evoluem 
de 8 em 8 horas, basta dividir 72 por 8, obtendo 
9. Logo, como elas multiplicam-se de 2 em 2, 
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Quantas bactérias haverá em 72 horas?
cia deve ser utilizada. Como as bactérias evoluem 
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70
1. Potências
Quando um médico receita antibióticos, ele designa um horário para que esses antibióticos sejam 
ingeridos pelo paciente. Pode ser que ele peça de 12 em 12 horas, 8 em 8 horas. Tudo depende da bactéria 
que precisa ser combatida. Esse horário deve ser respeitado, porque relaciona-se com o crescimento da 
população de bactérias. 
Você saberia dizer como acontece a proliferação de bactérias em um organismo?
1
• Introdução à potenciação
• Propriedades da potenciação
• Notação científica
Potenciação e radiciação
Escola Digital
Encaminhamento metodológico
Pergunte aos alunos o significado das palavras produto e fator no contexto mate-
mático. Recorde com eles que produto é o resultado de uma multiplicação de fatores 
e enfatize a importância de saberem a nomenclatura das operações. Neste momento, 
convém relembrar aos alunos algumas simbologias da matemática, tais como pertence, 
diferente e notação de conjuntos.
Esta página desenvolve a habilidade EF09MA18 ao trabalhar potências em con-
textos de medidas muito grandes ou muito pequenas.
Sugestão de atividade
1. Transforme os produtos indicados em potência:
a) 5 · 5 · 5
 Solução:
53
b) 8 · 8 · 8 · 8
 Solução:
84
2. Resolva as potências a seguir:
a) 23
 Solução:
8
b) 2
3
2
�
�
�
�
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 Solução:
4
9
3. Resolva e identifique os 
elementos de acordo com a 
nomenclatura:
a) 42
Base:
Expoente:
Potência: 
 Solução:
16
Base: 4
Expoente: 2
Potência: 16
b) 53
Base:
Expoente:
Potência:
 Solução:
125
Base: 5
Expoente: 3
Potência: 125
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72 MATEMÁTICA
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U
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01
Propriedades da potenciação
Ao efetuarmos certos cálculos com as potências, percebemos alguns padrões nas operações. Para 
facilitar a resolução dessas operações, recordaremos esses padrões em forma de propriedades já vistas 
em anos anteriores.
• Produto de potências de mesma base: 
am · an = am+ n
• Potência de uma potência:
(am)n = (a)n · m = (an)m
• Potência de um produto: 
(a · b)n = an · bn
• Quociente de potências de mesma base: 
a
a
a
m
n
m n�� �� , com a ≠ 0.
• Potência de um quociente:
a
b
a
b
n n
n
��
��
��
��
��
�� �� , com b ≠ 0.
Essas igualdades são válidas para quaisquer números m e n naturais e a e b reais.
Usando as propriedades, conseguimos mostrar que a0 = 1 e a
a
n
n
� �
1
 . Observe:
• a0 =1, com a ≠ 0.
Como a
a
n
n =1, aplicando a propriedade quociente de potências de mesma base, temos: 
1 0� � ��a
a
a a
n
n
n n . Portanto, a0 = 1.
• a
a
n
n
� �
1
, com a ≠ 0.
Como 
1 0
a
a
an n= , aplicando a propriedade potência de um quociente, temos: 
a
a
a an
n n
0
0� �� � .
1. Transforme os itens a seguir em uma só potência, sendo x um número real não nulo.
a) 57 · 52 b) x9 · x–6
c) 39 : 34 d) x7 : x–2
e) (25)3
f ) ( )x3 4−
g) 
x
x
5
3
4
�
�
�
�
�
�
�
 Solução:
a) 57 · 52 = 57+2 = 59
b) x9 · x–6 = x9+(–6) = x3
c) 39 : 34 = 39–4 = 35
d) x7 : x–2 = x7–(–2) = x9
e) (25)3 = 25 · 3 = 215
f ) (x3)–4 = x3 · (–4) = x–12
g) x
x
x
x
x
x
x x
5
3
4 5 4
3 4
20
12
20 12 32
�
�
� � �
� ��
�
�
�
�
� � � � �( )
COLOCANDO EM PRÁTICA
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01
1. Escreva os resultados das potências a seguir:
a) 52 · 2 
c) 34 · 6 
b) 23 · 5 
d) 43 · 3 
2. Escreva na forma de potência os números a seguir:
a) 225 
c) 216 
b) 
1
8
 
d) 100 
3. Calcule as seguintes potências:
a) 35
c) –32
e) 2–3
b) (–5)2
d) 20
ATIVIDADES
Cada vez mais as redes sociais fazem parte da nossa 
vida. A  velocidade com que as informações se espalham é 
tão surpreendente quanto o número de pessoas que estão 
interligadas e recebem todos esses dados.
Imagine a situação a seguir:
Uma pessoa resolveu compartilhar com 4 amigos uma 
notícia que visualizou na internet. No intervalo de 10 minutos, 
cada um de seus 4 amigos também compartilhou a notícia 
para mais 4 amigos e assim sucessivamente.
a) Quantas pessoas estarão cientes da notícia depois de uma hora? Utilize a calculadora para 
descobrir essa quantidade e preencha a tabela.
Tempo 
(minutos)
Novas pessoas que 
recebem a notícia
Representação em 
forma de potência
Total de 
pessoas
10 4 41 4
20 4 · 4 42
30 4 · 4 · 4
40
50
60
b) E em duas horas quantas pessoas estariam cientes? Pense em um modo de fazer a conta 
diretamente, sem precisar calcular para 70, 80, 90, 100, 110 e 120 minutos.
MATEMÁTICA E TECNOLOGIA
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72 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Matemática e tec-
nologia, na construção da tabe-
la, chame a atenção dos alunos 
para a relação entre o tempo 
e o expoente da potência para 
que encontrem a fórmula que 
generalize o caso. Isso tornará 
a realização da atividade mais 
fácil. Aproveite para alertá-los 
sobre a importância de sermos 
responsáveis ao divulgarmos 
informações nas redes sociais, 
expondo amigos, familiares etc.
Resposta
1. 
a) 50
b) 40
c) 486
d) 192
2. 
a) 52 · 32 ou 152
b) 2–3
c) 23 · 33
d) 52 · 22 ou 102
3. 
a) 243
b) 25
c) –9
d) 1
e) 8-1= 
1
8
A seguir, a resposta dos 
exercícios da seção Matemática 
e tecnologia.
As respostas referentes 
ao exercício a estão no Livro do 
aluno.
b) Sabemos que uma 
hora tem 60 minutos, logo, 
2 horas = 2 · 60 = 120 minutos.
Observando a tabela, con-
seguimos deduzir a fórmula que 
nos dá o número de pessoas 
que recebem a notícia a cada 
dez minutos, portanto temos:
410
t
 = 412 = 16 777 216 
pessoas.
4 · 4 · 4 · 4
43
16
256
64
4 096
1 02445
44
46
4 · 4 · 4 · 4 · 4
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4
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01
Propriedades da potenciação
Ao efetuarmos certos cálculos com as potências, percebemos alguns padrões nas operações. Para 
facilitar a resolução dessas operações, recordaremos esses padrões em forma de propriedades já vistas 
em anos anteriores.
• Produto de potências de mesma base: 
am · an = am + n
• Potência de uma potência:
(am)n = (a)n · m = (an)m
• Potência de um produto: 
(a · b)n = an · bn
• Quociente de potências de mesma base: 
a
a
a
m
n
m n�� �� , com a ≠ 0.
• Potência de um quociente:
a
b
a
b
n n
n
��
��
��
��
��
�� �� , com b ≠ 0.
Essas igualdades são válidas para quaisquer números m e n naturais e a e b reais.
Usando as propriedades, conseguimos mostrar que a0 = 1 e a
a
n
n
� �
1
 . Observe:
• a0 =1, com a ≠ 0.
Como a
a
n
n =1, aplicando a propriedade quociente de potências de mesma base, temos: 
1 0� � ��a
a
a a
n
n
n n . Portanto, a0 = 1.
• a
a
n
n
� �
1
, com a ≠ 0.
Como 
1 0
a
a
an n= , aplicando a propriedade potência de um quociente, temos: 
a
a
a an
n n
0
0� �� � .
1. Transforme os itens a seguir em uma só potência, sendo x um número real não nulo.
a) 57 · 52 b) x9 · x–6
c) 39 : 34 d) x7 : x–2
e) (25)3
f ) ( )x3 4−
g) 
x
x
5
3
4
�
�
�
�
�
�
�
 Solução:
a) 57 · 52 = 57+2 = 59
b) x9 · x–6 = x9+(–6) = x3
c) 39 : 34 = 39–4 = 35
d) x7 : x–2 = x7–(–2) = x9
e) (25)3 = 25 · 3 = 215
f ) (x3)–4 = x3 · (–4) = x–12
g) x
x
x
x
x
x
x x
5
3
4 5 4
3 4
20
12
20 12 32
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� ��
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COLOCANDO EM PRÁTICA
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01
1. Escreva os resultados das potências a seguir:
a) 52 · 2 
c) 34 · 6 
b) 23 · 5 
d) 43 · 3 
2. Escreva na forma de potência os números a seguir:
a) 225 
c) 216 
b) 
1
8
 
d) 100 
3. Calcule as seguintes potências:
a) 35
c) –32
e) 2–3
b) (–5)2
d) 20
ATIVIDADES
Cada vez mais as redes sociais fazem parte da nossa 
vida. A  velocidade com que as informações se espalham é 
tão surpreendente quanto o número de pessoas que estão 
interligadas e recebem todos esses dados.
Imagine a situação a seguir:
Uma pessoa resolveu compartilhar com 4 amigos uma 
notícia que visualizou na internet. No intervalo de 10 minutos, 
cada um de seus 4 amigos também compartilhou a notícia 
para mais 4 amigos e assim sucessivamente.
a) Quantas pessoas estarão cientes da notícia depois de uma hora? Utilize a calculadora para 
descobrir essa quantidade e preencha a tabela.
Tempo 
(minutos)
Novas pessoas que 
recebem a notícia
Representação em 
forma de potência
Total de 
pessoas
10 4 41 4
20 4 · 4 42
30 4 · 4 · 4
40
50
60
b) E em duas horas quantas pessoas estariam cientes? Pense em um modo de fazer a conta 
diretamente, sem precisar calcular para 70, 80, 90, 100, 110 e 120 minutos.
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72 MATEMÁTICA
Dica para ampliar o trabalho
[...]
Uma das primeiras referências à operação de potenciação encontra-se num papi-
ro egípcio que remonta ao final do Império Médio (cerca de 2100-1580 a.C.). Ao ser ali 
apresentado o cálculo do volume de uma pirâmide quadrangular, é usado um par de 
pernas como símbolo para o quadrado de um número [...].
A noção de potência era, também, conhecida dos babilônios. Recordando o seu 
sistema de numeração sexagesimal, observa-se o conteúdo de uma antiga tabuinha 
babilônica de argila conhecida como a tabuinha de Larsa.
2 401 é igual a 49 ao quadrado
2 500 é igual a 50 ao quadrado
2 601 é igual a 51 ao quadrado
..........
3 364 é igual a 58 ao quadrado
3 481 é igual a 59 ao quadrado
3 600 é igual a 60 ao quadrado
Placa de Larsa.
[...]
Noutras tábuas antigas, 
encontraram-se tabelas conten-
do as potências sucessivas de 
um dado número. Estas eram 
utilizadas para resolver certos 
problemas de astronomia e de 
operações comerciais.
[...]
OLIVEIRA, H.; PONTE, J. P. Marcos 
históricos no desenvolvimento do 
conceito de 
potência. Revista Educação & 
Matemática, n. 52, p. 29-34. 1999.
Sugestão de atividade
Na seção Dica para ampliar 
o trabalho, é explorado um pou-
co da história da Matemática 
e da potenciação. Se possível, 
peça aos alunos que façam uma 
pesquisa sobre a história da 
potenciação. Para isso, organize 
a turma em grupos e soliciteque eles montem cartazes para 
a apresentação.
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 73 16/09/2020 14:19:00
74 MATEMÁTICA
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01
Notação científica
Para facilitar a escrita de números que possuem muitos algarismos iguais a zero, pode-se utilizar 
as potências. 
A representação de um número escrito como produto de um número entre 1 e 10, inclusive 
1, por uma potência de base 10 é denominada notação científica:
a · 10b, em que 1 ≤ a < 10 ∈ , b ∈ .
 Exemplo:
Como vimos anteriormente, a dis-
tância do Sol à Terra é de aproxima-
damente 150 000 000 km. Podemos 
indicar esse valor usando potências 
na base 10.
• 1,5 · 100 000 000 km = 1,5 · 10 8 km
Já o raio do átomo de hidrogênio, 
que tem valor de 0,000000005 cm, em 
potência na base 10, ficará:
• 0,000000005 cm = 5 · 10–9 cm
Ordem de grandeza
Em algumas situações, principalmente com números muito grandes ou muito pequenos, traba-
lhamos apenas com algumas casas decimais relevantes. Nessas situações, utilizamos a potência de 10 
mais próxima desse número. Essa representação é denominada ordem de grandeza.
Na notação científica, se o expoente for positivo, ele indica a quantidade de vezes que a vírgula 
deve ser deslocada para a direita. Se o expoente for negativo, ele indica a quantidade de vezes 
que a vírgula deve ser deslocada para a esquerda.
1. Escreva os números a seguir utilizando a notação científica.
a) Distância da Terra até a estrela mais próxima: 40 000 000 000 000 000 m. 
b) Velocidade da luz: 1 080 000 000 km/h. 
c) Raio da Terra: 6 370 000 m. 
d) Massa de um grão de poeira: 0,0000000007 kg. 
e) Tamanho do vírus da caxumba: 0,0000001 cm. 
ATIVIDADES
Terra e Sol.
M
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he
la
ng
el
us
/S
hu
tt
er
st
oc
k
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01
1. Reduza a uma só potência as operações utilizando as propriedades da potenciação.
a) 43 · 42
c) (32)2
e) 3
2
4
4
g) 25 : 23
i) (72)3
b) 87 : 8³ 
d) 4³ · 2³ 
f ) 43 · 4 · 42
h) 94 : 9 
j) (44)5
2. Utilizando as propriedades de potenciação, reduza a uma só potência as operações algébricas 
a seguir:
a) a³ · a2 · a2
b) m2 : m 
c) (m3)4
d) (x5 · y5) 
e) a
b
3
3
f ) a2 · a2 · a2
g) x8 · x · x 
h) 
y
y
4
0
i) (a2)3
j) (m–2)7
3. Dados a = 20 – 4–1, b = 20 – 2–1 e c = 40 + 2–1, calcule o valor de:
a) a + b = 
b) a – b = 
c) b – c = 
d) b + c =
4. Calcule o valor das expressões.
a) 13 · 5 + 42 = 
b) 3 · 61 – 4 · 80 = 
c) 72 – 3 · 42 – 1 = 
d) 90 – [6 . (22: 4) + 32] = 
e) 42 + 23 – 2 · (2 + 32) = 
f ) 92 : 32 + 4 · 10 – 12 = 
g) (72 – 1 ) : 3 + 2 · 5 = 
h) 50 : { –5 + [ –1 –
( )
( )
−
−
2
2
5
3 ]} = 
ATIVIDADES
74 MATEMÁTICA
Resposta
1. 
a) 45
b) 84
c) 34
d) 29
e) 
3
2
4
�
�
�
�
�
�
f) 46
g) 22
h) 93
i) 76
j) 420
2. 
a) a7
b) m
c) m12
d) (x · y)5
e) 
a
b
�
�
�
�
�
�
3
f ) a6
g) x10
h) y4
i) a6
j) m–14
3. 
a) 
5
4
b) 
1
4
c) –1
d) 2
4. 
a) 21
b) 14
c) 0
d) 75
e) 2
f ) 37
g) 26
h) –5
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75MATEMÁTICA
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01
Notação científica
Para facilitar a escrita de números que possuem muitos algarismos iguais a zero, pode-se utilizar 
as potências. 
A representação de um número escrito como produto de um número entre 1 e 10, inclusive 
1, por uma potência de base 10 é denominada notação científica:
a · 10b, em que 1 ≤ a < 10 ∈ , b ∈ .
 Exemplo:
Como vimos anteriormente, a dis-
tância do Sol à Terra é de aproxima-
damente 150 000 000 km. Podemos 
indicar esse valor usando potências 
na base 10.
• 1,5 · 100 000 000 km = 1,5 · 10 8 km
Já o raio do átomo de hidrogênio, 
que tem valor de 0,000000005 cm, em 
potência na base 10, ficará:
• 0,000000005 cm = 5 · 10–9 cm
Ordem de grandeza
Em algumas situações, principalmente com números muito grandes ou muito pequenos, traba-
lhamos apenas com algumas casas decimais relevantes. Nessas situações, utilizamos a potência de 10 
mais próxima desse número. Essa representação é denominada ordem de grandeza.
Na notação científica, se o expoente for positivo, ele indica a quantidade de vezes que a vírgula 
deve ser deslocada para a direita. Se o expoente for negativo, ele indica a quantidade de vezes 
que a vírgula deve ser deslocada para a esquerda.
1. Escreva os números a seguir utilizando a notação científica.
a) Distância da Terra até a estrela mais próxima: 40 000 000 000 000 000 m. 
b) Velocidade da luz: 1 080 000 000 km/h. 
c) Raio da Terra: 6 370 000 m. 
d) Massa de um grão de poeira: 0,0000000007 kg. 
e) Tamanho do vírus da caxumba: 0,0000001 cm. 
ATIVIDADES
Terra e Sol.
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01
1. Reduza a uma só potência as operações utilizando as propriedades da potenciação.
a) 43 · 42
c) (32)2
e) 3
2
4
4
g) 25 : 23
i) (72)3
b) 87 : 8³ 
d) 4³ · 2³ 
f ) 43 · 4 · 42
h) 94 : 9 
j) (44)5
2. Utilizando as propriedades de potenciação, reduza a uma só potência as operações algébricas 
a seguir:
a) a³ · a2 · a2
b) m2 : m 
c) (m3)4
d) (x5 · y5) 
e) a
b
3
3
f ) a2 · a2 · a2
g) x8 · x · x 
h) 
y
y
4
0
i) (a2)3
j) (m–2)7
3. Dados a = 20 – 4–1, b = 20 – 2–1 e c = 40 + 2–1, calcule o valor de:
a) a + b = 
b) a – b = 
c) b – c = 
d) b + c =
4. Calcule o valor das expressões.
a) 13 · 5 + 42 = 
b) 3 · 61 – 4 · 80 = 
c) 72 – 3 · 42 – 1 = 
d) 90 – [6 . (22: 4) + 32] = 
e) 42 + 23 – 2 · (2 + 32) = 
f ) 92 : 32 + 4 · 10 – 12 = 
g) (72 – 1 ) : 3 + 2 · 5 = 
h) 50 : { –5 + [ –1 –
( )
( )
−
−
2
2
5
3 ]} = 
ATIVIDADES
74 MATEMÁTICA
Encaminhamento metodológico
Quando estiver trabalhando com a notação científica, é importante destacar o 
fato de a notação científica ser um recurso para facilitar o registro de grandes e peque-
nas quantidades. Após a apresentação da definição, questione os alunos qual é a ordem 
de grandeza do produto entre os números 1012 e 109. Alguns podem responder que é 
1021 e outros podem nos dar uma estimativa. Porém, enfatize com os alunos que se a
e b têm ordens de grandeza m e n, respectivamente, então, a ordem dessa grandeza 
pode assumir os valores 10m+n e 10m+n+1. 
Resposta
1. 
a) 4 · 1016 m
b) 1,08 · 109 km/h
c) 6,37 · 106 m
d) 7 · 10–10 kg
e) 1 · 10–7 cm
Orientação para RA
Na seção Atividades, peça 
aos alunos que observem a 
quantidade de zeros que o nú-
mero possui, se o número é me-
nor que zero (número pequeno) 
ou se é maior que zero (número 
grande).
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 75 16/09/2020 14:19:19
76 MATEMÁTICA
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1. Na família de dona Júlia, todos decidiram 
ter 3 filhos. Dona Júlia teve 3 e seus 3 filhos 
também tiveram 3 filhos. Cada neto teve 3 fi-
lhos e seus bisnetos também tiveram 3 cada 
um. No final dessa 5.ª geração, há quantas 
pessoas na família de dona Júlia?
2. Na computação, o byte é a unidade de ar-
mazenamento de memória no computador. 
Assim:
• 1 byte = 8 bits ⇒ 1 B = 23 bits
• 1 kilobyte = 1 024 bits ⇒ 1 kB = 210 bits
• 1 megabyte = 1 024 kB
• 1 gigabyte = 230 bytes
Com base nas informações, responda:
a) qual é o valor de 1 byte vezes 1 kilobyte
em bits?
b) quantos bits há em 1 megabyte?
c) qual é o valor de 1 gigabyte em bits?
3. Escreva os números que aparecem nas frases 
utilizando notação científica.
a) O Brasil tem aproximadamente 
210  milhões de habitantes.
b) Um micrômetro é igual a 0,000001 m.
c) Massa do Sol: 1 989 100 000 000 000 000 
000 000 000 000 kg.
4. A massa de um grão de arroz é 2 · 10–2 g. Um 
saco contém 7 · 103 grãos de arroz. Qual é a 
massa de 30 sacos de arroz?
5. Leia as informações a seguir sobre um dos 
mais bonitos parques nacionais e uma das 
estações ecológicas do Brasil.
Anavilhanas
Estação ecológica de 335 mil ha, criada em 
1981. Inclui 400 ilhas em forma de correntes, 
nas águas do Rio Negro, no Amazonas.
Chapada dos Guimarães
Parque criado em 1989 no Mato Grosso. 
Ainda não possui demarcação em metade 
de sua área total de 33 mil ha.
Sabendo que1 hectare (1 ha) equivale a 
10 000 m², escreva, utilizando notação 
científica, a área desses locais, em metros 
quadrados.
a) Anavilhanas:
b) Chapada dos Guimarães:
ATIVIDADES
1. (IFCE) Calculando-se o valor da 
expressão 
18 4
2 6 3
n
n n
�
�� � , encontra-se:
a) 2n
b) 6n
c) 8
d) 4
e) 2
2. (IFCE) Simplificando a expressão 
4 8 2 0 75
3
2
2
3 2� �
�
�
�
�
�
�
�
� : , , obtemos:
a) 
8
25
c) 
16
3
e) 
32
3
b) 
16
25
d) 
21
2
DE OLHO NA PROVA
77MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
_L
1_
U
1_
01
Físicos, químicos, biólogos, engenheiros, astrônomos e outros especialistas utilizam muito o 
recurso da notação científica. Você sabia que existem prefixos e sufixos para representar algumas 
potências de 10?
Pesquise no site do Inmetro quatro prefixos e preencha a tabela a seguir com o símbolo, o 
valor e a notação científica de cada um deles.
Prefixo
Valor
Notação
DESENVOLVER E APLICAR
Reúna-se com um colega e completem a tabela a seguir.
Propriedade Valor Em Notação 
Científica
Distância de Mercúrio ao Sol 57 900 000 km
Distância de Vênus ao Sol 1,082 · 108 km
Distância de Marte ao Sol 227 900 000 km
Velocidade da luz no vácuo 3 · 108 m/s
Velocidade da luz na água 225 000 000 m/s
Velocidade da luz no diamante 2 · 108 m/s
a) Qual foi a maior velocidade encontrada?
b) Qual foi a menor velocidade encontrada?
c) É mais fácil escrever um número em notação científica quando ele é muito grande ou muito 
pequeno? Por quê?
INTERAÇÃO
76 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Desenvolver e 
aplicar, pergunte aos alunos se 
eles já ouviram falar em prefixo 
ou sufixo, depois, dê alguns 
exemplos que já fazem parte 
do dia a dia deles, como mega, 
que utilizamos para indicar a 
memória RAM do computador 
(ou notebook, celular etc.) ou 
giga, que utilizamos para indicar 
a capacidade de armazenamen-
to de iten s do computador (ou 
notebook, celular etc.). A seguir, 
o site do Inmetro.
• www.inmetro.gov.br.
Resposta
As respostas para a 
seção Desenvolver e aplicar são 
pessoais.
As respostas para a seção 
Interação estão no Livro do aluno. 
Dica para ampliar 
o trabalho
Tabelas contendo alguns 
prefixos:
N
om
e 
do
 
pr
ef
ix
o
Sí
m
bo
lo
 d
o 
pr
ef
ix
o
Q
ua
nt
id
ad
e 
pe
la
 q
ua
l a
 u
ni
da
de
 
é 
m
ul
ti
pl
ic
ad
a
te
ra
T
10
12
 =
 1
 0
00
 0
00
 0
00
 0
00
gi
ga
G
10
9 =
 1
 0
00
 0
00
 0
00
m
eg
a
M
10
6 =
 1
 0
00
 0
00
qu
ilo
K
10
3 =
 1
 0
00
he
ct
o
H
10
2 =
 1
00
de
ca
da
10
Nome do 
prefixo
Símbolo do 
prefixo
Quantidade pela qual a unidade 
é multiplicada
deci d 10-1 = 0,1
centi c 10-2 = 0,01
mili m 10-3 = 0,001
micro µ 10-6 = 0,000001
nano n 10-9 = 0,000000001
5,79 · 107 km
2,279 · 108 km
2,25 · 108 m/s
108 200 000 km
Distância de Marte ao Sol.
Velocidade de Luz no diamante.
Resposta pessoal. Espera-se que o aluno perceba que nos dois casos utilizar a 
notação científica é melhor.
300 000 000 m/s
200 000 000 m/s
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 76 16/09/2020 14:19:27
77MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
_L
1_
U
1_
01
1. Na família de dona Júlia, todos decidiram 
ter 3 filhos. Dona Júlia teve 3 e seus 3 filhos 
também tiveram 3 filhos. Cada neto teve 3 fi-
lhos e seus bisnetos também tiveram 3 cada 
um. No final dessa 5.ª geração, há quantas 
pessoas na família de dona Júlia?
2. Na computação, o byte é a unidade de ar-
mazenamento de memória no computador. 
Assim:
• 1 byte = 8 bits ⇒ 1 B = 23 bits
• 1 kilobyte = 1 024 bits ⇒ 1 kB = 210 bits
• 1 megabyte = 1 024 kB
• 1 gigabyte = 230 bytes
Com base nas informações, responda:
a) qual é o valor de 1 byte vezes 1 kilobyte
em bits?
b) quantos bits há em 1 megabyte?
c) qual é o valor de 1 gigabyte em bits?
3. Escreva os números que aparecem nas frases 
utilizando notação científica.
a) O Brasil tem aproximadamente 
210  milhões de habitantes.
b) Um micrômetro é igual a 0,000001 m.
c) Massa do Sol: 1 989 100 000 000 000 000 
000 000 000 000 kg.
4. A massa de um grão de arroz é 2 · 10–2 g. Um 
saco contém 7 · 103 grãos de arroz. Qual é a 
massa de 30 sacos de arroz?
5. Leia as informações a seguir sobre um dos 
mais bonitos parques nacionais e uma das 
estações ecológicas do Brasil.
Anavilhanas
Estação ecológica de 335 mil ha, criada em 
1981. Inclui 400 ilhas em forma de correntes, 
nas águas do Rio Negro, no Amazonas.
Chapada dos Guimarães
Parque criado em 1989 no Mato Grosso. 
Ainda não possui demarcação em metade 
de sua área total de 33 mil ha.
Sabendo que 1 hectare (1 ha) equivale a 
10 000 m², escreva, utilizando notação 
científica, a área desses locais, em metros 
quadrados.
a) Anavilhanas:
b) Chapada dos Guimarães:
ATIVIDADES
1. (IFCE) Calculando-se o valor da 
expressão 
18 4
2 6 3
n
n n
�
�� � , encontra-se:
a) 2n
b) 6n
c) 8
d) 4
e) 2
2. (IFCE) Simplificando a expressão 
4 8 2 0 75
3
2
2
3 2� �
�
�
�
�
�
�
�
� : , , obtemos:
a) 
8
25
c) 
16
3
e) 
32
3
b) 
16
25
d) 
21
2
DE OLHO NA PROVA
77MATEMÁTICA
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21
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1_
U
1_
01
Físicos, químicos, biólogos, engenheiros, astrônomos e outros especialistas utilizam muito o 
recurso da notação científica. Você sabia que existem prefixos e sufixos para representar algumas 
potências de 10?
Pesquise no site do Inmetro quatro prefixos e preencha a tabela a seguir com o símbolo, o 
valor e a notação científica de cada um deles.
Prefixo
Valor
Notação
DESENVOLVER E APLICAR
Reúna-se com um colega e completem a tabela a seguir.
Propriedade Valor Em Notação 
Científica
Distância de Mercúrio ao Sol 57 900 000 km
Distância de Vênus ao Sol 1,082 · 108 km
Distância de Marte ao Sol 227 900 000 km
Velocidade da luz no vácuo 3 · 108 m/s
Velocidade da luz na água 225 000 000 m/s
Velocidade da luz no diamante 2 · 108 m/s
a) Qual foi a maior velocidade encontrada?
b) Qual foi a menor velocidade encontrada?
c) É mais fácil escrever um número em notação científica quando ele é muito grande ou muito 
pequeno? Por quê?
INTERAÇÃO
76 MATEMÁTICA
Resposta
1. 34 + 33 + 32 + 31 + 30 = 121
2. 
a) 213 bits
b) 220 bits
c) 233 bits
3. 
a) 2,1 · 108 habitantes. 
b) 1 · 10–6 m
c) 1,9891 · 1030 kg
4. 4,2 · 103 g
5. 
a) 3,35 · 109 m2
b) 3,3 · 108 m2
As respostas para a seção 
De olho na prova são:
1. E
2. E
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 77 16/09/2020 14:19:28
78 MATEMÁTICA
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21
_9
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U
1_
01
11. (OBMEP) No primeiro estágio de um jogo, Pedro escreve o número 3 em um triângulo e o 
número 2 em um quadrado. Em cada estágio seguinte, Pedro escreve no triângulo a soma 
dos números do estágio anterior e no quadrado a diferença entre o maior e o menor desses 
números. Qual é o número escrito no triângulo do 56.° estágio?
a) 3 x 226
c) 5 x 256
e) 5 x 227
b) 5 x 228
d) 3 x 228
1.° estágio
3
2
2.° estágio
5
1
12. (Enem) A Administração Nacional de Aeronáutica e Espaço (NASA) informou que o asteroide YU 55 
cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere 
que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua 
em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, 
a menor distância que ele passou da superfície terrestre.
Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície 
da Terra é igual a:
a) 3,25 × 102 km b) 3,25 × 103 km
c) 3,25 × 104 km d) 3,25 × 105 km
e) 3,25 × 106 km
13. (Mackenzie) A expressão 
( )� � ��
�
�
�
�
�
� ��
5 3
2
3
3
1
5
1
2
2 2
0
2
 é igual a: 
a) 
3150
17
b) 90
c) 
1530
73
d) 17
3150
e) –90
79MATEMÁTICA
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1_
U
1_
01
1. Calcule as seguintes potências:
a) 41
b) (–2)5
c) 30
d) ��
�
�
�
�
�
�
2
3
1
e) –43
f ) –25
g) (–3)3
h) –33
i) 5
9
2
�
�
�
�
�
�
j) ��
�
�
�
�
�
5
9
2
2. Transforme em uma só potência.
a) 24 · 23 · 2
b) 32 · 3–5 · 3 
c) 5x · 54
d) 10n · 10–2
e) 7x+3 · 7x–3
f ) 79 · 7–6
g) 10–9 · 10 · 105
h) 64 : 65
i) 26 : 2–33. Simplifique as expressões numéricas a 
seguir:
a) (–2)2 – 2–1 
b) 40 + 4–1 – 5–1 
c) 2 · 10–1 + 3 · 2–2 
d) �� � �
�� �
5 4
2 2
2 2
1 2
4. (IFAL) Assinale a alternativa errada. 
a) –32 = –9
b) –23 = –8
c) 24 = 42 = 16, logo, é verdade que 23 = 32
d) (3 + 4)2 = 49
e) (8 – 3)3 = 125
5. (IBFC–2015) O valor da expressão 
{32 – [ 2 · (–2 + 5)3 – 22 ] · (–1) } é:
a) 59
b) –41
c) 67
d) 41
6. (Fatec) Das três sentenças abaixo:
I. 2x+3 = 2x · 23
II. (25)x = 52x
III. 2x + 3x = 5x
a) somente a I é verdadeira;
b) somente a II é verdadeira;
c) somente a III é verdadeira;
d) somente a II é falsa;
e) somente a III é falsa.
7. (AOCP-2014) Qual é o resultado de uma po-
tenciação em que o expoente é igual a 3 e a 
base é o número que, elevado ao quadrado, 
é igual a 9?
a) 3
b) 9
c) 18
d) 27
e) 81
8. Simplificando a expressão 6 10 10 10
6 10 10
2 4 8
1 4
� � �
� �
�
�
, 
obtemos qual valor? 
9. A dimensão de um vírus é de, aproximada-
mente, 0,0008 mm. Escreva esse número 
usando notação científica. 
10. (UFRGS) Um adulto humano saudável abriga 
cerca de 100 bilhões de bactérias, somente 
em seu trato digestivo. Esse número de 
bactérias pode ser escrito como:
a) 109
b) 1010
c) 1011
d) 1012
e) 1013
VAMOS PRATICAR MAIS?
78 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Vamos praticar 
mais?, é apresentado aos alunos 
atividades de fixação sobre o 
conteúdo estudado. Comente 
com eles que são questões 
desafiadoras e que devem ser 
resolvidas no caderno. 
Resposta
1. 
a) 4
b) –32 
c) 1
d) ��
�
�
�
�
�
3
2
e) –64
f ) –32
g) –27
h) –27
i) 
25
81
j) 25
81
2. 
a) 28
b) 3–2
c) 5x + 4
d) 10n – 2
e) 72x
f ) 73
g) 10–3
h) 6–1
i) 29
3. 
a) 
7
2
b) 
21
20
c) 
19
20
d) 12
4. C
5. A
6. E
7. D
8. 103
9. 8 · 10–4
10. C
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 78 16/09/2020 14:19:38
79MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
_L
1_
U
1_
01
11. (OBMEP) No primeiro estágio de um jogo, Pedro escreve o número 3 em um triângulo e o 
número 2 em um quadrado. Em cada estágio seguinte, Pedro escreve no triângulo a soma 
dos números do estágio anterior e no quadrado a diferença entre o maior e o menor desses 
números. Qual é o número escrito no triângulo do 56.° estágio?
a) 3 x 226
c) 5 x 256
e) 5 x 227
b) 5 x 228
d) 3 x 228
1.° estágio
3
2
2.° estágio
5
1
12. (Enem) A Administração Nacional de Aeronáutica e Espaço (NASA) informou que o asteroide YU 55 
cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere 
que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua 
em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, 
a menor distância que ele passou da superfície terrestre.
Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície 
da Terra é igual a:
a) 3,25 × 102 km b) 3,25 × 103 km
c) 3,25 × 104 km d) 3,25 × 105 km
e) 3,25 × 106 km
13. (Mackenzie) A expressão 
( )� � ��
�
�
�
�
�
� ��
5 3
2
3
3
1
5
1
2
2 2
0
2
 é igual a: 
a) 
3150
17
b) 90
c) 
1530
73
d) 17
3150
e) –90
79MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
_L
1_
U
1_
01
1. Calcule as seguintes potências:
a) 41
b) (–2)5
c) 30
d) ��
�
�
�
�
�
�
2
3
1
e) –43
f ) –25
g) (–3)3
h) –33
i) 5
9
2
�
�
�
�
�
�
j) ��
�
�
�
�
�
5
9
2
2. Transforme em uma só potência.
a) 24 · 23 · 2
b) 32 · 3–5 · 3 
c) 5x · 54
d) 10n · 10–2
e) 7x+3 · 7x–3
f ) 79 · 7–6
g) 10–9 · 10 · 105
h) 64 : 65
i) 26 : 2–3
3. Simplifique as expressões numéricas a 
seguir:
a) (–2)2 – 2–1 
b) 40 + 4–1 – 5–1 
c) 2 · 10–1 + 3 · 2–2 
d) �� � �
�� �
5 4
2 2
2 2
1 2
4. (IFAL) Assinale a alternativa errada. 
a) –32 = –9
b) –23 = –8
c) 24 = 42 = 16, logo, é verdade que 23 = 32
d) (3 + 4)2 = 49
e) (8 – 3)3 = 125
5. (IBFC–2015) O valor da expressão 
{32 – [ 2 · (–2 + 5)3 – 22 ] · (–1) } é:
a) 59
b) –41
c) 67
d) 41
6. (Fatec) Das três sentenças abaixo:
I. 2x+3 = 2x · 23
II. (25)x = 52x
III. 2x + 3x = 5x
a) somente a I é verdadeira;
b) somente a II é verdadeira;
c) somente a III é verdadeira;
d) somente a II é falsa;
e) somente a III é falsa.
7. (AOCP-2014) Qual é o resultado de uma po-
tenciação em que o expoente é igual a 3 e a 
base é o número que, elevado ao quadrado, 
é igual a 9?
a) 3
b) 9
c) 18
d) 27
e) 81
8. Simplificando a expressão 6 10 10 10
6 10 10
2 4 8
1 4
� � �
� �
�
�
, 
obtemos qual valor? 
9. A dimensão de um vírus é de, aproximada-
mente, 0,0008 mm. Escreva esse número 
usando notação científica. 
10. (UFRGS) Um adulto humano saudável abriga 
cerca de 100 bilhões de bactérias, somente 
em seu trato digestivo. Esse número de 
bactérias pode ser escrito como:
a) 109
b) 1010
c) 1011
d) 1012
e) 1013
VAMOS PRATICAR MAIS?
78 MATEMÁTICA
Resposta
11. E
12. D 
13. C
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 79 16/09/2020 14:19:39
80 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
A proposta desta seção é 
validar e verificar a aprendiza-
gem do aluno. O mapa concei-
tual tem como objetivo princi-
pal sintetizar o conhecimento 
adquirido, por isso é importante 
que o aluno contribua com a 
sua construção. Essa prática 
pode ajudá-lo a organizar os 
assuntos e os temas relaciona-
dos aos conceitos trabalhados 
durante toda a sequência didáti-
ca do livro.
Sugerimos que essa seção 
seja explorada em todo o seu 
potencial, não só com enfoque 
na validação da aprendizagem 
do aluno, mas também na 
autocrítica do professor, uma 
vez que ela pode dar insumos 
para todo o processo de ensino 
e aprendizagem, oferecendo 
dados e relatos para uma ava-
liação e validação dos objetivos 
propostos. Para isto, deixamos 
espaços no mapa conceitual 
desta página para que os alunos 
possam preenchê-los. Os itens a 
serem preenchidos seguem no 
Livro do aluno.
Potências – Relacionando conceitos
1,2 · 10–5
a · 10b
Em que 1 ≤ a < 10 
b ∈ 
an, n ∈ 
POTÊNCIA
23 · 25 = 28 (2 · 3)2 = 22 · 32
propriedades
(am)n = am · n (a · b)n = an · bn
exemplo
é
apresentaestá em
quando
como
exemplo exemplo exemplo exemplo exemplo
a
b
a
b
n n
n
�
�
�
�
�
� �
2
3
2
3
3 3
3
�
�
�
�
�
� �2
2
2
5
2
3=
80 MATEMÁTICA
notação científica
am · an = am + n
(22)3 = 26
a
a
a
n
m
m n� �
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 80 16/09/2020 14:19:46
81MATEMÁTICA
PrinceOfLove/Shutterstock
PrinceOfLove/Shutterstock
PrinceOfLove/Shutterstock
PrPriPirnrnininncncenececeeOeOOOOOfOfLOLfLfLofoLoLoovoveoeveve/v/e/e/SeS/S/SShShhuhuututtuttttteteteteerersesrsrstrtststosototoococckckk
un
idade
81
2. Raízes
O som sempre despertou a curiosidade do ser humano. As diferentes formas de se produzir uma onda 
sonora e o sentimento que ela desperta foram fundamentais para o desenvolvimento da acústica. O som 
é uma onda mecânica tridimensional que resulta da vibração de um corpo, denominado fonte sonora. Os 
instrumentos musicais e as pregas vocais são fontes sonoras importantes. Ao atingirem a orelha, essas ondas 
provocam vibrações semelhantes no tímpano e elas transformam-se em impulsos elétricos enviados ao cé-
rebro, provocando a sensação sonora. Dependendo do meio em que a onda é transmitida e da temperatura, 
o som pode assumir valores diferentes de velocidade de propagação. 
A equação da velocidade do som no ar em função da temperatura é dada por v t� � �20 273 15, .
Você lembra quais são os nomes das operações que aparecem nessa equação?
1
• Raiz de um número real
• Potência com expoente fracionário
• Propriedades das raízes
• Simplificação de radicais
• Inclusão de fator no radicando
Potenciação e radiciação
Escola Digital
Objetivos do capítulo
• Ampliar o significado da radiciação.
• Relembrar as propriedades da radiciação.
• Compreender os conceitos de raiz de um número real, potência com expoente 
fracionário e simplificação de radicais.
Realidade aumentada
• Radicais com soluções no conjunto dos reais
Encaminhamento metodológico
Neste capítulo, trabalharemos as habilidades EF09MA02e EF09MA03, indicadas 
na BNCC. A primeira, EF09MA02, é a habilidade de reconhecer um número irracional 
como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar 
a localização de alguns deles 
na reta numérica. A segunda, 
EF09MA03, é a habilidade de 
efetuar cálculos com números 
reais, inclusive potências com 
expoentes fracionários.
Apesar de o texto inicial 
abordar um conceito de Física 
que os alunos estudarão poste-
riormente, o objetivo do texto é 
fazer com que os alunos reco-
nheçam a operação de radicia-
ção na equação apresentada. É 
possível fazer alguns exemplos 
numéricos, com o auxílio de 
uma calculadora.
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Você sabe onde apareceu pela primeira vez o símbolo de raiz?
O símbolo de raiz apareceu impresso pela primeira vez em 
1525, no texto Die Coss, de Christoff Rudolff. Esse símbolo pode ter 
sido usado por lembrar a forma manuscrita da letra minúscula r
(radix) ou pode ter sido uma invenção arbitrária. As raízes cúbicas e 
quartas eram indicadas, respectivamente, por c e . O símbolo de 
Rudolff não teve aceitação imediata, mesmo na Alemanha, sua terra 
natal. A letra l (latus, “lado”) era usada com frequência. Assim, l4 era 
usada para indicar 4 e lc5 para 53 . Por volta do século XVII, porém, 
o uso do símbolo de Rudolff para a raiz quadrada tinha se tornado um 
padrão, embora houvesse muitas variações na maneira de indicar raízes 
mais elevadas.
MELLO, A. A. H. O símbolo da raiz. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: IME-USP, n. 2, p. 42, 1983. Adaptado.
Christoff Rudolff.
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A
PARA SABER MAIS
1. Calcule a medida do lado de um terreno quadrado de área 196 m2. 
2. Calcule a medida da aresta de uma caixa em forma de cubo, sabendo que seu volume é igual 
a 729 cm3.
3. Calcule o valor das raízes a seguir, sem utilizar a calculadora.
a) 5123
c) 6254
b) 17283
d) 40964
ATIVIDADES
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Raiz de um número real
Observe as imagens:
• Como podemos encontrar as medidas dos lados 
do quadrado e das arestas do cubo?
• Será que existe alguma operação inversa da 
potenciação?
Estudamos que, enquanto a potência é o produto de vários fatores iguais, a raiz é justa-
mente o fator da multiplicação, ou seja, a radiciação é a operação inversa da potenciação. Para 
expressar esta operação, usamos o símbolo .
Assim, usando essa operação, podemos determinar as medidas:
• lado do quadrado: 4 · 4 = 16 → 16 4=
• aresta do cubo: 4 · 4 · 4 = 64 → 64 43 =
Encontrar a raiz quadrada de um número x significa achar um número positivo que, multiplicado 
por ele mesmo, resulte em x. Encontrar uma raiz cúbica de um número x significa achar um número 
que, multiplicado por ele mesmo 3 vezes, resulte em x e assim sucessivamente.
Radical aritmético
Radical aritmético é toda expressão matemática na forma an , em que a é um número real e n é 
um número natural, com n ≥ 1.
Em um radical, destacamos:
Índice do radical.
Radicando.
Sinal radical.
an
Quando n é ímpar, a pode ser um número real qualquer. 
Quando n é par, a não pode ser um número real negativo.
 Exemplos:
• No radical 52 , o índice é 2 e o radicando é 5.
• No radical 103 , o índice é 3 e o radicando é 10.
Convenções:
• quando o índice é 2, não é preciso escrevê-lo: 3 32 = ;
• radicais de índice 1 podem, às vezes, ser escritos e representam o próprio radicando: 2 21 = .
Raiz de um número real
Área: 16 m
2
Volume: 64 m
3
Observe as imagens:
Encaminhamento 
metodológico
Explore a situação inicial 
com os alunos. Relembre os 
conceitos de lado, aresta, área e 
volume, se necessário. Espera-se 
que os alunos consigam lembrar 
da operação de radiciação, mas, 
caso ainda tenham dúvidas, 
este é o momento para saná-las. 
É importante destacar com os 
alunos que um dos equívocos 
no cálculo de raízes consiste em 
afirmar que 16 4� � , o que não 
é verdade. Ressalte que o sinal ±
entra no conceito de equações 
de 2.º grau, visto ainda nesta uni-
dade. Se possível, compartilhe o 
exemplo a seguir com os alunos.
 Exemplo:
Um azulejo tem a forma de 
um quadrado de área 256 cm2. 
Quanto mede o lado desse 
azulejo?
Vamos deixar essa pergunta 
mais simples: Qual o número 
positivo cujo quadrado é 256? 
Chamamos esse número de 
raiz quadrada de 256. 
Indicamos: 256 .
Como 162 = 256, temos que 
256 = 16.
Assim, cada lado do azulejo 
mede 16 cm.
Sugestão de atividade
1. Um quadrado tem 144 cm2 de 
área. Quanto mede o seu lado?
 Solução:
12 cm
2. O volume de um cubo é 8 m3. 
Quanto vale a medida do lado 
(aresta)?
 Solução:
2 m
Orientação para RA
Nesse momento, é inte-
ressante explorar com os alunos 
as raízes quadradas e cúbicas 
exatas, para que eles possam 
reconhecê-las e, se possível, 
memorizar os resultados sem o 
auxílio de calculadoras.
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Você sabe onde apareceu pela primeira vez o símbolo de raiz?
O símbolo de raiz apareceu impresso pela primeira vez em 
1525, no texto Die Coss, de Christoff Rudolff. Esse símbolo pode ter 
sido usado por lembrar a forma manuscrita da letra minúscula r
(radix) ou pode ter sido uma invenção arbitrária. As raízes cúbicas e 
quartas eram indicadas, respectivamente, por c e . O símbolo de 
Rudolff não teve aceitação imediata, mesmo na Alemanha, sua terra 
natal. A letra l (latus, “lado”) era usada com frequência. Assim, l4 era 
usada para indicar 4 e lc5 para 53 . Por volta do século XVII, porém, 
o uso do símbolo de Rudolff para a raiz quadrada tinha se tornado um 
padrão, embora houvesse muitas variações na maneira de indicar raízes 
mais elevadas.
MELLO, A. A. H. O símbolo da raiz. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: IME-USP, n. 2, p. 42, 1983. Adaptado.
Christoff Rudolff.
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PARA SABER MAIS
1. Calcule a medida do lado de um terreno quadrado de área 196 m2. 
2. Calcule a medida da aresta de uma caixa em forma de cubo, sabendo que seu volume é igual 
a 729 cm3.
3. Calcule o valor das raízes a seguir, sem utilizar a calculadora.
a) 5123
c) 6254
b) 17283
d) 40964
ATIVIDADES
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Raiz de um número real
Observe as imagens:
• Como podemos encontrar as medidas dos lados 
do quadrado e das arestas do cubo?
• Será que existe alguma operação inversa da 
potenciação?
Estudamos que, enquanto a potência é o produto de vários fatores iguais, a raiz é justa-
mente o fator da multiplicação, ou seja, a radiciação é a operação inversa da potenciação. Para 
expressar esta operação, usamos o símbolo .
Assim, usando essa operação, podemos determinar as medidas:
• lado do quadrado: 4 · 4 = 16 → 16 4=
• aresta do cubo: 4 · 4 · 4 = 64 → 64 43 =
Encontrar a raiz quadrada de um número x significa achar um número positivo que, multiplicado 
por ele mesmo, resulte em x. Encontrar uma raiz cúbica de um número x significa achar um número 
que, multiplicado por ele mesmo 3 vezes, resulte em x e assim sucessivamente.
Radical aritmético
Radical aritmético é toda expressão matemática na forma an , em que a é um número real e n é 
um número natural, com n ≥ 1.
Em um radical, destacamos:
Índice do radical.
Radicando.
Sinal radical.
an
Quando n é ímpar, a pode ser um número real qualquer. 
Quando n é par, a não pode ser um número real negativo.
 Exemplos:
• No radical 52 , o índice é 2 e o radicando é 5.
• No radical 103 , o índice é 3 e o radicando é 10.
Convenções:
• quando o índice é 2, não é preciso escrevê-lo: 3 32 = ;
• radicais de índice 1 podem, às vezes, ser escritos e representam o próprio radicando: 2 21 = .
Área: 16 m
2
Volume: 64 m
3
Sugestão de atividade
1. Calcule as raízes quadradas.
a) 144
 Solução:
12
b) 900
 Solução:
30
c) 22
 Solução:
2
Encaminhamento metodológico
Na seção Para saber mais, é explorado umpouco da história do símbolo da raiz 
quadrada.
Resposta
1. O lado mede 14 metros.
2. A aresta mede 9 cm.
3. 
a) 8
b) 12
c) 5
d) 8
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Potência com expoente fracionário
Estudamos o que é a raiz de um número, mas qual expoente representa uma raiz? 
Para descobrir o expoente da raiz quadrada, que é desconhecido , o chamaremos de x, portanto 
2 2= x .
Usando a propriedade de potência de potência, conseguimos calcular a expressão acima elevada 
ao quadrado dos dois lados da igualdade: 2 2 2
2 2 2� � � � � �x x. Então 21 = 22x, ao igualarmos as potên-
cias, encontramos o valor de x, pois 1 = 2x, então x =
1
2
. Essa propriedade pode ser generalizada para 
qualquer raiz: 
a a
m
n mn= , com a real positivo, m inteiro, n natural e n > 1.
Observações:
1.a Todo radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fracionário: a amn
m
n== .
 Exemplos:
• 2 234
3
4=
• 2 2
1
2=
2.a Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita na forma de radical: a a
m
n mn== .
 Exemplos:
• 3 3
5
6 56=
• 5 5
1
2 =
3.a Todas as propriedades estudadas para as potências com expoente inteiro são válidas para as 
potências com expoente fracionário.
 Exemplos:
• 2 2 2 2
1
2
1
3
1
2
1
3
5
6� � �
�
• 10 10 10 10
1
2
1
4
1
2
1
4
1
4: � �
�
• ( )3 3 3 3
3
5
1
3
3
5
1
3
3
15
1
5� � �
�
Propriedades das raízes 
• Multiplicação de raízes com o mesmo índice: a b a bn n n�� �� �� .
• Quociente de raízes com o mesmo índice: 
a
b
a
b
n
n
n
== .
• a ann == (com a ≥ 0, n > 1). 
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02
Um número x é considerado quadrado perfeito se, e somente se, existir algum número na-
tural y que, elevado ao quadrado, resulte em x. Isso quer dizer que ele tem raiz quadrada exata. 
Conhecemos alguns: 1, 4, 9, 16, e 25, que têm a raiz quadrada igual a, respectivamente, 1, 2, 3, 4 e 5:
1
1 · 1
4
2 · 2 9
3 · 3 16
4 · 4 25
5 · 5
Porém, como será a raiz dos números que não têm raiz quadrada exata?
A raiz desses números são decimais infinitos, conhecidos como números irracionais. Podemos 
calcular um valor aproximado que, elevado ao quadrado, também estaria próximo do radicando.
Com a ajuda de uma calculadora, vamos descobrir o valor de 5 com aproximação de duas 
casas decimais. Primeiro, procuramos por quadrados perfeitos que estão antes e depois do 5:
9 3=4 2= 5
O número que procuramos está entre 2 e 3. Agora, use a calculadora para encontrar a primeira 
casa decimal. Efetue as multiplicações do quadro e conclua entre quais valores estará essa casa 
decimal:
Multiplicação 2,1 · 2,1 2,2 · 2,2 2,3 · 2,3 2,4 · 2,4 2,5 · 2,5
Resultado 4,41
Multiplicação 2,6 · 2,6 2,7 · 2,7 2,8 · 2,8 2,9 · 2,9
Resultado
Depois que descobrir a primeira casa decimal, continue com o mesmo processo para encontrar 
a segunda casa decimal e responda: 
Qual é o valor aproximado de 5?
DESENVOLVER E APLICAREncaminhamento 
metodológico
Na seção Desenvolver e 
aplicar, a intenção é que os alunos 
possam descobrir um método 
de calcular as raízes aproxima-
das. Neste primeiro momento, o 
cálculo é realizado com o auxílio 
da calculadora para que os alunos 
tenham noção de onde esse 
número está posicionado, como 
por exemplo, a raiz quadrada de 
5, que está entre os números 2 e 
3, ou seja, entre as raízes exatas 
mais próximas. A intenção é que 
estimule-os a fazerem essa des-
coberta para que depois possam 
estimar raízes não exatas sem 
usar a calculadora.
Resposta
As respostas para a seção 
Desenvolver e aplicar são:
O valor mais próximo de 5 
é 4,84, logo, sabemos que será 
2,2.
Repetimos o processo 
para encontrar a segunda casa 
decimal.
Multiplicação Resultado
2,21 · 2,21 4,8841
2,22 · 2,22 4,9284
2,23 · 2,23 4,9729
2,24 · 2,24 5,0176
2,5 · 2,5 6,25
2,6 · 2,6 6,76
2,7 · 2,7 7,29
2,8 · 2,8 7,84
2,9 · 2,9 8,41
Logo, a raiz aproximada de 
5 é igual a 2,24.
Observe que as respostas 
referentes à tabela estão no livro 
do aluno.
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Potência com expoente fracionário
Estudamos o que é a raiz de um número, mas qual expoente representa uma raiz? 
Para descobrir o expoente da raiz quadrada, que é desconhecido , o chamaremos de x, portanto 
2 2= x .
Usando a propriedade de potência de potência, conseguimos calcular a expressão acima elevada 
ao quadrado dos dois lados da igualdade: 2 2 2
2 2 2� � � � � �x x. Então 21 = 22x, ao igualarmos as potên-
cias, encontramos o valor de x, pois 1 = 2x, então x =
1
2
. Essa propriedade pode ser generalizada para 
qualquer raiz: 
a a
m
n mn= , com a real positivo, m inteiro, n natural e n > 1.
Observações:
1.a Todo radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fracionário: a amn
m
n== .
 Exemplos:
• 2 234
3
4=
• 2 2
1
2=
2.a Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita na forma de radical: a a
m
n mn== .
 Exemplos:
• 3 3
5
6 56=
• 5 5
1
2 =
3.a Todas as propriedades estudadas para as potências com expoente inteiro são válidas para as 
potências com expoente fracionário.
 Exemplos:
• 2 2 2 2
1
2
1
3
1
2
1
3
5
6� � �
�
• 10 10 10 10
1
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4
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2
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• ( )3 3 3 3
3
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Propriedades das raízes 
• Multiplicação de raízes com o mesmo índice: a b a bn n n�� �� �� .
• Quociente de raízes com o mesmo índice: 
a
b
a
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n
n
n
== .
• a ann == (com a ≥ 0, n > 1). 
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Um número x é considerado quadrado perfeito se, e somente se, existir algum número na-
tural y que, elevado ao quadrado, resulte em x. Isso quer dizer que ele tem raiz quadrada exata. 
Conhecemos alguns: 1, 4, 9, 16, e 25, que têm a raiz quadrada igual a, respectivamente, 1, 2, 3, 4 e 5:
1
1 · 1
4
2 · 2 9
3 · 3 16
4 · 4 25
5 · 5
Porém, como será a raiz dos números que não têm raiz quadrada exata?
A raiz desses números são decimais infinitos, conhecidos como números irracionais. Podemos 
calcular um valor aproximado que, elevado ao quadrado, também estaria próximo do radicando.
Com a ajuda de uma calculadora, vamos descobrir o valor de 5 com aproximação de duas 
casas decimais. Primeiro, procuramos por quadrados perfeitos que estão antes e depois do 5:
9 3=4 2= 5
O número que procuramos está entre 2 e 3. Agora, use a calculadora para encontrar a primeira 
casa decimal. Efetue as multiplicações do quadro e conclua entre quais valores estará essa casa 
decimal:
Multiplicação 2,1 · 2,1 2,2 · 2,2 2,3 · 2,3 2,4 · 2,4 2,5 · 2,5
Resultado 4,41
Multiplicação 2,6 · 2,6 2,7 · 2,7 2,8 · 2,8 2,9 · 2,9
Resultado
Depois que descobrir a primeira casa decimal, continue com o mesmo processo para encontrar 
a segunda casa decimal e responda: 
Qual é o valor aproximado de 5?
DESENVOLVER E APLICAR Quando estiver trabalhando 
com a potência com expoente fra-
cionário, enfatize que as regras são 
as mesmas. Somente ressalte com 
os alunos que, como o denomina-
dor do expoente será o índice da 
raiz se ele for ímpar, a base poderá 
ser negativa e que ele deve ser 
diferente de zero. Se possível, faça 
mais exemplos com os alunos.
 Exemplo:
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
3 3 23
2
3 23
� �
�
� �
� �
�
�
,
,ou seja 
Encaminhamento metodológico
É importante destacar a importância de cada propriedade dos radicais com os alu-
nos e, também, comentar que essas propriedades nos ajudam nos cálculos. Ao explicar 
as propriedades válidas para a radiciação, faça um exemplo numérico em cada caso para 
que o aluno consiga visualizar melhor o que está acontecendo. Trabalhando neste tópico, 
o aluno terá possibilidade de atingir a seguinte habilidade da BNCC: “(EF09MA03) Efetuar 
cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.” A seguir, 
apresentamos sugestões de exemplos para serem utilizados.
 Exemplos:
1. 4 9 4 9
36 2 36 6
2 2 2
2
� � �
� �
�
 
 
2. 8
27
8
27
2
3
2
3
3
3
3
=
= 
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Simplificação de radicais
Uma das definições da palavra simplificar é “fazer com que (algo) fique mais simples; tornar menos 
complicado”. Usamos a mesma ideia para simplificarmos um radical, ou seja, estamos transformando-o 
em uma expressão mais simples, equivalente ao radical dado.
Estudaremos, a seguir, casos de simplificação de radicais.
1.º caso: podemos multiplicar o índice do radical e os expoentes de todos os fatores do radicando 
por um mesmo número, diferente de zero.
a amn m pn p� �� (com a > 0, m inteiro, n e p naturais, n > 1 e p ≠ 0)
 Exemplo:
10 10 10 10016 1 26 2 212 12� � ���
2.º caso: podemos dividir o índice do radical e os expoentes de todos os fatores do radicando por 
um mesmo número, diferente de zero.
a amn m pn p= :: (com a ≥ 0, m inteiro, n e p naturais, n > 1 e p ≠ 0)
 Exemplo:
10 10 10 10 10 10 1026 2 26 2 3 26
2
6
1
3 3= = = = =:: ou 
3.º caso: se um ou mais fatores do radicando tem o expoente igual ao índice do radical dado, po-
demos retirar esse(s) fator(es) do radicando, escrevendo-o(s) como fator(es) externo(s), sem o expoente.
 Exemplos:
•
Fator que apresenta expoente igual ao índice.
2 3 2 32 � �
• 2 2 23 2 33 23 23� � � � � �x y y x y x
Fatores que apresentam expoentes iguais ao índice.
Considerações:
Em alguns casos, precisamos transformar, convenientemente, o radicando em um produto (usando 
produto de potências de mesma base) para poder retirar fatores desse radicando. 
 Exemplos:
• 3 3 3 3 3 3 3 9 35 2 2� � � � � � �
• a x a a x x a x x a ax a4 63 3 3 33 3 2 3� � � � � � � � �
Existem casos em que devemos fatorar o radicando e transformá-lo de modo conveniente, para 
simplificar o radical. 
 Exemplo:
• 24 2 3
2 2 3
2 6
3
2
� � �
� � � �
�
24 2
12 2
 6 2
 3 3
 1 23 · 3 = 22 · 2 · 3
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1. Escreva em forma de potência com expoente fracionário as expressões a seguir.
a) 5310
c) a 
e) x2 3
7 � �
b) 235
d) x34
2. O produto x x
1
2
1
3⋅ pode ser escrito como:
a) x5
c) x65
b) x6
d) x56
3. Escreva, na forma de raiz, as expressões a seguir. Depois, calcule as raízes.
a) 81
1
2
c) 125
1
3
b) 169
1
2
d) 8
2
3
4. Utilizando as propriedades da radiciação, simplifique as expressões a seguir.
a) 7 244 ⋅
c) 6585454
b) 
9
8
2
2
d) 9 655 ⋅
ATIVIDADESResposta
1. 
a) 5
3
10
b) 2
3
5
c) a
1
2
d) x
1
12
e) x
6
7
2. D
3. 
a) 81 9; 
b) 169 ; 13
c) 1253 ; 5
d) 823 ; 4
4. 
a) 2 · 74
b) 
9
8
c) 658
d) 9 65 ⋅
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Simplificação de radicais
Uma das definições da palavra simplificar é “fazer com que (algo) fique mais simples; tornar menos 
complicado”. Usamos a mesma ideia para simplificarmos um radical, ou seja, estamos transformando-o 
em uma expressão mais simples, equivalente ao radical dado.
Estudaremos, a seguir, casos de simplificação de radicais.
1.º caso: podemos multiplicar o índice do radical e os expoentes de todos os fatores do radicando 
por um mesmo número, diferente de zero.por um mesmo número, diferente de zero.
a amn m pn p� �� (com a > 0, m inteiro, n e p naturais, n > 1 e p ≠ 0)
 Exemplo:
10 10 10 10016 1 26 2 212 12� � ���
2.º caso: podemos dividir o índice do radical e os expoentes de todos os fatores do radicando por 
um mesmo número, diferente de zero.um mesmo número, diferente de zero.
a amn m pn p= :: (com a ≥ 0, m inteiro, n e p naturais, n > 1 e p ≠ 0)
 Exemplo:
10 10 10 10 10 10 1026 2 26 2 3 26
2
6
1
3 3= = = = =:: ou 
3.º caso: se um ou mais fatores do radicando tem o expoente igual ao índice do radical dado, po-
demos retirar esse(s) fator(es) do radicando, escrevendo-o(s) como fator(es) externo(s), sem o expoente.
 Exemplos:
•
Fator que apresenta expoente igual ao índice.
2 3 2 32 � �
• 2 2 23 2 33 23 23� � � � � �x y y x y x
Fatores que apresentam expoentes iguais ao índice.
Considerações:
Em alguns casos, precisamos transformar, convenientemente, o radicando em um produto (usando 
produto de potências de mesma base) para poder retirar fatores desse radicando. 
 Exemplos:
• 3 3 3 3 3 3 3 9 35 2 2� � � � � � �
• a x a a x x a x x a ax a4 63 3 3 33 3 2 3� � � � � � � � �
Existem casos em que devemos fatorar o radicando e transformá-lo de modo conveniente, para 
simplificar o radical. 
 Exemplo:
• 24 2 3
2 2 3
2 6
3
2
� � �
� � � �
�
24 2
12 2
 6 2
 3 3
 1 23 · 3 = 22 · 2 · 3
86 MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
_L
1_
U
1_
02
1. Escreva em forma de potência com expoente fracionário as expressões a seguir.
a) 5310
c) a 
e) x2 3
7 � �
b) 235
d) x34
2. O produto x x
1
2
1
3⋅ pode ser escrito como:
a) x5
c) x65
b) x6
d) x56
3. Escreva, na forma de raiz, as expressões a seguir. Depois, calcule as raízes.
a) 81
1
2
c) 125
1
3
b) 169
1
2
d) 8
2
3
4. Utilizando as propriedades da radiciação, simplifique as expressões a seguir.
a) 7 244 ⋅
c) 6585454
b) 
9
8
2
2
d) 9 655 ⋅
ATIVIDADES 91 125
30 375
10 125
3 375
1 125
375
125
25
5
1
3
3
3
3
3
3
5
5
5
Como 91 125 = 36 · 53, 
podemos dizer que:
91125 3 5 3 53 6 33 63 33� � � � .
Repare que tanto o 
expoente do fator 36 quanto o 
expoente do fator 53 são múl-
tiplos do índice do radicando, 
que é igual a 3. Vamos, então, 
simplificá-los:
3 5 3 5
3 5 45
63 33 6 33 3 3 33 3
2
� � � �
� ��
:: ::
Perceba que através da 
fatoração de 91 125 e da sim-
plificação dos expoentes dos 
fatores pelo índice do radican-
do, extraímos a sua raiz cúbica, 
eliminando assim o radical. [...]
BRASIL. Ministério da Educação. 
Radicalizando. Disponível em: 
http://portaldoprofessor.mec.gov.
br/storage/materiais/0000016826.
PDF. Acesso em: 17 ago. 2018.
Encaminhamento metodológico
É importante destacar com os alunos que a simplificação de radicais nos auxilia 
no momento de efetuarmos as operações entre radicais, conteúdo que será estudado 
no próximo capítulo. Se possível, compartilhe o texto a seguir com os alunos, com um 
aprofundamento na decomposição de radicais por meio da fatoração.
Dica para ampliar o trabalho
[...]
Simplificação de radicais através da fatoração 
Podemos simplificar e em alguns casos até mesmo eliminar radicais, através da 
decomposição do radicando em fatores primos. O raciocínio é simples, decompomos 
o radicando em fatores primos por fatoração e depois simplificamos os expoentes 
que são divisíveis pelo índice do radicando. Vamos simplificar 91 1253 decompondo 
91 125 em fatores primos:
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 87 16/09/2020 14:22:26
88 MATEMÁTICA
89MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
_L
1_
U
1_
02
1. (G1-IFCE-2019) Simplificando a expressão 
2 2 2 2
2
3 3
1
6
⋅ ⋅ ⋅
, obtemos o número
a) 4.
b) 2.
c) 2.
d) 23 .
e) 1. 
DE OLHO NA PROVA
1. A medida da aresta de um cubo é igual à 
medida do lado de um quadrado que tem 
área igual a 16 m². Qual é o volume do cubo? 
2. Calcule o valor da potência e da raiz a seguir:
a) 36
1
2
b) 21973
3. O produto x x
1 1
4 5⋅ pode ser escrito como:
4. Cláudia resolveu as atividades a seguir. Para 
cada resposta, verifique se Cláudia está corre-
ta. Se estiver errada, escreva a resposta certa.
a) 9 9 729 27
2
3 32 2= = =
b) 25 16 9 16 9 4 3 7� � � � � � �
c) 
25
9
25
9
5
3
= =
d) 2 2 2 2 232 3 42 4 128
8
12
2
3� � � ���
5. Decomponha o radicando em fatores pri-
mos e, a seguir, usando a propriedade dos 
radicais, calcule o valor de cada uma das 
expressões:
a) 31255
b) 4 0966
c) 132
d) 1 6203
ATIVIDADES
1. Reduza os radicais a um mesmo índice e, 
a seguir, usando os sinais > ou <, compare 
cada par de radicais.
a) 2 210 15 
b) 3 31012 1118 
2. Sendo x e y= =32 7295 3 , calcule o valor 
de x + y. 
3. Retirando fatores do radicando, simplifiqueos radicais a seguir.
a) 2 112 ⋅
b) 3 544 ⋅
c) 2 3 52 2⋅ ⋅
d) 2 3 755 ⋅ ⋅
e) 253
f ) 2 33⋅
VAMOS PRATICAR MAIS?
88 MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
_L
1_
U
1_
02
Inclusão de um fator no radicando
Um fator externo pode ser inserido como um fator no radicando, bastando, para isso, escrevê-lo 
com um expoente igual ao índice do radical.
¡ Exemplos: • 3 5 3 5 452� � � • a x a x a x2 3 2 3
3 63� � � � �
1. Transforme em um só radical a expressão: x x35 , sendo x ≥ 0.
2. Simplifique os radicais a um mesmo índice: 3 22 3 e .
3. Observe qual o caso adequado de simplificação de radicais e simplifique-os.
a) 27
c) 40
b) 268
d) 3217
ATIVIDADES
O Teorema de Pitágoras nos diz que “em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa
é igual à soma dos quadrados dos catetos”, ou seja, a2+ b2 = c2. Utilizando esse teorema, resolva 
com um colega os desafios a seguir.
1. Uma escada está apoiada na parede um edifício. Sua base está a 2 metros 
da base da parede. Ela alcança 5 metros de altura com relação à parede do 
edifício. Qual é o comprimento da escada?
2. Um navio partiu do ponto A, percorreu 65 quilômetros para o oeste e atingiu o ponto B. Em 
seguida, percorreu 30 quilômetros para o sul e atingiu o ponto C. Finalmente, navegou 110 qui-
lômetros para o leste e chegou ao ponto D. Quantos quilômetros ele percorreu no total? Se 
tivesse feito o percurso diretamente do ponto A para o D, quantos quilômetros ele teria feito 
a menos?
INTERAÇÃO
2,0 m
5,0 m
30
B
C D
A65
110
Encaminhamento 
metodológico
A seção Interação apre-
senta o Teorema de Pitágoras. 
Chame a atenção dos alunos 
para esse tema e veja o que eles 
sabem a respeito. Relembre o 
teorema e deixe-os tentarem 
resolver os desafios na sequên-
cia sem a sua intervenção.
Resposta
As respostas para a seção 
Atividades são:
1. x415
2. 3 27
2 4
32 3 6
23 2 6
�
�
�
�
3. 
a) 3 3 3 3 33 2� � �
b) 2 26 28 2 34:: =
c) 2 5 2 2 5 2 103 2� � � � �
d) 3 3 32177 7 31 3:: = =
As respostas para a seção 
Interação são:
1. A escada tem como medida 
aproximadamente 5,39 metros.
2. No total, ele percorreu 205 
quilômetros.
Ele teria feito 150,92 quilôme-
tros a menos.
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 88 16/09/2020 14:22:47
89MATEMÁTICA
89MATEMÁTICA
EF
21
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_M
AT
_L
1_
U
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02
1. (G1-IFCE-2019) Simplificando a expressão 
2 2 2 2
2
3 3
1
6
⋅ ⋅ ⋅
, obtemos o número
a) 4.
b) 2.
c) 2.
d) 23 .
e) 1. 
DE OLHO NA PROVA
1. A medida da aresta de um cubo é igual à 
medida do lado de um quadrado que tem 
área igual a 16 m². Qual é o volume do cubo? 
2. Calcule o valor da potência e da raiz a seguir:
a) 36
1
2
b) 21973
3. O produto x x
1 1
4 5⋅ pode ser escrito como:
4. Cláudia resolveu as atividades a seguir. Para 
cada resposta, verifique se Cláudia está corre-
ta. Se estiver errada, escreva a resposta certa.
a) 9 9 729 27
2
3 32 2= = =
b) 25 16 9 16 9 4 3 7� � � � � � �
c) 
25
9
25
9
5
3
= =
d) 2 2 2 2 232 3 42 4 128
8
12
2
3� � � ���
5. Decomponha o radicando em fatores pri-
mos e, a seguir, usando a propriedade dos 
radicais, calcule o valor de cada uma das 
expressões:
a) 31255
b) 4 0966
c) 132
d) 1 6203
ATIVIDADES
1. Reduza os radicais a um mesmo índice e, 
a seguir, usando os sinais > ou <, compare 
cada par de radicais.
a) 2 210 15 
b) 3 31012 1118 
2. Sendo x e y= =32 7295 3 , calcule o valor 
de x + y. 
3. Retirando fatores do radicando, simplifique 
os radicais a seguir.
a) 2 112 ⋅
b) 3 544 ⋅
c) 2 3 52 2⋅ ⋅
d) 2 3 755 ⋅ ⋅
e) 253
f ) 2 33⋅
VAMOS PRATICAR MAIS?
88 MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
_L
1_
U
1_
02
Inclusão de um fator no radicando
Um fator externo pode ser inserido como um fator no radicando, bastando, para isso, escrevê-lo 
com um expoente igual ao índice do radical.
¡ Exemplos: • 3 5 3 5 452� � � • a x a x a x2 3 2 3
3 63� � � � �
1. Transforme em um só radical a expressão: x x35 , sendo x ≥ 0.
2. Simplifique os radicais a um mesmo índice: 3 22 3 e .
3. Observe qual o caso adequado de simplificação de radicais e simplifique-os.
a) 27
c) 40
b) 268
d) 3217
ATIVIDADES
O Teorema de Pitágoras nos diz que “em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa
é igual à soma dos quadrados dos catetos”, ou seja, a2+ b2 = c2. Utilizando esse teorema, resolva 
com um colega os desafios a seguir.
1. Uma escada está apoiada na parede um edifício. Sua base está a 2 metros 
da base da parede. Ela alcança 5 metros de altura com relação à parede do 
edifício. Qual é o comprimento da escada?
2. Um navio partiu do ponto A, percorreu 65 quilômetros para o oeste e atingiu o ponto B. Em 
seguida, percorreu 30 quilômetros para o sul e atingiu o ponto C. Finalmente, navegou 110 qui-
lômetros para o leste e chegou ao ponto D. Quantos quilômetros ele percorreu no total? Se 
tivesse feito o percurso diretamente do ponto A para o D, quantos quilômetros ele teria feito 
a menos?
INTERAÇÃO
2,0 m
5,0 m
30
B
C D
A65
110
b) Está errada. A resposta certa 
seria: 25 5 52= = .
c) Está correta.
d) Está errada. A resposta 
correta seria: 
2 2 2 2 232 3 42 4 128
12
8
3
2� � � ��� .
5. 
a) 3 125 = 5 5 55 55� �
b) 4 096 = 2 4 096 412 6� � 
c) 132 =
2 33 132 2 332 � � �
d) 1 620 = 
2 3 5 1 620 3 602 4 3� � � � 
A resposta para a seção De 
olho na prova é:
1. C
As respostas para a seção 
Vamos praticar mais? são:
1. 
a) 2 2330 230>
b) 3 33036 2236>
2. x + y = 11
3. 
a) 2 11
b) 3 54
c) 6 5
d) 3 145
e) 2 43
f ) 3 6
Resposta
As respostas para a seção Atividades são:
1. 64 m3
2. 
a) 6
b) 13
3. x920
4. 
a) Está errada, a resposta certa seria:
9 9 81
2
3 23 3= = .
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 89 16/09/2020 14:22:56
90 MATEMÁTICA
91MATEMÁTICA
Raízes – Relacionando conceitos
exemplo exemplo exemplo
2 5 2 53 3 3� � � 5 522 =
a
b
a
b
n
n
n
=
com b ≠ 0
a ann =
com a ≥ 0
a a
3
5 35=
definimos como
exemplo
dede de
pode aparecer como
inverso da
potência
propriedades
RAIZ
é
temtem
a a
m
n mn=
an ,
n ≥ 1, a ∈ 
90 MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
_L
1_
U
1_
02
4. Decomponha o radicando em fatores pri-
mos e, a seguir, usando a propriedade dos 
radicais, calcule o valor de cada radical.
a) 7296 b) 102410 c) 31255
5. Decomponha o radicando em fatores primos 
e simplifique cada um dos radicais a seguir.
a) 3210 b) 8116 c) 4912
6. Retirando fatores do radicando, simplifique 
os radicais a seguir.
a) 2 3 112 2⋅ ⋅
c) 242
b) 3 1355 ⋅
d) 2 58 94 ⋅
7. Escreva, na forma de raiz, as expressões a 
seguir.
a) 10
4
5
d) 5
1
3
b) 10
1
2
e) 8
7
2
c) 10
2
3
f ) 15
9
8
8. Escreva, em forma de uma só potência, cada 
uma das seguintes expressões numéricas:
a) 2 2
2
3
1
5⋅
d) 7 7
4
3
1
3:
b) 5 5
1
2
1
8⋅
e) 6 6
5
7
1
2:
c) 7
4
7
7
2�
�
�
�
�
�
9. Simplifique os radicais a seguir.
a) 3525 b) 2503
10. Assinale V, se a sentença for verdadeira, e 
F, se for falsa.
 ) ( 21 2155 =
 ) ( 3 4 2 3
2
�� � �
 ) ( 8 26 =
 ) ( 2 10 20=
 ) ( 5 54 2 10
10 4 2x y x y� � �
 ) ( 9 8 6 2� �
11. (UPF-2018) Considere as afirmações abaixo, 
onde a e b e são números reais. 
I. a a2 =
II. a b a b2 2� � �
III. a b a b2 2 2 2� � �
IV. 
a
b
a
b
b
2
2
2
2
0� �, 
a) Apenas III e IV são verdadeiras. 
b) Apenas IV é verdadeira. 
c) Apenas II é falsa. 
d) Apenas I, II e IV são verdadeiras. 
e) Todas são verdadeiras. 
12. Simplifique as frações.
a) 4 32
8
+ b) x x y
x
2 2−
13. Determine o valor da expressão numérica: 
27 9
2
3
5
2+ .
14. Se A � �
�
�
�
�
�
�4 81
1
2
1
4 , determine A–1.
15. Se a ≥ 0 e b ≤ 0, escreva na sua forma mais 
simples possível o seguinte produto:
a b33 634⋅
16. Determine o valor da expressão abaixo:
��
�
�
�
�
� � ��
�
�
�
�
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
31
7
2
3
3
2
27
8
0 2 3
2
3
a) 
23
12
c) 
23
13
b) 
24
12
d) 
13
12
17. (UTFPR) Qual, dentre as opções abaixo, equi-
vale a 3 2 2+
a) � �3 2
c) 1 2+
b) � �1 5 2,
d) 2 2+
18. (UFRGS) O quadrado do número 
2 3 2 3� � � é:
a)4.
d) 7.
b) 5.
e) 8.
c) 6.
19. (PUC-2015) O valor de 
�� � � �� � � �� � �3 1 1 2 4
2 6 0 63, é:
a) 13
c) 17
e) 21
b) 15
d) 19
18. C
19. D
Resposta
4. 
a) 3
b) 2
c) 5
5. 
a) 32 = 25; 2
b) 81 = 34; 34
c) 49 = 72; 76
6. 
a) 6 11
b) 3 135
c) 4
d) 100 54
7. 
a) 1045
b) 10
c) 1023
d) 53
e) 87
f ) 1598
8. 
a) 2
13
15
b) 5
5
8
c) 49
d) 7
e) 6
3
14
9. 
a) 22 115
b) 5 23
10. As respostas estão no Livro 
do aluno.
11. C
12. 
a) 1 2
2
+
b) x y−
13. 252
14. 1
5
15. a b
1
2
1
2⋅
16. A
17. C
V F
F V
V V
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 90 16/09/2020 14:23:42
91MATEMÁTICA
91MATEMÁTICA
Raízes – Relacionando conceitos
exemplo exemplo exemplo
2 5 2 53 3 3� � � 5 522 =
a
b
a
b
n
n
n
=
com b ≠ 0
a ann =
com a ≥ 0
a a
3
5 35=
definimos como
exemplo
dede de
pode aparecer como
inverso da
potência
propriedades
RAIZ
é
temtem
a a
m
n mn=
an ,
n ≥ 1, a ∈ 
90 MATEMÁTICA
EF
21
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_M
AT
_L
1_
U
1_
02
4. Decomponha o radicando em fatores pri-
mos e, a seguir, usando a propriedade dos 
radicais, calcule o valor de cada radical.
a) 7296 b) 102410 c) 31255
5. Decomponha o radicando em fatores primos 
e simplifique cada um dos radicais a seguir.
a) 3210 b) 8116 c) 4912
6. Retirando fatores do radicando, simplifique 
os radicais a seguir.
a) 2 3 112 2⋅ ⋅
c) 242
b) 3 1355 ⋅
d) 2 58 94 ⋅
7. Escreva, na forma de raiz, as expressões a 
seguir.
a) 10
4
5
d) 5
1
3
b) 10
1
2
e) 8
7
2
c) 10
2
3
f ) 15
9
8
8. Escreva, em forma de uma só potência, cada 
uma das seguintes expressões numéricas:
a) 2 2
2
3
1
5⋅
d) 7 7
4
3
1
3:
b) 5 5
1
2
1
8⋅
e) 6 6
5
7
1
2:
c) 7
4
7
7
2�
�
�
�
�
�
9. Simplifique os radicais a seguir.
a) 3525 b) 2503
10. Assinale V, se a sentença for verdadeira, e 
F, se for falsa.
 ) ( 21 2155 =
 ) ( 3 4 2 3
2
�� � �
 ) ( 8 26 =
 ) ( 2 10 20=
 ) ( 5 54 2 10
10 4 2x y x y� � �
 ) ( 9 8 6 2� �
11. (UPF-2018) Considere as afirmações abaixo, 
onde a e b e são números reais. 
I. a a2 =
II. a b a b2 2� � �
III. a b a b2 2 2 2� � �
IV. 
a
b
a
b
b
2
2
2
2
0� �, 
a) Apenas III e IV são verdadeiras. 
b) Apenas IV é verdadeira. 
c) Apenas II é falsa. 
d) Apenas I, II e IV são verdadeiras. 
e) Todas são verdadeiras. 
12. Simplifique as frações.
a) 4 32
8
+ b) x x y
x
2 2−
13. Determine o valor da expressão numérica: 
27 9
2
3
5
2+ .
14. Se A � �
�
�
�
�
�
�4 81
1
2
1
4 , determine A–1.
15. Se a ≥ 0 e b ≤ 0, escreva na sua forma mais 
simples possível o seguinte produto:
a b33 634⋅
16. Determine o valor da expressão abaixo:
��
�
�
�
�
� � ��
�
�
�
�
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
31
7
2
3
3
2
27
8
0 2 3
2
3
a) 
23
12
c) 
23
13
b) 
24
12
d) 
13
12
17. (UTFPR) Qual, dentre as opções abaixo, equi-
vale a 3 2 2+
a) � �3 2
c) 1 2+
b) � �1 5 2,
d) 2 2+
18. (UFRGS) O quadrado do número 
2 3 2 3� � � é:
a) 4.
d) 7.
b) 5.
e) 8.
c) 6.
19. (PUC-2015) O valor de 
�� � � �� � � �� � �3 1 1 2 4
2 6 0 63, é:
a) 13
c) 17
e) 21
b) 15
d) 19
a b a bn n n� � �
2
3
2
3
5
5
5
=
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92 MATEMÁTICA
93MATEMÁTICA
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03
Operações com os números reais
As operações no conjunto dos números reais () podem resultar em um número que não é exato. 
Isso acontece quando as operações são feitas com números irracionais e escritos na forma decimal. 
Observe, a seguir, as operações realizadas com radicais sem necessariamente expressá-los como nú-
meros decimais.
Adição e subtração de radicais 
No caso das operações de adição e subtração, existem três casos possíveis. 
1.º caso: todos os termos são radicais semelhantes.
 Exemplos:
• 2 3 3 3 8 3 5 3 2 3 8 5 3 2 3� � � � � � � �( )
• 6 2 3 2 2 6 3 1 2 4 24 4 4 4 4� � � � � �( )
2.º caso: os radicais tornam-se semelhantes tirando um ou mais fatores do radicando.
 Exemplos:
• 3 12 3 2 3 3 2 3 3 32� � � � � � �
• 3 20 7 5 80 3 2 5 7 5 2 2 5 6 5 7 5 4 5 9 52 2 2� � � � � � � � � � � �
3.º caso: quando apenas alguns dos termos são radicais semelhantes.
 Exemplos:
• 6 10 3 2 10 6 2 10 3 4 10 3� � � � � � �( )
• 2 5 2 2 1 5 2 2 6 2 2� � � � � � �( )
Podemos, então, concluir que: 
As operações de adição e subtração só podem ser efetuadas entre radicais semelhantes e de 
mesmo índice.
1. Calcule o perímetro dos retângulos dados.
a) 
7
3
b) 
2
3
 Solução:
a) Somando os 4 lados do retângulo, temos:
3 3 7 7 2 3 2 7� � � � �
b) Da mesma forma, basta somar os 4 lados do retângulo.
2 2 3 3 2 2 6� � � � �
COLOCANDO EM PRÁTICA
NASA images/Shutterstock
NASA images/Shutterstock
un
idade
92
3. Operações com radicais 
Observando a natureza, podemos perceber inúmeros exemplos de aplicações matemáticas. Espirais 
semelhantes às que aparecem em galáxias podem ser observadas numa sequência de triângulos retângulos 
de hipotenusas 2 3 5, , etc., construídas a partir de um ponto.
Será que podemos somar as medidas dessas hipotenusas?
1
• Adição e subtração de radicais
• Multiplicação e divisão com radicais
• Potenciação e radiciação com radicais
• Racionalização de denominadores
Potenciação e radiciação
Escola Digital
Objetivos do capítulo
• Compreender as operações 
de adição, subtração, multi-
plicação, divisão, potência e 
radiciação com radicais.
• Resolver problemas que 
envolvam essas operações.
• Entender o conceito de 
racionalização.
Realidade aumentada
• Reconhecendo radicais 
semelhantes
• Raízes de radicais
Encaminhamento 
metodológico
Neste capítulo, trabalha-
remos a habilidade EF09MA03, 
indicada na BNCC. Essa habilida-
de visa desenvolver no aluno a 
capacidade de efetuar cálculos 
com números reais, inclusi-
ve potências com expoentes 
fracionários. Este capítulo tem 
foco nas operações com radi-
cais. Para tanto, é necessário 
que o aluno tenha assimilado os 
conceitos vistos nos capítulos 
anteriores.
Na pergunta inicial, os 
alunos são questionados sobre 
a possibilidade da realização de 
operações com radicais. Espera-
-se que eles respondam que 
sim, mas, caso contrário, não dê 
a resposta e pergunte novamen-
te ao final do capítulo.
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 92 16/09/2020 14:25:06
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03
Operações com os números reais
As operações no conjunto dos números reais () podem resultar em um número que não é exato. 
Isso acontece quando as operações são feitas com números irracionais e escritos na forma decimal. 
Observe, a seguir, as operações realizadas com radicais sem necessariamente expressá-los como nú-
meros decimais.
Adição e subtração de radicais 
No caso das operações de adição e subtração, existem três casos possíveis. 
1.º caso: todos os termos são radicais semelhantes.
 Exemplos:
• 2 3 3 3 8 3 5 3 2 3 8 5 3 2 3� � � � � � � �( )
• 6 2 3 2 2 6 3 1 2 4 24 4 4 4 4� � � � � �( )
2.º caso: os radicais tornam-se semelhantes tirando um ou mais fatores do radicando.
 Exemplos:
• 3 12 3 2 3 3 2 3 3 32� � � � � � �
• 3 20 7 5 80 3 2 5 7 5 2 2 5 6 5 7 5 4 5 9 52 2 2� � � � � � � � � � � �
3.º caso: quando apenas alguns dos termos são radicais semelhantes.
 Exemplos:
• 6 10 3 2 10 6 2 10 3 4 10 3� � � � � � �( )
• 2 5 2 2 1 5 2 2 6 2 2� � � � � � �( )
Podemos, então, concluir que: 
As operações de adição e subtração só podem ser efetuadas entre radicais semelhantes e de 
mesmo índice.
1. Calcule o perímetro dos retângulos dados.
a) 
7
3
b) 
2
3
 Solução:
a) Somando os 4 lados do retângulo, temos:
3 3 7 7 2 3 2 7� � � � �
b) Da mesma forma, basta somar os 4 lados do retângulo.
2 2 3 3 2 2 6� � � � �
COLOCANDO EM PRÁTICA
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3. Operações com radicais 
Observando a natureza, podemos perceber inúmeros exemplos de aplicações matemáticas. Espirais 
semelhantes às que aparecem em galáxias podem ser observadas numa sequência de triângulos retângulos 
de hipotenusas 2 35, , etc., construídas a partir de um ponto.
Será que podemos somar as medidas dessas hipotenusas?
1
• Adição e subtração de radicais
• Multiplicação e divisão com radicais
• Potenciação e radiciação com radicais
• Racionalização de denominadores
Potenciação e radiciação
Escola Digital
Encaminhamento metodológico
Inicialmente, questione os alunos sobre como podemos efetuar as operações de 
adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação e racionalização com 
radicais. Posteriormente, dê início aos conteúdos.
Neste momento, é importante que os alunos compreendam que somente é 
possível realizar a adição e a subtração com radicais quando estes são semelhantes. É 
importante destacar que, em algumas situações, é necessário trabalharmos com valores 
aproximados. No terceiro caso, questione os alunos se essa expressão não pode mais 
ser reduzida. Efetue outros exemplos para aprofundar este conteúdo. Se possível, faça a 
atividade a seguir.
Sugestão de atividade
1. Calcule as adições ou 
subtrações de radicais:
a) 9 4+
 Solução:
5
b) 25 83−
 Solução:
3
c) 7 2 3 2 2 2� �
 Solução:
6 2
d) 3 3 8 35 5+
 Solução:
11 35
e) 6 3 75+
 Solução:
11 3
f ) 5 180 245 17 5� �
 Solução:
20 5
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 93 16/09/2020 14:25:12
94 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
E importante comentar 
com os alunos que, para po-
dermos multiplicar ou dividir 
radicais, e necessário que os 
radicais estejam com o mesmo 
índice. Para isso, muitas vezes 
precisamos reduzi-los a um 
mesmo radical.
Resposta
1. a
b
c
)
)
)
 
 4
 10
12 5
3
75
2. 40 250 40 250
2 10 5 10 2 10 5 10
14 10
� � � �
� � � � �
� cm
3. 
a a
b
)
)
 5a
 3
2
6
Sugestão de atividade
1. Escreva (V), se a igualdade 
for verdadeira, ou (F), se a 
igualdade for falsa.
( )
( )
( )
( )
(
 
 
 
 
 
7 3 10
5 5 2 5
2 1 1 2
3 3 6
� �
� �
� � �
� �
 ) 7 3 7 2 7 27� � �
 Solução:
F, V, V, F, F.
Orientação para RA
Os alunos podem apresen-
tar certa dificuldade na ativi-
dade digital, pois eles deverão 
avaliar as sentenças presentes 
no labirinto. Por isso, retome as 
expressões em que eles tiveram 
dificuldades.
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1. Efetue os cálculos a seguir:
a) 2 2 3 2 5 3� �( )
b) ( ) ( )2 6 2 2 6� � �
c) ( ) ( )� � � � �2 5 3 5
d) 10 8 2 2� � � �:
e) 7 35 :
f ) 20 10 10 18 2 2�� � :
ATIVIDADES
Potenciação e radiciação com radicais
Como a potência é uma operação de multiplicação de mesmos fatores, as regras para calcular a 
potenciação de radicais são iguais.
 Exemplo: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 35
4
5 5 5 5 5 45� � � � � �� ��� ��� � � � � � �
De modo geral, para efetuar a potenciação de um radical, elevamos o radicando ao expoente 
dado. No exemplo acima, o radicando é 3 e o expoente é 4. No fim da operação, temos justamente a 
raiz quinta de 34.
Generalizando:
a am
n
nm� � � , com a ≥ 0, m   e m > 1, n  .
 Exemplos:
• 7 7
3
3� � � •
6
2
6
2
6 6 6
32
36 6
32
9 6
8
5
5
5
2 2�
�
��
�
�
�� � �
� �
� �
Para compreendermos a radiciação com radicais, multiplicamos os índices das raízes envolvidas, 
como no exemplo a seguir:
729 729 729 3 323 3 2 6 66� � � ��
Generalizando:
a anm m n� � , com a ≥ 0, m, n   / m > 1, n > 1.
 Exemplos:
• 6 6 63 2 3 6� ��
•
6
2
6
2
6
2
6
2
6
4
4 4
24
4= = = =
�
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1. Escreva em seu caderno a forma mais simples possível de cada uma das expressões a seguir.
a) 2 5 10 5+ b) 9 3 8 33 3� � c) 7 3 7 6 75 5 5+ +
2. As medidas do retângulo a seguir, indicadas na figura, são dadas em cm. Determine o perímetro 
desse retângulo.
3. Calcule as adições algébricas a seguir, nas quais as variáveis representam sempre números reais.
a) 72 8 183 3 3a a a� � b) 54 6 150 2 24� � �
ATIVIDADES
40
250
Multiplicação de radicais
Para calcular o produto entre radicais, é necessário que eles tenham o mesmo índice. Assim, pre-
cisamos reduzi-los ao mesmo índice quando são diferentes. Generalizando, podemos compreender a 
multiplicação de dois ou mais radicais de índices iguais da seguinte maneira:
a b a bn n n� � � , com a ≥ 0, b ≥ 0, n   e n >1.
 Exemplo:
• 3 27 3 27 81 34 4 4 4� � � � �
Atenção! 
Para reduzir os radicais ao mesmo índice, devemos encontrar o mínimo múltiplo comum entre eles. 
Quanto aos expoentes do radicando, devemos multiplicá-los pelo fator comum encontrado. 
 Exemplos:
• x y x y x y3 5 53 5 35 3 5 315� � � � �� � • 2 5 7 2 5 7 2 5 73 4 612 412 312 6 4 312� � � � � � � �
Divisão de radicais 
Para calcular o quociente entre radicais, é necessário que tenham o mesmo índice, e, assim como 
na operação de multiplicação, os radicais com índices diferentes devem ser reduzidos ao mesmo índice 
para efetuar a divisão. Generalizando, podemos compreender a divisão de radicais de índices iguais 
da seguinte maneira:
a
b
a
b
n
n
n= , com a ≥ 0, b > 0, n   e n >1.
 Exemplos:
• 6
3
6
3
2= = •
6
3
6
3
216
9
24
3
36
26
6 6= = =
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 94 16/09/2020 14:25:31
95MATEMÁTICA
Encaminhamento metodológico
Em potência de radicais convém relembrar a propriedade multiplicando um radi-
cal pelo outro, conforme a regra da potenciação. É interessante recuperar esse conceito 
para que o aluno entenda o processo e consiga generalizar em situações posteriores.
Resposta
As respostas para a seção Atividades são:
1. 
a
b
c
d
e
f
)
)
)
)
)
)
 
 
 
 
 
 
12 10 6
10 2 3
11 5 5
10
49
243
10
10
�
� �
�
55 15�
a
b
c
d
e
f
)
)
)
)
)
)
 
 
 
 
 
 
12 10 6
10 2 3
11 5 5
10
49
243
10
10
�
� �
�
55 15�
Sugestão de atividade
1. Calcule:
a b c d) ) ) : ) : 2 7 4 2 15 3 21 7⋅ ⋅
 Solução:
a
b
c
d
)
)
)
)
 
 
 
 
14
8
5
3
a b c d) ) ) : ) : 2 7 4 2 15 3 21 7⋅ ⋅
 Solução:a
b
c
d
)
)
)
)
 
 
 
 
14
8
5
3
a b c d) ) ) : ) : 2 7 4 2 15 3 21 7⋅ ⋅
 Solução:
a
b
c
d
)
)
)
)
 
 
 
 
14
8
5
3a b c d) ) ) : ) : 2 7 4 2 15 3 21 7⋅ ⋅
 Solução:
a
b
c
d
)
)
)
)
 
 
 
 
14
8
5
3
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03
1. Efetue os cálculos a seguir:
a) 2 2 3 2 5 3� �( )
b) ( ) ( )2 6 2 2 6� � �
c) ( ) ( )� � � � �2 5 3 5
d) 10 8 2 2� � � �:
e) 7 35 :
f ) 20 10 10 18 2 2�� � :
ATIVIDADES
Potenciação e radiciação com radicais
Como a potência é uma operação de multiplicação de mesmos fatores, as regras para calcular a 
potenciação de radicais são iguais.
 Exemplo: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 35
4
5 5 5 5 5 45� � � � � �� ��� ��� � � � � � �
De modo geral, para efetuar a potenciação de um radical, elevamos o radicando ao expoente 
dado. No exemplo acima, o radicando é 3 e o expoente é 4. No fim da operação, temos justamente a 
raiz quinta de 34.
Generalizando:
a am
n
nm� � � , com a ≥ 0, m   e m > 1, n  .
 Exemplos:
• 7 7
3
3� � � •
6
2
6
2
6 6 6
32
36 6
32
9 6
8
5
5
5
2 2�
�
��
�
�
�� � �
� �
� �
Para compreendermos a radiciação com radicais, multiplicamos os índices das raízes envolvidas, 
como no exemplo a seguir:
729 729 729 3 323 3 2 6 66� � � ��
Generalizando:
a anm m n� � , com a ≥ 0, m, n   / m > 1, n > 1.
 Exemplos:
• 6 6 63 2 3 6� ��
•
6
2
6
2
6
2
6
2
6
4
4 4
24
4= = = =
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03
1. Escreva em seu caderno a forma mais simples possível de cada uma das expressões a seguir.
a) 2 5 10 5+ b) 9 3 8 33 3� � c) 7 3 7 6 75 5 5+ +
2. As medidas do retângulo a seguir, indicadas na figura, são dadas em cm. Determine o perímetro 
desse retângulo.
3. Calcule as adições algébricas a seguir, nas quais as variáveis representam sempre números reais.
a) 72 8 183 3 3a a a� � b) 54 6 150 2 24� � �
ATIVIDADES
40
250
Multiplicação de radicais
Para calcular o produto entre radicais,é necessário que eles tenham o mesmo índice. Assim, pre-
cisamos reduzi-los ao mesmo índice quando são diferentes. Generalizando, podemos compreender a 
multiplicação de dois ou mais radicais de índices iguais da seguinte maneira:
a b a bn n n� � � , com a ≥ 0, b ≥ 0, n   e n >1.
 Exemplo:
• 3 27 3 27 81 34 4 4 4� � � � �
Atenção! 
Para reduzir os radicais ao mesmo índice, devemos encontrar o mínimo múltiplo comum entre eles. 
Quanto aos expoentes do radicando, devemos multiplicá-los pelo fator comum encontrado. 
 Exemplos:
• x y x y x y3 5 53 5 35 3 5 315� � � � �� � • 2 5 7 2 5 7 2 5 73 4 612 412 312 6 4 312� � � � � � � �
Divisão de radicais 
Para calcular o quociente entre radicais, é necessário que tenham o mesmo índice, e, assim como 
na operação de multiplicação, os radicais com índices diferentes devem ser reduzidos ao mesmo índice 
para efetuar a divisão. Generalizando, podemos compreender a divisão de radicais de índices iguais 
da seguinte maneira:
a
b
a
b
n
n
n= , com a ≥ 0, b > 0, n   e n >1.
 Exemplos:
• 6
3
6
3
2= = •
6
3
6
3
216
9
24
3
36
26
6 6= = =
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96 MATEMÁTICA
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03
A natureza ao nosso redor está repleta de elementos matemáticos e, se 
observarmos com cuidado, aprenderemos a identificá-los e admirá-los. Um 
desses elementos são as espirais, que podem ser vistas nas formações de galáxias, 
nos animais e insetos, nas plantas etc.
Para obter o desenho de espirais, há vários processos. A seguir, descubra como obter uma 
espiral pitagórica, que também é conhecida como Espiral de Teodoro, utilizada para estudar pro-
priedades dos elementos da natureza em forma de espiral.
1º passo: desenhar um triângulo retângulo ABC com catetos
medindo 1 cm. 
B
A
C1 cm
1 cm
90°
2º passo: na hipotenusa fazemos outro triângulo retângulo
ACD com cateto AC e o cateto AD medindo 1 cm.
90°
90°
1 cm
1 cm
1 cmB C
A
D
3º passo: na hipotenusa do anterior fazemos outro triângulo
retângulo com cateto igual a essa hipotenusa e o outro cateto
medindo 1 cm. 90°
90°
90°
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
4º passo: repete o 3º passo quantas vezes forem necessárias
para formar a espiral (neste exemplo foram 29 triângulos
retângulos). 
Analisando a construção e a figura final obtida, responda em 
seu caderno:
1. Como podemos descobrir a medida das hipotenusas 
de cada triângulo retângulo? Calcule as oito primeiras 
medidas.
2. As medidas encontradas são racionais ou irracionais?
3. Qual operação com raízes foi utilizada nos cálculos acima?
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MATEMÁTICA 97
Racionalização de denominadores
• Será que nas operações em que o radical aparece no denominador há uma maneira que nos 
facilita os cálculos?
• Qual será essa maneira?
Quando um radical aparece no denominador de uma fração, como em 
1
2
, temos um cálculo 
complexo a ser feito, uma vez que 2 é um número irracional, cujo valor aproximado é 1,41421356. 
Assim, vemos que 
1
1 41421356,
 é uma divisão muito trabalhosa.
Para solucionar esse problema, os matemáticos desenvolveram um método que consiste em mul-
tiplicar a fração que contém um radical no denominador por um fator racionalizante, de tal forma que 
seja obtida uma fração equivalente à primeira, porém sem o radical no denominador. Para isso, basta 
multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo mesmo valor. 
 Exemplos:
1.º caso:
1
2
2
2
2
2
2
22
� � �
Fração equivalente sem o radical no denominador.
Fator racionalizante.
2.º caso:
Fração equivalente sem o radical no denominador.
Fator racionalizante.
1
3
3
3
3
3
9
3
9
335
25
25
25
2 35
5
55
5
� � � �
�
3.º caso: 
Fator racionalizante.
2
5 3
5 3
5 3
2 5 2 3
5 3
2 5 2 3
5 3
5 3
2 2�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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( )
A Catedral de Notre-Dame de Reims, na França, e a Catedral de Chartres formam a dupla de 
catedrais góticas mais importantes desse país. Dentro da Catedral de Reims encontra-se um labi-
rinto com o formato da figura a seguir. 
Faça dupla com um colega e calculem a área central do labirinto, supondo que ele tenha as 
medidas indicadas.
2 2 m
4 m
4
4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
INTERAÇÃOEncaminhamento 
metodológico
Para a seção Desenvolver 
e aplicar, aborde com os estu-
dantes os elementos encontra-
dos na natureza e encoraje-os 
a representar uma dessas 
espirais em seus cadernos. 
Posteriormente, pode-se realizar 
os cálculos solicitados. Isso 
auxilia para que os alunos cons-
truam conceitos matemáticos e 
não somente os recebam pron-
tos. Na seção Dica para ampliar 
o trabalho, faça a construção da 
média geométrica (ou média 
proporcional), com os alunos. 
Se possível, realize a construção 
em um software de geometria 
dinâmica, por exemplo, GeoGebra
online.
• www.geogebra.org
Resposta
1. Utilizando o Teorema de 
Pitágoras. São elas: 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , . , , ,
2 3 4 5 6 7 8 9, , , , . , , ,
2. Irracionais: 2 3 5 6 7 8, , ., , ,
2 3 5 6 7 8, , ., , ,
Racionais: 4 9, .
3. Potência de raízes.
Sugestão de atividade
1. Efetue as multiplicações:
a
b
c
d
)
)
) :
) :
 
 
 
 
4 2 5 3
2 5
10 8 2 2
7 3
3
5
⋅
⋅ Solução:
a
b
c
d
)
)
)
)
 
 
 
 
20 6
500
10
49
243
6
10
a
b
c
d
)
)
) :
) :
 
 
 
 
4 2 5 3
2 5
10 8 2 2
7 3
3
5
⋅
⋅
 Solução:a
b
c
d
)
)
)
)
 
 
 
 
20 6
500
10
49
243
6
10
Dica para ampliar 
o trabalho
A média geométrica ou 
média proporcional de dois 
segmentos é o segmento cuja 
medida é igual à raiz quadrada 
do produto dos dois segmentos 
dados: 
x a b x a b
x x a b
x
a
b
x
� � � � � �
� � � � �
2
96 MATEMÁTICA
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_9
_M
AT
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1_
U
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03
A natureza ao nosso redor está repleta de elementos matemáticos e, se 
observarmos com cuidado, aprenderemos a identificá-los e admirá-los. Um 
desses elementos são as espirais, que podem ser vistas nas formações de galáxias, 
nos animais e insetos, nas plantas etc.
Para obter o desenho de espirais, há vários processos. A seguir, descubra como obter uma 
espiral pitagórica, que também é conhecida como Espiral de Teodoro, utilizada para estudar pro-
priedades dos elementos da natureza em forma de espiral.
1º passo: desenhar um triângulo retângulo ABC com catetos
medindo 1 cm. 
B
A
C1 cm
1 cm
90°
2º passo: na hipotenusa fazemos outro triângulo retângulo
ACD com cateto AC e o cateto AD medindo 1 cm.
90°
90°
1 cm
1 cm
1 cmB C
A
D
3º passo: na hipotenusa do anterior fazemos outro triângulo
retângulo com cateto igual a essa hipotenusa e o outro cateto
medindo 1 cm. 90°
90°
90°
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
4º passo: repete o 3º passo quantas vezes forem necessárias
para formar a espiral (neste exemplo foram 29 triângulos
retângulos). 
Analisando a construção e a figura final obtida, responda em 
seu caderno:
1. Como podemos descobrir a medida das hipotenusas 
de cada triângulo retângulo? Calcule as oito primeiras 
medidas.
2. As medidas encontradas são racionais ou irracionais?
3. Qual operação com raízes foi utilizada nos cálculos acima?
DESENVOLVER E APLICAR
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Le
on R
af
ae
l/S
hutte
rst
ock
Analisando a construção e a figura final obtida, responda em 
Qual operação com raízes foi utilizada nos cálculos acima? Le
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Dados os segmentos a e b, siga os passos para construir, geometricamente, no seu 
caderno, a raiz do produto de a por b:
[...] Sobre uma reta, definir um ponto A e, a partir 
de A, traçar o segmento a. A partir da extremidade do 
segmento a, traçar o segmento b. Definir os pontos B
e C dos segmentos a e b, respectivamente. Definir M, o 
ponto médio de AC. Com centro em M e raio MA, traçar 
a semicircunferência cujo AC é o diâmetro. Traçar uma 
perpendicular à AC, que passe por B. Definir o ponto X na 
interseção da perpendicular com a semicircunferência. 
Neste processo, o segmento BXé a média geométrica 
dos segmentos a e b dados. [...]
ALBRECHT, Clarissa; OLIVEIRA, Luiza. Desenho Geométrico. 
Disponível em: www2.cead.ufv.br/serieconhecimento/wp-content/
uploads/2015/06/desenho-geometrico.pdf. Acesso em: 17 ago. 2018.
a
b
a
A B M C
X
b
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 96 16/09/2020 14:26:22
97MATEMÁTICA
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03
A natureza ao nosso redor está repleta de elementos matemáticos e, se 
observarmos com cuidado, aprenderemos a identificá-los e admirá-los. Um 
desses elementos são as espirais, que podem ser vistas nas formações de galáxias, 
nos animais e insetos, nas plantas etc.
Para obter o desenho de espirais, há vários processos. A seguir, descubra como obter uma 
espiral pitagórica, que também é conhecida como Espiral de Teodoro, utilizada para estudar pro-
priedades dos elementos da natureza em forma de espiral.
1º passo: desenhar um triângulo retângulo ABC com catetos
medindo 1 cm. 
B
A
C1 cm
1 cm
90°
2º passo: na hipotenusa fazemos outro triângulo retângulo
ACD com cateto AC e o cateto AD medindo 1 cm.
90°
90°
1 cm
1 cm
1 cmB C
A
D
3º passo: na hipotenusa do anterior fazemos outro triângulo
retângulo com cateto igual a essa hipotenusa e o outro cateto
medindo 1 cm. 90°
90°
90°
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
4º passo: repete o 3º passo quantas vezes forem necessárias
para formar a espiral (neste exemplo foram 29 triângulos
retângulos). 
Analisando a construção e a figura final obtida, responda em 
seu caderno:
1. Como podemos descobrir a medida das hipotenusas 
de cada triângulo retângulo? Calcule as oito primeiras 
medidas.
2. As medidas encontradas são racionais ou irracionais?
3. Qual operação com raízes foi utilizada nos cálculos acima?
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MATEMÁTICA 97
Racionalização de denominadores
• Será que nas operações em que o radical aparece no denominador há uma maneira que nos 
facilita os cálculos?
• Qual será essa maneira?
Quando um radical aparece no denominador de uma fração, como em 
1
2
, temos um cálculo 
complexo a ser feito, uma vez que 2 é um número irracional, cujo valor aproximado é 1,41421356. 
Assim, vemos que 
1
1 41421356,
 é uma divisão muito trabalhosa.
Para solucionar esse problema, os matemáticos desenvolveram um método que consiste em mul-
tiplicar a fração que contém um radical no denominador por um fator racionalizante, de tal forma que 
seja obtida uma fração equivalente à primeira, porém sem o radical no denominador. Para isso, basta 
multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo mesmo valor. 
 Exemplos:
1.º caso:
1
2
2
2
2
2
2
22
� � �
Fração equivalente sem o radical no denominador.
Fator racionalizante.
2.º caso:
Fração equivalente sem o radical no denominador.
Fator racionalizante.
1
3
3
3
3
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9
3
9
335
25
25
25
2 35
5
55
5
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3.º caso: 
Fator racionalizante.
2
5 3
5 3
5 3
2 5 2 3
5 3
2 5 2 3
5 3
5 3
2 2�
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( )
•
A Catedral de Notre-Dame de Reims, na França, e a Catedral de Chartres formam a dupla de 
catedrais góticas mais importantes desse país. Dentro da Catedral de Reims encontra-se um labi-
rinto com o formato da figura a seguir. 
Faça dupla com um colega e calculem a área central do labirinto, supondo que ele tenha as 
medidas indicadas.
2 2 m
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2 2 2 2
INTERAÇÃO Resposta
A resposta para a seção 
Interação é: 
32 32 2 2�� � m
Dica para ampliar 
o trabalho
[...] A catedral de Notre-
-Dame de Reims localiza-se 
na região de Champagne, na 
França. Foi construída no século 
XIII, possuindo uma história 
bastante complexa, pois a obra 
foi interrompida em 1223, com 
o coro ainda não abobadado, 
até 1241. Ainda assim, até o 
século XIV, as seções superiores 
das torres continuavam em 
construção; sabe-se também 
que o projeto foi dirigido por 
quatro arquitetos em sucessão. 
Apesar de não saber ao certo a 
ordem, pode-se dizer que Jean 
d’Orbais, ativo entre os anos de 
1211-1228, realizou os planos 
iniciais, mais tarde modificados. 
É possível ver as mudanças na 
estrutura do coral e na decora-
ção esculpida dos portais.
FONSECA, Flávia Massaro. Os de-
senhos de Villard de Honnecourt
e o processo projetivo na Idade 
Média. Disponível em: www.iau.
usp.br/pesquisa/grupos/nelac/
wp-content/uploads/2015/01/
Relat%C3%B3rio_Final_
Fl%C3%A1via.pdf . Acesso em: 20 
ago. 2019.
Encaminhamento metodológico
Recorde com os alunos a relação a anm
n
m= , que pode facilitar o entendimento 
da potenciação de radicais. Resolva os exemplos passo a passo com os alunos, sempre 
mostrando a generalização ao final. Explore também a radiciação de radicais e comente 
que de modo geral, temos a anm m n� � , com a real e m e n naturais e maiores que 1.
 Exemplos:
1 2 2 2 2 2 2
2 3 3
3
1
3
1
2
1
3 1
2
1
3
1
6 6
35 15
.
.
 
 
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1 2 2 2 2 2 2
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6 6
35 15
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96 MATEMÁTICA
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A natureza ao nosso redor está repleta de elementos matemáticos e, se 
observarmos com cuidado, aprenderemos a identificá-los e admirá-los. Um 
desses elementos são as espirais, que podem ser vistas nas formações de galáxias, 
nos animais e insetos, nas plantas etc.
Para obter o desenho de espirais, há vários processos. A seguir, descubra como obter uma 
espiral pitagórica, que também é conhecida como Espiral de Teodoro, utilizada para estudar pro-
priedades dos elementos da natureza em forma de espiral.
1º passo: desenhar um triângulo retângulo ABC com catetos
medindo 1 cm. 
B
A
C1 cm
1 cm
90°
2º passo: na hipotenusa fazemos outro triângulo retângulo
ACD com cateto AC e o cateto AD medindo 1 cm.
90°
90°
1 cm
1 cm
1 cmB C
A
D
3º passo: na hipotenusa do anterior fazemos outro triângulo
retângulo com cateto igual a essa hipotenusa e o outro cateto
medindo 1 cm. 90°
90°
90°
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
4º passo: repete o 3º passo quantas vezes forem necessárias
para formar a espiral (neste exemplo foram 29 triângulos
retângulos). 
Analisando a construção e a figura final obtida, responda em 
seu caderno:
1. Como podemos descobrir a medida das hipotenusas 
de cada triângulo retângulo? Calcule as oito primeiras 
medidas.
2. As medidas encontradas são racionais ou irracionais?
3. Qual operação com raízes foi utilizada nos cálculos acima?
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98 MATEMÁTICA
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03
1. (IFAL-2016) O valor exato da raiz cúbica de 
1 728 é
a) 9
d) 18
b) 12
e) 25
c) 15
2. Simplifique as expressões a seguir. 
a) 7 7 2�� �
b) 2 2 3 2 5 3�� �
3. Escreva as expressões abaixo na forma 
a
b
n
e, a seguir, simplifique cada uma delas.
a) 
40
5
c) 
3 72
3
b) 
44
11
d) 
8 10
2
⋅
4. Calcule as potências com os radicais a seguir:
a) 15
2� �
c) 7
3� �
b) 3 7
2� �
d) 363
2� �
5. Reduza a um único radical e, em seguida, 
simplifique, se possível:
a) 536
b) 154
6. Racionalize as frações a seguir:
a) 
4
5
c) 
2
3
e) 
4 2
3
g) 
5 2
2 5
b) 
3
2
d) 
5 7
2 1+
f ) 
6
3
h) 
2 5
5
+
7. Simplifique as expressões a seguir.
a) a ab b a b a b ab ab43 43 4 43 33� � �
b) 
3 2 2
17 12 2
3 2 2
17 12 2
�
�
�
�
�
c) 
x x
x x
x x
x x
� �
� �
�
� �
� �
2
2
2
2
1
1
1
1
VAMOS PRATICAR MAIS?
8. Encontre o valor do lado BC de um retângulo, 
dado:
a) o lado AB medindo 6 3 cm e área de 
18 cm².
b) o lado AB medindo 9 3 cm e área de 
81 cm².
1. (EPCAR-2019) Considere os números reais x, y e z, tais que:
x � �2 3
y � � �2 2 3
z � � � ��
�
�
�
�
�� � � ��
�
�
�
�
�2 2 2 3 2 2 2 3
Simplificando a expressão ( ) ,x y z� � �
�
�1 1
2 3
 obtém-se: 
a) 2 3− b) 1 c) 2 3+ d) 2 3 
DE OLHO NA PROVA
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U
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03Perceba que em todos os casos o fator racionalizante é igual a 1. Logo, a fração obtida é equiva-
lente à fração inicial. No 1.º caso, quando temos 2 no denominador, basta multiplicarmos tanto o 
numerador quanto o denominador por 2 , uma vez que 2 2 2� � .
No 2.º caso, foi preciso escolher um expoente adequado. De forma geral, podemos dizer que, se o 
denominador for anm , o fator racionalizante será:
a
a
m nm
m nm
−
−
Já no 3.º caso, utilizamos o produto notável (a + b) · (a – b) = a2 – b2 para eliminarmos o radical do 
denominador.
1. Determine o perímetro do triângulo a seguir, 
no qual estão assinaladas as medidas dos 
lados.
112 cm
175 cm
28 cm
2. Determine o perímetro e a área do retângulo 
a seguir.
(5 + 5 ) cm 
(6 – 5 ) cm 
3. O volume de um cubo pode ser calculado 
pela fórmula matemática V = a3, em que a
representa a medida da aresta. Calcule o 
volume do cubo a seguir.
3 cm3
3 cm3
3 cm3
4. Qual é a área de um quadrado com lado igual 
a ( )3 4+ cm?
5. A área de um triângulo é dada pela metade 
do produto da medida da base pela medida 
da altura. Nessas condições, calcule a área 
da figura a seguir.
2 cm3
6 cm5
6. Sabendo que a área de um quadrado é igual a 
60 cm2, calcule a medida do seu lado.
7. Simplifique as expressões a seguir escreven-
do-as com um único índice.
a) 24
b) 643
ATIVIDADES
lente à fração inicial. No 1.º caso, quando temos Encaminhamento 
metodológico
É importante destacar 
com os alunos que, quando 
racionalizamos uma expressão, 
isso nos auxilia e facilita cálcu-
los. Quando estiver fazendo os 
exemplos, se possível, substitua 
as raízes pelos seus valores 
aproximados para comparar os 
valores encontrados.
Resposta
1. 11 7 cm
2. Perímetro = 22 cm
Área = ( )25 5 2+ cm
3. V cm= 81 3 3 
4. ( )7 4 3 2+ cm
5. 15 3 cm2
6. 604 cm
7. 
a) 28
b) 624
Orientação para RA
A atividade digital apresen-
ta radiciação com radicais a fim 
de usar o cálculo mental como 
ferramenta principal, sem neces-
sidade de efetuar as operações.
Sugestão de atividade
1. Racionalizar o denominador 
da expressão
3 3
3 3
�
�
.
 Solução:
3 3
3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
9 3 3 3 3 3
3 3
9 6 3 3
9
2
2 2
�
�
�
�� � �� �
�� � �� �
�
�
� � �
� � �� �
�
�
� �
� 33
6 2 3
6
2 3
�
�
�� �
�
� �
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99MATEMÁTICA
99MATEMÁTICA
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1. (IFAL-2016) O valor exato da raiz cúbica de 
1 728 é
a) 9
d) 18
b) 12
e) 25
c) 15
2. Simplifique as expressões a seguir. 
a) 7 7 2�� �
b) 2 2 3 2 5 3�� �
3. Escreva as expressões abaixo na forma 
a
b
n
e, a seguir, simplifique cada uma delas.
a) 
40
5
c) 
3 72
3
b) 
44
11
d) 
8 10
2
⋅
4. Calcule as potências com os radicais a seguir:
a) 15
2� �
c) 7
3� �
b) 3 7
2� �
d) 363
2� �
5. Reduza a um único radical e, em seguida, 
simplifique, se possível:
a) 536
b) 154
6. Racionalize as frações a seguir:
a) 
4
5
c) 
2
3
e) 
4 2
3
g) 
5 2
2 5
b) 
3
2
d) 
5 7
2 1+
f ) 
6
3
h) 
2 5
5
+
7. Simplifique as expressões a seguir.
a) a ab b a b a b ab ab43 43 4 43 33� � �
b) 
3 2 2
17 12 2
3 2 2
17 12 2
�
�
�
�
�
c) 
x x
x x
x x
x x
� �
� �
�
� �
� �
2
2
2
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VAMOS PRATICAR MAIS?
8. Encontre o valor do lado BC de um retângulo, 
dado:
a) o lado AB medindo 6 3 cm e área de 
18 cm².
b) o lado AB medindo 9 3 cm e área de 
81 cm².
1. (EPCAR-2019) Considere os números reais x, y e z, tais que:
x � �2 3
y � � �2 2 3
z � � � ��
�
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�
�
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Simplificando a expressão ( ) ,x y z� � �
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 obtém-se: 
a) 2 3− b) 1 c) 2 3+ d) 2 3 
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Perceba que em todos os casos o fator racionalizante é igual a 1. Logo, a fração obtida é equiva-
lente à fração inicial. No 1.º caso, quando temos 2 no denominador, basta multiplicarmos tanto o 
numerador quanto o denominador por 2 , uma vez que 2 2 2� � .
No 2.º caso, foi preciso escolher um expoente adequado. De forma geral, podemos dizer que, se o 
denominador for anm , o fator racionalizante será:
a
a
m nm
m nm
−
−
Já no 3.º caso, utilizamos o produto notável (a + b) · (a – b) = a2 – b2 para eliminarmos o radical do 
denominador.
1. Determine o perímetro do triângulo a seguir, 
no qual estão assinaladas as medidas dos 
lados.
112 cm
175 cm
28 cm
2. Determine o perímetro e a área do retângulo 
a seguir.
(5 + 5 ) cm 
(6 – 5 ) cm 
3. O volume de um cubo pode ser calculado 
pela fórmula matemática V = a3, em que a
representa a medida da aresta. Calcule o 
volume do cubo a seguir.
3 cm3
3 cm3
3 cm3
4. Qual é a área de um quadrado com lado igual 
a ( )3 4+ cm?
5. A área de um triângulo é dada pela metade 
do produto da medida da base pela medida 
da altura. Nessas condições, calcule a área 
da figura a seguir.
2 cm3
6 cm5
6. Sabendo que a área de um quadrado é igual a 
60 cm2, calcule a medida do seu lado.
7. Simplifique as expressões a seguir escreven-
do-as com um único índice.
a) 24
b) 643
ATIVIDADES
3. 
a) 
40
5
2 2; 
b) 
44
11
2; 
c) 3
72
3
6 6; 
d) 
80
2
2 10; 
4. 
a) 15
b) 63
c) 7 7
d) 6 63
5. 
a) 5312 = 54
b) 15
6. 
a) 
20
5
2 5
5
=
b) 
6
2
c) 6
3
d) 6
e) 5 14 5 7−
f ) 
4 6
3
g) 2 3
h) 
10
2
i) 
10 5
5
+
7. 
a) 0
b) 2
c) 4 12x x −Resposta
As respostas para a seção Atividades são:
8. 
a) 3 cm
b) 3 3 cm
A resposta para a seção De olho na prova é:
1. C
As respostas para a seção Vamos praticar mais? são:
1. B
2. 
a) 7 14+
b) 12 10 6−
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Operações com radicais – Relacionando conceitos
na
e
se usa-se usa-se
adiciona 
algebricamente
reduz
OPERAÇÕES COM RAÍZES
soma
multiplicação
radicais 
semelhantes
termos 
semelhantes
radicais não 
semelhantes
propriedade 
do quociente 
entre radicais
divisãosubtração
propriedade 
do produto 
entre radicais
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Lukiyanova Natalia / frenta/Shutterstock
Lukiyanova Natalia / frenta/Shutterstock
un
idade
Torre de Pisa, na Itália.
101
1. Equações do 2.o grau completas e incompletas
Conta-se que o físico, matemático e astrônomo italiano Galileu Galilei (1564-1642), no início do sécu-
lo XVII, soltou, no mesmo instante, dois objetos de massas bem diferentes do alto da famosa torre inclinada 
de Pisa, na Itália. Ele deduziu que, desprezando-se os efeitos da resistência do ar, os objetos chegariam ao 
chão ao mesmo tempo em decorrência da ação da gravidade que a Terra exerce sobre os corpos. A equa-
ção do 2.º grau que relaciona o espaço e o tempo na queda livre é d gt=
1
2
2, em que d é a distância, g é a 
aceleração da gravidade e t é o tempo.
Se substituirmos t nessa equação, como podemos calcular o valor de d?
2
• Definição de equação do 2.° grau
• Conjunto solução de uma 
equação do 2.° grau
• Resolução de equações in-
completas e completas
• Fórmula resolutiva de uma 
equação do 2.° grau
• Relação entre coeficientes e raí-
zes de uma equação do 2.° grau
• Fatoração de trinômios do 2.° grau
Equações do 2.º grau
Escola Digital
Objetivos do capítulo
• Conhecer os elementos de uma equação do 2.º grau.
• Resolver equações do 2.º grau.
• Identificar e aplicar as relações entre os coeficientes de uma equação do 2.º grau 
utilizando fatoração, soma e produto e a fórmula resolutiva.
Realidade aumentada
• Identificando equações do 2.° grau incompletas
• Equações e suas fórmulas resolutivas
Encaminhamento 
metodológico
Neste capítulo, trabalhare-
mos a habilidade EF09MA09 da 
BNCC, que é a de compreender 
os processos de fatoração de 
expressões algébricas, com base 
em suas relações com os pro-
dutos notáveis, para resolver e 
elaborar problemas que possam 
ser representados por equações 
polinomiais do 2.º grau.
O texto de abertura leva 
o aluno à reflexão da necessi-
dade de métodos de resoluçãode equações do 2.º grau. Na 
pergunta inicial, é investigado 
se o aluno já conhece algum 
método.
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1. Em seu caderno, escreva, na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou reduzida), cada uma das 
equações do 2.º grau a seguir e, depois, identifique os coeficientes da equação, informando 
se elas são completas ou incompletas.
a) (x – 3)² + (x + 2)² = 10
c) (x + 2) · (x – 2) = 0
b) (x + 4) · (x – 1) = 5 (x – 1) – x²
d) (x – 3) · (x – 5) = 7 (x + 1)
ATIVIDADES
Conjunto solução de uma equação do 2.º grau
Resolver uma equação significa determinar suas raízes ou soluções. Raiz ou solução de uma equação 
é o valor que, atribuído à incógnita, torna a sentença matemática verdadeira. Para isso, devemos saber 
quais são os valores que a incógnita pode assumir e quais deles a tornam verdadeira.
Observe a seguinte situação: a soma do número 6 com o quadrado de um número real x é igual 
a 42. Qual é esse número?
A equação que representa essa situação é x2 + 6 = 42. Como x é um número real, ele pode assumir 
qualquer valor do conjunto dos números reais. Esse conjunto chamamos de conjunto universo e uti-
lizamos a letra maiúscula U para sua representação. Se o conjunto universo não é especificado, vamos 
tomar como verdade que o conjunto universo são os reais. 
Ao substituirmos x por números reais na equação, há números que tornam a sentença verdadeira 
ou falsa. Vamos substituir alguns valores em x2 + 6 = 42:
• x = 0 ⇒ 02 + 6 = 42 ⇒ 6 = 42 (falsa)
• x = 6 ⇒ 62 + 6 = 42 ⇒ 42 = 42 (verdadeira)
• x = –1 ⇒ (–1)2 + 6 = 42 ⇒ 7 = 42 (falsa)
• x = –6 ⇒ (–6)2 + 6 = 42 ⇒ 42 = 42 (verdadeira)
Os números –6 e 6, substituídos na equação, a tornam uma sentença verdadeira, pois eles são as 
raízes da equação. Como –6 e 6 fazem parte do conjunto universo, dizemos que eles são as soluções
do problema. O conjunto formado pelas soluções da equação chamamos de conjunto solução. Neste 
caso, será S = {–6, 6}.
Portanto, conjunto universo (U) é o conjunto formado por todos os 
valores que a incógnita pode assumir e o conjunto solução (S), ou conjunto 
verdade, é formado pelas soluções da equação.
a) 
1. Identifique os coeficientes das equações do 
segundo grau a seguir e classifique-as como 
completa ou incompleta.
a) 5x2 + 3x – 5 = 0
b) x2 – 81 = 0
c) 3x3 = x
 Solução:
a) a = 5, b = 3, c= –5, completa.
b) a = 1, b = 0, c = – 81, incompleta em b.
c) a = 3, b = – 1, c = 0, incompleta em c.
COLOCANDO EM PRÁTICA
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Conhecendo as equações do 2.º grau
Uma escola pretende construir um alambrado para proteger a quadra de futebol. Aproveitando 
uma parte de um muro já existente e com 120 m de tela de arame, quais devem ser as dimensões 
do alambrado para que a área cercada seja de 1 000 m², sabendo que x é a medida da largura do 
alambrado e 120 – 2x a medida da frente do terreno?
Podemos ilustrar essa situação por meio de uma figura:
120 – 2x
xx
Área do terreno retangular = medida da frente ∙ medida lateral
Medida da frente do terreno: 120 – 2x
Medida da lateral do terreno: x
Área do terreno: 1 000 m²
Podemos, então, formar a equação:
(120 – 2x) · x = 1 000
120x – 2x² = 1 000
2x² – 120x + 1 000 = 0
Obtivemos, então, uma equação do 2.° grau na incógnita x (ou na variável x). Equações desse tipo 
são denominadas equações do 2.° grau com uma incógnita.
Portanto,
Toda equação com uma incógnita x que pode ser escrita na forma 
ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0, denomina-se 
equação do 2.º grau.
Nas equações do 2.º grau com uma variável, os coeficientes da equação são: a é coeficiente de 
x2; b é coeficiente de x; c é o termo independente de x. Existem algumas equações que não se en-
contram nessa forma, mas, por meio de transformações convenientes, aplicando os princípios aditivo 
e multiplicativo, podemos reduzi-las a essa forma. 
 Exemplos:
• 2x2 = – 2x + 40 ⇒ 2x2 + 2x – 40 = 0 é uma equação do 2.º grau na variável x, em que a = 2, b = 2 e 
c = – 40.
• 2x2 = 5x ⇒ 2x2 – 5x = 0 é uma equação do 2.º grau na variável x, em que a = 2, b = –5 e c = 0.
• x² – 25 = 0 é uma equação do 2.º grau na variável x, em que a = 1, b = 0 e c = –25.
Pelo que já foi exposto, devemos ter sempre a ≠ 0. Entretanto, podemos ter b = 0 ou c = 0.
Assim, 
• quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2.º grau se diz completa;
• quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2.º grau se diz incompleta.
Conhecendo as equações do 2.º grau
Uma escola pretende construir um alambrado para proteger a quadra de futebol. Aproveitando 
uma parte de um muro já existente e com 120 m de tela de arame, quais devem ser as dimensões 
do alambrado para que a área cercada seja de 1 000 m², sabendo que 
Encaminhamento 
metodológico
Para introdução do con-
ceito de equação do 2.º grau, 
partimos de uma situação-pro-
blema que envolve o conceito 
de área. Muitas vezes, tal recurso 
será utilizado para resolver uma 
equação do 2.º grau. Explique aos 
alunos que cada coeficiente tem 
uma nomenclatura. Faça outros 
exemplos com os alunos ou, nas 
atividades a seguir, pergunte 
qual valor está associado a cada 
coeficiente. Destaque que não 
é obrigatório que os três termos 
apareçam, salvo o termo a, que 
é diferente de zero; a existência 
dos outros dois termos não im-
plica no fato de a equação ser ou 
não do 2.º grau. 
Sugestão de atividade
1. Identifique os coeficientes a, 
b e c nas equações a seguir:
a) x² – 5x + 4 = 0
 Solução:
a = 1, b = –5, c = 4
b) 3y² – 7y + 3 = 0
 Solução:
a = 3, b = –7, c = 3
c) –t² + 4t – 4 = 0
 Solução:
a = –1, b = 4, c = –4
2. Identifique se as equações 
a seguir são completas ou 
incompletas:
a) x2 – 5x + 6 = 0
 Solução:
Completa.
b) 7x2 – x = 0  
 Solução:
Incompleta.
c) x2 – 36 = 0 
 Solução:
Incompleta.
d) 6x2 – x – 1 = 0
 Solução:
Completa.
Orientação para RA
O objetivo desta Realidade 
aumentada é constatar o que 
o aluno compreendeu sobre 
equações incompletas.
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1. Em seu caderno, escreva, na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou reduzida), cada uma das 
equações do 2.º grau a seguir e, depois, identifique os coeficientes da equação, informando 
se elas são completas ou incompletas.
a) (x – 3)² + (x + 2)² = 10
c) (x + 2) · (x – 2) = 0
b) (x + 4) · (x – 1) = 5 (x – 1) – x²
d) (x – 3) · (x – 5) = 7 (x + 1)
ATIVIDADES
Conjunto solução de uma equação do 2.º grau
Resolver uma equação significa determinar suas raízes ou soluções. Raiz ou solução de uma equação 
é o valor que, atribuído à incógnita, torna a sentença matemática verdadeira. Para isso, devemos saber 
quais são os valores que a incógnita pode assumir e quais deles a tornam verdadeira.
Observe a seguinte situação: a soma do número 6 com o quadrado de um número real x é igual 
a 42. Qual é esse número?
A equação que representa essa situação é x2 + 6 = 42. Como x é um número real, ele pode assumir 
qualquer valor do conjunto dos números reais. Esse conjunto chamamos de conjunto universo e uti-
lizamos a letra maiúscula U para sua representação. Se o conjunto universo não é especificado, vamos 
tomar como verdade que o conjunto universo são os reais. 
Ao substituirmos x por números reais na equação, há números que tornam a sentença verdadeira 
ou falsa. Vamos substituir alguns valores em x2 + 6 = 42:
• x = 0 ⇒ 02 + 6 = 42 ⇒ 6 = 42 (falsa)
• x = 6 ⇒ 62 + 6 = 42 ⇒ 42 = 42 (verdadeira)
• x = –1 ⇒ (–1)2 + 6 = 42 ⇒ 7 = 42 (falsa)
• x = –6 ⇒ (–6)2 + 6 = 42 ⇒ 42 = 42 (verdadeira)
Os números –6 e 6, substituídos na equação, a tornam uma sentença verdadeira, pois eles são as 
raízes da equação. Como –6 e 6 fazem parte do conjunto universo, dizemos que eles são as soluções
do problema. O conjunto formado pelas soluções da equação chamamos de conjunto solução. Neste 
caso, será S = {–6, 6}.
Portanto,conjunto universo (U) é o conjunto formado por todos os 
valores que a incógnita pode assumir e o conjunto solução (S), ou conjunto 
verdade, é formado pelas soluções da equação.
a) 
1. Identifique os coeficientes das equações do 
segundo grau a seguir e classifique-as como 
completa ou incompleta.
a) 5x2 + 3x – 5 = 0
b) x2 – 81 = 0
c) 3x3 = x
 Solução:
a) a = 5, b = 3, c= –5, completa.
b) a = 1, b = 0, c = – 81, incompleta em b.
c) a = 3, b = – 1, c = 0, incompleta em c.
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Conhecendo as equações do 2.º grau
Uma escola pretende construir um alambrado para proteger a quadra de futebol. Aproveitando 
uma parte de um muro já existente e com 120 m de tela de arame, quais devem ser as dimensões 
do alambrado para que a área cercada seja de 1 000 m², sabendo que x é a medida da largura do 
alambrado e 120 – 2x a medida da frente do terreno?
Podemos ilustrar essa situação por meio de uma figura:
120 – 2x
xx
Área do terreno retangular = medida da frente ∙ medida lateral
Medida da frente do terreno: 120 – 2x
Medida da lateral do terreno: x
Área do terreno: 1 000 m²
Podemos, então, formar a equação:
(120 – 2x) · x = 1 000
120x – 2x² = 1 000
2x² – 120x + 1 000 = 0
Obtivemos, então, uma equação do 2.° grau na incógnita x (ou na variável x). Equações desse tipo 
são denominadas equações do 2.° grau com uma incógnita.
Portanto,
Toda equação com uma incógnita x que pode ser escrita na forma 
ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0, denomina-se 
equação do 2.º grau.
Nas equações do 2.º grau com uma variável, os coeficientes da equação são: a é coeficiente de 
x2; b é coeficiente de x; c é o termo independente de x. Existem algumas equações que não se en-
contram nessa forma, mas, por meio de transformações convenientes, aplicando os princípios aditivo 
e multiplicativo, podemos reduzi-las a essa forma. 
 Exemplos:
• 2x2 = – 2x + 40 ⇒ 2x2 + 2x – 40 = 0 é uma equação do 2.º grau na variável x, em que a = 2, b = 2 e 
c = – 40.
• 2x2 = 5x ⇒ 2x2 – 5x = 0 é uma equação do 2.º grau na variável x, em que a = 2, b = –5 e c = 0.
• x² – 25 = 0 é uma equação do 2.º grau na variável x, em que a = 1, b = 0 e c = –25.
Pelo que já foi exposto, devemos ter sempre a ≠ 0. Entretanto, podemos ter b = 0 ou c = 0.
Assim, 
• quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2.º grau se diz completa;
• quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2.º grau se diz incompleta.
Resposta
1. 
a) 2x² – 2x + 3 = 0
a = 2, b = –2, c = 3
Completa.
b) 2x² – 2x + 1 = 0
a = 2, b = –2, c = 1
Completa.
c) x2 – + 4 = 0
a = 1, b = 0, c = 4
Incompleta.
d) x2 – 15x + 8 = 0
a = 1, b = –15, c = +8
Completa.
Encaminhamento metodológico
Na seção Colocando em prática, reforce com os alunos o conceito de equações 
do segundo grau completas e incompletas e explique que elas podem ser resolvidas 
de jeitos diferentes, os quais serão apresentados em seguida. Comente com os alunos 
algumas situações nas quais precisamos utilizar o princípio aditivo para chegarmos à 
forma normal da equação do 2.º grau. Se possível, realize outros exemplos.
Quando estiver trabalhando o conteúdo Conjunto solução de uma equação do 2.º 
grau, enfatize que o conjunto universo são todos os valores que a incógnita pode as-
sumir e o conjunto solução são os valores que tornam a equação verdadeira. Destaque 
ainda que, se não for indicado o conjunto universo, tomaremos o conjunto dos reais. Se 
possível, cite outros exemplos para eles encontrarem o conjunto solução ou verdade.
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01
Resolução de equações completas 
Por fatoração
A figura ao lado é a representação geométrica de (a + b)².
Pela figura, observamos: (a + b)² = a² + 2ab + b².
A interpretação geométrica dada é:
a² + 2ab + b²
Área de um quadrado de lado b.
Área de um retângulo de lados a e b.
Área de um quadrado de lado a.
Vamos resolver a equação x² + 6x + 8 = 0 utilizando este método.
Inicialmente, vamos isolar, no primeiro membro, os termos que têm variável:
x² + 6x + 8 = 0
x² + 6x = –8 Princípio aditivo.
Vamos considerar a expressão x² + 6x, do primeiro membro, e fazer uma interpretação geométrica:
Área de um retângulo de lados 3 e x.
Área de um quadrado de lado x.
x² + 6x = x² + 2 · (3x)
Construindo a figura de acordo com a interpretação geométrica, temos:
Pela figura, observamos que, para completar o quadrado, deve-
mos acrescentar um quadrado de lado 3, ou seja, de área 3².
Desse modo, se adicionarmos 3² à expressão x² + 6x, teremos o 
trinômio quadrado perfeito.
Voltando à equação, teremos:
x² + 6x = –8
x² + 6x + 3² = –8 + 3² Princípio aditivo.
x² + 6x + 9 = 1
Trinômio quadrado perfeito.
Fatorando o primeiro membro, teremos: (x + 3)² = 1.
Pela propriedade dos números reais, temos: (x + 3)² = 1 ⇒ x + 3 = ± 1 ⇒ x + 3 = ±1.
Obtemos, dessa forma, duas equações do 1.º grau, ou seja:
x + 3 = +1 ou x + 3 = –1
x = 1 – 3 x = –1 – 3
x = –2 (raiz ou solução) x = –4 (raiz ou solução).
Logo, o conjunto solução da equação dada é: S = {–4, –2}.
a
a
a a
2
ab
ab
b
2
a
b b
b
b
x
x x
2
3x
3x
3
2
3
3
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Resolução de equações incompletas
Para o estudo de equações do segundo grau incompletas, observe os casos a seguir.
1.º caso: Equações incompletas na forma ax2 + c = 0 ( b = 0).
Para este caso, isolamos x2 e extraímos a raiz em ambos os lados. Deve-se ter atenção ao extrair a 
raiz, já que um número elevado ao quadrado pode ser negativo ou positivo.
 Exemplo:
• Determine as raízes de x2 – 25 = 0
Solução:
Fatorando a equação em um produto notável, temos:
(x – 5) · (x + 5) = 0 ⇒ x = 5 ou x = – 5
Para esta resolução, de modo prático, podemos isolar o x2 e extrair a raiz.
x² = 25 ⇒ x = ± 25 ⇒ x = ±5.
2.º caso: Equações incompletas na forma ax² + bx = 0 (c = 0).
Para este caso, colocamos o x em evidência e fatoramos a equação. Depois, determinamos o valor 
de x que satisfaz a igualdade. 
 Exemplo:
• Determine as raízes de x² + 6x = 0
Solução:
Colocando o x em evidência e fatorando a equação, obtemos:
x (x + 6) = 0
Agora, devemos verificar a igualdade. 
Para que a equação seja igual a zero, temos x = 0 ou x = – 6.
1. Determine o conjunto solução de cada uma das equações do 2.º grau a seguir, sendo U = .
a) x2 – 6x = 0 
b) x2 – 18 = 0 
c) x2 – 9 = 0 
d) 3 (x2 – 1) = 24 
e) 2( x2 – 1) = x2 + 7 
f ) (x – 3) (x + 4) + 8 = x 
2. Resolva as equações incompletas do 2.º grau, sendo U = .
a) x2 – 16 = 0 
b) 25x2 – 4 = 0 
c) x2 + 4 = 0 
d) x2 + x ( x – 6 ) = 0 
e) x(x + 3) = 5x 
f ) (x – 2)² = 4 – 9x
ATIVIDADES
Encaminhamento 
metodológico
Para a introdução do 
conteúdo Resolução de equações 
incompletas, se possível, cite 
outros exemplos com outros 
valores. Destaque o fato de que 
podemos utilizar a fatoração na 
resolução. Ressalte ainda que 
agora faremos uso do sinal ±, 
uma vez que estamos resolven-
do uma equação do 2.o grau.
Resposta
1. 
a) S = {0, 6}
b) S = �� �3 2 3 2, 
c) S = {–3, 3}
d) S = {–3, 3}
e) S = {–3, 3}
f ) S = {–2, 2}
2. 
a) S = {–4, 4}
b) S � ���
�
�
�
�
2
5
2
5
, 
c) S = ∅. Não há solução em 
U = .
d) S = {0, 3}
e) S = {0, 2}
f ) S = {–5, 0}
Sugestão de atividade
1. Determine o conjunto 
solução das seguintes equações 
incompletas do 
2.º grau:
a) x2 + x (2x – 15) = 0
 Solução:
{0, 5}
b) (x + 3)2 + (x – 3)2 – 116 = 0
 Solução:
{–7, 7}
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Resolução de equações completas 
Por fatoração
A figura ao lado é a representação geométrica de (a + b)².
Pela figura, observamos: (a + b)² = a² + 2ab + b².
A interpretação geométrica dada é:
a² + 2ab + b²
Área de um quadrado de lado b.
Área de um retângulo de lados a e b.
Área de um quadrado de lado a.
Vamos resolvera equação x² + 6x + 8 = 0 utilizando este método.
Inicialmente, vamos isolar, no primeiro membro, os termos que têm variável:
x² + 6x + 8 = 0
x² + 6x = –8 Princípio aditivo.
Vamos considerar a expressão x² + 6x, do primeiro membro, e fazer uma interpretação geométrica:
Área de um retângulo de lados 3 e x.
Área de um quadrado de lado x.
x² + 6x = x² + 2 · (3x)
Construindo a figura de acordo com a interpretação geométrica, temos:
Pela figura, observamos que, para completar o quadrado, deve-
mos acrescentar um quadrado de lado 3, ou seja, de área 3².
Desse modo, se adicionarmos 3² à expressão x² + 6x, teremos o 
trinômio quadrado perfeito.
Voltando à equação, teremos:
x² + 6x = –8
x² + 6x + 3² = –8 + 3² Princípio aditivo.
x² + 6x + 9 = 1
Trinômio quadrado perfeito.
Fatorando o primeiro membro, teremos: (x + 3)² = 1.
Pela propriedade dos números reais, temos: (x + 3)² = 1 ⇒ x + 3 = ± 1 ⇒ x + 3 = ±1.
Obtemos, dessa forma, duas equações do 1.º grau, ou seja:
x + 3 = +1 ou x + 3 = –1
x = 1 – 3 x = –1 – 3
x = –2 (raiz ou solução) x = –4 (raiz ou solução).
Logo, o conjunto solução da equação dada é: S = {–4, –2}.
a
a
a a
2
ab
ab
b
2
a
b b
b
b
x
x x
2
3x
3x
3
2
3
3
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Resolução de equações incompletas
Para o estudo de equações do segundo grau incompletas, observe os casos a seguir.
1.º caso: Equações incompletas na forma ax2 + c = 0 ( b = 0).
Para este caso, isolamos x2 e extraímos a raiz em ambos os lados. Deve-se ter atenção ao extrair a 
raiz, já que um número elevado ao quadrado pode ser negativo ou positivo.
 Exemplo:
• Determine as raízes de x2 – 25 = 0
Solução:
Fatorando a equação em um produto notável, temos:
(x – 5) · (x + 5) = 0 ⇒ x = 5 ou x = – 5
Para esta resolução, de modo prático, podemos isolar o x2 e extrair a raiz.
x² = 25 ⇒ x = ± 25 ⇒ x = ±5.
2.º caso: Equações incompletas na forma ax² + bx = 0 (c = 0).
Para este caso, colocamos o x em evidência e fatoramos a equação. Depois, determinamos o valor 
de x que satisfaz a igualdade. 
 Exemplo:
• Determine as raízes de x² + 6x = 0
Solução:
Colocando o x em evidência e fatorando a equação, obtemos:
x (x + 6) = 0
Agora, devemos verificar a igualdade. 
Para que a equação seja igual a zero, temos x = 0 ou x = – 6.
1. Determine o conjunto solução de cada uma das equações do 2.º grau a seguir, sendo U = .
a) x2 – 6x = 0 
b) x2 – 18 = 0 
c) x2 – 9 = 0 
d) 3 (x2 – 1) = 24 
e) 2( x2 – 1) = x2 + 7 
f ) (x – 3) (x + 4) + 8 = x 
2. Resolva as equações incompletas do 2.º grau, sendo U = .
a) x2 – 16 = 0 
b) 25x2 – 4 = 0 
c) x2 + 4 = 0 
d) x2 + x ( x – 6 ) = 0 
e) x(x + 3) = 5x 
f ) (x – 2)² = 4 – 9x
ATIVIDADES
x2 + 8x = x2 + 2 · (4x)
Área de um retângulo 
de lados 4 e x.
Área de um 
quadrado de lado x.
Construindo a fi gura:
x
x x2
4x
4x
42
4
4
Devemos acrescentar um qua-
drado de lado 4 ou de área 4².
Voltando à equação dada, 
temos:
x² + 8x = 9
x² + 8x +4² = 9 + 4²
x² + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)² = 25
x
x
x x
x x
� � �
� � � �
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� � � � � �
�
�
�
4 25
4 5
4 5 1
4 5 9
Logo, S ={–9, 1}.
x2 + 8x + 16 = 25
Trinômio quadrado 
perfeito
Encaminhamento metodológico
Para a introdução do conteúdo Resolução de equações completas, vamos estudar a 
resolução por fatoração. Se possível, retome o conteúdo de fatoração, principalmente 
a parte geométrica. Realize mais exemplos. Convém comentar com os alunos que as 
equações podem aparecer de outras formas, mas podemos obter a forma incompleta 
simplificando-as e é possível resolvê-las por fatoração ou extraindo as raízes.
Sugestão de atividade
1. Resolver a equação x² + 8x – 9 = 0, sendo U = .
 Solução:
x² + 8x – 9 = 0
x² + 8x = 9
Por fatoração:
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01
Fórmula resolutiva da equação do 2.º grau
Partindo da equação escrita na sua forma normal ou forma reduzida, é possível chegar a uma 
fórmula que permite resolver qualquer equação do 2.º grau de maneira mais simples.
Essa fórmula é denominada fórmula resolutiva da equação do 2.º grau.
Vejamos como obtê-la.
Vamos considerar a equação ax² + bx + c = 0, em que a ≠ 0.
ax
a
bx
a
c
a
x
bx
a
c
a
2
20 0� � � � � � � Dividimos a equação por a. 
x
bx
a
c
a
2 � � � Isolamos os termos com a incógnita x no 1.º 
membro da equação.
Adicionamos 
b
a2
2
�
�
�
�
�
� em ambos os membros 
da igualdade, transformando-a em um trinô-
mio quadrado perfeito.
x
bx
a
b
a
c
a
b
a
2
2 2
2 2
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2 4 2
4
4
2 2
2
2 2
2
Fatoramos a expressão no primeiro membro.
x
b
a
b ac
a
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�
2
4
4
2
2
Extraímos a raiz quadrada dos dois 
membros.
Isolamos x no primeiro membro da equação.x
b
a
b ac
a
x
b b ac
a
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�
� �
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2
4
4
4
2
2
2
2
x
b
a
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a
x
b b ac
a
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�
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2
4
4
4
2
2
2
2
A expressão b2 – 4ac, que representa um número real, é indicada pela letra grega ∆ (delta) e é 
chamada de discriminante da equação.
Logo, a fórmula resolutiva também pode ser escrita dessa maneira:
x
b
a
�
� � �
2
O discriminante ∆ indica o número de raízes da equação. Desse modo, temos três possibilidades:
• se ∆ > 0, a equação tem duas raízes reais (x’ e x’’) diferentes. Assim:
x
b
a
x
b
a
x
b
a
�
� �
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� �
�
� �
�
�
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�
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�
�
�
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2
2
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• se ∆ = 0, a equação tem uma raiz real de multiplicidade 2. Assim:
x
b
a
b
a
b
a
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�
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�
��
2
0
2 2
• se ∆ < 0, a equação não tem raiz real, pois não existe raiz quadrada de número negativo nos reais.
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01
1. Resolva as equações x² + 3x – 10 = 0 e 3x² – 2x – 1 = 0, sendo U = .
2. Que número deve ser adicionado a cada uma das expressões a seguir para que tenhamos um 
trinômio quadrado perfeito?
a) x² + x
c) x² – 5x
b) x² – 2x
d) x² + 12x = 35
ATIVIDADES
Um dos movimentos estudados pela cinemática é o chamado Movimento Retilíneo 
Uniformemente Variado (MRUV). Nesse tipo de movimento, um móvel apresenta trajetória e 
aceleração constantes, ou seja, a variação da velocidade é constante ao longo do tempo. A figura 
a seguir representa um carro que está na posição s0, com velocidade v0 no instante inicial da con-
tagem (t0). É possível demonstrar que a equação que relaciona a posição s do carro, em qualquer 
instante de tempo t, é dada por:
s s v t
at
� � �0 0
2
2
SA
E 
D
IG
IT
A
L 
S/
A
Essa expressão permite determinar a posição s num instante t qualquer, desde que se conhe-
çam a posição inicial s0, a velocidade inicial v0 e a aceleração a. 
Considere um carro parado na posição s0 = 8 m de uma trajetória retilínea. Quando acio-
namos o cronômetro, ele arranca com uma aceleração constante de 4 m/s², no sentido positivo 
da trajetória.
a) Escreva a função que representa as posições nesse movimento.
b) Em que posição o carro estará no instante 5 segundos?
c) Em que instante o carro passará pela posição 586 m?
DESENVOLVER E APLICAR
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Desenvolver e 
aplicar, vamos utilizar uma das 
fórmulas de Física para exempli-
ficar em que situações podemos 
encontrar equações do 2.º grau.
Resposta
As respostas para a seção 
Atividades são:
1. S = {–5, 2} e S � ���
�
�
�
�
1
3
, 1 .
2. 
a) 
1
4
x² + x + 
1
4 = 0
b) 1
x² – 2x + 1 = 0
c) 
25
4
d) –71
x2 + 12x + 36 = 0
As respostas para a seção 
Desenvolver e aplicar são:
a) S = 8 + 2t²
b) S = 58 m
c) 17 s
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Fórmula resolutiva da equação do 2.º grau
Partindo da equação escrita na sua forma normal ou forma reduzida, é possível chegar a uma 
fórmula que permite resolver qualquer equação do 2.º grau de maneira mais simples.
Essa fórmula é denominadafórmula resolutiva da equação do 2.º grau.
Vejamos como obtê-la.
Vamos considerar a equação ax² + bx + c = 0, em que a ≠ 0.
ax
a
bx
a
c
a
x
bx
a
c
a
2
20 0� � � � � � � Dividimos a equação por a. 
x
bx
a
c
a
2 � � � Isolamos os termos com a incógnita x no 1.º 
membro da equação.
Adicionamos 
b
a2
2
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�
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�
� em ambos os membros 
da igualdade, transformando-a em um trinô-
mio quadrado perfeito.
x
bx
a
b
a
c
a
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2 2
2 2
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Fatoramos a expressão no primeiro membro.
x
b
a
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a
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4
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Extraímos a raiz quadrada dos dois 
membros.
Isolamos x no primeiro membro da equação.x
b
a
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a
x
b b ac
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4
4
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2
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2
A expressão b2 – 4ac, que representa um número real, é indicada pela letra grega ∆ (delta) e é 
chamada de discriminante da equação.
Logo, a fórmula resolutiva também pode ser escrita dessa maneira:
x
b
a
�
� � �
2
O discriminante ∆ indica o número de raízes da equação. Desse modo, temos três possibilidades:
• se ∆ > 0, a equação tem duas raízes reais (x’ e x’’) diferentes. Assim:
x
b
a
x
b
a
x
b
a
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• se ∆ = 0, a equação tem uma raiz real de multiplicidade 2. Assim:
x
b
a
b
a
b
a
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• se ∆ < 0, a equação não tem raiz real, pois não existe raiz quadrada de número negativo nos reais.
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01
1. Resolva as equações x² + 3x – 10 = 0 e 3x² – 2x – 1 = 0, sendo U = .
2. Que número deve ser adicionado a cada uma das expressões a seguir para que tenhamos um 
trinômio quadrado perfeito?
a) x² + x
c) x² – 5x
b) x² – 2x
d) x² + 12x = 35
ATIVIDADES
Um dos movimentos estudados pela cinemática é o chamado Movimento Retilíneo 
Uniformemente Variado (MRUV). Nesse tipo de movimento, um móvel apresenta trajetória e 
aceleração constantes, ou seja, a variação da velocidade é constante ao longo do tempo. A figura 
a seguir representa um carro que está na posição s0, com velocidade v0 no instante inicial da con-
tagem (t0). É possível demonstrar que a equação que relaciona a posição s do carro, em qualquer 
instante de tempo t, é dada por:
s s v t
at
� � �0 0
2
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A
Essa expressão permite determinar a posição s num instante t qualquer, desde que se conhe-
çam a posição inicial s0, a velocidade inicial v0 e a aceleração a. 
Considere um carro parado na posição s0 = 8 m de uma trajetória retilínea. Quando acio-
namos o cronômetro, ele arranca com uma aceleração constante de 4 m/s², no sentido positivo 
da trajetória.
a) Escreva a função que representa as posições nesse movimento.
b) Em que posição o carro estará no instante 5 segundos?
c) Em que instante o carro passará pela posição 586 m?
DESENVOLVER E APLICAR
∆ = 196 – 196
∆ = 0
Como ∆ = 0, a equação tem 
uma única raiz real, dada por:
x
b
a
x
� �
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�
�
� �
2
14
2 1
14
2
7
( )
( )
x’ = x’’ = 7
Portanto, S = {7}.
Orientação para RA
A atividade digital pede 
aos alunos que identifiquem 
as fórmulas que já apresentam 
os coeficientes corretamente 
substituídos.
Encaminhamento metodológico
Ao explicar o terceiro caso, em que ∆ < 0, pergunte aos alunos se eles já ouviram 
falar em números complexos. Diga a eles que esse é um conjunto que será estudado 
mais adiante e que, no momento, trabalharão apenas com os números reais. Portanto, 
no conjunto dos números reais, não existe raiz quadrada de número negativo. Se possí-
vel, faça o exemplo a seguir.
 Exemplo:
Resolver a equação 
x² – 14x + 49 = 0, sendo U = .
Nessa equação, temos:
a = 1, b = –14 e c = 49
∆ = b² – 4ac
∆ = (–14)² – 4 · (1) · (49)
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01
1. As equações a seguir estão escritas na forma normal. Usando a fórmula resolutiva, determine 
em seu caderno, o conjunto solução de cada uma dessas equações, sendo U = .
a) x² – x – 12 = 0
b) x² – 12x + 36 = 0
c) x² – 5x + 9 = 0
d) 9x² + 8x – 1 = 0
ATIVIDADES
Grandes artistas, como os italianos Michelangelo (1475-1564) e Leonardo da Vinci (1452-1519), 
usaram em suas obras o retângulo áureo.
O retângulo áureo, ou de ouro dos gregos, é um retângulo no qual valem as relações entre o 
comprimento (c) e a largura (ℓ): c
cℓ
ℓ
ℓ
=
−
Dessa igualdade, surgiu um critério estético muito usado pelos artistas, desde o século V a.C. 
Por exemplo, o Parthenon, templo grego erguido de 447 a 432 a.C., teve seu projeto baseado no 
retângulo áureo. 
D
afi
 n
ka
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hu
tt
er
st
oc
k
ℓ
c
c – ℓ
Se, na proporção áurea, considerar-se como unitário o comprimento c, obtém-se:
1
1ℓ
ℓ
ℓ
=
−
Ou seja, ℓ2 + ℓ – 1 = 0. A raiz positiva dessa equação é chamada de número de ouro. 
Qual é esse número?
INTERAÇÃO
108 MATEMÁTICA
5
A fórmula é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do se-
gundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só 
brasileiro (não se encontra o nome Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), 
não é adequado, pois:
• Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, quase quatro 
mil anos atrás, em textos escritos pelos babilônios. [...]
• Bhaskara, que nasceu na Índia em 1114 e viveu até cerca de 1185, foi um dos mais 
importantes matemáticos do século XII. As duas coleções mais conhecidas de seus tra-
balhos são Lilavati (“bela”) e Vijaganita (“extração de raízes”), que tratam de aritmética 
e álgebra, respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações lineares 
e quadráticas (resolvidas também como receitas em prosa), progressões aritméticas e 
geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.
• Até o fim do século XVI, não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação 
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficien-
tes de uma equação. Isso começou a ser feito a partir de François Viète, matemático 
francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não 
é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do 2.o grau.
MELLO A. A. H. et al. A fórmula é de Bhaskara? Revista do professor de Matemática. 
Rio de Janeiro: SBM. n. 39. p. 54. 1999.
Sobre Lilavati...
Lilavati foi a filha de Bhaskara, e conta a lenda que ele era um homem 
supersticioso. Segundo o horóscopo de sua filha, haveria um dia, data e hora 
ideais para que ela se casasse. Esse horário era marcado por um relógio 
de água (basicamente um cilindro em um vaso de água com um furo) e, 
quando o cilindro estivesse cheio, ela poderia se casar. Porém, Lilavati
deixou cair uma pérola que tampou o furo. A hora ideal do casamento 
passou e ela não se casou. Para consolar sua filha, Bhaskara fez um 
manual de Matemática em sua homenagem.
PARA SABER MAIS55Encaminhamento 
metodológico
O texto da seção Para sa-
ber mais comenta a denomina-
ção errônea, utilizada por muito 
tempo no Brasil, para a fórmula 
resolutiva de uma equação do 
2.º grau, que é chamada “fórmu-
la de Bhaskara”. 
Dica para ampliar 
o trabalho
A seção Para saber mais
apresenta também um resumo 
da história do livro intitulado 
Lilavati, de Bhaskara. 
Para conhecer mais a 
fundo o assunto, consulte o link 
a seguir, que disponibiliza um 
artigo que fala sobre o ensino 
de Matemática e a História da 
Matemática.
• https://www.cle.unicamp.br/
eprints/index.php/anais-snhm/
article/view/44
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1. As equações a seguir estão escritas na forma normal. Usando a fórmula resolutiva, determine 
em seu caderno, o conjunto solução de cada uma dessasequações, sendo U = .
a) x² – x – 12 = 0
b) x² – 12x + 36 = 0
c) x² – 5x + 9 = 0
d) 9x² + 8x – 1 = 0
ATIVIDADES
Grandes artistas, como os italianos Michelangelo (1475-1564) e Leonardo da Vinci (1452-1519), 
usaram em suas obras o retângulo áureo.
O retângulo áureo, ou de ouro dos gregos, é um retângulo no qual valem as relações entre o 
comprimento (c) e a largura (ℓ): c
cℓ
ℓ
ℓ
=
−
Dessa igualdade, surgiu um critério estético muito usado pelos artistas, desde o século V a.C. 
Por exemplo, o Parthenon, templo grego erguido de 447 a 432 a.C., teve seu projeto baseado no 
retângulo áureo. 
D
afi
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ka
/S
hu
tt
er
st
oc
k
ℓ
c
c – ℓ
Se, na proporção áurea, considerar-se como unitário o comprimento c, obtém-se:
1
1ℓ
ℓ
ℓ
=
−
Ou seja, ℓ2 + ℓ – 1 = 0. A raiz positiva dessa equação é chamada de número de ouro. 
Qual é esse número?
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5
A fórmula é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do se-
gundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só 
brasileiro (não se encontra o nome Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), 
não é adequado, pois:
• Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, quase quatro 
mil anos atrás, em textos escritos pelos babilônios. [...]
• Bhaskara, que nasceu na Índia em 1114 e viveu até cerca de 1185, foi um dos mais 
importantes matemáticos do século XII. As duas coleções mais conhecidas de seus tra-
balhos são Lilavati (“bela”) e Vijaganita (“extração de raízes”), que tratam de aritmética 
e álgebra, respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações lineares 
e quadráticas (resolvidas também como receitas em prosa), progressões aritméticas e 
geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.
• Até o fim do século XVI, não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação 
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficien-
tes de uma equação. Isso começou a ser feito a partir de François Viète, matemático 
francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não 
é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do 2.o grau.
MELLO A. A. H. et al. A fórmula é de Bhaskara? Revista do professor de Matemática. 
Rio de Janeiro: SBM. n. 39. p. 54. 1999.
Sobre Lilavati...
Lilavati foi a filha de Bhaskara, e conta a lenda que ele era um homem 
supersticioso. Segundo o horóscopo de sua filha, haveria um dia, data e hora 
ideais para que ela se casasse. Esse horário era marcado por um relógio 
de água (basicamente um cilindro em um vaso de água com um furo) e, 
quando o cilindro estivesse cheio, ela poderia se casar. Porém, Lilavati
deixou cair uma pérola que tampou o furo. A hora ideal do casamento 
passou e ela não se casou. Para consolar sua filha, Bhaskara fez um 
manual de Matemática em sua homenagem.
PARA SABER MAIS Encaminhamento 
metodológico
Na seção Interação é ex-
plorado o número de ouro. Faça 
a atividade com os alunos e 
depois solicite, se possível, uma 
pesquisa sobre a história do nú-
mero de ouro e onde podemos 
encontrá-lo.
Resposta
As respostas para a seção Atividades são:
1. 
a) S = {–3, 4}
b) S = {6}
c) S = ∅, não há raízes reais.
d) S � ���
�
�
�
�
1
1
9
, 
A resposta para a seção Interação é:
ℓ= − +1 5
2
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 109 16/09/2020 14:29:26
110 MATEMÁTICA
111MATEMÁTICA
EF
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1_
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2_
01
Fatoração de trinômios do 2.º grau
Vamos estudar a fatoração de trinômios na forma ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, supondo que a equação 
tenha duas raízes reais: x’ e x’’.
Colocando a em evidência no primeiro membro da equação, pois a ≠ 0, temos:
a x
b
a
x
c
a
2 0� ��
�
�
�
�
� � (I)
Já vimos que:
• x x
b
a
ou seja
b
a
x x II
x x
c
a
III
’ ’’ , , ( ’ ’’) ( )
’ ’’ ( )
� � � � � �
� �
 
 •
x x
b
a
ou seja
b
a
x x II
x x
c
a
III
’ ’’ , , ( ’ ’’) ( )
’ ’’ ( )
� � � � � �
� �
 
 
Substituindo (II) e (III) em (I), obtemos:
a[x² – (x’ + x”)x + x’ · x”] = 0
a[x² – x’x – x”x + x’ · x”] = 0
a[x (x – x’) – x” (x – x’)] = 0
a[(x – x’) · (x – x”)] = 0 Forma fatorada do trinômio.
De forma geral:
• se a equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0, tiver raízes x’ e x’’, a sua forma fatorada será: 
a(x – x’) · (x – x’’);
• se ∆ = 0, então ax² + bx + c = a (x – x’)²;
• se ∆ < 0, o trinômio não poderá ser fatorado em .
É possível escrever uma equação do 2.° grau partindo de suas raízes?
Podemos aplicar as relações estudadas entre os coeficientes e as raízes para escrever a equa-
ção. Vamos considerar a = 1 e procurar por uma expressão na sua forma reduzida, x2 + bx + c = 0.
Pelas relações entre os coeficientes e as raízes, temos:
x’ + x’’ = – b ⇒ b = – (x’ + x’’)
x’ · x’’ = c ⇒ c = x’ · x’’
Da equação dada, obtemos:
x² + bx + c = 0 ⇒ x² – (x’ + x’’)x + x’ · x’’ = 0
Soma das raízes. Produto das raízes.
Representando x’ + x’’ = S e x’ · x’’ = P, temos a equação: x² – Sx + P = 0.
COMO FAZE
R
110 MATEMÁTICA
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AT
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1_
U
2_
01
Relações entre os coeficientes e as raízes 
em uma equação do 2.º grau
Consideremos a equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0, e suponhamos ∆ ≥ 0, ou seja, casos em que 
existem raízes reais x’ e x’’, diferentes ou iguais.
Entre essas raízes x’ e x’’ e os coeficientes a, b e c da equação, existem duas relações importantes.
1.ª relação — soma
x
b
a
I e x”
b
a
II’ ( )=
− +
=
− − ( )∆ ∆
2 2
 
Adicionando, membro a membro, (I) e (II), temos:
x x
b
a
b
a
b b
a
x x
b
a
b
a
’ ”
’ ”
+ =
− +
+
− −
=
− + − −
+ =
−
= −
∆ ∆ ∆∆
2 2 2
2
2
Portanto, a soma das raízes é: 
a a2
Portanto, a soma das raízes é: x x S
b
a
’ ”+ = = −
2.ª relação — produto
x
b
a
I e x”
b
a
II’ ( )=
− +
=
− − ( )∆ ∆
2 2
 
Multiplicando, membro a membro, (I) e (II), temos:
x x
x x
b
a
x x
b
a
’ ”
’ ”
( ) ( )
’ ”
⋅ =
− +
⋅
− −
⋅ =
− −
⋅ =
−
b
a
b
a
∆ ∆
∆
∆
2 2
4
4
2
2
2
2
2
 
x x
b b ac
a
x x
b b ac
a
x x
ac
a
x x
c
a
’ ”
( )
’ ”
’ ”
’ ”
⋅ =
− −
⋅ =
− +
⋅ =
⋅ =
2 2
2
2 2
2
2
4
4
4
4
4
4
Portanto, o produto das raízes é:
x x P
c
a
’ ’’� � �
 Exemplo:
Dada a equação 3x² – 10x + 3 = 0, determine a soma e o produto das suas raízes.
Solução:
Soma das raízes: x x
b
a
’ "
( )
� � � � �
�
�
10
3
10
3
 
Produto das raízes: x x
c
a
’ ’’� � � �
3
3
1
Verificação:
a = 3, b = –10 e c = 3
∆ = (–10)² – 4 ∙ (3) ∙ (3)
∆ = 100 – 36
∆ = 64
x
x
x
x x
x x
�
�
�
� �
� �
�
�
��
�
�
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�
� � � �
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10 8
6
18
6
3
2
6
1
3
3
1
3
9 1
3
10
3
’
’’
’ ’’
’ ’’’ � � �
�
�
��
�
�
�
3
1
3
1
Sugestão de atividade
Para a ampliação do es-
tudo, resolva com os alunos os 
exemplos a seguir.
 Exemplos:
Calcule a soma e o produto das 
raízes, sem resolver as equa-
ções.
a) x2 – 6x + 8 = 0
Na equação, temos: a = 1, 
b = –6 e c = 8.
Soma das raízes:
x x
b
a
x x
x x
’ ’’
’ ’’
’ ’’
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�� �
� �
6
1
6
Produto das raízes:
x x
c
a
x x
x x
’ ’’
’ ’’
’ ’’
� �
� �
� �
8
1
8
Logo: S = 6 e P = 8.
b) 6x2 – 3x – 4 = 0
Da equação, obtemos:
a = 6, b = –3 e c = –4.
Soma das raízes: 
x x
b
a
x x
x x
’ ’’
’ ’’
’ ’’
� � �
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�� �
� � �
3
6
3
6
1
2
Produto das raízes: 
x x
c
a
x x
x x
’ ’’
’ ’’
’ ’’
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�
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4
6
2
3
Logo, S P� � �
1
2
2
3
 e .
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 110 16/09/2020 14:29:42
111MATEMÁTICA
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01
Fatoração de trinômios do 2.º grau
Vamos estudar a fatoração de trinômios na forma ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, supondo que a equação 
tenha duas raízes reais: x’ e x’’.
Colocando a em evidência no primeiro membro da equação, pois a ≠ 0, temos:
a x
b
a
x
c
a
2 0� ��
�
�
�
�
� � (I)
Já vimos que:
• x x
b
a
ou seja
b
a
x x II
x x
c
a
III
’ ’’ , , ( ’ ’’) ( )
’ ’’ ( )
� � � � � �
� �
 
 •
x x
b
a
ou seja
b
a
x x IIx x
c
a
III
’ ’’ , , ( ’ ’’) ( )
’ ’’ ( )
� � � � � �
� �
 
 
Substituindo (II) e (III) em (I), obtemos:
a[x² – (x’ + x”)x + x’ · x”] = 0
a[x² – x’x – x”x + x’ · x”] = 0
a[x (x – x’) – x” (x – x’)] = 0
a[(x – x’) · (x – x”)] = 0 Forma fatorada do trinômio.
De forma geral:
• se a equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0, tiver raízes x’ e x’’, a sua forma fatorada será: 
a(x – x’) · (x – x’’);
• se ∆ = 0, então ax² + bx + c = a (x – x’)²;
• se ∆ < 0, o trinômio não poderá ser fatorado em .
É possível escrever uma equação do 2.° grau partindo de suas raízes?
Podemos aplicar as relações estudadas entre os coeficientes e as raízes para escrever a equa-
ção. Vamos considerar a = 1 e procurar por uma expressão na sua forma reduzida, x2 + bx + c = 0.
Pelas relações entre os coeficientes e as raízes, temos:
x’ + x’’ = – b ⇒ b = – (x’ + x’’)
x’ · x’’ = c ⇒ c = x’ · x’’
Da equação dada, obtemos:
x² + bx + c = 0 ⇒ x² – (x’ + x’’)x + x’ · x’’ = 0
Soma das raízes. Produto das raízes.
Representando x’ + x’’ = S e x’ · x’’ = P, temos a equação: x² – Sx + P = 0.
É possível escrever uma equação do 2.° grau partindo de suas raízes?
COMO FAZE
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01
Relações entre os coeficientes e as raízes 
em uma equação do 2.º grau
Consideremos a equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0, e suponhamos ∆ ≥ 0, ou seja, casos em que 
existem raízes reais x’ e x’’, diferentes ou iguais.
Entre essas raízes x’ e x’’ e os coeficientes a, b e c da equação, existem duas relações importantes.
1.ª relação — soma
x
b
a
I e x”
b
a
II’ ( )=
− +
=
− − ( )∆ ∆
2 2
 
Adicionando, membro a membro, (I) e (II), temos:
x x
b
a
b
a
b b
a
x x
b
a
b
a
’ ”
’ ”
+ =
− +
+
− −
=
− + − −
+ =
−
= −
∆ ∆ ∆∆
2 2 2
2
2
Portanto, a soma das raízes é: x x S
b
a
’ ”+ = = −
2.ª relação — produto
x
b
a
I e x”
b
a
II’ ( )=
− +
=
− − ( )∆ ∆
2 2
 
Multiplicando, membro a membro, (I) e (II), temos:
x x
x x
b
a
x x
b
a
’ ”
’ ”
( ) ( )
’ ”
⋅ =
− +
⋅
− −
⋅ =
− −
⋅ =
−
b
a
b
a
∆ ∆
∆
∆
2 2
4
4
2
2
2
2
2
 
x x
b b ac
a
x x
b b ac
a
x x
ac
a
x x
c
a
’ ”
( )
’ ”
’ ”
’ ”
⋅ =
− −
⋅ =
− +
⋅ =
⋅ =
2 2
2
2 2
2
2
4
4
4
4
4
4
Portanto, o produto das raízes é:
x x P
c
a
’ ’’� � �
 Exemplo:
Dada a equação 3x² – 10x + 3 = 0, determine a soma e o produto das suas raízes.
Solução:
Soma das raízes: x x
b
a
’ "
( )
� � � � �
�
�
10
3
10
3
 
Produto das raízes: x x
c
a
’ ’’� � � �
3
3
1
Verificação:
a = 3, b = –10 e c = 3
∆ = (–10)² – 4 ∙ (3) ∙ (3)
∆ = 100 – 36
∆ = 64
x
x
x
x x
x x
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1
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3
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’
’’
’ ’’
’ ’’’ � � �
�
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��
�
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�
3
1
3
1
S = {–3}
2. x2 – 10x + 25 = (x – 5)2
x2 – 10x + 25 = 0
(x – 5)2 = 0
S = {5}
Encaminhamento metodológico
Explique aos alunos que um trinômio quadrado é do tipo perfeito quando dois 
de seus termos são quadrados perfeitos (a2 e b2) e o outro termo é igual ao dobro do 
produto das raízes dos quadrados perfeitos (2ab). Assim, temos:
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
Sugestão de atividade
Proponha aos alunos que façam as fatorações a seguir e, caso haja necessidade, 
realize mais exemplos:
1. x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
x2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
x + 3 = 0, então x = –3.
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 111 16/09/2020 14:29:43
112 MATEMÁTICA
113MATEMÁTICA
EF
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_M
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1_
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2_
01
6. Sabemos que a área de um retângulo é 
calculada multiplicando-se a medida do 
comprimento pela medida da largura. Em 
um retângulo de área 60 cm², a medida do 
comprimento é expressa por (x + 2) cm e a 
medida da largura é expressa por (x – 5) cm. 
Nessas condições, escreva, na forma normal, 
a equação do 2.º grau que se pode formar 
com esses dados.
7. O número de diagonais de um polígono 
pode ser obtido pela fórmula d
n n
�
�� �3
2
. 
Sendo d = 10, escreva, na forma normal, a 
equação do 2.º grau na incógnita n que se 
pode obter.
8. O quadrado e o retângulo a seguir têm áreas 
iguais.
2x
2x
24
5x
6
Nessas condições, encontre:
a) a medida do lado do quadrado.
b) a medida da largura do retângulo.
c) o perímetro do quadrado.
d) o perímetro do retângulo.
9. A área do retângulo a seguir é 399 m2 e as 
suas medidas estão indicadas na figura. 
Determine essas medidas. 
x + 1
x – 1
10. Dos quatro cantos de uma folha retangular 
de 30 cm por 20 cm são retirados quadrados 
de lados medindo x cm. Com isso, a área 
que sobrou da folha é de 404 cm2. Qual é o 
valor de x?
x
x
x
x
x
x
x
x
11. Um retângulo tem 20 cm2 de área e sua base 
tem 1 cm a mais que a sua altura. Calcule as 
dimensões desse retângulo.
12. A representação geral de um número ímpar 
é 2n + 1. Determine, então, dois números ím-
pares naturais e consecutivos cujo produto 
seja 195.
112 MATEMÁTICA
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1_
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2_
01
1. Determine o valor de n para que a equação x2 – 7x + n = 0 tenha duas raízes reais e iguais.
2. Calcule a soma dos opostos das raízes da equação 1x2 – 5x – 6 = 0, sem resolver a equação.
3. Determine o valor de k para que a equação x² – 8x + k = 0 tenha duas raízes reais e diferentes.
4. Sabe-se que a equação 5x2 – 4x + 2m = 0  tem duas raízes reais e diferentes. Nessas condições, 
determine o valor de m.
5. Encontre uma equação do 2.° grau cujas raízes sejam os números 2 e –5.
ATIVIDADES
 Exemplo:
Resolva a equação x² – 18x + 72 = 0 utilizando a fórmula resolutiva.
Solução:
a = 1, b = – 18 e c = 72
∆ = b² – 4ac ⇒ ∆ = (–18)² – 4 · (1) · (72) ⇒ ∆ = 324 – 288 ⇒ ∆ = 36
Como ∆ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes, portanto ela pode ser fatorada. Determinando 
as raízes, temos:
x
b
a
x x ou
x x
x
=
− ±
⇒ =
− − ±
⋅
⇒ =
±
=
+
⇒ =
=
−
∆
2
18 36
2 1
18 6
2
18 6
2
12
18 6
2
( )
’ ’
" "
 
⇒⇒ =





x 6
A forma fatorada do trinômio é:
ax² + bx + c = a (x – x’) (x – x’’), então: x² – 18x + 72 = 1 (x – 12) (x – 6).
Portanto, a forma fatorada do trinômio é: (x – 12) (x – 6).
Resposta
1. n = 49
4
2. A soma do inverso das raízes 
é –5.
3. k < 16
4. m < 2
5
5. Uma possível resposta é:
x² + 3x – 10 = 0
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 112 16/09/2020 14:29:46
113MATEMÁTICA
113MATEMÁTICA
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_M
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1_
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2_
01
6. Sabemos que a área de um retângulo é 
calculada multiplicando-se a medida do 
comprimento pela medida da largura. Em 
um retângulo de área 60 cm², a medida do 
comprimento é expressa por (x + 2) cm e a 
medida da largura é expressa por (x – 5) cm. 
Nessas condições, escreva, na forma normal, 
a equação do 2.º grau que se pode formar 
com esses dados.
7. O número de diagonais de um polígono 
pode ser obtido pela fórmula d
n n
�
�� �3
2
. 
Sendo d = 10, escreva, na forma normal, a 
equação do 2.º grau na incógnita n que se 
pode obter.
8. O quadrado e o retângulo a seguir têm áreas 
iguais.iguais.
2x
2x
24
5x
6
Nessas condições, encontre:
a) a medida do lado do quadrado.
b) a medida da largura do retângulo.
c) o perímetro do quadrado.
d) o perímetro do retângulo.
9. A área do retângulo a seguir é 399 m2 e as 
suas medidas estão indicadas na figura. 
Determine essas medidas. 
x + 1
x – 1
10. Dos quatro cantos de uma folha retangular 
de 30 cm por 20 cm são retirados quadrados 
de lados medindo x cm. Com isso, a área 
que sobrou da folha é de 404 cm2. Qual é o 
valor de x?
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
11. Um retângulo tem 20 cm2 de área e sua base 
tem 1 cm a mais que a sua altura. Calcule as 
dimensões desse retângulo.
12. A representação geral de um número ímpar 
é 2n + 1. Determine, então, dois números ím-
pares naturais e consecutivos cujo produto 
seja 195.
112 MATEMÁTICA
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01
1. Determine o valor de n para que a equação x2 – 7x + n = 0 tenha duas raízes reais e iguais.
2. Calcule a soma dos opostos das raízes da equação 1x2 – 5x – 6 = 0, sem resolver a equação.
3. Determine o valorde k para que a equação x² – 8x + k = 0 tenha duas raízes reais e diferentes.
4. Sabe-se que a equação 5x2 – 4x + 2m = 0  tem duas raízes reais e diferentes. Nessas condições, 
determine o valor de m.
5. Encontre uma equação do 2.° grau cujas raízes sejam os números 2 e –5.
ATIVIDADES
 Exemplo:
Resolva a equação x² – 18x + 72 = 0 utilizando a fórmula resolutiva.
Solução:
a = 1, b = – 18 e c = 72
∆ = b² – 4ac ⇒ ∆ = (–18)² – 4 · (1) · (72) ⇒ ∆ = 324 – 288 ⇒ ∆ = 36
Como ∆ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes, portanto ela pode ser fatorada. Determinando 
as raízes, temos:
x
b
a
x x ou
x x
x
=
− ±
⇒ =
− − ±
⋅
⇒ =
±
=
+
⇒ =
=
−
∆
2
18 36
2 1
18 6
2
18 6
2
12
18 6
2
( )
’ ’
" "
 
⇒⇒ =





x 6
A forma fatorada do trinômio é:
ax² + bx + c = a (x – x’) (x – x’’), então: x² – 18x + 72 = 1 (x – 12) (x – 6).
Portanto, a forma fatorada do trinômio é: (x – 12) (x – 6).
10. O valor de x é 7.
11. As dimensões são: 
base = 5 cm e altura = 4 cm.
12. Os dois números ímpares 
são 13 e 15.
Resposta
6. x² – 3x – 10 = 0
7. –n² + 3n + 20 = 0 ou n² – 3n – 20 = 0
8. 
a) 10
b) 25
6
c) 40
d) 169
3
9. As medidas são 21 e 19.
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01
6. Aumentando em 2 m os lados de um salão 
de forma quadrada, a área do piso do novo 
salão (aumentado) é de 121 m2. Qual é a área 
do piso do salão original?
7. A soma de um número real com o seu qua-
drado é igual a 30. Qual é esse número?
8. Um retângulo tem 12 cm2 de área. Sua base 
tem 1 cm a mais que a sua altura. Calcule as 
dimensões desse retângulo.
9. Um caminhão foi de São Paulo até o Rio de 
Janeiro (400 km) em um certo tempo. Um 
automóvel fez o mesmo percurso com uma 
velocidade média de 40 km/h a mais que o 
caminhão, e levou cinco horas a menos. Qual 
é a velocidade média do caminhão?
10. O nível N de óleo em um reservatório varia 
com o tempo t, contado em horas, conforme 
a lei N = –0,6t2 + 0,25t + 0,70. Em quanto tem-
po o nível do reservatório chegará a zero?
11. Calcule a soma e o produto das raízes, sem 
resolver as equações.
a) 3x2 + x – 3 = 0 
b) 9x2 – 6x = 0
c) x (x + 1) + x = 8
12. Sem resolver a equação x2 – 8x + 12 = 0, cal-
cule o valor das expressões a seguir, sabendo 
que m e n são as raízes da equação dada. 
a) m + n
b) m · n
c) 
1 1
m n
+
13. Seja a equação (k – 2)x2 – kx – 1 = 0. Calcule o 
valor de k, para que a soma das raízes dessa 
equação seja igual a 
5
6
.
14. Determine o valor de m na equação 
3x2 – 5x + 2m = 0 para que não existam 
raízes reais.
15. (IFSC-2016) Considere que a equação do se-
gundo grau 3x2 + ax + d = 0 tem como raízes 
os números 4 e –3. Assim sendo, é correto 
afirmar que os valores de (a + d) e (a · d) são, 
respectivamente,
a) –1 e –12
b) –39 e 108
c) 33 e –108
d) –3 e –36
e) 1 e 12
16. (EPcar-2017) Um grupo de n alunos sai para 
lanchar e vai a uma pizzaria. A intenção do 
grupo é dividir igualmente a conta entre os n
alunos, pagando, cada um, p reais. Entretanto, 
2 destes alunos vão embora antes do paga-
mento da referida conta e não participam do 
rateio. Com isto, cada aluno que permaneceu 
teve que pagar (p + 10) reais. Sabendo que o 
valor total da conta foi de 600 reais, marque 
a opção incorreta.
a) O valor que cada aluno que permaneceu 
pagou a mais corresponde a 20% de p.
b) n é um número maior que 11.
c) p é um número menor que 45.
d) O total da despesa dos dois alunos que 
saíram sem pagar é maior que 80 reais.
17. (UTFPR) O valor da maior das raízes da equa-
ção 2x2 + 3x + 1 = 0 é:
a) 2
b) 1
c) –1
d) −
1
2
e) 
1
2
18. (IFCE) Determinando-se, na equação 
2x2 – 6x + 12 = 0, a soma das raízes, obtém-se:
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2. 
e) 1.
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13. A temperatura C (em graus Celsius) de um 
forno é regulada de modo que varie com 
o tempo (expresso em minutos), de acor-
do com a lei: C = –0,5t² + 15t + 300, com 
0 < t < 30. Aplicando a lei:
a) calcule a temperatura no instante t = 0;
b) verifique em que instante a temperatura 
atinge 400°C, no intervalo considerado.
14. Um retângulo tem 28 m2 de área e 22 m de 
perímetro. Quais são os seus lados?
1. (Efomm-2019) Numa equação, encontramos 
o valor de 884. Para chegar a esse resultado, 
somamos os quadrados de dois números 
pares, consecutivos e positivos. Determine 
o quociente da divisão do maior pelo menor
a) 0,87.
c) 1,03.
e) 1,10.
b) 0,95. 
d) 1,07. 
2. (IFAL-2018) Sendo x1 e x2 as raízes da equação 
x2 – x – 12 = 0, o resultado da soma x1 + x2 é
a) 1.
c) 4.
e) 12.
b) 3. 
d) 7. 
DE OLHO NA PROVA
1. Resolva, no conjunto , as equações a 
seguir.
a) 9x2 – 4 = 0
c) 6t2 – 6 = 0
e) x2 – 3x + 2 = 0
g) 6x2 – 5x + 1 = 0
i) –4x2 + 10x – 6 = 0
b) –2x2 + 18 = 0
d) –10x2 + 10x = 0
f) x2 + 6x +10 = 0
h) 3x2 – 14x + 8 = 0
2. Determine o conjunto solução das seguintes 
equações do 2.º grau, sendo U = .
a) x2 + x (2x – 15) = 0
b) (x + 3)2 + (x – 3)2 – 116 = 0
c) 3y(y + 1) + (y – 3)2 = y + 9
d) (4 + 2x)2 – 16 = 0
e) 2x (x + 1) = x (x + 5) + 3 (12 – x)
f ) (x + 2)2 + x = 0
g) (x – 3) (x + 4) – 14 = (1 – x) (x – 2)
h) x
x
�
�
�
2 4
5
2
i) 
x x2
4
1
5
8
5
4
� � �
3. Resolva as equações do 2.º grau, sendo 
U = .
a) 2x2 – 7x + 5 = 0
b) –3x2 + 9x + 12 = 0
c) 2x2 – 15x + 7 = 0
d) x2 + 16x + 28 = 0
4. O quadrado de um número é igual ao pró-
prio número. Que número é esse?
5. Calcule k na equação x2 – 7x + k = 0, sendo 
uma raiz igual a 6.
VAMOS PRATICAR MAIS?
Resposta
As respostas para a seção 
Atividades são:
13. 
a) C = 300°
b) Nos instantes t = 10 e 
t = 20.
14. Seus lados medem 7 m e 
4 m.
As respostas para a seção 
De olho na prova são:
1. E
2. A
As respostas para a seção 
Vamos praticar mais? são:
1. 
a) S � ���
�
�
�
�
2
3
2
3
, 
b) S = {–3, 3}
c) S = {–1, 1}
d) S = {0, 1}
e) S = {1, 2}
f ) Não há raízes reais.
g) S � ��
�
�
�
�
1
3
1
2
, 
h) S � ��
�
�
�
�
2
3
4, 
i) S � ��
�
�
�
�
1
3
2
,
2. 
a) S = {0, 5}
b) S = {–7, 7}
c) S = {0, 1}
d) S = {–4, 0}
e) S = {–6, 6}
f ) S = {–4, –1}
g) S = {–3, 4}
h) S = {–6, 1}
i) S � ��
�
�
�
�
1
2
, 2
3. 
a) S � ��
�
�
�
�
1
5
2
, 
b) S = {–1, 4}
c) S � ��
�
�
�
�
1
2
, 7
d) S = {–14, –2}
4. Esse número é 1 ou 0.
5. k = 6
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6. Aumentando em 2 m os lados de um salão 
de forma quadrada, a área do piso do novo 
salão (aumentado) é de 121 m2. Qual é a área 
do piso do salão original?
7. A soma de um número real com o seu qua-
drado é igual a 30. Qual é esse número?
8. Um retângulo tem 12 cm2 de área. Sua base 
tem 1 cm a mais que a sua altura. Calcule as 
dimensões desse retângulo.
9. Um caminhão foi de São Paulo até o Rio de 
Janeiro (400 km) em um certo tempo. Um 
automóvel fez o mesmo percurso com uma 
velocidade média de 40 km/h a mais que o 
caminhão, e levou cinco horas a menos. Qual 
é a velocidade média do caminhão?
10. O nível N de óleo em um reservatório varia 
com o tempo t, contado em horas, conforme 
a lei N = –0,6t2 + 0,25t + 0,70. Em quanto tem-
po o nível do reservatório chegará a zero?
11. Calcule a soma e o produto das raízes, sem 
resolver as equações.
a) 3x2 + x – 3 = 0 
b) 9x2 – 6x = 0
c) x (x + 1) + x = 8
12. Sem resolver a equação x2 – 8x + 12 = 0, cal-
cule o valor das expressões a seguir, sabendo 
que m e n são as raízes da equação dada. 
a) m + n
b) m · n
c) 
1 1
m n
+
13. Seja a equação (k – 2)x2 – kx – 1 = 0. Calcule o 
valor de k, para que a soma das raízes dessa 
equação seja igual a 
5
6
.
14. Determine o valor de m na equação 
3x2 – 5x + 2m = 0 para que não existam 
raízes reais.
15. (IFSC-2016) Considere que a equação do se-
gundo grau 3x2 + ax + d = 0 tem como raízes 
os números 4 e –3. Assim sendo, é correto 
afirmar que os valores de (a + d) e (a · d) são, 
respectivamente,
a) –1 e –12
b) –39 e 108
c)33 e –108
d) –3 e –36
e) 1 e 12
16. (EPcar-2017) Um grupo de n alunos sai para 
lanchar e vai a uma pizzaria. A intenção do 
grupo é dividir igualmente a conta entre os n
alunos, pagando, cada um, p reais. Entretanto, 
2 destes alunos vão embora antes do paga-
mento da referida conta e não participam do 
rateio. Com isto, cada aluno que permaneceu 
teve que pagar (p + 10) reais. Sabendo que o 
valor total da conta foi de 600 reais, marque 
a opção incorreta.
a) O valor que cada aluno que permaneceu 
pagou a mais corresponde a 20% de p.
b) n é um número maior que 11.
c) p é um número menor que 45.
d) O total da despesa dos dois alunos que 
saíram sem pagar é maior que 80 reais.
17. (UTFPR) O valor da maior das raízes da equa-
ção 2x2 + 3x + 1 = 0 é:
a) 2
b) 1
c) –1
d) −
1
2
e) 
1
2
18. (IFCE) Determinando-se, na equação 
2x2 – 6x + 12 = 0, a soma das raízes, obtém-se:
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2. 
e) 1.
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13. A temperatura C (em graus Celsius) de um 
forno é regulada de modo que varie com 
o tempo (expresso em minutos), de acor-
do com a lei: C = –0,5t² + 15t + 300, com 
0 < t < 30. Aplicando a lei:
a) calcule a temperatura no instante t = 0;
b) verifique em que instante a temperatura 
atinge 400°C, no intervalo considerado.
14. Um retângulo tem 28 m2 de área e 22 m de 
perímetro. Quais são os seus lados?
1. (Efomm-2019) Numa equação, encontramos 
o valor de 884. Para chegar a esse resultado, 
somamos os quadrados de dois números 
pares, consecutivos e positivos. Determine 
o quociente da divisão do maior pelo menor
a) 0,87.
c) 1,03.
e) 1,10.
b) 0,95. 
d) 1,07. 
2. (IFAL-2018) Sendo x1 e x2 as raízes da equação 
x2 – x – 12 = 0, o resultado da soma x1 + x2 é
a) 1.
c) 4.
e) 12.
b) 3. 
d) 7. 
DE OLHO NA PROVA
1. Resolva, no conjunto , as equações a 
seguir.
a) 9x2 – 4 = 0
c) 6t2 – 6 = 0
e) x2 – 3x + 2 = 0
g) 6x2 – 5x + 1 = 0
i) –4x2 + 10x – 6 = 0
b) –2x2 + 18 = 0
d) –10x2 + 10x = 0
f) x2 + 6x +10 = 0
h) 3x2 – 14x + 8 = 0
2. Determine o conjunto solução das seguintes 
equações do 2.º grau, sendo U = .
a) x2 + x (2x – 15) = 0
b) (x + 3)2 + (x – 3)2 – 116 = 0
c) 3y(y + 1) + (y – 3)2 = y + 9
d) (4 + 2x)2 – 16 = 0
e) 2x (x + 1) = x (x + 5) + 3 (12 – x)
f ) (x + 2)2 + x = 0
g) (x – 3) (x + 4) – 14 = (1 – x) (x – 2)
h) x
x
�
�
�
2 4
5
2
i) 
x x2
4
1
5
8
5
4
� � �
3. Resolva as equações do 2.º grau, sendo 
U = .
a) 2x2 – 7x + 5 = 0
b) –3x2 + 9x + 12 = 0
c) 2x2 – 15x + 7 = 0
d) x2 + 16x + 28 = 0
4. O quadrado de um número é igual ao pró-
prio número. Que número é esse?
5. Calcule k na equação x2 – 7x + k = 0, sendo 
uma raiz igual a 6.
VAMOS PRATICAR MAIS?
12. 
a) 8
b) 12
c) 2
3
13. k = –10
14. m >
25
24
15. B
16. C
17. D
18. C
Resposta
6. A = 81 m2
7. O número é 5 ou –6.
8. As dimensões são 3 e 4.
9. 40 km/h
10. Aproximadamente 1h e 20min.
11. 
a) x’ + x” = −
1
3
; x’ · x” = –1
b) x’ + x” = 2
3
; x’ · x” = 0
c) x’ + x” = –2; x’ · x” = –8
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 115 16/09/2020 14:30:00
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Equações do 2.º grau completas e incompletas – Relacionando conceitos
x x b
a
' "� �
�
x x c
a
' "� �
tem-se
em que
se
têm a forma
é é
isolando a 
variável
(se b = 0)
fatorando
se b = 0 ou c = 0 se b ≠ 0 e c ≠ 0
sendo
ax² + bx + c = 0, 
a ≠ 0, b e c ∈ 
EQUAÇÕES DO 2.º GRAU
∆ > 0
2 raízes 
reais
∆ < 0
não tem 
raiz real
resolve-se resolve-se
com
fórmula
x
b
a
�
� � �
2
incompleta completa
∆ = 0
uma raiz 
real
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117MATEMÁTICA
Triff/Shutterstock
Triff/ff/ff Shutterstock
un
idade
117
2. Equações fracionárias, biquadradas, 
irracionais e sistemas
Os primeiros indícios históricos sobre o surgimento de equações do 2.º grau foram encontrados em anti-
gos documentos que revelam as necessidades e preocupações de povos – como os do Egito, da Babilônia, da 
China, da Grécia, da Índia, do Mundo Árabe e da Europa Medieval – em estabelecer conceitos matemáticos.
Será que existem equações que podem ser escritas ou transformadas em equações do 2.º grau? 
2
• Equações fracionárias
• Equações biquadradas
• Equações irracionais
• Sistemas de equações do 2.° grau
Equações do 2.º grau
Escola Digital
Objetivos do capítulo
• Identificar e resolver equações redutíveis a uma equação do 2.º grau, equações 
irracionais e sistemas.
Realidade aumentada
• Como resolver equações biquadradas
• Soluções de um sistema envolvendo uma equação do 2.° grau
Encaminhamento metodológico
Neste capítulo, trabalharemos a habilidade EF09MA09 da BNCC, que é a de 
compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas 
relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser 
representados por equações polinomiais do 2.º grau.
O texto de abertura 
explora um pouco da história 
de equações do 2.° grau. Na per-
gunta, é investigado se o aluno 
concebe a ideia de uma equa-
ção poder ser escrita na forma 
de uma equação do 2.º grau, 
ou seja, se é possível encontrar 
uma equação equivalente à 
equação dada, de tal modo que 
esta nova seja uma equação do 
2.º grau.
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 117 16/09/2020 14:31:05
118 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
Faça a leitura das duas 
situações-problema com os 
alunos e comente que, para re-
solvê-las, usaremos um método 
em que a primeira situação recai 
em uma equação fracionária e a 
segunda, em uma biquadrada.
Depois da explicação de 
equação fracionária, se possível, 
faça o exemplo a seguir.
 Exemplo:
Resolva a equação 
2
1
3
3
3
1 3
x
x x
x
x x�
�
�
�
�
� �( )( )
Inicialmente, vamos estabelecer 
o conjunto universo e, para isso, 
devemos excluir os valores da 
variável x que anulam os deno-
minadores da equação:
x ≠ 1 e x ≠ 3 ⇒ U =  – {1, 3} ou 
U = {x ∈ / x ≠ 1 e x ≠ 3}
A seguir, calculamos o MMC dos 
denominadores. Assim, 
MMC = (x – 1) (x – 3). Logo,
2 3 3 1
1 3
3
1 3
x x x
x x
x
x x
( ) ( )
( )( )
( )( )
� � �
� �
�
�
�
� �
2x (x – 3) + 3 (x – 1) = x + 3
2x² – 6x + 3x – 3 = x + 3
2x² – 6x + 3x – x – 6 = 0
2x² – 4x – 6 = 0 (:2)
x² – 2x – 3 = 0
Essa é uma equação do 2.º grau, 
que será resolvida pela fórmula 
resolutiva.
∆ = b² – 4ac
∆ = (–2)² – 4 (1) (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16
x �
� � �( )
( )
2 16
2 1
• x x
x x
’ ’
’’ ’’
�
�
� �
�
�
� ��
2 4
2
3
2 4
2
1•
x x
x x
’ ’
’’ ’’
�
�
� �
�
�
� ��
2 4
2
3
2 4
2
1
Como x ≠ 1 e x ≠ 3, então a 
solução da equação é:
S = {–1}.
119MATEMÁTICA
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02
Equações biquadradas
Será que existe algum método que nos auxilie na resolução de equações como as seguintes?
• 2x4 + 5x2 = 0 • x4 – 6x2 + 5 = 0
Os primeiros membros dessas equações são do 4.º grau, na variável x, que apresentam três termos: 
um termo em x4, outro em x2 e um termo independente de x. Os segundos membros são iguais a zero.
Você pode observar que essas equações são incompletas do 4.º grau, sem os termos em que a 
variável teria expoente ímpar.
Essas equações são chamadas de biquadradas.
Uma equação biquadrada, na variável x, é toda equação na forma de ax4 + bx2 + c = 0, 
em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.
A resolução das equações biquadradas envolve uma mudança de variável com a utilização de 
uma variável auxiliar. 
Observe a resolução da situação apresentada no início deste capítulo.
(x
2
 – 1)
(x
2
 – 4)
1. Resolva a equação 
1 1
1
5
6x x
�
�
� .
 Solução:
O conjunto universo será: 
U =  – {–1, 0} (o conjunto universo são os reais, exceto –1 e 0).
Calculando o MMC, temos 6x (x + 1). Logo: 6 1 6
6 1
5 1
6 1
( )
( )
( )
( )
x x
x x
x x
x x
� �
�
�
�
�
6 (x + 1) + 6x = 5x (x + 1)
6x + 6 + 6x = 5x² + 5x
6x + 6 + 6x – 5x² – 5x = 0
–5x² + 7x + 6 = 0 (multiplicando por – 1)
5x² – 7x – 6 = 0
Equação do 2.º grau:
∆ = (–7)² – 4 (5) (–6) ⇒ ∆ = 49 + 120 ⇒ ∆ = 169
x x
x x
x x x
�
� � �
�
� �
�
�
�
� �
�
�
� �� �( )
( )
’ ’
" "
7 169
2 5
7 13
10
7 13
10
2
7 13
10
6
10
"" ��
�
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��
�
�
�
3
5
Sendo x ≠ –1 e x ≠ 0, então: S � ���
�
�
�
�
3
5
2, .
COLOCANDO EM PRÁTICA
118 MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
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1_
U
2_
02
Equações redutíveis a uma equação do 2.º grau
Ao resolvermos algumas situações-problema, às vezes, elas recaem em equações do 2.º grau.
Observe as situações a seguir.
Situação 1: a soma de x parte de 4 com a meia parte de x resulta em 3. Qual é o valor de x?
Situação 2: encontrar o valor de x no retângulo, sabendo que a medida dos seus lados são:
(x
2
 – 1)
(x
2
 – 4)
A primeira situação recairá em uma equação que chamaremos de equação fracionária e a segunda, 
em uma equação biquadrada. 
Equações fracionárias
Equações fracionárias são as equações que apresentam pelo menos um termo com variável no 
denominador. Para resolvê-las, devemos inicialmente estabelecer o conjunto universo no qual ela existe, 
pois, por se tratar de uma fração, o denominador deve ser diferente de zero.
Vamos resolver a situação 1: a soma de x parte de 4 com a meia parte de x resulta em 3. Qual é o 
valor de x?
Podemos representar x parte de 4 como 4
x
 e a meia parte de x como x
2
. Assim, a equação para 
encontrar o valor de x será: 
4
2
3
x
x
� �
O conjunto universo será os reais, com x ≠ 0.
Encontrando o MMC entre os denominadores x e 2, obtemos 2x. Logo:
8
2
6
2
2�
�
x
x
x
x
.
Como o MMC dos denominadores é igual, logo:
8 + x2 = 6x ⟹x2 – 6x + 8 = 0 
A equação inicial é equivalente à equação do 2.º grau x2 – 6x + 8 = 0.
Resolvendo, temos:
x x
x
x
2 6 8 0
2
4
� � �
�
�
�
�
�
’
’’
Logo, o valor de x será 2 ou 4 (o nosso conjunto solução será S= {2, 4}).
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 118 16/09/2020 14:31:16
119MATEMÁTICA
119MATEMÁTICA
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02
Equações biquadradas
Será que existe algum método que nos auxilie na resolução de equações como as seguintes?
• 2x4 + 5x2 = 0 • x4 – 6x2 + 5 = 0
Os primeiros membros dessas equações são do 4.º grau, na variável x, que apresentam três termos: 
um termo em x4, outro em x2 e um termo independente de x. Os segundos membros são iguais a zero.
Você pode observar que essas equações são incompletas do 4.º grau, sem os termos em que a 
variável teria expoente ímpar.
Essas equações são chamadas de biquadradas.
Uma equação biquadrada, na variável x, é toda equação na forma de ax4 + bx2 + c = 0, 
em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.
A resolução das equações biquadradas envolve uma mudança de variável com a utilização de 
uma variável auxiliar. 
Observe a resolução da situação apresentada no início deste capítulo.
(x
2
 – 1)
(x
2
 – 4)
Será que existe algum método que nos auxilie na resolução de equações como as seguintes?
•
Os primeiros membros dessas equações são do 4.º grau, na variável 
1. Resolva a equação 
1 1
1
5
6x x
�
�
� .
 Solução:
O conjunto universo será: 
U =  – {–1, 0} (o conjunto universo são os reais, exceto –1 e 0).
Calculando o MMC, temos 6x (x + 1). Logo: 6 1 6
6 1
5 1
6 1
( )
( )
( )
( )
x x
x x
x x
x x
� �
�
�
�
�
6 (x + 1) + 6x = 5x (x + 1)
6x + 6 + 6x = 5x² + 5x
6x + 6 + 6x – 5x² – 5x = 0
–5x² + 7x + 6 = 0 (multiplicando por – 1)
5x² – 7x – 6 = 0
Equação do 2.º grau:
∆ = (–7)² – 4 (5) (–6) ⇒ ∆ = 49 + 120 ⇒ ∆ = 169
x x
x x
x x x
�
� � �
�
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�
�
�
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( )
( )
’ ’
" "
7 169
2 5
7 13
10
7 13
10
2
7 13
10
6
10
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�
��
�
�
�
3
5
Sendo x ≠ –1 e x ≠ 0, então: S � ���
�
�
�
�
3
5
2, .
COLOCANDO EM PRÁTICA
118 MATEMÁTICA
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02
Equações redutíveis a uma equação do 2.º grau
Ao resolvermos algumas situações-problema, às vezes, elas recaem em equações do 2.º grau.
Observe as situações a seguir.
Situação 1: a soma de x parte de 4 com a meia parte de x resulta em 3. Qual é o valor de x?
Situação 2: encontrar o valor de x no retângulo, sabendo que a medida dos seus lados são:
(x
2
 – 1)
(x
2
 – 4)
A primeira situação recairá em uma equação que chamaremos de equação fracionária e a segunda, 
em uma equação biquadrada. 
Equações fracionárias
Equações fracionárias são as equações que apresentam pelo menos um termo com variável no 
denominador. Para resolvê-las, devemos inicialmente estabelecer o conjunto universo no qual ela existe, 
pois, por se tratar de uma fração, o denominador deve ser diferente de zero.
Vamos resolver a situação 1: a soma de x parte de 4 com a meia parte de x resulta em 3. Qual é o 
valor de x?
Podemos representar x parte de 4 como 4
x
 e a meia parte de x como x
2
. Assim, a equação para 
encontrar o valor de x será: 
4
2
3
x
x
� �
O conjunto universo será os reais, com x ≠ 0.
Encontrando o MMC entre os denominadores x e 2, obtemos 2x. Logo:
8
2
6
2
2�
�
x
x
x
x
.
Como o MMC dos denominadores é igual, logo:
8 + x2 = 6x ⟹x2 – 6x + 8 = 0 
A equação inicial é equivalente à equação do 2.º grau x2 – 6x + 8 = 0.
Resolvendo, temos:
x x
x
x
2 6 8 0
2
4
� � �
�
�
�
�
�
’
’’
Logo, o valor de x será 2 ou 4 (o nosso conjunto solução será S= {2, 4}).
Encaminhamento metodológico
As equações biquadradas requerem o uso do artifício da substituição por uma va-
riável auxiliar. Destaque que essa variável não substitui a variável inicial e que só estamos 
utilizando-a como um artifício para recair em uma equação do 2.º grau.
Compartilhe com os alunos o passo a passo para a resolução de uma equação 
biquadrada.
1.º) Substitua x4 por y2 (ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.
2.º) Resolva a equação ay2 + by + c = 0.
3.º) Determine a raiz quadrada de cada uma das raízes (y’ e y’’) da equação 
ay2 + by + c =0.
4.º) Substitua os valores y’ e y’’ obtidos em x2 = y, encontrando, assim, os valores 
de x.
Se possível, faça mais exemplos com os alunos.
 Exemplo:
Determine o conjunto solução 
da equação biquadrada:
x4 – 16x2 = 0
Primeiro, vamos reescrever a 
equação de tal modo que ela 
seja uma equação do 2.º grau, 
assim: 
x2 · (x – 16) = 0 
Logo, x2 = 0 ⇒ x = 0 ou 
x2 – 16 = 0 ⇒ x = ± 16 ⇒
⇒ x = ±4
Portanto, S = {–4, 0, 4}.
Orientação para RA
O primeiro passo para a 
resolução de equações biqua-
dradas é reconhecê-las, e esse 
é o principal objetivo desta 
Realidade aumentada.
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 119 16/09/2020 14:31:18
120 MATEMÁTICA
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02
Equações irracionais
Equação irracional é toda equação na qual a variável está sob um sinal de radical ou que apresenta 
expoente fracionário. Observe as equações:
• x � �1 2 • x � � �2 1 4 • x
1
3 8= • x x� � �5 1
Nessas equações, encontramos a variável sob o sinal de radical ou a variável está elevada a um 
expoente fracionário. 
Para resolvermos uma equação irracional, devemos transformá-la em uma equação racional equi-
valente. Para tanto, devemos elevar uma ou mais vezes ambos os membros da equação a uma potência 
tal que permita que sejam eliminados os radicais. Depois, verificar se as raízes encontradas satisfazem 
a equação irracional.
 Exemplo:
Resolva a equação irracional x x� � �5 1.
Solução:
Inicialmente, devemos observar se o radical está isolado em um dos membros da equação. Nesse caso, o 
radical está isolado no 1.º membro. Elevando-se ambos os membros ao quadrado, teremos:
x x x x x x x x x
x x
�� �� � � �� � � � � � � � � � � � � �� � �
� �
5 1 5 2 1 5 2 1 0 4 0
3
2 2 2 2 2
2
+3x
�� �4 0
.
Multiplicando por (–1) ambos os membros da igualdade, temos: 
x x x x x x x x x
x x
�� �� � � �� � � � � � � � � � � � � �� � �
� �
5 1 5 2 1 5 2 1 0 4 0
3
2 2 2 2 2
2
+3x
�� �4 0 .
Resolvendo a equação do 2.º grau:
∆ = (–3)² – 4 · (1) · (–4) ⇒ ∆ = 9 + 16 ⇒ ∆ = 25
x x
x’ ’
x’’
�
� � �
�
� �
�
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�
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�
�
� ��
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3 25
2 1
3 5
2
3 5
2
4
3 5
2
1
x
x
Os fenômenos naturais podem ser descritos por meio de fórmulas. 
Isaac Newton, estudando o movimento da Lua, concluiu que a força 
que a mantém em órbita é o mesmo tipo de força que a Terra exerce 
sobre um corpocolocado nas suas proximidades. Ele chamou essas 
forças de gravitacionais e enunciou a lei da gravitação universal.
Dois corpos atraem-se com forças proporcionais às suas massas e 
inversamente proporcionais ao quadrado da distância entre seus centros.
Lei descrita pela fórmula: F G
Mm
d
= 2 .
Observe que, na fórmula, as letras representam grandezas conhecidas ou 
desconhecidas; por exemplo, a distância d entre os centros dos dois corpos é do 2.º grau. 
Logo, podemos dizer que essa é uma equação do 2.º grau, na variável d e fracionária.
Considerando a massa do Sol igual a 2 · 1030 kg, a massa da Terra igual a 6.1024 kg, a distância 
entre o centro do Sol e o centro da Terra igual a 1,5 · 1011 m e G = 6,7 · 10-11 N.m2/kg2, calcule em seu 
caderno a força de atração gravitacional entre o Sol e a Terra.
DESENVOLVER E APLICAR
NASA
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1_
U
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Área = (x2 – 4) · (x² – 1) = x4 – 5x2 + 4. 
Calcularemos o valor de x em x4 – 5x2 + 4 = 0. 
Para resolver essa equação, primeiro, realizamos a mudança de incógnita, fazendo x2 = y, assim:
x4 – 5x2 + 4 = 0 ⟹ (x2)2 – 5x2 + 4 = 0 ⟹ y2 – 5y + 4 = 0 
Agora, nós resolvemos a equação do 2.º grau, que foi obtida após a mudança de incógnita:
y2 – 5y + 4 = 0
∆ = b2 – 4ac ⇒ ∆ = (–5)2 – 4 · 1 · 4 ⇒ ∆ = 9 
y
b
a
y
y
�
� �
�
�
� � �
�
�
�
� �
�
�
�
�
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2
5 9
2 1
5 3
2
4
1
( )
’
"
 
Substituindo o valor encontrado para y em x2 = y, obtemos:
x y x x
x y x x
2
2
4 2
1 1
� � � � � � �
� � � � � �
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�
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�� �
’
’’
Logo, S = {–2, –1, 1, 2}. Note que essa equação apresenta 4 raízes reais.
1. Resolva a equação 
x
x x
x
x�
�
�
�
�
�1
2
1
5
12 . 
2. Resolva, nos reais, a equação (x2 + 2)2 = 2 (x2 + 6).
3. Resolva as equações a seguir em seu caderno.
a) 1
1 7
2 2
�
�
�
�
�
x x
b) x
x
�
�
�
1
4
6
c) (x + 2) · (x – 2) · (x + 1) · (x – 1) + 5x2 = 20
d) x4 – 8x2 + 16 = 0
e) 16x4 – 40x2 + 9 = 0
f ) x4 – 18x2 + 81 = 0
ATIVIDADES
Encaminhamento 
metodológico
Aproveite este momento 
para fazer um resumo so-
bre equações fracionárias e 
biquadradas:
• Equações fracionárias do 2.º 
grau: são equações do 2.° grau 
nas quais a incógnita aparece 
no denominador.
 Exemplo:
6 1
122x x�
�
�
Para resolvermos esse 
tipo de equação, primeiro, 
eliminamos os valores de x que 
anulam os denominadores, pois 
esses valores não são raízes da 
equação. Em seguida, fazemos 
o mínimo múltiplo comum dos 
termos dos denominadores das 
frações e agrupamos os termos 
sobre um mesmo denominador, 
obtendo uma equação do 2.º 
grau equivalente à equação 
dada.
• Equações biquadradas: 
são equações do 4.º grau na 
incógnita x, da forma normal. 
Ela pode ser reescrita como 
uma equação do 2.°, fazendo a 
substituição de x2 por y. Após 
a resolução da nova equação, 
temos x2 = y’ e x2 = y’’.
 Exemplo:
Resolver a equação 
x4 – 10x2 + 9 = 0.
Solução:
Primeiro, vamos substituir x2
por m (x2 = m), então:
m2 – 10m + 9 → Equação do 
2.o grau na variável m.
Resolvendo a equação do 2.o
grau, temos:
∆
∆
∆
= −( ) − ( )( )
= −
=
10 4 1 9
100 36
64
2
m
m
m m
m m
�
� � �
�� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
� �
�
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��
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( )
’ ’
’’ ’’
10 64
2 1
10 8
2
10 8
2
9
10 8
2
1
��
As raízes 1 e 9 são valores da 
variável m.
x m
x x
x x
2
2
2
1 1 1
9 9 3
� �
� � �� ��
� � �� � �
�
�
�
��
Logo, S = {–3, –1, 1, 3}.
Resposta
1. Sendo x ≠ –1 e x ≠ 1, então S = {3}.
2. ± 2 , nos reais.
3. 
a) S = {3}
b) S = {5}
c) S = {–2, 2}
d) S = {–2, 2}
e) S � � ��
�
�
�
�
�
3
2
1
2
1
2
3
2
, , , 
f ) S = {–3, 3}
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 120 16/09/2020 14:31:32
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Equações irracionais
Equação irracional é toda equação na qual a variável está sob um sinal de radical ou que apresenta 
expoente fracionário. Observe as equações:
• x � �1 2 • x � � �2 1 4 • x
1
3 8= • x x� � �5 1
Nessas equações, encontramos a variável sob o sinal de radical ou a variável está elevada a um 
expoente fracionário. 
Para resolvermos uma equação irracional, devemos transformá-la em uma equação racional equi-
valente. Para tanto, devemos elevar uma ou mais vezes ambos os membros da equação a uma potência 
tal que permita que sejam eliminados os radicais. Depois, verificar se as raízes encontradas satisfazem 
a equação irracional.
 Exemplo:
Resolva a equação irracional x x� � �5 1.
Solução:
Inicialmente, devemos observar se o radical está isolado em um dos membros da equação. Nesse caso, o 
radical está isolado no 1.º membro. Elevando-se ambos os membros ao quadrado, teremos:
x x x x x x x x x
x x
�� �� � � �� � � � � � � � � � � � � �� � �
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5 1 5 2 1 5 2 1 0 4 0
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2 2 2 2 2
2
+3x
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.
Multiplicando por (–1) ambos os membros da igualdade, temos: 
x x x x x x x x x
x x
�� �� � � �� � � � � � � � � � � � � �� � �
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5 1 5 2 1 5 2 1 0 4 0
3
2 2 2 2 2
2
+3x
�� �4 0 .
Resolvendo a equação do 2.º grau:
∆ = (–3)² – 4 · (1) · (–4) ⇒ ∆ = 9 + 16 ⇒ ∆ = 25
x x
x’ ’
x’’
�
� � �
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2 1
3 5
2
3 5
2
4
3 5
2
1
x
x
Os fenômenos naturais podem ser descritos por meio de fórmulas. 
Isaac Newton, estudando o movimento da Lua, concluiu que a força 
que a mantém em órbita é o mesmo tipo de força que a Terra exerce 
sobre um corpo colocado nas suas proximidades. Ele chamou essas 
forças de gravitacionais e enunciou a lei da gravitação universal.
Dois corpos atraem-se com forças proporcionais às suas massas e 
inversamente proporcionais ao quadrado da distância entre seus centros.
Lei descrita pela fórmula: F G
Mm
d
= 2 .
Observe que, na fórmula, as letras representam grandezas conhecidas ou 
desconhecidas; por exemplo, a distância d entre os centros dos dois corpos é do 2.º grau. 
Logo, podemos dizer que essa é uma equação do 2.º grau, na variável d e fracionária.
Considerando a massa do Sol igual a 2 · 1030 kg, a massa da Terra igual a 6.1024 kg, a distância 
entre o centro do Sol e o centro da Terra igual a 1,5 · 1011 m e G = 6,7 · 10-11 N.m2/kg2, calcule em seu 
caderno a força de atração gravitacional entre o Sol e a Terra.
DESENVOLVER E APLICAR
Os fenômenos naturais podem ser descritos por meio de fórmulas. 
Isaac Newton, estudando o movimento da Lua, concluiu que a força 
que a mantém em órbita é o mesmo tipo de força que a Terra exerce 
sobre um corpo colocado nas suas proximidades. Ele chamou essas 
Dois corpos atraem-se com forças proporcionais às suas massas e 
inversamente proporcionais ao quadrado da distância entre seus centros.
Observe que, na fórmula, as letras representam grandezas conhecidas ou 
entre os centros dos dois corpos é do 2.º grau. 
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02
Área = (x2 – 4) · (x² – 1) = x4 – 5x2 + 4. 
Calcularemos o valor de x em x4 – 5x2 + 4 = 0. 
Para resolver essa equação, primeiro, realizamos a mudança de incógnita, fazendo x2 = y, assim:
x4 – 5x2 + 4 = 0 ⟹ (x2)2 – 5x2 + 4 = 0 ⟹ y2 – 5y + 4 = 0 
Agora, nós resolvemos a equação do 2.º grau, que foi obtida após a mudança de incógnita:
y2 – 5y + 4 = 0
∆ = b2 – 4ac ⇒ ∆ = (–5)2 – 4 · 1 · 4 ⇒ ∆ = 9 
y
b
a
y
y
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Substituindo o valor encontrado para y em x2 = y, obtemos:
x y x x
x y x x
2
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� � � � � � �
� � � � � �
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Logo, S = {–2, –1, 1, 2}. Note que essa equação apresenta 4 raízes reais.
1. Resolva a equação 
x
x x
x
x�
�
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�
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�1
2
1
5
12 . 
2. Resolva, nos reais, a equação (x2 + 2)2 = 2 (x2 + 6).
3. Resolva as equações a seguir em seu caderno.
a) 1
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x x
b) x
x
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c) (x + 2) · (x – 2) · (x + 1) · (x – 1) + 5x2 = 20
d) x4 – 8x2 + 16 = 0
e) 16x4 – 40x2 + 9 = 0
f ) x4 – 18x2 + 81 = 0
ATIVIDADES
os corpos em qualquer parte do 
Universo. [...]
Newton deduziu, então, 
que:
F G
Mm
d
= 2
• onde G é uma constante de 
proporcionalidade e o sinal 
negativo é porque a força é 
atrativa. Tantoo Sol quanto o 
planeta que se move em torno 
dele experimentam a mesma 
força, mas o Sol permanece 
aproximadamente no centro 
do Sistema Solar porque a 
massa do Sol é aproximada-
mente mil vezes maior que a 
massa de todos os planetas 
somados. [...]
UFRGS, Isaac Newton. 
Disponível em: http://astro.if.ufrgs.
br/newton/index.htm. 
Acesso em: 13 ago. 2019.
Resposta
F
N
� � �
� � �
�
�
� �
�6 7 10
2 10 6 10
1 5 10
3 573 10
11
30 24
11 2
22
,
( , )
,
Encaminhamento metodológico
Quando estiver trabalhando com o conceito de equação irracional, enfatize aos 
alunos que é necessário verificar se as raízes da equação do 2.° grau também são raízes 
da equação irracional dada. Faça o exemplo com os alunos explicando cada passo. Não 
se esqueça de fazer a conferência das raízes.
Na seção Desenvolver e aplicar, vamos explorar o conceito de forças gravitacionais, 
ou melhor, a lei da gravitação universal. Se possível, compartilhe o texto a seguir com 
os alunos e amplie as informações dadas no texto.
Dica para ampliar o trabalho
[...] a Terra exerce uma atração sobre os objetos que estão sobre sua superfície. 
Newton se deu conta de que esta força se estendia até a Lua e produzia a aceleração centrí-
peta necessária para manter a Lua em órbita. O mesmo acontece com o Sol e os planetas. 
Então, Newton formulou a hipótese da existência de uma força de atração universal entre 
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1. Determine o valor de x e y no sistema de equações: 
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2 2x y
x y
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� �
�
�
�
��
 Solução:
Resolvemos esse tipo de sistema pelo método da substituição.
Da 2.ª equação, isolamos a variável y:
2x – y = 3 ⇒ 2x – 3 = y ⇒ y = 2x – 3
Substituímos y por 2x – 3 em 3x² – y² = 11 e resolvemos a equação obtida.
3x² – y² = 11 ⇒ 3x² – (2x – 3)² = 11 ⇒ 3x² – (4x² – 12x + 9) = 11 ⇒
⇒ 3x² – 4x² + 12x – 9 – 11 = 0 ⇒ –x² + 12x – 20 = 0 ⇒
x² – 12x + 20 = 0 → Equação a ser resolvida.
∆ = (–12)² – 4 · (1) · (20) ⇒ ∆ = 144 – 80 ⇒ ∆ = 64
x
x x
x x
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2
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Como y = 2x – 3, então:
x = 10 ⇒ y = 2 · (10) – 3 ⇒ y = 20 – 3 ⇒ y = 17 (10, 17)
ou
x = 2 ⇒ y = 2 · (2) – 3 ⇒ y = 4 – 3 ⇒ y = 1 (2, 1)
Portanto: S = {(10, 17), (2, 1)}.
COLOCANDO EM PRÁTICA
1. Resolva, no conjunto , a equação x x� �2 .
2. Resolva, no conjunto , a equação x x x� � � �5 2 .
3. Resolva, em seu caderno, os seguintes sistemas do 2.º grau:
a) 
x y
x y
� �
� �
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�
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1
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x y
x y
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x y
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ATIVIDADES
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As raízes 4 e –1 são valores que satisfazem a equação do 2.º grau. É necessário verificar se as raízes 
encontradas satisfazem a equação irracional dada, assim:
Para x = 4, temos: x x� � � � � � � � � � �5 1 4 5 4 1 9 3 3 3 .
Para x = –1, temos: x x� � � � � � � � � � � � � � �5 1 1 5 1 1 4 2 2 2.
Portanto, somente o número 4 satisfaz a equação irracional dada. Então, S = {4} .
Sistemas de equações do 2.º grau
Existem sistemas de equações com duas variáveis que envolvem equações do 2.° grau.
No processo de resolução de sistemas de equações do 2.º grau, utilizaremos o processo da substitui-
ção. A sequência de resolução é a mesma já utilizada nos sistemas de equações do 1.º grau.
Observe a situação a seguir.
O quadrado ABCD da figura a seguir tem 144 cm² de área, e o retângulo CMNP tem 35 cm². Quais 
são os valores de x e y?
Escrevemos as áreas do quadrado ABCD e do retângulo 
CMNP.
Área do quadrado: ( )x y x y� � � � � �2 144 144
( )x y x y� � � � � �2 144 144
x + y = 12 ou x + y = –12
Como x e y representam medidas, são números positi-
vos, portanto: x + y = 12.
Área do retângulo: x · y = 35.
Obtemos, assim, o sistema:
x y
x y
� �
� �
�
�
�
12
35
.
1.º passo: Resolvendo o sistema pelo método 
da substituição, temos:
x + y = 12 ⇒ x = 12 – y 
x · y = 35 ⇒ (12 – y) · y = 35 ⇒ 12y – y² = 35
y² – 12y + 35 = 0 
Equação do 
2.º grau completa.
2.º passo Resolvendo a equação do 2.º grau:
∆ = (–12)² – 4 · (1) · (35) ⟹ ∆ = 144 – 140 ⟹ 
∆ = 4
y y
y y
y y
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y y
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Para cada valor de y, temos um valor para x:
Para y = 7 ⇒ x = 12 – y ⇒ x = 12 – 7 ⇒ x = 5.
Para y = 5 ⇒ x = 12 – y ⇒ x = 12 – 5 ⇒ x = 7.
 Portanto, x = 7 cm e y = 5 cm ou x = 5 cm 
e y = 7 cm.
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x
x
y
y
x + y
x + y
Encaminhamento 
metodológico
Relembre com os alunos 
os métodos de resolução de 
sistemas do 1.º grau e, com 
base nesse conceito, introduza 
o conteúdo sobre sistemas de 
equações do 2.º grau. Parta 
da situação-problema dada 
e questione os alunos a cada 
passo. Comente com eles que, 
para resolver o sistema, caímos 
em uma equação do 2.º grau. 
Depois de encontrado o valor 
de uma das incógnitas, basta 
substituí-lo em uma das equa-
ções dadas para encontrar o 
valor da outra incógnita. 
Orientação para RA
Os alunos podem solucio-
nar a atividade digital resolven-
do o sistema por substituição 
ou apenas efetuando o teste 
com os possíveis pares (x, y), 
de modo que identifiquem os 
que tornam ambas as equações 
verdadeiras.
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1. Determine o valor de x e y no sistema de equações: 
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2 2x y
x y
� �
� �
�
�
�
��
 Solução:
Resolvemos esse tipo de sistema pelo método da substituição.
Da 2.ª equação, isolamos a variável y:
2x – y = 3 ⇒ 2x – 3 = y ⇒ y = 2x – 3
Substituímos y por 2x – 3 em 3x² – y² = 11 e resolvemos a equação obtida.
3x² – y² = 11 ⇒ 3x² – (2x – 3)² = 11 ⇒ 3x² – (4x² – 12x + 9) = 11 ⇒
⇒ 3x² – 4x² + 12x – 9 – 11 = 0 ⇒ –x² + 12x – 20 = 0 ⇒
x² – 12x + 20 = 0 → Equação a ser resolvida.
∆ = (–12)² – 4 · (1) · (20) ⇒ ∆ = 144 – 80 ⇒ ∆ = 64
x
x x
x x
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Como y = 2x – 3, então:
x = 10 ⇒ y = 2 · (10) – 3 ⇒ y = 20 – 3 ⇒ y = 17 (10, 17)
ou
x = 2 ⇒ y = 2 · (2) – 3 ⇒ y = 4 – 3 ⇒ y = 1 (2, 1)
Portanto: S = {(10, 17), (2, 1)}.
COLOCANDO EM PRÁTICA
1. Resolva, no conjunto , a equação x x� �2 .
2. Resolva, no conjunto , a equação x x x� � � �5 2 .
3. Resolva, em seu caderno, os seguintes sistemas do 2.º grau:
a) 
x y
x y
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x y
x y
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As raízes 4 e –1 são valores que satisfazem a equação do 2.º grau. É necessário verificar se as raízes 
encontradas satisfazem a equação irracional dada, assim:
Para x = 4, temos: x x� � � � � � � � � � �5 1 4 5 4 1 9 3 3 3 .
Para x = –1, temos: x x� � � � � � � � � � � � � � �5 1 1 5 1 1 4 2 2 2.
Portanto, somente o número 4 satisfaz a equação irracional dada. Então, S = {4} .
Sistemas de equações do 2.º grau
Existem sistemas de equações com duas variáveis que envolvem equações do 2.° grau.
No processo de resolução de sistemas de equações do 2.º grau, utilizaremos o processo da substitui-
ção. A sequência de resolução é a mesma já utilizada nos sistemas de equações do 1.º grau.
Observe a situação a seguir.
O quadrado ABCD da figura a seguir tem 144 cm² de área, e o retângulo CMNP tem 35 cm². Quais 
são os valores de x e y?
Escrevemos as áreas do quadrado ABCD e do retângulo 
CMNP.
Área do quadrado: ( )x y x y� � � � � �2 144 144
( )x y x y� � � � � �2 144 144
x + y = 12 ou x + y = –12
Como x e y representam medidas, são números positi-
vos, portanto: x + y = 12.
Área do retângulo: x · y = 35.
Obtemos, assim, o sistema:
x y
x y
� �
� �
�
�
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12
35
.
1.º passo: Resolvendo o sistema pelo método 
dasubstituição, temos:
x + y = 12 ⇒ x = 12 – y 
x · y = 35 ⇒ (12 – y) · y = 35 ⇒ 12y – y² = 35
y² – 12y + 35 = 0 
Equação do 
2.º grau completa.
2.º passo Resolvendo a equação do 2.º grau:
∆ = (–12)² – 4 · (1) · (35) ⟹ ∆ = 144 – 140 ⟹ 
∆ = 4
y y
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Para cada valor de y, temos um valor para x:
Para y = 7 ⇒ x = 12 – y ⇒ x = 12 – 7 ⇒ x = 5.
Para y = 5 ⇒ x = 12 – y ⇒ x = 12 – 5 ⇒ x = 7.
 Portanto, x = 7 cm e y = 5 cm ou x = 5 cm 
e y = 7 cm.
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x
x
y
y
x + y
x + y
x2 + (2x)2 = 5 
x2 + 4x2 = 5 
5x2 = 5 
x2 = 1 
x � � 1
x = ±1.
Como y = 2x, então:
x = 1 ⇒ y = 2x = 2 · 1 = 2
ou
x = –1 ⇒ y = 2x = 2 · (–1) = –2
Portanto, S = {(1,2), (–1, –2)}.
Resposta
1. S = {1}
2. S = {9}
3. 
a) x = 3 e y = 2 ou x = –2 e y = –3
b) x = 3 e y = 0 ou x = 1 e y = 2.
c) x = 3 e y = 2.
Encaminhamento metodológico
Na seção Colocando em prática, é explicado, de modo mais detalhado, como po-
demos resolver um sistema de equações.
Enfatize aos alunos que podemos ter casos em que uma das equações já é do 
2.º grau, mas podemos resolver sem problemas utilizando o método da substituição. Se 
possível, faça o exemplo a seguir.
 Exemplo:
Resolva o sistema de equações:
y x
x y
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�
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�
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2
52 2
Substituindo y por 2x em 
x2 + y2 = 5, teremos:
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5. No conjunto dos reais, qual é o conjunto 
solução da equação a seguir? 
(x + 2) (x – 2) (x + 1)2 = 0
6. O lado do quadrado a seguir mede x cm. Se 
x x� � �3 5 1 é um número inteiro, qual é 
o valor do lado do quadrado? 
x
x
7. Sabe-se que x x2 9 11� � � . Qual é o 
valor de x?
8. No quadrado ABCD da figura a seguir as 
partes retangulares são iguais e cada uma 
tem 14 cm de perímetro. Eliminando essas 
partes, a área da figura restante é 29 cm². 
Quais são as medidas dos lados das figuras 
restantes?
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C
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A
D
P
x
y
9. A soma de dois números naturais é igual a 
13. Sabe-se, também, que a soma de seus 
quadrados é 97. Quais são esses números?
10. A área de um terreno retangular é de 96 m2. 
Tendo o proprietário adquirido mais 2 me-
tros de frente e mais 3 metros de lado, a 
área do terreno aumentou 54 m2. Calcule as 
dimensões do terreno original.
11. A soma das áreas das figuras é 119 cm². 
Sabendo que y – x = 3 cm, determine as áreas 
das figuras a seguir.
x y
x x
12. Sejam dois números naturais, tais que o 
maior deles é igual ao quadrado do menor 
mais 2. Sabendo que a soma desses números 
é 32, determine-os.
13. Quais são os dois números naturais cuja 
diferença é 8 e cujo produto é 240?
14. A soma das áreas dos quadrados a seguir 
é 52 cm2. Sabendo que a diferença entre as 
medidas dos lados desses quadrados é 2 cm, 
calcule a área de cada quadrado.
x
y
x y
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Faça dupla com um colega e observem o passo a passo para resolver um sistema de equações 
pelo método da substituição. Depois, resolvam o problema proposto.
1.º passo: isolar a incógnita na primeira equação;
2.º passo: substituir a incógnita isolada na segunda equação, encontrando uma terceira 
equação;
3.º passo: utilizando a terceira equação, isolar a incógnita e encontrar o valor dela; assim, en-
contramos o valor de uma das incógnitas;
4.º passo: substituir o valor encontrado no terceiro passo na primeira equação; assim, encon-
tramos o valor da outra incógnita.
Pronto! Vocês encontraram os valores das incógnitas.
Agora, resolvam o seguinte sistema do 2.º grau:
3 4 11
2 4 34
2 2
2 2
x y
x y
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INTERAÇÃO
1. A diferença entre um certo número natural 
e seu inverso é igual a 
15
4
. Encontre esse 
número.
2. O valor de R$16.000,00 será dividido igual-
mente entre algumas pessoas de uma 
sala. Antes da divisão ser feita, 8 pessoas 
foram embora. Para que cada pessoa re-
cebesse o mesmo valor que receberia no 
início, o valor de R$16.000,00 passou para 
R$14.000,00. Qual era a quantidade de pes-
soas inicialmente?
3. Um dos vencedores das 500 milhas de 
Indianápolis foi o piloto Jacques Villeneuve, 
com o tempo de 3h15min17s. Ao pergunta-
rem para um dos responsáveis pela crono-
metragem qual o tempo (t) de vantagem de 
Villeneuve para o segundo colocado, Christian
Fittipaldi, o cronometrista respondeu:
“O produto entre o quadrado do tempo (t) 
adicionado ao seu dobro e o quadrado desse 
tempo subtraído de seu dobro é igual a 45. 
Resolvendo essa equação, teremos o tempo 
aproximado entre um piloto e outro.”
Qual a diferença de tempo entre os dois 
pilotos?
4. No retângulo a seguir, os lados são: (x2 – 1) cm 
e (x2 – 3) cm. Encontre o valor de x e dos lados, 
sabendo que a área é 528 cm2.
(x
2
 – 3)
(x
2
 – 1)
ATIVIDADES
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Interação, em 
um primeiro momento, peça 
aos alunos que verifiquem se 
o passo a passo está correto. 
Depois, solicite que resolvam o 
problema proposto.
Resposta
As respostas para a seção 
Interação são:
x = 3 e y = 2 ou
x = 3 e y = –2 ou
x = –3 e y = 2 ou
x = –3 e y = – 2.
As respostas para a seção 
Atividades são:
1. O número é 4.
2. No início, havia 64 pessoas 
na sala.
3. A diferença de tempo 
entre os dois pilotos foi de 3 
segundos.
4. O valor de x é 5 e o valor dos 
lados, 22 e 24.
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5. No conjunto dos reais, qual é o conjunto 
solução da equação a seguir? 
(x + 2) (x – 2) (x + 1)2 = 0
6. O lado do quadrado a seguir mede x cm. Se 
x x� � �3 5 1 é um número inteiro, qual é 
o valor do lado do quadrado? 
x
x
7. Sabe-se que x x2 9 11� � � . Qual é o 
valor de x?
8. No quadrado ABCD da figura a seguir as 
partes retangulares são iguais e cada uma 
tem 14 cm de perímetro. Eliminando essas 
partes, a área da figura restante é 29 cm². 
Quais são as medidas dos lados das figuras 
restantes?
B
C
M
N
A
D
P
x
y
9. A soma de dois números naturais é igual a 
13. Sabe-se, também, que a soma de seus 
quadrados é 97. Quais são esses números?
10. A área de um terreno retangular é de 96 m2. 
Tendo o proprietário adquirido mais 2 me-
tros de frente e mais 3 metros de lado, a 
área do terreno aumentou 54 m2. Calcule as 
dimensões do terreno original.
11. A soma das áreas das figuras é 119 cm². 
Sabendo que y – x = 3 cm, determine as áreas 
das figuras a seguir.
x y
x x
12. Sejam dois números naturais, tais que o 
maior deles é igual ao quadrado do menor 
mais 2. Sabendo que a soma desses números 
é 32, determine-os.
13. Quais são os dois números naturais cuja 
diferença é 8 e cujo produto é 240?
14. A soma das áreas dos quadrados a seguir 
é 52 cm2. Sabendo que a diferença entre as 
medidas dos lados desses quadrados é 2 cm, 
calcule a área de cada quadrado.
x
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x y
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Faça dupla com um colega e observem o passo a passo para resolver um sistema de equações 
pelo método da substituição. Depois, resolvam o problema proposto.
1.º passo: isolar a incógnita na primeira equação;
2.º passo: substituir a incógnita isolada na segunda equação, encontrando uma terceira 
equação;
3.º passo: utilizando a terceira equação, isolar a incógnita e encontrar o valor dela; assim, en-
contramos o valor de uma das incógnitas;
4.º passo: substituir o valor encontrado no terceiro passo na primeira equação; assim, encon-
tramos o valor da outra incógnita.
Pronto! Vocês encontraram os valores das incógnitas.
Agora, resolvam o seguinte sistema do 2.º grau:
3 4 11
2 4 34
2 2
2 2
x y
x y
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INTERAÇÃO
1. A diferença entre um certo número natural 
e seu inverso é igual a 
15
4
. Encontre esse 
número.
2. O valor de R$16.000,00 serádividido igual-
mente entre algumas pessoas de uma 
sala. Antes da divisão ser feita, 8 pessoas 
foram embora. Para que cada pessoa re-
cebesse o mesmo valor que receberia no 
início, o valor de R$16.000,00 passou para 
R$14.000,00. Qual era a quantidade de pes-
soas inicialmente?
3. Um dos vencedores das 500 milhas de 
Indianápolis foi o piloto Jacques Villeneuve, 
com o tempo de 3h15min17s. Ao pergunta-
rem para um dos responsáveis pela crono-
metragem qual o tempo (t) de vantagem de 
Villeneuve para o segundo colocado, Christian
Fittipaldi, o cronometrista respondeu:
“O produto entre o quadrado do tempo (t) 
adicionado ao seu dobro e o quadrado desse 
tempo subtraído de seu dobro é igual a 45. 
Resolvendo essa equação, teremos o tempo 
aproximado entre um piloto e outro.”
Qual a diferença de tempo entre os dois 
pilotos?
4. No retângulo a seguir, os lados são: (x2 – 1) cm 
e (x2 – 3) cm. Encontre o valor de x e dos lados, 
sabendo que a área é 528 cm2.
(x
2
 – 3)
(x
2
 – 1)
ATIVIDADES
13. Os números são 20 e 12.
14. As áreas dos quadrados 
são: 36 cm2 e 16 cm2.
Resposta
5. x = –2, x = –1 ou x = 2.
6. x = 2 cm ou x = 3 cm.
7. S = {–4, 5}
8. A medida de x é igual a 5 e a medida de y é igual a 2.
9. Os números são 4 e 9.
10. As dimensões são 8 m e 12 m.
11. A área do quadrado de lado x é igual a 49 cm², e a área do retângulo de dimensões 
x e y é igual a 70 cm².
12. Os números são 5 e 27.
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_L
1_
U
2_
02
12. Um fazendeiro, percorrendo com um jipe 
toda a divisa (perímetro) de sua fazenda de 
forma retangular, perfaz 26 km. Se a área 
ocupada pela fazenda é 40 km2, quais são 
suas dimensões?
13. A diferença entre as medidas das diagonais 
de um losango é 8 cm. Se a área desse lo-
sango é igual a 24 cm2, quais são as medidas 
das diagonais?
d
D
14. (CP-2015) De uma caixa contendo B bolas 
brancas e P bolas pretas, retiraram-se 15 
bolas brancas, permanecendo entre as bolas 
restantes a relação de 1 branca para 2 pretas. 
Em seguida, retiraram-se 10 pretas, restan-
do, na caixa, um número de bolas na razão 
de 4 brancas para 3 pretas. Um sistema de 
equações que permite determinar os valores 
de B e P pode ser representado por:
a) 
2 30
3 4 5
B P
B P
� �
� �
�
�
�
b) 
B P
B
� �
� �
�
�
�
30
4 5
c) 
2 30
3 4 5
B P
B P
� � �
� � � �
�
�
�
d) 
2 30
3 4 5
B P
B P
� � �
� �
�
�
�
15. A soma de dois números reais é 25 e o 
produto entre eles é 144. Determine esses 
números.
16. Nas figuras a seguir, temos as seguintes 
informações:
a) suas áreas são iguais;
b) o lado do quadrado, acrescido de 2 uni-
dades, é igual ao dobro da largura do 
retângulo.
Determine as medidas x e y.
y
y
x
x + 5
17. (UTFPR) Adriana e Gustavo estão participan-
do de uma gincana na cidade de Curitiba e 
receberam a seguinte tarefa:
Trazer a fotografia da construção localizada 
na rua XV de Novembro, número N, tal que: 
a e b são as raízes da equação irracional 
2 3 5 32x x x� � � � e 
N a b a b� � �� � � �� � �2 2 2 4
13 10.
Se Adriana e Gustavo fotografaram a 
construção e ganharam a pontuação na 
gincana, então encontraram N igual a:
a) 1515.
c) 971.
e) 535.
b) 1296. 
d) 775. 
18. (OBM) Se 
1
5
4
x �
� , o valor de 
1
6x +
 é:
a) 
1
5
b) 
1
4
c) 
2
3
d) 
4
5
e) 1
126 MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
_L
1_
U
2_
02
1. (UTFPR) O conjunto solução S da equação x x� � �3 3 é:
a) S = {6} 
b) S = {1,6} 
c) S = {3} 
d) S = ∅ 
e) S = {4}
DE OLHO NA PROVA
1. Determine o conjunto solução da equação 
x
x
� �
1 15
4
, sendo U = +.
2. Determine, no conjunto , o conjunto solu-
ção das equações abaixo:
a) x
x5
5 26
5
� �
b) x
x
�
�
�
3
2
6
c) 
5
3
30
9
12x x�
�
�
�
d) 
1
3
1
2
1
2x x�
� �
�
3. Se x’ e x” são as raízes reais da equação 
x
x
x�
�
� �
�4
2
1
10 2
5
, com x’ > x”, então x’ – x” 
vale:
a) 0
b) 2
c) 7
d) 8
4. Determine, no conjunto , o conjunto solu-
ção das equações biquadradas:
a) x4 – 16x2 = 0
b) x4 – 81 = 0
c) x4 – 5x2 + 4 = 0
d) (x2 – 10) (x2 –3) = 0
5. O número de raízes reais da equação 
5x4 + 2x2 – 3 = 0 é:
a) 1
c) 3
b) 2
d) 4
6. Resolva a seguinte equação
5(x4 + 1) = 2 (2x2 + 1), sendo U = .
7. Sendo U = *, resolva a equação a seguir:
3
5
1 2 1
5
2
2
2
x
x
x
��
�
�
�
�
� �
�� �
.
8. Um número real não nulo dividido pela 
sua raiz quadrada é igual à diferença entre 
6 e sua própria raiz quadrada. Qual é esse 
número?
9. (UECE-2015) O conjunto das soluções da 
equação 3 2 2x x� � � é formado por:
a) uma única raiz, a qual é um número real.
b) duas raízes reais.
c) duas raízes complexas.
d) uma raiz real e duas complexas.
10. Resolva a seguinte equação irracional no 
conjunto .
x x� � �1 13 .
11. (UTFPR) A equação irracional 9 14 2x � �
resulta em x igual a:
a) –2. b) –1.
c) 0. d) 1.
e) 2.
VAMOS PRATICAR MAIS?
Resposta
A resposta para a seção De 
olho na prova é:
1. A
As respostas para a seção 
Vamos praticar mais? são:
1. S = {4}
2. 
a) S = {1, 25}
b) S = {3, 5}
c) S = {2} 
d) S = {1, 4}
3. D
4. 
a) {–4, 0, 4}
b) {–3, 3}
c) {–2, –1, 1, 2}
d) S � � �� �10 3 3 10, , , 
5. B
6. S = ∅. Não há solução nos 
reais.
7. S = {–1, 1}.
8. S = {9}
9. A
10. S = {10}
11. E
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 126 16/09/2020 14:32:01
127MATEMÁTICA
127MATEMÁTICA
EF
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AT
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1_
U
2_
02
12. Um fazendeiro, percorrendo com um jipe 
toda a divisa (perímetro) de sua fazenda de 
forma retangular, perfaz 26 km. Se a área 
ocupada pela fazenda é 40 km2, quais são 
suas dimensões?
13. A diferença entre as medidas das diagonais 
de um losango é 8 cm. Se a área desse lo-
sango é igual a 24 cm2, quais são as medidas 
das diagonais?
d
D
14. (CP-2015) De uma caixa contendo B bolas 
brancas e P bolas pretas, retiraram-se 15 
bolas brancas, permanecendo entre as bolas 
restantes a relação de 1 branca para 2 pretas. 
Em seguida, retiraram-se 10 pretas, restan-
do, na caixa, um número de bolas na razão 
de 4 brancas para 3 pretas. Um sistema de 
equações que permite determinar os valores 
de B e P pode ser representado por:
a) 
2 30
3 4 5
B P
B P
� �
� �
�
�
�
b) 
B P
B
� �
� �
�
�
�
30
4 5
c) 
2 30
3 4 5
B P
B P
� � �
� � � �
�
�
�
d) 
2 30
3 4 5
B P
B P
� � �
� �
�
�
�
15. A soma de dois números reais é 25 e o 
produto entre eles é 144. Determine esses 
números.
16. Nas figuras a seguir, temos as seguintes 
informações:
a) suas áreas são iguais;
b) o lado do quadrado, acrescido de 2 uni-
dades, é igual ao dobro da largura do 
retângulo.
Determine as medidas x e y.
y
y
x
x + 5
17. (UTFPR) Adriana e Gustavo estão participan-
do de uma gincana na cidade de Curitiba e 
receberam a seguinte tarefa:
Trazer a fotografia da construção localizada 
na rua XV de Novembro, número N, tal que: 
a e b são as raízes da equação irracional 
2 3 5 32x x x� � � � e 
N a b a b� � �� � � �� � �2 2 2 4
13 10.
Se Adriana e Gustavo fotografaram a 
construção e ganharam a pontuação na 
gincana, então encontraram N igual a:
a) 1515.
c) 971.
e) 535.
b) 1296. 
d) 775. 
18. (OBM) Se 
1
5
4
x �
� , o valor de 
1
6x +
 é:
a) 
1
5
b) 
1
4
c) 
2
3
d) 
4
5
e) 1
126 MATEMÁTICA
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1_
U
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02
1. (UTFPR) O conjunto solução S da equação x x� � �3 3 é:
a) S = {6} 
b) S = {1,6} 
c) S = {3} 
d) S = ∅ 
e) S = {4}
DE OLHO NA PROVA
1. Determine o conjunto solução da equação 
x
x
� �
1 15
4
, sendo U = +.
2. Determine, no conjunto , o conjunto solu-
ção das equações abaixo:
a) x
x5
5 26
5
� �
b) x
x
�
�
�
3
2
6
c) 
5
3
30
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12x x�
�
�
�
d) 
1
3
1
2
1
2x x�
� �
�
3. Se x’ e x” são as raízes reais da equação 
x
x
x�
�
� �
�4
2
1
10 2
5
, com x’ > x”, então x’ – x” 
vale:
a) 0
b) 2
c) 7
d) 8
4. Determine, no conjunto , o conjunto solu-
ção das equações biquadradas:
a) x4 – 16x2 = 0
b) x4 – 81 = 0
c) x4 – 5x2 + 4 = 0
d) (x2 – 10) (x2 –3) = 05. O número de raízes reais da equação 
5x4 + 2x2 – 3 = 0 é:
a) 1
c) 3
b) 2
d) 4
6. Resolva a seguinte equação
5(x4 + 1) = 2 (2x2 + 1), sendo U = .
7. Sendo U = *, resolva a equação a seguir:
3
5
1 2 1
5
2
2
2
x
x
x
��
�
�
�
�
� �
�� �
.
8. Um número real não nulo dividido pela 
sua raiz quadrada é igual à diferença entre 
6 e sua própria raiz quadrada. Qual é esse 
número?
9. (UECE-2015) O conjunto das soluções da 
equação 3 2 2x x� � � é formado por:
a) uma única raiz, a qual é um número real.
b) duas raízes reais.
c) duas raízes complexas.
d) uma raiz real e duas complexas.
10. Resolva a seguinte equação irracional no 
conjunto .
x x� � �1 13 .
11. (UTFPR) A equação irracional 9 14 2x � �
resulta em x igual a:
a) –2. b) –1.
c) 0. d) 1.
e) 2.
VAMOS PRATICAR MAIS?
Resposta
12. As dimensões são 5 e 8.
13. As diagonais medem 12 cm e 4 cm.
14. A
15. Os números são 9 e 16.
16. As medidas x e y são 4 e 6, respectivamente.
17. C
18. D
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 127 16/09/2020 14:32:02
128 MATEMÁTICA
128 MATEMÁTICA
EF
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1_
U
2_
02
Equações fracionárias, biquadradas, irracionais 
e sistemas – Relacionando conceitos
podem 
estar em
podem ser
têm
contêm contêm
geralmente
geralmente 
precisam
precisam de
EQUAÇÕES 
REDUTÍVEIS
sistema de 
equações
fracionárias
biquadradas
variável no 
denominador
3 termos: um 
x4, um x2 e um 
independente de x
variável sob 
o radical
mudança de 
variável
elevam-se ambos os 
lados da igualdade 
ao quadrado
irracionais
racionalizar
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 128 16/09/2020 14:32:04
129MATEMÁTICA
MR.SOMKIAT BOONSINGShutterstock
MR.SOMKIATATA BOONSINGShutterstock
un
idade
129
1. Coordenadas cartesianas na reta e no plano
Criado por René Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665), o plano cartesiano é um método 
utilizado em diversas áreas de atuação. Uma delas é a arquitetura, em que o plano cartesiano é usado para 
fazer plantas baixas e croquis. 
Como você faria uma planta baixa utilizando o plano cartesiano?
3
• Coordenadas na reta
• Valor absoluto
• Intervalos
• Plano cartesiano
• Abscissa e ordenada
Sistema de coordenadas
cartesianas
Escola Digital
Objetivos do capítulo
• Ampliar o conceito de reta numérica.
• Localizar, ordenar e identificar qualquer número na reta numérica.
• Relembrar os conteúdos de plano cartesiano e obter uma melhor visualização dos 
pontos e suas coordenadas.
• Assimilar os conceitos de plano cartesiano e de par ordenado e relacionar o primeiro 
com o segundo identificando o plano cartesiano como um objeto matemático capaz 
de ilustrar geometricamente pares ordenados.
• Entender que os eixos coordenados e o plano cartesiano têm a propriedade de 
continuidade.
Realidade aumentada
• Posições no tabuleiro de 
xadrez
Encaminhamento 
metodológico
Neste capítulo, trabalhare-
mos a habilidade EF09MA16 da 
BNCC, que é a de determinar o 
ponto médio de um segmento 
de reta e a distância entre dois 
pontos quaisquer, dadas as 
coordenadas desses pontos no 
plano cartesiano, sem o uso de 
fórmulas, e utilizar esse conheci-
mento para calcular, por exem-
plo, medidas de perímetros e 
áreas de figuras planas construí-
das no plano.
O texto da abertura apre-
senta uma das utilidades do 
plano cartesiano no cotidiano. 
Convém propor aos alunos que 
pesquisem outras utilidades 
desse método, como mapas, 
GPS etc. 
Na pergunta inicial, 
explore o conceito construindo 
uma planta baixa ou um croqui, 
de modo que eles percebam 
como o plano cartesiano pode 
auxiliar na determinação de 
medidas e na indicação de áreas 
e distâncias.
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 129 16/09/2020 14:32:50
130 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
Faça a construção da reta 
numérica com os alunos. É possí-
vel usar uma folha milimetrada ou 
um software de geometria para 
tal. Retome o conceito de módulo 
com os alunos, apresentando, se 
possível, mais exemplos.
Dica para ampliar 
o trabalho
Comparar dois números 
significa dizer se o primeiro é 
maior que (>), menor que (<) ou 
igual (=) ao segundo número. 
Então, quando comparamos:
• números positivos – aquele 
que estiver mais distante do 
zero é o maior.
 Exemplo:
–3 –2 –1 0 +1 +2 +3
3 está mais distante de 0. Então, 
é maior que 2. Podemos escre-
ver assim: 3 > 2.
• números negativos – aquele 
que estiver mais distante do 
zero é o menor.
 Exemplo:
–3 –2 –1 0 +1 +2 +3
–3 está mais distante de 0. En-
tão, é menor que –1. Podemos 
escrever assim: –3 < –1.
• todo número inteiro positivo 
é maior que qualquer número 
inteiro negativo.
 Exemplo:
7 > –4, 10 > –10
Observe a reta numérica:
–4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4......
Os números inteiros estão 
colocados em ordem crescente 
da esquerda para a direita, 
então podemos escrevê-los 
usando o símbolo <. 
... –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, 
+4, ... 
Se forem colocados do 
maior para o menor, teremos es-
ses números escritos na ordem 
decrescente.
131MATEMÁTICA
EF
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_9
_M
AT
_L
1_
U
3_
01
Intervalos
Quando queremos representar subconjuntos dos números reais, utilizamos desigualdades deno-
minadas intervalos. Observe os intervalos (subconjuntos dos números reais) exemplificados a seguir 
em suas diferentes formas de representação.
Intervalo Representação na reta
Números reais maiores do 
que 5: {x ∈  / x > 5} ou ]5, ∞[ 
5
Números reais maiores ou 
iguais a 5: {x ∈  / x ≥ 5} ou [5, ∞[ 
5
Números reais menores do 
que 5: {x ∈  / x < 5} ou ]–∞, 5[ 
5
Números reais compreen-
didos entre 2 e 7, excluindo 
2 e 7:
{x ∈  / 2 < x < 7} ou ]2, 7[
72
Números reais compreen-
didos entre 2 e 7, incluindo 
2 e 7: 
{x ∈  / 2 ≤ x ≤ 7} ou [2, 7]
72
1. Em seu caderno represente, na reta real, os seguintes intervalos:
a) {x ∈  / x < –3}
b) {x ∈  / –2 < x < 4}
c) {x ∈  / –2 ≤ x < 4}
d) {x ∈  / x ≥ –4}
e) [–1, +∞[
f ) ]2, 4]
g) [–1, 3]
h) [3, 8]
2. Indique os seguintes intervalos que estão representados na reta real:
a) 
50
b) 
–4
ATIVIDADES
130 MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
_L
1_
U
3_
01
Coordenadas na reta
Como podemos encontrar um ponto sobre uma reta?
Ao traçar uma reta r, marcamos um ponto para ser a origem, uma escala de medida e uma orien-
tação para a reta (qualquer número x à esquerda de um número y obedecerá à relação x < y), conforme 
mostra a figura a seguir.
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 x
Desse modo, podemos estabelecer uma relação de correspondência entre o conjunto 
dos números reais e os pontos da reta r. O número real correspondente ao ponto denomi-
na-se abscissa do ponto.
Quantos números existem entre 2 e 5?
Se você respondeu dois pensando nos números 3 e 4, esqueceu-se de muitos outros, como 2,75, 
5 , 3,05 e π. 
Ao considerarmos o conjunto dos reais (), podemos dizer que existem infinitos números reais 
entre dois números quaisquer, seja entre 2 e 5, 0 e 1 etc. 
Dessa forma, podemos concluir que: Dessa forma, podemos concluir que: 
A reta real é contínua e infinita.
Distância de um número em relação ao zero
Na situação apresentada a seguir, qual é a distância entre o –3 e o 0?
–3 –4... ...–2 –1 0 +1 +2 +3 +4
3 unidades
A distância do número inteiro –3 à origem é 3 unidades ou 3.
E a distância do +4 ao 0?
–3 –4... ...–2 –1 0 +1 +2 +3 +4
4 unidades
A distância do número inteiro +4 à origem é 4.
O número que expressa a distância do ponto correspondente até o referencial zero é chamado de 
módulo ou valor absoluto do número. Ele é representado por duas barras verticais.
O valor absoluto de um número é ele mesmo, se for positivo, ou é seu oposto, se for negativo. 
| a | = a, se a ≥ 0 | a | = –a, se a < 0
 Exemplos:
• |+2| = 2
• |–7| = 7 • � �
1
3
1
3
Como podemos encontrar um ponto sobre uma reta?
Ao traçar uma reta 
tação para a reta (qualquer número x à esquerda de um número y obedecerá à relação x < y), conforme 
Quantos números existem entre 2 e 5?
Se você respondeu dois pensando nos números 3 e 4, esqueceu-se de muitos outros, como 2,75, 
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb130 16/09/2020 14:32:55
131MATEMÁTICA
131MATEMÁTICA
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1_
U
3_
01
Intervalos
Quando queremos representar subconjuntos dos números reais, utilizamos desigualdades deno-
minadas intervalos. Observe os intervalos (subconjuntos dos números reais) exemplificados a seguir 
em suas diferentes formas de representação.
Intervalo Representação na reta
Números reais maiores do 
que 5: {x ∈  / x > 5} ou ]5, ∞[ 
5
Números reais maiores ou 
iguais a 5: {x ∈  / x ≥ 5} ou [5, ∞[ 
5
Números reais menores do 
que 5: {x ∈  / x < 5} ou ]–∞, 5[ 
5
Números reais compreen-
didos entre 2 e 7, excluindo 
2 e 7:
{x ∈  / 2 < x < 7} ou ]2, 7[
72
Números reais compreen-
didos entre 2 e 7, incluindo 
2 e 7: 
{x ∈  / 2 ≤ x ≤ 7} ou [2, 7]
72
1. Em seu caderno represente, na reta real, os seguintes intervalos:
a) {x ∈  / x < –3}
b) {x ∈  / –2 < x < 4}
c) {x ∈  / –2 ≤ x < 4}
d) {x ∈  / x ≥ –4}
e) [–1, +∞[
f ) ]2, 4]
g) [–1, 3]
h) [3, 8]
2. Indique os seguintes intervalos que estão representados na reta real:
a) 
50
b) 
–4
ATIVIDADES
130 MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
_L
1_
U
3_
01
Coordenadas na reta
Como podemos encontrar um ponto sobre uma reta?
Ao traçar uma reta r, marcamos um ponto para ser a origem, uma escala de medida e uma orien-
tação para a reta (qualquer número x à esquerda de um número y obedecerá à relação x < y), conforme 
mostra a figura a seguir.
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 x
Desse modo, podemos estabelecer uma relação de correspondência entre o conjunto 
dos números reais e os pontos da reta r. O número real correspondente ao ponto denomi-
na-se abscissa do ponto.
Quantos números existem entre 2 e 5?
Se você respondeu dois pensando nos números 3 e 4, esqueceu-se de muitos outros, como 2,75, 
5 , 3,05 e π. 
Ao considerarmos o conjunto dos reais (), podemos dizer que existem infinitos números reais 
entre dois números quaisquer, seja entre 2 e 5, 0 e 1 etc. 
Dessa forma, podemos concluir que: 
A reta real é contínua e infinita.
Distância de um número em relação ao zero
Na situação apresentada a seguir, qual é a distância entre o –3 e o 0?
–3 –4... ...–2 –1 0 +1 +2 +3 +4
3 unidades
A distância do número inteiro –3 à origem é 3 unidades ou 3.
E a distância do +4 ao 0?
–3 –4... ...–2 –1 0 +1 +2 +3 +4
4 unidades
A distância do número inteiro +4 à origem é 4.
O número que expressa a distância do ponto correspondente até o referencial zero é chamado de 
módulo ou valor absoluto do número. Ele é representado por duas barras verticais.
O valor absoluto de um número é ele mesmo, se for positivo, ou é seu oposto, se for negativo. 
| a | = a, se a ≥ 0 | a | = –a, se a < 0
 Exemplos:
• |+2| = 2
• |–7| = 7 • � �
1
3
1
3
Encaminhamento metodológico
Depois de apresentar os exemplos de intervalos, a ideia é que o aluno generalize 
para qualquer intervalo. A seguir, estão todos os intervalos. Reforce com os alunos o 
conceito de maior/menor, maior ou igual, menor ou igual. Os conceitos de intervalo 
aberto e fechado podem confundir os alunos.
Intervalo aberto em a e aberto em b, ]a, b[ , {x ∈  / a < x < b}. Aberto à esquerda 
e aberto à direita:
ba
Intervalo aberto em a e fechado em b, ]a, b], {x ∈  / a < x ≤ b}. Aberto à esquerda 
e fechado à direita: 
ba
Intervalo fechado em a e 
aberto em b,
[a, b[, {x ∈  / a ≤ x < b}. 
Fechado à esquerda e aberto à 
direita: 
ba
Intervalo fechado em a e 
fechado em b, [a, b], {x ∈  /
a ≤ x ≤ b} . Fechado à esquerda 
e fechado à direita: 
ba
Intervalos infinitos 
{x ∈  / x < a}: 
a
{x ∈  / x > a}
a
{x ∈  / x ≤ a}
a
{x ∈  / x ≥ a}
a
Res posta
1. 
a) 
–3
b) 
–2 4
c) 
–2 4
d) 
–4
e) 
–1
f ) 
2 4
g) 
–1 3
h) 
8 3
2. 
a) {x ∈  / 0 < x ≤ 5}
b) {x ∈  / x > –4}
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Você já ouviu falar em um jogo chamado 
Batalha naval? É um jogo de tabuleiro para 
dois jogadores, que devem, por meio de 
coordenadas, descobrir a posição dos 
navios de seu oponente. O objetivo é 
descobrir todas as coordenadas nas quais 
estão os barcos, atingindo-os.
Agora, convide um amigo para 
batalhar!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
N
O
P
Seu jogo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
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M
N
O
P
Jogo do seu adversário
Suas embarcações
3 hidroaviões 4 submarinos 3 cruzadores 2 encouraçados 1 porta-aviões
Regras do jogo:
Coloque suas embarcações em seu mapa assinalando com X os quadrados, de maneira que elas 
não se encostem. Lembre-se de introduzir todos os tipos de embarcação apresentados, seguindo 
suas formas. Você pode posicioná-las do modo como quiser, ou seja, na horizontal ou na vertical. 
Não deixe que seu adversário veja! 
Espere seu oponente fazer o mesmo e decidam quem começará com os ataques.
O primeiro jogador deve dizer alguma posição em que ele desconfia estar escondida uma 
embarcação, por exemplo: (3, A). O segundo jogador confere em seu tabuleiro se há alguma embar-
cação nessa posição. Se não houver, o defensor responde “água” indicando que o tiro não acertou 
nada. Caso acerte, deve avisar que foi atingido e dizer qual embarcação estava ali. O jogador que 
acertar tem o direito de jogar em seguida!
Vence quem atingir todas as embarcações do adversário!
INTERAÇÃO NataliiaBudianska/Shutterstock
Encaminhamento 
metodológico
Ao utilizar o exemplo da 
sala de aula, quando for con-
siderar os pares ordenados 
formados por A, B, C e D, mostre 
aos alunos que, primeiro, 
estamos considerando a coluna 
e, depois, a linha. Em seguida, 
verifique com eles que isso foi 
feito em todos os casos. Caso 
invertêssemos a ordem, os pares 
ordenados seriam diferentes e 
não corresponderiam ao mesmo 
ponto. 
Depois, peça a eles que 
encontrem mais alguns pontos:
a) E (3, 4)
b) F (4, 5)
c) G (4, 3) 
d) H (5, 4)
e) I (5, 6)
A localização dos pontos 
será:
C
A
E
D
F
G
I
H
B
(1) (2) (3) (4) (5)
(6)
(5)
(4)
(3)
(2)
(1)
Depois de localizarem os 
números, peça aos alunos que 
comparem os itens a e c, b e d. 
Ou seja, os pontos E (3, 4) e G 
(4, 3) são iguais? Se alteramos 
apenas as ordens, os pontos se 
mantêm iguais? Faça a mesma 
pergunta para F (4, 5) e H (5, 4). 
É muito importante que os alu-
nos percebam que essa inversão 
na ordem resulta em pontos 
diferentes. 
Orientação para RA
Nesta Realidade aumenta-
da é mostrado como é possível 
utilizar o tabuleiro de xadrez 
como plano cartesiano.
132 MATEMÁTICA
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Par ordenado
Observe a situação a seguir: suponha que as carteiras da sala de aula estejam dispostas em 5 co-
lunas e 6 linhas. 
Nessas condições, podemos dizer que:
• a carteira do aluno A está localizada na 2.ª coluna da 
5.ª linha, indica-se: (2, 5);
• a carteira do aluno B está localizada na 5.ª coluna da 
2.ª linha, indica-se: (5, 2);
• a carteira do aluno C está localizada na 1.ª coluna da 
3.ª linha, indica-se: (1, 3);
• a carteira do aluno D está localizada na 3.ª coluna da 
2.ª linha, indica-se: (3, 2).
Em situações como essas, temos de distinguir os pares 
pela ordem de seus elementos. Por isso, denominamos os pa-
res de números (2, 5), (5, 2), (1, 3), (3, 2) de pares ordenados.
Observação: Os pares ordenados (5, 2) e (2, 5) são diferentes, ou seja: (5, 2) ≠ (2, 5).
Portanto,
Ao considerarmos um par ordenado com os elementos a e b, no qual a seja o primeiro 
elemento e b, o segundo elemento, indicaremos sempre por (a, b).
Dois pares ordenados são iguais somente se tiverem os primeiros elementos iguais entre si e tam-
bém os segundos elementos iguais entre si.bém os segundos elementos iguais entre si.
(a, b) = (c, d) se, e somente se, a = c e b = d.
Como podemos indicar a posição geográfica de Brasília?
Para determinarmos a posição geográfica de 
uma cidade, precisamos relacioná-la à Linha do 
Equador e ao Meridiano de Greenwich. Essa relação é 
feita em termos de distâncias, dadas em graus, entre 
o ponto considerado ea Linha do Equador e entre o 
mesmo ponto e o meridiano principal; essas linhas, 
então, funcionam como elementos de referência. 
Desse modo:
• a distância do ponto até a Linha do Equador 
é denominada latitude;
• a distância do ponto ao Meridiano de 
Greenwich é denominada longitude;
• a latitude e a longitude são consideradas as 
coordenadas geográficas do ponto.
Assim, Brasília está localizada entre os parale-
los 15º e 23º ao sul do Equador e os meridianos 45º 
e 60º a oeste de Greenwich. Observe a localização 
de Brasília no mapa ao lado.
Par ordenado
C
A
D B
(1) (2) (3) (4) (5)
(6)
(5)
(4)
(3)
(2)
(1)
Como podemos indicar a posição geográfica de Brasília?
Para determinarmos a posição geográfica de 
uma cidade, precisamos relacioná-la à Linha do 
0 680 1 360 km
Escala aproximada
Projeção Policônica
1:68 000 000
BRASIL – POLÍTICO ATUAL
0º Equador
15º
30º
75º 60º 45º 30º
23º27'30" Trópico de Capricórnio
OCEANO
ATLÂNTICO
OCEANO
PACÍFICO
AM
AC
RR
AP
PA
RO
MT
TO
MA
PI
CE
RN
PB
PE
AL
SE
BA
MG
GO
DF
ES
RJ
MS
SP
PR
SC
RS
ARGENTINA
PARAGUAI
URUGUAI
BOLÍVIA
PERU
COLÔMBIA
VENEZUELA
G
U
IA
N
A SURINAME
Guiana Francesa (FRA)
C
H
IL
E
E
Q
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Você já ouviu falar em um jogo chamado 
Batalha naval? É um jogo de tabuleiro para 
dois jogadores, que devem, por meio de 
coordenadas, descobrir a posição dos 
navios de seu oponente. O objetivo é 
descobrir todas as coordenadas nas quais 
estão os barcos, atingindo-os.
Agora, convide um amigo para 
batalhar!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
N
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P
Seu jogo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
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Jogo do seu adversário
Suas embarcações
3 hidroaviões 4 submarinos 3 cruzadores 2 encouraçados 1 porta-aviões
Regras do jogo:
Coloque suas embarcações em seu mapa assinalando com X os quadrados, de maneira que elas 
não se encostem. Lembre-se de introduzir todos os tipos de embarcação apresentados, seguindo 
suas formas. Você pode posicioná-las do modo como quiser, ou seja, na horizontal ou na vertical. 
Não deixe que seu adversário veja! 
Espere seu oponente fazer o mesmo e decidam quem começará com os ataques.
O primeiro jogador deve dizer alguma posição em que ele desconfia estar escondida uma 
embarcação, por exemplo: (3, A). O segundo jogador confere em seu tabuleiro se há alguma embar-
cação nessa posição. Se não houver, o defensor responde “água” indicando que o tiro não acertou 
nada. Caso acerte, deve avisar que foi atingido e dizer qual embarcação estava ali. O jogador que 
acertar tem o direito de jogar em seguida!
Vence quem atingir todas as embarcações do adversário!
INTERAÇÃO NataliiaBudianska/Shutterstock
Antes de receberem o en-
velope com as suas posições, os 
alunos deverão escolher um dos 
integrantes da equipe para ser 
vendado. Nesse envelope, há 5 
cartas. Quatro serão tiradas alea-
toriamente por cada integrante 
do grupo, revelando, assim, qual 
será a sua posição no plano car-
tesiano; e mais uma, indicando a 
posição que deverá ser colocado 
o alvo (para a colocação do alvo, 
eles poderão trabalhar em equi-
pe, exceto o aluno vendado). 
O tempo começa a contar 
a partir da entrega do envelope. 
Os alunos devem se colocar em 
suas posições para começar o 
jogo. 
O aluno que está vendado 
começa falando um par ordena-
do, o ajudante que estiver mais 
próximo dessa coordenada pode 
dar um palpite a ele, dizendo se 
o alvo está mais à esquerda, ou 
à direita, mais para cima ou mais 
para baixo. Caso a coordenada 
coincida com a dica de um dos 
ajudantes, esse não pode mais 
ajudar e está fora do jogo.
Ganha a equipe que fizer 
em menos tempo.
Encaminhamento metodológico
Além do jogo apresentado na seção Interação, apresentamos a seguir uma outra 
sugestão de atividade. Essa atividade usa o conceito de plano cartesiano, que já foi es-
tudado anteriormente. É interessante apresentar esse jogo antes do conteúdo propria-
mente dito para que os alunos relembrem o que já viram.
Materiais:
• fita-crepe (para desenhar o plano cartesiano no chão);
• envelope (para colocar os pontos do plano, que serão as posições dos jogadores);
• alvo (que pode ser uma bola, ou qualquer outro objeto simbólico);
• venda para olhos.
Como jogar:
No chão da sala, desenhe um plano cartesiano de x = [–5, 5] e y = [–5, 5].
Divida os alunos em grupos de 5. 
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Par ordenado
Observe a situação a seguir: suponha que as carteiras da sala de aula estejam dispostas em 5 co-
lunas e 6 linhas. 
Nessas condições, podemos dizer que:
• a carteira do aluno A está localizada na 2.ª coluna da 
5.ª linha, indica-se: (2, 5);
• a carteira do aluno B está localizada na 5.ª coluna da 
2.ª linha, indica-se: (5, 2);
• a carteira do aluno C está localizada na 1.ª coluna da 
3.ª linha, indica-se: (1, 3);
• a carteira do aluno D está localizada na 3.ª coluna da 
2.ª linha, indica-se: (3, 2).
Em situações como essas, temos de distinguir os pares 
pela ordem de seus elementos. Por isso, denominamos os pa-
res de números (2, 5), (5, 2), (1, 3), (3, 2) de pares ordenados.
Observação: Os pares ordenados (5, 2) e (2, 5) são diferentes, ou seja: (5, 2) ≠ (2, 5).
Portanto,
Ao considerarmos um par ordenado com os elementos a e b, no qual a seja o primeiro 
elemento e b, o segundo elemento, indicaremos sempre por (a, b).
Dois pares ordenados são iguais somente se tiverem os primeiros elementos iguais entre si e tam-
bém os segundos elementos iguais entre si.
(a, b) = (c, d) se, e somente se, a = c e b = d.
Como podemos indicar a posição geográfica de Brasília?
Para determinarmos a posição geográfica de 
uma cidade, precisamos relacioná-la à Linha do 
Equador e ao Meridiano de Greenwich. Essa relação é 
feita em termos de distâncias, dadas em graus, entre 
o ponto considerado e a Linha do Equador e entre o 
mesmo ponto e o meridiano principal; essas linhas, 
então, funcionam como elementos de referência. 
Desse modo:
• a distância do ponto até a Linha do Equador 
é denominada latitude;
• a distância do ponto ao Meridiano de 
Greenwich é denominada longitude;
• a latitude e a longitude são consideradas as 
coordenadas geográficas do ponto.
Assim, Brasília está localizada entre os parale-
los 15º e 23º ao sul do Equador e os meridianos 45º 
e 60º a oeste de Greenwich. Observe a localização 
de Brasília no mapa ao lado.
C
A
D B
(1) (2) (3) (4) (5)
(6)
(5)
(4)
(3)
(2)
(1)
0 680 1 360 km
Escala aproximada
Projeção Policônica
1:68 000 000
BRASIL – POLÍTICO ATUAL
0º Equador
15º
30º
75º 60º 45º 30º
23º27'30" Trópico de Capricórnio
OCEANO
ATLÂNTICO
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RJ
MS
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PR
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VENEZUELA
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Guiana Francesa (FRA)
C
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1. Localize, no plano cartesiano, os seguintes pontos:
a) A (2, –3)
b) B (–1, 3)
c) C (0, 2)
d) D (–2, –4)
e) E (3, 0)
2. Localize, no plano cartesiano, o segmento cujas extremidades são os pontos P (–1, 4) e Q (3, 0).
–4 –3 –2 –1
4
y
3
2
1
–1
–2
–3 
–4 
0 1 2 3 4
x
ATIVIDADES
–4 –3 –2 –1
y
3
2
1
–1
–2
–3 
–4 
0 1 2 3 4
x
Ao falarmos em localização, não podemos deixar de citar uma 
das descobertas mais importantes sobre esse assunto: a bússola! 
A bússola é um instrumento de orientação baseado em pro-
priedades magnéticas dos materiais ferromagnéticos e do campo 
magnético terrestre. Ela indica, por meiode uma agulha, sempre o 
sentido sul magnético, o que significa indicar, aproximadamente, o 
norte geográfico.
Vamos construir uma bússola?
Materiais:
• copo;
• agulha;
• ímã;
• rolha;
• régua;
• compasso.
• folha de caderno;
Você deve fazer essa experiência com um adulto para lidar com materiais cortantes.
DESENVOLVER E APLICAR Jupiter Im
ages/D
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agens
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As coordenadas cartesianas no plano
A localização de um ponto do plano em um sistema de coordenadas cartesianas já foi estudada. 
Ao estabelecer uma correspondência entre os pontos do plano e o conjunto dos pares ordenados de 
números reais, a cada ponto do plano está associado um, e somente um, par ordenado de números 
reais e, reciprocamente, a cada par ordenado está associado um, e somente um, ponto do plano.
Desse modo, temos:
• o primeiro número real do par ordenado (marcado sobre o eixo x) é denominado 
abscissa do ponto; 
• o segundo número real do par ordenado (marcado sobre o eixo y) é denominado 
ordenada do ponto;
• a abscissa e a ordenada constituem as coordenadas cartesianas do ponto.
Observe o plano cartesiano a seguir.
• 2 é a abscissa e 3 é a ordenada do ponto 
A. Indica-se: A (2, 3);
• –2 é a abscissa e 1 é a ordenada do 
ponto B. Indica-se: B (–2, 1);
• –4 é a abscissa e –2 é a ordenada do 
ponto C. Indica-se: C (–4, –2);
• 5 é a abscissa e –1 é a ordenada do 
ponto D. Indica-se: D (5, –1).
Observações:
• O 0 (zero), na origem, tem abscissa e ordenada nulas.
• Os pontos do eixo x têm ordenada nula, e os pontos do 
eixo y têm abscissa nula.
• Os eixos x e y determinam quatro ângulos, cujos inte-
riores são denominados quadrantes e obedecem à 
seguinte ordem:
–4
–2 0 2
–2
–1
C
1
1
3
5
x
y
D Eixo das 
abscissas.
Eixo das ordenadas.
A
B
B
–1
0
2
x
y
AA (2, 0)
B (–1, 0)
x
C
D
2
–3
C (0, 2)
D (0, –3)
y
2.º quadrante
(–, +)
3.º quadrante
(–, –)
1.º quadrante
(+, +)
4.º quadrante
(+, –)
y
x
Dica para ampliar 
o trabalho
O sistema de coordenadas 
cartesianas é um esquema reti-
culado, necessário para especi-
ficar pontos num determinado 
“espaço” com n dimensões. 
É chamado de cartesiano 
em homenagem ao seu criador, 
o matemático e filósofo francês 
René Descartes (1596-1650), 
cujos trabalhos permitiram 
o desenvolvimento de áreas 
científicas como a geometria 
analítica, a euclidiana, o cálculo 
e a cartografia.
[...]
Em 1619, ele percebeu que 
a ideia de determinar posições 
utilizando retas, escolhidas 
como referência, poderia ser 
aplicada à Matemática. Para 
isso, usou retas numeradas, ou 
seja, retas em que cada ponto 
corresponde a um número e 
cada número corresponde a um 
ponto, definindo, dessa manei-
ra, um sistema de coordenadas 
na reta. [...]
UFPA. Sistemas de coordenadas 
cartesiano. Disponível em: 
www.ufpa.br/dicas/biome/
biocoorde.htm. Acesso em:
21 ago. 2019.
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 134 16/09/2020 14:33:27
135MATEMÁTICA
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1. Localize, no plano cartesiano, os seguintes pontos:
a) A (2, –3)
b) B (–1, 3)
c) C (0, 2)
d) D (–2, –4)
e) E (3, 0)
2. Localize, no plano cartesiano, o segmento cujas extremidades são os pontos P (–1, 4) e Q (3, 0).
–4 –3 –2 –1
4
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1
–1
–2
–3 
–4 
0 1 2 3 4
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ATIVIDADES
–4 –3 –2 –1
y
3
2
1
–1
–2
–3 
–4 
0 1 2 3 4
x
Ao falarmos em localização, não podemos deixar de citar uma 
das descobertas mais importantes sobre esse assunto: a bússola! 
A bússola é um instrumento de orientação baseado em pro-
priedades magnéticas dos materiais ferromagnéticos e do campo 
magnético terrestre. Ela indica, por meio de uma agulha, sempre o 
sentido sul magnético, o que significa indicar, aproximadamente, o 
norte geográfico.
Vamos construir uma bússola?
Materiais:
• copo;
• agulha;
• ímã;
• rolha;
• régua;
• compasso.
• folha de caderno;
Você deve fazer essa experiência com um adulto para lidar com materiais cortantes.
DESENVOLVER E APLICAR Jupiter Im
ages/D
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agens
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As coordenadas cartesianas no plano
A localização de um ponto do plano em um sistema de coordenadas cartesianas já foi estudada. 
Ao estabelecer uma correspondência entre os pontos do plano e o conjunto dos pares ordenados de 
números reais, a cada ponto do plano está associado um, e somente um, par ordenado de números 
reais e, reciprocamente, a cada par ordenado está associado um, e somente um, ponto do plano.
Desse modo, temos:
• o primeiro número real do par ordenado (marcado sobre o eixo x) é denominado 
abscissa do ponto; 
• o segundo número real do par ordenado (marcado sobre o eixo y) é denominado 
ordenada do ponto;
• a abscissa e a ordenada constituem as coordenadas cartesianas do ponto.
Observe o plano cartesiano a seguir.
• 2 é a abscissa e 3 é a ordenada do ponto 
A. Indica-se: A (2, 3);
• –2 é a abscissa e 1 é a ordenada do 
ponto B. Indica-se: B (–2, 1);
• –4 é a abscissa e –2 é a ordenada do 
ponto C. Indica-se: C (–4, –2);
• 5 é a abscissa e –1 é a ordenada do 
ponto D. Indica-se: D (5, –1).
Observações:
• O 0 (zero), na origem, tem abscissa e ordenada nulas.
• Os pontos do eixo x têm ordenada nula, e os pontos do 
eixo y têm abscissa nula.
• Os eixos x e y determinam quatro ângulos, cujos inte-
riores são denominados quadrantes e obedecem à 
seguinte ordem:
–4
–2 0 2
–2
–1
C
1
1
3
5
x
y
D Eixo das 
abscissas.
Eixo das ordenadas.
A
B
B
–1
0
2
x
y
AA (2, 0)
B (–1, 0)
x
C
D
2
–3
C (0, 2)
D (0, –3)
y
2.º quadrante
(–, +)
3.º quadrante
(–, –)
1.º quadrante
(+, +)
4.º quadrante
(+, –)
y
x
Resposta
1. 
–2 –1
4
B
D
A
E
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3
2 C
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–1
–2
–3 
–4 
0 1 2 3
x
2. 
–1
4
5
P
Q
y
3
2
1
0 1 2 3
x
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Desenvolver e 
aplicar, o aluno construirá uma 
bússola. Como há materiais 
cortantes, é preciso indicar que 
essa atividade deve ser feita 
com um adulto. Caso ela seja 
feita na escola, peça aos alunos 
que esperem você cortar a rolha 
ou você pode levá-las já corta-
das para que não haja risco de 
acidentes. É possível substituir a 
rolha por uma tampa de garrafa 
de plástico.
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3_
01
Modo de fazer:
Com o compasso, desenhe uma circunferência na folha. Divida essa circunferência em quatro 
partes iguais, formando ângulos retos com o vértice comum no centro. Em seguida, trace as bissetrizes 
desses ângulos e anote os pontos cardeais. Você fez uma rosa dos ventos.
Peça a um adulto que corte uma fatia da extremidade mais estreita da rolha, com 5 cm de 
espessura.
Encha o copo com água, coloque a rolha flutuando bem no meio do copo e apoie a agulha 
imantada sobre a rolha. Cuidadosamente, coloque o copo sobre a rosa dos ventos já desenhada.
Aguarde a agulha se acomodar e verifique a direção para a qual ela está apontando. Ajuste o 
copo com cuidado, para não mover a agulha, de modo que a ponta mais fina coincida com o norte.
Agora, faça a localização de sua casa. Desenhe o cômodo onde você realizou a experiência, 
incluindo móveis, portas e janelas. Trace a rosa dos ventos no centro.
1. Utilizando uma régua e um compasso, construa uma reta numérica. Primeiro, trace uma reta 
e escolha um ponto como origem. Em seguida, escolha uma unidade de medida que será 
padrão e, com a ajuda do compasso, marque os pontos na reta. Depois de construída, marque 
os pontos: 
1
3
1
4
1
2
3
4
, ,− − e .
ATIVIDADES
137MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
_L
1_
U
3_
01
2. O professor de Márcio construiu uma reta numérica com os pontos 4, –2, 0 e 
10
3
, mas Márcio 
não conseguiu marcar os pontos. Complete a reta numérica do Márcio marcando todos os 
pontos que o professor dele havia marcado.
–3 –2 –1 0
O
1 2 3 4 x
3. Veja os pontos a seguir e os localize no plano cartesiano.
• A (–2, –2) 
• B (2, –2) 
• C (2, 2) 
• D (–2, 2) 
• E(–4, 0) 
• F (0, –4) 
• G (4, 0) 
• H (0, 4)
Qual o formato das figuras ABCD, EFGH, AFB, BGC, CHD e DEA?
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
y
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
x
1. (IFSP) Um triângulo é desenhado marcando-se os pontos A(3, 5), B(2, – 6) e C(–4, 1) no Plano 
Cartesiano. O triângulo A’B’C’ é o simétrico do triângulo ABC em relação ao eixo y. Um dos 
vértices do triângulo A’B’C’ é:
a) (3, 5) b) (–2, 6) c) (– 2, –1) d) (–4, 5) e) (4, 1)
DE OLHO NA PROVA
1. Um provedor de acesso à internet cobra uma mensalidade fixa de R$10,00 de seus usuários, 
mais uma parte variável de R$1,00 para cada hora de acesso. A mãe de Paulinho disse que não 
gastaria mais de R$30,00 por mês com internet. Para atender à solicitação de sua mãe, quantas 
horas Paulinho deverá navegar pela internet por mês?
2. Qual é a representação correta do conjunto dos números reais maiores ou iguais a 5?
a) {x ∈  / x > 5}
c) {x ∈  / x ≥ 5}
b) {x ∈  / x ≤ 5}
d) {x ∈  / x < 5}
3. Represente, na reta real, os seguintes intervalos:
a) {x ∈  / x < –5}
c) {x ∈ / –3 ≤ x ≤ 5}
e) [3, 6]
b) {x ∈ / –1 < x < 2}
d) [–2, +∞[
f ) [0, +∞[
VAMOS PRATICAR MAIS?
–3 –2 –1 0 1 2 3 4
−
1
2
−
1
4
1
3
3
4
Resposta
A resposta para a seção 
Desenvolver e aplicar é pessoal.
As respostas para a seção 
Atividades são:
1. A resposta está no Livro do 
aluno.
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 136 16/09/2020 14:33:35
137MATEMÁTICA
Resposta
As respostas para a seção Atividades são:
2. A resposta está no Livro do aluno.
3. 
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
x
y
0
D
E
C
G
B
F
H
A
136 MATEMÁTICA
EF
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U
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01
Modo de fazer:
Com o compasso, desenhe uma circunferência na folha. Divida essa circunferência em quatro 
partes iguais, formando ângulos retos com o vértice comum no centro. Em seguida, trace as bissetrizes 
desses ângulos e anote os pontos cardeais. Você fez uma rosa dos ventos.
Peça a um adulto que corte uma fatia da extremidade mais estreita da rolha, com 5 cm de 
espessura.
Encha o copo com água, coloque a rolha flutuando bem no meio do copo e apoie a agulha 
imantada sobre a rolha. Cuidadosamente, coloque o copo sobre a rosa dos ventos já desenhada.
Aguarde a agulha se acomodar e verifique a direção para a qual ela está apontando. Ajuste o 
copo com cuidado, para não mover a agulha, de modo que a ponta mais fina coincida com o norte.
Agora, faça a localização de sua casa. Desenhe o cômodo onde você realizou a experiência, 
incluindo móveis, portas e janelas. Trace a rosa dos ventos no centro.
1. Utilizando uma régua e um compasso, construa uma reta numérica. Primeiro, trace uma reta 
e escolha um ponto como origem. Em seguida, escolha uma unidade de medida que será 
padrão e, com a ajuda do compasso, marque os pontos na reta. Depois de construída, marque 
os pontos: 
1
3
1
4
1
2
3
4
, ,− − e .
ATIVIDADES
137MATEMÁTICA
EF
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01
2. O professor de Márcio construiu uma reta numérica com os pontos 4, –2, 0 e 
10
3
, mas Márcio 
não conseguiu marcar os pontos. Complete a reta numérica do Márcio marcando todos os 
pontos que o professor dele havia marcado.
–3 –2 –1 0
O
1 2 3 4 x
3. Veja os pontos a seguir e os localize no plano cartesiano.
• A (–2, –2) 
• B (2, –2) 
• C (2, 2) 
• D (–2, 2) 
• E (–4, 0) 
• F (0, –4) 
• G (4, 0) 
• H (0, 4)
Qual o formato das figuras ABCD, EFGH, AFB, BGC, CHD e DEA?
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
y
5
4
3
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1
–1
–2
–3
–4
–5
x
1. (IFSP) Um triângulo é desenhado marcando-se os pontos A(3, 5), B(2, – 6) e C(–4, 1) no Plano 
Cartesiano. O triângulo A’B’C’ é o simétrico do triângulo ABC em relação ao eixo y. Um dos 
vértices do triângulo A’B’C’ é:
a) (3, 5) b) (–2, 6) c) (– 2, –1) d) (–4, 5) e) (4, 1)
DE OLHO NA PROVA
1. Um provedor de acesso à internet cobra uma mensalidade fixa de R$10,00 de seus usuários, 
mais uma parte variável de R$1,00 para cada hora de acesso. A mãe de Paulinho disse que não 
gastaria mais de R$30,00 por mês com internet. Para atender à solicitação de sua mãe, quantas 
horas Paulinho deverá navegar pela internet por mês?
2. Qual é a representação correta do conjunto dos números reais maiores ou iguais a 5?
a) {x ∈  / x > 5}
c) {x ∈  / x ≥ 5}
b) {x ∈  / x ≤ 5}
d) {x ∈  / x < 5}
3. Represente, na reta real, os seguintes intervalos:
a) {x ∈  / x < –5}
c) {x ∈ / –3 ≤ x ≤ 5}
e) [3, 6]
b) {x ∈ / –1 < x < 2}
d) [–2, +∞[
f ) [0, +∞[
VAMOS PRATICAR MAIS?
ABCD é um quadrado, EFGH é 
um quadrado ou losango e AFB, 
BGC, CHD e DEA são triângulos.
A resposta para a seção De 
olho na prova é:
1. E
As respostas para a seção 
Vamos praticar mais? são:
1. Deverá navegar 20 horas ou 
menos.
2. C
3. 
-5 0
a)
2-1 0
b)
6
1
-2
d)
0 3
e)
-1 0
f)
5-3 0
c)
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 137 16/09/2020 14:33:36
138 MATEMÁTICA
139MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
_L
1_
U
3_
01
Coordenadas cartesianas na reta e no plano – Relacionando conceitos
PLANO 
CARTESIANO
no eixo x
≥; ≤; >; <; []
horizontal
contém
organizados em
ordenadas
localizadas na
possui representada na
reta real
representados por
representadasrepresentadas
abscissas
Res posta
4. C
5. E
6. 
0
1
2
(3, 2)
1 2 3
0
1
2
3
4
1 2 3
A lonjura de (3, 2) é 11 cm.
A lonjura de (0, 4) é 16 cm.
138 MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
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1_
U
3_
01
4. O ponto P (–1, 4) pertence ao:
a) eixo x. b) 1.º quadrante. c) 2.º quadrante. d) 3.º quadrante.
5. (OBMEP) O professor Michel aplicou duas provas a seus alunos e divulgou as notas por meio 
do gráfico mostrado abaixo. Por exemplo, o aluno A obteve notas 9 e 8 nas provas 1 e 2, res-
pectivamente; já o aluno B obteve notas 3 e 2. Para um aluno ser aprovado, a média aritmética 
de suas notas deve ser igual a 6 ou maior do que 6. Qual dos gráficos representa a região cor-
respondente às notas de aprovação?
Prova 2
0
5
10
5 10
Pr
ov
a 
1
a) 
0
5
10
5 10
d) 
0
5
10
5 10
b) 
0
5
10
5 10
e) 
0
5
10
5 10
c) 
0
5
10
5 10
6. (OBMEP) A linha poligonal da figura parte da origem e passa por todos os pontos do plano 
que têm coordenadas inteiras não negativas, de acordo com o padrão indicado. A unidade de 
comprimento nos eixos é 1 cm. O comprimento da poligonal da origem até um ponto (a, b) é 
chamado de lonjura de (a,b); por exemplo, a lonjura de (1, 2) é 5 cm.
0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
Determine a lonjura dos pontos (3, 2) e (0, 4).
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 138 16/09/2020 14:33:37
139MATEMÁTICA
139MATEMÁTICA
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1_
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01
Coordenadas cartesianas na reta e no plano – Relacionando conceitos
PLANO 
CARTESIANO
no eixo x
≥; ≤; >; <; []
horizontal
contém
organizados em
ordenadas
localizadas na
possui representada na
reta real
representados por
representadasrepresentadas
abscissas
138 MATEMÁTICA
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1_
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01
4. O ponto P (–1, 4) pertence ao:
a) eixo x. b) 1.º quadrante. c) 2.º quadrante. d) 3.º quadrante.
5. (OBMEP) O professor Michel aplicou duas provas a seus alunos e divulgou as notas por meio 
do gráfico mostrado abaixo. Por exemplo, o aluno A obteve notas 9 e 8 nas provas 1 e 2, res-
pectivamente; já o aluno B obteve notas 3 e 2. Para um aluno ser aprovado, a média aritmética 
de suas notas deve ser igual a 6 ou maior do que 6. Qual dos gráficos representa a região cor-
respondente às notas de aprovação?
Prova 2
0
5
10
5 10
Pr
ov
a 
1
a) 
0
5
10
5 10
d) 
0
5
10
5 10
b) 
0
5
10
5 10
e) 
0
5
10
5 10
c) 
0
5
10
5 10
6. (OBMEP) A linha poligonal da figura parte da origem e passa por todos os pontos do plano 
que têm coordenadas inteiras não negativas, de acordo com o padrão indicado. A unidade de 
comprimento nos eixos é 1 cm. O comprimento da poligonal da origem até um ponto (a, b) é 
chamado de lonjura de (a,b); por exemplo, a lonjura de (1, 2) é 5 cm.
0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
Determine a lonjura dos pontos (3, 2) e (0, 4).
no eixo y
intervalospares ordenados
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140 MATEMÁTICA
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02
Representação do produto cartesiano
Observe os conjuntos A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.
O produto cartesiano de A por B é definido por:
�A × B = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)}
Lê-se: A cartesiano B ou produto cartesiano de A por B.
O produto cartesiano é formado por pares ordenados, nos quais o 1.° elemento do par pertence 
ao conjunto A, e o 2.° elemento do par, ao conjunto B. 
Observações:
• Os pares ordenados são elementos do produto cartesiano de A por B (A × B).
• O par ordenado (3, 1) é diferente do par (1, 3), ou seja, nos pares ordenados, a posição dos ele-
mentos é relevante.
Desse modo, podemos dizer que:
Sendo A e B dois conjuntos não vazios, o produto cartesiano de A por B é um conjunto cujos 
elementos são pares ordenados (x, y), sendo o primeiro elemento pertencente ao conjunto A e 
o segundo elemento pertencente ao conjunto B. 
Representação gráfica e por meio de diagramas
O produto cartesiano A × B pode ser representado no sistema 
cartesiano ortogonal, também conhecido como plano cartesiano. 
Sendo assim, o exemplo anterior pode ser representado como no 
plano cartesiano ao lado.
Todo produto cartesiano A × B pode também ser representado 
por diagramas.
 Exemplo:
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {3, 4}, então 
A × B = {(0, 3), (0, 4), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}.
4
3
2
1
x
y
0 1 2 3 4 5
A
0
1
3
4
2
B
Para aumentar a segurança, certa empresa resolveu identificar os carros com um 
adesivo e, em cada um deles, foi colocado um código formado por uma letra 
(26 letras) e um número (1 a 50). 
Forme dupla com um colega para responder às perguntas abaixo em seus cadernos.
a) Chamando de A o conjunto formado por todas as letras e de B o conjunto formado por todos 
os números, quantos elementos tem A × B?
b) Quantos elementos de A × B apresentam a letra G?
c) Quantos carros podem ser identificados?
d) Alterando os números para o intervalo de 1 a 55, quantos novos códigos podem ser criados?
INTERAÇÃO
A19
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un
idade
140
2. Relações e representação do produto cartesiano
Você já reparou que algumas grandezas dependem de outras? Por exemplo, o valor da conta de 
energia elétrica depende do consumo mensal de luz, a quantidade de carne a ser comprada para um 
churrasco depende da quantidade de pessoas que comparecerão, e o valor pago por uma corrida de 
táxi depende da distância percorrida. Por outro lado, também existem grandezas que não dependem 
umas das outras, como a altura de uma pessoa, que não depende da idade que ela tem.
Você é capaz de reconhecer outras grandezas que têm ou não relação entre si?
• Representação gráfica do 
produto cartesiano
• Representação do produto carte-
siano por meio de diagramas 
• Relação do produto cartesiano
• Domínio e imagem de uma relação
3
Sistema de coordenadas
cartesianas
Escola Digital
Objetivos do capítulo
• Entender o conceito de 
produto cartesiano.
• Representar 
geometricamente e por meio 
de diagramas um produto 
cartesiano.
• Determinar a quantidade 
de elementos de um produto 
cartesiano.
• Resolver problemas 
envolvendo o conceito de 
produto cartesiano.
Realidade aumentada
• Problemas envolvendo 
produto cartesiano
• Domínio e imagem de uma 
relação.
Encaminhamento 
metodológico
Neste capítulo, trabalha-
remos a habilidade EF09MA06, 
indicada na BNCC. Essa é a 
habilidade de compreender 
as funções como relações de 
dependência unívoca entre duas 
variáveis e suas representações 
numérica, algébrica e gráfica 
e utilizar esse conceito para 
analisar situações que envolvam 
relações funcionais entre duas 
variáveis. No texto de abertura, 
converse com os alunos sobre 
as relações entre as grandezas 
valorizando os conhecimentos 
prévios apresentados por eles. 
Eles podem comentar as grande-
zas direta ou inversamente pro-
porcionais já estudadas. Procure 
citar outros exemplos em que há 
interdependência, como o preço 
pago na compra de canetas, que 
depende da quantidade a ser 
comprada; a área de um quadra-
do, que depende da medida do 
seu lado; e o imposto de renda 
pago por um contribuinte, que 
depende de sua renda.
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 140 16/09/2020 14:34:28
141MATEMÁTICA
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Representação do produto cartesiano
Observe os conjuntos A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.
O produto cartesiano de A por B é definido por:
�A × B = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)}
Lê-se: A cartesiano B ou produto cartesiano de A por B.
O produto cartesiano é formado por pares ordenados, nos quais o 1.° elemento do par pertence 
ao conjunto A, e o 2.° elemento do par, ao conjunto B. 
Observações:
• Os pares ordenados são elementos do produto cartesiano de A por B (A × B).
• O par ordenado (3, 1) é diferente do par (1, 3), ou seja, nos pares ordenados, a posição dos ele-
mentos é relevante.
Desse modo, podemos dizer que:
Sendo A e B dois conjuntos não vazios, o produto cartesiano de A por B é um conjunto cujos 
elementos são pares ordenados (x, y), sendo o primeiro elemento pertencente ao conjunto A e 
o segundo elemento pertencente ao conjunto B. 
Representação gráfica e por meio de diagramas
O produto cartesiano A × B pode ser representado no sistema 
cartesiano ortogonal, também conhecido como plano cartesiano. 
Sendo assim, o exemplo anterior pode ser representado como no 
plano cartesiano ao lado.
Todo produto cartesiano A × B pode também ser representado 
por diagramas.
 Exemplo:
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {3, 4}, então 
A × B = {(0, 3), (0, 4), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}.
4
3
2
1
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0 1 2 3 4 5
A
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1
3
4
2
B
Para aumentar a segurança, certa empresa resolveu identificar os carros com um 
adesivo e, em cada um deles, foi colocado um código formado por uma letra 
(26 letras) e um número (1 a 50). 
Forme dupla com um colega para responder às perguntas abaixo em seus cadernos.
a) Chamando de A o conjunto formado por todas as letras e de B o conjunto formado por todos 
os números, quantos elementos tem A × B?
b) Quantos elementos de A × B apresentam a letra G?
c) Quantos carros podem ser identificados?
d) Alterando os números para o intervalo de 1 a 55, quantos novos códigos podem ser criados?
INTERAÇÃO
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un
idade
140
2. Relações e representação do produto cartesiano
Você já reparou que algumas grandezas dependem de outras? Por exemplo, o valor da conta de 
energia elétrica depende do consumo mensal de luz, a quantidade de carne a ser comprada para um 
churrasco depende da quantidade de pessoas que comparecerão, e o valor pago por uma corrida de 
táxi depende da distância percorrida. Por outro lado, também existem grandezas que não dependem 
umas das outras, como a altura de uma pessoa, que não depende da idade que ela tem.
Você é capaz de reconhecer outras grandezas que têm ou não relação entre si?
• Representação gráfica do 
produto cartesiano
• Representação do produto carte-
siano por meio de diagramas 
• Relação do produto cartesiano
• Domínio e imagem de uma relação
3
Sistema de coordenadas
cartesianas
Escola Digital
Encaminhamento metodológico
Explique aos alunos que o produto cartesiano não é comutativo, ou seja, 
A × B ≠ B × A. 
Retome com os alunos o conceito de sistema cartesiano ortogonal, em que duas 
retas são ditas perpendiculares quando formam um ângulo de 90° ao se cruzarem. 
Reforce que essas retas se chamam eixo das abscissas (x) e eixo das ordenadas (y) e que 
o ponto de intersecção entre elas se chama origem.
Resposta
a) 1 300 elementos.
b) 50 elementos.
c) 1 300 carros.
d) 130 novos códigos.
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 141 16/09/2020 14:34:30
142 MATEMÁTICA
143MATEMÁTICA
Relação do produto cartesianoDados os conjuntos A = {0, 1} e B = {2, 3, 7}, se quisermos subconjuntos de A × B em que os pares 
ordenados obedecem à regra ou relação y – x = 2, como podemos determiná-los? 
Primeiro, devemos calcular o produto cartesiano e depois construir o diagrama:
A × B = {(0, 2), (0, 3), (0, 7), (1, 2), (1, 3), (1, 7)}
A
0
1
2
3
7
B
Depois, analisamos e verificamos os subconjuntos que atendem à nossa solicitação. 
Nesse caso, os únicos pares ordenados de A × B que obedecem à regra ou relação y – x = 2 são:
R = {(0, 2), (1, 3)}. Assim, o diagrama de flechas será:
A
0
1
2
3
7
B
Uma relação é qualquer subconjunto de A × B formado por pares ordenados do conjunto A × B. 
Todos os subconjuntos de A × B são relações de A em B. 
Podemos, então, dizer que:
Considerando os conjuntos A e B, denomina-se relação de A em B todo sub-
conjunto R de A × B. 
R é uma relação de A em B se, e somente se, R for subconjunto de A × B. 
Se, eventualmente, os conjuntos A e B forem iguais, todo subconjunto de A × A é chamado de 
relação em A. 
O conjunto R está contido em A × B e é formado por pares ordenados (x, y), em que o elemento 
x ∈ A está relacionado ao elemento y ∈ B, mediante um critério de correspondência, associação ou
relacionamento.
 Exemplo:
Dados os conjuntos A = {–2, 3, 5} e B = {–1, 1, 4, 6, 8} e a relação R = {x > y}, quais são os pares ordenados 
do conjunto R?
Solução:
Observe que o valor de x deve ser maior do que o valor de y nos pares ordenados de A × B. Então, x > y
é o critério de correspondência entre x e y, pertencentes aos conjuntos A e B, respectivamente. 
Portanto, a relação R de A em B é: R = {(3, –1), (3, 1), (5, –1), (5, 1), (5, 4)}
142 MATEMÁTICA
1. Dados A = {–1, 0, 1} e B = {–1, 1}, determine:
a) A × B 
b) B × A 
c) B × B 
2. Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8} e B = {2, 4}, represente, em seu caderno, A × B no plano 
cartesiano. Depois, responda:
a) Quantos pares foram representados? 
b) Quais pares apresentam abscissa igual a 2? 
c) Quais pares apresentam ordenada igual a 6? 
3. Dados A = {–1, 0, 1} e B = {0, 1}, represente, em seu caderno, A × B por meio de um diagrama.
4. Em seu caderno, responda: Quantos pares há em A × B, se A = {2, 3} e B = {4, 5, 6}?
5. Represente graficamente, no plano cartesiano, os produtos cartesianos a seguir.
a) A = {2, 3} e B = {1, 2, 3}
A × B 
b) A = {–1, 0, 2}
A × A 
c) B = {1, 2, 3}
B × B
6. Represente em seu caderno, por meio de um diagrama de flechas, as relações dadas.
a) R = {(5, 4), (0, 2), (1, 2), (3, 5)} b) R = {(1, 4), (2, 4), (–1, 4), (4, 4)}
7. Escreva a relação R representada pelo gráfico, bem como seu domínio e sua imagem.
(–3, 4)
(–4, 3)
(–5, 0)
(0, –5)
(3, –4)
(4, –3)(–4, –3)
(–3, –4)
(0, 5)
y
x
(4, 3)
(3, 4)
(5, 0)
ATIVIDADESResposta
1. 
a) {(–1, –1), (–1, 1), (0, –1),
(0, 1), (1, –1), (1, 1)}
b) {(–1, –1), (–1, 0), (–1, 1),
(1, –1), (1, 0), (1, 1)}
c) {(–1, –1), (–1, 1), (1, –1), (1, 1)}
2. 
6
4
2
6 8420
y
x
a) 8 pares.
b) (2, 2) e (2, 4).
c) Nenhum.
3. 
A
–1
0
1
1
0
B
4. 6 elementos. 
5. 
a) 
3
2
1
0 1 2 3 x
y
b) 
2
1
0 1–1
–1
2 x
y
c) 
0 1 2 3 4 5
1
2
y
x
3
4
6. 
a) A
B
5
0
1
3
4
2
5
b) A
B
1
2
–1
4
4
7. R = {(–5, 0), (–4, 3), (–3, 4), (0, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 0), (4, –3), (3, –4), (0, –5), (–3, –4), (–4, 
–3)} 
D (R) = {–5, –4, –3, 0, 3, 4, 5}
Im (R) = {–5, –4, –3, 0, 3, 4, 5}
Orientação para RA
Esta atividade digital propõe que o aluno encontre os pares ordenados que per-
tencem a um produto cartesiano dado.
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143MATEMÁTICA
143MATEMÁTICA
Relação do produto cartesiano 
Dados os conjuntos A = {0, 1} e B = {2, 3, 7}, se quisermos subconjuntos de A × B em que os pares 
ordenados obedecem à regra ou relação y – x = 2, como podemos determiná-los? 
Primeiro, devemos calcular o produto cartesiano e depois construir o diagrama:
A × B = {(0, 2), (0, 3), (0, 7), (1, 2), (1, 3), (1, 7)}
A
0
1
2
3
7
B
Depois, analisamos e verificamos os subconjuntos que atendem à nossa solicitação. 
Nesse caso, os únicos pares ordenados de A × B que obedecem à regra ou relação y – x = 2 são:
R = {(0, 2), (1, 3)}. Assim, o diagrama de flechas será:
A
0
1
2
3
7
B
Uma relação é qualquer subconjunto de A × B formado por pares ordenados do conjunto A × B. 
Todos os subconjuntos de A × B são relações de A em B. 
Podemos, então, dizer que:
Considerando os conjuntos A e B, denomina-se relação de A em B todo sub-
conjunto R de A × B. 
R é uma relação de A em B se, e somente se, R for subconjunto de A × B. 
Se, eventualmente, os conjuntos A e B forem iguais, todo subconjunto de A × A é chamado de 
relação em A. 
O conjunto R está contido em A × B e é formado por pares ordenados (x, y), em que o elemento 
x ∈ A está relacionado ao elemento y ∈ B, mediante um critério de correspondência, associação ou
relacionamento.
 Exemplo:
Dados os conjuntos A = {–2, 3, 5} e B = {–1, 1, 4, 6, 8} e a relação R = {x > y}, quais são os pares ordenados 
do conjunto R?
Solução:
Observe que o valor de x deve ser maior do que o valor de y nos pares ordenados de A × B. Então, x > y
é o critério de correspondência entre x e y, pertencentes aos conjuntos A e B, respectivamente. 
Portanto, a relação R de A em B é: R = {(3, –1), (3, 1), (5, –1), (5, 1), (5, 4)}
Relação do produto cartesiano 
Dados os conjuntos A = {0, 1} e B = {2, 3, 7}, se quisermos subconjuntos de A × B em que os pares 
ordenados obedecem à regra ou 
Primeiro, devemos calcular o produto cartesiano e depois construir o diagrama:
142 MATEMÁTICA
1. Dados A = {–1, 0, 1} e B = {–1, 1}, determine:
a) A × B 
b) B × A 
c) B × B 
2. Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8} e B = {2, 4}, represente, em seu caderno, A × B no plano 
cartesiano. Depois, responda:
a) Quantos pares foram representados? 
b) Quais pares apresentam abscissa igual a 2? 
c) Quais pares apresentam ordenada igual a 6? 
3. Dados A = {–1, 0, 1} e B = {0, 1}, represente, em seu caderno, A × B por meio de um diagrama.
4. Em seu caderno, responda: Quantos pares há em A × B, se A = {2, 3} e B = {4, 5, 6}?
5. Represente graficamente, no plano cartesiano, os produtos cartesianos a seguir.
a) A = {2, 3} e B = {1, 2, 3}
A × B 
b) A = {–1, 0, 2}
A × A 
c) B = {1, 2, 3}
B × B
6. Represente em seu caderno, por meio de um diagrama de flechas, as relações dadas.
a) R = {(5, 4), (0, 2), (1, 2), (3, 5)} b) R = {(1, 4), (2, 4), (–1, 4), (4, 4)}
7. Escreva a relação R representada pelo gráfico, bem como seu domínio e sua imagem.
(–3, 4)
(–4, 3)
(–5, 0)
(0, –5)
(3, –4)
(4, –3)(–4, –3)
(–3, –4)
(0, 5)
y
x
(4, 3)
(3, 4)
(5, 0)
ATIVIDADES
Encaminhamento metodológico
Explique aos alunos que subconjunto é uma parte do conjunto dado ou calcula-
do. Destaque ainda que, para estabelecer uma relação entre o produto cartesiano de 
A por B, é preciso, antes, estabelecer um critério de correspondência, associação ou
relacionamento, e que esse é, geralmente, dado no enunciado. Se possível, faça mais 
exemplos.
Dica para ampliar o trabalho
Dados os conjuntos A e B, uma relação R de A em B, denotada R : A → B (lê-se: R 
de A em B), é qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B.
Exemplo 1.2
Dados os conjuntos 
A = {1, 3, 5, 7} e B = {3, 9, 15, 20}, a relação R : A → B, tal que 
R = {(a, b)| b = 3a }, é dada expli-
citamente pelos pares orde-
nados R = {(1, 3); (3, 9); (5, 15)}. 
Uma outra maneira de se repre-
sentar uma relação é através do 
diagrama de Venn.
A B
31
93
155
PUC MINAS. Relações e funções. 
Disponível em: 
www.matematica.pucminas.
br/profs/web_walter/oficinas/
Oficina022005.pdf. 
Acesso em: 21 ago. 2019.
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144 MATEMÁTICA
145MATEMÁTICA
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AT
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1_
U
3_
02
Domínio e imagem de uma relação 
Considere A = {–2, 3, 5}, B = {–1, 1, 4, 6, 7} e a relação R = {(3, –1), (3, 1), (3, 4), (5, –1), (5, 1), (5, 4)}.
• Domínio é o conjunto formado pelos primeiros elementos dos pares ordenadospertencentes a R.
Indica-se: D(R) = {3, 5}
• Imagem é o conjunto formado pelos segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R.
Indica-se: Im(R) = {–1, 1, 4}
Podemos utilizar um diagrama de flechas para representar o domínio e a imagem. Também po-
demos fazer essa representação por meio de um gráfico cartesiano.
Diagrama de flechas. Gráfico cartesiano.
A B
–1
1
4
6
7D(R)
Im(R)
–2
3
5
0 x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
–2 –1 1 2 3 4 5
Enquanto o homem atinge a velocidade de, no máximo, 43 km/h, um guepardo pode atingir 
a velocidade de 115 km/h. A tabela a seguir apresenta a velocidade máxima atingida pelos 10 
animais mais velozes do mundo. 
Animal Velocidade* Animal Velocidade*
Falcão peregrino 320 Leoa 80
Guepardo 115 Gnu 80
Agulhão-vela 110 Pato-eider 76
Antilocapra 98 Coiote 69
Gazela 80 Zebra 64
Considere A como o conjunto dos animais e B como o conjunto das velocidades em km/h.
Os dados da tabela também podem ser representados por meio de um diagrama de flechas. 
Agora responda às perguntas que seguem:
a) É correto afirmar que para cada animal há 
somente uma velocidade? 
b) É correto afirmar que para cada velocidade 
há somente um animal? 
DESENVOLVER E APLICAR
*Velocidades em km/h
144 MATEMÁTICA
EF
21
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AT
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1_
U
3_
02
1. Sabendo que A = {1, 2, 3} e B = {2, 4, 6, 8, 10}, 
represente por meio de um diagrama de 
flechas a relação R = {y = 2x}.
 Solução:
A relação R é o subconjunto de A × B forma-
do por pares ordenados em que o segundo 
elemento (y) é igual ao dobro do primeiro (x). 
Assim, R = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}. Por meio de um 
diagrama, temos:
A
1
2
3
B
2
4
6
8
10
2. Sabendo que A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}:
a) determine A × B.
b) represente R = {y > x} no plano cartesiano.
 Solução:
a) A × B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), 
(2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}
b) A relação R é o subconjunto de A × B forma-
do por pares ordenados em que o segundo 
elemento (y) é maior que o primeiro (x). As-
sim, R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}. 
Representando no plano cartesiano, temos:
y
4
3
2
1
0 1 2 3 x
COLOCANDO EM PRÁTICA
1. Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4} e C = {2, 3, 4}, determine:
a) o produto A × B. 
b) o produto A × C. 
c) o produto B × C.
d) a relação R = {y = x + 1} em A × B.
e) a relação S = {y = x – 1} em B × C. 
f) a relação T = {y = x} em A × C.
ATIVIDADES
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Colocando 
em prática, são apresentadas 
algumas atividades seguidas de 
explicações. Se julgar necessá-
rio, realize mais exemplos.
Resposta
1. 
a) A × B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), 
(1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}
b) A × C = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), 
(2, 2), (2, 3), (2, 4)}
c) B × C = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), 
(2, 2), (2, 3), (2, 4),(3, 2), (3, 3),
(3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}
d) R = {(1, 2), (2, 3)}
e) S = {(3, 2), (4, 3)}
f ) T = {(2, 2)}
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Domínio e imagem de uma relação 
Considere A = {–2, 3, 5}, B = {–1, 1, 4, 6, 7} e a relação R = {(3, –1), (3, 1), (3, 4), (5, –1), (5, 1), (5, 4)}.
• Domínio é o conjunto formado pelos primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R.
Indica-se: D(R) = {3, 5}
• Imagem é o conjunto formado pelos segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R.
Indica-se: Im(R) = {–1, 1, 4}
Podemos utilizar um diagrama de flechas para representar o domínio e a imagem. Também po-
demos fazer essa representação por meio de um gráfico cartesiano.
Diagrama de flechas. Gráfico cartesiano.
A B
–1
1
4
6
7D(R)
Im(R)
–2
3
5
0 x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
–2 –1 1 2 3 4 5
Enquanto o homem atinge a velocidade de, no máximo, 43 km/h, um guepardo pode atingir 
a velocidade de 115 km/h. A tabela a seguir apresenta a velocidade máxima atingida pelos 10 
animais mais velozes do mundo. 
Animal Velocidade* Animal Velocidade*
Falcão peregrino 320 Leoa 80
Guepardo 115 Gnu 80
Agulhão-vela 110 Pato-eider 76
Antilocapra 98 Coiote 69
Gazela 80 Zebra 64
Considere A como o conjunto dos animais e B como o conjunto das velocidades em km/h.
Os dados da tabela também podem ser representados por meio de um diagrama de flechas. 
Agora responda às perguntas que seguem:
a) É correto afirmar que para cada animal há 
somente uma velocidade? 
b) É correto afirmar que para cada velocidade 
há somente um animal? 
DESENVOLVER E APLICAR
*Velocidades em km/h
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02
1. Sabendo que A = {1, 2, 3} e B = {2, 4, 6, 8, 10}, 
represente por meio de um diagrama de 
flechas a relação R = {y = 2x}.
 Solução:
A relação R é o subconjunto de A × B forma-
do por pares ordenados em que o segundo 
elemento (y) é igual ao dobro do primeiro (x). 
Assim, R = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}. Por meio de um 
diagrama, temos:
A
1
2
3
B
2
4
6
8
10
2. Sabendo que A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}:
a) determine A × B.
b) represente R = {y > x} no plano cartesiano.
 Solução:
a) A × B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), 
(2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}
b) A relação R é o subconjunto de A × B forma-
do por pares ordenados em que o segundo 
elemento (y) é maior que o primeiro (x). As-
sim, R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}. 
Representando no plano cartesiano, temos:
y
4
3
2
1
0 1 2 3 x
COLOCANDO EM PRÁTICA
1. Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4} e C = {2, 3, 4}, determine:
a) o produto A × B. 
b) o produto A × C. 
c) o produto B × C.
d) a relação R = {y = x + 1} em A × B.
e) a relação S = {y = x – 1} em B × C. 
f) a relação T = {y = x} em A × C.
ATIVIDADES
Encaminhamento metodológico
Neste momento, apresentamos os conceitos de domínio e imagem. Essa será a 
nossa base para o estudo do domínio e da imagem de uma função.
Na seção Desenvolver e aplicar incentive os alunos a fazer a representação dos 
dados da tabela na forma de diagrama de flechas. Este tipo de representação pode 
auxiliar a reposta dos itens a e b,
Resposta
a) Sim.
b) Não.
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 145 16/09/2020 14:34:56
146 MATEMÁTICA
147MATEMÁTICA
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3_
02
1. Sendo A = {–2, 3, 5} e B = {1, 4}, represente:
a) A × B por diagrama. 
b) A × B no plano cartesiano ortogonal.
2. Sendo A = {1, 3} e B = {2, 4}, determine:
a) A × B
c) A2
b) B × A
d) B2
3. Localize no plano cartesiano o triângulo 
cujos vértices são os pontos A (–1, 0), B (4, 0) 
e C (–1, 3) e classifique-o quanto aos ângu-
los. Depois, represente o conjunto X forma-
do pelos vértices desse triângulo.
4. (PUC-Rio) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) 
e C = (x, y) são vértices de um triângulo 
equilátero, então a distância entre A e C é
a) 1 
d) 2
b) 2
e) 3
c) 4 
5. Escreva a relação R representada pelo gráfi-
co, bem como seu domínio e sua imagem.
0
1
2
3
4
1–1 2 3 4 5
y
x
6. Represente, algebricamente, os seguintes 
produtos cartesianos indicados:
a) A × B, em que A = {1, 2} e B = {1, 2, 3} 
b) A², em que A = {0, 1, 2} 
7. (UFSM) Escolhendo aleatoriamente alguns 
números das páginas de um livro adquirido 
numa livraria, foram formados os conjun-
tos A = {2, 5, 6} e B = {1, 3, 4, 6, 8}, sendo R 
a relação definida por R = {(x, y) ∈ A × B |
x ≥ y}. Dessa forma,
a) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8}
b) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6}
c) D(R) = {2,5} e Im(R) = {1, 3, 4, 6}
d) D(R) = {5,6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8}
e) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {4, 6, 8}
8. (OBMEP) A figura mostra três polígonos 
desenhados em uma folha quadriculada. 
Para cada um desses polígonos foi assina-
lado, no plano cartesiano abaixo, o ponto 
cujas coordenadas horizontal e vertical são, 
respectivamente, seu perímetro e sua área. 
I II
III
Á
re
a
Perímetro
C
A B
Qual é a correspondência correta entre os 
polígonos e os pontos? 
a) I C, II B, III A 
b) I  B, II  A, III C 
c) I  A, II  C, III  B 
d) I  A, II  B, III  C 
e) I  C, II  A, III  B
VAMOS PRATICAR MAIS?
146 MATEMÁTICA
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AT
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1_
U
3_
02
1. Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {6, 10}, determine:
a) A × B: 
b) B × A: 
c) B2: 
2. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {–5, 5}, determine o produto cartesiano A × B. Depois, re-
presente-o em um diagrama de flechas e no plano cartesiano.
y
4
5
3
2
1
x43210
-4
-5
-3
-2
-1
-4 -3 -2 -1
ATIVIDADES
3. 
1. O par ordenado (x, y) que satisfaz o sistema de equações 
1 3
9
2 5
4
x y
x y
− =
+ =−





é tal que sua soma x + y vale:
a) -
1
7
b) -
1
6
c) -
1
5
d) -
1
4
e) -
1
3
DE OLHO NA PROVA
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Atividades, é soli-
citado aos alunos que resolvam 
o produto cartesiano B × B, que 
também pode ser representado 
na forma B2.
Resposta
As respostas para a seção 
Atividades são:
1. 
a) A × B = {(1, 6), (1, 10), (2, 6), 
(2, 10), (3, 6), (3, 10)}
b) B × A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), 
(10, 1), (10, 2), (10, 3)}
c) B × B = {(6, 6), (6, 10), (10, 6), 
(10, 10)}
2. A × B = {(1, –5), (1, 5), (2, –5), 
(2, 5), (3, –5), (3, 5)}
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
0 1 2 3
y
x
1
2
3
–5
5
A
Diagrama
B
A resposta para a seção De 
olho na prova é:
1. B
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 146 16/09/2020 14:35:06
147MATEMÁTICA
147MATEMÁTICA
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_M
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1_
U
3_
02
1. Sendo A = {–2, 3, 5} e B = {1, 4}, represente:
a) A × B por diagrama. 
b) A × B no plano cartesiano ortogonal.
2. Sendo A = {1, 3} e B = {2, 4}, determine:
a) A × B
c) A2
b) B × A
d) B2
3. Localize no plano cartesiano o triângulo 
cujos vértices são os pontos A (–1, 0), B (4, 0) 
e C (–1, 3) e classifique-o quanto aos ângu-
los. Depois, represente o conjunto X forma-
do pelos vértices desse triângulo.
4. (PUC-Rio) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) 
e C = (x, y) são vértices de um triângulo 
equilátero, então a distância entre A e C é
a) 1 
d) 2
b) 2
e) 3
c) 4 
5. Escreva a relação R representada pelo gráfi-
co, bem como seu domínio e sua imagem.
0
1
2
3
4
1–1 2 3 4 5
y
x
6. Represente, algebricamente, os seguintes 
produtos cartesianos indicados:
a) A × B, em que A = {1, 2} e B = {1, 2, 3} 
b) A², em que A = {0, 1, 2} 
7. (UFSM) Escolhendo aleatoriamente alguns 
números das páginas de um livro adquirido 
numa livraria, foram formados os conjun-
tos A = {2, 5, 6} e B = {1, 3, 4, 6, 8}, sendo R 
a relação definida por R = {(x, y) ∈ A × B |
x ≥ y}. Dessa forma,
a) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8}
b) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6}
c) D(R) = {2,5} e Im(R) = {1, 3, 4, 6}
d) D(R) = {5,6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8}
e) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {4, 6, 8}
8. (OBMEP) A figura mostra três polígonos 
desenhados em uma folha quadriculada. 
Para cada um desses polígonos foi assina-
lado, no plano cartesiano abaixo, o ponto 
cujas coordenadas horizontal e vertical são, 
respectivamente, seu perímetro e sua área. 
I II
III
Á
re
a
Perímetro
C
A B
Qual é a correspondência correta entre os 
polígonos e os pontos? 
a) I C, II B, III A 
b) I  B, II  A, III  C 
c) I  A, II  C, III  B 
d) I  A, II  B, III  C 
e) I  C, II  A, III  B
VAMOS PRATICAR MAIS?
146 MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
_L
1_
U
3_
02
1. Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {6, 10}, determine:
a) A × B: 
b) B × A: 
c) B2: 
2. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {–5, 5}, determine o produto cartesiano A × B. Depois, re-
presente-o em um diagrama de flechas e no plano cartesiano.
y
4
5
3
2
1
x43210
-4
-5
-3
-2
-1
-4 -3 -2 -1
ATIVIDADES
3. 
1. O par ordenado (x, y) que satisfaz o sistema de equações 
1 3
9
2 5
4
x y
x y
− =
+ =−





é tal que sua soma x + y vale:
a) -
1
7
b) -
1
6
c) -
1
5
d) -
1
4
e) -
1
3
DE OLHO NA PROVA
Resposta
1. 
a) 
b) 
A
–2
1
3
4
5
B
y
x
4
3
2
1
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
2. 
a) A × B = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), 
(3, 4)}
b) B × A = {(2, 1), (2, 3), (4, 1), 
(4, 3)}
c) A² = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}
d) B² = {(2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)}
3. Triângulo retângulo.
4
y
C
A B
x
2
1
0–1 1 2 3 4
3
X = {(–1, 0), (4, 0), (–1, 3)}
4. B
5. 
R = {(x, y) ∈ A × A | x = y}, em 
que A = {1, 2, 3, 4}
6. 
a) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 
2), (2, 3)}
b) {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 
1), (1, 2), (2, 0) (2, 1), (2, 2)}
7. B
8. E
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148 MATEMÁTICA
148 MATEMÁTICA
EF
21
_9
_M
AT
_L
1_
U
3_
02
Relações e representação do produto cartesiano – Relacionando conceitos
dos
dos
associação
relacionamento
correspondência
de
diagramas
1.o elemento
conjunto A
1.o eleme
nto
conjunto B
segundos 
elementos
primeiros 
elementos
segue um
formado pelosformada pelos
constitui-se de
pertence ao
pertence ao
de um
têm
formada pelos
imagem
formado pelos
domínio
subconjunto plano cartesiano diagramas
é um
pode ser 
representada em
RELAÇÃO
cuja notação
é 
representado 
por
em que 
é 
produto cartesiano
constitui-se de
A × B
pares 
ordenados
critério
pares ordenados
correspondência
2.o elemento
primeiros 
elementos
imagem
produto cartesiano
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MATEMÁTICA XXIX
Referências
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www2.cead.ufv.br/serieconhecimento/wp-content/uploads/2015/06/desenho-geometrico.pdf. Acesso em: 23 ago. 2019.
ALVES, Sérgio. Geometria do Globo Terrestre. In: Apostila 6: Geometria do Globo Terrestre; Os três problemas clássicos da 
matemática grega; A matemática dos códigos de barras. Rio de Janeiro: IMPA/OBMEP, 2015. Disponível em: http://www.
obmep.org.br/docs/apostila6.pdf. Acesso em: 23 ago. 2019.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Base Nacional Comum Curricular. Educação é a B ase. Versão 
Final. Brasília: MEC/CONSED/UNDIME, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/. Acesso em: 14 jun. 2019.
CHEMALE, Elena Hass; KRUSE, Fábio. Curiosidades Matemáticas. Novo Hamburgo: FEEVALE, 1999.
FONSECA, Flávia Massaro; VIZIOLI, Simone Helena Tanoue. Os desenhos de Villard de Honnecourt e o processo projetivo na 
Idade Média. In: SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA E TECNOLÓGICA DA USP, 22., São Paulo. Anais [...]. São 
Paulo: Pró-Reitoria de Pesquisa/USP, 2014. Disponível em: https://uspdigital.usp.br/siicusp/siicPublicacao.jsp?codmnu=7210. 
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IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar: volume 6. São Paulo: Atual, 2013. 206 p.
IMENES, Luiz Márcio; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Álgebra. São Paulo: Atual, 2009. 48 p.
OLIVEIRA, Kepler de Sousa; SARAIVA, Maria de Fátima Oliveira. Isaac Newton. In: OLIVEIRA, Kepler de Sousa; SARAIVA, Maria de 
Fática Oliveira. Astronomia e Astrofísica. São Paulo: Livraria da Física, 2017. Disponível em: http://astro.if.ufrgs.br/newton/
newton.htm. Acesso em: 23 ago. 2019.
MACHADO, Silvia Dias Alcântara. (org.). Educação Matemática: uma (nova) introdução. São Paulo: EDUC, 2008. 254 p.
O QUE é Latitude e Longitude. SignificadosBR. c2019. Disponível em: www.significadosbr.com.br/latitude-e-longitude. 
Acesso em: 23 ago. 2019.
OGASSAWARA, Elenice Lumico; GIOVANNI, José Ruy; FERNANDES, Tereza Marangoni. Desenho Geométrico: novo. São Paulo: 
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OLIVEIRA, Hélia; PONTE, João Pedro. Marcos históricos no desenvolvimento do conceito de potência. Revista Educação & 
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PORTAL DO PROFESSOR. Plano de aula de Matemática: Radicalizando. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.
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SADOVSKY, Patricia. O ensino de matemática hoje. Rio de Janeiro: Ática, 2010. 112 p.
SANTOS, José Carlos. Números. Portugal: Universidade do Porto, 2014. 299 p.
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MATEMÁTICAXXX
PG21LP291SDM0_MIOLO_EF21_9_MAT_L1_LP.indb 30 16/09/2020 14:35:11
Sem título-2 205 06/03/2020 19:42:38
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