Modelo_Entrega_Fase3 (2) ATUALIZADO

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CURSO: ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO
 PROJETO: FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA – MATEMÁTICA I
 NOME:RAFAEL ALVES
 MATRICULA: 24115348
Fase 1.
INTRODUÇÃO
No contexto da criação de embalagens, a eficiência no uso de diferentes sólidos geométricos desempenha um papel crucial, ao selecionar o formato adequado para uma embalagem é essencial considerar não apenas sua estética, mas também sua capacidade de armazenamento e utilização eficiente do material. 
Nesta análise, exploraremos cinco sólidos geométricos fundamentais: cilindro, cone, pirâmide quadrangular, cubo e esfera, para cada um desses sólidos, examinaremos suas funções de área lateral e volume, as quais são medidas cruciais na determinação da eficiência de uma embalagem. Além disso, investigaremos a razão entre o volume e a área lateral de cada sólido, fornecendo uma melhor visão sobre sua utilidade na criação de embalagens otimizadas em termos de espaço e material.
OBJETIVO DA FASE
O objetivo dos dados coletados sobre os sólidos geométricos, incluindo suas funções de área lateral e volume, é fornecer uma base sólida para a análise da eficiência na criação de embalagens.
Esses dados são fundamentais para entender como diferentes formas geométricas influenciam a capacidade de armazenamento, uso de material e praticidade das embalagens.
Ao coletar e analisar esses dados, podemos alcançar vários objetivos como, otimização de espaço, minimizar o uso de materiais calculando quais matérias necessitam de menos material para uma maior quantidade de volume, facilidade de armazenamento e transporte, visual e estética.
Cilindro
Área lateral: Al= 2 π.r.h
Volume: Ab.h ou V = π.r².h
Razão: _V_ = π.r².h = _r_
 Al 2 π.r.h 2
Cone
Área lateral: Al = π.r.g
Volume: V = π.r². h
 3
Razão: _V _= π.r². h.1/3 = h
 Al π.r.g 3
Pirâmide quadrangular
Área lateral: Al= 4.b.h
 2
Volume: V= 1/3 Ab.h
Razão: V = 1/3 Ab.h = 2h
 Al 4.b.h.1/2 3l
Cubo
Área lateral: Al = 4.a²
Volume: V = a3
Razão: V = _a³_ = a
 A 4a² 4
Esfera
Área lateral: 4.π.r²
Volume: V= 4/3. π.r³
Razão: 4/3. π.r³ = r
 4.π.r² 3
Fase 2.
OBJETIVO DA FASE
O estudo da relação entre área e volume de sólidos geométricos, como cilindros, esferas e cubos, é o foco fundamental do projeto. Serão examinadas as equações que descrevem a área e o volume de cada sólido usando suas dimensões (raio, altura e lado). Além disso, a razão entre volume e área será calculada e examinada. O objetivo é encontrar os pontos máximos e mínimos dessa razão.
DESENVOLVIMENTO DA FASE
Cilindro
Área Lateral: Al=2πrh
Derivando em relação ao raio r e altura ℎ:
dAl/dr = 2πh
dAl/dh = 2πh
Área Total
At=2πr(r+h)
Derivando em relação ao raio r e altura h:
dAl/dr = 2π(2r+h)
dAl/dh = 2πh
Volume:
V=πr²h
Derivando em relação ao raio r e altura h:
dAl/dr = 2πr+h
dAl/dh = πr²
Esfera
Área da Superfície:
A=4πr2
Derivando em relação ao raio r:
dA/dr=8πr
Volume:
V=4/3πr³
Derivando em relação ao raio r:
Dr/dV=4πr²
Cubo
Área da Superfície:
A=6s²
Derivando em relação ao lado s:
dA/dS=12s
Volume:
V=s³
Derivando em relação ao lado s:
Ds/dV=3s²
Essas são as funções derivadas para a área e o volume de cada sólido estudado. Com essas derivadas, podemos prosseguir com uma análise matemática para calcular a razão volume/área e determinar os pontos críticos.
	Verificar pontos de máxima e mínima de da razão entre o volume e área de cada sólido.
Cilindro
Razão: V/At = πr2h/2 πr(r+h)
Derivando em relação ao raio r e altura h:
d/dr (V/At) = 2 πrh(r+h)- πr²(2r+h)/(2 πr(r+h))²
d/dh (V/At) = πr²(r-h)/(2 πr(r+h))²
Igualando a zero e resolvendo para r e h encontraremos os pontos críticos.
Esfera
Razão: V/A= 4/3πr3/4 πr²
Derivando em relação ao raio r:
d/dr(V/A) = 4 πr² - 8/3 πr³/(4 πr²)²
Igualando a zero e resolvendo para encontraremos os pontos críticos.
Cubo
Razão: V/A = s³/6s²
Derivando em relação ao lado s:
Ds/d (V/A) = 3s²-12s/(6s²) ²
Igualando a zero e resolvendo para s encontraremos os pontos críticos.
Depois de encontrar os pontos críticos para cada sólido, podemos usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza desses pontos (máximo ou mínimo), se a segunda derivada for positiva, o ponto crítico é um mínimo, se for negativa, é um máximo.
O sólido com mais eficiência para produções de embalagens comerciais é o cubo.
As vantagens são: Melhor eficiência em termos de utilização de espaço, sendo capaz de preencher completamente o espaço disponível. É fácil de empilhar e transportar.
Fase 3.
OBJETIVO DA FASE
De posse das informações anteriores, podemos achar o valor numérico da razão volume/área para cada sólido já estudado e tomar estes resultados como parâmetro para buscar uma solução mais eficiente para a fabricação de embalagens ou outros serviços que sejam necessário a utilização de formas geométricas.
 
DESENVOLVIMENTO DA FASE
Cilindro
Volume do Cilindro:
V=πr²h = 1000cm³
1000= πr².10
R²=
R=
R ≈ 5.64cm
Área lateral do cilindro:
Al=2πrh
Al​=2π⋅5.64⋅10
Al​≈354.4cm2
Razão volume/área lateral do cilindro:
Cone
Volume do cone:
V=
1000= .10
R²=
R= ≈ 9,77cm
Geratriz do cone (s):
s= 
s= 
s≈ 13.87cm
Área lateral do cone:
Al​=πrs
Al​=π⋅9,77⋅13.87
Al​≈425.0cm2
Razão volume/área lateral do cone:
Pirâmide Quadrangular
Volume da pirâmide:
V=​Bh=1000cm3
1000= 
B= 
B= 300cm²
Base(b):
b= 
b= 
b≈17.32
Apótema (l):
L= 
L= 
L≈13.23cm
Área lateral da pirâmide:
Al= pl
p= 4b=4.17,32=69,28cm
Al= 
Al≈ 458,4cm²
Razão volume/área lateral da pirâmide:
Cubo
Volume do cubo:
V=a³=1000cm³
a= 
Área lateral do cubo:
Al​=4a²
Al​=4.10²
Al​=400cm²
Razão volume/área lateral do cubo:
Esfera
Volume da esfera:
r≈ 
r≈ 6,2cm
Área da esfera:
A=4πr²
A≈4π.6,2²
A≈482,8cm2
Razão volume/área da esfera:
Comparação das Razões Volume/Área
Cilindro: 
Cone: 
Pirâmide: 
Cubo: 
Esfera: 
Busca por Soluções Mais Eficientes Usando Sólidos de Revolução
Para encontrar uma geometria mais eficiente, podemos considerar um sólido de revolução gerado pela rotação de uma curva y=f(x) em torno de um eixo. A ideia é escolher uma função f(x) que minimize a área superficial para um volume fixo.
Esferoide Oblato
Vamos considerar um esferoide oblato, que é uma esfera achatada nos polos.
Volume do esferoide oblato:
V=
Onde a é o semieixo maior e c é o semieixo menor.
Para manter V=1000cm³:
1000=
Área do esferoide oblato:
Para encontrar os valores numéricos, podemos fixar uma das dimensões e calcular a outra. Suponha
c=5cm:
1000=​πa².5
a²= 
a≈≈6.91cm
Agora, calculamos a área:
Razão volume/área do esferoide oblato:
Conclusão
Comparando as razões volume/área:
· Cilindro: 2.82
· Cone: 2.35
· Pirâmide Quadrangular: 2.18
· Cubo: 2.5
· Esfera: 2.07
· Esferoide oblato: 2.58
O cilindro continua sendo a forma mais eficiente em termos de maximização da razão volume/área com as especificações dadas. No entanto, a busca por outras geometrias, como o esferoide oblato, pode ser uma direção promissora para otimização adicional, dependendo das restrições de design e fabricação.
 
Referências bibliográficas
· Stroud, K.A., and Dexter J. Booth. Engineering Mathematics. 7th Edition, Palgrave Macmillan, 2013.
· Riley, K.F., M.P. Hobson, and S.J. Bence. Mathematical Methods for Physics and Engineering. 3rd Edition, Cambridge University Press, 2006.
· Altshiller-Court, Nathan. Solid Geometry. Dover Publications, 2007.
· Site: Brasil escola. Disponivel: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-de-solidos-geometricos.htm
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