recursos computacionais no ensino de matematica

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Recursos Computacionais no Ensino 
de Matemática (MA36) 
Victor Giraldo (UFRJ), Francisco Mattos (UERJ), Paulo 
Caetano (UFSCar) 
Concepção do Material 
 De forma geral, o livro é estruturado por atividades 
seguidas de discussão sobre essas atividades, enfocando: 
• objetivos; 
• conteúdos matemáticos tratados; 
• papel do uso da tecnologia (vantagens e limitações). 
 Essas discussões não são precedidas de textos teóricos de 
educação matemática ou sobre tecnologias no ensino. Os 
docentes responsáveis pela disciplina podem acrescentar 
textos com essas características, quando considerarem 
apropriados. 
 Toda a reflexão sobre o uso de tecnologias digitais em sala de 
aula de Matemática é organizada a partir das discussões 
sobre as atividades propostas. 
Concepção do Material 
 As atividades são planejadas para execução, prioritariamente, em 
softwares gratuitos. Os capítulos são organizados pelos tipos de 
recursos empregados. 
 Entretanto, o foco da discussão não está nos softwares ou nos 
recursos computacionais específicos, e sim nas atividades 
em si. Assim, muitas atividades podem ser feitas com diversos 
softwares diferentes. 
 O livro não é concebido para ser um manual de uso de softwares 
educacionais, mas sim para aprofundar a reflexão dos 
professores sobre o uso de tecnologias digitais em sala de 
aula de Matemática. 
 O objetivo é capacitar o professor para planejar a integração de 
tecnologias digitais na sala de aula, escolhendo softwares e recursos 
de acordo com as especificidades de cada contexto. 
 
Concepção do Material 
 Procuramos explorar não só as potencialidades técnicas dos 
softwares, mas sobretudo suas limitações (erros de 
arredondamento, interpolação, etc.). 
 Os objetivos são: 
• evitar que os alunos formem uma ideia sobre o computador 
como “critério absoluto de validação de fatos matemáticos”, 
mostrando que os resultados da máquina devem sempre ser 
interpretados à luz de argumentos matemáticos (e não ao 
contrário); 
• aproveitar a exploração dessas limitações para aprofundar a 
compreensão dos alunos da “Matemática que está por trás”. 
 
 
Concepção do Material 
 De forma geral, as atividades procuram conduzir a conclusões 
e generalizações matemáticas, sem o apoio do 
computador. 
 Os professores devem ser orientados no sentido de que, em 
sala de aula, as atividades com o computador devem, sempre 
que possível, ser complementadas com discussões e 
argumentações matemáticas, sem o uso de tecnologias. 
 As abordagem pedagógica com o uso de tecnologias digitais 
deve ser planejada de tal forma que a aprendizagem dos 
conceitos matemáticos dos alunos não dependa 
permanentemente do apoio dessas tecnologias. 
 
Concepção do Material 
 De forma geral, as atividades não são planejas para a aplicação 
direta em sala de aula. 
 O objetivo é capacitar o professor a refletir e avaliar o 
uso de tecnologias e, a partir daí, criar suas próprias 
atividades, de acordo com as especificidades de cada público 
de alunos. Este deve ser o principal papel da disciplina. 
 Muitas atividades estão em nível superior à Matemática dos 
ensinos fundamental e médio, visando colocar o professor em 
uma posição de aprendiz com o uso de tecnologias, com 
estratégia para promover as reflexões acima. 
 
Concepção do Material 
 Visando as considerações feitas anteriormente, ao final de cada 
grupo de atividades com objetivos (mais ou menos) 
semelhantes são propostas atividades de fechamento do 
tipo: 
 
Concepção do Material 
 Os professores-cursistas devem ser estimulados a fazer essas 
atividades de fechamento e trazer suas propostas para 
discussão em sala de aula, com os colegas e docente 
responsável pela disciplina. 
 Recomendamos também que as atividades de fechamento 
sejam empregadas na avaliação da disciplina. 
 
Concepção do Material 
 O livro é estruturado em 8 capítulos, divididos em seções, 
totalizando 24 seções. 
 Na estrutura do PROFMAT, cada seção corresponde a uma 
Unidade. Em cada semana de aulas, são abordadas 2 
Unidades. 
 Nesta oficina, discutiremos atividades dos 5 capítulos iniciais: 
1. O Uso da Calculadora no Ensino de Matemática 
2. Planilhas Eletrônicas 
3. Ambientes Gráficos 
4. Ambientes de Geometria Dinâmica 
5. Sistemas de Computação Algébrica e Simbólica 
 
Recursos Computacionais no Ensino de Matemática
Victor Giraldo (UFRJ)
Paulo Caetano (UFSCar)
Francisco Mattos (UERJ / CP2)
13 de Janeiro de 2012
Conteúdo
1 O Uso da Calculadora no Ensino de Matemática 5
1.1 Operações e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Aproximações, Arredondamentos e Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Planilhas Eletrônicas 17
2.1 Simbologia Algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Tratamento da Informação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Ambientes Gráficos 31
3.1 Articulando Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Faḿılias de Funções Dependendo de Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Pontos de Vista e Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Mais Explorações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Ambientes de Geometria Dinâmica 63
4.1 Explorando a Geometria de Forma Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Aprofundando a Exploração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Articulando Geometria e Funções: Manipulando Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 Articulando Geometria e Funções: Novos Olhares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Sistemas de Computação Algébrica e Simbólica 81
5.1 Explorando Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Operando com Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Conceitos Básicos do Cálculo Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4 Explorações Aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 Ensino a Distância 91
6.1 Ambientes Virtuais de Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 Aprendizagem Colaborativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3 Projetos de Ensino a Distância – Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 Projetos de Ensino a Distância – Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7 Pesquisas Eletrônicas, Processadores de Texto e Hipertexto 99
7.1 Pesquisas Eletrônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2 Processadores de Texto e Hipertexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8 Critérios e Instrumentos para Avaliação de Softwares Educativos 115
8.1 Avaliação de Softwares Educativos – Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.2 Avaliação de Softwares Educativos – Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3
Caṕıtulo 1
O Uso da Calculadora no Ensino de
Matemática
Introdução
A entrada das tecnologias digitais na sala de aula de Matemática, sobretudo nas últimas duas décadas,
foi acompanhada de um intenso debate sobre seus efeitos na aprendizagem. Inicialmente, este debate,
que não se restringiu ao Brasil e se espalhou por todos os páıses em que recursos computacionais foram
sistematicamente introduzidos na escola, concentrou-se na tentativa de responder à questão se tais
efeitos seriam “benéficos” ou “maléficos”. Por exemplo, especificamente sobre o uso de calculadoras
no ensino de Matemática, o pesquisador inglês David Tall [57] já observava há 10 anos passados:
O uso de calculadoras e computadoresem Matemática nem sempre tem sido tão bem sucedido
quanto poderia ser. Na Inglaterra, o uso de calculadoras com crianças tem sido desencorajado na
esperança de que sua ausência permitiria que as crianças construissem relações aritméticas men-
tais. Talvez esta atitude tenha mais a ver com o mal uso da calculadora (para efetuar cálculos
sem ter que pensar) do que com qualquer falha inerente ao próprio aparato. Bem usada – para
encorajar reflexão sobre idéias matemáticas – a calculadora pode ser muito benéfica.
David Tall, 2001, p.212 (tradução nossa)
Neste sentido, temores iniciais de que o uso de calculadoras na sala de aula, por si só, atrofiaria
as habilidades aritméticas dos alunos eram, de certa forma, mal colocados. Os efeitos da ferramenta
na aprendizagem estão muito mais relacionados com a forma como ela é usada do que com suas
caracteŕısticas intŕınsecas. De fato, esta constatação aplica-se a qualquer tecnologia usada no ensino,
seja esta de natureza computacional ou não. Hoje, as tecnologias digitais estão cada vez mais presentes
em praticamente todos os setores da atividade humana, portanto não faria sentido bani-las da sala de
aula – sob pena de tornar a escola tão anacrônica em relação à vida exterior a seus muros a ponto de ter
um efeito inócuo na formação dos alunos. Paralelamente a isso, a reflexão sobre os usos pedagógicos
dessas tecnologias vem amadurecendo. Assim, o foco do debate deslocou-se da questão de se as tecno-
logias digitais têm efeitos benéficos para a aprendizagem, para a questão de como usá-las de forma
que seus efeitos sejam benéficos para a aprendizagem.
As calculadoras são certamente as tecnologias digitais mais simples, baratas e de mais fácil uso.
Mesmo as calculadoras com menos recursos matemáticos podem ser usadas de forma a enriquecer signi-
ficativamente a abordagem. Seu uso como instrumento didático oferece ao contexto de sala de aula, em
situações espećıficas, uma metodologia de ensino que permite ao professor dinamizar de modo simples
as aulas teóricas tratadas geralmente com metodologias tradicionais. O objetivo central deste primeiro
5
6 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Caṕıtulo é discutir como é posśıvel desenvolver atividades pedagógicas1 interessantes e enriquecedoras
mesmo quando se dispõe apenas de recursos computacionais ḿınimos. Por isso, todas as atividades
propostas podem ser feitas com a calculadoras simples (em geral chamadas calculadoras de bol-
so), que dispõem apenas das quatro operações elementares. Atividades de natureza mais complexa, que
demandariam mais recursos tecnológicos serão abordadas nos caṕıtulos subsequentes. O Caṕıtulo está
dividido em duas seções: na primeira, o foco das atividades estará mais na estrutura as operações e suas
propriedades; e na segunda nas caracteŕısticas da representação decimal, com ênfase em aproximações
e erros.
1.1 Operações e Propriedades
Nesta seção, propomos atividades com objetivo de utilizar a calculadora para enriquecer a aprendizagem
da estrutura das operações elementares (principalmente com números inteiros) e suas propriedades. Em
geral, essas propriedades são ensinadas como “regras”, enunciadas no quadro negro. Atividades com
a calculadora podem articular-se com a abordagem tradicional de sala de aula, oferecendo aos alunos
uma oportunidade de lidar com a estrutura das operações de forma mais concreta e dinâmica.
Para que esses objetivos sejam atingidos, é fundamental que os alunos sejam encorajados a in-
terpretar matematicamente os resultados da máquina e a desenvolver uma atitude cŕıtica
em relação a estes – em lugar de simplesmente aceitá-los como verdades inquestionáveis. Assim,
o papel da calculadora em sala de aula não deve se limitar a apenas “conferir” resultados obtidos
manualmente. Seu uso é mais rico em situações cuja interpretação pelos alunos leve ao aprofundamento
da compreensão sobre as propriedades matemáticas envolvidas, por exemplo, por meio da exploração de
resultados inesperados ou aparentemente errados. Por este motivo, o papel do professor em planejar e
aplicar adequadamente as atividades é decisivo – não é a calculadora, por si só, que pode trazer efeitos
positivos (ou negativos) à aprendizagem, e sim a forma como ela é empregada em sala de aula.
Atividades
1. Considere os números: 49, 71 e 180. Com a ajuda da calculadora, construa exemplos de operações
(adição, subtração, multiplicação e divisão), que tenham cada um desses números como resulta-
dos.
(a) Primeiro, dê exemplos de operações envolvendo apenas números naturais.
(b) Agora, use quaisquer números (podendo ser inteiros, racionais ou irracionais).
2. Suponha que você queira fazer uma conta envolvendo números grandes, como por exemplo:
987123 × 110357. É bem provável que use uma calculadora para obter o resultado. Como
se tratam de números com muitos algarismos, mesmo com uma calculadora, não é imposśıvel
enganar-se ao digitar algum algarismo e obter um resultado errado.
(a) Suponha que depois de digitar os dados, tenha aparecido no visor o seguinte resultado:
989455911. Este resultado pode estar certo? Justifique a sua resposta.
(b) Constatando que o resultado anterior não estava correto, você apaga e digita novamente os
dados. Desta vez o visor mostra o seguinte: 108935822554. E este resultado, pode estar
certo? Justifique a sua resposta.
(c) Quantos algarismos você espera que o resultado tenha?
1Grande parte as atividades propostas neste Caṕıtulo foram inspiradas ou adaptadas diretamente de [46]. Agradecemos
o autor e amigo Carlos Mathias pelas ideias e conversas inspiradoras.
1.1. OPERAÇÕES E PROPRIEDADES 7
(d) Qual deve ser o último algarismo do resultado?
(e) Você seria capaz de descobrir que erros você cometeu nos ı́tens (a) e (b)?
3. Suponha que você queira saber o resultado da conta 7× (581 + 399), com ajuda de uma calcu-
ladora. Você digita os dados e a máquina fornece o resultado 4466. O resultado está correto? O
que você acha que aconteceu?
As atividades iniciais 1 a 3 procuram explorar apenas as propriedades das operações elementares,
sendo apropriadas para alunos do 1o. segmento ou do ińıcio do 2o. segmento de ensino fundamental. A
atividade 1 tem por objetivo inverter a lógica usual de resolver contas e obter resultados, propondo que
os alunos inventem diferentes contas que levem a um mesmo resultado dado. O exerćıcio de inventar
contas pode ser explorado pelo professor para a reflexão sobre as propriedades das operações, além
de colaborar com a prática de cálculo mental, estimulando os estudantes a pensarem sobre a relação
entre as ordens de grandeza do resultado e dos operandos. Para isso, o professor pode ainda incluir na
atividade questões chave mais direcionadas, como por exemplo:
• Quantas multiplicações você consegue exibir, envolvendo apenas números naturais, cujo resultado
seja 49? E 71? E 180?
• Observando que 90 + 90 = 180, como você pode descobrir outras contas de adição que dêem o
mesmo resultado?
• Observando que 2× 90 = 180, como você pode descobrir outras contas de multiplicação, apenas
com números inteiros, que dêem o mesmo resultado?
• Observando que 2 × 90 = 180, como você pode descobrir outras contas de multiplicação, com
números inteiros ou frações, que dêem o mesmo resultado?
• Pode existir uma adição, envolvendo apenas números naturais, cujo resultado seja 49 e uma das
parcelas seja 60?
• Pode existir uma adição, envolvendo números inteiros, cujo resultado seja 49 e uma das parcelas
seja 60?
• Pode existir uma multiplicação, envolvendo apenas números naturais, cujo resultado seja 49 e um
dos fatores seja 60?
• Pode existir uma multiplicação, envolvendo apenas números naturais, cujo resultado seja 49 e um
dos fatores seja 40?
• Pode existir uma multiplicação cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 60?
• Pode existiruma multiplicação cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 40?
• Em uma adição, quando você aumenta uma das parcelas, o que deve acontecer com a outra para
que o resultado não se altere?
• Em uma subtração, quando você aumenta um dos termos, o que deve acontecer com o outro
para que o resultado não se altere?
• Em uma multiplicação, quando você aumenta um dos fatores, o que deve acontecer com o outro
para que o resultado não se altere?
• Em uma divisão, quando você aumenta o dividendo, o que deve acontecer com o divisor para que
o resultado não se altere?
• Que propriedades das operações você empregou para chegar às conclusões acima?
8 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Questões como as exemplificadas acima podem contribuir com a compreensão de algumas proprie-
dades importantes das operações. Por exemplo, quando adicionamos um número a uma das parcelas
de uma soma, para manter o mesmo resultado, devemos subtrair o mesmo número da segunda parcela.
Verificações análogas podem ser propostas para as demais operações. Tais verificações podem favorecer
a exploração da relação entre as operações e sua respectivas inversas, além da relação entre as ordens
de grandeza do resultado e dos operandos. As questões podem ainda ser empregadas na exploração das
limitações das operações em cada um dos conjuntos numéricos. Em particular, é importante chamar
atenção para o fato de que a quantidade de multiplicações resultando em número dado está relacionada
com a quantidade de fatores primos deste número (por exemplo, no caso da atividade 1 proposta acima,
são dados um número primo e dois números compostos, sendo um quadrado de um primo e o outro com
diversos divisores distintos). Finalmente, o exerćıcio de procurar por um dos termos de uma operação,
dados o outro termo e o resultado, pode ser explorado como uma introdução à noção de equação.
Na atividade 1, o papel da calculadora é apenas o de dar mais agilidade aos cálculos, permitindo
que o aluno foque mais atenção na reflexão sobre o comportamento dos resultados e as propriedades
operatórias empregadas. É importante observar que a atividade não deve se resumir à mera
verificação de resultados com a calculadora. Seu desenvolvimento em sala de aula deve
sempre incluir as justificativas matemáticas desses resultados. Por outro lado, o uso da calcu-
ladora em sala de aula não precisa – e não deve – limitar-se simplesmente a facilitar ou conferir contas.
As atividades 2 e 3 enfocam a interpretação cŕıtica de resultados produzidos por usos errôneos da
calculadora, visando estimular a formação de uma expectativa para os resultados, e o desenvolvimento
prática da verificação por meio de estimativas e cálculo mental.
Quando os alunos no ensino fundamental memorizam os algoritmos das operações, sem entender sua
estrutura, dificilmente eles desenvolverão qualquer noção das relações entre o resultado e os operandos.
Nestes casos, resultados provenientes de erros na aplicação dos algoritmos são aceitos, mesmo quando
claramente incompat́ıveis com a conta efetuada. Se os cálculos são feitos com a calculadora, os resul-
tados são geralmente aceitos como corretos sem hesitação.
Na atividade 2, podemos verificar que os resultados dados nos ı́tens 2a e 2b são incompat́ıveis com
os fatores da multiplicação. Uma estimativa simples fornece-nos uma ideia da ordem de grandeza dos
resultado da conta. Como 987123 > 9×105 e 110357 > 105, então 987123×110357 > 9×105×105 =
9×1010, isto é, 987123×110357 tem pelo menos 11 algarismos. Além disso, como os fatores terminam
com os algarismos 3 e 7, o último algarismo do produto deve ser necessariamente 1. Os resultados
989455911 e 108935822554 dos 2a e 2b são obtidos pela omissão ou troca de algarismos na conta.
Assim, 989455911 = 87123× 11357 e 108935822554 = 987122× 110357. De forma semelhante, na
atividade 3, percebemos que o resultado de 7× (581+399) deve ser múltiplo de 10, portanto não pode
ser 4466. O erro decorre da omissão dos parênteses, isto é, 4466 = 7× 581 + 399.
Há uma ampla gama de atividades com objetivos semelhantes a estes que podem ser propostas,
dependendo do ano escolar. As atividades anteriores constituem apenas alguns exemplos. Sugerimos
que você formule outras, levando em conta as especificidades de seu público de alunos.
Atividades
4. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 3.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a
aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais
(isto é, sem o uso da calculadora)?
1.1. OPERAÇÕES E PROPRIEDADES 9
5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 3, que seja adequada para
as turmas em que você leciona. Que questões chave você incluiria na atividade, para ajudar a
direcionar a resolução dos alunos.
Reconhecendo Padrões e Regularidades
As atividades a seguir exploram o reconhecimento de padrões nos resultados de operações aritméticas.
Em livros didáticos do ensino fundamental, não é incomum encontrarmos exerćıcios do tipo “complete
a sequência”, que pedem que o aluno reconheça e generalize um padrão numérico ou geométrico em
uma sequência, a partir de um pequeno conjunto de termos dados. O reconhecimento de padrões é
sem dúvida uma habilidade fundamental para o desenvolvimento do pensamento matemático elementar.
Entretanto, é importante considerar que a regra de formação de uma sequência não pode ser inferida
tendo como base apenas a verificação de um conjunto finito de exemplos (uma sequência numérica não
precisa nem mesmo ter uma regra algébrica de formação).
Assim, as atividades que se seguem não visam apenas inferir o padrão a partir da verificação dos
exemplos dados e generalizá-lo para outros números quaisquer. O objetivo é reconhecer o padrão, jus-
tificá-lo matematicamente, e determinar para que outros números este pode ser generalizado. A busca
por essas justificativas matemáticas pode ajudar na compreensão dos algoritmos das operações e suas
relações com a estrutura do sistema de numeração decimal. As atividades propostas abordam padrões
nas representações decimais de números naturais (6 e 7) e de números racionais (8 e 9).
Atividades
6. Use a calculadora para fazer as seguintes contas de multiplicação por 11: 13 × 11, 24 × 11,
35× 11. Observe que há um padrão nos resultados.
(a) Descreva o padrão observado.
(b) Explique o padrão, com base no algoritmo da multiplicação.
(c) Este padrão vale para qualquer multiplicação de um número de dois algarismos por 11?
Justifique sua resposta.
(d) O que acontece se multiplicamos um número com mais de dois algarismos por 11? Também
observaremos algum tipo de padrão? Justifique sua resposta.
7. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 21× 202, 48× 202, 35× 202, 17× 202.
(a) Descreva o padrão observado nos resultados.
(b) Explique o padrão, com base no algoritmo da multiplicação.
(c) Para que tipo de multiplicação esse padrão vale? Justifique sua resposta.
8. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 ÷ 9, 2 ÷ 9, . . ., 8 ÷ 9. Explique o padrão
observado nos resultados.
9. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 ÷ 99, 25 ÷ 9, 43 ÷ 9, 76 ÷ 9. Explique o
padrão observado nos resultados.
Na atividade 6, observamos que se um número natural n possui 2 algarismos quando representado
na forma decimal, então podemos escreve-lo na forma n = 10a+b, com a, b ∈ N, 0 6 a, b < 10. Logo:
11n = 11 (10a+ b) = 10 (10a+ b) + (10a+ b) = 100a+ 10 (a+ b) + b
10 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Observe queo desenvolvimento acima reproduz os passos do algoritmo usual da multiplicação. Por-
tanto, se n = 10a+b é um número com 2 algarismos, cuja soma é menor que 10, então a representação
decimal de 11n tem três algarismos, sendo o das centenas a, o das dezenas a + b e o das unidades
b. Na atividade 7, o padrão observado pode ser justificado de forma análoga. O papel da calculadora
nessas atividades é justamente permitir que o aluno obtenha os resultados sem usar o algoritmo, para
posteriormente refletir sobre o mesmo com base no padrão observado.
Nas atividades 8 e 9, é interessante chamar a atenção dos alunos para a determinação da fração
geratriz de um d́ızima periódica como soma de uma progressão geométrica infinita.
Atividades
10. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 6 a 9.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a
aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais
(isto é, sem o uso da calculadora)?
11. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 a 9, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
Aprofundando a Compreensão das Operações
Como já comentamos, existem muitas outras formas de explorar os recursos das calculadoras simples
para enriquecer a aprendizagem das operações elementares, sua estrutura e suas propriedades. A ideia
geral é aproveitar os recursos da calculadora para oferecer aos alunos uma visão das opera-
ções que seja diferente da abordagem usual de sala de aula, e que se articula e enriqueça
essa abordagem. Nas atividades a seguir, damos mais alguns exemplos. Porém leitor é fortemente
encorajado a elaborar outras, de acordo com as caracteŕısticas e dificuldades espećıficas de seu público
de alunos (como vimos propondo). Atividades como as 14 a 17 podem ser aplicadas em forma de jogo
entre os alunos.
Atividades
12. (a) Digite 2 + 3 na calculadora. Em seguida, tecle o sinal de = várias vezes. Tome nota dos
números que vão aparecendo na tela. Que tipo de sequência esses números formam?
(b) Agora, faça a mesma experiência com a multiplicação: digite 2 × 3 na calculadora e, em
seguida, o sinal de = várias vezes. Que tipo de sequência esses números formam?
13. (a) Suponha que você tenha depositado R$150, 00 em uma caderneta de poupança que rende
0, 7% ao mês. Passado o primeiro mês, você terá R$150, 00+R$150, 00× 0,7
100
= R$150, 00×
1, 007 = R$151, 05. Quantos meses você deverá esperar (sem fazer nenhum saque ou novo
depósito) para obter 10% a mais da quantia aplicada?
Você poderá responder esta pergunta usando uma calculadora de bolso apenas com as quatro
operações elementares. Multiplique 150 por 1, 007 e aperte a tecla = sucessivamente, até
que o resultado mostrado na tela fique ultrapasse 150 × 1, 1 = 165. Conte o número de
vezes que a tecla = foi pressionada.
1.1. OPERAÇÕES E PROPRIEDADES 11
(b) Repita a experiência, supondo agora que você tenha aplicado R$350, 00 e queira obter um
lucro de 10% da quantia inicial.
(c) As respostas dos ı́tens anteriores dependem da quantia aplicada? Justifique sua respostas
com base em argumentos matemáticos.
14. Complete as espaços em branco nas expressões abaixo, com os sinais das quatro operações
elementares (+, −, × e ÷), de forma que as igualdades sejam válidas.
(a) (53 � 36) � 15 = 1335 (b) 53 � 36 � 15 = 1923
(c) 17 � (25 � 83) = −41 (d) 11 � 17 � 23 = 4301
(e) (14 � 66) � 16 = 5 (f) 14 � 66 � 16 = 18, 125
15. Use uma calculadora para encontrar aproximações para os números a seguir, empregados apenas
as teclas numéricas e as teclas + , − , × , ÷ ,
√
e = (isto é, sem empregar a tecla de
potenciação a um expoente qualquer, se houver).
(a) 30,5 (b) 3−0,125 (c) 4
√
3 (d) 33,125
16. Em uma calculadora defeituosa, apenas as teclas 3 , 8 , + , − e = estão funcionando.
Você conseguiria obter todos os números naturais de 1 a 10 apenas usando essas teclas?
17. Em uma calculadora defeituosa, apenas as teclas 5 , + , − , × , ÷ e = estão funcionando.
Obtenha cada um dos números naturais de 1 a 10 apenas usando o menor número posśıvel de
teclas.
Na maior parte das calculadoras de bolso, quando pressionamos a tecla correspondente ao sinal de
igualdade seguidamente, a última operação realizada é repetida. Este recurso pode ser empregado no
ensino de diversas maneiras. As atividades 12 e 13 apresentam duas sugestões neste sentido.
Na atividade 14, em lugar de obter os resultados conhecendo os operandos e as operações, a proposta
é que os alunos descubram as operações conhecendo os operandos e os resultados. Para escolher os
sinais que tornam as igualdades verdadeiras, eles deverão avaliar as relações entre os operandos e os
resultados (tais como ordens de grandeza e caracteŕısticas da representação decimal), assim como nas
atividades 2 e 3.
A atividade 15 visa à exploração das propriedades de potenciação e radiciação, por meio da decom-
posição potências de diversos expoentes em ráızes quadradas. De forma semelhante, na resolução das
atividades 16 e 17, os alunos deverão decompor números naturais de 1 a 10 de diferentes maneiras.
O exerćıcio de decompor números naturais de diferentes formas é importante para a compreensão dos
sistema de numeração decimal e das estruturas dos algoritmos das quatro operações.
Atividades
18. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 12 a 17.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a
aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais
(isto é, sem o uso da calculadora)?
19. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 12 a 17, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
12 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA
1.2 Aproximações, Arredondamentos e Erros
Na seção 1.1, destacamos a importância do desenvolvimento de uma atitude de interpretação cŕıtica
dos resultados produzidos pela calculadora por parte dos alunos. As atividades 2 e 3 daquela seção
visavam à formação dessa atitude cŕıtica a partir de usos errôneos da máquina, isto é, erros cometidos
pelo próprio usuário. Entretanto, não são apenas erros de uso que provocam resultados aparentemente
errados ou inesperados – estes podem ser causados por limitações inerentes à própria máquina.
Tais resultados são produzidos, de forma geral, por erros de arredondamento: como uma calculadora
só tem capacidade para armazenar números com representação decimal finita, todos os números com
representação infinita (e mesmo aqueles com representação finita, porém superior a capacidade da
máquina) são aproximados por números com representação finita. Isto é, as calculadoras (pelo menos
as mais simples) não operam com números com representação decimal infinita, e sim com aproximações
para esses números. A imprecisão nos resultados de cálculos aproximados pode aumentar quando
os erros de arredondamento são propagados, isto é, quando resultados aproximados são usados em
novos cálculos, gerando aproximações sobre aproximações. Evidentemente, algumas máquinas possuem
capacidade de armazenamento superior a outras, podendo produzir resultados mais precisos, porém
todas têm capacidade finita. Portanto cálculos com decimais infinitos envolverão necessariamente
imprecisões e erros de alguma ordem.
Desta forma, a atitude de interpretação cŕıtica dos resultados por parte dos alunos não se refereapenas a seus próprios eventuais erros de uso, mas sobretudo ao funcionamento e às limitações da
máquina. A consciência das limitações da calculadora e do fato de que ela pode produzir resultados
imprecisos ou aparentemente errados é fundamental para a compreensão de que a máquina não
pode ser usada como critério de validação matemática. Os resultados da máquina devem ser
interpretados e avaliados com base em argumentos matemáticos (e não ao contrário). Este será o
enfoque desta seção.
Algumas das atividades propostas a seguir (1 a 3) visam especificamente chamar atenção para as
limitações da calculadora, por meio da interpretação de resultados aparentemente errados ou imprecisos.
As seguintes (6 a 10) abordam processos de aproximações sucessivas, que podem ser empregados como
introdução ao conceito de limite. A prinćıpio, pode-se pensar que os erros de aproximação da máquina
constituem-se necessariamente em um obstáculo para a aprendizagem do conceito de limite. Porém,
justamente esses erros podem ser explorados pelo professor para introduzir de forma mais expĺıcita
a natureza matemática da noção de limite: o conceito matemático de limite escapa da precisão da
máquina, por melhor que esta seja, ou de qualquer precisão finita.
Atividades
1. As figuras abaixo representam resultados de certas operações matemáticas feitas em uma cal-
culadora, mostrados no visor. Sem saber as operações que foram efetuadas, é posśıvel saber se
esses números são racionais ou não, apenas nos resultados do visor? Justifique sua resposta.
1.2. APROXIMAÇÕES, ARREDONDAMENTOS E ERROS 13
2. Ao usar uma calculadora de bolso para fazer uma conta cujo resultado não é um número inteiro,
o visor mostrará uma aproximação desse resultado, usando todas as casas decimais dispońıveis.
Levando isso, em conta, responda as perguntas a seguir, justificando suas respostas.
(a) Use a calculadora para fazer a conta 1 ÷ 3. Se você multiplicar o resultado mostrado no
visor por 3, você encontrará o número 1 novamente?
(b) Use a calculadora para fazer a conta
√
2. Se você elevar o resultado mostrado no visor a
quadrado, você encontrará o número 2 novamente?
3. Considere a conta 0, 0000111 × 9999456 ÷ 9999123. Como sabemos, podemos fazer efetuar
essa conta de diversas maneiras diferentes: (0, 0000111 × 9999456)÷ 9999123, ou 0, 0000111 ×
(9999456 ÷ 9999123), ou ainda (0, 0000111 ÷ 9999123) × 9999456. As propriedades das ope-
rações de multiplicação e divisão garantem-nos que obteremos o mesmo resultado. Use uma
calculadora para fazer a conta dessas duas maneiras. Compare os resultados. Você pode explicar
o que aconteceu?
Muitos livros didáticos do ensino básico apresentam exerćıcios propondo a classificação de números
como racionais ou irracionais, com base em sua representação decimal. Entretanto, frequentemente
tais exerćıcios não incluem informações suficientes para a conclusão pedida. O objetivo da atividade
1 é mostrar que, apenas com uma amostra finita da representação decimal de um número real, não
é posśıvel concluir se este é racional ou não. Por exemplo, embora a expressão que aparece na tela
da esquerda possa sugerir a representação de um número irracional (pois os algarismos não repetem),
trata-se apenas de uma expressão decimal finita que pode representar uma aproximação, tanto para
um irracional quanto para um racional. De fato, a representação decimal da fração 1
19
é uma d́ızima
periódica cujo peŕıodo tem 18 d́ıgitos, sendo os 16 primeiros coincidentes com a expressão dada:
1
19
= 0, 052631578947368421 .
Em continuidade, as atividades 2 e 3 ilustram erros causados por arredondamentos. Para fazer a
experiência proposta na atividade 2, os alunos poderão anotar o resultado da primeira operação que
é mostrado na tela, limpar a memória da calculadora, digitar o mesmo resultado, efetuar a operação
inversa, verificando que não se retorna ao número original. A atividade 3 exemplifica uma situação em
que um erro de arredondamento pode fazer com que a calculadora forneça resultados diferentes para
uma mesma operação efetuada em ordens diferentes (dependendo da precisão da calculadora utilizada).
Observe que neste exemplo, essencialmente, estamos multiplicando um número próximo de 0 por um
número próximo de 1. Assim, se a divisão for efetuada primeiro, em uma calculadora com precisão
baixa, esse resultado parcial pode ser arredondado para 1, afetando o resultado final.
Atividades
4. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 3.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades?
(d) Faria sentido aplicar essas atividades sem o uso da calculadora?
5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 3, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
14 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Aproximações e Limites
Nas atividades a seguir, lidamos com aproximações – ou em termos matemáticos formais, limites de
sequências de números reais. O conceito de limite é um dos mais importantes e centrais de toda a
Matemática, e mesmo não figurando explicitamente nos curŕıculos, este pode (e deve) ser introduzido
informalmente no ensino básico, por meio da ideia intuitiva de aproximação. A calculadora pode ser
um recurso didático de grande ajuda para esta introdução.
Em particular, a ideia de aproximação é importante para o ensino do conceito de número irracional.
Em geral, a abordagem de números irracionais no ensino básico é bastante restrita. Usualmente, rece-
bem pouca ênfase as motivações para a própria necessidade de ampliação do conjuntos dos números
reais (isto é, de que problemas matemáticos os números racionais não dão conta), e as justificativas para
propriedades referentes à representação decimal de irracionais (tais como, um número é irracional se,
e somente se, sua expressão decimal é infinita e não periódica), ou mesmo para as expressões decimais
de exemplos espećıficos de números irracionais. Aproximações para números irracionais, desenvolvidas
com ajuda da calculadora, pode enriquecer significativamente a abordagem de números irracionais, sua
representação decimal e localização na reta real.
Atividades
6. O objetivo desta atividade é determinar aproximações decimais para
√
2. Sabemos que 12 =
1 < 2 < 4 = 22. Isto nos permite concluir que 1 <
√
2 < 2. De forma análoga, temos que
1, 42 = 1, 96 < 2 < 2, 25 = 1, 52. Continuando este procedimento, use a calculadora (sem
empregar a tecla
√
) para completar a tabela abaixo, obtendo aproximações para
√
2 com n
casas decimais.
n
√
2 ∼=
1
2
3
4
5
7. Conhecendo aproximações com n casas decimais depois da v́ırgula para
√
2, podemos determinar
aproximações para 2
√
2. Complete a tabela abaixo.
n
√
2 ∼= 2
√
2 ∼=
1 1, 4
2 1, 41
3 1, 414
4 1, 4142
5 1, 41421
O procedimento acima pode nos dar certeza do número da casas decimais exatas das aproximações
para 2
√
2 obtidas? Justifique sua resposta.
8. Digite um número positivo qualquer na calculadora. Em seguida, digite a tecla
√
sucessivas
vezes. Em algum momento o visor mostrará o número 1. Explique o que aconteceu.
1.2. APROXIMAÇÕES, ARREDONDAMENTOS E ERROS 15
Em livros didáticos do ensino básico, as expressões decimais aproximadas para números irracio-
nais são quase sempre apresentadas como se fossem simplesmente dadas, sem quaisquer justificativas
teóricas. Na atividade 6, propomos um processo para determinar aproximações decimais para
√
2,
usando apenas a potenciação números racionais. Por meio desse processo, podemos (pelo menos teo-
ricamente) determinar quantas casas decimais quisermos para o número
√
2. Atividades como esta são
muito importantes para que os alunosno final do ensino fundamental e no ensino médio formem uma
ideia mais concreta dos números irracionais e sua localização na reta real.
A atividade 7 tem como objetivo introduzir um significado intuitivo (e não formalizado) para a po-
tenciação de expoente irracional. A operação de potenciação é definida primeiramente para expoentes
naturais, e posteriormente generalizada para expoentes inteiros e naturais por meio de argumentos ba-
seados na preservação de certas propriedades aritméticas (por exemplo, devemos ter a0 = 1 para a 6= 0,
pois caso contrário não valeria aman = am+n, para m,n ∈ Z). Entretanto, raramente encontramos em
livros didáticos alguma forma de conceituação para a potenciação com expoentes irracionais. Contra-
ditoriamente, alguns caṕıtulos a frente, a função exponencial é definida com doḿınio em R, sem que
esta inconsistência seja sequer apontada. De fato, a extensão da operação de potenciação dos números
racionais para os irracionais não pode ser justificada apenas por meio de argumentos algébricos (como
as extensões anteriores), e requer necessariamente uma ideia de convergência, o que a torna a sua
formulação teórica de dif́ıcil compreensão, mesmo no ensino médio. Isto não é justificativa, no entanto,
para que este problema não seja tratado, mesmo que de forma intuitiva. Em geral, os estudantes no
ensino médio não têm maiores dificuldades em explicar o que significam potenciações com expoentes
inteiros ou racionais (por exemplo, 2−3 = 1
23
, ou 2
3
4 =
4
√
23 ). Mas, é preciso também que eles atribuam
algum significado a expressões do tipo 2π – que número é esse? Uma introdução a esta discussão, que
pode ser feita com ajuda da calculadora, é o que propõe a atividade 7.
Nas atividades 6 e 7 é fundamental que fique claro para os alunos que a expressões decimais obtidas
representam aproximações para os
√
2 e 2
√
2. Os erros associados a cada uma dessas aproximações
podem ser feitos tão pequenos quanto se queira, isto é, tratam-se de sequências de números reais
convergindo aos números
√
2 e 2
√
2. Porém, essas aproximações jamais coincidirão com os números.
A atividade 8 envolve uma situação em que os arredondamentos feitos pela máquina geram um
resultado errôneo. Sabemos que, se a > 0 então lim
n→+∞
n
√
a = 1, portanto o erro | n
√
a− 1| pode ser
feito tão pequeno quanto se queira, para n ∈ N suficientemente grande. Entretanto, não podemos ter
n
√
a = 1 para nenhum a 6= 1. A discussão proposta na atividade 8 pode ser usada para mostrar que, por
melhor que seja a precisão de uma calculadora, é sempre posśıvel tomar n grande o suficiente para que
a diferença entre n
√
a e 1 fique ainda menor que esta precisão. Assim, pode-se ilustrar concretamente
o fato de que dizer que n
√
a tende a 1 significa dizer que | n
√
a− 1| fica menor que qualquer precisão
finita.
Atividades
9. Use o mesmo procedimento da atividade 6, encontre aproximações para os números abaixo, com
erro menor que 0, 01.
(a)
√
3 (b) 3
√
2 (c) 3
2
3
10. Use o mesmo procedimento da atividade 7, encontre aproximações sucessivas para o número 10π.
11. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 6 a 10.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
16 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA
(c) Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a
aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais
(isto é, sem o uso da calculadora)?
12. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 a 10, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
Caṕıtulo 2
Planilhas Eletrônicas
Introdução
Os recursos dispońıveis nas planilhas eletrônicas possibilitam diversas aplicações no ensino de Matemá-
tica. Dentre esses recursos destacam-se:
• manipulação e operações com grandes quantidades de dados numéricos;
• articulação entre diversas formas de representação;
• ferramentas lógicas;
• ferramentas estat́ısticas.
Neste Caṕıtulo, propomos atividades com planilhas eletrônicas, explorando os recursos acima em
dois campos do ensino de Matemática: simbologia algébrica, equações e funções; e tratamento da
informação.
Quando os alunos no ensino básico têm os primeiros contatos com a simbologia algébrica, não são
incomuns as dificuldades com os diferentes significados dos śımbolos (variáveis, incógnitas, constantes,
parâmetros) e com as regras sintáticas a que estão sujeitas esses śımbolos. As planilhas eletrônicas
possuem um sistema simbólico próprio. A própria experiência concreta de codificação e manipulação da
simbologia nesse sistema, especialmente a verificação de erros de codificação indicados pelo software,
pode ajudar os alunos a entenderem os significados e regras sintáticas dos śımbolos. No ensino de
funções, as planilhas eletrônicas possibilitam a articulação de diversas formas de representação,
que podem ser constrúıdas concretamente no software pelo próprio aluno, em cada situação. Essas
representações podem também ser utilizadas para a resolução numérica de equações, ou mesmo de
sistemas de equações, especialmente em situações que envolvam modelos aproximados, permitindo a
procura de soluções aproximadas em um determinado intervalo.
Na abordagem de tratamento da informação e Matemática Financeira, as planilhas podem ser em-
pregadas com dados extráıdos de situações concretas, que podem ser coletados pelos próprios alunos.
As ferramentas estat́ısticas e gráficas dispońıveis nas planilhas eletrônicas possibilitam a representação
desses dados de diferentes formas numéricas e gráficas, e a análise, comparação e inter-
pretação dessas representações, visando à formulação de conclusões e hipóteses.
17
18 CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRÔNICAS
2.1 Simbologia Algébrica
Explorando Regularidades e Limites
Nesta seção, propomos atividades utilizando os recursos das planilhas eletrônicas para a exploração de
regularidades e limites de sequências numéricas. Atividades com objetivos semelhantes já foram propos-
tas no caṕıtulo anterior. Entretanto, além das planilhas oferecem muito mais recursos e funções que as
calculadoras de bolso, seu uso em atividades desta natureza apresenta algumas diferenças importantes
do ponto de vista pedagógico, em relação ao uso da calculadora:
• De forma geral as planilhas possuem maior precisão que as calculadoras, portanto possibilitam a
visualização e o tratamento de dados numéricos com mais casas decimais.
• Os recursos das planilhas também oferecem a possibilidade de manusear os dados das atividade
de forma mais dinâmica e com menos uso de teclas, uma vez que as fórmulas e dados digitados
em uma célula podem ser generalizados para outras por meio do recurso de arrastar.
• Aa planilhas geram automaticamente um registro tanto das operações e funções matemáticas
empregadas no problema, quanto dos dados da solução. Para guardar tais registros com o uso
da calculadora, é preciso manter um controle paralelo em papel.
• Por outro lado, os śımbolos encontrados nas calculadoras de bolso são essencialmente os mesmos
e obedecem às mesmas regras com que os alunos estão acostumados a lidar desde a alfabetização
matemática nos anos inicias, enquanto as planilhas eletrônicas possuem simbologia e sintaxe
próprias, cuja aprendizagem por si só demanda maior maturidade por parte do aluno.
Essas caracteŕısticas podem ser mais ou menos aproveitadas, dependendo dos objetivos pedagógi-
cas da atividade em questão e do ano escolar dos alunos. Por exemplo, para explorar propriedades das
operações e propriedades aritméticas com alunos dos anos inicias do ensinofundamental, a calculadora
é possivelmente mais adequada, por possibilitar um foco mais espećıfico nesses objetivos. Por outro
lado, a planilha eletrônica pode ser adequada em anos escolares mais adiantados, contribuindo com uma
transição gradativa do trabalho com aritmética nos anos inicias, em direção ao pensamento algébrico-
simbólico, de natureza mais sofisticada e abstrata. A atividade 1 visa justamente comparar as vantagens
e desvantagens da realização das mesmas atividades com a calculadora e com a planilha.
O uso da planilha eletrônica para construir aproximações para números irracionais (como propõem
as atividades 1 a 4) pode enriquecer significativamente a abordagem desses números. Em geral, ex-
pansões decimais para números irracionais são apresentadas no ensino básico sem maiores justificativas
matemáticas e ou manipulações concretas. As aproximações constrúıdas em planilhas eletrônicas, em-
pregadas em uma abordagem cuidadosamente planejada pelo professor, podem promover uma maior
familiaridade dos alunos com as representações decimais para números irracionais e suas pro-
priedades, especialmente quando a programação é feita por eles próprios. Em particular, a experiência
com planilhas pode fornecer uma ideia mais concreta para o fato de que as aproximações decimais
finitas para um número real dado constituem os termos de uma sequência convergente, cujo limite é
este número. Entretanto, como no Caṕıtulo 1, é importante observar ainda que devem ser exploradas
não são as potencialidades técnicas, como também as situações em que o software produz resultados
inesperados ou aparentemente errados.
Atividades
1. Repita as atividades 6 e 7 da seção 1.2 usando uma planilha eletrônica. Aumente o número de
casas decimais da aproximação. Que vantagens e desvantagens pedagógicas você vê no uso da
planilha, em relação ao uso da calculadora, para realizar esta atividade?
2.1. SIMBOLOGIA ALGÉBRICA 19
2. Digite o número 2 na célula A1 de uma planilha eletrônica. Na célula A2, digite=(A1+2/A1)/2.
Em seguida, selecione e arraste a célula A1 ao longo da coluna A. De que número os valores que
aparecem nessa coluna estão se aproximando? Justifique matematicamente a sua resposta.
3. Utilizando a mesma ideia da atividade 2, crie uma sequência de números reais que tenda a
√
3.
4. Digite o número 1 na célula A1 de uma planilha eletrônica. Na célula A2, digite =(A1+1)∧0,5.
Em seguida, selecione e arraste a célula A1 ao longo da coluna A.
De forma análoga à atividade 2, podemos concluir que o número para o qual os valores da coluna
A estão se aproximando satisfaz a equação x2 − x − 1 = 0. Esta equação possui duas ráızes
reais: x1 =
1 +
√
5
2
e x2 =
1−
√
5
2
. Por que os valores que aparecem na planilha se aproximam
da primeira raiz, e não da segunda?
5. Um aluno estava estudando o comportamento de duas sequências numéricas infinitas, para tentar
descobrir para onde elas tendiam. Sem pistas para obter a resposta, ele decidiu recorre a uma
planilha eletrônica. Para programar essa planilha, o aluno procedeu da seguinte forma:
1. A coluna A foi numerada com números naturais em sequência de 1 a 1.
2. Nas posições correspondes à primeira linha das colunas B, C, D e E, ele escreveu, respec-
tivamente: =1/A1; =B1; =1/A1∧2; =D1.
3. Nas posições correspondes à segunda linha das colunas B, C, D e E, ele escreveu, respec-
tivamente: =1/A2; =C1+B2; =1/A2∧2; =E1+D2.
4. A primeira e a segunda linhas da tabela foram selecionadas e arrastadas até completar a
milésima linha.
A figura abaixo mostra um trecho da planilha programada por ele.
20 CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRÔNICAS
(a) Explique o comportamento dos valores mostrados nas colunas B, C, D e E da planilha.
(b) Na sua opinião, que sequências o aluno estava tentando estudar?
(c) Você considera que a planilha pode ajudá-lo a determinar os limites procurados?
(d) Se o aluno arrastasse até a milionésima linha, em lugar de parar na milésima, você acha que
ele teria mais pistas para a resposta do problema?
(e) Determine os limites.
Como já comentamos, um primeiro objetivo das atividades anteriores é o entendimento da própria
simbologia e regras sintáticas das planilhas eletrônicas, em particular, como as fórmulas inicial-
mente digitadas em uma célula se generalizam com a ferramenta de arrastar.
Na atividade 2, os valores que aparacem na coluna A correspondem aos termos da sequência de
números reais definida recursivamente da seguinte forma:
{
x1 = 2
xn+1 =
xn + 2/xn
2
∀n > 1
(2.1)
Observando a planilha, podemos perceber que os valores que aparecem na coluna A parecem se
aproximar do número
√
2. Para ter certeza da validade deste fato, devemos buscar uma justificativa
matemática. Empregando as operações aritméticas com limites observamos que, caso o limite da
sequência (xn)n∈N definida em 2.1 exista, teremos:
lim xn+1 = lim
(
xn + 2/xn
2
)
=
lim xn + 2/ limxn
2
.
Além disso, é claro que lim xn+1 = lim xn. Portanto, x = lim xn deverá satisfazer à equação:
x =
x+ 2/x
2
,
que é equivalente a x2 = 2. Um argumento de indução finita garante-nos que, se começamos com
um termo inicial x1 > 0, então todos os demais termos da sequência (xn) definida em 2.1 serão todos
positivos. Isso nos leva a concluir que, de fato, lim xn =
√
2.
Entretanto, este argumento não está completo! Para que ele seja válido precisamos, de antemão,
ter certeza que o limite existe, pois caso contrário nenhuma das operações que foram feitas com ele
seria válida. Para demonstrar a existência do limite, começamos considerando a função real f : R→ R
definida por:
f(x) =
x + 2/x
2
.
A análise da derivada de f nos diz que a função possui um ḿınimo absoluto no ponto (
√
2,
√
2),
isto é, f(x) >
√
2 ∀ x > 0. Como xn+1 = f(xn) e já sabemos que xn > 0 ∀n ∈ N, então xn+1 >
√
2
∀n > 1, isto é, xn >
√
2 ∀n > 2. Como x1 = 2 >
√
2, então, xn >
√
2 ∀n > 1. Logo, a sequência
(xn) é limitada inferiormente por
√
2.
Agora, observe que: xn >
√
2⇒ x2
n > 2⇒ xn > 2
xn
. Portanto:
xn+1 =
xn + 2/xn
2
6
xn + xn
2
= xn ∀n > 1.
Logo, (xn) é monótona decrescente. Assim a sequência é limitada inferiormente e monótona de-
crescente, o que garante que (xn) é convergente, isto é, existe o limite.
2.1. SIMBOLOGIA ALGÉBRICA 21
A atividade 3 pede uma adaptação da atividade 2. De forma mais geral, dados a ∈ R, a > 0, e k ∈
N, você poderá obter aproximações para o número k
√
a, utilizando a sequência definida recursivamente
da seguinte forma (verifique):
{
x1 = 1
xn+1 =
(k − 1) xn + a/xn
k
∀n > 1
A atividade 4 explora uma ideia semelhante à da atividade 2, para construir uma sequência conver-
gindo ao número áureo.
Na atividade 5, as colunas B, C, D e E da planilha representam, respectivamente, os termos das
seguintes sequências:
an =
1
n
sn =
n∑
k=1
1
k
bn =
1
n2
tn =
n∑
k=1
1
k2
.
Entretanto, uma análise pouco cuidadosa dos valores mostrados na planilha pode sugerir conclusões
errôneas sobre o comportamento das sequências. Sabemos que o comportamento de convergência
dessas sequências é como dado abaixo. Provas para estes fatos podem ser facilmente encontradas em
livros de análise real.
lim
1
n
= lim
1
n2
= 0 lim
n∑
k=1
1
k
= +∞ lim
n∑
k=1
1
k2
=
π2
6
.
Assim, as sequências (an) e (bn) têm ambas limite 0. Porém, as colunas B e D da planilha (que
correspondem, respectivamente, a seus termos) parecem sugerir comportamentos distintos: os valores
mostrados nessas colunas parecem se estabilizar em 0, 001 e 0, respectivamente. Como a sequência
(an) tende a 0, seus termos não podem se estabilizar em 0, 001; e embora (bn) tenda a 0, seus termos
nunca atingem o valor 0. Isto ocorre porque (bn) converge a 0 a uma taxa inferior que a de (an).
Por outro lado, (sn) e (tn) têm comportamentos distintos: a primeira diverge a infinito, enquanto a
segunda converge aum valor finito. Porém, as colunas C e E podem sugerir o mesmo comportamento
para essas sequências: ambas parecem se estabilizar em valores finitos. Isto ocorre porque (sn) tende
a +∞ a uma taxa de crescimento muito baixa.
Os exemplos da atividade 5 mostram que a simples verificação do comportamento dos termos de uma
sequência no computador pode sugerir conclusões errôneas sobre a existência ou não de seus limites.
Sem dúvida, a programação e manipulação de sequência de números reais em planilhas eletrônicas
propicia uma experiência concreta, que pode contribuir significativamente com a aprendizagem dos
alunos. Porém, como já observamos, as conclusões devem sempre ser sustentadas por argumentos
matemáticos.
Atividades
6. Na atividade 2, começamos digitando o número 2 na célula A1 da planilha. Isto significa que o
primeiro termo da sequência definida é 2.
(a) Aproveite a planilha que você construiu na atividade 2 e altere o valor da célula A1 para 1.
O valor do limite da sequência continua o mesmo?
(b) Experimente alterar a célula A1 para outros valores positivos. Observe o comportamento
da sequência.
(c) Agora, altere a célula A1 para valores negativos. Observe o comportamento da sequência.
(d) Investigue e justifique matematicamente o que você observou nos ı́tens anteriores.
22 CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRÔNICAS
7. Na atividade 2, a planilha eletrônica foi empregada para representar o comportamento de uma
sequência definida recursivamente. Frequentemente utilizamos as propriedades de operações com
limites para determinar o limite de sequências desse tipo. Entretanto, para isso, devemos ter
garantia de antemão da existência desses limites. Caso contrário, estaremos aplicando operações
sem validade, que podem levar a conclusões errôneas. Como exemplo desses erros, considere a
sequência de números reais (an)n∈N definida da seguinte forma:
{
a1 = 2
an+1 = 1
2
(a2
n + 1), se n ≥ 1.
(a) Mostre que (an) é crescente.
(b) Use uma planilha eletrônica para representar os termos de (an).
(c) Considere o seguinte argumento para determinar o limite de (an):
Temos que x = lim an+1 = lim an. Então, podemos tomar x = lim an+1 = lim an. Logo,
an+1 =
1
2
(a2
n + 1)⇒ lim an+1 =
1
2
(
(lim an)2 + 1
)
⇒
x =
1
2
(x2 + 1)⇒ x2 − 2x + 1 = 0⇒ x = 1
Logo, lim an = 1.
Este argumento está correto? Justifique sua resposta.
(d) O que você pode concluir sobre a convergência desta sequência? Justifique sua resposta.
Suponhamos que o limite da sequência (an) da atividade 7 exista. Então este limite deve ser, por
um lado, maior ou igual a 2 (pois, pelo item 7a, (an) é crescente e seu primeiro termo é 2), e por
outro, igual 1 (pelo argumento do item 7c). Logo, (an) não é convergente. Por isso, a aplicação das
propriedades operatórias com o limite – que não existe – levam-nos a uma conclusão contraditória.
Nas atividades anteriores, observamos diferentes exemplos, em que as representações para as
sequências numéricas nas planilhas eletrônicas nem sempre sugerem, pelo menos a primeira
vista, comportamentos consistentes com o comportamento matemático. Desta forma, vimos
exemplos de: sequências convergentes e sequências divergentes a infinito cujo comportamento pode
ser facilmente observado nas planilhas, assim como sequências convergentes que parecem tender a um
limite diferente do verdadeiro e sequências divergentes a infinito que parecem convergir um limite finito
quando representadas nas planilhas. Ressaltamos que a busca pelas justificativas matemáticas
para essas aparentes diferenças de comportamento podem ser explorados pelo professor
para enriquecer a compreensão dos alunos sobre sequências e representação decimais de
números reais.
Atividades
8. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 7.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel da planilha eletrônica no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso da planilha nas atividades pode trazer para a aprendi-
zagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais (isto
é, sem o uso de recursos computacionais)?
9. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 7, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
2.1. SIMBOLOGIA ALGÉBRICA 23
Articulando Representações
As atividades 10 a 13 propostas a seguir procuram explorar os recursos das planilhas eletrônicas para o
traçado de funções reais de variável real. Este tema será tratado em mais detalhes no Caṕıtulo 3, em que
será discutido o uso de softwares desenhados especialmente para esse objetivo. Este não é o caso das
planilhas eletrônicas: o recurso que adaptamos para traçar gráficos de funções reais é originariamente
concebido para a representação de dados estat́ısticos em gráficos de linhas. Essa adaptação causa
algumas limitações para a realização das atividades.
Em primeiro lugar, os gráficos são obtidos pela interpolação de pontos por meio de segmentos de
reta. Assim, eles podem ter aspecto mais de poligonais do que de curvas suaves. Além disso, não é pos-
śıvel ter controle do intervalo de visualização no eixo vertical, pois este é determinado automaticamente
pelo software a partir dos valores da variável. Em alguns casos, isso pode prejudicar a visualização
dos gráficos. Entretanto, estas limitações não inviabilizam o uso das planilhas eletrônicas para a abor-
dagem de gráficos de funções em sala de aula. Como já comentamos, as limitações técnicas dos
software podem ser exploradas como potencialidades pedagógicas, para motiva explorações
matemáticas. Por exemplo, as situações em que os gráficos adquirem o aspecto de poligonais podem
ser usadas para mostrar que o método de traçar gráficos simplesmente por meio de marcação e inter-
polação de pontos pode conduzir a erros. Esta discussão é proposta aos alunos nos ı́tens 10b e 11c.
Retomaremos e aprofundaremos essa questão no Caṕıtulo 3.
Atividades
10. Nesta atividade, propomos a construção de gráficos de funções a partir de tabelas de valores.
Neste exemplo inicial, ficaremos restritos a curvas de grau menor ou igual a 2, descrevendo o
procedimento passo a passo.
1. Insira diferentes valores de entrada da função (elementos do doḿınio) na coluna A da
planilha.
2. Escreva a fórmula para a função escolhida na primeira célula da coluna B e arraste esta
célula para baixo ao longo da coluna, até o fim dos valores inseridos na coluna A.
3. Em seguida, selecione a coluna B e use o recurso do software para construir um gráfico com
os dados inseridos.
4. A figura abaixo exemplifica um tipo de sáıda posśıvel para uma parábola do tipo y =
ax2 + bx + c, com a = −1, b = −1 e c = 2.
(a) Atribua novas valores a, b e c e interprete o comportamento da função.
(b) Observe que o gráfico mostrado parece ser formado por pequenos segmentos de reta. Como
você explica esse comportamento?
24 CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRÔNICAS
11. (a) Numere a coluna A de uma planilha de −3 a 3, de 1 em 1. Escreva =A1∧2 na primeira
célula da coluna B e arraste esta célula para baixo ao longo da coluna, até o fim dos valores
inseridos na coluna A. Selecione a coluna B e use o recurso do software para construir
gráficos. Observe o gráfico traçado.
(b) Agora, repita a operação, numerando a coluna A de −3 a 3, de 0, 5 em 0, 5. Trace o gráfico
e compare com o aspecto do gráfico anterior.
(c) Qual dos gráficos melhor retrata a curva y = x2? Como você poderia melhorar mais o
aspecto desse gráfico?
12. Numere a coluna A de uma planilha de −3 a 3, de 0, 5 em 0, 5.
(a) Escreva =A1+1 na célula B1 e =B1+1 na célula C1. Em seguida, arraste as células B1
e C1 para baixo, até o fim dos valores inseridos na coluna A. Selecione as colunas B e C
use o recurso do software para construirgráficos. Qual é relação entre os gráficos traçados?
(b) Agora, altere a célula B1 para =A1∧2 e arraste esta célula para baixo ao longo da coluna
B, até o fim dos valores inseridos na coluna A, sem alterar a coluna C. Observe as mudanças
nos dois gráficos traçados. Qual é relação entre esses gráficos?
(c) Altere novamente a célula B1 para =SEN(A1) e repita a operação do item anterior: arraste
esta célula para baixo ao longo da coluna B, até o fim dos valores inseridos na coluna A,
sem alterar a coluna C. Qual é relação entre os gráficos traçados?
13. (a) Aproveitando a construção da atividade 12, insira =A1+1 na célula B1 e =ABS(B1) na
célula C1 e arraste estas células para baixo até o fim dos valores inseridos na coluna A.
Use o recurso do software para construir os gráficos correspondentes aos dados nessas duas
colunas. Explique a relação entre os gráficos traçados.
(b) Altere a célula B1 para =A1∧2-1 e arraste-a para baixo, até o fim dos valores inseridos na
coluna A. Observe as mudanças nos gráficos e explique a relação entre eles.
(c) Agora, altere a célula B1 para =SEN(A1) e arraste-a para baixo, até o fim dos valores
inseridos na coluna A. Mais uma vez, observe as mudanças nos gráficos e explique a relação
entre eles.
(d) Repita os ı́tens anteriores, alterando a célula C1 para B1∧2. Compare o comportamento
dos diferentes gráficos traçados.
(e) Faça novas alterações nas colunas B e C, sempre procurando explicar o comportamento dos
gráficos traçados.
As atividades 10 e 11 são de caráter introdutório e visam à familiarização com os recursos dispońıveis
em planilhas eletrônicas para o traçado de gráficos. Como comentamos no ińıcio desta seção, a própria
aprendizagem da simbologia e da sintaxe do software pode ser um exerćıcio enriquecedor por si só.
A representação e manipulação de objetos matemáticos na planilha eletrônica deve obedecer a regras
sintáticas espećıficas – assim como a linguagem simbólica matemática usual. Porém, no caso do soft-
ware, a correção das regras é condição necessária para a obtenção de resultados, o que não ocorre
quando o aluno resolve problemas com papel e lápis. Assim, a experiência com a planilha pode
contribuir com aprendizagem da simbologia algébrica e com a transição do pensamento
puramente aritmético para o pensamento algébrico.
As atividades 12 e 13 exploram a idéia de composição de funções. A coluna B e C da planilha f
representam respectivamente os valores de uma função f e de uma função composta g◦f . Na atividade
12, a função g é mantida fixa e a função f é alterada (figura 2.1). Na atividade 13, as funções f e g
2.1. SIMBOLOGIA ALGÉBRICA 25
são alteradas (figura 2.2). Os recursos do software permitem que as mudanças de comportamento nos
gráficos de f e de g ◦ f sejam visualizadas ao mesmo tempo que as funções são alteradas.
No ensino médio, em geral os exerćıcios sobre composições de funções reduzem-se a procedimentos
para determinar expressões algébricas das compostas, dada as expressões algébricas das funções origi-
nais. O uso do computador permite a comparação das propriedades das funções compostas com as
propriedades das funções originais, a partir da articulação das representações algébricas, numéricas e
gráficas.
Figura 2.1: Composição de funções em planilhas eletrônicas: os gráficos de y = g(x+ 1), y = g(x2) e
y = g( sen x), sendo g(x) = x+ 1.
Figura 2.2: Composição de funções em planilhas eletrônicas: os gráficos de y = g(x+ 1), y = g(x2) e
y = g( sen x), sendo g(x) = |x|; e de y = g(x+ 1), y = g(x2) e y = g( sen x), sendo g(x) = x2.
Atividades
14. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 10 a 13.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel da planilha eletrônica no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso da planilha nas atividades pode trazer para a aprendi-
zagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais (isto
é, sem o uso de recursos computacionais)?
15. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 10 a 13, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
26 CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRÔNICAS
2.2 Tratamento da Informação e Matemática Financeira
Os recursos tecnológicos dispońıveis, atualmente com amplo uso na sociedade, ampliaram as possibilida-
des de tratamento de dados de modo a transformá-los em informações com grande potencial de análise e
aplicação em diversos campos do conhecimento. Tais possibilidades têm sido cada vez mais aplicadas no
ensino básico de Matemática, mobilizando os conhecimentos desenvolvidos pelos alunos em estat́ıstica
básica. Inclui-se áı a análise de dados obtidos em coletas emṕıricas que, mesmo quando em
grande volume, podem ser organizados e interpretados, por meio de gráficos de diversos tipos,
tabelas, e de medidas estat́ısticas de tendência central, como média, mediana e moda. Tais ferramentas
conceituais podem cumprir dupla finalidade. Por um lado, contribuem com a formação cidadã do
aluno, na medida em que oferecem acesso, de modo rápido, a diversificadas formas de apresentação
da informação, que possibilitam interpretações de situações e dão suporte a tomadas de decisões. Ao
mesmo tempo, permitem a utilização de contextos familiares do dia a dia para o aprendizado de
conceitos matemáticos e sua articulação com outros campos do conhecimento.
Assim, abordagem de tratamento da informação com apoio de recursos computacionais pode pro-
mover uma nova dinâmica à sala de aula. No ensino básico, espera-se que o trabalho com Estat́ıstica
seja calcado em um processo investigativo, por meio do qual o estudante manuseie dados desde a
coleta até a interpretação, e formulação de conclusões finais.
Apresentamos a seguir algumas atividades que visam explorar o uso de planilhas eletrônicas para
apresentar a coleta, organização, interpretação e apresentação de dados numéricos em tabelas e gráficos.
Exploramos ainda o cálculo de medidas estat́ısticas como média, mediana, moda e seus significados.
Atividades
1. Solicite aos alunos da turma formem grupos de até seis componentes e construam uma tabela
que relacione a altura (em metro) com o tamanho do palmo (em cent́ımetros) de cada um dos
estudantes. Cada grupo deve anotar esses dados em uma planilha eletrônica e usar os recursos
dispońıveis para responder as questões a seguir.
(a) Determine os valores da média, moda e mediana para os dados de seu grupo.
(b) Explique o significado estat́ıstico da média, da moda e da mediana. Podemos afirmar que
necessariamente existe um aluno da grupo cuja altura coincide exatamente com o valor da
média? E da mediana? E da moda? Justifique suas respostas.
(c) Construa uma tabela de frequência para cada uma das medidas: altura e palmo.
(d) Escolha uma representação conveniente e represente graficamente os dados: altura × palmo.
(e) Você considera que há alguma relação entre a altura e o tamanho do palmo dos colegas?
Justifique sua resposta.
(f) Anote os dados de cada um dos outros grupos e compare os dados tabelados e os valores
das medidas estat́ısticas calculadas no item 1a.
(g) Você considera que há alguma relação entre a média, da moda e da mediana das alturas e
dos tamanhos dos palmos dos diferentes grupos? Justifique sua resposta.
2. Formule uma atividade de coleta e organização de dados que possa ser aplicada em uma turma
de ensino médio.
(a) Escolha a melhor representação gráfica dentre as possibilidades da planilha eletrônica.
(b) Use as funções da planilha de cálculo e determine os valores da média, moda e mediana.
(c) Relate que conclusões você pode inferir sobre os dados coletados com base nas repre-
sentações gráficas e nas medidas?2.2. TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO E MATEMÁTICA FINANCEIRA 27
Outro campo em que a educação para a cidadania pode se articular com a aprendizagem de conceitos
matemáticos importantes é a Matemática Financeira. No estágio econômico por que passa o Brasil,
com grande parte da população tendo acesso a créditos e financiamentos em modelos diversificados,
cabe ao ensino básico de Matemática oferecer ao aluno uma formação sólida neste campo.
A Matemática Financeira aplicada aos diversos ramos da atividade econômica pode repre-
sentar importante instrumento para auxiliar em análises e decisões de ordem pessoal e social.
Assim, além de servir como aporte a conceitos de outros campos, o aprendizado de Matemática Fi-
nanceira instrumentaliza o cidadão a melhor entender, interpretar e escolher adequadamente d́ıvidas,
crediários, descontos, reajustes salariais, aplicações financeiras. Dentre essas decisões, destacamos as
escolhas entre de propostas de financiamentos a longo, médio e curto prazo, relacionadas a experiências
do cotidiano.
A seguir apresentamos atividades que exploram análises de diferentes modos de composição de
financiamentos com pagamentos periódicos muito utilizados em créditos de longo prazo para aquisição
de véıculos (carros, motos) e imóveis.
Atividade
3. Para a maioria das operações financeiras as taxas de juros compostos são aplicadas a cada peŕıodo
sobre um capital aplicado ou a uma d́ıvida contratada. Desse modo, se o peŕıodo de capitalização
ou incidência dos juros difere do peŕıodo da taxa de juros informada é necessário uma conversão
de modo a adequar o peŕıodo à taxa. A tabela abaixo pode ser constrúıda com as funções de
uma planilha de cálculo.
(a) Reproduza esta planilha para as conversões indicadas e proponha a conversão para outros
valores de taxas, considerando os peŕıodos do exemplo.
(b) Apesar de não estar expĺıcita, a conversão acontece para valores de taxas dadas ao ano e
que devem ser calculadas para valores ao mês. Que valores estariam nas células Q e R se a
taxa dada fosse calculada ao ano e as taxas aplicadas ao trimestre?
(c) Simule conversões para diferentes peŕıodos (por exemplo: semestre para bimestre, etc).
(d) Observe a função referente à célula S3. Escreva uma justificativa matemática para esta
função. Que conceito matemático é empregado para encontrar os valores?
(e) Com esta mesma tabela de conversão, sem mudar a função, é posśıvel converter uma taxa
dada ao mês no sistema de juros compostos para o equivalente ao ano? Em caso afirmativo,
qual é a justificativa matemática para tal conversão?
28 CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRÔNICAS
O foco das atividades 4 a 7 a seguir está nos sistemas utilizados para financiamentos de longo prazo.
Nestes tipos de financiamentos, consideram-se sempre parcelas periódicas constitúıdas por duas partes:
a amortização, que corresponde ao que é efetivamente abatido da d́ıvida; e os juros, calculados sobre
o saldo devedor no peŕıodo do pagamento. Há duas modalidades principais encontradas no mercado
para este tipo de financiamento:
• No sistema SAC (Sistema de Amortização Constante), um valor constante é amortizado a cada
parcela. Portanto, o valor das parcelas decresce com o tempo. Este sistema é muito usado em
financiamentos de casa própria.
• No sistema PRICE, as parcelas constantes são mantidas constantes. Este pode ser mais encon-
trado em financiamentos de véıculos e bens duráveis. Muitas vezes, o sistema PRICE é informado
pelos vendedores como sendo sem juros, porém os juros totais são calculados e dilúıdos nas
parcelas fixas.
Podemos utilizar as funções estat́ısticas das planilhas eletrônicas para calcular valores para essas
modalidades de financiamento.
Atividades
4. O trecho da tabela abaixo representa um financiamento pelo sistema SAC, no valor de R$
50.000,00 para compra de um imóvel em um peŕıodo de 300 meses, com taxa de 0,9% ao
mês.
(a) Reproduza esta tabela do Sistema SAC em uma planilha de cálculo.
Observe que para utilizar células que terão valor constante devemos utilizar o rótulo da
coluna sempre entre $. Por exemplo, toda vez que nesta tabela usar a taxa fixa de 0,9%
devo criar referência a $B$3. Os valores da coluna B, de B4 em diante são obtidos pela
subtração de 1 do valor antecessor: E5=E4-1.
2.2. TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO E MATEMÁTICA FINANCEIRA 29
(b) Justifique matematicamente cada um dos valores numéricos presentes nas células da linha
4 (B4:F4).
(c) O que podemos observar relacionado a cada uma das colunas?
(d) Qual o comportamento das parcelas da prestação neste sistema? Justifique.
(e) Utilize o assistente de gráficos da planilha e em único sistema cartesiano represente os valores
das colunas C, D, E, e F com as parcelas da coluna B.
(f) Experimente variar os valores da quantidade de parcelas ou da taxa de juros. O que podemos
observar em cada caso?
5. A tabela abaixo apresenta o mesmo financiamento da atividade 4, utilizando o sistema PRICE.
(a) O que podemos observar diferente nesta tabela? Justifique.
A figura abaixo ilustra a situação retratada pela tabela PRICE acima. Ou seja, temos um
valor principal e devemos encontrar as parcelas iguais, em modo composto, obtidas a partir
do VF. Cabe ressaltar que este valor pode ser obtido por meio das funções estat́ısticas da
planilha. Por exemplo o conteúdo obtido em K4 é dado por Cálculo da Prestação Constante:
=PGTO(i%; n; -VP; Vf; 0) em que:
• i é a tx de juros;
• n é a quantidade de peŕıodos;
• VP é o valor do empréstimo;
• VF é usualmente zero;
• 0 indica que os pagamentos serão ao final do peŕıodo.
30 CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRÔNICAS
(b) Justifique matematicamente cada um dos valores numéricos presentes nas células da linha
4 (J4:M4).
(c) Observe a função referente à célula S3. Escreva uma justificativa matemática para esta
função. Que conceito matemático é empregado?
(d) Qual o comportamento das parcelas da prestação neste sistema? Justifique.
(e) Utilize o assistente de gráficos da planilha e em único sistema cartesiano represente os valores
das colunas C, D, E, e F, com as parcelas da coluna B.
(f) Experimente variar os valores da quantidade de parcelas ou da taxa de juros. O que podemos
observar em cada caso?
6. Construa em uma mesma planilha as tabelas com os sistemas SAC e PRICE. Para cada um dos
casos, represente em eixos cartesianos a amortização, os juros, as prestações e saldo devedor.
Comente as vantagens e desvantagens de cada sistema.
7. Construa as tabelas análogas às anteriores, para o caso da taxa dada ao ano com peŕıodos de
prestações mensais. Veja a figura abaixo, como uma sugestão para inserir a nova entrada com
taxa ao ano.
Fecharemos este Caṕıtulo com uma atividade interessante (e talvez surpreendente) de Matemática
Financeira. Além do número π, o número irracional transcendente mais conhecido e importante da
Matemática é certamente a constante de Euler:
e = 2, 718281828459 . . .
Embora o número e tenha um papel importante em Matemática superior, além de inúmeras
aplicações na modelagem de problemas em diversas áreas, motivações para a sua introdução no ensino
básico não são muito difundidas – diferentemente do que ocorre com o número π, cuja definição como
razão entre o peŕımetro e a diagonal do ćırculo tem forte apelo geométrico. No caso da constante de
Euler, uma dificuldade está no fato de que, embora haja algumas formas equivalentes de definir este
número, todas envolvem de alguma forma o conceito de limite. Podemos definir e por meio do seguinte
limite, conhecido como Segundo Limite Fundamental do Cálculo:
e = lim
n→+∞
(
1 +
1
n
)n
.
Uma das formas de motivar a definição da constante de Euler envolve uma situação de Matemática
Financeira, apresentada na atividade 8. Como observará, a planilha eletrônica tem um papel importante
2.2. TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO E MATEMÁTICAFINANCEIRA 31
nessa atividade, pois são necessários muitos cálculos. Como nas atividades 1 a 6 da seção 2.1, para
aplicar esta atividade no ensino médio, não é necessário empregar linguagem de limites, mas apenas
fazer com que os alunos percebam intuitivamente o processo de aproximação, que pode ser usado como
preparação para a futura introdução ao conceito de limite.
Atividade
8. Em uma planilha eletrônica, considere as colunas A, B, e C. Nessas colunas realize as seguintes
operações:
1. Na coluna A, digite nas células A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9 e A10, respectiva-
mente, os valores 1, 2, 3, 4, 6, 12, 365, 8760, 525600 e 31536000.
2. Digite =1+1/A1 na célula B1 e =B1∧A1 na célula C1.
3. Arraste as células B1 e C1, ao longo das colunas B e C, até o final dos valores digitados
na coluna A.
(a) Na coluna C estamos calculado
(
1 + 1
n
)n
para n igual a cada um dos valores digitados na
coluna A. O que você observa nestes cálculos?
(b) Como explicar que
(
1 + 1
n
)n
aproxima-se de um número real à medida que n aumenta?
Uma explicação intuitiva para a convergência de
(
1 + 1
n
)n
quando n aumenta indefinidamente está
na Matemática Financeira, mais precisamente nos juros pagos por uma caderneta de poupança. Pense
que você possui uma quantia Q0 aplicada na caderneta de poupança de um certo banco, que paga pela
aplicação dessa quantia uma taxa de rendimentos de 100% ao ano, e você ainda decide as datas para
a capitalização de sua aplicação.
Se você optar pela capitalização anual (uma vez ao ano), a cada ano o banco paga a você o saldo
integral (100% = 1) existente na capitalização anterior. Assim, após um ano você terá:
• capitalização anual: Q0 +Q0 = 2Q0 .
Se você optar pela capitalização semestral (duas vezes ao ano), a cada seis meses o banco paga a
você metade (50% = 1
2
) do saldo existente na capitalização anterior. Assim, após seis meses você terá
Q0 + 1
2
Q0 =
(
1 + 1
2
)
Q0 e após um ano você terá
(
1 + 1
2
)
Q0 + 1
2
(
1 + 1
2
)
Q0 =
(
1 + 1
2
) (
1 + 1
2
)
Q0 de
saldo, ou seja:
• capitalização semestral:
(
1 + 1
2
)2
Q0 = 2, 25Q0 .
Se você optar pela capitalização quadrimestral (três vezes ao ano), a cada quatro meses o banco
paga a você um terço do saldo existente na capitalização anterior. Assim, após quatro meses seu saldo
será
(
1 + 1
3
)
Q0, após oito meses seu saldo será
(
1 + 1
3
)2
Q0 e após um ano seu saldo será:
• capitalização quadrimestral:
(
1 + 1
3
)3
Q0 = 2, 370Q0 .
Desta forma, o juro anual da aplicação é parcelado linearmente no peŕıodos de capitalização, ou seja,
dividido em partes iguais pelo número de capitalizações anuais. Ao fim de cada peŕıodo de capitalização,
este juro parcelado é aplicado sobre o saldo da capitalização existente ao fim do respectivo peŕıodo.
Perceba que, ao final de um ano, os juros sobre juros vão aumentando seu rendimento inicial Q0 à
medida que aumentamos o número de capitalizações anuais. Assim, se você optar pela capitalização
trimestral (4 vezes ao ano), bimestral (6 vezes ao ano), mensal (12 vezes ao ano), diária (356 vezes ao
ano), ao final do ano o saldo total da aplicação será cada vez maior:
32 CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRÔNICAS
• capitalização trimestral:
(
1 + 1
4
)4
Q0 = 2, 44140625Q0.
• capitalização bimestral:
(
1 + 1
6
)6
Q0 = (2, 521626 . . .)Q0.
• capitalização mensal:
(
1 + 1
12
)12
Q0 = (2, 613035 . . .)Q0.
• capitalização diária:
(
1 + 1
365
)365
Q0 = (2, 714567 . . .)Q0.
Não há no mercado aplicações com prazo de capitalização inferior a um dia, mas se pudéssemos
aumentar indefinidamente o número de capitalizações anuais, diminuindo consequentemente o peŕıodo
de capitalização, verificaŕıamos que o saldo da aplicação ao final do ano continuaria aumentando.
Hipoteticamente, podeŕıamos pensar por exemplo em capitalização horária (365× 24 = 8760 vezes ao
ano), minuto a minuto (8760 × 60 = 525600 vezes ao ano) ou segundo a segundo (525600 × 60 =
31526000 vezes ao ano). Assim, teŕıamos:
• capitalização horária:
(
1 + 1
8756
)8756
Q0 = (2, 718127 . . .)Q0.
• capitalização minuto a minuto:
(
1 + 1
525600
)525600
Q0 = (2, 718279 . . .)Q0.
• capitalização segundo a segundo:
(
1 + 1
31536000
)315360006
Q0 = (2, 718282 . . .)Q0.
Mas, será que o fato deste saldo final anual aumentar significa que ele aumenta ilimitadamente?
Isto é, podemos obter um saldo final tão grande quanto queiramos, tomando peŕıodos de capitalização
suficientemente pequenos? Veremos que a resposta é não: o saldo final sempre aumenta, mas nunca
ultrapassa certa cota superior. Perceba que os valores calculados na planilha eletrônica na atividade
8 correspondem às taxas finais de rendimentos, (isto é, às razões entre cada saldo final anual obtido
e o respectivo valor aplicado inicialmente) correspondes aos peŕıodos de aplicação relacionadas acima.
Esses valores parecem convergir para um número próximo de 2, 71828. Entretanto, para ter certeza
dessas respostas, precisamos abordar o problema matematicamente.
As taxas finais de rendimentos, para uma aplicação com n capitalizações anuais, são dadas pela
sequência de exponenciais:
en =
(
1 +
1
n
)n
, n = 1, 2, 3, . . .
Evidentemente, a existência do limite dessa sequência, que determina a constante de Euler, precisa
ser demonstrada matematicamente. Essa demonstração passa por mostrar que a sequência de números
reais (en) é estritamente crescente e limitada superiormente por 3. Demonstrado isso, a completude
dos números reais garante a existência do limite, que chamaremos de e. Observe inicialmente que a
potência en se expande em n + 1 parcelas, como abaixo:
(
1 +
1
n
)n
= 1 +
1
n
n+
n(n− 1)
2
1
n2
+
n(n− 1)(n− 2)
2!
1
n3
+ · · ·+ n
1
nn−1
+
1
nn
.
A (j + 1)-ésima parcela, do ponto de vista de
1
j!
, se escreve como
n(n− 1)(n− 2) · · · (n− j + 1)
j!
1
nj
=
n(n− 1)(n− 2) · · · (n− j + 1)
nj
1
j!
=
n
n
n− 1
n
· · · n− j + 1
n
1
j!
=
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
· · ·
(
1− j − 1
n
)
1
j!
2.2. TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO E MATEMÁTICA FINANCEIRA 33
Como cada um dos parênteses acima aumenta de valor se trocarmos n por n+1, segue que en < en+1
para todo n. Além disso, cada um desses parênteses é sempre menor do que 1, tornando a parcela em
questão menor do que
1
j!
. Assim:
en =
(
1 +
1
n
)n
< 1 +
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+ · · ·+ 1
n!
A soma das quatro primeiras parcelas da desigualdade acima resulta em 8
3
. Para as demais parcelas
vamos usar que
1
n!
<
1
2n
para todo n ≥ 4. Podemos então limitar en por
en =
(
1 +
1
n
)n
<
8
3
+
1
24
+
1
25
+ · · ·+ 1
2n
<
8
3
+
1
24
(
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · ·
)
=
8
3
+
1
16
· 2 =
67
24
= 2, 7916 < 3
O número
e = lim
n→+∞
(
1 +
1
n
)n
conhecido na matemática como a constante de Euler, é um valor que aparece naturalmente na mode-
lagem matemática de problemas reais, conforme já vimos no exemplo do rendimento da caderneta de
poupança.
Note que o que foi provado acima é que o limite da sequência en existe e é um número real menor ou
igual a 3, que chamamos de e. Portanto, por enquanto sabemos apenas que 0 < e 6 3. A experiência
que realizamos com a planilha eletrônica fornece aproximações para o número e. Porém, apenas com
base nessa experiência, não há como saber quantos algarismos das aproximações geradas em cada passo
coincidem com as casas decimais exatas de e. Determinar com precisão as casas decimais de e é outro
problema, que demanda outras ferramentas matemáticas, como por exemplo polinômios de Taylor.
Cabe observar ainda que, evidentemente, juros de 100% ao ano não é uma situação realista. En-
tretanto, estabelecemos este valor apenas para facilitar as contas. Se, em lugar disso, fixássemos uma
taxa p de juros qualquer, as taxas finais de rendimentos, em função do númeron de aplicações anuais,
seriam dadas por: (
1 +
p
n
)n
, n = 1, 2, 3, . . .
É posśıvel mostrar que a sequência acima converge para o número ep.
Atividades
9. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 8.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel da planilha eletrônica no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso da planilha nas atividades pode trazer para a aprendi-
zagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais (isto
é, sem o uso de recursos computacionais)?
10. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 8, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
34 CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRÔNICAS
Caṕıtulo 3
Ambientes Gráficos
Introdução
No ensino básico, as principais formas de representação empregadas na abordagem de funções reais
de variável real são: algébricas (fórmulas), gráficas (gráficos) e numéricas (tabelas). Entretanto, de
forma geral, observa-se grande ênfase em fórmulas e procedimentos algébricos rotineiros executados
sem maiores reflexões, o que tende a favorecer a concepção de função simplesmente como fórmula. Em
conseqüência, não é incomum que os alunos passem a considerar função como tudo aquilo que tem
uma fórmula, negligenciando outros aspectos importantes do conceito, e confundindo-o com outras
idéias, especialmente a de equação. O modelo usado em grande parte dos exerćıcios com essas formas
principais de representação para funções segue o roteiro (ilustrado na figura 3.1):
1. partir de uma fórmula dada;
2. construir uma tabela por substituição de valores (em geral, inteiros positivos e negativos próximos
de 0);
3. marcar os pontos correspondentes no plano cartesiano e ligar esses pontos, obtendo um esboço
do gráfico.
Fórmula
Tabela
Gráfico
Figura 3.1: Representações para funções na escola: relações limitadas.
Este é um modelo essencialmente quantitativo, pois se baseia apenas nos valores da função em um
número finito (e em geral pequeno) de elementos do doḿınio, com pouca reflexão matemática levando
em conta caracteŕısticas qualitativas espećıficas da função. Tanto a escolha dos elementos do doḿınio
para compor tabelas quanto a interpolação de pontos para traçar gráficos são em geral feitas de forma
indiscriminada, o que, efetivamente, pouco contribui para uma melhor compreensão do comportamento
da função. Assim, esse modelo envolve relações limitadas entre as formas de representações.
É um objetivo importante para o ensino de funções procurar “completar” o diagrama da figura
3.1, como mostra a figura 3.2, enriquecendo a abordagem com atividades que promovam articulações
múltiplas entre diferentes formas de representação e, desta forma, contribuam para uma com-
preensão mais qualitativa sobre funções reais. Por exemplo, relacionar as caracteŕısticas geométricas do
35
36 CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRÁFICOS
gráfico de uma função diretamente com as propriedades algébricas de sua fórmula, sem a intermediação
de tabelas de valores.
Fórmula
Tabela
Gráfico
Figura 3.2: Representações para funções na escola: completando articulações.
Existem alguns softwares dispońıveis que podem ajudar neste objetivo (por exemplo, [2, 7]). Es-
ses programas não requerem comandos ou sintaxe de programação espećıficos e permitem manipular
gráficos de funções de forma integrada com representações algébricas e numéricas, usando essencial-
mente a mesma simbologia algébrica usual. Neste caṕıtulo, exploraremos possibilidades de uso desse
tipo de software no ensino básico. Assim como no caso do caṕıtulo 1, o objetivo central é destacar
a riqueza das explorações matemáticas que podem ser feitas com recursos tecnológicos relativamente
simples e acesśıveis. As atividades propostas podem ser feitas com os programas Graphmatica [2],
WinPlot [7] (que podem ser facilmente encontrados na internet), com outros equivalentes de sua pre-
ferência, ou ainda com planilhas eletrônicas que tenham recursos para traçar gráficos dispońıveis (como
veremos no caṕıtulo 2, a seguir).
3.1 Articulando Representações
As atividades que seguem o modelo representado na figura 3.1 não são necessariamente ruins. Porém
para que contribuam de fato para a aprendizagem do conceito de função, é importante que tanto a
escolha dos valores na tabela quanto a construção do gráfico não sejam feitas de forma mecânica, e
levem em consideração as propriedades espećıficas da função dada. Observe os exemplos da atividades
a seguir.
Atividades
1. Considere a função f1 : R→ R dada por f1(x) = 9x2 − 9x + 2.
(a) Construa uma tabela de valores e esboce o gráfico desta função com lápis e papel.
(b) Agora, construa o gráfico da função no computador.
(c) Qual é o menor valor atingido pela função?
(d) Que valores você escolheria para construir uma tabela, de forma a realmente ajudar a
entender o comportamento desta função?
(e) Como a reta y = 2 pode ajudar a entender este gráfico?
2. Considere a função f2 : R→ R dada por f2(x) = (x− 1) (4x− 1) (4x− 3).
(a) Construa uma tabela de valores e esboce o gráfico desta função com lápis e papel.
(b) Agora, construa o gráfico da função no computador.
(c) Determine para que valores de x a função é positiva e para que valores de x a função é
negativa.
(d) Que valores você escolheria para construir uma tabela, de forma a realmente ajudar a
entender o comportamento desta função?
3.1. ARTICULANDO REPRESENTAÇÕES 37
3. Considere a função f3 : R \
{
1
2
}
→ R dada por f3(x) =
1
(2x− 1)
.
(a) Construa uma tabela de valores e esboce o gráfico desta função com lápis e papel.
(b) Agora, construa o gráfico da função no computador.
(c) Esta função está definida para todos os valores x ∈ R?
(d) Que valores você escolheria para construir uma tabela, de forma a realmente ajudar a
entender o comportamento desta função?
(e) Como a reta x = 1
2
pode ajudar a entender este gráfico?
As três atividades acima são variações da mesma idéia, mas com graus de dificuldade progressiva-
mente crescentes, pois envolvem exemplos de funções cada vez menos familiares aos alunos. Basica-
mente, a idéia básica é propor exerćıcios envolvendo construção de tabelas e esboço gráficos sem o uso
do computador, e em seguida usar a visualização dos gráficos no computador para questionar, por meio
de uma questão chave, as escolhas possivelmente feitas durante as resoluções. Nesses três exemplos,
se os valores escolhidos restringirem-se a números inteiros e os pontos correspondentes forem ligados
indiscriminadamente, então os esboços dos gráficos obtidos deixarão de captar aspectos importantes
do comportamento de cada uma das funções, que ocorrem para valores de x entre 0 e 1. Portanto, é
necessário escolher os valores e ligar os pontos convenientemente. O software Graphmatica dispõe de
um recurso que exibe uma tabela de valores determinada automaticamente de acordo com o intervalo
em que o gráfico é traçado. Este recurso pode ser usado para explorar a relação entre os valores da
tabela e o gráfico no próprio software.
Na atividade 1, é dada uma função polinomial do segundo grau, que deve ser familiar aos alunos
a partir do final do ensino fundamental. Portanto, eles não devem ter dificuldades em perceber que
o ponto de ḿınimo da função ocorre em
(
1
2
,−1
4
)
. A partir dáı, os alunos poderão constatar que a
estratégia de substituir apenas valores inteiros e ligar os pontos, sem levar em conta as propriedades da
função dada, pode não ser eficiente para traçar o gráfico (figura 3.3). Esta constatação pode ajudá-los
a questionar a estratégia também no caso de exemplos menos familiares, como nas atividades 2 e 3.
Figura 3.3:O gráfico de f1(x) = 9x2 − 9x + 2 traçado no software Graphmatica, com uma tabela de
valores.
38 CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRÁFICOS
A função f2 da atividade 2 é polinomial do terceiro grau. Como a função já é dada na forma
fatorada, podemos determinar facilmente suas ráızes: x1 = 1
4
, x2 = 3
4
e x3 = 1. Além disso, a análise
de sinais do produto permite concluir que f2 é:
• negativa para x < 1
4
;
• positiva para 1
4
< x < 3
4
;
• negativa para 3
4
< x < 1;
• positiva para x > 1.
Com base nessas informações (como f2 é cont́ınua), é posśıvel concluir que f2 tem (pelo menos) um
máximo local em
]
1
4
, 3
4
[
e um ḿınimo local em
]
3
4
, 1
[
. Os gráficos de funções polinomiais de terceiro
grau não têm as mesmas propriedades de simetria das funções de segundo grau, portanto, não podemos
concluir, por exemplo, que esses pontos de máximo e ḿınimo ocorrem em pontos médios das ráızes, ou
de valores de x para determinado valor dado de y. Para determinar sua localização analiticamente, seria
necessário recorrer a métodos do cálculo infinitesimal. Entretanto, uma tabela de valores pode ajudar
a encontrar sua posição aproximada e, assim, entender melhor o comportamento da função. Porém,
para este fim, a tabela deve incluir pontos entre 0 e 1
4
, entre 1
4
e 3
4
e entre 3
4
e 1 (ver figura 3.4). Neste
caso, a questão chave da atividade é: Determine para que valores de x a função é positiva e para que
valores de x a função é negativa.
Figura 3.4: O gráfico de f2(x) = (x− 1) (4x− 1) (4x− 3) traçado no software Graphmatica, com uma
tabela de valores.
A função f3 da atividade 3 não está definida em x = 1
2
. Além disso, como o numerador de f3 é igual
a 1 e seu denominador se anula neste ponto, então, nos pontos próximos a x = 1
2
, a função assume
valores indefinidamente grandes em módulo (positivos do lado direito e negativos do lado esquerdo).
Em termos de limites, sabemos que:
lim
x→ 1
2
+
f3(x) = +∞ e lim
x→ 1
2
−
f3(x) = −∞ .
3.1. ARTICULANDO REPRESENTAÇÕES 39
Entretanto, não é necessário recorrer a linguagem de limites para dar uma idéia intuitiva do compor-
tamento da função. Isto pode ser feito por meio da observação da relação entre o comportamento do
gráfico e os valores da função em pontos próximos x = 1
2
(ver figura 3.5). Como veremos na seção 2.1,
tabelas de valores (que podem ser feitas por meio de planilhas eletrônicas) podem ajudar a construir
uma idéia intuitiva do comportamento de limites infinitos e limites no infinito, sem que seja preciso
empregar linguagem de limites. Este comportamento não seria percebido se constrúıssemos uma tabela
apenas com valores inteiros de x e, especialmente, se ligássemos os pontos em considerar a interrupção
do gráfico em x = 1
2
. A questão chave neste caso é: Esta função está definida para todos os valores
x ∈ R?
Figura 3.5: O gráfico de f3(x) =
1
(2x− 1)
traçado no software Graphmatica, com uma tabela de
valores.
Cabem ainda algumas observações importantes sobre as atividades anteriores. Em primeiro lugar,
os valores para montar as tabelas devem ser calculados com a ajuda dos recursos do próprio software,
de outros softwares ou de uma calculadora. Estes cálculos podem ser trabalhosos, e o objetivo das
atividades não é treinar a destreza em contas e sim enfatizar as relações qualitativas entre
as propriedades da fórmula algébrica, o comportamento do gráfico e os valores da função.
Por este mesmo motivo, estas representações devem ser discutidas pelo professor de forma
articulada: quando cada uma delas for enfocada, é importante, sempre que posśıvel, fazer referência
às demais e explicitar as relações. O software pode ser um aliado importante para estabelecer mais
claramente estas articulações. Outra forma particularmente interessante de fazer isso é relacionar os
conceitos de função e equação, que em muitos casos aparecem separados nos curŕıculos e livros didáticos
e são freqüentemente confundidos pelos alunos. Para traçar o gráfico de uma função f , é útil determinar
suas ráızes, isto é, encontrar os valores de x no doḿınio de f tais que f(x) = 0. Para discutir mais
estas idéias, veja as atividades 6 a 7.
Além disso, é fundamental observar que a idéia não é simplesmente usar o software para
verificar o que está certo ou errado no gráfico da função. Em lugar disso, a visualização no
software deve ser explorada para motivar reflexões e conjecturas sobre as funções, que devem ser
verificadas posteriormente por meio de ferramentas matemáticas. Esta observação está alinhada com
o objetivo mais geral de usar o computador para promover aprendizagem matemática sólida o
40 CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRÁFICOS
suficiente para permanecer e se transferir para outras situações – mesmo sem o apoio da
máquina. Assim, para que o computador não se torne um critério absoluto de verdade matemática para
os alunos, é importante explorar situações envolvendo resultados inesperados ou aparentemente errados,
cuja interpretação exija a compreensão mais aprofundada dos conceitos matemáticos relacionados.
Neste sentido, veja as atividades 1 a 5, da seção 3.3.
Atividades
4. Responda às perguntas a seguir, considerando as atividades 1, 2 e 3.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os principais objetivos dessas atividades?
(c) Qual é o papel das questões chave feitas em cada uma das atividades?
(d) Que outras perguntas você proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das ativida-
des?
(e) Que relações entre as representações das funções como fórmula, gráfico e tabela podem ser
exploradas com as atividades?
(f) Qual é o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software
pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação à abordagem
convencional (isto é, sem o computador)?
(g) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1, 2 e 3, que seja adequada para
as turmas em que você leciona. Procure incluir uma ou mais questões chave na atividade que
você elaborar, para ajudar a encaminhar a resolução dos alunos.
Funções e Equações
Observamos acima que a relação entre os conceitos de função e equação pode ser uma maneira inte-
ressante de articular diferentes representações. As noções de equação e de função são freqüentemente
abordadas por meio de procedimentos algébricos rotineiros, levando os alunos a desenvolverem uma
concepção confusa de equação e de função simplesmente como fórmula. Por isso, é muito importante
relacionar estas noções, de forma a deixar clara a diferença conceitual entre elas, e articular repre-
sentações numéricas, algébricas e gráficas na resolução de equações. Em geral, quando esboçamos o
gráfico de uma função f , procuramos resolver a equação f(x) = 0 (como abordamos no último item
da atividade 1). De forma mais geral, podemos procurar os elementos x do doḿınio de f cujas imagens
são iguais a um valor fixado a ∈ R, isto é, resolver a equação f(x) = a. Isto pode ajudar, por exemplo,
a explorar propriedades gráficas de simetria no caso das parábolas, como propõe a atividade 6.
Atividades
6. Considere a função g1 : R→ R, g1(x) = x2 − 4x+ 3.
(a) Esboce o gráfico de g1.
(b) Resolva as equações: g1(x) = 0, g1(x) = 3, g1(x) = −1 e g1(x) = −2.
(c) Qual é a relação entre as soluções das equações acima e o ponto x = 2?
(d) Represente as soluções das equações do item 6b graficamente.
3.1. ARTICULANDO REPRESENTAÇÕES 41
(e) Determine todos os valores de a ∈ R tais que a equação g1(x) = a tenha: duas soluções
reais distintas, uma única solução real, nenhuma solução real.
(f) De forma geral, qualé a relação entre as soluções das equações acima e o ponto x = 2?
(g) Relacione a resposta do item 6e com o gráfico de g1.
7. Considere a função g2 : R→ R, g2(x) = (x+ 1) (x− 1)2.
(a) Esboce o gráfico de g2.
(b) Resolva as equações g2(x) = 0.
(c) Quantas soluções tem a equação g2(x) = −1? Você saberia determinar o valor exato da
solução desta equação?
(d) Existe algum valor a ∈ R tal que g2(x) = a tenha exatamente duas soluções reais distintas?
Justifique sua resposta.
(e) Existe algum valor a ∈ R tal que g2(x) = a tenha exatamente três soluções reais distintas?
Justifique sua resposta.
(f) Existe algum valor a ∈ R tal que g2(x) = a não tenha soluções reais? Justifique sua
resposta.
(g) Relacione as respostas dos ı́tens anteriores com o gráfico de g2.
A atividade 6 tem como objeto uma função polinomial do segundo grau, que deve ser familiar ao
alunos. Assim, eles deverão ser capazes de resolver as equações analiticamente e que estabelecer uma
interpretação gráfica para as soluções: as soluções das equações f(x) = a são dadas pelos pontos de
interseção entre o gráfico de f e a reta horizontal y = a (figura 3.6, à esquerda).
Figura 3.6: Os gráficos de g1(x) = x2 − 4x + 3 e g2(x) = (x + 1) (x− 1)2, com soluções gráficas de
equações.
Assim, a atividade 6 pode preparar os alunos para a 7. Esta envolve uma função polinomial do
terceiro grau, que é menos familiar aos alunos e não pode ser manipulada algebricamente com as
ferramentas matemáticas usualmente ensinadas no ensino médio. Como a função é dada na forma
fatorada, os estudantes podem concluir que as soluções da equação g2(x) = 0 são −1 e 1. No entanto,
eles não terão ferramentas para determinar respostas anaĺıticas exatas para as demais seguintes
propostas na atividade. Este é um aspecto determinante para esta atividade, pois é justamente isso
que pode levá-los a buscar as respostas por meio da interpretação do gráfico: a equação f(x) = −1
tem uma única solução real, existem valores a ∈ R tais que a equação f(x) = a tem duas (um dos
quais sendo a = 0) e três soluções reais, mas não existem valores a ∈ R tais que f(x) = a não tenha
soluções reais. Lembramos ainda que podemos elaborar atividades envolvendo valores aproximados para
soluções de equações, com calculadoras (ver caṕıtulo 1) ou planilhas eletrônicas (ver caṕıtulo 2).
42 CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRÁFICOS
Atividades
8. Responda às perguntas a seguir, considerando as atividades 6 e 7.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os principais objetivos dessas atividades?
(c) Qual é o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software
pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação à abordagem
convencional (isto é, sem o computador)?
(d) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
9. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 e 7, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
3.2 Faḿılias de Funções Dependendo de Parâmetros
Em muitas situações de sala de aula, desejamos estudar a influência de determinados coeficientes nos
aspectos dos gráficos de certas faḿılias de funções. Por exemplo, sabemos que o coeficiente angular
de uma função polinomial de primeiro grau determina a inclinação de seu gráfico. A possibilidade de
articular representações gráficas e algébricas de forma dinâmica em ambientes computacionais gráficos
pode ajudar em explorações deste tipo, especialmente em casos não tão simples.
Funções Polinomiais do Segundo Grau
Quando estudamos funções polinomiais do segundo grau, sabemos que o coeficiente a está relacionado
com a concavidade da parábola, e o coeficiente c translada o gráfico verticalmente. Mas qual é a
influência do coeficiente b, do termo de primeiro grau, no aspecto da parábola? Observe as atividades
a seguir.
Atividades
1. Considere a faḿılia de parábolas y = 2 x2 + b x + 3, com b ∈ R.
(a) Esboce as parábolas desta faḿılia para b ∈ Z, −10 ≤ b ≤ 10.
(b) De que forma o parâmetro b influi o aspecto gráfico das curvas?
(c) Determine a equação do lugar geométrico do vértices da faḿılia de parábolas.
2. De forma mais geral, determine a equação do lugar geométrico dos vértices de uma faḿılia de
parábolas y = ax2 + bx + c, em que a e c são mantidos constantes e b ∈ R varia.
Na atividade 1, em primeiro lugar, pede-se que sejam esboçados os gráficos da faḿılia de parábolas
dada no computador (figura 3.7). Estes gráficos dão uma idéia intuitiva do movimento no plano que
a variação do coeficiente b provoca e sugerem que o lugar geométrico descritos pelos vértices é uma
curva com a forma semelhante a uma parábola.
3.2. FAMÍLIAS DE FUNÇÕES DEPENDENDO DE PARÂMETROS 43
Figura 3.7: A faḿılia de parábolas y = 2 x2 + b x + 3.
Assim, a visualização dos gráficos na tela pode indicar um caminho para resolução anaĺıtica do
problema. Para determinar analiticamente a equação deste lugar geométrico, devemos empregar as
fórmulas de coordenadas do vértice de uma parábola:
xv = − b
2a
e yv = −∆
4a
.
Portanto, no caso da nossa faḿılia de parábolas, temos:
xv = − b
4
e yv = −b
2 − 24
8
= −b
2
8
+ 3 .
Logo:
yv = −2 x2
v + 3 .
Em seguida, podemos traçar o gráfico que a equação acima representa na mesma tela em que foram
traçados os gráficos da faḿılia de parábolas, ilustrando visualmente a conclusão obtida (figura 3.8).
Figura 3.8: A faḿılia de parábolas y = 2 x2 + b x + 3, e o lugar geométrico de seus vértices.
44 CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRÁFICOS
A atividade 2 pede a generalização da conclusão da da atividade 1. Observe que, nesta atividade,
o computador não é usado diretamente. O papel do software foi motivar a exploração inicial de um
exemplo particular para levar a uma conclusão geral. Novamente, tomamos as fórmulas de coordenadas
do vértice, considerando a e c como constantes e b como uma parâmetro variando em R:
xv = − b
2a
e yv = −∆
4a
.
Isto é:
x2
v =
b2
4a2
e yv = −b
2 − 4ac
4a
= − b
2
4a
+ c .
Logo:
yv = −a x2
v + c .
Observe o encaminhamento das duas atividades anteriores, como proposto acima. Primeiro, par-
timos da exploração de um exemplo particular no ambiente gráfico, o que nos permitiu chegar a uma
conjectura sobre a solução do problema. Em um segundo momento, verificamos matematicamente a va-
lidade desta conjectura. Em seguida, voltamos ao computador para a interpretação gráfica do resultado.
Finalmente, generalizamos o resultado, por meio de argumentos matemáticos. Este encaminhamento
é ilustrado na figura 3.9.
computador
exploração inicial
conjecturas
verificação
matemática
do problema
computador
interpretação
da solução
generalização
matemática
da solução
Figura 3.9: O papel do computador na exploração inicial e interpretação de resultados.
No exemplos destas atividades, o computador desempenha um papel importante ao permitir que um
grande número de gráficos seja traçado com facilidade. O objetivo das atividades não é desenvolver ou
avaliar da destreza dos alunos em traçar gráficos, e sim estimular a compreensão qualitativa do problema.
Provavelmente, sem o computador, o trabalho dos estudantes para traçar os gráficos seria tamanho,
que sua atenção ficaria focada nos aspectos técnicos, desviando-se dos objetivos das atividades. Além
disso, é importante destacar que, no encaminhamento proposto acima, não é papel do computador
converter-se em um critério para verificar ou confirmar a validade matemática da solução. O papel
fundamental do computador é o de motivar conjeturas e indicar caminhos para a solução do
problema e para a generalização desta solução, além de enriquecer a compreensão desta
solução por meio da articulaçãoentre as representações algébrica e gráfica. A validade ou não
da solução devem ser baseadas exclusivamente em critérios de argumentação matemática.
Gráficos e Transformações no Plano
A seguir, propomos mais algumas atividades com estrutura semelhante à das anteriores. As resoluções
devem seguir essencialmente a mesma estrutura proposta acima. Por exemplo, no caso de funções
trigonométricas, podemos explorar os significados dos parâmetros a, b, c e d na faḿılia de funções
f : R→ R, f(x) = c sen (d x+ b) + a. É o que propomos nas atividades 3 a 5 a seguir. Para facilitar
o encaminhamento, analisamos separadamente os casos f(x) = sen (x + b) + a e f(x) = c sen (d x),
e em seguida combinamos as conclusões.
3.2. FAMÍLIAS DE FUNÇÕES DEPENDENDO DE PARÂMETROS 45
Atividades
3. Considere a faḿılia de funções f : R→ R, f(x) = sen (x+ b) + a, em que a e b são parâmetros
reais.
(a) Trace o gráfico de f para a = b = 0.
(b) Considere b = 0 e trace os gráficos de f para vários valores diferentes de a. Escolha valores
positivos e negativos para a. O que você observa no aspecto de gráfico de f em cada um
destes casos?
(c) Agora, considere a = 0 e trace os gráficos de f para vários valores diferentes de b. Escolha
valores positivos e negativos para b. O que você observa no aspecto de gráfico de f em
cada um destes casos?
(d) Trace os gráficos de f para vários valores, variando a e b simultaneamente.
(e) Qual é a influência dos parâmetros a e b no aspecto gráfico de f?
4. Considere a faḿılia de funções f : R → R, f(x) = c sen (d x), em que c e d são parâmetros
reais.
(a) Trace o gráfico de f para c = d = 1.
(b) Considere d = 1 e trace os gráficos de f para vários valores diferentes de c. Escolha valores
para c tais que |c| < 1 e |c| > 1. O que você observa no aspecto de gráfico de f em cada
um destes casos?
(c) Agora, considere c = 1 e trace os gráficos de f para vários valores diferentes de d. Escolha
valores para d tais que |d| < 1 e |d| > 1. O que você observa no aspecto de gráfico de f
em cada um destes casos?
(d) Trace os gráficos de f para vários valores, variando c e d simultaneamente.
(e) Qual é a influência dos parâmetros c e d no aspecto gráfico de f?
5. Considere agora a faḿılia de funções f : R → R, f(x) = c sen (d x + b) + a, em que a, b, c e
d são parâmetros reais. Trace os gráficos de f para vários valores de a, b, c e d. Tenha certeza
de escolher valores para a e b positivos e negativos e para c e d com módulos menores e maiores
que 1.
Como nas atividades 3 a 5, o computador tem o papel de possibilitar as explorações inicias do pro-
blema, permitindo que sejam traçados um grande número de gráficos, e a interpretação das conclusões,
articulando diferentes representações. Neste caso, podemos concluir que:
• os parâmetros aditivos a e b determinam translações horizontais e verticais nos gráficos das
funções (figura 3.10);
• os parâmetros multiplicativos c e d determinam dilatações horizontais e verticais nos gráficos das
funções (figura 3.10).
No caso da atividade 3, não é dif́ıcil entender o que ocorre quando variamos o parâmetro aditivo a.
Como estamos somando uma mesma constante às ordenadas de cada um dos pontos pertencentes ao
gráfico, o resultado é um deslocamento vertical:
• no sentido positivo do eixo (para cima), se o valor do parâmetro for positivo;
• no sentido negativo do eixo (para baixo), se o valor do parâmetro for negativo.
46 CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRÁFICOS
Figura 3.10: A função f(x) = sen x, suas translações f(x) = sen x + 1, f(x) = sen
(
x− π
4
)
e f(x) = sen
(
x− π
4
)
+ 1 (à esquerda), e suas dilatações f(x) = 1
2
sen x, f(x) = sen (3 x) e
f(x) = 1
2
sen (3 x) (à direita).
No entanto, pode ser mais dif́ıcil para interpretar a influência do parâmetro b no gráfico. A soma
de uma constante positiva à variável independente da função (dentro dos parênteses) acarreta em um
movimento é para a esquerda, e não para a direita como poderia ser inicialmente esperado pelos alunos.
Neste caso, justamente porque definimos uma nova função somando b unidades à variável x, para que
um elemento do doḿınio da nova função tenha a mesma imagem que um elemento do doḿınio da
função original, este deve ser subtráıdo de b unidades. Isto provoca um deslocamento horizontal do
gráfico:
• no sentido positivo do eixo (para a direita), se o valor do parâmetro for negativo;
• no sentido negativo do eixo (para a esquerda), se o valor do parâmetro for positivo.
Uma tabela com valores conhecidos da função seno também pode ajudar a entender o efeito de
deslocamento horizontal. Considere o exemplo de f(x) = sen
(
x− π
4
)
. Observe na tabela abaixo a
relação entre os valores da variável x, de x− π
4
e da variável y. Compare esses valores com os gráficos
de f(x) = sen (x) e f(x) = sen
(
x− π
4
)
na figura 3.10.
x− π
4
x y
0 π
4
0
π
2
3π
4
1
π 5π
4
0
3π
2
7π
4
−1
2 π 9π
4
0
De forma semelhante, na atividade 3, podemos perceber que, ao multiplicarmos a função por c,
estamos multiplicando por um o parâmetro com valor positivo as ordenadas de cada um dos pontos
pertencentes ao gráfico. O resultado é uma dilatação vertical. Se o parâmetro tiver valor negativo,
além da dilatação, o gráfico sofre também uma reflexão em relação ao eixo horizontal. Assim, temos:
• um esticamento vertical se valor do parâmetro for maior que 1;
• um encolhimento vertical se valor do parâmetro estiver entre 0 e 1;
• um esticamento vertical composto com reflexão em relação ao eixo horizontal se valor do parâmetro
for menor que −1;
• um encolhimento vertical composto com reflexão em relação ao eixo horizontal se valor do
parâmetro estiver entre −1 e 0.
3.2. FAMÍLIAS DE FUNÇÕES DEPENDENDO DE PARÂMETROS 47
Resta entender o efeito do parâmetro d. Como constrúımos uma nova função multiplicando a
variável dependente por uma constante d, para que um elemento do doḿınio da nova função tenha
a mesma imagem que um elemento do doḿınio da função original, este deve ser dividido por d. Isto
provoca uma dilatação horizontal do gráfico, que será composta com uma reflexão em relação ao eixo
vertical, se o valor o parâmetro tiver valor negativo:
• um encolhimento horizontal se valor do parâmetro for maior que 1;
• um esticamento horizontal se valor do parâmetro estiver entre 0 e 1;
• um encolhimento horizontal composto com reflexão em relação ao eixo vertical se valor do
parâmetro for menor que −1;
• um esticamento composto com reflexão em relação ao eixo vertical se valor do parâmetro estiver
entre −1 e 0.
Como no caso das translações horizontais, uma tabela pode ajudar a entender o efeito de dilatação
horizontal. Considere o exemplo de f(x) = sen
(
1
2
x
)
. A tabela abaixo relaciona os valores da variável
x, de 1
2
x e da variável y. Compare esses valores com os gráficos de f(x) = sen (x) e f(x) = sen
(
1
2
x
)
na figura 3.10.
1
2
x x y
0 0 0
π
2
π 1
π 2 π 0
3π
2
3 π −1
2 π 4 π 0
Escolhemos o exemplo da função seno nas atividades anteriores porque o formato de seu gráfico
facilita a visualização dos efeitos dos parâmetros. Porém, é claro que as conclusões obtidas são gerais,
e não exclusivas das funções trigonométricas Considere, por exemplo, as atividades 6 e 7 a seguir.
Observe que, na atividade 6, o objetivo é aplicar as conclusões obtidas com suporte da exploração
computacional, mas computador não é usado diretamente. Além disso, não é dada nenhuma
informação sobre a fórmula algébrica da função. Portanto, o aluno deve resolver o problema apenas
com os dados gráficos.
Atividades
6. Abaixo vemos os gráficos de duas funções q1 : R → R (à esquerda) e q1 : R → R (à direita).
Sabemos que na forma q1(x) = p(a x+ b) + c, em que a, b e c são constantes reais. Determine
os valores de a, b e c. Justifique sua resposta.
1 2−1−2
1
2
−1−2
x
y
1 2 3 4 5 6−1−2
1
2
3
−1
−2
x
y
48 CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRÁFICOS
7. Considere a função 1 : R→ R, h(x) = |x2 − 1|. Esboce os gráficos de h e das funções definidas
por h1(x) = h(x + 1)− 2, h2(x) = 3 h(2 x) e h3(x) = 1
2
h(3 x− 1)− 2.
Uma aplicação interessante de translações de gráficos é a obtenção das fórmulas de coordenadas
do vértices de uma parábola (que usamos nas atividades 1 e 2 desta seção) por meio de translações de
uma parábola com vértice em na origem. Primeiro, devemos escrever uma parábola y = a x2 + b x+ c
qualquer na chamada forma canônica, completando quadrados:
y = a x2 + b x + c =
= a
(
x2 +
b
a
x+
)
+ c =
= a
(
x2 +
b
a
x +
b2
4a2
)
− b2
4a
+ c =
= a
(
x +
b
2a
)2
+
4ac− b2
4a
.
Portanto:
y = a (x− x0)2 + y0 .
em que: x0 = − b
2a
e y0 =
4ac− b2
4a
= −∆
4a
.
Estas são as conhecidas fórmulas de coordenadas do vértice de uma parábola. Pelo que já estudamos
de translações, sabemos que a parábola acima é dada pela translação de y = a x2, de x0 unidades na
horizontal e y0 unidades na vertical. Assim, podemos deduzir a seguinte propriedade: qualquer parábola
é dada por uma translação de uma parábola com mesmo valor de a e vértices na origem. Decorre ainda
desta propriedade que quaisquer duas parábolas com mesmo valor de a são congruentes, isto é, uma
qualquer uma delas pode ser obtida a partir da outra por meio de uma translação. Da forma canônica,
podemos deduzir também outras propriedades importantes das parábolas, como a existência do eixo de
simetria vertical e a própria fórmula das ráızes. Em sala de aula, esta discussão pode ser conduzida,
partindo-se de exemplos mais simples, até a conclusão geral. Este é o objetivo da atividade 8.
Atividades
8. Considere a função p : R→ R, p(x) = 2 x2. Esboce os gráficos de p e das funções definidas por
p1(x) = p(x− 2), p2(x) = p(x) + 1 e p3(x) = p(x− 2) + 1. Qual é relação entre estes gráficos?
9. Determine a equação de uma parábola y = a x2 + b x+ c, com a = 2 e vértice no ponto (−1, 3).
10. Responda às perguntas a seguir, considerando as atividades 1 a 9 propostas nesta seção.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os principais objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software
pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação à abordagem
convencional (isto é, sem o computador)?
(d) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
11. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das propostas nesta seção, que seja adequada
para as turmas em que você leciona.
3.3. PONTOS DE VISTA E PERSPECTIVAS 49
3.3 Pontos de Vista e Perspectivas
Como salientamos anteriormente, é importante explorar pedagogicamente não só as potencia-
lidades como também as limitações técnicas do computador. A interpretação de resultados
aparentemente errados ou inesperados pode motivar explorações matemáticas, além de contribuir para
a formação de uma postura cŕıtica dos estudantes. No caso de ambientes gráficos, este tipo de resultado
está relacionado principalmente com arredondamento de valores numéricos e interpolação de pontos
para traçar gráficos. Observe o exemplo da atividade a seguir.
Atividade
1. A figura ao lado representa o gráfico da
função h : R? → R, h(x) =
x
|x| , traçado
em um programa de computador. Você
consideraria este gráfico correto? Explique
por que o gráfico adquiriu este aspecto.
Para interpretar a figura da atividade acima, devemos entender a estrutura dos algoritmos mais
simples usados pelos programas computacionais para traçar gráficos, baseados essencialmente em subs-
tituição e interpolação: dada uma fórmula algébrica, montar uma tabela por substituição de valores (em
geral, em grande quantidade), interpolar os pontos correspondentes no plano cartesiano. É interessante
observar que este é basicamente o mesmo método do modelo de exerćıcios comentado no começo desta
seção (figura 3.1, p. 35). A diferença é que o computador tem capacidade de cálculo e precisão muito
maiores que as do ser humano, o que permite a construção de tabelas com muito mais valores.
Por outro lado, para traçar o gráfico da atividade 1, o software não levou em conta uma propri-
edade qualitativa importante da função1: x = 0 não faz parte do doḿınio e há uma interrupção do
gráfico neste ponto. Este exemplo pode ser usado para mostrar aos estudantes que este método pode
conduzir a erros – mesmo com a capacidade de cálculos do computador – e que, portanto, evidenciar a
importância de levar em consideração propriedades qualitativas da função. As atividades 2 a 3 a seguir
também envolvem respostas do software cujas interpretações podem ser usadas para motivar exploração
matemática.
No desenvolvimento de atividades deste tipo, é recomendável que os alunos tenham liberdade
para manusear livremente o software, alterando janelas gráficas da forma que desejarem. Ao
mesmo tempo, eles devem ser estimulados a procurar entender o comportamento dos gráficos
e os aspectos adquiridos em diferentes janelas gráficas à luz de argumentos matemáticos.
Sem orientações espećıficas do professor neste sentido, os alunos podem se perder na manipulação
do software e na mudança de janelas gráficas. Estas manipulações devem sempre ser orientadas pela
análise matemática dos dados do problema e das questões propostas, de forma a ajudar de fato na
compreensão do problema.
1Há softwares com recursos mais sofisticados que permitem considerar propriedades qualitativas como a da atividade
1, como veremos no caṕıtulo 5. Entretanto, neste caṕıtulo, visamos enfocar o uso de softwares gráficos com recursos
mais limitados. O objetivo destas atividades não é discutir que programa possui recursos mais sofisticados, e sim destacar
justamente a possibilidade de empregar as próprias limitações dos softwares como potencialidades pedagógicas.
50 CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRÁFICOS
Atividades
2. A figura ao lado representa o gráfico da função p :
R? → R definida por p(x) = x2 +
1
x2
, traçado em
um programa de computador para −100 ≤ x ≤
100, 0 ≤ y ≤ 5000. Justifique suas respostas.
(a) O gráfico de p é uma parábola?
(b) A função p possui pontos de ḿınimo locais ou absolutos? Em caso afirmativo, que pontos
são estes?
(c) A função p possui asśıntotas verticais ou horizontais?
(d) Discuta o aspecto do gráfico na figura, considerando as respostas dos ı́tens anteriores.
3. A figura ao lado representa o gráfico da função r :
R→ R, r(x) =
√
x2 + 1, traçado na janela gráfica
−1000 ≤ x ≤ 1000, 0 ≤ y ≤ 1000.
Explique porque o gráfico adquire este aspecto.
4. A figura ao lado representa o gráfico da função q :
R→ R, q(x) = (5 x− 7)(x2 − 2).
(a) Quais são as ráızes reais de q? Você consegue
visualizar estas ráızes no gráfico ao lado?
(b) Encontre uma janela gráfica na qual seja
posśıvel visualizar todas as ráızes de q.
5. Considere a função u : R→ R, u(x) =
1
x6 + 100
.
(a) Trace o gráfico de u na janela −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 10. A função u é constante igual
a 0? Explique o ocorrido.
(b) Trace o gráfico de u na janela −0, 1 ≤ x ≤ 0, 1, −0, 1 ≤ y ≤ 0, 1. A função u é constante
igual a 0, 01? Explique o ocorrido.
(c) Qual o maior valor atingido por u? Escolha uma janela gráfica na qual seja posśıvel visualizar
o gráfico de u.
Na atividade 2, à figura com o gráfico da função sugere que a curva é uma parábola. No entanto,
esta impressão errônea se deve a escala em que o gráfico foi traçado. A inspeção da fórmula algébrica
da função mostra que esta não é polinomial do segundo grau, portanto o gráfico não pode ser uma
parábola. Além disso, x = 0 não é um ponto ḿınimo,como uma primeira olhada no gráfico poderia
sugerir. Este ponto nem mesmo pertence ao doḿınio de p e corresponde a uma asśıntota vertical da
função. Uma mudança na janela gráfica revela melhor o comportamento de p na vizinhança de x = 0,
como monstra figura 3.11 (em que o gráfico de p é mostrado e azul e a parábola y = x2 em cinza).
Verificamos que, para valores grandes da variável x, o termo
1
x2
fica próximo de 0, portanto p(x) ≈ x2.
3.3. PONTOS DE VISTA E PERSPECTIVAS 51
Por isso, o gráfico fica muito parecido com uma parábola em janelas com valores grandes de x. Porém,
para valores de x próximos de 0, é o termo x2 que fica próximo de 0, portanto p(x) ≈
1
x2
, cuja aparência
nada tem a ver com a de uma parábola. Em atividades deste tipo, os alunos devem ser estimulados
a observar a fórmula algébrica da função e alterar livremente as janelas no computador. Desta forma,
a articulação das representações gráfica e algébrica contribui para uma compreensão mais profunda do
comportamento da função.
Figura 3.11: O gráfico de p(x) = x2 +
1
x2
e a parábola y = x2, para −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 100.
Como na atividade 2, o aspecto do gráfico exibido na atividade 3 é determinado pela ordem de
grandeza dos intervalos horizontal e vertical da janela gráfica. Quando aumentamos os valores de x,
a constante 1 tende a ficar despreźıvel em relação ao termo x2. Assim, para valores grandes de x
temos que
√
x2 + 1 ≈
√
x2 = |x|. Por isso, o gráfico tende a adquirir o aspecto da curva y = |x|.
É importante observar que esta aproximação só é razoável para valores grandes de x. A figura 3.12
mostra a janela gráfica −5 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 5, em que se pode distinguir claramente o gráfico de r
(em azul) da curva y = |x| (em cinza).
Figura 3.12: O gráfico de r(x) =
√
x2 + 1 e a curva modular y = |x|, para −5 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 5.
52 CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRÁFICOS
Como a função polinomial da atividade 4 já é dada na forma fatorada, podemos determinar sem
dificuldades suas ráızes: x1 = 7
5
, x2 =
√
2 e x3 = −
√
2. Como os valores de x1 e x2 são próximos (sua
diferença é da ordem de centésimos), a escala em que o gráfico é mostrado não permite a distinção
destas ráızes. Para distinguir x1 e x2, é necessário alterar a janela gráfica para valores de x próximos
de 1, 4, e valores de y próximos de 0 (figura 3.13, à esquerda). Para distinguir as três ráızes em uma
mesma janela, é necessário tomar para valores de x próximos do intervalo entre a menor raiz e a maior
raiz, e valores de y próximos de 0. (figura 3.13, à direita). Como na atividade anterior, uma observação
superficial do gráfico mostrado pode levar a uma conclusão errônea sobre a função, e uma análise mais
cuidadosa da fórmula algébrica é necessária.
Figura 3.13: O gráfico de q(x) = (5 x − 7)(x2 − 2), para 1, 39 ≤ x ≤ 1, 42, −0, 001 ≤ y ≤ 0, 001 e
com −1, 5 ≤ x ≤ 1, 5, −0, 001 ≤ y ≤ 0, 001, respectivamente.
Verificamos que a função u da atividade 5 é estritamente positiva e atinge um máximo absoluto
no ponto
(
0, 1
100
)
. Logo, a imagem da função é o intervalo
]
0, 1
100
]
. Então, se traçarmos o gráfico
para −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 10, os valores da função serão muito pequenos em relação à escala
da janela, e o gráfico adquirirá um aspecto semelhante ao da reta horizontal y = 0 (figura 3.14, à
esquerda). Por outro lado, se reduzirmos muito os valores de x e de y, por exemplo −0, 1 ≤ x ≤ 0, 1,
−0, 1 ≤ y ≤ 0, 1, observaremos que o gráfico ficará semelhante à reta horizontal y = 1
100
(figura 3.14, à
direita). Isto ocorre por que, para valores pequenos de x, temos que x6 fica muito próximo de 0, então
u(x) ≈ 1
100
. A única maneira de visualizar a variação da função no gráfico é escolher escalas muito
diferentes para as duas variáveis: valores grandes para x, para que a variação de u(x) não fiquem muito
próximos de 1
100
; e valores pequenos para y, para que os valores de u(x) não fiquem muito pequenos
em relação à escala do eixo vertical (figura 3.15).
Figura 3.14: O gráfico de u(x) =
1
x6 + 100
, para −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 10 e −0, 1 ≤ x ≤ 0, 1,
−0, 1 ≤ y ≤ 0, 1, respectivamente.
3.3. PONTOS DE VISTA E PERSPECTIVAS 53
Figura 3.15: O gráfico de u(x) =
1
x6 + 100
, para −5 ≤ x ≤ 5, −0, 005 ≤ y ≤ 0, 1.
Em atividades desta natureza, em que os gráficos adquirem aspectos distintos conforme alteramos
as janelas gráficas, é importante que fique claro para os alunos que o que muda não é o gráfico
da função, mas apenas o seu aspecto. Isto é, quando alteramos a janela gráfica não passamos a
observar um gráfico diferente, nem o gráfico que estamos observando muda de comportamento. Apenas
o aspecto do gráfico é alterado, pois o estamos observando de outra janela gráfica, isto é, de outro
ponto de vista. Por exemplo, no caso da atividade 3, r não passa a ser uma função modular na janela
gráfica mostrada no enunciado da questão. A função continua sendo a mesma. O que ocorre é que,
em comparação à ordem de grandeza das variáveis na janela gráfica de observação, a diferença entre
o gráfico de r e o da função modular é tão pequena que não pode ser percebida. Quando alteramos
a janela gráfica na figura 3.12, em comparação aos valores da nova janela, esta mesma diferença não
é mais tão pequena, e pode ser claramente percebida. O mesmo ocorre na 2 com relação ao gráfico
de p e a parábola. Como os exemplos acima mostram, observar um mesmo gráfico de diferentes
pontos de vista pode ajudar a perceber propriedades da função e, portanto, a entender mais
profundamente o seu comportamento. Em alguns casos, os alunos estão acostumados à ideia de
que o gráfico de uma função tem “uma única cara”, e ideia que um mesmo gráfico possa ter aspectos
radicalmente distintos em janelas gráficas diferentes pode causar alguma resistência inicialmente.
Atividades
6. Responda às perguntas a seguir, considerando as atividades 2 a 5.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados nas atividades?
(b) Quais são, na sua opinião, os principais objetivos dessas atividades?
(c) Em cada uma das atividades, são propostas questões chave para ajudar na interpretar do
gráfico gerado pelo computador. Identifique essas questões.
(d) Que outras perguntas você proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das ativida-
des?
(e) Qual é o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software
pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação à abordagem
convencional (isto é, sem o computador)?
(f) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
7. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 5, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
54 CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRÁFICOS
Comportamento Assintótico de Funções Polinomiais e Racionais
Já sabemos que um mesmo gráfico pode adquirir aspectos bem distintos em janelas gráficas diferentes,
dependendo das escalas empregadas. Nas atividades a seguir, usaremos esta ideia para entender melhor
o comportamento assintótico (isto é, o comportamento da função quando a variável independente tende
a ±∞) de funções polinomiais e racionais.
Atividade
8. Considere as funções f, f1, f2 : R→ R, dadas respectivamente por f(x) = x2 + 10 x, f1(x) = x2
e f2(x) = 10 x.
(a) Trace, na janela −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1, os gráficos das três funções. Os gráficos de
duas das funções ficaram muito semelhantes. Que funções são estas?
(b) Mude a janela para −1000 ≤ x ≤ 1000, −10000 ≤ y ≤ 10000. Os gráficos de duas das
funções ficaram muito semelhantes. Que três funções são estas?
(c) Explique o observado nos ı́tens anteriores.
Como nas atividades da seção 3.2, o que está em jogo são as ordens de grandeza das janelas
gráficas empregadas. Quandotraçamos os gráficos para −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1, o termo x2
fica muito pequeno em comparação ao termo 10 x (figura 3.16, à esquerda). Então, neste caso temos
f(x) = x2 + 10 x ≈ 10 x = f2(x). Por outro lado, para −1000 ≤ x ≤ 1000, −10000 ≤ y ≤ 10000,
é 10 x que fica muito pequeno em comparação a x2 (figura 3.16, à direita). Logo, temos f(x) =
x2 + 10 x ≈ x2 = f1(x). Portanto, o gráfico de f fica muito parecido com o de f2 na janela gráfica da
esquerda e com o de f1 na janela gráfica da direita. Para entender mais claramente essas aproximações,
é importante sugerir que os alunos substituam alguns valores para as três funções nos intervalos a cada
uma das janelas gráficas e comparem os resultados. Também é interessante propor aos alunos que
aumentem gradativamente a janela gráfica, e observem o gráfico de f “descolar” aos poucos de f2 e
“colar” em f1.
Ainda nesta atividade, podemos observar que, quanto mais aumentamos a janela gráfica, o gráfico
de f fica mais parecido com o de f1. Isto ocorre porque, na função f(x) = x2 + 10 x, embora o
coeficiente do termo de grau 2 seja bem menor que o do termo de grau e 1 (1 e 10, respectivamente),
para valores de x suficientemente grandes, o termo de grau 1 fica despreźıvel em relação ao de grau 2.
De fato, esses termos se igual quando x = 10 e, a partir dáı, x2 passa a crescer a uma taxa muito maior
que x: x2 passa a ser x vezes maior que 10 x e, para valores cada vez maiores de x, esta razão é cada
vez mais significativa. Portanto para valores grandes de x, o comportamento da função é dominado pelo
termo de maior grau x2. Esta propriedade é válida em geral: o comportamento de função polinomial é
dominado pelo termo de maior, independente dos coeficientes de seus termos. Outros exemplos como
este podem ser usados para motivar esta conclusão genérica, que deve ser enunciada precisamente e
verificada formalmente.
Seja f : R→ R, f(x) = anx
n + . . .+a2x
2 +a1x+a0, com an, . . . , a0 ∈ R, uma função polinomial
real de grau n. Pondo o termo de maior grau em evidência, podemos escrever f da seguinte forma
(para x 6= 0):
f(x) = anx
n
(
1 +
an−1
anx
. . .+
a1
anxn−1
+
a0
anxn
)
.
Seja g(x) =
an−1
anx
. . .+
a1
anxn−1
+
a0
anxn
. Então: lim
x→−∞
g(x) = lim
x→−∞
g(x) = 0.
3.3. PONTOS DE VISTA E PERSPECTIVAS 55
Figura 3.16: Os gráficos de f(x) = x2 + 10 x, f1(x) = x2 e f2(x) = 10 x, para −1 ≤ x ≤ 1,
−1 ≤ y ≤ 1 e para −1000 ≤ x ≤ 1000, −10000 ≤ y ≤ 10000, respectivamente.
Uma primeira propriedade que podemos deduzir dáı é que f(x) e anx
n têm o mesmo sinal para |x|
suficientemente grande. De fato, como g(x) fica tão pequeno pequeno queiramos, temos que g(x) < 1
para valores de x com módulo suficientemente grande. Para esses valores de x, teremos 1 + g(x) < 0,
portanto terão o mesmo sinal. Esta propriedade dá uma ideia inicial de que o termo anx
n domina o
comportamento assintótico de f , independente dos demais termos. Além disso, sabemos anx
n tende a
−∞ ou a +∞ quando x tende a −∞ ou a +∞ (dependendo do sinal de an e da paridade de n). Dáı,
segue a propriedade mais forte:
lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
(anx
n) e lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
(anx
n) .
Podemos também usar mudanças de janelas gráficas para motivar o estudo do comportamento
assintótico de funções racionais, isto é funções dadas pela razão de duas funções polinomiais. Observe
as atividades a seguir.
Atividades
9. Considere a função p1 : R→ R definida por p1(x) =
x2
x2 − 1
.
(a) Trace o gráfico de p1 na janela −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5.
(b) Amplie gradativamente a janela gráfica, aumentando o intervalo da variável x e mantendo o
intervalo da variável y fixo. Que aspecto adquire o gráfico de p1? Explique o comportamento
observado.
10. Considere a função p2 : R→ R definida por p2(x) =
x3
x2 − 1
.
(a) Trace o gráfico de p2 na janela −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5.
(b) Amplie gradativamente a janela gráfica, aumentando simultaneamente os intervalos das va-
riáveis x e y. Que aspecto adquire o gráfico de p2? Explique o comportamento observado.
11. Considere a função p3 : R→ R definida por p3(x) =
x4
x2 − 1
.
(a) Trace o gráfico de p3 na janela −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5.
(b) Amplie gradativamente a janela gráfica, aumentando simultaneamente os intervalos das va-
riáveis x e y. Que aspecto adquire o gráfico de p3? Explique o comportamento observado.
56 CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRÁFICOS
Figura 3.17: O gráfico de p1(x) =
x2
x2 − 1
, para −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5 e para −100 ≤ x ≤ 100,
−5 ≤ y ≤ 5, respectivamente.
Figura 3.18: O gráfico de p2(x) =
x3
x2 − 1
, para −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5 e para −100 ≤ x ≤ 100,
−100 ≤ y ≤ 100, respectivamente.
Figura 3.19: O gráfico de p3(x) =
x4
x2 − 1
, para −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5 e para −100 ≤ x ≤ 100,
−1000 ≤ y ≤ 1000, respectivamente.
Nas três atividades acima, quando observamos os gráficos das funções em janelas com valores pe-
quenos das variáveis (figuras 3.17, 3.18 e 3.19, à esquerda), podemos observar algumas caracteŕısticas
das funções, tais como máximos e ḿınimos locais e asśıntotas verticais nos pontos em que os denomi-
nadores se anulam. Quando aumentamos as janelas gráficas não somos mais capazes de enxergar essas
caracteŕısticas locais, porém outro tipo de comportamento é revelado: as funções p1, p2 e p3 ficam pa-
recidas com uma reta horizontal, com uma reta vertical e com uma parábola, respectivamente. (figuras
3.17, 3.18 e 3.19, à direita). Para entender o que está acontecendo, devemos observar que, quando
aumentamos os valores de x, a constante 1 no denominador tende a ficar despreźıvel em relação aos
termos polinomiais. Portanto, para valores grandes de x, valem as aproximações a seguir,que explicam
o comportamentos dos gráficos:
3.3. PONTOS DE VISTA E PERSPECTIVAS 57
p1(x) =
x2
x2 − 1
≈ x2
x2
= 1 , p2(x) =
x3
x2 − 1
≈ x3
x2
= x e p3(x) =
x4
x2 − 1
≈ x4
x2
= x2 .
Como na atividade 8, podemos generalizar a conclusão para qualquer função racional. Seja q : D ⊂
R→ R uma definida por q(x) =
f(x)
g(x)
, em que f(x) = amx
m + . . .+ a0 e g(x) = bnx
n + . . .+ b0 são
dois polinômios. Em primeiro lugar, devemos observar que os limites de q quando x→ ±∞ dependem
da relação entre os graus do numerador e do denominador. Uma maneira de determinar esses limites é
dividir o numerador e o denominador de q pelo termo de maior grau.
Caso 1. m < n
Neste caso, dividimos o numerador e o denominador de p por xn:
p(x) =
amx
m + . . .+ a0
bnxn + . . .+ b0
=
am
xn−m + . . .+ a0
xn
bn + bn−1
x
+ . . .+ b0
xn
.
Na expressão acima, o numerador tende a 0 e o denominador tende à constante bn 6= 0. Então,
conclúımos que:
lim
x→−∞
p(x) = lim
x→+∞
p(x) = 0 .
Caso 2. m = n
Neste caso, dividimos o numerador e o denominador de p por xm = xn:
p(x) =
amx
m + . . .+ a0
bmxm + . . .+ b0
=
am + am−1
x
+ . . .+ a0
xn
bm + bm−1
x
+ . . .+ b0
xn
.
Na expressão acima, o numerador e o denominador tendem respectivamente às constante am 6= 0
e bm 6= 0. Então, conclúımos que:
lim
x→−∞
p(x) = lim
x→+∞
p(x) =
am
bm
Caso 3. m > n
Neste caso, dividimos o numerador e o denominador de p por xm:
p(x) =
amx
m + . . .+ a0
bnxn + . . .+ b0
=
am + am−1
x
+ . . .+ a0
xn
bn
xm−n + . . .+ b0
xn
.
Na expressão acima, o numerador tende à constante am 6= 0 e o denominador tende a 0. Então,
conclúımos que os limites lim
x→−∞
p(x) e lim
x→+∞
p(x) = 0 são ambos infinitos. Os sinal entre desses
limites depende da relação entre dos sinais de am e bn.
Em resumo, os limites no infinito de uma função racional são determinados pela relação entre as
taxas de crescimento do numerador e o denominador, que, por sua vez, depende de qual destes tem
o maior grau. Se o denominador tem grau maior, então a função tende a 0. Se o denominador e
numerador têm o mesmo grau, então a função tende a uma constante não nula. Se o numerador
tem grau maior, então a função tende a infinito. Este resultadoé usualmente estudos em cursos de
cálculo em uma variável. A atividade 9 é um exemplo do caso 2 acima, enquanto as atividades 10 e 11
exemplificam o caso 3.
58 CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRÁFICOS
Embora as atividades 10 e 11 representem o mesmo tipo de comportamento assintótico – tender a
infinito – a função p2 da atividade 10 fica parecida com uma reta e a função p3 da atividade 11 com
um parábola. Essa diferença de comportamento – que em geral não é estudada nos cursos de cálculo
– corresponde a maior aprofundamento matemático do caso em que a função racional tende a infinito,
pois estabelece formas qualitativamente diferentes de tender a infinito. Com base nesses dois exemplos,
podemos intuir que o comportamento assintótico dessas funções seja determinado pela diferença entre
os graus do numerador e do denominador. Na verdade, podemos obter uma conclusão matemática
mais precisa que esta.
Como estamos tratando do caso em que ∂f > ∂g, pelo divisão polinomial, sabemos que existem
polinômios q e r (quociente e resto), com ∂r < ∂g tais que:
f(x) = q(x) g(x) + r(x) .
Logo:
p(x) =
f(x)
g(x)
= q(x) +
r(x)
g(x)
.
Como ∂r < ∂g, podemos concluir pelo caso 1 acima que:
lim
x→±∞
(p(x)− q(x)) = lim
x→±∞
r(x)
g(x)
= 0 .
Assim, sempre que traçarmos o gráfico de um função racional, cujo numerador tem grau maior que
o denominador, e aumentarmos progressivamente a janela gráfica, observaremos este gráfico ficar cada
vez mais parecido com o do polinômio quociente entre o numerador e o denominador. Em particular o
gráfico da função racional adquirirá o aspecto de um polinômio cujo grau é diferença entre os graus do
numerador e do denominador. Voltando aos exemplos das atividades 10 e 11, se efetuarmos as divisões
polinomiais, concluiremos que:
x3 = x (x2 − 1) + x e x4 = (x2 + 1) (x2 − 1) + 1 .
Logo:
p2(x) =
x3
(x2 − 1)
= x +
x
(x2 − 1)
e p3(x) =
x4
(x2 − 1)
= (x2 + 1) +
1
(x2 − 1)
.
Portanto:
lim
x→±∞
(p2(x)− x) = lim
x→±∞
x
(x2 − 1)
e lim
x→±∞
(
p3(x)− (x2 + 1)
)
= lim
x→±∞
1
(x2 − 1)
.
Como lim
x→±∞
(p2(x)− x), dizemos que a reta y = x é uma asśıntota inclinada de p2: os valo-
res da função ficam muito próximos dos valores da reta, quando x cresce indefinidamente. Como
lim
x→±∞
(
p3(x)− (x2 + 1)
)
, a parábola y = x2 + 1 tem esse mesmo papel em relação à função p3. É
interessante fazer mais exemplos para observar desse comportamento no computador.
Observe que o computador tem um papel importante na argumentação para chegar a essa conclusão,
pois a partir da visualização dos diferentes gráficos na tela, podemos perceber essas diferentes formas de
tender a infinito. Não é absurdo supor que uma das razões pelas quais esse aprofundamento matemático
não é abordado em geral nos cursos de cálculo é o fato de que software gráficos ainda são pouco
explorados. É importante destacar ainda que o papel do computador aqui é o mesmo das atividades
anteriores neste caṕıtulo: possibilitar uma exploração que sugere um fato matemático que deve ser
3.4. MAIS EXPLORAÇÕES 59
verificada por meio de argumentação dedutiva. Neste caso, passamos da ideia informa de aproximação
para a ideia formal de limite. No ensino básico, a ideia formal de limite não precisa ser tratada. Mesmo
assim, as atividades não podem ser reduzir à exploração no computador. As conclusões devem ser
sistematizadas por meio de argumentação dedutiva compat́ıvel com cada ńıvel escolar.
Atividades
12. Responda às perguntas a seguir, considerando as atividades 8 a 11.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados nas atividades?
(b) Quais são, na sua opinião, os principais objetivos dessas atividades?
(c) Que ideias matemáticas podem ser motivadas por essas atividades, que não são em geral
tratadas abordagem convencional (isto é, sem o computador)?
(d) Qual é o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software
pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação à abordagem
convencional (isto é, sem o computador)?
(e) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
13. Seria posśıvel formular uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 8 a 11, que seja
adequada para as turmas em que você leciona? Justifique sua resposta.
3.4 Mais Explorações
Neste caṕıtulo, foram propostas atividades com ambientes computacionais gráficos simples, isto é cujo
uso não requer a aprendizagem de comandos espećıficos, visando expor aspectos dos conceitos ma-
temáticos que seriam dif́ıceis de ser abordados com recursos e representações convencionais.
Além disso, procurou-se empregar potencialidades e, especialmente, limitações técnicas dos softwares
para motivar explorações das questões matemáticas envolvidas, além de incentivar o desenvolvimento
de uma postura cŕıtica por parte dos estudantes em relação aos resultados mostrados na tela.
Nesta seção, apresentamos mais algumas atividades com esse esṕırito, em que relações e proprieda-
des entre funções que são usualmente tratados no ensino médio. Entretanto, o uso do software permite
que essas relações e propriedades sejam abordadas de um novo ponto de vista, e que as apliquemos a
exemplos de funções que normalmente não são estudados.
Atividades
1. Considere a função s : R→ R definida por s(x) = x sen x.
(a) Esboce o gráfico de s, juntamente com as retas y = x e y = −x.
(b) Explique o comportamento do gráfico. Como as retas podem ajudar a entender esse com-
portamento?
(c) Você deve ser observado que as retas tangenciam o gráfico de s em certos pontos. Que
pontos são esses? Esses pontos correspondem a máximos e ḿınimos locais da função s?
Justifique suas respostas.
(d) Que propriedades da função seno você usou para responder às questões acima?
(e) Que aspecto você espera que tenha o gráfico de t(x) = x2 sen x?
2. Considere a função u : R→ R definida por u(x) = 2 sen x.
60 CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRÁFICOS
(a) Esboce o gráfico de u.
(b) Determine a imagem de u.
(c) A função u é periódica? Justifique sua resposta.
(d) Que propriedades das funções exponencial e seno você usou para responder às questões
acima?
3. Considere a função v : R→ R definida por v(x) = sen (2x).
(a) Esboce o gráfico de v.
(b) Determine a imagem de v.
(c) A função v é periódica? Justifique sua resposta.
(d) Que propriedades das funções exponencial e seno você usou para responder às questões
acima?
4. Considere a função ω : R→ R definida por ω(x) = sen (log10 x).
(a) Esboce o gráfico de ω, na janela gráfica 0 ≤ x ≤ 10, −2 ≤ y ≤ 2.
(b) Determine as ráızes de ω. É posśıvel determinar a menor raiz de ω? E a menor? Justifique
suas respostas.
A função s da atividade 1 é dada pelo produto da função seno por x. Como a função seno varia
entre −1 e 1, então s varia entre −x e x (figura 3.20). De forma mais geral, podemos concluir que,
sempre que multiplicarmos a função seno pelo por outra função f , o resultado será uma função que varia
entre −f(x) e f(x). A pergunta do item 1d tem por objetivo ajudar o aluno a perceber a sistematizar
esta propriedade, e a pergunta do item 1e visa levá-los a perceber sua generalização.
Figura 3.20: O gráfico de s(x) = x sen x, com as retas y = −x e y = x.
Nos pontos em sen x = 1, temos que s(x) = x, nos pontos em sen x = −1, temos que s(x) = −x,
e nos demais pontos, temos −1 < s(x) < 1. Portanto, o gráfico de s a reta y = x para x = π
2
+ 2kπ,
e a reta y = −x para x = −π
2
+ 2kπ, com k ∈ Z. A imagem do gráfico mostrada na tela, além do fato
destes valores de x corresponderem a pontos de máximo e ḿınimo da função seno, pode sugerir que
esses sejam também máximos e ḿınimos de s. Entretanto, justamente o fato do gráfico tangenciar as
retas nesses pontos fornece um argumento para mostrar o contrário: em pontosde máximos e ḿınimo
3.4. MAIS EXPLORAÇÕES 61
a reta tangente (caso exista) são horizontais, porém nesse casos elas têm inclinação ±1. Assim, no
exemplo desta atividade o gráfico mostrado na tela pode sugerir uma ideia, que se revela falsa – e é a
justamente a exploração motivada pela visualização desse gráfico que pode indicar o caminho para o
argumento matemático para refutá-la.
Na atividade 2 (figura 3.21, à esquerda), o menor valor e o maior valor atingidos por u ocorrem para
os mesmos valores de x em que ocorrem o menor valor e o maior valor da função seno. Portanto, a
imagem de u é o intervalo
[
1
2
, 2
]
. É importante observar aqui que só podemos chegar a esta conclusão
porque a função exponencial é estritamente crescente. Isto é, a função u é uma composição u(x) =
f ( sen (x)), de uma função estritamente crescente com a função seno, portanto a ordem dos valores
da função seno é preservada ( sen x1 < sen x2 ⇒ 2 sen x1 < 2 sen x2). Não teŕıamos esta garantia se
estivéssemos compondo uma função que não fosse crescente com a função seno (para fixar as ideias,
experimente esboçar o gráfico de y = ( sen x)2, por exemplo). Além disso, temos que u é periódica, com
peŕıodo 2 π. A justificativa para isto também está no fato de que u é a composição u(x) = f ( sen (x)):
como os valores da função seno repetem-se, os valores também se repetirão quando uma função f
qualquer é calculada sobre a função seno.
Na atividade 3 (figura 3.21, à esquerda), o valor máximo de v ocorre nos pontos em que sen (2x) =
1, isto é x = log2
(
π
2
+ 2 k π
)
, com k ∈ Z; e o valor ḿınimo nos pontos em que sen (2x) = −1, isto
é x = log2
(
−π
2
+ 2 k π
)
, com k ∈ Z. Portanto, a imagem de v é o intervalo [−1, 1]. Neste caso, a
função u é uma composta v(x) = sen (f(x)). Como −1 6 sen x 6 1, então −1 6 sen (f(x)) 6 1
qualquer que seja a função f .
Além disso, observamos que v oscila entre os valores −1 e 1, porém esta oscilação não ocorre em
intervalos regulares. Assim, embora a função seno seja periódica, v não será periódica, pois a função
exponencial não é. Na verdade, percebemos que a oscilação de v fica cada vez mais “intensa” (tanto
que ocorre um erro de interpolação no gráfico traçado pelo software), isto é, os intervalos entre dois
pontos de máximo (ou de ḿınimo) consecutivos ficam cada vez mais curtos. Esta propriedade está
relacionada com o crescimento acentuado da função exponencial. Para entender essa propriedade,
podemos também voltar a observar as abscissas dos pontos de máximo: xk = log2
(
π
2
+ 2 k π
)
, com
k ∈ Z. Como a função logaŕıtmica é crescente (pois a derivada primeira log2 é positiva), então xk é
crescente. Porém, como a taxa de crescimento da função logaŕıtmica é cada vez menor (pois a derivada
segunda log2 é negativa), então a distância entre xk e xk+1 é cada vez menor.
Figura 3.21: Os gráficos de u(x) = 2 sen x e v(x) = sen (2x).
Nas questões 1 a 3, inclúımos uma questão chave: Que propriedades das funções você usou para
responder às questões acima? Com isso, procuramos direcionar a atenção dos estudantes para os argu-
mentos matemáticos que justificam as propriedades observadas na tela e suas posśıveis generalizações.
Nessas atividades lidamos essencialmente com operações entre funções (produto na atividade 1 e com-
posição nas atividades 2 e 3), que são tópicos usualmente presentes nos curŕıculos e livros didáticos do
ensino médio. Porém, procuramos usar o ambiente computacional para olhar para esses tópicos
62 CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRÁFICOS
de um novo ponto de vista. Em geral, os exerćıcios envolvendo operações entre funções reduzem-
se a procedimentos rotineiros para determinar funções compostas e coisas assim. Aqui, procuramos
propor atividades em que as propriedades qualitativas da função produto ou composta sejam
estudadas à luz da análise das propriedades qualitativas das funções originais. Além disso,
buscamos ampliar o universo de funções familiares aos estudantes, empregamos exemplos cujos
gráficos em geral não são traçados no ensino básico. Traçar tais gráficos seria provavelmente uma
tarefa de dif́ıcil realização em sala de aula, sem o apoio do recurso computacional. É claro que a
abordagem com o computador não deve se reduzir a traçar esses gráficos, mas sobretudo motivar a
exploração matemática e a compreensão de suas propriedades.
Continuando para a atividade 4, a visualização do gráfico na janela indicada, pode sugerir que a
menor raiz da função ω seria x = 1 (figura 3.22). No entanto, as ráızes de ω são os pontos x tais
que sen (log10 x) = 0, isto é, x = 10kπ, como k ∈ Z. Portanto, não existe uma maior raiz (pois o
conjunto das ráızes não é limitado superiormente), nem uma menor raiz de ω (pois, embora o conjunto
das ráızes seja limitado inferiormente, dada qualquer raiz, sempre podemos exibir outra menor que
esta). É interessante observar ao contrário do que ocorre com a função v da atividade 3, a oscilação
de ω é bastante “espaçada”. Mais precisamente, a razão entre duas ráızes consecutivas é de 10π, isto
é, cada raiz é mais de 1.000 vezes maior que imediatamente anterior. Em conseqüência, embora a
função tenha infinitas ráızes, em cada intervalo escolhido para o eixo horizontal só é posśıvel visualizar
claramente uma delas, pois as demais ou são muito pequenas ou muito grandes para a janela. Além
disso, a diferença de ordens de grandeza das ráızes faz com o gráfico adquira aspectos completamente
diferentes em cada nova janela (figura 3.23).
Figura 3.22: O gráfico de ω(x) = sen (log10 x).
Figura 3.23: O gráfico de ω(x) = sen (log10 x), em novas janelas.
3.4. MAIS EXPLORAÇÕES 63
Logaritmos e Escalas Logaŕıtmicas
Alguns software (incluindo o Graphmatica [2]) possuem um recurso para traçar gráficos em sistemas de
eixos graduados em escalas logaŕıtmicas. Em um eixo em escala logaŕıtmica de base β > 1, as potências
inteiras de β são representadas em intervalos com um comprimento fixo (figura 3.24). Assim, conforme
caminhamos no sentido positivo do eixo, cada um desse intervalos corresponde a uma multiplicação
pela base (e não à soma de uma constante, como em um eixo linear convencional). Portanto, dado
x ∈ R+, se x′ é a posição que representa x no eixo em escala logaŕıtmica de base β, vale a seguinte
relação: x′ = logβ x.
. . . . . .x′
β−4 β−3 β−2 β−1 1 β β2 β3 β4
Figura 3.24: Um eixo em escala logaŕıtmica de base b.
Atividades
5. As figuras abaixo representam as faḿılias de curvas y = k x (à esquerda) e y = xk (à direita),
ambas com k =, traçadas em um sistema de coordenadas logaŕıtmicas decimais x′y′, na janela
gráfica 10−3 ≤ x ≤ 103, 10−3 ≤ y ≤ 103.
(a) Explique porque as curvas adquirem o aspecto de retas neste sistema de coordenadas.
(b) Caracterize todas as funções f : R+ → R+ cujos gráficos adquirem o aspecto de retas no
sistema de coordenadas logaŕıtmicas decimais.
6. No exerćıcio anterior, os dois eixos do sistema de coordenadas são graduados em escalas logaŕıt-
micas. Podemos também graduar apenas um dos eixos em escala logaŕıtmica e manter o segundo
em escala linear convencional.
(a) Em um sistema de coordenadas xy ′, em que apenas o eixo vertical é graduado em escala
logaŕıtmica decimal, enquanto o eixo horizontal é mantido em escala linear convencional,
caracterize todas as funções f : R→ R+ cujos gráficos adquirem o aspecto de retas.
(b) Em um sistema de coordenadas x′y, em que apenas o eixo horizontal é graduado em es-
cala logaŕıtmica decimal, enquanto o eixo vertical é mantido em escala linear convencional,
caracterize todas as funções f : R+ → R cujos gráficos adquirem o aspecto de retas.
7. Explique em que tipo de situações, envolvendo variação de grandezas, você considera que é con-
veniente empregar sistemas coordenadas com: ambos os eixos graduadosem escalas logaŕıtmicas;
com apenas o eixo vertical graduado em escala logaŕıtmica; com apenas o eixo horizontal graduado
em escala logaŕıtmica.
64 CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRÁFICOS
Na atividade 5, o aluno deve ser estimulado a explorar livremente a visualização dos gráficos no
computador, em particular alterando a janela de visualização entre eixos em escalas logaŕıtmicas e eixos
cartesianos convencionais. É importante observar que a alternação entre diferentes sistema de coorde-
nadas para visualização de uma faḿılia de curvas, e observação imediata das mudanças de aspecto nas
curvas, consiste em uma possibilidade de exploração oferecida pelo software, que dificilmente
poderia ser reproduzida sem recursos computacionais. Da mesma foram que sugerimos em di-
versas atividades anteriores, a exploração deve conduzir a alguma forma de sistematização matemática.
Este é o objetivo do item 5b. Um gráfico de função que tenha o aspecto de uma reta no sistema x′y′
deve ter equação na forma y′ = a x′ + b, com a, b ∈ R+. Assim, teremos:
y′ = a x′ + b⇒ log10 y = a log10 x + b⇒ y = 10a log10 x+b = 10b xa = c xa .
Portanto, as funções f : R+ → R+ cujos gráficos adquirem o aspecto de retas no sistema de
coordenadas logaŕıtmicas decimais são aquelas na forma f(x) = c xa, com a, c ∈ R+.
A abordagem do conceito de logaritmo no ensino médio com freqüência reduz-se a séries de exerćıcios
rotineiros envolvendo, por exemplo, empregar as propriedades algébricas dos logaritmos em resolução
de equações ou para a determinação de valores numéricos. Em exerćıcios deste tipo, há pouco enfoque
conceitual na ideia de logaritmo, suas relações com ordens de grandeza, ou o comportamento e a variação
das funções logaŕıtmicas. Atividades envolvendo escalas logaŕıtmicas, especialmente com o apoio de
ambientes gráficos, podem ser usadas para fornecer um novo olhar para o conceito de logaritmo. Em
escalas logaŕıtmicas, representamos as ordens de grandeza dos números (em relação à uma base fixada),
em lugar de seus valores absolutos. Assim, sistemas de coordenadas logaŕıtmicas são convenientes para
estudar fenômenos envolvendo amplas variações de ordens de grandeza, desde valores muito próximos
de 0 até valores muito grandes.
Por exemplo, voltemos à atividade 8 da seção 3.3. Foi observado que o gráfico de f(x) = x2 +10 x é
aproximado por f2(x) = 10 x, para valores de x muito próximos de 0; e por f1(x) = x2, para valores de
x muito grandes (figura 3.16). Entretanto, quando a janela é pequena o suficiente para distinguirmos
valores de x muito próximos de 0, os valores grandes ficam de fora; e quando aumentamos a janela para
incluir valores grandes de x, não podemos mais distinguir valores muito próximos de 0. Portanto, não
é posśıvel visualizar essas duas aproximações ao mesmo tempo em uma mesma janela gráfica – pelo
menos no sistema de coordenadas cartesianas convencional. Porém, quando mudamos o sistema de
eixos para coordenadas cartesianas passamos a enxergar não os valores das variáveis, mas suas ordens
de grandeza, e o gráfico de f adquire outro aspecto (figura 3.25, à esquerda). Podemos então visualizar
ao mesmo tempo, em uma mesma janela gráfica, as aproximações de f por f2(x) = 10 x, para valores
de x muito próximos de 0, e por f1(x) = x2 para valores de x muito grandes (figura 3.25, à direita).
Figura 3.25: O gráfico de f(x) = x2 + 10 x e o gráfico de f(x) = x2 + 10 x com f1(x) = x2 e f2(x) =
10 x, traçado em um sistema de coordenadas logaŕıtmicas, para −10−3 ≤ x ≤ 105, −10−3 ≤ y ≤ 105.
3.4. MAIS EXPLORAÇÕES 65
De forma semelhante, se traçarmos o gráfico da função ω da atividade 4 em um sistema de coorde-
nadas em que o eixo horizontal é graduado em escala logaŕıtmica e o vertical é mantido em escala linear
convencional, seremos capazes de visualizer diversas oscilações em uma mesma janela gráfica (figura
3.26).
Figura 3.26: O gráfico de ω(x) = sen (log10 x), traçado em um sistema de coordenadas com eixo
horizontal em escala logaŕıtmica, para −10−7 ≤ x ≤ 107, −2 ≤ y ≤ 2.
Atividades
8. Responda às perguntas a seguir, considerando as atividades 1 a 5.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os principais objetivos dessas atividades?
(c) Qual é o papel das questões chave feitas em cada uma das atividades?
(d) Que outras perguntas você proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das ativida-
des?
(e) Qual é o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software
pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação à abordagem
convencional (isto é, sem o computador)?
(f) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
9. (a) Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 5, que seja adequada
para as turmas em que você leciona.
(b) Que questões chave você proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos da atividade
proposta?
66 CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRÁFICOS
Caṕıtulo 4
Ambientes de Geometria Dinâmica
Introdução
Segundo um conhecido dito popular, uma imagem vale mais do que mil palavras. Em ambientes de
geometria dinâmica, são utilizadas literalmente centenas de imagens sobrepostas, que se articulam entre
si e são manipuladas de forma interativa. Imagine, então, quantas ideias podem ser traduzidas, com o
aux́ılio da geometria dinâmica!
As ferramentas de geometria dinâmica permitem a construção de objetos geométricos de acordo
com propriedades ou relações estabelecidas. Estes podem então ser manipulados dinamicamente, de
tal maneira que as propriedades e relações sejam preservadas. Esse modo particular de construção
geométrica apresenta caracteŕısticas especiais, que podem ter consequências importantes para a apren-
dizagem. Quando um objeto geométrico é representado por meio de papel e lápis, em geral procura-se
empregar certas notações para indicar suas propriedades. Portanto, essas propriedades determinam a
maneira de se representar, e se fazem notar na representação. Entretanto, o processo de construir uma
representação para um objeto em ambientes de geometria dinâmica dispara outra qualidade de reflexão
sobre suas propriedades e relações matemáticas. Por exemplo, quando esboçamos um losango com pa-
pel e lápis (figura 4.1), comumente marcamos pequenos traços sobre cada um dos lados para indicar a
sua congruência. Porém, se constrúımos um losango em geometria dinâmica (figura 4.2), além de saber
que um losango é, por definição, um quadrilátero com todos os lados congruentes, somos impelidos a
refletir sobre como garantir, na própria construção, que esses lados sejam de fato congruentes.
Figura 4.1: A representação de um losango, com papel e lápis.
67
68 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
Figura 4.2: A representação de um losango, em geometria dinâmica.
Assim, em uma representação feita com papel e lápis apenas (sem nenhum outro instrumento), as
propriedades dos objetos são indicadas apenas pela notação usada. Em geometria dinâmica, por outro
lado, a garantia de validade das propriedades e relações matemáticas do objeto representado
é incorporada concretamente no próprio processo de construção da representação. Desta
forma, as próprias experiências de construir representações em geometria dinâmica já constituem, por
si só, exerćıcios que demandam um maior ńıvel de conhecimento matemático dos objetos. Essas expe-
riências podem ainda fornecer pistas sobre outras propriedades e relações dos objetos constrúıdos, além
daquelas que fazem parte de suas definições ou são dadas nos enunciados dos problemas, sugerindo
porque estas são válidas (ou não válidas) e indicando caminhos para sua dedução. Assim, o processo
de construção pode nos levar a perceber ou a conjecturarpropriedades, que, evidentemente, deverão
ser confirmadas ou refutadas por argumentos matemáticos. No caso do losango dinâmico da figura 4.2,
podemos questionar, por exemplo as posśıveis relações entre congruência e paralelismo dos lados:
A congruência dos lados é suficiente para garantir seu paralelismo. Isto é, todo losango é
um paralelogramo.
Mas, será que a congruência dos lados é também necessária para garantir seu paralelismo?
Isto é, será todo paralelogramo um losango?
É claro que, em construções com de régua não graduada e compasso (f́ısicos) ou outros instrumentos
mecânicos de desenho, a validade das propriedades matemáticas também é incorporada no processo
de construção, como ocorre em geometria dinâmica. De fato, a concepção dos ambientes de geo-
metria dinâmica é primordialmente inspirada nas construções com régua não graduada e compasso
f́ısicos, os assim chamados instrumentos euclidianos. No entanto, uma diferença importante entre esses
ambientes e os instrumentos euclidianos está justamente no aspecto dinâmico das construções. Com
régua e compasso, uma construção geométrica, uma vez feita, é estática. Em geometria dinâmica,
as construções não apenas podem ser manipuladas, como também as condições que a determinaram
inicialmente são preservadas pela manipulação. O aspecto dinâmico dos ambientes pode indicar a
validade matemática das construções, e especialmente sua não validade. Voltando ao exemplo
da figura 4.2, para construir nosso losango em geometria dinâmica, nada nos impede de simplesmente
marcar quatro pontos que, visualmente pareçam formar um paralelogramo quando ligados. Entretanto, o
fato de que a construção não leva em conta garantias matemáticas para a congruência desses segmentos
ficará claro quando esses pontos forem arrastados.
Alguns pesquisadores em educação matemática (e.g. [15, 41]) destacam duas modalidades distintas
de concepção de imagens materiais de objetos matemáticos, do ponto de vista da aprendizagem: um
desenho, se a imagem é vista como representação particular de um objeto isolado; ou uma figura,
se a imagem é percebida como representação genérica de uma classe de objetos matemáticos, que
69
compartilham um conjunto comum de propriedades. Neste sentido, perceber a imagem material de
um losango como uma figura corresponde a entendê-la não apenas com um desenho isolado, mas
como um representante de um classe de quadriláteros, sendo desta forma capaz de incorporar todas as
propriedades matemáticas comuns a esta classe. As potencialidades destacadas anteriormente sugerem
que os ambientes de geometria dinâmica podem ser explorados para ajudar os estudantes a expandirem
sua concepção de uma representação geométrica de desenho para figura – o que constitui um passo de
abstração matemática. Tais potencialidades fornecem, portanto, um terreno vasto para a exploração
de objetos matemáticos e formulação de conjecturas sobre suas relações e propriedades, que deverão
ser comprovadas ou refutadas por meio de argumentos matemáticos formais.
Por outro lado, alguns autores (e.g. [61]) apontam uma preocupação com um posśıvel efeito inde-
sejável do uso de ambientes de geometria dinâmica no ensino: seus recursos, em particular a ferramenta
de arrastar, podem tornar as propriedades de objetos geométricos tão evidentes ao ponto de convencer
os estudantes de que demonstrá-las como teoremas matemáticos seria desnecessário. Uma forma de
prevenir esse efeito é também propor aos estudantes situações em que nem tudo transcorre como
o esperado, como aquelas envolvendo limitações dos ambientes de geometria dinâmica e resultados
surpreendentes ou contrários à sua intuição. Tais reflexões evidenciam, mais uma vez, que os efeitos
do uso de recursos computacionais no ensino de Matemática não são determinados unicamente por
suas caracteŕısticas intŕınsecas, mas principalmente pela forma como eles são usados na abordagem
pedagógica. Portanto, destaca-se o papel central do professor, em planejar adequadamente a abordagem
com tecnologias computacionais.
Este caṕıtulo abordará o uso de ambientes de geometria dinâmica no ensino de Matemática, em
dois campos principais: geometria euclidiana plana e funções. Em particular, como nos caṕıtulos ante-
riores, serão exploradas não só as potencialidades, como também as limitações técnicas dos softwares
e situações em que são produzidos resultados inesperados ou aparentemente errados. Desta forma,
objetiva-se destacar a impossibilidade de tomar os resultados do computador como critério de verdade
matemática e enfatizar a necessidade de argumentos formais. No campo da geometria, serão propostas
atividades envolvendo construções geométricas elementares, com ênfase no estudo das propriedades das
figuras planas que permanecem invariantes nas construções geométricas dinâmicas.
Embora as aplicações dos ambientes de geometria dinâmica no ensino de geometria plana sejam
mais difundidas, seu uso também pode ser muito enriquecedor para o ensino de funções reais. Por
exemplo, podem ser exploradas relações entre as propriedades algébricas e o comportamento qualitativo
de gráficos de faḿılias de funções dependendo de parâmetros, de maneira semelhante às atividades
propostas no caṕıtulo 3. Porém, tais explorações podem agora ser realizadas de forma dinâmica, isto
é, em lugar de digitar valores numéricos para os parâmetros, o aluno pode controlar esses valores por
meio da ferramenta de arrastar dos ambientes, observando em tempo real as mudanças de aspecto
provocadas nos gráficos.
Além disso, os ambientes de geometria dinâmica permitem a abordagem do conceito de função em
situações que usualmente são pouco exploradas no ensino básico, tais como relações de dependência
funcional em construções geométricas (isto é, situações em que certos elementos das construções
são funções de outros). De fato, em construções geométricas ocorrem naturalmente relações de de-
pendências entre objetos, que valem a pena ser exploradas. Se a construção é feita em geometria
dinâmica, essas relações, que muitas vezes podem passar despercebidas, tornam-se mais evidentes. Por
exemplo, se constrúımos um quadrado inscrito em um ćırculo, então o lado e a área do quadrado são
funções do raio ćırculo – ou podemos mesmo dizer que neste caso o próprio quadrado é função do
ćırculo. Em geometria dinâmica, se alteramos o ćırculo, podemos ver as alterações acarretadas no
quadrado inscrito; e se apagamos o ćırculo, o quadrado inscrito (que dele é dependente) também desa-
parecerá. Situações como essa oferecem algumas possibilidades de exploração pedagógica que podem
ser muito enriquecedoras.
70 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
• É posśıvel estudar o comportamento de funções diretamente por meio da dinâmica do ambiente,
sem a mediação das representações usuais em sala de aula, especialmente a representação gráfica.
Isto é, o comportamento da função pode ser analisado ao se alterar um objeto no ambiente, e
observar as consequentes alterações nos objetos que são dependentes deste. Assim, a própria
dinâmica do ambiente converte-se em uma forma não convencional de representação.
• Além disso, pode-se ampliar o universo de funções familiares aos alunos, uma vez que são apresen-
tados exemplos de funções cujos doḿınios ou contradoḿınios não são números, e sim conjuntos
de objetos geométricos. Nos livros didáticos, em geral a abordagem de funções tem ińıcio com a
definição de função em contexto abstrato, como relação entre dois conjuntos genéricos. Entre-
tanto, quase todos os exemplos que se seguem são de funções entre conjuntos numéricos. Desta
forma, verifica-se lacuna brusca na abordagem – e a apresentação de exemplos de funções de
outra natureza é importante para preenche-la.• Finalmente, como são constrúıdas funções entre objetos geométricos, essas situações estabele-
cem uma articulação entre geometria e funções, campos da Matemática que quase sempre são
abordados de forma dissociada no ensino básico.
Nas atividades propostas neste caṕıtulo, teremos como referência os softwares GeoGebra [1] e
Tabulæ [6]. A razão para esta escolha deve-se apenas ao fato de que esses softwares podem ser encon-
trados facilmente e sem custo na internet. Entretanto, como já observamos, nosso foco não estará em
nenhum software espećıfico, e sim na discussão sobre as vantagens e limitações que o uso de ambientes
de geometria dinâmica em geral pode trazer para o ensino e a aprendizagem de conceitos matemáticos.
4.1 Explorando a Geometria de Forma Dinâmica
De forma geral, os ambientes de geometria dinâmica fornecem uma representação computacional para
o plano euclideano, e suas ferramentas básicas são concebidas para reproduzir régua não graduada e
compasso f́ısicos – os chamados instrumentos euclidianos. Esta estrutura permite a simulação de cons-
truções geométricas que podem ser feitas com os instrumentos euclidianos, sendo que nesses ambientes,
as construções tornam-se dinâmicas, isto é, podem ser manipuladas de forma que as propriedades e
relações dos objetos constrúıdos sejam preservadas. A maior parte dos ambientes de geometria dinâmi-
ca incorpora ainda outros recursos, tais como traçado de lugares geométricos, representação de seções
cônicas, coordenadas cartesianas e medidas aproximadas para comprimentos e áreas.
Cabe ressaltar que, em virtude das limitações inerentes ao software, as representações computa-
cionais apresentam diferenças importantes em relação ao modelo matemático. De fato, no modelo
matemático teórico, o plano euclidiano constitui-se de infinitos pontos, é completo (isto é, desprovido
de “buracos”) e ilimitado. Nas representações em geometria dinâmica, por outro lado, lidamos sempre
com uma região retangular formada por uma quantidade muito grande, porém finita de pixels.
O objetivo das atividades a seguir é apresentar possibilidades de uso de ambientes de geometria
dinâmica no ensino de geometria euclidiana plana, tanto para a aprendizagem de conceitos geométricos
espećıficos quanto para o desenvolvimento do racioćınio matemático dedutivo envolvido, buscando
sempre a forma mais geral e sólida posśıvel para que os conhecimentos adquiridos possam
ser reconhecidos e aplicados, mesmo sem o apoio do computador. As atividades iniciais (1 a 6)
visam a ambientação com os ambientes geometria dinâmica, que de um modo geral possuem ferramentas
semelhantes. Propomos construções relativamente simples e procuramos explorar a investigação dos
conceitos matemáticos envolvidos. As atividades propostas envolvem, principalmente, a investigação de
regularidades, a generalização de propriedades, a formulação de conjecturas, e como desdobramento, a
confirmação ou refutação dessas conjecturas por meio de argumentos matemáticos.
4.1. EXPLORANDO A GEOMETRIA DE FORMA DINÂMICA 71
Atividades
1. Foi proposta a uma turma do ensino médio a tarefa de construir um triângulo equilátero de
lado AB dado, usando um ambiente de geometria dinâmica. Um dos alunos da turma propôs a
seguinte solução:
1. trace a mediatriz do segmento AB;
2. usando o recurso para traçar ćırculos do ambiente, escolha o ponto A como centro e mova
o cursor até que o ćırculo “encoste” no ponto B, marcando assim um ponto C, que define
o raio AC;
3. marque o ponto D, de interseção entre a mediatriz de AB e esse ćırculo;
4. ligue os pontos, obtendo o triângulo ABD.
(a) Você considera que a construção está correta?
(b) Qual é o segmento que determina a medida do raio do ćırculo constrúıdo? Este segmento
depende de AB?
(c) Usando a construção proposta pelo aluno, arraste o ponto C. O que acontece com o
triângulo constrúıdo?
(d) O que podemos garantir sobre esse triângulo, com base na construção do aluno? Isto é,
o que, de fato o aluno está construindo? Justifique sua resposta por meio de argumentos
matemáticos.
72 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
2. Para resolver a mesma tarefa da atividade 1, outro aluno da turma propôs a seguinte construção:
1. trace a mediatriz do segmento AB;
2. usando o recurso para traçar ćırculos, escolha o ponto A como centro e mova o cursor até
que o ćırculo “encoste” no ponto B, de forma que o ponto C, que define o raio AC, esteja
sobre a mediatriz de AB;
3. ligue os pontos, obtendo o triângulo ABC.
Responda às mesmas perguntas da atividade 1, para esta construção.
3. Descreva uma maneira correta de construir um triângulo equilátero de lado AB dado em um ambi-
ente de geometria dinâmica, isto é, uma construção de forma que a propriedade de ser equilátero
seja preservada quando quaisquer dos elementos da construção forem arrastados. Justifique a
validade de sua construção por meio de argumentos matemáticos.
4. Agora, o professor propôs a essa mesma a construção, em um ambiente de geometria dinâmica,
de um quadrado de lado AB dado. Um aluno propôs a seguinte solução:
1. trace um ćırculo de centro em A e raio AB;
2. trace um ćırculo de centro em B e raio AB;
3. marque um ponto C sobre o ćırculo de centro A de tal forma que o segmento AC seja
visualmente perpendicular a AB, e um ponto D sobre o ćırculo de centro B de tal forma
que o segmento BD seja visualmente perpendicular a AB;
4. ligue os pontos, obtendo o quadrado ABDC.
4.1. EXPLORANDO A GEOMETRIA DE FORMA DINÂMICA 73
(a) Você considera que a construção está correta?
(b) O que garante a perpendicularidade dos lados do quadrilátero nesta construção?
(c) Usando a construção proposta pelo aluno, arraste o ponto C e, em seguida, o ponto D. O
que acontece com o quadrilátero?
(d) O que podemos garantir sobre esse quadrilátero, com base na construção do aluno? Isto é,
o que, de fato o aluno está construindo? Justifique sua resposta por meio de argumentos
matemáticos.
5. Questionando a solução do colega, outro aluno da turma propôs a seguinte construção para a
tarefa da atividade 4:
1. trace um ćırculo de centro em A e raio AB;
2. trace um ćırculo de centro em B e raio AB;
3. marque um ponto C sobre o ćırculo de centro A de tal forma que o segmento AC seja
visualmente perpendicular a AB;
4. trace um ćırculo de centro em C e raio CB;
5. marque o ponto, de interseção dos ćırculos de centro B e de centros C;
6. ligue os pontos, obtendo o quadrado ABDC.
Responda às mesmas perguntas da atividade 4, para esta construção.
74 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
6. Descreva uma maneira correta de construir um quadrado de lado AB dado em um ambiente de
geometria dinâmica, isto é, uma construção de forma que a propriedade de ser quadrado seja
preservada quando quaisquer dos elementos da construção forem arrastados. Lembre-se de que,
para garantir que um quadrilátero seja um quadrado, precisamos garantir a congruência dos lados
e dos ângulos internos, pois uma não implica na outra, como ocorre no caso dos triângulos.
Justifique a validade de sua construção por meio de argumentos matemáticos.
As atividades anteriores envolvem construções em que não há garantias de que o objeto geométrico
obtido de fato satisfaz às condições dadas no problema. Estas atividades ilustram como os ambien-
tes de geometria dinâmica, em particular o recurso de arrastar, podem ser explorados para motivar a
distinção entre argumentos matematicamente válidos e argumentos emṕıricos ou indutivos,
que implicam logicamente nas propriedades desejadas. Para que estes objetivos sejam atingidos, é fun-
damental que as conclusões dos alunos sejam fundamentadas em argumentos matemáticos,
e não na simples visualização do software. Note que foram inclúıdas questões chaves nas atividades,
com o papel de dispararessa discussão.
Por exemplo, no caso das atividades 1 e 2, só é posśıvel garantir que os triângulos constrúıdos são
isósceles, mas não necessariamente equiláteros. Esta conclusão decorre, por um argumento baseado
em congruência de triângulos, do fato do vértice oposto ao lado AB estar sobre a mediatriz deste lado.
Na atividade 4 a construção só garante a congruência de três dos lados do quadrilátero, e na 5 de
todos os lados. Na atividade 5 obtemos apenas um quadrilátero equilátero, isto é, um losango, que não
necessariamente é equiângulo, portanto não necessariamente é um quadrado. Desta forma, pode-se
motivar uma discussão sobre as relações entre congruência dos lados e dos ângulos de um poĺıgono:
apenas nos casos dos triângulos essas propriedades são equivalentes.
4.1. EXPLORANDO A GEOMETRIA DE FORMA DINÂMICA 75
Observe que a maior parte dos principais softwares de geometria dinâmica preservam o registro das
construções efetuadas. Esses registros podem e devem ser explorados em sala de aula, pois ajudam a
estabelecer pontes entre as construções geométricas e os argumentos matemáticos que as justificam.
Atividades
7. (a) Mostre que um triângulo é equilátero se, e somente se, é equiângulo.
(b) Mostre que a propriedade do item anterior não vale para poĺıgonos com número de lados
maior ou igual a 4.
8. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 6.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel do ambiente de geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades?
(d) Qual é o papel das questões chave feitas em cada uma das atividades?
(e) Que outras perguntas você proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das ativida-
des?
(f) Na sua opinião, que discussões sobre propriedades de triângulos e quadriláteros podem ser
motivadas pela resolução das atividades?
(g) Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinâmica pode trazer para a
aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais
(isto é, sem o uso de recursos computacionais)?
(h) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
9. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 6, que seja adequada para as
turmas em que você leciona. Procure incluir uma ou mais questões chave na atividade que você
elaborar, para ajudar a encaminhar a resolução dos alunos.
Nas atividades a seguir, damos continuidade à apresentação de situações de geometria plana com
apoio de ambientes de geometria dinâmica, enfocando as possibilidades de exploração dos ambientes
para a formulação de conjecturas sobre as propriedades geométricas dos objetos.
Atividades
10. (Adaptado de [11])
(a) Em um ambiente de geometria dinâmica, construa poĺıgonos de n lados, com n = 3, 4, 5, 6.
Use os recursos do software para medir a soma dos ângulos internos de cada um desses
poĺıgonos. Arraste os vértices dos poĺıgonos e observe o que acontece. O valor da soma dos
ângulos internos varia?
(b) Deduza um fórmula para a soma dos ângulos internos de um poĺıgono, em função do número
de lados.
(c) Agora, use os poĺıgonos que você construiu para calcular a soma dos ângulos externos (isto
é, os complementares dos ângulos internos) dos poĺıgonos.
(d) Deduza um fórmula para a soma dos ângulos externos de um poĺıgono, em função do número
de lados.
76 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
11. (Adaptado de [11]) O objetivo desta questão é investigar, com apoio de um ambiente de geome-
tria dinâmica, sob que condições dois triângulos, com um grupo de elementos (lados e ângulos)
congruentes, são congruentes.
(a) Dado um triângulo ABC, construa outro triângulo DEF , satisfazendo: DE = AB e
 = D̂. Arraste os vértices desses triângulos e investigue a relação entre eles.
(b) Dado um triângulo ABC, construa outro triângulo DEF , satisfazendo: DE = AB, Â = D̂
e B̂ = Ê. Arraste os vértices desses triângulos e investigue a relação entre eles.
(c) É posśıvel construir um triângulo DEF com um lado e dois ângulos congruentes a um lado e
dois ângulos de ABC, mas que não seja congruentes a ABC. Em caso afirmativo, construa
este triângulo. Caso contrário, justifique sua resposta.
(d) Quantos lados e ângulos não congruentes podem ser encontrados nos triângulos não con-
gruentes constrúıdos no item anterior?
(e) É posśıvel construir um par de triângulos não congruentes, com cinco pares de elementos
correspondes congruentes? Em caso afirmativo, construa estes triângulos. Caso contrário,
justifique sua resposta.
(f) É posśıvel construir um par de triângulos não congruentes, com seis pares de elementos
correspondes congruentes? Em caso afirmativo, construa estes triângulos. Caso contrário,
justifique sua resposta.
12. (a) Em um ambiente de geometria dinâmica, construa um trapézio ABCD qualquer, de forma
que as posições de todos os vértices possam ser alteradas, preservando o paralelismo das
bases.
(b) Construa as diagonais de ABCD e chame de G seu ponto de interseção. Em seguida, trace
uma paralela às bases por G e chame de F e E, seus pontos de interseção com os lados
AD e BC, respectivamente.
(c) Agora, arraste os vértices do trapézio e observe os triângulos EGD e GCF . O que você
pode afirmar sobre a relação entre essas áreas?
(d) Justifique matematicamente a propriedade que você observou no item anterior.
(e) Como as propriedades dinâmicas do software ajudou a formular a conjectura?
4.1. EXPLORANDO A GEOMETRIA DE FORMA DINÂMICA 77
13. O objetivo desta atividade é demonstrar a existência dos chamados pontos notáveis de um
triângulo qualquer. Esses pontos são definidos da seguinte forma:
• incentro: interseção das bissetrizes relativas a cada um dos ângulos internos de um triângulo;
• circuncentro: interseção das mediatrizes relativas a cada um dos lados de um triângulo;
• baricentro: interseção das medianas relativas a cada um dos lados de um triângulo;
• ortocentro: interseção das alturas relativas a cada um dos lados de um triângulo.
Portanto, demonstrar a existência desses pontos corresponde a provar que cada uma das linhas
notáveis (bissetriz, mediatriz, mediana e altura) se interceptam em um único ponto. Para entender
claramente as definições acima, você deverá recordar as definições de bissetriz, mediatriz, mediana
e altura.
(a) Em um ambiente de geometria dinâmica, construa uma representação para cada uma das
situações propostas neste problema. Arraste os vértices dos triângulos e verifique o que
ocorre com os pontos notáveis.
(b) Demonstre formalmente a existência do incentro e do circuncentro. Essas provas decorrem
diretamente das definições de bissetriz e mediatriz, respectivamente.
(c) Demonstre formalmente a existência do baricentro. A dica é tomar o ponto de intercessão
entre duas das medianas (que certamente existe) e determinar as razões entre as medidas
dos segmentos determinados por este ponto em cada uma das duas medianas.
(d) Demonstre formalmente a existência do ortocentro. Esta prova é provavelmente mais dif́ıcil
das quatro. Neste caso, a dica é a seguinte. Dado um triângulo ABC, construa um triângulo
DEF de tal forma que cada um dos lados de DEF contenha um dos vértices de ABC e
seja paralelo ao lado ABC oposto a este vértice. Qual é a relação entre as alturas de ABC
e o triângulo DEF ? Faça esta construção no ambiente de geometria dinâmica e escreva a
prova formal.
(e) Com ajuda do ambiente de geometria dinâmica, investigue quais dos pontos notáveis são
sempre interiores ao triângulo. Justifique suas conclusões por meio de argumentos formais.
(f) Verifique se as demonstrações que você escreveu no ı́tens 13b, 13c e 13d continuam valendono caso dos pontos serem exteriores ao triângulo.
(g) A razão para os nomes incentro e circuncentro está nos seguintes teoremas:
• O incentro de um triângulo é o centro do ćırculo inscrito neste este triângulo.
• O circuncentro de um triângulo é o centro do ćırculo circunscrito a este triângulo.
Represente estes enunciados no ambiente de geometria dinâmica e justifique-os formalmente.
14. Considere o seguinte problema:
Dados uma circunferência C, de centro O e raio r, e uma reta a, construir todos os
ćırculos simultaneamente tangentes a C e a a, passando por um ponto P ∈ a fixado.
O objetivo desta atividade é analisar as soluções do problema, levando em conta todas as diferentes
possibilidades para as posições relativas entre o ćırculo C e a reta a. Suponha, inicialmente, que
a não corte C.
(a) Quantas soluções tem o problema? Isto é, existem quantos ćırculos simultaneamente tan-
gentes a C e a a, e passando por P ?
78 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
(b) Em um ambiente de geometria dinâmica, faça a seguinte construção.
1. Trace a reta b, perpendicular a a que passa por P .
2. Sobre a reta b, marque os pontos C e D tais que AP = BP = r.
3. Trace as mediatrizes dos segmentos OA e OB.
4. Marque os pontos M e N de interseção dessas mediatrizes com a reta b.
Mostre que M e N são os centros dos ćırculos tangentes procurados. Construa os ćırcu-
los tangentes, com centros em M e em N e raios em MP e em NP , respectivamente.
Para completar, construa as retas MP e NP e marque os pontos de tangência S e T ,
respectivamente.
(c) A construção do item 14b também vale no caso em que a é secante a C?
(d) O que acontece quando a é tangente a C?
(e) Existe algum caso em que o problema tenha menos de duas soluções? E mais de duas
soluções? A construção do item 14b também vale nestes casos?
(f) Agora, suponha que você uma pequena alteração no final da construção do item 14b.
Proceda da mesma forma até obter os pontos M e N . Em seguida, construa primeiro as
retas MP e NP e marque os pontos de tangência S e T . Depois, construa os ćırculos
tangentes, com centros em M e em N e raios em MS e em NT .
As construções são equivalentes?
Arraste a reta a até que ela seja secante a C. A construção é preservada? Explique o
observado.
15. Na Matemática da Grécia antiga, os problemas de determinação de áreas de figuras planas eram
chamados problemas de quadraturas. Isto por que esses problemas não eram interpretados como
de medições numéricas, como fazemos hoje, e sim como construções geométricas (realizadas com
os instrumentos euclidianos). Assim, para os gregos, determinar uma área significava construir,
com régua não graduada e compasso, um quadrado com mesma área da figura dada. Considere o
seguinte problema a seguir. Com ajuda de um ambiente de geometria dinâmica, vamos resolvê-lo
da forma como os gregos antigos fariam.
4.1. EXPLORANDO A GEOMETRIA DE FORMA DINÂMICA 79
Dado um pentágono qualquer, construir um quadrado com mesma área.
(a) A resolução deste problema pode ser facilitada com algumas construções auxiliares. Faça as
seguintes construções em um ambiente de geometria dinâmica:
i. construir um retângulo com mesma área de um triângulo qualquer dado;
ii. construir um quadrado com mesma área de um retângulo qualquer dado;
iii. construir um quadrado cuja área seja igual a soma das áreas de dois outros quadrados
dados.
(b) Como você pode usar as construções do item anterior para resolver o problema proposto?
16. As homotetias são transformações no plano que correspondem a ampliações ou reduções. Assim,
as homotetias preservam medidas angulares e multiplicam todas as medidas lineares por uma razão
constante k ∈ R. Portanto, podemos também chamar as homotetias de transformações de seme-
lhança, pois as figuras transformadas são sempre semelhantes às originais. Diversas construções
geométricas e demonstrações podem ser resolvidas com a ajuda de homotetias. A construção de
homotetias em ambientes de geometria dinâmica pode ajudar os alunos a perceberem os efeitos
dessas transformações de maneira mais concreta. Considere o seguinte problema:
Dados uma circunferência C e um segmento de reta AB, inscrever na circunferência,
um triângulo equilátero que tenha um lado paralelo ao segmento AB.
(a) Inicialmente descreva as idéias e conceitos matemáticos que podem ajudar na solução do
problema.
(b) Construa no ambiente de geometria dinâmica os elementos enunciado do problema.
(c) Como o conceito de homotetia pode ajudar na solução?
(d) Agora que a construção está conclúıda, apresente uma prova formal para a sua solução
envolvendo transformações de homotetia.
17. (Adaptado de [53]) Considere o seguinte problema:
Dado um triângulo ABC qualquer, inscrever um quadrado QRST neste triângulo.
(a) Identifique os dados do problema e as condições iniciais do problema.
(b) O que é desconhecido neste problema?
(c) Quais as condições para a construção da solução?
(d) É posśıvel resolver este problema? Use um ambiente de geometria dinâmica para investigar
as possibilidades de solução.
Caso a solução não lhe pareça trivial, uma posśıvel estratégia é pensar em um problema similar,
com menos hipóteses. Observe que, para que QRST esteja inscrito em ABC, é preciso que todos
os vértices de QRST estejam sobre os lados de ABC. Assim, podemos propor, por exemplo o
seguinte problema:
Dado um triângulo ABC qualquer, construir um quadrado QRST que tenha três de
seus vértices sobre os lados de ABC.
Quando diminuem-se as exigências de um problema, é natural que sua solução torne-se mais
simples.
80 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
(e) Experimente construir com um ambiente de geometria dinâmica uma figura que satisfaça
às condições deste problema.
(f) Como as propriedades dinâmicas do ambiente podem ajudar a relacionar este novo problema
com o proposto originalmente?
(g) Utilize as propriedades dinâmicas do ambiente para investigar a localização do quarto vértice.
(h) Escreva uma prova matemática para o resultado obtido.
As atividades 10 e 11 foram desenhadas para provocar sensações de surpresa ou incerteza nos alunos
(ver [31]). Como observamos na introdução deste caṕıtulo, situações em que o computador produz
resultados inesperados ou aparentemente errados são importantes para evidenciar aos estudantes a
necessidade de construir argumentos matemáticos, e evitar que eles atribuam ao computador
um estatuto de verdade matemática. As atividades 11 e 10 são apenas exemplos. Evidentemente,
a escolha do tipo de questões que podem ter este efeito depende do público de alunos, seu ano escolar
e sua bagagem de conteúdos.
Na atividade 11, observamos que a soma dos ângulos internos de um poĺıgono convexo, dada por
Sn = 180◦(n − 2), depende do número de lados, e cresce com esse número. Como cada ângulo ex-
terno depende do ângulo interno correspondente, isto pode sugerir que a soma dos ângulos externos
também varia com o número de lados do poĺıgono. No entanto, a soma dos ângulos externos de
um poĺıgono convexo é constante, igual a 360◦. Além disso, como o cálculo de valores numéricos dos
ambientes de geometria dinâmica envolve arredondamentos, este pode produzir resultados aproximados,
que podem inclusive mudar de aluno para aluno. A discussão sobre as razões matemáticas destes erros
de arredondamento pode, mais uma vez, ser usada para evidenciar a necessidade de buscar argumentos
matemáticos.
A atividade 10 envolve várias situações investigativas, em que a exploração no computador pode
ser duvidosa ou inconclusiva. Algumas das situações propostas serão mais familiares aos alunos, e
outras menos. Assim, o professor pode conduzir a atividade para a necessidade de buscar argumentos
matemáticos para decidir que condições garante a congruência. Esta investigação podelevar ainda à
discussão sobre o que significa enunciar os chamados “casos de congruência de triângulos”: estabelecer
condições suficientes para a congruência, isto é condições que impliquem na congruência.
Note que, nos enunciados das atividades 12, 13 e 15, empregamos os termos “trapézio qualquer”,
“triângulo qualquer” e “pentágono qualquer”. Nosso objetivo com isto é chamar atenção para a
importância da generalidade das construções no ambiente. Isto é, estas devem corresponder exatamente
às condições estabelecidas nos enunciados dos problemas, sem propriedades que tornem os objetos
representados mais particulares ou mais gerais. Por exemplo, a construção feita na atividade 12 não
pode gerar apenas trapézios isósceles, por um lado, nem quadriláteros que deixem de ser trapézios, por
outro – deve ser constrúıdo um trapézio genérico. Portanto, a única suposição que pode ser usada é
o paralelismo das bases. A propriedade dinâmica do ambiente ajuda a verificar a generalidade dessa
construção, uma vez que as alterações sofridas pelo poĺıgono podem ser observadas quando seus vértices
são arrastados.
Um aspecto importante no desenvolvimento do pensamento dedutivo em Matemática é a compreen-
são de que, em uma demonstração não podem ser usadas suposições diferentes daquelas estabelecidas
pelas hipóteses dadas. Quando fazemos uma representação estática (isto é, em papel e lápis) para um
objeto geométrico, somos quase que inevitavelmente obrigados a incorporar na representação carac-
teŕısticas mais particulares que as hipóteses dadas. Por exemplo, quando temos a intenção de desenhar
um triângulo qualquer, quase sempre representamos nosso triângulo com base na posição “horizontal” e
todos os ângulos agudos. Em alguns casos, as particularizações nas representações podem levar a parti-
cularizações indevidas nos argumentos matemáticos. Por outro lado, o uso de representações dinâmicas,
especialmente por meio da ferramenta de arrastar, pode ajudar a tornar mais evidente o fato de que
4.1. EXPLORANDO A GEOMETRIA DE FORMA DINÂMICA 81
devemos pensar em uma figura como uma representação genérica, que incorpora todas as
relações e propriedades comuns à classe de objetos matemáticos representada. Um dos obje-
tivos da atividade 13, especialmente nos ı́tens 13e e 13f, é explorar a relação entre a generalidade das
representações e a generalidade dos argumentos matemáticos.
Na atividade 14, a construção é válida em geral se a não intercepta C. De fato (figura 4.3, à
esquerda), pelo caso lado-ângulo-lado de congruência de triângulos, temos que ACM ≡ OCM , logo
AM ≡ OM . Como, por construção OS = PA = r, então MS ≡ MP . Dáı, decorre o fato de o
ćırculo de centro M e raio MS = MP é tangente a C e a a (por que?). Analogamente (figura 4.3, à
direita), temos que BDN ≡ ODN , logo BN ≡ ON , Como, por construção OS = PA = r, então
NT ≡ NP . Segue que o ćırculo de centro N e raio NT = NP é tangente a C e a a (por que?).
Figura 4.3: Construção dos ćırculos tangentes a um ćırculo C e a uma reta a, passando por um ponto
P ∈ a fixado, no caso a exterior a C.
Se a é secante a C, a construção vale, a não ser no caso em que P está sobre o ćırculo C. Se P 6∈ C,
a justificativa da construção vem das congruências de triângulos ACM ≡ OCM e BDN ≡ ODN ,
como acima (figura 4.4). Entretanto, no caso em que P ∈ C, temos que OP = r. Como além disso,
por construção, PA = PB = r, então, PA ≡ OP e PB ≡ OP . Portanto, P está nas mediatrizes
dos segmentos PA e PB, logo P é o ponto de interseção destas mediatrizes com a reta a. Por isso,
M e N coincidirão com P . Assim, não é posśıvel construir os ćırculos tangentes. De fato, neste caso
o problema não tem solução, isto é, não existe nenhum ćırculo tangente a C e a a, passando por P .
Figura 4.4: Construção dos ćırculos tangentes a um ćırculo C e a uma reta a, passando por um ponto
P ∈ a fixado, no caso a secante a C.
82 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
Finalmente, vejamos o que acontece se a é tangente a C. Se a 6∈ C, podemos repetir a construção,
porém uma das mediatrizes traçadas é paralela a a (figura 4.5). Portanto, só conseguimos obter um
ćırculo tangente a C e a a. De fato, o problema tem uma única solução. No caso em que P ∈ C (isto
é, P é o próprio ponto de tangência entre C e a), ambas as mediatrizes seriam paralelas a a. Portanto,
não conseguiŕıamos construir nenhum ćırculo tangente. De fato, neste caso, o problema tem infinitas
soluções, isto é, existem infinitos ćırculos tangentes a C e a a, passando por P .
Figura 4.5: Construção dos ćırculos tangentes a um ćırculo C e a uma reta a, passando por um ponto
P ∈ a fixado, no caso a tangente a C.
A tabela 4.1 resume o número de soluções do problema proposto na atividade 14, para todos os
casos posśıveis. Existem vários outros problemas envolvendo tangência a objetos geométricos, cuja
diversidade de soluções torna a investigação enriquecedora. Nestes casos, os ambientes de geome-
tria dinâmica podem dar um suporte importante às explorações dos aluno, desde que estas
sejam acompanhadas dos devidos argumentos matemáticos.
número de soluções
P 6∈ C P ∈ C
a exterior a C 2 —
a secante a C 2 0
a tangente a C 1 ∞
Tabela 4.1: Número de soluções do problema de construção dos ćırculos tangentes a um ćırculo C e a
uma reta a, passando por um ponto P ∈ a fixado.
Neste sentido, o item 14f exemplifica uma situação em que a dinâmica do ambiente torna evidente
a importância de cada escolha feita em uma construção – ou, em outras palavras, a importância de
precisão com que cada objeto é definido na generalidade de um argumento matemático.
Com a “pequena” alteração proposta na construção, observamos que esta não se preserva para o caso
em que a reta a é secante a C, pois um dos ćırculos constrúıdos passa a ser tangente apenas a a, mas
não a C (figura 4.6). Como entender por que isto ocorre?
Observe que, a diferença fundamental entre as construções propostas nos ı́tens 14b e 14f está na
definição dos raios dos ćırculos tangentes: estes são definidos como MP e NP em 14b, e como MS
4.1. EXPLORANDO A GEOMETRIA DE FORMA DINÂMICA 83
e NT em 14f. Os pontos S e T , por sua vez, são definidos pelas interseções entre a reta OM e C
e entre a reta ON e C. Porém, cada uma destas retas possui dois pontos de interseção com C, mas
somente um de cada dois são os pontos de tangência procurados. Portanto, em 14f o raio dos ćırculos
constrúıdos são definidos tendo como base não os pontos de tangência, mas sim pontos de C que podem
ou não coincidir com os pontos de tangência. Por isso, a construção não é estável, ou seja quando os
elementos são movidos, os ćırculos constrúıdos podem deixar de ser tangentes.
Figura 4.6: Por que a construção não se preserva?
Desta forma, a exploração no ambiente de geometria dinâmica de uma escolha inadequada (pois não
vale para todos os casos que a construção deve contemplar) permite o aprofundamento da compreensão
da própria construção geométrica e dos conceitos matemáticos envolvidos. Sem o recurso dinâmico do
ambiente, a diferença entre as escolhas e suas consequências para a construção poderiam facilmente
passar despercebidas. Portanto, como nas atividades 10 e 11, a incerteza que esta situação pode causar
nos alunos pode ser aproveitada pelo professor para motivar a exploração matemática de aspectos pouco
evidentes do problema.
A atividade 15 explora a ideia de determinar a área de uma figura geométrica por meio de composição
e decomposição em figuras mais simples. Na matemática grega, estas eram ideias fundamentais na abor-
dagem dos problemas de quadraturas, expressas por duas das noções comuns (ou axiomas) enunciadas
por Euclides:
Se iguais são somados a iguais, então os todos são iguais.
Se iguais são subtráıdosde iguais, então os restos são iguais.
No ensino básico, a abordagem de áreas (e também de volumes) frequentemente reduz-se a um
repertório de fórmulas, apresentadas sem justificativas, que devem ser memorizadas pelos alunos. Iro-
nicamente, isto faz com que a abordagem de geometria na escola seja mais algébrica ou numérica
do que geométrica! Em geral, os alunos têm pouca oportunidade de explorar relações e propriedades
geométricas em um contexto puramente geométrico, antes da apresentação de fórmulas. Por exemplo,
é fundamental para a aprendizagem da noção de área explorá-la e percebê-la antes de mais nada como
um atributo de natureza geométrica das figuras planas, ao qual, eventualmente, podem-se atribuir
medidas numéricas (uma vez fixada uma unidade) e que – em certos casos muito particulares – pode
ser representado por fórmulas algébricas. Assim, o resgate da abordagem de áreas por composição
e decomposição é muito importante, e os ambientes de geometria dinâmica podem ser grande ajuda
84 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
em atividades desse tipo. No caso da atividade 15, a ideia é decompor o pentágono em triângulos
(figura 4.7) e usar equivalências de áreas dos triângulos para obter a quadrado com mesmo área que o
pentágono (figura 4.8).
Figura 4.7: Um pentágono decomposto em triângulos.
Figura 4.8: Um retângulo com mesma área de um triângulo dado; um quadrado com mesma área de
um retângulo dado; e um quadrado cuja área é a soma de dois quadrados dados.
Na atividade 16, a ideia é usar o fato de que, uma vez que as homotetias preservar ângulos, em
particular, preservam paralelismo (figura 4.9). O ambiente de geometria dinâmica oferece uma repre-
sentação mais concreta da transformação: os alunos podem efetivamente ver e manipular sua
ação em figuras geométricas.
Figura 4.9: Aplicando uma transformação de homotetia para resolver uma construção geométrica.
4.2. APROFUNDANDO A EXPLORAÇÃO GEOMÉTRICA 85
O encaminhamento da atividade 17 é inspirado na abordagem de Pólya1 para a resolução de proble-
mas. A estratégia empregada para resolver um problema relativamente dif́ıcil é pensar primeiro em um
problema semelhante, com condições mais simples. Por sua própria natureza, este tipo de estratégia
envolve a investigação livre de diversos casos e, possivelmente, a formulação e verificação de diversas
conjecturas intermediárias. Para esse processo, os ambientes de geometria dinâmica podem ser de
grande ajuda.
Atividades
18. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 10 a 17.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel do ambiente de geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades?
(d) Que questões chave você proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das atividades?
(e) Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinâmica pode trazer para a
aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais
(isto é, sem o uso de recursos computacionais)?
(f) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
19. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 10 a 17, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
4.2 Aprofundando a Exploração Geométrica
Existem incontáveis maneiras de aproveitar os recursos dos ambientes de geometria dinâmica no ensino.
Na seção anterior, selecionamos algumas atividades como exemplos, com o objetivo principal de discutir
alguns aspectos relevantes para o planejamento da abordagem de geometria euclidiana plana com
apoio desses ambientes. Nesta seção, apresentamos mais algumas sugestões de atividades, enfocando
conteúdos um pouco mais avançados.
Lugares Geométricos
A maior parte dos ambientes de geometria dinâmica dispõem de ferramentas de lugar geométrico2 ou
rastro, que geram representações geométricas para o conjunto descrito por um ou mais pontos de uma
construção, quando um de seus elementos é variado. Essas ferramentas acrescentam aos recursos
dinâmicos de arrastar, os registros geométricos das variações consequentes. Isto é, além de
observar essas variações, pode-se obter um registro concreto para elas. Desta forma, é posśıvel revelar
novas relações entre os elementos de uma construção (que não são percebidas em uma primeira análise),
1György Pólya (1887-1985) foi um matemático húngaro. Além de ter contribúıdo em diversos campos da pesquisa em
Matemática, seu importante trabalho em Ensino de Matemática tornou-se uma referência para a pesquisa em resolução
de problemas.
2Do ponto de vista matemático, o termo lugar geométrico nada mais é que um sinônimo do conceito de conjunto,
empregado no contexto particular da geometria plana ou espacial. Alguns autores criticam o uso do termo, argumentando
que isto pode causar a impressão de que se tratam de conceitos matemáticos diferentes. Neste texto, optamos por manter
o termo lugar geométrico, não apenas por ele ser usado na maioria dos softwares de geometria dinâmica, como também
por julgar que, do ponto de vista pedagógico, seu uso enfatiza a ideia de definir conjunto de pontos do plano que
compartilham uma propriedade em comum.
86 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
visualizar os lugares geométricos descritos pela variação desses elementos e explorar suas propriedades –
levando a resultados às vezes surpreendentes. As atividades 1 e 2 a seguir apresentam alguns exemplos
de exploração dessas ferramentas.
Atividades
1. O objetivo desta atividade é utilizar a ferramenta de lugar geométrico do ambiente de geometria
dinâmica para construir a imagem de um objeto por uma transformação no plano. Neste caso,
usamos o exemplo da construção da imagem de um ćırculo por uma homotetia.
Considere um ponto H e um número real k > 0 fixados (por exemplo, tome k = 1, 5). Construa
um ćırculo C, de centro O e raio r > 0 qualquer (considere inicialmente H exterior a C). Marque
um ponto P sobre C. Construa o ponto P ′ na reta que contém H e P , tal que P ∈ HP ′ e:
HP ′
HP
= k .
(a) Temos que P ′ é a imagem de P pela homotetia de centro H e razão k. Justifique esta
afirmação.
(b) Arraste o ponto P ao longo do ćırculo C e observe o comportamento de P ′. O que você
verifica?
(c) Use os recursos de ambiente para traçar o lugar geométrico de P ′ quando P percorre C.
Este lugar geométrico corresponde à imagem de C pela homotetia de centro H e razão k.
Mostre que este lugar geométrico também é um ćırculo.
(d) Qual é a medida do raio do ćırculo constrúıdo no item 1c? Como se pode construir o centro
desse ćırculo?
(e) Se construirmos outra figura geométrica, como por exemplo um quadrado, qual seria a
imagem dessa figura pela homotetia?
(f) Mova o ponto O até que H fique interior a C. Em seguida, mova O até que ele coincida
com H. Justifique matematicamente o que você observa.
(g) Agora, repita toda a construção acima, alterando a razão de homotetia k para um número
menor que 1 (tome, por exemplo, k = 0, 5). Justifique matematicamente o que você
observa.
2. Aproveite as telas que você construiu na atividade 14 da seção 4.1 para traçar os lugares geomé-
tricos dos centros dos ćırculos simultaneamente tangentes a uma reta e um ćırculo dados.
(a) Para isso, use o recurso do ambiente geometria dinâmica para gerar os lugares geométricos
dos centros dos ćırculos tangentes ao ćırculo C e à reta a, quando o ponto P varia sobre a.
Considere os casos: a exterior a C, a secante a C e a tangente a C.
(b) Que tipo de subconjuntos dos planos são esses lugares geométricos? Justifique sua respostas
com argumentos matemáticos.
As ferramentas de lugar geométrico e rastro dos ambientes de geometria dinâmica propiciam um
novo ńıvel deanálise das construções geométricas. Como exploramos em diversas situações na seção
anterior, ferramentas como a de arrastar permitem observar de forma dinâmica as alterações em uma
construção quando um de seus elementos varia. As ferramentas de lugar geométrico acrescentam a
esse recurso a possibilidade de gerar registros concretos de tais alterações. Esses registros podem então
ser percebidos e estudados como objetos geométricos em si – cujas alterações também podem ser
4.2. APROFUNDANDO A EXPLORAÇÃO GEOMÉTRICA 87
observadas dinamicamente de acordo com a variação de elementos da construção. Assim, é
posśıvel analisar propriedades comuns a um ou mais pontos de uma construção geométrica
e suas relações com a variação das condições iniciais da construção, do ponto de vista dos
subconjuntos do plano euclidiano formados por esses pontos.
Por exemplo, na atividade 1, pode-se construir primeiro a imagem pela transformação de homotetia
de um ponto P fixado no ćırculo C. Em seguida, pode-se construir o conjunto formado pelas imagens
de todos os pontos P ∈ C, isto é, a imagem de C (figura 4.10). Em em segundo ńıvel de análise,
pode-se observar o que acontece com esse conjunto imagem quando são alteradas as condições iniciais
da construção, tais como a posição relativa entre o centro de homotetia e o centro do ćırculo (figura
4.11), ou a razão de homotetia (figura 4.12).
Figura 4.10: A imagem de um ćırculo por uma transformação de homotetia.
Figura 4.11: O que acontece quando a posição relativa entre o centro de homotetia e o centro do
ćırculo é alterada.
Figura 4.12: O que acontece quando a razão de homotetia é alterada.
88 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
Na atividade 2, no caso em que a é exterior a C, a visualização no ambiente de geometria dinâ-
mica sugere que o lugar geométrico dos centros dos ćırculos simultaneamente tangentes a C e a a é
união de duas parábolas (figura 4.13). Para provar matematicamente este fato, observamos que um
ponto X no plano é centro de um ćırculo simultaneamente tangente a C e a a se, e somente se,
d(X,O) = d(X, a) + r (este é o caso do ponto M na figura) ou d(X,O) = d(X, a)− r (este é o caso
do ponto N na figura). Assim, essas parábolas têm focos em O e diretrizes nas retas paralelas a a que
distam r unidades de a.
Figura 4.13: O lugar geométrico dos ćırculos tangentes a um ćırculo C e a uma reta a, no caso a
exterior a C.
No caso em que a é secante a C (figura 4.14), a posição de uma das parábolas inverte-se. O lugar
geométrico é formado pelas duas parábolas, exclúıdos os pontos de interseção entre C e a. De fato, o
argumento acima continua válido, mas esses pontos não são centros de nenhum ćırculo tangente a C e
a a. Analogamente, no caso em que a é tangente a C (figura 4.15), o lugar geométrico é formado por
uma única parábola, da qual é exclúıdo o (único) ponto de interseção entre C e a.
Figura 4.14: O lugar geométrico dos ćırculos tangentes a um ćırculo C e a uma reta a, no caso a
secante a C.
4.2. APROFUNDANDO A EXPLORAÇÃO GEOMÉTRICA 89
Figura 4.15: O lugar geométrico dos ćırculos tangentes a um ćırculo C e a uma reta a, no caso a
tangente a C.
Atividades
3. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 e 2.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel do ambiente de geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinâmica pode trazer para a
aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais
(isto é, sem o uso de recursos computacionais)?
(e) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
4. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 e 2, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
Geometria Espacial
Podemos empregar representações em geometria dinâmica para a geometria especial da mesma forma
que fazemos quando usamos papel e lápis: usamos representações planas para representar objetos tri-
dimensionais. Assim, podemos aproveitar os recursos e funcionalidades dos ambientes de geometria
dinâmica para explorar o espaço, assim como fazemos com a geometria plana, como discutimos na
seção anterior. No caso da geometria especial, essas funcionalidades permitem alterar o ponto de vista
de observação de um objeto tridimensional de forma dinâmica, contribuindo com a exploração do espaço
e com o desenvolvimento da visualização espacial.
Entretanto, é importante lembrar sempre que ainda lidamos com representações planas para objetos
tridimensionais. Esta limitação na forma de representar é sem dúvida um obstáculo para o ensino de
geometria espacial, que não é sanado pelo uso de ambientes de geometria dinâmica. Da que maneira
que fazemos esboços de objetos tridimensionais em papel e lápis, ao construir representações para desses
90 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
objetos em geometria dinâmica, buscamos retratar aspectos relacionados à visualização, mas abrimos
mão da preservação das propriedades métricas. Por exemplo, a representação do cubo da atividade
6 deve ser de tal forma que os movimentos no ambiente não distorçam as interseções entre arestas e
faces.
Podeŕıamos obter representações um pouco mais precisas usando, por exemplo, conceitos da geome-
tria projetiva. Porém, nas atividades a seguir, optamos por propor representações simples, respeitando
principalmente as relações de incidência e paralelismo entre os elementos, sem levar em conta as pro-
priedades métricas dos objetos originais. Acreditamos que esta opção é suficiente para os objetos
pedagógicos das atividades.
Atividades
5. Seja ABCD um tetraedro regular. Considere R e S os pontos médios de BC e de AD, respecti-
vamente. Utilize o ambiente de geometria dinâmica para investigar se as afirmações a seguir são
verdadeiras ou falsas. Dê uma justificativa formal para cada um de suas conclusões.
(a) O segmento AR é altura do triângulo ABC.
(b) O segmento RS é altura do triângulo ARD.
(c) O segmento RS é mediana do triângulo BSC.
(d) O triângulo BSC é isósceles.
(e) O triângulo ARD é equilátero.
6. (Adaptado de Provão/2000) Considere um cubo, em que CC ′ é uma aresta e ABCD e A′B′C ′D′
são faces opostas. O plano que contém o vértice C ′ e os pontos médios das arestas AB e AD
determina no cubo uma seção.
(a) Então, essa seção é um:
i. triângulo isósceles;
ii. triângulo retângulo;
iii. quadrilátero;
iv. pentágono;
v. hexágono.
Justifique sua resposta.
4.2. APROFUNDANDO A EXPLORAÇÃO GEOMÉTRICA 91
(b) Construa uma representação para este cubo e a seção em um ambiente de geometria dinâ-
mica. Examine novamente a resposta do item 6a?
(c) Como o ambiente de geometria dinâmica ajudo a responder 6a?
Como já observamos, as representações para objetos tridimensionais nas atividades propostas devem
respeitar principalmente a incidência e o paralelismo entre os elementos. Por exemplo, para construir
o cubo da atividade 6a, podemos partir do quadrado frontal BCB ′C ′ e construir as demais arestas
de forma que o paralelismo entre as demais arestas seja respeitado. Assim, para que a dinâmica da
construção preserve a visualização do objeto geométrico tridimensional, podemos tomar como base as
seguintes relações espaciais (figura 4.16):
• A reta determinada pelos pontos M e N está contida no plano superior ABCD. Portanto, o
ponto I1, de interseção entre as retas MN e BC pertence ao mesmo plano.
• Como a reta BC também está contida no plano BCB ′C ′, então I1 também pertence a este
plano. Assim, a reta determinada por I1 e C ′ está contida no plano BCB ′C ′ e necessariamente
intercepta aaresta BB ′. Chamamos de R o ponto de interseção entre as retas I1C
′ e BB′.
• Como I1 pertence à reta MN (por construção) e esta reta está contida no plano C ′MN , então
I1 pertence a este plano. Como C ′ também pertence ao plano C ′MN , então a reta I1C
′ está
contida neste plano. Isto garante que o ponto R pertence ao plano C ′MN .
• Analogamente, tomamos o ponto I2, de interseção entre as retas MN e CD, definimos S o
ponto de interseção entre as retas I2C
′ e DD′, e temos a garantia de que S pertence ao plano
C ′MN .
Figura 4.16: Representando de um objeto tridimensional em geometria dinâmica.
92 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
Com esta construção, garantimos que os pontos C ′,M , N , R e S, que são os vértices do pentágono
são, de fato, coplanares. Experimente movimentar os pontos livres da construção do cubo. Você deverá
verificar que, apesar de qualquer deformação visual (ou mudança do ponto de vista) que o movimento
possa produzir na representação do cubo, sempre teremos a imagem de um pentágono (figura 4.17).
Observe ainda que existe uma posição que o pentágono é visto como um segmento de reta. O que isto
significa?
Figura 4.17: Movimentando um objeto tridimensional em geometria dinâmica.
Atividades
7. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 5 e 6.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel do ambiente de geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinâmica pode trazer para a
aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais
(isto é, sem o uso de recursos computacionais)?
(e) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
8. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 5 e 6, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
Haberdasher’s Puzzle
Existem diversos quebra-cabeças matemáticos que podem ser usados para a exploração lúdica de relações
entre figuras geométricas bidimensionais e tridimensionais. Alguns desses quebra-cabeças podem ter
peças suas constrúıdas em ambientes de geometria dinâmica.
Apresentamos a seguir uma proposta de uso do GeoGebra para explorar a dinâmica de um quebra-
cabeças geométrico criado por Henry Dudeney3 em 1902: o Haberdasher’s Puzzle. Este quebra-cabeça
consiste em fazer cortes retiĺıneos em um triângulo equilátero para montar um retângulo com os pedaços
recortados (figura 4.18).
3Henry Ernest Dudeney (1857-1930) foi um matemático inglês autor de diversos jogos e quebra-cabeças matemáticos.
4.2. APROFUNDANDO A EXPLORAÇÃO GEOMÉTRICA 93
[foto:http://es.wikipedia.org/wiki/Henry Dudeney]
Figura 4.18: Ilustração do Haberdasher’s Puzzle.
No Haberdasher’s Puzzle, para se obter pedaços com quatro ângulos retos compat́ıveis com a mon-
tagem de um retângulo são suficientes três cortes retiĺıneos. Esses cortes dividem o triângulo equilátero
em três pedaços quadrangulares e um pedaço triangular:
• o primeiro corte deve partir de um ponto F na base do triângulo equilátero, a uma distância x
(menor do que a metade do lado do triângulo) de um dos vértices, e chegar no ponto médio do
lado oposto a este vértice;
• o segundo corte deve ser perpendicular ao primeiro corte e partir de um segundo ponto G na base
do triângulo equilátero, a uma distância do primeiro ponto igual à metade do lado do triângulo;
• o terceiro corte também deve ser perpendicular ao primeiro corte a partir do ponto médio E do
único lado do triângulo equilátero que não foi seccionado pelos outros dois cortes.
Para montar o quadrado basta fixar o primeiro pedaço quadrangular, dar um giro de 180◦ nos outros
dois pedaços quadrangulares e transladar o pedaço triangular.
A seguir apresentamos uma sequência de expressões (figura 4.2) que, após digitadas no campo de
Entrada do GeoGebra, produzem o Haberdasher’s Puzzle em geometria dinâmica (figura 4.19). Nesta
construção, toda a geometria dinâmica do Haberdasher’s Puzzle é determinada pela posição do ponto
F , que pode arrastado ao longo do lado AB do triângulo equilátero, entre o vértice A e o ponto médio
deste lado. Os pontos D e F são os médios dos lados BC e CA, respectivamente. O ponto G se
move de forma que FG = 1
2
AB, e os pontos H e I se movem de forma que os segmentos GH e EI
sejam ambos perpendiculares a FD. Os pedaços do triângulo ficam reposicionados, numa configuração
retangular II ′LH ′ que depende da distância x do ponto F ao vértice A.
Com a dinâmica do Haberdasher’s Puzzle, podemos perceber que é posśıvel encontrar uma posição
do ponto F de tal forma que II ′LH ′ seja um quadrado. Assim, é natural propor o seguinte problema.
Qual é a distância x do ponto F ao vértice A que corresponde a configuração quadrada na
geometria dinâmica do Haberdasher’s Puzzle?
Se a pergunta acima fosse de múltipla escolha provavelmente a alternativa x = 1
4
AB seria a mais
escolhida. Porém, por mais provável que se pareça, essa alternativa não é a correta. A atividade 9 a
seguir fornece um roteiro para encontrar a resposta correta para esse problema.
94 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
1. A = (0, 0)
2. B = (6, 0)
3. C = girar[B, 60◦, A]
Observação: o śımbolo ◦ da unidade graus deve ser selecionado na caixa de escolha logo ao lado do campo
Entrada.
4. a = Segmento[B,C]
5. b = Segmento[A,C]
6. c = Segmento[A,B]
Observação: desabilitar a exibição dos rótulos dos segmentos a, b e c.
7. D = PontoMédio[B,C]
8. E = PontoMédio[A,C]
9. F = Ponto[Segmento[A,PontoMédio[A,B]]]
Observação: provavelmente esse ponto será criado sobre o vértice A: movimente-o para um lugar próximo a
este vértice.
10. G = F +Vetor[A,B]/2
11. corte1 = Segmento[F,D]
12. H = Interseção[corte1,Perpendicular[G, corte1]]
13. corte2 = Segmento[G,H]
14. I = Interseção[corte1,Perpendicular[E, corte1]]
15. corte3 = Segmento[E, I]
Observação: desabilitar a exibição dos rótulos dos segmentos corte1, corte2 e corte3.
16. pedaço1 = Poĺıgono[C,D, I, E]
Observação: desabilitar a exibição dos rótulos dos segmentos criados.
17. pedaço2 = Girar[Poĺıgono[A,E, I, F ], 180◦ , E]
Observação: desabilitar a exibição dos rótulos dos segmentos criados e dos pontos A′ e E′.
18. pedaço3 = Girar[Poĺıgono[B,D,H,G],−180◦, D]
Observação: desabilitar a exibição dos rótulos dos segmentos criados e dos pontos B ′ e D′.
19. pedaço4 = Transladar[Transladar[Poĺıgono[F,G,H],Vetor[F,C]],Vetor[F,A]]
Observação: desabilitar a exibição dos rótulos dos segmentos e dos pontos criados.
Tabela 4.2: Construção do Haberdasher’s Puzzle em geometria dinâmica.
4.2. APROFUNDANDO A EXPLORAÇÃO GEOMÉTRICA 95
Figura 4.19: Geometria dinâmica do Haberdasher’s Puzzle.
Atividades
9. O objetivo desta atividade é determinar a medida da distância x de tal forma que o retângulo
formado no Haberdasher’s Puzzle seja um quadrado.
(a) Mostre que a região retangular formada é bem definida, isto é, os pontos F ′, C e G′ estão
alinhados.
(b) Mostre que o segundo e o terceiro cortes têm a mesma medida, ou seja, GH = EI.
(c) Mostre que as medidas dos lados do retângulo formado são dadas pelo primeiro corte e pelo
dobro do segundo corte, isto é, DF e 2 ·GH.
(d) Da equivalência entre as áreas do triângulo inicial e do retângulo formado, conclua que
DF ·GH =
√
3
8
·AB2
.
(e) Mostre que o retângulo formado será um quadrado quando
DF =
4
√
3
2
· AB .
(f) Das relações métricas do triânguloBFD, conclua que o retângulo formado será um quadrado
quando
x =
3−
√
4
√
3− 3
4
· AB .
Observamos que o número
3−
√
4
√
3− 3
4
' 0, 25450761671624 . . .
é construt́ıvel com régua e compasso.
10. Explore a geometria dinâmicado Haberdasher’s Puzzle para um triângulo qualquer, refazendo
sua construção com C = (3, 5) e movimentando, além do ponto F , os pontos A, B e C. Faça
conjecturas sobre as condições para a existência de configurações retangulares e quadradas.
11. Idealize uma sequência didática com o Haberdasher’s Puzzle em uma aula de 50 minutos. Quais
conceitos geométricos podem ser explorados? De que forma esses conceitos podem ser explora-
dos?
96 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
4.3 Articulando Geometria e Funções: Gráficos Dinâmicos
Esta seção e a seguinte abordarão o uso de ambientes de geometria dinâmica no ensino de funções.
Embora esses ambientes sejam mais largamente usados no ensino de geometria plana, seu uso também
pode contribuir com aspectos importantes da aprendizagem de funções, não apenas no que diz
respeito às diferentes representações de funções e das relações entre elas, como também ao
próprio conceito de função. Além disso, as atividades envolvendo funções em ambientes de geometria
dinâmica promovem naturalmente a articulação entre funções e geometria – campos da Matemática
que em geral são apresentados de forma estanque nos livros didáticos e curŕıculos do ensino básico. Tal
articulação se dá fundamentalmente em dois sentidos: por um lado, quando gráficos de funções
reais são constrúıdos em geometria dinâmica, é necessário aplicar diversos conceitos da
geometria plana; e por outro lado, os recursos dinâmicos dos ambientes permitem reconhecer
e explorar concretamente relações funcionais entre objetos geométricos.
Nesta seção, enfocaremos a construção de gráficos de funções reais de uma variável real em am-
bientes de geometria dinâmica. A própria construção de gráficos em geometria dinâmica é, por si só,
um exerćıcio interessante, que mobiliza e articula diversos conceitos geométricos de funções. Além
disso, é posśıvel explorar relações entre as propriedades algébricas e o comportamento qualitativo de
gráficos de faḿılias de funções dependendo de parâmetros. Atividades dessa natureza com ambientes
computacionais gráficos já foram discutidas no caṕıtulo 3. No entanto, os ambientes de geometria
dinâmica acrescentam aos recursos gráficos usuais a possibilidade de controlar os valores numéricos dos
parâmetros por meio da ferramenta de arrastar, propiciando uma nova perspectiva de exploração de
funções.
Dança com Gráficos
O software GeoGebra é concebido para integrar recursos geométricos e algébricos em um só ambiente
(dáı vem o seu nome). Com isso, podemos facilmente gerar gráficos de funções reais elementares a
partir de suas expressões algébricas, como propõe a atividade 1. Além disso, é posśıvel introduzir um ou
mais parâmetros reais nos gráficos traçados, gerando-se assim faḿılias de funções reais, como propõem
as atividades 2 em diante. A variação dinâmica desses parâmetros modifica o gráfico original da função
em um movimento cont́ınuo, como em uma dança. Cada parâmetro, quando alterado dinamicamente,
conduz o gráfico nesta dança com um passo caracteŕıstico, em um movimento espećıfico. Neste baile das
funções elementares, a aprendizagem dos conceitos envolvidos pode se tornar muito mais significativa
com o aux́ılio da geometria dinâmica.
Atividades
1. Use o software GeoGebra para gerar gráficos de várias funções reais elementares à sua escolha.
Para isto, basta digitar as expressões algébricas das funções no campo Entrada, como mostra a
figura abaixo. Compare esta atividade com as que você realizou no caṕıtulo 3. Você vê alguma
vantagem no uso do ambiente de geometria dinâmica?
2. Use agora o GeoGebra para representar faḿılias de funções reais dependendo de parâmetros, por
meio de gráficos dinâmicos. Como exemplo, consideremos as funções f : R → R definidas por
f(x) = a cos(b x + c), com a, b, c ∈ R. Exploraremos o movimento gráfico de f , a partir da
mudança dinâmica nos valores dos parâmetros.
4.3. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES: GRÁFICOS DINÂMICOS 97
(a) Primeiro, você deverá definir os seletores de valores para os parâmetros a, b e c. Para
definir cada um deles, escolha a opção Seletor na barra de ferramentas superior (como
mostra a figura abaixo) e, em seguida, clique na área de trabalho para marcar a posição
em que o respectivo seletor aparecerá. Depois, digite f(x) = a cos(b x + c) e, em seguida,
g(x) = cos(x) no campo Entrada. Os valores dos parâmetros podem ser controlados ar-
rastando os seletores que aparecem na tela. Assim, você poderá observar as mudanças no
gráfico dinâmico, comparando-as com o gráfico de g, que é fixado como referência.
(b) Que questões você pode propor aos seus alunos com esta atividade?
3. Como já comentamos, muitas das atividades com ambientes computacionais gráficos propostas
no caṕıtulo 3 também podem ser realizadas em geometria dinâmica. Em alguns casos, os recursos
dinâmicos podem trazer vantagens pedagógicas a estas atividades.
Por exemplo, repita a atividade 1 da seção 3.2 usando o ferramenta Seletor do GeoGebra para
definir os parâmetros. Que vantagens e desvantagens pedagógicas você vê no uso do ambiente
de geometria dinâmica, em relação ao ambiente gráfico, para realizar esta atividade?
4. Crie um roteiro para ajudar seus alunos a responderem as questões propostas nas atividades 6 e
7 da seção 3.2, com apoio de um ambiente de geometria dinâmica.
5. Crie um roteiro para ajudar seus alunos a responderem as questões propostas nas atividades 8 e
9 da seção 3.2, com apoio de um ambiente de geometria dinâmica.
98 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
6. Considere a faḿılia de funções polinomiais h : R+ → R definida por h(x) = xk, com k ∈ R. Use
o GeoGebra para criar um gráfico dinâmico representando essa faḿılia.
(a) Explique o comportamento dos gráficos, considerando os casos em que k < 0, 0 6 k < 1 e
k > 1.
(b) Você observará que para alguns valores de k o programa mostra um trecho do gráfico para
x < 0. Que valores são esses? Explique por que isso ocorre.
7. Considere a faḿılia de funções polinomiais do terceiro grau p : R → R definida por p(x) =
x (x − 1) (x − a), com a ∈ R. Use o GeoGebra para criar um gráfico dinâmico representando
essa faḿılia.
(a) Varie a e observe as mudanças no gráfico de p.
(b) Para que valores reais de a a função admite três ráızes reais distintas? Quantas ráızes reais
tem p para os demais valores de a? Justifique sua resposta.
8. Considere a faḿılia de funções polinomiais do terceiro grau q : R → R definida por q(x) =
x (x2 − a), com a ∈ R. Use o GeoGebra para criar um gráfico dinâmico representando essa
faḿılia.
(a) Varie a e observe as mudanças no gráfico de p.
(b) Para que valores reais de a a função admite três ráızes reais distintas? Quantas ráızes reais
tem p para os demais valores de a? Justifique sua resposta.
(c) Você observará que, quando os valores positivos de a aumentam, o gráfico parece adquirir
o aspecto de uma reta. Por que isso ocorre?
A atividade 1 visa simplesmente à familiarização com os recursos de GeoGebra para o traçado de
gráficos de funções reais. Como o enunciado da atividade sugere, procure comparar o uso de ambientes
gráficos com o uso de ambientes de geometria dinâmica para gerar gráficos de funções reais elementares.
As vantagens dos ambientes de geometria dinâmica no ensino de funções reais tornam-se
mais significativas quando seus recursos são explorados para gerar gráficos dinâmicos. Por
exemplo, no caso da atividade 3, é posśıvel mover dinamicamente a parábola e observar o movimento
do vértice ao longo do lugar geométrico descrito por y = −2 x2 + 3 (figura 4.20).
Figura 4.20: Gráfico dinâmico da faḿılia de parábolas y = 2 x2 + b x+ 3.
4.3. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES: GRÁFICOS DINÂMICOS 99
Assim como na atividade 2, as atividades 4 e5 envolvem a aplicação de transformações em gráficos
de funções (figura 4.21). Como sabemos (ver caṕıtulo 3):
• os parâmetros aditivos determinam translações horizontais e verticais nos gráficos;
• os parâmetros multiplicativos determinam dilatações horizontais e verticais nos gráficos.
Com os recursos do ambiente de geometria dinâmica, é posśıvel criar seletores para controlar os
valores dos parâmetros por meio da ferramenta de arrastar, que permitem manipular dinamicamente e
visualizar os efeitos das transformações de translação e dilatação nos gráficos.
Figura 4.21: O efeito dinâmico de transformações de translação e dilatação em gráficos de funções
reais.
As atividades 6 a 8 exploram a variação dinâmica de parâmetros em funções polinomiais. De forma
semelhante ao que já discutimos no caṕıtulo 3, atividades desta natureza podem contribuir para a
aprendizagem de funções reais em pelo menos dois aspectos fundamentais. Em primeiro lugar, os
recursos do ambiente computacional permitem a exploração das propriedades qualitativas das
funções, articulando representações algébricas e gráficas de forma dinâmica. Isto é, o aluno
pode manipular dinamicamente os valores dos parâmetros e observar, ao mesmo tempo, as alterações
consequentes nos gráficos. Em segundo lugar, torna-se mais acesśıvel o estudo de tipos de funções cuja
abordagem no ensino básico apenas com recursos usuais seria dif́ıcil (tais como funções polinomiais de
grau maior que 2). Este aspecto possibilita a expansão do repertório de funções reais familiares
aos alunos – que muitas vezes são levados a desenvolver uma imagem bastante limitada, por terem
sido apresentados apenas a funções polinomiais de grau menor ou igual a 2.
Atividades
9. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 8.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel do ambiente de geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinâmica pode trazer para
a aprendizagem dos conceitos enfocados, em comparação com abordagens com recursos
convencionais (isto é, sem o uso de recursos computacionais), e com ambientes gráficos
simples (como aqueles discutidos no caṕıtulo 3)?
(e) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
10. Para cada um dos ı́tens a seguir, elabore uma atividade usando gráficos dinâmicos de funções
dependendo de parâmetros, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 8, que seja adequada
para as turmas em que você leciona. Formule também uma sequência didática para aplicação de
cada uma das atividades que você elaborar em uma aula de 50 minutos. Especifique os objetivos,
os conceitos matemáticos explorados e de que maneiras esses conceitos podem ser explorados.
100 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
(a) funções polinomiais;
(b) funções trigonométricas;
(c) funções exponenciais e logaŕıtmicas.
Construindo Gráficos Como Lugares Geométricos
Nesta seção, estamos enfocando a construção de gráficos de funções reais em ambientes de geometria
dinâmica. Até aqui, lançamos mão, para este fim, dos recursos espećıficos incorporados no GeoGe-
bra: eixos cartesianos, digitação direta de expressões algébricas no campo Entrada, uso de Seletores
para controlar valores de parâmetros (se quisermos usar gráficos dinâmicos para representar faḿılias de
funções). Tais recursos não estão dispońıveis em todos os softwares de geometria dinâmica. Entretanto,
mesmo naqueles que não os oferecem, também é posśıvel gerar gráficos de funções. Nesses casos, porém,
é preciso construir do ińıcio toda a estrutura matemática necessária para representar esses gráficos –
isto é, deve-se munir o plano euclidiano sintético com um sistema de coordenadas cartesianas.
Evidentemente, quando o objetivo está em ensinar tópicos espećıficos sobre funções reais e o com-
portamento de seus gráficos, não há motivo para desprezar os recursos do software que tornam seu
estudo mais acesśıvel. Por outro lado, o exerćıcio de construir um sistema de coordenadas cartesianas
em um ambiente de geometria dinâmica pode ser muito enriquecedor para a aprendizagem dos con-
ceitos que fundamentam a geometria anaĺıtica. Por exemplo, ao se construir o sistema cartesiano, é
necessário pensar em como estabelecer precisamente, com as ferramentas dispońıveis no software, a
unidade linear, a orientação dos eixos, sua perpendicularidade (se for o caso), e assim por diante. O
próprio processo de construção ressalta a importância teórica desses conceitos, que são tão
elementares que seu papel constituinte na teoria é em geral esquecido. Além disso, uma vez
estabelecido o sistema cartesiano, para construir o gráfico de uma função, emprega-se basicamente a
ferramenta de lugar geométrico do ambiente. O uso dessa ferramenta tem como base o próprio conceito
matemático de gráfico: o lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano cujas coordenadas verificam
a lei de formação da função. Em geral, os alunos aprendem tantos procedimentos para traçar gráficos
em casos particulares, que essa noção fundamental fica em segundo plano. Em suma, quanto me-
nos ferramentas prontas estão dispońıveis para a construção, mais conceitos matemáticos
elementares são mobilizados.
Outro aspecto importante dessas construções é a integração de diversos conceitos da geometria
euclidiana no estudo de geometria anaĺıtica, funções reais e gráficos. Além da própria idéia de lugar
geométrico são explorados os conceitos de paralelismo, perpendicularidade, razão entre medidas, trans-
formações no plano (homotetias). Assim, é posśıvel explicitar na abordagem pedagógica as múltiplas
relações de um mesmo conceito a diversos campos da Matemática, em lugar de atrelá-lo a uma forma
espećıfica de representação.
As atividades a seguir constituem um roteiro para a construção de um sistema de coordenadas
cartesianas e de gráficos de funções reais em ambientes de geometria dinâmica que não possuem
essas ferramentas espećıficas incorporadas. Ao longo das atividades, procuraremos ressaltar elementos
geométricos e conceitos relacionados com cada construção. Teremos como referência o software Tabulæ.
Esse roteiro será organizado em três etapas, mas ou menos independentes, a saber:
• construção do sistema de coordenadas cartesianas, a partir de um tela em branco (atividade 11);
• construção de gráficos de funções reais como lugares geométricos, a partir de uma tela com
sistema cartesiano previamente constrúıdo (atividade 12);
• definição de parâmetros e construção de gráficos dinâmicos, representando faḿılias de funções
(atividade 13).
4.3. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES: GRÁFICOS DINÂMICOS 101
Atividades
11. (Adaptado de [27]) O roteiro a seguir visa à construção de um sistema de coordenadas cartesianas
em geometria dinâmica.
1. Construa uma reta livre de referência (preferencialmente em posição visualmente horizontal).
Construa uma reta paralela e uma reta perpendicular à reta de referência. Chame essas
duas retas de ox e oy, respectivamente. Chame de O o ponto de interseção entre ox e oy.
Esconda a reta de referência.
2. Marque um ponto Ux na reta ox, à direita do ponto O. Construa um ćırculo de centro O
e raio OUx. Chame de Uy o ponto de interseção entre esse ćırculo e a reta oy, que está
acima do ponto O. Esconda o ćırculo constrúıdo.
3. Marque um ponto livre X sobre o eixo ox, e um ponto livre Y sobre o eixo oy. Use a
ferramenta Razão por 3 pontos para definir as razões x = OX
OUx
e y = OY
OUy
.
4. Trace as retas perpendiculares a ox passado por X e a oy passando por Y , e chame de P o
ponto de interseçãodestas retas. Se quiser, você poderá esconder essas retas em seguida.
(a) No primeiro passo, foi constrúıda uma reta de referência, que depois foi escondida. Qual é
a vantagem de construir essa reta? Por que não construir diretamente os eixos horizontal e
vertical?
(b) No sistema cartesiano constrúıdo, qual é o papel dos pontos Ux e Uy?
(c) Qual é o significado das razões x = OX
OUx
e y = OY
OUy
calculadas? Arraste os pontos X e Y
ao longo dos eixos e observe a variação desses valores.
(d) Observe que, a partir de certo ponto da construção, passamos a usar a palavra eixo em lugar
de reta. Por que esta palavra não foi usada desde o começo?
(e) Arraste o ponto Ux ao longo do eixo horizontal, mantendo os pontos X e Y parados.
Observe o que acontece com os valores de x e y enquanto você arrasta Ux. Interprete esses
resultados nos casos em que:
i. Ux está entre O e X;
ii. X está entre O e Ux;
iii. O está entre X e Ux.
(f) Suponha que você faça a seguinte alteração na construção proposta: em lugar de marcar o
ponto Uy como interseção do ćırculo com o eixo oy, marque Uy como um ponto livro nesse
eixo. Assim, você poderá mover os pontos Ux e Uy independentemente. Que diferença esta
alteração representa no sistema de eixos constrúıdo?
102 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
12. (Adaptado de [27]) O roteiro a seguir visa à construção do gráfico de uma função real em geome-
tria dinâmica, a partir de um sistema de coordenadas cartesianas previamente constrúıdo. Assim,
comece com uma tela com um sistema de eixos cartesianos constrúıdo.
1. Como na atividade anterior, marque um ponto livre X sobre o eixo ox, e use a ferramenta
Razão por 3 pontos para definir a razão x = OX
OUx
.
2. Use a ferramenta Calculadora para inserir a expressão algébrica da função cujo gráfico você
deseja traçar. Neste exemplo, traçamos o gráfico de y = x2− 4x+ 3. Para inserir a expres-
são na calculadora, você deverá selecionar x na própria tela e digitar os números e sinais no
teclado da calculadora que aparecerá na tela. Chame de y o valor gerado.
3. Para marcar o ponto Y no eixo vertical cuja ordenada é y = x2 − 4x+ 3, você deverá usar
a ferramenta Homotetia. Construa a imagem do ponto Uy pela homotetia de centro O e
razão y.
4. Trace as retas perpendiculares a ox passado por X e a oy passando por Y , e chame de P
o ponto de interseção destas retas.
5. Agora você poderá representar o gráfico de y = x2− 4x+ 3, usando as ferramentas Rastro
de objetos ou Locus (lugar geométrico). Para usar a ferramenta Rastro de objetos, você
deverá marcar o ponto P e, em seguida, selecionar a ferramenta. Para usar a ferramenta
Locus, você deverá marcar o ponto P e, em seguida, selecionar a ferramenta. Para usar
a ferramenta Locus, selecione a ferramenta e, em seguida marque os pontos P e X: com
isso, o software representará o lugar geométrico de P quando X varia.
4.3. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES: GRÁFICOS DINÂMICOS 103
(a) Justifique o uso da transformação de homotetia, incluindo a escolha de y e O como razão
e centro de homotetia, para determinar o ponto no eixo oy que corresponde à ordenada do
ponto P .
(b) Discuta como o uso das ferramentas Rastro e Locus nesta atividade pode contribuir com a
aprendizagem do conceito de função. Compare o uso dessas duas ferramentas, do ponto de
vista pedagógico.
(c) Arraste o ponto Ux ao longo do eixo horizontal, mantendo os pontos X e Y parados.
Observe e explique as mudanças sofridas pelo gráfico.
(d) Explique por que a parábola sempre passa pelo ponto OUx, quanto arrastamos os pontos X
e Ux. Qual deve ser a relação entre os segmentos OX e OUx para que o ponto P coincida
com o outro ponto em que a parábola intercepta o eixo horizontal? Justifique sua resposta.
(e) Qual deve ser a relação entre os segmentos OX e OUx para que o ponto P coincida com
o vértice da parábola? Justifique sua resposta.
13. (Adaptado de [27]) O roteiro a seguir visa à construção de um gráfico dinâmico para representar
uma faḿılia de funções reais dependendo de um ou mais parâmetros, a partir de um sistema de
coordenadas cartesianas previamente constrúıdo. Como na atividade anterior, comece com uma
tela com um sistema de eixos cartesianos constrúıdo.
1. Como nas atividades anteriores, comece marcando um ponto livre X sobre o eixo ox, e use
a ferramenta Razão por 3 pontos para definir a razão x = OX
OUx
.
2. Para definir os parâmetros, você deverá proceder de forma semelhante à construção das
coordenadas x e y na atividade 11. Primeiro, trace uma reta r, sobre esta marque dois
pontos Oa e Ua. Esta reta servirá como eixo de variação do parâmetro, e os pontos Oa e
Ua servirão para marcar o zero e a unidade. Agora, marque um ponto livre A sobre a reta
r e use a ferramenta Razão por 3 pontos para definir a razão a = OA
OUa
.
Por meio desse procedimento, você poderá definir quantos parâmetros quiser.
A partir dáı, a construção segue como a anterior.
3. Usar a ferramenta Calculadora para inserir uma expressão algébrica. Neste exemplo, traçamos
a faḿılia de parábolas y = a x2 + b x + c, com a, b, c ∈ R. Construa os parâmetros a, b e
c. Para inserção na calculadora, selecione x, a, b e c na própria tela. Chame de y o valor
gerado.
104 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
4. Use a ferramenta Homotetia para marcar o ponto Y no eixo vertical cuja ordenada é y =
a x2 + b x + c.
5. Trace as retas perpendiculares a ox passado por X e a oy passando por Y , e chame de P
o ponto de interseção destas retas.
6. Crie um gráfico dinâmico para representar a faḿılia y = a x2 + b x + c com a ferramenta
Locus.
(a) Altere os valores dos parâmetros. Observe e explique as mudanças no gráfico.
(b) Observe que nesta construção não nos preocupamos em garantir que as unidades dos di-
ferentes parâmetros fossem iguais. Ao definir mais de um parâmetro em uma construção
como esta, é necessário que haja algum tipo de relação entre as unidades fixadas para cada
um deles? Justifique sua resposta.
(c) Compare esta atividade as anteriores desta seção, e com aquelas do caṕıtulo 3 que envolvem
funções dependendo de parâmetros. Discuta as vantagens e desvantagens pedagógicas.
Observe que com a ferramenta Calculadora dispońıvel no Tabulæ, é posśıvel definir funções polino-
miais, trigonométricas, exponenciais, logaŕıtmicas e combinações destas. Procure pensar em atividades
semelhantes abordando diferentes tipos de funções reais e compare-as com as desta seção e as do
caṕıtulo 3. Estes processos de construção exercitam a compreensão de conceitos sobre quais em geral
não se reflete quando são empregados software com mais recursos prontos.
4.3. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES: GRÁFICOS DINÂMICOS 105
Por exemplo, os ı́tens 11e, 11f e 12c tratam dos efeitos de mudanças de coordenadas em pontos
e em subconjuntos do plano cartesiano (no caso, gráficos de funções). Cabem algumas observações
importantes a esse respeito. Nos ı́tens 11e e 11f, arrastar os pontos Ux e Uy corresponde a alterar
as escalas dos eixos coordenados. Quando essas escalas são alteradas, a posição de P permanece
fixa, porém os valores de suas coordenadas mudam. De fato, o ponto P é constrúıdo de maneira
independente dos pontos Ux e Uy, entretanto suas coordenadas x e y dependem de Ux e Uy, pois são
definidas como razões:
x =
OUx
OX
y =
OUy
OY
(4.1)
Assim, arrastar os pontos Ux e Uy corresponde a observar as alterações dos valores das coordenadas
de um ponto fixo, enquanto são aplicadas mudanças no sistema de coordenadas do plano. No caso, as
mudanças de coordenadas em questão correspondem simplesmente a alterações de escala, porém essas
não são as únicas formas posśıveis de mudanças de coordenadas no plano (ver atividade 15).
Na atividade 12, como o objetivo não é construir pontos X e Y independentes, mas estabelecer
uma dependênciafuncional entre eles, a construção é feita de forma diferente. As relações 4.1 também
são verdadeiras, porém a ordem da construção é diferente. Para entender bem essas diferenças e seus
significados matemáticos, você deverá percorrer atentamente os passos da construção. Exatamente
como em 11, o ponto X é constrúıdo de maneira independente de Ux e Uy; e, em seguida, a coordenada
x é definida como razão entre OX e OUx. Entretanto, a diferença está na construção da coordenada
vertical: a coordenada y é definida primeiro, como função da coordenada x; e o ponto Y é constrúıdo
em seguida, como imagem de Uy pela homotetia de centro O e razão y. Assim, Y depende de y, que,
por sua vez, é função de x. Isto é, o ponto Y e o valor de y não são arbitrários, e sim funções de
x. A relação y = OUy
OY
é válida, mas neste caso não é a definição da coordenada y (como em 11), e
sim uma consequência da construção do ponto Y como imagem por uma homotetia. Em consequência
dessa construção, no item 12c, quanto Ux é arrastado, a posição do ponto X permanece fixa, mas a
de Y muda. Ou seja, quando as escalas são alteradas, tanto a posição de P quanto os valores de suas
coordenadas mudam.
Além disso, em 12c, quando o ponto Ux é arrastado, o aspecto do gráfico da função também
se altera. Isto ocorre porque a equação que define o lugar geométrico permanece fixa, enquanto a
escala dos dois eixos é alterada. Ou seja, a parábola visualizada permanece sendo o conjunto {(x, y) ∈
R2 | y = x2 − 4x + 3}, porém a escala dos eixos muda. Portanto, arrastar o ponto Ux corresponde a
ampliar ou reduzir a escala de visualização deste conjunto. Os ı́tens 12e e 12d podem ajudar a entender
este aspecto: quando X ou Ux são arrastados, o efeito é o mesmo se a relação entre esses pontos (isto
é, a razão entre os segmentos OX e OUx) for mantida.
É importante observar ainda que, no item 11e, as escala dos dois eixos coordenados estão vinculadas
entre si. Portanto, as mudanças de coordenadas em questão consistem da aplicação de uma transfor-
mação por homotetia. Por outro lado, no item 11f as escala dos eixos não estão vinculadas, isto é, é
posśıvel alterá-las independentemente.
Compare essas atividades com as da seção 3.3 que envolve mudanças de escala. Por exemplo, nas
atividades 4 e 5 daquela seção (p. 50), é preciso usar escalas muito diferentes nos eixos para entender
o comportamento das funções.
Atividades
14. Proponha um roteiro para a construção de gráficos de funções, de forma que seja posśıvel alterar
as escalas dos eixos coordenados independentemente (como no item 11f).
106 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
15. Evidentemente, existem outras formas de mudanças de coordenadas no plano, além daquelas
discutidas nas atividades 11 e 12. De fato, qualquer transformação invert́ıvel R2 → R2 pode
ser vista como uma mudança de coordenadas (e o mesmo vale em R3, bem como em dimensões
superiores). Como exemplo, proponha um roteiro para uma construção que permita visualizar os
efeitos das mudanças de coordenadas dadas por rotações no plano cartesiano.
16. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 11, 12 e 13.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Como se pode usar essas atividades para promover a articulação entre conceitos de geometria
euclidiana, geometria anaĺıtica e funções em sala de aula?
(d) Qual é o papel do ambiente de geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades?
(e) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula? Que estratégias você adotaria para superar esses obstáculos.
4.4 Articulando Geometria e Funções: Novas Formas de Olhar
Na seção anterior, apontamos dois aspectos importantes do uso de ambientes de geometria dinâmica
no ensino de funções reais (p. 99): articular representações algébricas e gráficas dinamicamente, e
expandir o repertório de exemplos familiares aos alunos. Entretanto, as potencialidades de aplicação
desses ambientes no ensino de funções vão ainda mais além. Por exemplo, é posśıvel empregar outras
formas de representação para funções reais, diferentes daquelas usualmente presentes em sala de
aula no ensino básico (tipicamente, algébricas e gráficas). Esta é a proposta do aplicativo apresentado
na tabela 4.3 e das atividades 2 a 8, a seguir. Além disso, é posśıvel estudar o comportamento de
funções reais sem a mediação das representações usuais, por meio da exploração dinâmica
da dependência funcional entre objetos em uma construção geométrica, como propõem as
atividades 10 a 14.
Tais aplicações ainda dizem respeito ao campo das funções reais – porém a geometria dinâmica
oferece caminhos interessantes para se explorar além desse território. Os recursos dinâmicos permitem
a experiência concreta com funções cujos doḿınios e contradoḿınios não são conjuntos
numéricos. Por exemplo, as atividades 17 a 20 enfocam transformações no plano. Assim, além de
apresentar novas representações e expandir o repertório de exemplos de funções reais apenas, é posśıvel
ampliar o próprio universo de funções abordadas, articulando os campos de geometria plana
e funções e aproximando mais a abordagem pedagógica da generalidade matemática do
conceito de função.
Desenrolando o Seno
Ensinar o conceito de radiano não é uma tarefa fácil. Muitos alunos saem do ensino médio sem qualquer
percepção intuitiva de medidas angulares em radianos. Esse fato pode ser verificado, solicitando aos
alunos que representem medidas angulares em graus e em radianos por meio de aberturas com os
braços: provavelmente, eles não terão dificuldades para representar uma abertura de 60◦, por exemplo,
mas não terão ideia de como abrir os braços para indicar 1 rad.
Apresentaremos a seguir o aplicativo Desenrolando o Seno, que permite relacionar graus com radia-
nos e, de quebra, desenrolar arcos no eixo horizontal para traçar o gráfico da função seno (figura 4.22).
Os passos da construção desse aplicativo no GeoGebra são dados na tabela 4.3. A geometria dinâmica
4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES: NOVAS FORMAS DE OLHAR 107
do aplicativo Desenrolando o Seno dá-se pelo movimento do ponto P sobre o eixo horizontal, desde a
origem O até o ponto A de abscissa igual a π. Diversos aspectos interessantes da trigonometria podem
ser explorados observando o desenrolar do arco de circunferência no eixo horizontal, juntamente com o
traçado do gráfico do seno.
Figura 4.22: Aplicativo GeoGebra: Desenrolando o Seno.
108 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
1. O = (0, 0)
Propriedades desse ponto: na aba básico habilitar a opção Fixar Objeto.
2. C = (−1, 0)
Propriedades desse ponto: na aba básico habilitar a opção Fixar Objeto.
3. c = Ćırculo[C,O]
Propriedades desse ćırculo: na aba básico desabilitar Exibição de Rótulo, na aba estilo mudar o estilo da linha
para tracejado.
4. A = (2pi, 0)
Propriedades desse ponto: na aba básico habilitar a opção Fixar Objeto.
5. P = Ponto[Segmento[O,A]]
Propriedades desse ponto: na aba cor escolher vermelho, na aba estilo escolher Espessura da Linha 5;
movimente esse ponto sobre o eixo horizontal até a abscissa 1.
6. radiano = Segmento[O,P ]
Propriedades desse segmento: na aba básico em Exibir Rótulo escolher a opção Valor, na aba cor escolher
verde escuro, na aba estilo escolher Espessura da Linha 9.
7. Q = Girar[O, radiano,C]
Propriedades desse ponto: na aba cor escolher vermelho.
8. grau = Ângulo[O,C,Q]
Propriedades desse ângulo: na aba básico em Exibir Rótulo escolher a opção Valor, na aba estilo escolher
Tamanho 50.
9. cc = Arco[c,Q,O]
Propriedades desse arco: na aba básico desabilitar Exibir de Rótulo, na aba cor escolher verde escuro, na abaestilo escolher Espessura da Linha 9.
10. h = Reta[Q,EixoX]
Propriedades dessa reta: na aba básico desabilitar Exibir de Rótulo, na aba estilo escolher Estilo da Linha
pontilhado.
11. v = Perpendicular[P,EixoX]
Propriedades dessa reta: na aba básico desabilitar Exibição de Rótulo, na aba estilo escolher Estilo da Linha
pontilhado.
12. seno = Função[sin(x), x(O), x(A)]
Propriedades desse gráfico: na aba cor escolher vermelho, na aba estilo escolher Espessura da Linha 9.
Tabela 4.3: Construção do aplicativo Desenrolando o Seno.
Atividade
1. Elabore uma sequência didática com a utilização do aplicativo Desenrolando o Seno, apresentado
na tabela 4.3 em uma aula de 50 minutos. Quais conceitos trigonométricos podem ser explorados?
De que forma esses conceitos podem ser explorados?
4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES: NOVAS FORMAS DE OLHAR 109
Eixos Paralelos
As atividades 2 a 8 a seguir apresentam uma forma diferente de analisar o comportamento de funções
reais em geometria dinâmica: as variáveis independente e dependente são representadas em um sistema
de eixos paralelos, em lugar de perpendiculares. Assim, quando o ponto X que representa a variável
independente em um dois eixos é arrastado, o ponto Y que representa a variável dependente no segundo
eixo move-se de acordo com os valores correspondentes da função. Se os pontos XY são ligados por
um segmento de reta, o comportamento da função pode ser mais claramente percebido por meio da
observação do movimento do segmento XY . O exerćıcio de compreender o comportamento de uma
função real, a partir da interpretação de uma forma de representação diferente das mais familiares, pode
ser enriquecedor para os alunos. Nas construções a seguir, teremos como referência o GeoGebra.
Atividades
2. (Adaptado de [35]) A seguir, apresentamos um roteiro para construção de um sistema de eixos
paralelos para representar funções reais no GeoGebra. Neste roteiro, constrúımos eixos paralelos
horizontais. Porém, esta escolha é arbitrária, uma vez que a posição dos eixos não tem qualquer
papel no desenvolvimento das atividades.
1. Marque os pontos Ox = (0, 0), Ux = (1, 0), Ox = (0, 2), Ux = (1, 2). A maneira mais
fácil de fazê-lo é digitar diretamente no campo Entrada. Selecione a opção Fixar Objeto nas
Propriedades de cada um destes pontos.
2. Trace as retas ox, passando por Ox e Ux, e oy, passando por Oy e Uy.
3. Marque um ponto livre X na reta ox.
Os pontos Ox e Oy representarão as origens dos eixos ox e oy, respectivamente, e os segmentos
OxUx e OyUy as unidades desses eixos. Observe que na construção acima a distância entre os
eixos ox e oy é igual 2, porém esta distância é arbitrária e você poderá escolhê-la como quiser.
Agora, você poderá usar esse sistema de eixos paralelos para representar o comportamento de
uma função real. Para isso, siga o roteiro abaixo, em que damos o exemplo da função f : R→ R,
f(x) = x2.
1. No campo Entrada, defina k =RazãoAfim[Ox, Ux, X].
2. No campo Entrada, defina o ponto Y = (k2, 2) (basta escrever Y=(k^2,2)).
3. Construa um segmento ligando os pontos X e Y .
110 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
O número k corresponde à coordenada do ponto X em relação ao eixo ox. Usamos a letra k,
em lugar de x, porque x é um “śımbolo reservado” no GeoGebra, isto é, tem um significado
espećıfico.
(a) Justifique cada passo da construção acima.
(b) Arraste o ponto X ao longo do eixo de ox e observe o movimento do segmento XY .
Explique esse comportamento.
3. (Adaptado de [35]) Você poderá usar o roteiro proposto na atividade 2 para representar diversas
funções reais. Para isso, basta alterar a definição do ponto Y , entrando nas Propriedades do
ponto. Verifique as funções dispońıveis no GeoGebra no campo localizado logo à direita de
Entrada.
Como exemplo, represente em eixos paralelos a função f : R? → R, f(x) =
1
x
. Arraste o ponto
X ao longo do eixo de ox e observe o movimento do segmento XY .
(a) Explique o comportamento do segmento XY quando você aproxima o ponto X de Ox. Por
que o ponto Y parece “sumir” e “reaparecer” do outro lado?
(b) Explique o comportamento do segmento XY quando você afasta o ponto X de Ox.
4. Represente em eixos paralelos a função f : R → R, que, a cada x ∈ R associa a parte inteira
de x. Para isto, use a função floor do GeoGebra. Arraste o ponto X ao longo do eixo de ox
e observe o movimento do segmento XY . O segmento XY parece dar pequenos “saltos”. Por
que isto ocorre?
5. Também é posśıvel usar o sistema de eixos paralelos para representar mais de uma função simul-
taneamente. Por exemplo, a figura abaixo mostra a representação das funções f1, f2 : R → R,
dadas por f1(x) = x2 e f2(x) = x3.
(a) Faça essa construção, adaptando o roteiro proposto na atividade 2. Para fazer esta adaptação,
você deverá definir um ponto Y1, da mesma forma que o ponto Y foi definido na atividade 2,
e definir um segundo ponto Y2 no eixo oy. Como este segundo ponto deve ser constrúıdo?
(b) Arraste o ponto X ao longo do eixo de ox e explique o comportamento dos segmento XY1
e XY2.
6. Você poderá ainda usar eixos paralelos para representar operações entre funções, tais como soma,
produto ou composição. Por exemplo, a figura abaixo representa as funções f1, f2 : R → R,
dadas por f1(x) = x2 e f2(x) = f1(x) + 1.
4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES: NOVAS FORMAS DE OLHAR 111
(a) Faça essa construção, adaptando o roteiro proposto na atividade 2. Para fazer esta adaptação,
você deverá definir p =RazãoAfim[Oy, Uy, Y1], por meio do campo Entrada. Em seguida,
defina o ponto Y2 = (p+ 1, 2).
(b) Arraste o ponto X ao longo do eixo de ox e explique o comportamento dos segmento XY1
e XY2.
Como as atividades anteriores ilustram, diversos aspectos interessantes sobre o comportamento de
funções reais podem ser explorados por meio de sistemas de eixos paralelos. Observe que, nas ativi-
dades 3 e 4, foram inclúıdas questões chave para ajudar seu desenvolvimento pelos alunos. No caso
da atividade 3, essas questões procuram encaminhar a análise dos limites infinitos e no infinito da
função. Assim, o “sumir e reaparecer do outro lado” corresponde à existência de um asśıntota vertical
em x = 0. Na atividade 4, os “pequenos saltos” correspondem aos infinitos pontos de descontinui-
dade da função. Questões como essas, se convenientemente formuladas, podem ajudar a entender as
propriedades particulares de cada exemplo abordado.
Atividades
7. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 2 a 6, que seja adequada para as
turmas em que você leciona. Procure incluir questões chave (como as propostas nas atividades
3 e 4).
8. Outra possibilidade de exploração de representação de funções em eixos paralelos é fornecer
construções prontas e pedir para que os alunos tentem adivinhar a função representada. Elabore
uma atividade desta natureza, que seja adequada para as turmas em que você leciona. Inclua
questões chave que ajudem os alunos a chegarem à resposta.
9. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 2 a 8.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? Que questões conceituais podem
ser exploradas quando utilizamos os eixos paralelos para representar funções?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel do ambiente de geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades?
(d) Como você considera que atividades como essas podem contribuir com a aprendizagem de
funções reais no ensino básico?
(e) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
112 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
Relações de Dependência entre Grandezas Geométricas
O objetivo das atividades 10 a 14 a seguir é investigar relações de dependência funcional entre grandezas
geométricas (basicamente,comprimentos e áreas), com o apoio de ambientes de geometria dinâmica.
Essas atividades (que têm como referência o software GeoGebra) são organizadas de acordo com a
seguinte estrutura:
• Em primeiro lugar, procura-se investigar as relações de dependência sem a mediação de represen-
tações algébricas e gráficas, explorando-se apenas a construção geométrica dinâmica.
• Em seguida, a variação dos valores das funções é explorada por meio de pontos variáveis sobre
um eixo.
• Somente depois dessa exploração inicial, é constrúıdo o gráfico da função, ainda se empregando
os recursos do software. Propõe-se então que as perguntas feitas em cada problema sejam res-
pondidas por meio de métodos anaĺıticos.
Esta estrutura visa incentivar uma percepção intuitiva da variação das funções reais, antes de analisá-
las por meio de representações algébricas e gráficas. Tais representações são muito poderosas para a
resolução de problemas modelados por funções reais e, por isso, são as mais largamente empregadas
em sala de aula. Entretanto, justamente devido a esse grande poder de resolução, as representações
algébricas e gráficas são muitas vezes abordadas de forma mecanizada e com pouca reflexão, o que pode
comprometer seriamente o desenvolvimento da ideia intuitiva de variação. A investigação de relações
dependência entre grandezas geométricas constituem uma oportunidade para recuperar a
percepção intuitiva da ideia de variação, e os ambientes de geometria dinâmica podem fornecer
um apoio importante para esse objetivo.
Atividades
10. (Adaptado de [10]) O objetivo desta atividade é investigar a variação da área de um retângulo,
quando um de seus lados é mantido fixo e o segundo varia. Em um ambiente de geometria
dinâmica, construa um retângulo ABCD de lados AB = CD = 4 e BC = DA = 3. Marque
um ponto livre X ∈ AB e um ponto Y ∈ CD tal que XY ⊥ AB.
(a) Use os recursos do software para exibir o comprimento de AX e a área do retângulo AXYD.
Arraste o ponto X ao longo de AB e observe a variação da área de AXYD. Como você
caracterizaria essa variação?
4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES: NOVAS FORMAS DE OLHAR 113
(b) Construa um eixo para representar a variação da área de AXYD. Para fazer isso no Geo-
Gebra, você poderá seguir o roteiro abaixo. Neste roteiro, constrúımos um eixo vertical,
porém esta é uma escolha arbitrária e você poderá constrúı-lo na posição que desejar.
1. Marque os pontos O = (0, 0), U = (0, 1), por meio do campo Entrada, e selecione a
opção Fixar Objeto nas Propriedades de cada um destes pontos.
2. Trace a reta ox passando por O e U .
3. Defina S=Área[A,X,Y ,D], digitando esta expressão no campo Entrada. Com isso,
você criará uma variável numérica S, cujo valor é a área de AXYD.
4. Marque o ponto P = (0, S), pelo campo Entrada. Portanto, este ponto variará sobre
a reta determinada por O e U .
Arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P .
(c) Agora construa, no ambiente de geometria dinâmica, o gráfico que representa a área de
AXYD em função do lado AX. Para fazer isso no GeoGebra, você poderá seguir o roteiro:
1. Selecione a opção Exibir Eixos no menu.
2. Defina k=Comprimento[Vetor[A,X]], pelo campo Entrada.
3. Defina S=Área[A,X,Y ,D], pelo campo Entrada.
4. Marque o ponto P = (k, S), pelo campo Entrada.
Antes de completar a construção, arraste X ao longo de AB e observe o movimento do
ponto P . É o caminho deste ponto que descreve o gráfico de S.
5. Construa o lugar geométrico do ponto P = (k, S), quando X varia sobre AB.
(d) Defina a função S que a cada k = AX associa a área do retângulo AXYD, especificando
seu doḿınio e seu contradoḿınio. Qual é a imagem desta função?
11. (Adaptado de [10]) Suponha que agora você pretenda investigar a variação da área de um triângulo
retângulo, quando um de seus lados varia. Nesta atividade, a investigação será conduzida seguindo
os mesmos passos da atividade 10. Construa em um ambiente de geometria dinâmica um triângulo
retângulo ABC de catetos AB = 4 e BC = 3. Marque um ponto livre X ∈ AB e um ponto
Z ∈ BC tal que XZ ⊥ AB.
114 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
(a) Exiba o comprimento de AX e a área do triângulo AXZ no ambiente geometria dinâmica.
Arraste o ponto X ao longo de AB e observe a variação da área de AXZ. Como você
caracterizaria essa variação?
(b) Construa um eixo para representar a variação da área de AXZ, adaptando o roteiro dado no
item 10b. Arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P que você construiu
sobre o eixo. Você considera que esta exploração pode ajudar a entender a variação da área
do triângulo AXZ?
(c) Construa, no ambiente de geometria dinâmica, o gráfico que representa a área de AXZ em
função do lado AX adaptando o roteiro de 10c. Antes de completar a construção, arraste
X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P .
(d) Defina a função S1 que a cada k = AX associa a área do triângulo AXZ, especificando
seu doḿınio e seu contradoḿınio. Qual é a imagem desta função?
12. (Adaptado de [10]) Considere uma alteração no problema proposto na atividade 11. Com o
mesmo enunciado, agora você investigará a variação da área do trapézio retângulo BXZC, em
função dos valores de XB. Repetiremos os passos das atividades 10 e 11.
4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES: NOVAS FORMAS DE OLHAR 115
(a) Exiba o comprimento de BX e a área do trapézio BXZC. Arraste X ao longo de AB e
observe a variação da área de BXZC. Como você caracterizaria essa variação?
(b) Construa um eixo para representar a variação da área de BXZC, adaptando o roteiro dado
no item 10b. Arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P . Você considera
que esta exploração pode ajudar a entender a variação da área?
(c) Construa, no ambiente de geometria dinâmica, o gráfico que representa a área de BXZC
em função do lado XB adaptando o roteiro de 10c. Antes de completar a construção,
arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P .
(d) Defina a função S2 que a cada k = XB associa a área de BXZC, especificando seu
doḿınio e seu contradoḿınio. Qual é a imagem desta função?
(e) Qual é a relação entre as funções S (definida na atividade 10), S1 (definida na atividade
11) e S2 (definida nesta atividade)?
13. (Adaptado de [11]) Considere o seguinte problema.
Dentre todos os triângulos isósceles ABC com AB = AC = a fixos, determine aquele
que tem a maior área.
Para investigar a solução deste problema, seguiremos os mesmos passos das atividades anteriores.
(a) Em um ambiente de geometria dinâmica, construa um triângulo ABC tal que os compri-
mentos AB = AC = 1 sejam fixos e o comprimento de BC seja variável. Use os recursos
do software para exibir os valores do comprimento de BC e da área de ABC. Arraste os
pontos B e C e observe a variação da área do triângulo ABC.
(b) Como a existência do ponto de máximo procurado pode ser justificada, apenas com base
nas condições geométricas do problema? Como a exploração feita no item anterior pode
ajudar a responder esta questão?
(c) Construa um eixo para representar a variação da área de ABC, adaptando o roteiro dado no
item 10b. Arraste os pontos B e C e observe o movimento do ponto P e o seu valor máximo.
Com base nesta exploração, você é capaz de ter uma idéia de que triângulo isósceles tem a
maior área?
(d) Construa, no ambiente de geometria dinâmica, o gráfico que representa a área de ABC em
função do lado BC adaptando o roteiro de 10c. Antes de completar a construção, arraste
B e C e observe o movimento do ponto P .
(e) Defina a função S que a cada k = BC associa a área de ABC, especificando seu doḿınio
e seu contradoḿınio. Qual é a imagem desta função?
(f) Determine analiticamente o ponto de máximo absoluto da função S.
116 CAPÍTULO 4. AMBIENTESDE GEOMETRIA DINÂMICA
14. (Adaptado de [27]) Considere o seguinte problema.
Dentre todos os retângulos com peŕımetro p fixo, determine aquele com a maior área.
Para investigar a solução deste problema, seguiremos os mesmos passos das atividades anteriores.
(a) Em um ambiente de geometria dinâmica, construa um retângulo ABCD, cujos lados possam
ser alterados mantendo-se fixo o peŕımetro. Uma maneira de fazer essa construção no Geo-
Gebra é dada no roteiro a seguir. Nesta construção, fixamos o peŕımetro do retângulo em
20 unidades, mas esta é um escolha arbitrária.
1. Marque um ponto A qualquer. Defina o ponto W = A+ (10, 0), pelo campo Entrada.
Trace o segmento AW . Marque um ponto livre B no segmento AW . Esta construção
garante que o ponto B nunca poderá ficar a uma distância de A superior a 10 unidades.
Em seguida, esconda o ponto W e o segmento AW .
2. Defina a=Comprimento[Vetor[A,B]], pelo campo Entrada.
3. Defina b = 10− a, pelo campo Entrada.
4. Defina C = B + (0, b) e D = A + (0, b), pelo campo Entrada.
5. Ligue os pontos A, B, C e D por segmentos de reta, e defina o poĺıgono ABCD.
Agora, use os recursos do software para exibir os valores do comprimento de BC e da área
de ABCD. Arraste o vértice B do retângulo e observe a variação da área de ABCD.
(b) Como a existência do ponto de máximo procurado pode ser justificada, apenas com base
nas condições geométricas do problema? Como a exploração feita no item anterior pode
ajudar a responder esta questão?
(c) Construa um eixo para representar a variação da área do retângulo ABCD em função da
variação de AB, adaptando o roteiro dado no item 10b. Arraste o vértice B e observe o
movimento do ponto P e o seu valor máximo. Com base nesta exploração, você é capaz de
ter uma idéia de que retângulo tem a maior área?
(d) Construa, no ambiente de geometria dinâmica, o gráfico que representa a área de ABCD
em função do lado AB adaptando o roteiro de 10c. Antes de completar a construção,
arraste o ponto B e observe o movimento do ponto P .
(e) Defina a função S que a cada k = AB associa a área de ABCD, especificando seu doḿınio
e seu contradoḿınio. Qual é a imagem desta função?
(f) Determine analiticamente o ponto de máximo absoluto da função S.
4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES: NOVAS FORMAS DE OLHAR 117
No problema proposto na atividade 10, é posśıvel verificar que acréscimos iguais no lado variável
do retângulo implicam em acréscimos iguais em sua área. Isto pode ser constatado, observando que
a medida do lado XY permanece constante enquanto a medida de AX varia. Este tipo de variação
caracteriza as funções afins, o que é confirmado pelo traçado do gráfico da função S (figura 4.23) e
por sua definição:
S : [0, 4]→ R , S(x) = 3 x .
Figura 4.23: O gráfico da função área do retângulo, constrúıdo em geometria dinâmica.
Já nos problemas das atividades 11 e 12, verifica-se que os acréscimos nos valores nas funções não
dependem apenas dos acréscimos nas variáveis independentes. É claro que tanto a área do triângulo
quanto a área do trapézio crescem quando os respectivos lados variáveis aumentam. Isto é, as funções
S1 e S2 são ambas crescentes. Entretanto, os acréscimos da função S1 crescem, enquanto que os da
função S2 decrescem quando os lados aumentam. Esses acréscimos nas áreas do triângulo e do trapézio
podem ser observados por meio das variações nas medidas dos lados XZ de cada um dos poĺıgonos,
enquanto as medidas dos lados AX e XB, respectivamente, variam. Em termos de cálculo diferencial,
isto equivale a dizer que tanto S1 quanto S2 têm derivadas positivas, porém S1 tem derivada segunda
positiva e S2 tem derivada segunda negativa (ver, por exemplo [48]). Assim, as medidas dos lados XZ
representam “acréscimos infinitesimais” nas funções área.
Finalmente, podemos construir os gráficos das funções S1 e S2 no ambiente de geometria dinâmica
(figuras 4.24 e 4.25) e escrever suas definições:
S1, S2 : [0, 4]→ R , S1(x) =
3
8
x2 , S2(x) =
1
2
x
(
6− 3
4
x
)
= 3 x− 3
8
x2 .
118 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
Figura 4.24: O gráfico da função área do triângulo, constrúıdo em geometria dinâmica.
Figura 4.25: O gráfico da função área do trapézio, constrúıdo em geometria dinâmica.
Assim, é posśıvel verificar que, para cada valor de x, vale a relação:
S(x) = S1(x) + S2(x) .
Esta relação pode ser interpretada geometricamente de forma simples, que também pode ser repre-
sentada em geometria dinâmica, como mostra a figura 4.26.
4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES: NOVAS FORMAS DE OLHAR 119
Figura 4.26: A relação entre as áreas, representada em geometria dinâmica.
Na atividade 13, a exploração da construção geométrica dinâmica no ambiente pode ajudar a
perceber a justificativa geométrica para a existência da solução do problema. De fato, nos casos em
que B = C e em que BC = 2AB, o triângulo se degenera em segmentos de reta, e a área vale 0.
Como a área assume apenas valores positivos e varia continuamente, então esta assume um máximo
absoluto para algum valor de BC entre 0 e 2AB. Em termos do cálculo diferencial, esta conclusão
é consequência do Teorema de Weierstrass (ver, por exemplo [48]). A prinćıpio, a intuição pode nos
sugerir que a solução do problema esteja no ponto médio de 0 e 2AB, isto é, que o triângulo isósceles
de maior área posśıvel seja o triângulo equilátero. Entretanto, o gráfico que representa a área (figura
4.27) sugere que a solução não é essa. Tomando AB = AC = a, temos que a função área é definida
da seguinte forma:
S : [0, 2 a]→ R , S(x) =
1
4
x
√
4 a2 − x2 .
Para determinar analiticamente o ponto de máximo a partir dessa função, precisamos de métodos
do cálculo. Determinando a derivada de S, obtemos:
S ′(x) =
2 a2 − x2
2
√
4 a2 − x2
Como a solução da equação S ′(x) = 0 é x = a
√
2 , podemos concluir que este é o ponto de
máximo de S. Portanto, o triângulo isósceles de maior área posśıvel é o triângulo retângulo isósceles.
Assim, a solução do problema é “metade de um quadrado”. Esta observação nos lembra um problema
equivalente, cuja solução é mais intuitiva: Dentre todos os losangos com lado fixo, aquele que tem a
maior área é quadrado.
120 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
Figura 4.27: O gráfico da função área do triângulo isósceles, constrúıdo em geometria dinâmica.
De maneira análoga, na atividade 14, observamos que, se AB = 0 ou AB =
p
2
, o retângulo se
degenera em segmentos de reta, e a área vale 0. Então, como a área é positiva e cont́ınua, podemos
concluir que a área assume um máximo absoluto para algum valor de AB entre 0 e
p
2
. A figura 4.28
mostra o gráfico que representa a área traçado em um ambiente de geometria dinâmica. A função área
é definida por:
S :
[
0,
p
2
]
→ R , S(x) = x
(p
2
− x
)
.
Portanto, a solução do problema é a quadrado de lado
p
4
.
Atividades
15. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 10 a 14.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel do ambiente de geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinâmica pode trazer para a
aprendizagem dos conceitos estudados, em relação a abordagens com recursos convencionais
(isto é, sem o uso de recursos computacionais)?
(e) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
16. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 10 a 14, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES: NOVAS FORMAS DE OLHAR 121
Figura 4.28: O gráfico da função área de um retângulo com peŕımetro fixo,constrúıdo em geometria
dinâmica.
Transformações no Plano
A partir de agora, apresentamos alguns exemplos de atividades em ambientes de geometria dinâmica
que envolvem funções cujos doḿınios e contradoḿınios não são conjuntos de números reais, visando à
ampliação do universo de funções exploradas pelos alunos no ensino básico.
Transformações no plano podem ser vistas como funções R2 → R2. A maioria dos ambientes de
geometria dinâmica, incluindo o GeoGebra e o Tabulæ, dispõem de recursos prontos que permitem a
construção direta e a exploração das propriedades dos principais tipos de transformações no plano, tais
como homotetias, reflexões, rotações, translações e inversões. Por outro lado, construções de trans-
formações no plano em geometria dinâmica desde o começo, sem que esses recursos prontos sejam
utilizados (como propõe as atividades 18 a 19), também podem ser exerćıcios interessante, pois mobi-
lizam os elementos e propriedades fundamentais que servem para definir cada tipo de transformação.
O objetivo dessas atividades é justamente aprofundar o conhecimento sobre as definições das trans-
formações. Já no caso da atividade 20, em que se pede que seja usado o recurso pronto dispońıvel no
GeoGebra, o objetivo é usar a dinâmica do ambiente para explorar as propriedades da transformação e,
posteriormente, justificar sua validade com base na definição formal.
Atividades
17. Reveja as atividades 16 da seção 4.1 e 1 da seção 4.2, que enfocam propriedades das trans-
formações de homotetia. Responda às perguntas a seguir, justificando as suas respostas. Lembre-
se que, para que uma homotetia fique bem definida é preciso que sejam conhecidos seu centro
(um ponto no plano) e sua razão (um número real).
(a) Escreva a definição de homotetia.
122 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
(b) Homotetias são funções injetivas?
(c) Homotetias são funções sobrejetivas?
(d) Seja C um ćırculo de centro O e raio r. Mostre que a imagem de C também é um ćırculo.
Como se pode encontrar o centro e o raio do ćırculo imagem a partir do centro e do raio do
ćırculo original?
(e) Se A é um subconjunto qualquer do plano, explique a relação entre A e seu conjunto
imagem por uma homotetia.
18. Existem dois tipos principais de reflexões ortogonais no plano: as centrais (em relação a um
ponto) e as axiais (em relação a uma reta). Uma reflexão axial pode ser definida da seguinte
forma.
Seja r uma reta fixada no plano.
A reflexão ortogonal em relação a r é definida como a função R : R2 → R2 que a cada
ponto P no plano associa o (único) ponto P ′ 6= P tal que:
(i) PP ′ é perpendicular a r;
(ii) se Q é o ponto de interseção entre PP ′ e r, então PQ ≡ P ′Q.
(a) Com base na definição acima, elabore um roteiro para construção da reflexão de um ponto
P em relação a uma reta em um ambiente de geometria dinâmica.
(b) Use a ferramenta Lugar geométrico do ambiente para obter as imagens de uma reta e de
um ćırculo pela reflexão que você construiu.
(c) Seja R : R2 → R2 uma reflexão ortogonal em relação a uma reta. Se P é um ponto e A é
um subconjunto no plano, o que se pode afirmar sobre R(R(P )) e R(R(A))? Justifique a
sua resposta.
19. Repita a atividade 18 para reflexões centrais.
20. As inversões são tipos de transformações do plano, definidas da seguinte forma.
Seja C um ćırculo, de centro O e raio r, fixado no plano.
A inversão em relação a C é definida como a função que a cada ponto P no plano
associa o (único) ponto P ′ pertence à semi-reta
−→
OP tal que:
OP ·OP ′ = r2 .
Use os recursos do GeoGebra para fazer a seguinte construção.
1. Construa um ćırculo C de centro O.
2. Marque um ponto livre P . Use o recurso do software para marcar o ponto P ′, dado pela
imagem de P pela transformação de inversão em relação ao ćırculo C.
3. Construa uma reta r e marque um ponto livre A sobre r. Marque A′, imagem de A pela
inversão em relação a C. Use a ferramenta Locus para construir o lugar geométrico de A′
quanto A varia sobre r. Esse conjunto corresponde à imagem da reta r pela transformação
de inversão.
4. Construa um ćırculo K de centro C e marque um ponto livre B sobre K. Marque B ′,
imagem de B pela inversão em relação a C. Use a ferramenta Locus para construir o lugar
geométrico de B ′ quanto B varia sobre K. Esse conjunto corresponde à imagem da reta K
pela transformação de inversão.
4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES: NOVAS FORMAS DE OLHAR 123
(a) Mova livremente o ponto P . Observe o que acontece com P ′, nos casos em que P : é
exterior a C; é interior a C; está sobre a circunferência de C. O que acontece quando P se
aproxima de O? E quanto P se afasta muito de O?
(b) Você observará que a imagem da reta r pela transformação de inversão é um ćırculo, que
chamaremos de r′. Mova livremente a reta r. Observe o que acontece com o ćırculo r ′, nos
casos em que r é: exterior a C; secante a C; tangente a C. O ćırculo r ′ sempre passa pelo
centro de C?
(c) Você observará que a imagem do ćırculo K pela inversão também é um ćırculo, que chama-
remos de K′. Mova livremente o ćırculo K. Observe o que acontece com K′, considerando
as diferentes posições relativas entre K e C. O que acontece quando os centros de K e de
C coincidem? Existe alguma situação em que o ćırculo K′ passe pelo centro de C?
(d) Demonstre rigorosamente todas as propriedades observadas nos ı́tens anteriores, com base
na definição de inversão.
21. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 17 a 20.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel do ambiente de geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinâmica pode trazer para a
aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais
(isto é, sem o uso de recursos computacionais)?
(e) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
22. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 17 a 20, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
124 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
Anexo: Utilizando o GeoGebra
O GeoGebra [1] é um software livre de matemática dinâmica idealizado para professores e alunos de
todos os ńıveis educacionais. Disponibilizado gratuitamente na internet, o GeoGebra reúne recursos de
geometria dinâmica, álgebra e cálculo em um mesmo programa, e com o mesmo grau de importância.
Do ponto de vista da geometria, ı́cones em uma barra de ferramentas localizada na parte superior do
aplicativo permitem a construção dinâmica de diversos objetos geométricos por meio da manipulação do
mouse do computador. Do ponto de vista da álgebra, um campo de entrada localizado na parte inferior
do aplicativo permite a digitação de equações e coordenadas para a construção desses mesmos objetos
geométricos. No GeoGebra, uma expressão na janela de álgebra a esquerda do aplicativo corresponde
a um objeto na janela de visualização geométrica a direita do aplicativo, e vice-versa.
Figura 4.29: Aplicativo GeoGebra.
Por exemplo, na figura 4.29 vemos um triângulo e sua circunferência circunscrita. Para fazer
essa construção via barra de ferramentas geométricas, na parte superior do aplicativo, basta realizar a
seguinte sequência de ações:
1. habilitar a opção Poĺıgono:
clicar em três locais distintos na janela de visualização geométrica para definir os vértices do
triângulo; clicar novamente no primeiro vértice para fechar o ciclo de vértices do triângulo.
2. habilitar a opção Mediatriz:
selecionar um lado ou dois vértices para construir uma primeira mediatriz; selecionar outro lado
ou outros dois vértices paraconstruir uma segunda mediatriz.
4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES: NOVAS FORMAS DE OLHAR 125
3. habilitar a opção Interseção de Dois Objetos:
selecionar as mediatrizes constrúıdas para construir o ponto onde elas se cruzam.
4. habilitar a opção Ćırculo definido pelo centro e um de seus pontos:
selecionar o encontro das mediatrizes e um vértice do triângulo para construir a circunferência
circunscrita.
5. habilitar a opção Mover:
usar o mouse para movimentar qualquer um dos vértices do triângulo; você irá vivenciar o poder
da geometria dinâmica.
Para fazer essa mesma construção via campo de entradas algébricas, na parte inferior do aplicativo,
basta digitar no campo Entrada a seguinte sequência de expressões e comandos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Além das construções via campo de entrada ou barra de ferramentas, o GeoGebra permite a ma-
nipulação e formatação dos objetos constrúıdos. A seguir listamos algumas dicas que podem ser úteis
durante uma construção geométrica no GeoGebra. Com esse software, você pode:
• usar os ı́cones Desfazer e Refazer no lado direito da barra de ferramentas para desfazer ou refazer
a(s) última(s) construção(ções);
• esconder objetos clicando sobre eles com o botão direito do mouse e escolhendo Exibir objeto
para desativar ou reativar a exibição;
• alterar a aparência dos objetos (nome, cores, espessura, etc), clicando sobre eles com o botão
direito do mouse e escolhendo Propriedades para habilitar a caixa de diálogo espećıfica para esse
fim;
• arrastar a janela de visualização com o mouse habilitando o ı́cone Deslocar Eixos na barra de
ferramentas;
• escolher letras gregas e comandos algébricos diversos ao lado do campo de entrada;
• ativar ou desativar a exibição de muitos objetos e elementos gráficos na opção de menu Exibir;
• alterar muitas coisas na opção de menu Opções.
126 CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
Caṕıtulo 5
Sistemas de Computação Algébrica
Introdução
Os sistemas de computação algébrica (CAS, abreviação do termo em inglês Computer Algebra Systems)
são softwares matemáticos que integram recursos numéricos, gráficos e simbólicos. Do ponto
de vista numérico e gráfico, os sistemas de computação algébrica podem ser vistos como poderosas
calculadoras cient́ıficas, capazes de efetuar cálculos e produzir gráficos com grande precisão e versa-
tilidade. Porém, seu aspecto mais interessante é a possibilidade de operar com expressões simbólicas
que representam objetos matemáticos. Por exemplo, se efetuamos o cálculo 2
√
48 + 4
√
144 numeri-
camente em uma calculadora, a resposta fornecida será uma aproximação decimal para o resultado,
como por exemplo 0, 12830005981992. Os recursos dos sistemas de computação algébrica permitem
também operar simbolicamente com esta expressão numérica, fornecendo como resultado a expressão
simplificada 10
√
3. Os sistemas de computação algébrica podem, além disso, operar com expressões
algébricas simbólicas. Assim, é posśıvel operar com 2
√
16 x +
4
√
16 x2, por exemplo, obtendo 10
√
x
como resultado.
Os recursos dispońıveis nos sistemas de computação algébrica fornecem ferramentas para abordar,
numérica e simbolicamente, problemas envolvendo uma ampla gama de conceitos matemáticos: desde
os mais básicos, como operações aritméticas elementares, passando por gráficos em duas ou três di-
mensões, resolução de equações e sistemas, operações vetoriais e matriciais, até os mais avançados, tais
como limites, derivadas, integrais, expansões em séries de funções, resolução de equações diferenciais.
Entretanto, o uso de tais recursos requer linguagem de programação com comandos e sintaxe espećıficos,
que podem ser bastante sofisticados, e cuja aprendizagem pode ser dif́ıcil para alunos no ensino básico.
Por outro lado, esse grau de dificuldade pode ser dosado de acordo com o ńıvel escolar, por meio do
planejamento de atividades envolvendo sintaxe mais elementar. Como veremos neste caṕıtulo, mesmo
com alguns poucos comandos, é posśıvel realizar uma grande variedade de atividades nos sistemas de
computação algébrica. A própria aprendizagem de uma sintaxe de programação já constitui,
por si só, exerćıcios de simbolização matemática de natureza diferente daqueles que faze-
mos com papel e lápis. De fato, quando aprendemos certa simbologia matemática, devemos nos
familiarizar com a consistência lógica de suas regras para expressar ideias e procedimentos matemáticos
adequadamente. Quando aprendemos as regras sintáticas de uma linguagem de programação compu-
tacional, as eventuais inconsistências lógicas cometidas já são indicadas pelo próprio software, na forma
de mensagens de erro. Isto é, de certa forma, o software responde às tentativas (corretas ou incorretas)
do usuário para expressar procedimentos matemáticos.
Cálculos simbólicos não acarretam em erros acumulados gerados por arredondamentos ou apro-
ximações, como ocorre com cálculos numéricos, pois seus resultados não são aproximações numéricas,
e sim representações simbólicas. Entretanto, isto não significa que as ferramentas simbólicas
127
128 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
dos sistemas de computação algébrica sejam isentas de limitações. Como você observará em
diversos exemplos neste caṕıtulo, essas ferramentas podem produzir resultados inesperados ou aparen-
temente contraditórios, mesmo em situações relativamente simples. Desta forma, a interpretação
de resultados produzidos por ferramentas computacionais simbólicas, mesmo nos sistemas
de computação algébrica mais poderosos, não dispensa ou substitui o conhecimento dos
conceitos matemáticos envolvidos.
Neste caṕıtulo, enfocaremos apenas uma fração bastante restrita das vastas possibilidades de apli-
cação dos sistemas de computação algébrica. Serão priorizados exemplos de atividades que tenham
relação mais direta com os conteúdos do ensino básico e cujo desenvolvimento não demande o uso
de um grande número de comandos ou sintaxe excessivamente complicada. Também serão propostas
algumas atividades sobre conceitos um pouco mais avançados, que, embora esses conceitos não figurem
explicitamente nos curŕıculos escolares, envolvem ideias importantes para a fundamentação teórica da
abordagem de Matemática no ensino básico. Essas atividades são mais direcionadas à reflexão do
próprio professor. De forma geral, as sugestões propostas neste caṕıtulo tem objetivo de enriquecer o
repertório de recursos didáticos do professor. Deste modo, o professor pode incorporar algumas das
atividades aqui apresentadas em seus planos de aula, e sobretudo adquirir autonomia para elaborar
outras, mais adequadas às turmas em que leciona, na medida que passa a dominar as ferramentas
tecnológicas para o ensino de Matemática.
Existem diversos sistemas de computação algébrica dispońıveis, cujas sintaxes de programação po-
dem diferir muito. Por isso, neste caṕıtulo teremos como principal o software Maxima [3]. Como
nos caṕıtulos anteriores, esta escolha deve-se ao fato de o Maxima poder ser obtido gratuitamente na
internet. Além disso, a a interface wxMaxima, também dispońıvel gratuitamente, oferece um conjunto
de atalhos que tornam o programa consideravelmente mais amigável. Cabe ressaltar que o objetivo
deste caṕıtulo não é aprender a sintaxe espećıfica do Maxima, e sim usá-la como exemplo para ilustrar
o que pode ser feito com sistemas de computação algébrica e como esses sistemas podem contribuir
para o ensino básico de Matemática.
A seção 5.1 visa fornecer um panorama geral das ferramentas básicas do Maxima que podem ser
aplicadas à abordagem de conteúdos matemáticos do ensino médio. Procuraremos ainda discutir para
que situações os sistemas de computação algébrica são realmente vantajosos. Como o uso dessessis-
temas requer a familiarização com linguagens de programação espećıficas, em geral vale a pena usá-los
quando suas ferramentas espećıficas são relevantes de fato para as questões tratadas. Na seção 5.2,
apresentamos algumas ferramentas mais sofisticas, porém ainda com foco em conteúdos do ensino
médio. Nas seções 5.3 e 5.4, passamos a enfocar conceitos matemáticos um pouco mais avançados, de
cálculo infinitesimal e de aritmética, respectivamente.
5.1 Integrando Cálculo Numérico e Simbólico
Nesta seção, serão explorados as ferramentas básicas do Maxima para resolver equações, definir funções
e traçar gráficos. Procuraremos comparar o desenvolvimento das atividades com o sistema de compu-
tação algébrica, com de atividades semelhantes propostas em caṕıtulos anteriores, visando avaliar que
potencialidades pedagógicas podem ser acrescentadas pela integração de recursos simbólicos. Como nos
caṕıtulos anteriores, também serão enfocadas algumas limitações técnicas dos sistemas de computação
algébrica, destacando a possibilidade de convertê-las em potencialidades pedagógicas.
Basicamente, na interface wxMaxima, você poderá digitar os comandos diretamente na linha de
comando. Para indicar o encerramento de cada bloco de comandos, você deverá pressionar simulta-
neamente as teclas Shift e Enter. O software executará então a instrução programada, registrando a
entrada e a resposta, respectivamente, nas linhas indicadas pelos śımbolos %i e %o (abreviações dos
5.1. INTEGRANDO CÁLCULO NUMÉRICO E SIMBÓLICO 129
termos em inglês input e output), seguidos de um número. Por exemplo, a figura 5.1 mostra o cálculo
simbólico de
√
12. Para efetuar o mesmo cálculo numericamente, você deverá acrescentar na instrução
o comando numer (figura 5.2).
Figura 5.1: Cálculos simbólicos básicos no wxMaxima.
Figura 5.2: Cálculos numéricos básicos no wxMaxima.
Alternativamente, é posśıvel efetuar primeiro o cálculo simbolicamente e depois obter o resultado
numérico (figura 5.3), usando o comando float. O śımbolo % é usado para representar o resultado do
comando imediatamente anterior. Assim, no caso da instrução da figura 5.3, o śımbolo % representa
2
√
3. É posśıvel ainda executar dois comandos dentro de um mesmo bloco. Para isto, basta encerrar
cada linha com o śımbolo ; e separar da linha seguinte pressionando a tecla Enter (lembre-se que para
encerrar cada bloco de comandos, é preciso pressionar simultaneamente Shift e Enter).
Figura 5.3: Cálculos simbólicos e numéricos básicos no wxMaxima.
Para atribuir letras a constantes numéricas, ou a objetos matemáticos em geral, o śımbolo : é
empregado (figura 5.4). Assim, para representar por exemplo a =
√
12 e b =
√
27, você deverá digitar
a:sqrt(12) e b:sqrt(27). Você poderá então operar com estes śımbolos. Além disso, os próprios
śımbolos %i e %o, de input e output, podem ser usados para representar e operar com objetos
matemáticos (figura 5.5).
130 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Figura 5.4: Atribuindo nomes a objetos no wxMaxima.
Figura 5.5: Atribuindo nomes a objetos no wxMaxima.
Para resolver equações, o comando básico do Maxima é o solve. Este comando pode ser digitado
diretamente, porém a interface wxMaxima oferece uma opção que facilita seu uso e dispensa a me-
morização de sua sintaxe. Assim, basta escolher no menu superior a opção Equações e em seguida
Resolver. O sistema abrirá uma caixa com campos para digitação da equação a ser resolvida e sua
incógnita correspondente (figura 5.6).
Figura 5.6: Resolvendo equações com o wxMaxima.
5.1. INTEGRANDO CÁLCULO NUMÉRICO E SIMBÓLICO 131
O comando permite também a resolução de equações envolvendo constantes literais. Por isso, é
necessário especificar qual é a incógnita (figura 5.7 e 5.8). O comando solve pode ser usado ainda para
resolver sistemas de equações (figura 5.9). Para isso, as equações, assim como as incógnitas, devem
ser separadas por v́ırgulas.
Figura 5.7: Resolvendo equações com o wxMaxima.
Figura 5.8: Resolvendo equações com o wxMaxima.
Figura 5.9: Resolvendo sistemas de equações com o wxMaxima.
132 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Para traçar gráficos de funções reais de uma variável, o comando básico é o wxplot2d. Assim
como no caso do solve, este comando pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, bastando
para isso escolher a opção Gráfico e em seguida Gráfico 2d. O sistema abrirá uma caixa com campos
para digitação da expressão algébrica da função, dos intervalos dos dois eixos nos quais o gráfico será
visualizado, dentre outras opções. Também é posśıvel traçar gráficos de várias funções em uma mesma
janela gráfica (figura 5.10).
Figura 5.10: Traçando gráficos com o wxMaxima.
Atividades
1. Para definir funções no Maxima, o śımbolo := deve ser usado. Considere como exemplo a função
polinomial g : R → R, g(x) = x3 − 2 x + 1. Faça o que é pedido abaixo no software. Use, a
figura a seguir como guia.
(a) Defina a função g. Note que, uma vez definida g, você não precisará digitar novamente
sua expressão algébrica cada vez que a função for usada. A partir de agora, basta digitar
simplesmente g(x).
5.1. INTEGRANDO CÁLCULO NUMÉRICO E SIMBÓLICO 133
(b) Trace o gráfico de g na janela −5 ≤ x ≤ 5, −10 ≤ y ≤ 10.
(c) Encontre as ráızes de g.
(d) Determine representações decimais para as ráızes de p.
(e) Determine os valores de g em x = −3, x = −1, x = 1 e x = 3.
(f) Determine representações decimais para esses valores.
2. Considere a função de segundo grau definida por p(x) = x2 − 5 x + 3, para x ∈ R. Como você
sabe, se p possui ráızes reais, então sua média aritmética é a abscissa do ponto de ḿınimo do
gráfico da função. Para determinar o ponto de ḿınimo com o Maxima, usando este fato, siga o
roteiro abaixo.
(a) Defina a função p.
134 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
(b) Encontre as ráızes de p, usando a opção Equações e Resolver.
(c) Atribua nomes a esta ráızes. Para isto, você precisará acessar os números que foram obtidos
na linha de comando anterior, que é indicada pelo śımbolo%o2. Em primeiro lugar, devemos
observar que a linha anterior é formada por uma lista ordenada com duas entradas (no
Maxima, listas ordenadas são representados por colchetes). Cada um dos elementos de uma
lista ordenada é representado pelo nome da lista seguido da respectiva ordem entre colchetes.
Assim, neste caso, %o2[1] e %o2[2] representam, respectivamente, as expressões x =
−
√
13− 5
2
e x =
√
13 + 5
2
. Em segundo lugar, observamos que queremos associar nomes
aos lados direitos destas expressões. O comando em Maxima para fazer isso é rhs (do inglês,
right hand side). Assim, devemos definir x1=%o2[1] e x2=%o2[2].
(d) Encontre xv a média aritmética das duas ráızes.
(e) Você observará que o software não gerará o resultado em sua forma mais simplificada.
Porém, o comando ratsimp pode ser usado para efetuar a simplificação. Este comando
pode ser acessado no menu do wxMaxima, nas opções Simplificar e, em seguida, Simplificar
expressão.
(f) Calcule yv = p(xv).
(g) Simplifique também a expressão de yv.
5.1. INTEGRANDO CÁLCULO NUMÉRICO E SIMBÓLICO 135
3. É posśıvel ainda definir funções por mais de uma expressão com o Maxima. Para isso, devem ser
usados os comandos if, then e else.
(a) Considere a função u : R→ R definida por:
u(x) =
{
x2 se x < 0
x se x > 0
Para definir esta função no Maxima, devemos escrever u(x):=(if x<0 then xˆ2 else x);.
Isto significa dizer que: se x < 0. então u(x) = x2; para os demais valores de x, u(x) = x.
Assim, pode-se traçar o gráfico de u, com o comando wxplot.
(b) Considere agora a função v : R→ R definida por:
v(x) =
{
x2 se x < 0
x− 1 se x > 0
Defina a função v no máxima e trace seu gráfico. O que você observa?O gráfico foi traçado
corretamente? Como você interpreta esse resultado?
4. Use o Maxima para resolver a equação cos(x) = 0, para x ∈ R. Como você interpreta a resposta
do software? Foram exibidas todas as soluções da equação? Justifique suas respostas.
5. Considere a equação:
x√
x + 1
= 1, para x ∈ R.
(a) Resolva a equação usando o comando solve. A resposta do software soluciona o problema?
(b) O software precisa de uma “ajuda” para resolver a equação. Eleve ao quadrado a equação
gerada no item anterior.
(c) Use novamente o comando solve para resolver a nova equação obtida. As soluções dadas
pelo software são de fato ráızes de equação proposta?
136 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
6. Considere a equação: cos x = x2, para x ∈ R.
(a) Tente resolver a equação no Maxima, por meio o comando solve. A resposta do software
soluciona o problema?
(b) A equação dada têm soluções reais?
Sugestão: para responder a esta pergunta, analise os gráficos das curvas y = cos x e y = x2.
(c) Você saberia encontrar expressões para as soluções das equações?
(d) Como na atividade 5, você observará que o comando solve não ajuda em nada a resolver
a equação. No entanto, neste caso, as soluções das equações dadas não têm expressão
anaĺıtica. Porém, podemos determinar aproximações numéricas para essas soluções. Para
isso, use o comando find root. Para acessar o comando, escolha as opções Entrada e
em seguida Encontrar raiz no menu superior do wxMaxima. Será aberta uma caixa par
a digitação da equação, a incógnita e o intervalo em que a raiz deverá ser procurada. O
padrão deste intervalo no software é −1 a 1. Mantenha este padrão e acione o comando.
Você observará que o software retorna uma mensagem de erro. A que se deve este erro?
(e) Como você pode alterar os parâmetros de definição escolhidos para o comando find root
no item anterior, de forma a encontrar aproximações numéricas para cada uma das ráızes
reais da equação proposta.
7. Use os recursos do Maxima para encontrar aproximações numéricas para cada uma das ráızes
reais das seguintes equações:
(a) ln x =
1
x
(b) 2x = x2 (c) 2x = x3
8. Considere a função polinomial do terceiro grau h : R→ R, h(x) = x3 − 4 x+ 1.
(a) Defina h no Maxima e use o software para gerar o gráfico da função. Quantas ráızes reais
tem h? Quantas ráızes complexas tem h no total?
(b) Use o comando solve para obter as ráızes de h. Para facilitar seu trabalho nas questões
a seguir, dê nomes às ráızes. Como na atividade 2, você poderá definir esses nomes por
meio das instruções x1:rhs(%o3[1]), x2:rhs(%o3[2]) e x3:rhs(%o3[3]). No Maxima,
o śımbolo %i representa a unidade imaginária i. Você pode concluir que as ráızes de h
exibidas pelo software são números complexos não reais?
5.1. INTEGRANDO CÁLCULO NUMÉRICO E SIMBÓLICO 137
(c) Para verificar melhor a resposta do item anterior, você poderá determinar as partes ima-
ginárias das ráızes de h. Para fazer isso, use o comando imagpart do Maxima. Este
comando pode também ser acessado no menu do wxMaxima, escolhendo as opções Sim-
plificar, Simplificação complexa e Obter parte imaginária. Agora, com base no resultado
produzido por este comando, você pode concluir que as ráızes de h exibidas pelo software
são números complexos não reais?
(d) Use o comando ratsimp para simplificar as partes imaginárias obtidas no item anterior.
O que você pode concluir sobre as ráızes de h? Justifique sua conclusão com base em
argumentos matemáticos.
9. Considere a função polinomial do terceiro grau f : R → R, f(x) = x3 − 4 x + k, em que k é
uma constante real.
(a) Use Maxima para traçar o gráfico de f , para k = 1. Quantas ráızes reais distintas f possui
neste caso?
(b) Agora, trace o gráfico de f para k = 4. Quantas ráızes reais distintas f possui neste caso?
(c) Considere a seguinte questão: Determine um valor de k para o qual f possua uma raiz real
dupla. Os ı́tens anteriores sugerem que o valor de k procurado está entre 1 e 4, mas o
sistema de computação algébrica pode ajudar a encontrar a resposta exata desta questão.
Para que f tenha uma raiz real dupla, a ordenada de um dos pontos de extremo local de f
deve ser igual 0. Para obter os valores das abscissas desses pontos de extremo local, deve-se
determinar as ráızes da derivada de f . Em seguida, deve-se determinar k tal que a imagem
por f de um desses valores é 0. Assim, deve-se resolver uma equação cuja incógnita é k.
Para fazer esta operação no Maxima, será preciso limpar o valor de k da memória do
software, uma vez o último valor numérico atribúıdo à constante (no caso, k = 4) ainda
deve estar guardado. Isto pode ser feito com o comando kill.
138 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Para determinar a derivada, deve ser empregado o comando diff, que, no wxMaxima, pode
ser acessado no menu superior, nas opções Cálculo e, em seguida, Diferenciar.
Em seguida, pode-se continuar a solução da questão de acordo com o procedimento acima.
Finalmente, você poderá gerar uma representação gráfica para a solução do problema. Para
isso, atribua à constante k o valor encontrado na equação anterior e use este valor para
gerar o gráfico.
(d) O valor de k que soluciona a questão proposta no item anterior é único? Justifique usa
resposta.
5.1. INTEGRANDO CÁLCULO NUMÉRICO E SIMBÓLICO 139
10. Considere o seguinte sistema, com (x, y) ∈ R2 e em que k é uma constante real:
{
x2 − y = 0
x− 2 y = k
Use o sistema de computação algébrica para responder as questões a seguir.
(a) Resolva o sistema para k = −1 e faça um esboço representando a solução.
(b) Resolva o sistema para k = 1 e faça um esboço representando a solução.
(c) Determine todos os valores de k para os quais o sistema tem:
i. apenas uma solução;
ii. duas soluções;
iii. nenhuma solução.
Faça um esboço representando a solução do sistema no caso em que a mesma é única.
11. Repita as atividades 6 e 7 da seção 3.1 (pp. 40 a 41) usando um sistema de computação algébrica.
Procure usar os recursos do software para estudar as soluções das equações propostas.
12. Repita a atividade 5 da seção 3.2 (p. 45) usando um sistema de computação algébrica. Procure
usar os recursos do software para estudar as soluções das equações propostas. Compare com o
uso e ambientes gráficos simples e de ambiente de geometria dinâmica.
13. Repita a atividade 4 da seção 3.3 (p. 50) usando um sistema de computação algébrica. Procure
usar os recursos do software para encontrar as ráızes da função.
14. Repita a atividade 4 da seção 3.4 (p. 60) usando um sistema de computação algébrica. Ao
empregar o comando solve para encontrar as ráızes da função ω(x) = sen (log10 x), será posśıvel
determinar todas as ráızes reais? Observe a mensagem que o software retorna quando esta
instrução é executada.
15. Repita as atividades 5 e 6 da seção 3.4 (p. 63) usando um sistema de computação algébrica.
Observe que o comando solve oferece a possibilidade de gerar gráficos em escalas logaŕıtmicas.
16. Repita as atividades 7 e 8 da seção 4.3 (p. 98) usando um sistema de computação algébrica.
Procure usar os recursos do software para estudar as ráızes das funções.
As atividades 1 a 3 visam apresentar os recursos básicos do Maxima para definir funções, calcular
seus valores numérica e simbolicamente, gerar gráficos e resolver equações determinadas por funções.
Esses recursos servirão de suporte para o desenvolvimentos das demais atividades desta seção.
De forma geral, essas atividades procuram ilustrar o fato de que o uso de sistemas de computação
algébrica no ensino é mais vantajoso as situações em que o uso das ferramentas simbólicas do
sistema são efetivamente relevantes para as questões tratadas. Tipicamente, este é o caso das
atividades 6 e 7, que envolvem equaçõescujas soluções reais existem, porém não admitem expressões
anaĺıticas. Portanto, a integração de ferramentas simbólicas e numéricas é importante neste caso.
Por outro lado, é importante que o aluno desenvolva a consciência de que, apesar dos poderosos
recursos simbólicos dos sistemas de computação algébrica, seus resultados sempre devem ser analisados
criticamente. A atividade 3 ilustra este aspecto com um exemplo muito simples: o gráfico de uma fun-
ção descont́ınua. Observe que o software liga indevidamente os pontos, como se o segmento vertical de
(0,−1) a (0, 0) pertencesse ao gráfico (figura 5.11). Este é uma limitação no algoritmo de interpolação,
que já foi discutida no Caṕıtulo 3 (ver atividade 1 da seção 3.3, p. 49).
140 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Figura 5.11: O gráfico de uma função descont́ınua no Maxima.
Portanto, os resultados fornecidos pelos sistemas de computação algébrica devem contri-
buir para o enriquecimento dos conhecimentos matemáticos dos alunos, mas não substitúı-los
– esses resultados devem sempre ser encarados criticamente. Neste sentido, o papel do professor
é determinante, pois tal atitude cŕıtica por parte dos alunos nem sempre se desenvolve naturalmente.
De fato, tem-se observado que, em certas situações, os estudantes tendem a valorizar mais os resultados
do computador que seus próprios conhecimentos matemáticos – mesmo quanto tem segurança desses
conhecimentos (ver por exemplo, [8]). Por isso, é importante explorar situações simples (para as quais o
uso do sistema de computação algébrica nem mesmo seria necessário), mas cujas soluções são exibidas
de forma incompleta pelo software.
A limitação ilustrada na figura 5.11 é de natureza numérica, pois se deve a forma como o software
liga pontos para gerar um gráfico. Entretanto, os sistemas de computação algébrica podem ainda
apresentar limitações na própria estrutura simbólica, que constituem a principal especifici-
dade desse tipo de software.
A atividade 4 ilustra uma limitação dessa natureza, também com um exemplo bastante simples:
a resolução da equação cos(x) = 0. Evidentemente, não precisamos de um sistema de computação
algébrica para resolver essa equação, pois sabemos que suas soluções são dadas por x = π
2
+ k π, com
k ∈ Z. Entretanto, o software exibe apenas uma solução x = π
2
(figura 5.12). Observe que o próprio
sistema retorna uma mensagem apontando para esta limitação: Algumas soluções serão perdidas.
Figura 5.12: Resolvendo equações no Maxima.
A atividade 5 exemplifica de outra maneira ainda a importância o uso de conhecimentos matemáticos
para a interpretação de resultados gerados pelo sistema de computação algébrica. Neste caso, oMaxima
5.1. INTEGRANDO CÁLCULO NUMÉRICO E SIMBÓLICO 141
não reconhece a manipulação algébrica necessária para resolver a equação, e o aluno deverá ser capaz
de identificar tal manipulação para “ajudar” o software (figura 5.13).
Figura 5.13: Ajudando o Maxima a resolver uma equação.
Além disso, para interpretar os resultados dados pelo Maxima, o aluno também deverá recorrer a seu
conhecimento qualitativo sobre a questão proposta. Quando a equação original foi elevada ao quadrado,
a nova equação obtida não é equivalente à original, pois foi acrescentada uma raiz (figura 5.14). Como
a equação original é x =
√
x + 1, para que um número x ∈ R seja ráız, este deve necessariamente ser
positivo. Portanto, a solução negativa dada pelo Maxima deve ser descartada. A única solução real da
equação é
√
5 + 1
2
.
Figura 5.14: Interpretando resultados do Maxima.
É claro que este é um exemplo relativamente simples, que também poderia ser resolvido sem o
sistema de computação algébrica. Entretanto, é importante entender a necessidade de interpretar os
resultados do computador em situações mais simples, das quais temos mais clareza, para saber lidar
com aquelas em que as propriedades matemáticas não são tão evidentes.
Uma situação um pouco mais sutil é dada na atividade 6. Como na atividade 5, o Maxima não
consegue resolver simbolicamente a equação dada (figura 5.15). Porém, diferentemente da atividade
anterior, isto não se deve apenas a uma limitação do software em identificar a estratégia algébrica que
conduz à solução. Neste caso, as soluções da equação proposta não admitem expressões anaĺıticas.
Isto é, embora seja posśıvel mostrar que a equação possui soluções reais, estas soluções não podem ser
expressas como combinações das operações elementares, potências e radicais, e das funções transcen-
dentes elementares usuais (trigonométricas, exponenciais e logaritmos). Então, só resta tentar encontrar
aproximações numéricas para essas soluções. No entanto, ao se tentar encontrar essas aproximações
numéricas, a prinćıpio o Maxima retorna uma mensagem de erro (figura 5.16).
Figura 5.15: Tentando resolver a equação cos(x) = x2 simbolicamente no Maxima.
Figura 5.16: Tentando resolver a equação cos(x) = x2 numericamente no Maxima.
142 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
O gráfico das curvas y = cos(x) e y = x2 podem ajudar a entender porque a mensagem de erro
foi gerada. O algoritmo usado pelo software para encontrar aproximações numéricas para soluções de
equações se baseia nos seguinte fato: se uma função cont́ınua f : [a, b] → R é tal que f(a) e f(b)
possuem sinais opostos, então existe (pelo menos) um elemento c ∈ ]a, b[ tal que f(c) = 0 (isto é, a
equação f(x) = 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo ]a, b[ ). Esta é uma consequência do Teorema
do Valor Intermediário (ver [48, 52]). No caso desta equação, o software está tentando encontrar para
a função f(x) = x2 − cos(x). Porém, como f(−1) e f(1) são ambos negativos, não há garantias da
existência de ráızes no intervalo ] − 1, 1[ (que o intervalo padrão do comando solve no wxMaxima).
Verificaremos que, na verdade há duas ráızes neste intervalo, no entanto o algoritmo do software não
consegue encontrá-las.
Figura 5.17: Explorando graficamente a equação cos(x) = x2 Maxima.
Os gráficos também ajudam a perceber as localizações das soluções da equação, e a escolher
intervalos menores, que permitam ao software encontrar encontrar aproximações numéricas para as
mesmas. Por exemplo, temos que f(−π) = f(−π) = π2 e f(0) = −1. Logo, o Teorema do Valor
Intermediário nos garante que a equação cos(x) = x2 tem pelo menos uma raiz no intervalo ]− π, 0[
e pelo menos uma raiz no intervalo ]0, π[ (figura 5.18).
Figura 5.18: Resolvendo a equação cos(x) = x2 numericamente no Maxima.
A atividade 7 apresenta exemplos de equações semelhantes, que podem ser resolvidas numericamente
pelo mesmo procedimento. Em particular no caso do item 7b, um primeiro olhar para os gráficos das
curvas y = 2x e y = x2 (figura 5.19, à esquerda) pode sugerir que a equação 2x = x2 possui somente
duas soluções: uma negativa, no intervalo ]−1, 0[ , e outra igual a 2. Entretanto, temos que 4 também
é uma solução de 2x = x2, que pode ser visualizada se alteramos a janela gráfica (figura 5.19, à direita).
Na figura 7, vemos que, para x suficientemente grande, os valores função exponencial ultrapassam
os da função polinomial. De forma, mais geral, os valores de qualquer função exponencial ultrapassam
os de qualquer função polinomial, para x suficientemente grande. Dáı, pode-se concluir que a equação
2x = x3 também tem duas soluções reais positivas, sendo uma no intervalo ]1, 2[ e outra no intervalo
]9, 10[ (figura 5.20).
5.1. INTEGRANDO CÁLCULO NUMÉRICO E SIMBÓLICO 143
Figura 5.19: As curvas y = 2x e y = x2.
Figura 5.20: As curvas y = 2x e y = x3.
Equações cujas soluções não admitem expressões anaĺıticas podem contribuir para a ampliação da
concepção dos alunos sobre a resolução de equações. Em geral, os alunos estãoacostumados a lidar
com equações “bem comportadas” – cujas soluções podem ser determinadas facilmente pela aplicação
de certos procedimentos algébricos. É importante que eles sejam apresentados também a exemplos em
que é posśıvel provar que existem soluções reais, porém estas não podem ser obtidas analiticamente.
(De fato, em certo sentido, pode-se afirmar que estes constituem a maioria dos casos.) O uso de
recursos computacionais no ensino de Matemática torna esses exemplos mais acesśıveis.
Outra situação cuja interpretação demanda a compreensão cuidadosa dos conceitos matemáticos
envolvidos ocorre na atividade 8. Ao se gerar o gráfico da função h(x) = x3−4 x+1 com o Maxima, a
figura mostrada na tela sugere que a função tem 3 ráızes reais distintas (figura 5.21). Entretanto, ao se
resolver a equação h(x) = 0 com o software, são exibidas 3 ráızes complexas cujas partes imaginárias
parecem ser diferentes de 0 (figura 5.22). Assim, há um aparente conflito entre as representações
gráfica e numérica produzidas pelo software. Somente após se extrair e simplificar as partes imaginárias
dessas ráızes, verifica-se que estas são nulas (figura 5.23).
Figura 5.21: O gráfico de h(x) = x3 − 4 x+ 1 no Maxima.
144 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Figura 5.22: As ráızes de h(x) = x3 − 4 x+ 1 no Maxima.
Figura 5.23: Explorando o comportamento de h(x) = x3 − 4 x+ 1 no Maxima.
As atividades 9 e 10 exploram a resolução de equações e de sistemas (respectivamente) dependendo
de parâmetros. Assim, os recursos do sistema de computação algébrica são empregados para determinar
os valores dos parâmetros para os quais as equações ou sistemas têm certo número dado de soluções.
As respostas para tais questões envolvem a resolução de novas equações, cujas incógnitas passam a ser
esses parâmetros.
Na atividade 10, para determinar os valores de k para os quais o sistema tem uma única solução,
deve-se, em primeiro lugar, obter expressões para as soluções do sistema, em função de k (figura 5.24).
Em seguida, deve-se igualar as abscissas das duas soluções do sistema e resolver a equação em k
assim formada (figura 5.25). Observe que, as soluções do sistema são exibidas na forma de duas listas
5.1. INTEGRANDO CÁLCULO NUMÉRICO E SIMBÓLICO 145
ordenadas dentro de uma lista ordenada. Por isso, para obter os valores de suas abscissas, precisamos
usar as instruções solucao[1][1] e solucao[2][1], que se referem ao primeiro elemento da primeira
lista e ao primeiro elemento da segunda lista. Finalmente, pode-se gerar o gráfico que representa o
(único) caso em que o sistema tem uma única solução (figura 5.26).
Figura 5.24: Explorando o número de soluções de um sistema no Maxima.
Figura 5.25: Explorando o número de soluções de um sistema no Maxima.
Figura 5.26: Explorando o número de soluções de um sistema no Maxima.
146 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Atividades
17. Discuta as vantagens e desvantagens pedagógicas do uso do sistema de computação algébrica
para realizar as atividades 11 a 16, em relação a ambientes gráficos simples ou ambiente de geo-
metria dinâmica. Note que, nos casos em que os recursos espećıficos do sistema de computação
algébrica não são aproveitados, provavelmente seu uso provavelmente não oferecerá vantagens
significativas.
18. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 4 a 10.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel do sistema de computação algébrica no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso do sistema de computação algébrica pode trazer para
a aprendizagem dos conceitos enfocados, em comparação com abordagens com recursos
convencionais (isto é, sem o uso de recursos computacionais), e com outros tipos recursos
(especialmente aqueles que não possuem recursos simbólicos)?
(e) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
19. Para cada um dos ı́tens a seguir, elabore uma atividade usando gráficos um sistema de computa-
ção algébrica, com os mesmos objetivos das atividades 4 a 10, que seja adequada para as turmas
em que você leciona.
20. Formule uma sequência didática para aplicação de atividades semelhantes à 2, para cada um dos
tipos de função abaixo. Especifique os objetivos, os conceitos matemáticos explorados e de que
maneiras esses conceitos podem ser explorados.
(a) funções polinomiais;
(b) funções trigonométricas;
(c) funções exponenciais e logaŕıtmicas.
5.2 Aprofundando a Exploração Simbólica
Nesta seção, apresentamos algumas ferramentas um pouco mais avançadas do Maxima, ainda abor-
dando conteúdos do ensino básico. Embora essas ferramentas envolvam sintaxe de programação mais
elaborada que aqueles apresentados na seção anterior, os resultados gerados podem ser interessantes
para a sala de aula. Assim, mesmo nos casos em que a sintaxe é complicada demais para os alunos do
ensino médio, os recursos a seguir podem ser usados pelo professor para produzir recursos para uso em
aula.
Por exemplo, na atividade 10 da seção anterior, foi abordada representação gráfica da solução de
um sistema composto pela equação de uma reta e pela equação de uma parábola. Na atividade 1 a
seguir, é proposto um sistema composto pela equação de uma reta e pela equação de um ćırculo. As
soluções desse sistema não podem, portanto, ser representadas por meio de gráficos de y como funções
de x. Neste caso, temos basicamente duas opções para representar graficamente as soluções do sistema:
por meio de curvas parametrizadas ou de expressões definidas implicitamente. Para gerar curvas planas
parametrizadas ou impĺıcitas no Maxima, pode-se empregar o comando wxdraw2d. Este comando é
mais geral que o wxplot2d, que permite apenas desenhar gráficos de funções.
5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAÇÃO SIMBÓLICA 147
Também apresentaremos alguns exemplos de geração de objetos em três dimensões, incluindo
gráficos de funções de duas variáveis reais (funções R2 → R) e outras curvas e superf́ıcies no espaço.
Para isto, serão empregados os comandos wxplot3d e wxdraw3d. Serão apresentados ainda exemplos
de produção de animações, com o comando with slider.
Representando Objetos no Plano e no Espaço
Antes de iniciar as atividades desta seção, apresentamos algumas novas ferramentas do Maxima, que
ajudarão no seu desenvolvimento. Começamos apresentando uma forma diferente (e um pouco mais
“econômica”) de resolver a atividade 10, em que foi proposto o sistema:
{
x2 − y = 0
x− 2 y = k
(5.1)
A atividade pede a solução do sistema 5.1 para certos valores fixos de k e, depois, a exploração do
seu número de soluções, em função de k. Para que não seja necessário repetir as equações do sistema
várias vezes, podemos usar as ferramentas do Maxima para dar nomes às equações (figura 5.27). Assim,
o software passará a identificar pelo nome parabola a equação x2 − y = 0.
Figura 5.27: Atribuindo um nome a um objeto matemático no Maxima.
Analogamente, podemos nomear a segunda equação que compõe o sistema. Porém, observamos
que esta equação na verdade representa uma faḿılia de retas, indexada pelo parâmetro real k. Podemos
usar a ferramenta de definir funções no Maxima para criar esta faḿılia (figura 5.28). Assim, o software
passará a identificar por reta(k) a equação x− 2 y = k para um valor dado de k.
Figura 5.28: Atribuindo um nome a uma faḿılia de objetos matemáticos no Maxima.
Esses nomes para as equações podem então ser usados para efetuar quaisquer operações ou pro-
cedimentos que as envolva no Maxima, como por exemplo resolver o sistema 5.1 para k = 1 (figura
5.29), ou para k ∈ R genérico (figura 5.30).
Figura 5.29:Resolvendo um sistema no Maxima.
Figura 5.30: Resolvendo um sistema no Maxima.
Na atividade 1 a seguir, serão desenhadas curvas a partir de equações paramétricas e impĺıcitas,
com o comando wxdraw2d, combinado com os comandos implicit ou parametric. Por exemplo, para
148 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
desenhar o ćırculo de equação x2 +y2 = 1 com o comando wxdraw2d, podemos proceder basicamente
de duas maneiras:
• implicitamente (figura 5.31): a instrução implicit(xˆ2+yˆ2=1, x,-2,2, y,-2,2) indica a curva
plana de equação cartesiana x2 + y2 = 1, traçada na janela gráfica −2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2;
• parametricamente (figura 5.32): a instrução parametric(cos(t), sen(t), t,0,2*%pi) indica a
curva plana de equação paramétrica (cos t, sen t), traçada para t ∈ [ 0, 2 π ].
O formato adquirido pela curva deve-se a uma distorção causada pelas escalas dos eixos.
Figura 5.31: Gerando curvas por equações impĺıcitas no Maxima.
Figura 5.32: Gerando curvas por equações paramétricas no Maxima.
As atividades 2 a 7 envolvem a representação de objetos no espaço tridimensional. Os comandos
wxplot3d e wxdraw3d podem ser usados de forma análoga aos comandos wxplot2d e wxdraw2d.
Por exemplo, a figura 5.33 mostra o gráfico da função f : R2 → R, f(x, y) = x2 + y2, gerado
com o comando wxplot3d (que pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, da mesma forma
que o comando wxplot2d). O gráfico dessa função é um parabolóide circular, que também pode ser
gerado como equação impĺıcita por meio do comando wxdraw3d (figura 5.34). Como você notará,
a resolução das curvas geradas pelo comando wxplot3d é, em geral, melhor que a das geradas pelo
comando wxdraw3d. Para gerar superf́ıcies que não são gráficos de funções R2 → R, como é o caso
do cilindro x2 + (y − 1)2 = 1, deve-se necessariamente usar o comando wxdraw3d (figura 5.35).
5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAÇÃO SIMBÓLICA 149
Figura 5.33: Gerando gráficos de funções reais de duas variáveis no Maxima.
Figura 5.34: Gerando superf́ıcies por equações impĺıcitas no Maxima.
Figura 5.35: Gerando superf́ıcies por equações impĺıcitas no Maxima.
150 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Para traçar curvas no espaço com o Maxima, deve-se representá-la parametricamente. Por exemplo,
consideremos a curva C no espaço, dada pela interseção entre o parabolóide z = x2 + y2 e o cilindro
x2 + (y − 1)2 = 1. Para obter equações paramétricas a esta curva C, observamos que ela é dada pela
imagem do ćırculo de equação x2 + (y − 1)2 = 1 pela função f(x, y) = x2 + y2. Uma parametrização
do ćırculo é dada por (x(t), y(t)) = (cos t, sen t + 1). Assim, para completar a parametrização de C,
fazemos:
z(t)=f(cos t, sen t+ 1) = (cos t)2 + ( sen t + 1)2 = cos2 t+ sen 2t+ 2 sen t+ 1
=2 sen t + 2
Tendo as equações paramétricas, pode-se usar os comandos wxdraw3d e parametric, de forma
análogo ao caso bidimensional (figura 5.36). A figura 5.37 mostra as duas superf́ıcies traçadas junta-
mente com a curva dada por sua interseção.
Figura 5.36: Gerando curvas no espaço por equações paramétricas no Maxima.
Figura 5.37: Gerando objetos no espaço tridimensional no Maxima.
5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAÇÃO SIMBÓLICA 151
Atividades
1. Considere o seguinte sistema, com (x, y) ∈ R2 e em que k é uma constante real:
{
x2 + y2 = 1
2 x+ y = k
Use o sistema de computação algébrica para responder as questões a seguir.
(a) Resolva o sistema para k = 1 e faça um esboço representado a solução.
(b) Determine todos os valores de k para os quais o sistema tem uma única solução. Para cada
um desses valores de k, faça um esboço representado a solução do sistema.
2. O Maxima possui uma ferramenta para resolução de sistemas lineares, por meio do comando
linsolve, que pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, na opção Equações, em seguida
Resolver sistema linear.
(a) Considere, por exemplo, o sistema linear:



x+ 2y + z = 0
2x− y − z = 1
x− 2z = −1
Ao acessar o comando linsolve no wxMaxima, o sistema abrirá uma caixa para digitação
do número de equações (abaixo, à esquerda), em seguida uma caixa para digitação de cada
uma das equações e as incógnitas (abaixo, à direita).
O software retornará então a solução do sistema.
Use o comando linsolve para resolver os sistemas abaixo. Como você interpreta as respostas
dadas pelo Maxima?
(b)



x+ 2y + z = 0
2x− y − z = 1
3x+ y = 1
(c)



x+ 2y + z = 0
2x− y − z = 1
3x+ y = −1
152 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
3. O Maxima oferece ferramentas para definir e operar com matrizes. O comando matrix, que serve
para definir matrizes, pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, na opção Álgebra, em
seguida Introduzir matriz.
(a) Considere, por exemplo, a matriz associada ao sistema linear do item 2a:
A =


1 2 1
2 −1 −1
1 0 −2


Ao acessar o comando matrix no wxMaxima, o sistema abrirá uma caixa para digitação do
número de linhas e do número de colunas (abaixo, à esquerda), em seguida uma caixa para
digitação de cada uma das entradas da matriz (abaixo, à direita).
O software retornará então a matriz definida.
(b) Os comandos determinant e invert servem para calcular o determinante e a inversa de
uma matriz. Use esses comandos para calcular o determinante e a inversa da matriz A
definida acima.
(c) Sabemos que todo sistema linear pode ser escrito na forma matricial. Por exemplo, o sistema
linear do item 2a pode ser escrito na forma:


1 2 1
2 −1 −1
1 0 −2




x
y
z

 =


0
1
−1


Portanto, para resolver o sistema, deve-se multiplicar a matriz inversa de A pelo vetor
(0, 1,−1). No Maxima, deve-se usar um ponto para representar o produto entre matrizes e
entre matrizes e vetores. Compare com a solução obtida no item 2a.
5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAÇÃO SIMBÓLICA 153
(d) Escreva os sistemas dos ı́tens 2b e 2c na forma matricial. É posśıvel obter a solução desse
sistema por meio do produto pela matriz inversa? Justifique sua resposta.
4. Em transformações lineares, uma interpretação geométrica do determinante de uma matriz é a
razão entre a medida da imagem de um conjunto e a medida do conjunto original. Assim, no
caso bidimensional, sabemos que uma matriz A ∈ M2×2(R) define uma transformação linear
TA : R2 → R2, dada por:
TA(x, y) = A
(
x
y
)
Então, se X ⊂ R2 é um subconjunto do plano e S(X) é área de X, temos:
S(A(X)) = | detA| S(X)
(a) Considere, por exemplo, a matriz: A =
(
2 −1
−2 3
)
.
Use o sistema de computação algébrica para calcular o determinante de A.
(b) Considere quadrado Q em R2, cujos vértices são os pontos (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1). A
imagem de Q por A é o paralelogramo A(Q), cujos vértices são Q(0, 0), Q(1, 0), Q(1, 1) e
Q(0, 1). Qual é a área desse paralelogramo? Faça um esboço do paralelogramo A(Q) com
o Maxima.
Sugestão: use o software para determinar os vértices de A(Q) e escreva equações paramé-
tricas para seus lados.
(c) Qual é a interpretação geométrica do determinante no caso em que detA = 0?
(d) Qual é a interpretação geométrica do determinante no caso tridimensional, isto é, para
A ∈ M3×3(R)?
5. Voltemos ao sistema linear do item 2b. Podemos observar que a terceira equação do sistema é a
soma das outras duas, portanto esta pode ser eliminada. Então, o sistema é indeterminado, isto
é, possui infinitas soluções. Mais precisamente, o sistema original é equivalente a:
{
x+ 2y + z = 0
2x− y − z = 1
Dáı, podemos concluir que o conjunto solução do sistema é a interseção de dois planos distintos
no R3. Logo, este conjunto é uma reta no espaço. A resposta dada pelo Maxima para a resolução
do sistema por meio do comando linsolve corresponde a equações paramétricas para essa reta
(o śımbolo %r1 representa o parâmetro das equações).
(a) Represente o conjunto solução do sistema no Maxima, por meiode equações paramétricas.
(b) Represente o conjunto solução do sistema no Maxima, como interseção entre dois planos.
154 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
6. Sejam A a matriz associada ao sistema do item 2a e B a matriz associada aos sistemas dos ı́tem
2b e 2c.
(a) Determine e represente geometricamente os vetores A(1, 0, 0), A(0, 1, 0) e A(0, 0, 1). Qual
é a relação entre esses vetores?
(b) Determine e represente geometricamente os vetores B(1, 0, 0), B(0, 1, 0) e B(0, 0, 1). Qual
é a relação entre esses vetores?
7. Use o Maxima para gerar as seguintes superf́ıcies no espaço.
(a) z = x2 + y2 (b)
x2
4
+
y2
9
= 1 (c)
x2
2
+
y2
4
+
z2
9
= 1
(d) z2 = x2 + y2 (e) z2 = x2 + y2 + 1 (f) z2 = x2 + y2 − 1
Na atividade 1, podemos atribuir nomes para as equações do sistema, considerando a segunda
equação como um faḿılia indexada pelo parâmetro k (figura 5.38). Assim, podemos resolver o sis-
tema, por meio do comando solve, e representar a graficamente as soluções, por meio dos comandos
wxdraw2d e implicit (figura 5.39).
Figura 5.38: Resolvendo sistemas no Maxima.
Figura 5.39: Resolvendo sistemas no Maxima.
5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAÇÃO SIMBÓLICA 155
De forma análoga aos exemplos anteriores, obtemos as expressões das soluções do sistema, para k
genérico. Para determinar os valores de k para os quais o sistema tem uma única solução, igualamos as
abscissas dessas soluções e resolvemos a equação assim obtida tendo k como incógnita (figura 5.40).
Em seguida, representamos graficamente o sistema, para os dois valores de k para os quais a solução
é única (figura 5.41).
Figura 5.40: Explorando o número de soluções de um sistema no Maxima.
Figura 5.41: Explorando o número de soluções de um sistema no Maxima.
156 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
As atividades 2 a 6 buscam chamar atenção para a integração entre a resolução de sistemas lineares,
os conceitos de matriz e determinante, e para as interpretações geométricas dessas noções. No en-
sino médio, abordagem de sistemas lineares em geral se resume à apresentação de procedimentos
de resolução e classificação quanto ao número de soluções (como determinado, indeterminado ou
imposśıvel). Entretanto, pouca ênfase é dada para o significado geométrico desses tipos de soluções,
para a interpretação geométrica do determinante de uma matriz como medida e para as relações entre
estas ideias. Por exemplo, não é incomum que os alunos saibam identificar que um dado sistema é
indeterminado e que isto significa que o mesmo tem infinitas soluções, porém não consigam reconhecer
que soluções são essas e que tipo de conjunto elas formam. Os sistemas de computação algébrica
podem ajudar a produzir recursos que tornem essas noções mais concretas para os alunos.
Na atividade 2, as respostas dadas pelo Maxima indicam que os sistema do item (b) tem infinitas
soluções (figura 5.42) e o sistema do item (c) não tem soluções (figura 5.43).
Figura 5.42: Soluções de sistemas lineares no Maxima.
Figura 5.43: Soluções de sistemas lineares no Maxima.
A atividade 3 enfoca a resolução de sistemas lineares na forma matricial, e a atividade 4 a inter-
pretação geométrica de determinante como razão entre medidas de conjuntos. No caso bidimensional,
explorado na atividade 4, a medida é área. Porém, no caso tridimensional, vale a interpretação análoga,
de determinante como razão entre volumes. Para o professor, é importante que fique clara a relação
entre essas ideias, especialmente no caso de sistemas sem soluções ou com infinitas soluções. Por
exemplo, no caso tridimensional, temos que qualquer sistema linear pode ser escrito na forma matricial:



a11 x + a12 y + a13 z = b1
a21 x + a22 y + a23 z = b2
a31 x + a32 y + a33 z = b3
m


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33




x
y
z

 =


b1
b2
b3


Se a matriz A = (aij) tem determinante 0, isto significa que ela transforma conjuntos com volumes
diferentes de 0 em conjunto com volumes iguais a 0. Isto é, a matriz transforma objetos tridimensionais
em objetos bidimensionais ou unidimensionais. Neste caso, essa transformação não pode ser injetiva
nem sobrejetiva. Como a transformação não é injetiva, cada elemento da imagem está associado a
mais de um elemento do doḿınio. Como a transformação não é sobrejetiva, existem elementos do
contradoḿınio que não estão associados a nenhum elemento do doḿınio (isto é, que não pertencem à
imagem). Se o vetor (b1, b2, b3) pertence à imagem de A, então o sistema tem infinitas soluções (como
é o caso do item 2b). Se, por outro lado, o vetor (b1, b2, b3) não pertence à imagem de A, então o
sistema não tem soluções (como é o caso do item 2c).
5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAÇÃO SIMBÓLICA 157
Na atividade 3, calculamos em primeiro lugar os vértices do paralelogramo A(Q) (figura 5.44).
Como Q tem área 1 e detA = 4, então a área de A(Q) é igual a 4.
Figura 5.44: Matrizes, determinantes e áreas no Maxima.
Em seguida, determinamos equações paramétricas para os lados de A(Q). Para isso, usamos o fato
de que o segmento que liga u e v pode ser parametrizado por t u + (1 − t) v, com t ∈ [0, 1]. (figura
5.45). Usamos então essas equações paramétricas para gerar uma representação para A(Q) no Maxima
(figura 5.46).
Figura 5.45: Matrizes, determinantes e áreas no Maxima.
158 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Figura 5.46: Matrizes, determinantes e áreas no Maxima.
A atividade 5 explora a interpretação geométrica da solução do sistema linear do item 2b. Como
este sistema é indeterminado, admite infinitas soluções. Mais precisamente, como esse sistema pode ser
interpretado com a interpretação de dois planos no espaço (representados na figura 5.47, à esquerda),
então conclúımos que seu conjunto solução é uma reta no R3 (representada por meio de suas equações
paramétricas na figura 5.47, à direita). A figura 5.48 mostra a representação da juntamente com os
dois planos.
Figura 5.47: Interpretação geométrica da solução de um sistema linear no Maxima.
5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAÇÃO SIMBÓLICA 159
Figura 5.48: Interpretação geométrica da solução de um sistema linear no Maxima.
A atividade 6 tem como objetivo ilustrar o fato de que uma matriz M ∈ M3×3(R) transforma ve-
tores não coplanares em: vetores não coplanares se detM 6= 0, e em vetores coplanares se detM = 0.
Esta é outra interpretação para o fato de que uma matriz com determinante nulo transforma objetos
tridimensionais em objetos unidimensionais ou bidimensionais. Por exemplo, temos que detB = 0 e
que B(1, 0, 0) = (1, 2, 3), B(0, 1, 0) = (2,−1, 1) e B(0, 0, 1) = (1,−1, 0). Então, podemos observar
que:
B(1, 0, 0) = 3B(0, 1, 0)− 5B(0, 0, 1)
Portanto, os vetores B(1, 0, 0), B(0, 1, 0) e B(0, 0, 1) são coplanares. Entretanto, representações
geométricas geradas no software nem sempre permitem uma percepção clara desta propriedade. Por
exemplo, como observamos na figura 5.49, as imagens geradas pelo Maxima não oferecem uma per-
cepção de profundidade clara, que permita distinguir vetores não coplanares de coplanares. Mais uma
vez, esta situação ilustra o fato de que os resultados produzidos pelo computador não dispensam a
compreensão dos conceitos matemáticos envolvidos.
Figura 5.49: Representação de vetores não coplanares (à esquerda) e de vetores coplanares (à direita)
no Maxima.
160 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Para gerar as superf́ıcies na atividade 7, deve-se observar em que casos em que pode ser usado o
comando wxplot3d e aqueles em que deve ser usado o comando wxdraw3d. (figuras 5.50 a 5.52).
Você perceberá que a resolução dos gráficos gerados pelo software nem sempre favorece a compre-
ensão imediata do aspecto geométrico das superf́ıcies, porém esses gráficos podem ajudar a explorar as
propriedadesgeométricas dessas superf́ıcies. O Maxima possui ferramentas que permitem melhorar a
qualidade das imagens geradas. Entretanto, não é objetivo deste texto abordar estes aspectos técnicos
do software. O leitor que se interessar não terá dificuldades em encontrar referências dispońıveis na
internet.
Figura 5.50: Um parabolóide hiperbólico e um parabolóide eĺıptico no Maxima.
Figura 5.51: Um elipsóide e cone circular no Maxima.
Figura 5.52: Hiperbolóide de duas folhas e de uma folha no Maxima.
5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAÇÃO SIMBÓLICA 161
Animações
Encerramos esta seção com um exemplo de construção de animações no Maxima (atividade 8 e 9).
Animações de gráficos podem ser particularmente interessantes para o estudo do comportamento
de faḿılias de funções dependendo de parâmetros. No Maxima, o comando básico para para ge-
rar animações é with slider. Para empregar esse comando, devem ser declarados os valores de um
parâmetro com os quais se deseja produzir a animação, e a expressão algébrica de uma faḿılia de
funções dependente desse parâmetro. de acordo com a sintaxe mostrada na figura 5.53. Os software
gerará então os gráficos da faḿılia de funções correspondentes aos valores declarados para o parâmetro,
e a animação será produzida pela projeção quadro a quadro desses gráficos. O menu superior do
wxMaxima dispõe de botões para controlar a animação.
Figura 5.53: Construindo animações no Maxima.
Em lugar de se digitar os valores do parâmetro um a um, pode se usar o comando makelist para
criar uma lista com esses valores. Por exemplo, a instrução da linha %i2 da figura 5.54 gera uma
lista com valores inteiros de k de 1 a 10. Portanto, a instrução da linha %i3 produzirá um resultado
equivalente ao da figura 5.53. O comando makelist é particularmente útil quando se deseja criar
uma lista com uma quantidade grande de valores. Por exemplo, a instrução mostrada na figura 5.55
corresponde à geração da lista forma pelos valores de k
4
, para k inteiro variando de 1 a 40. Entretanto,
uma animação com quantidade muito grande de quadros pode tomar um tempo de processamento pelo
Maxima excessivamente prolongado.
Figura 5.54: Construindo animações no Maxima.
Figura 5.55: Construindo animações no Maxima.
162 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Atividades
8. Para cada um dos ı́tens a seguir, elabore uma atividade usando animações de faḿılias de gráficos
de funções dependendo de parâmetros, que seja adequada para as turmas em que você leciona.
Formule também uma sequência didática para aplicação de cada uma das atividades que você ela-
borar em uma aula de 50 minutos. Especifique os objetivos, os conceitos matemáticos explorados
e de que maneiras esses conceitos podem ser explorados.
(a) funções polinomiais;
(b) funções trigonométricas;
(c) funções exponenciais e logaŕıtmicas.
9. Discuta as vantagens e desvantagens do uso de animações produzidas com sistemas de compu-
tação algébrica para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em comparação com abordagens
convencionais (isto é, sem o uso de recursos computacionais), e com gráficos dinâmicos produzidos
em ambiente de geometria dinâmica (como os apresentados na seção 4.3).
10. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 8.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel do sistema de computação algébrica no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso do sistema de computação algébrica pode trazer para
a aprendizagem dos conceitos enfocados, em comparação com abordagens com recursos
convencionais (isto é, sem o uso de recursos computacionais)?
(e) Quais dessas atividades poderiam ser adaptadas para o ensino médio?
(f) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
5.3 Conceitos Fundamentais do Cálculo Infinitesimal
Esta seção enfocará o uso de sistemas de computação algébrica na abordagem dos conceitos fundamen-
tais do cálculo infinitesimal de funções reais de uma variável real: limite, derivada e integral. Embora
o cálculo infinitesimal não faça parte dos curŕıculos da maioria das escolas no Brasil, suas ideias estão
intrinsecamente ligadas com a fundamentação matemática de muitos tópicos estudados no ensino mé-
dio, tais como números reais e funções. Portanto, o conhecimento dessas ideias é importante para a
formação do professor.
Além disso, diversas coleções de livros didáticos para o ensino médio têm trazido caṕıtulos de
“introdução ao Cálculo”, porém, em grande parte dos casos, estes apresentam apenas procedimentos
e regras para cálculo de limites e derivadas. A incorporação de recursos computacionais no ensino
abre novas possibilidades para a abordagem de cálculo infinitesimal. Por exemplo, as ferramentas
simbólicas dispońıveis nos sistemas de computação algébrica permitem que o foco da abordagem não
fique tão centrado em procedimentos pesados de cálculo, e seja mais direcionado para a interpretação e
análise de propriedades qualitativas de resultados. Assim, recursos computacionais, desde que integrados
em abordagens pedagógicas cuidadosamente planejadas e conduzidas, podem contribuir para que os
conceitos do cálculo infinitesimal sejam apresentados de forma mais acesśıveis e, em certos casos,
possibilitar a antecipação de sua abordagem. O Maxima dispõe de ferramentas para calcular limites,
derivadas e integrais numérica e simbolicamente, como veremos a seguir.
5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO INFINITESIMAL 163
Limites
O comando básico para cálculo de limites é limit, que pode ser acessado no menu superior do wxMaxima,
seguindo as opções Cálculo e Encontrar limites. Este comando permite o cálculo de limites globais
(figura 5.56) e laterais (figura 5.58), por meio da seleção das opções dispońıveis no campo Direção.
Figura 5.56: Calculando limites com o wxMaxima.
Figura 5.57: Calculando limites com o wxMaxima.
Figura 5.58: Calculando limites laterais com o wxMaxima.
164 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Também podem ser calculados limites no infinito (figura 5.59). Para isto, a opção Infinito deve ser
selecionada no campo Especial. Podem ainda ser calculados limites de expressões envolvendo constantes
(figura 5.60). Neste caso, é importante indicar corretamente a variável segundo a qual o limite deve
ser calculado.
Figura 5.59: Calculando limites no infinito com o wxMaxima.
Figura 5.60: Calculando limites com o wxMaxima.
Atividades
1. Considere as funções f1, f2 : R? → R, definidas por f1(x) =
1
x
e f2(x) =
1
x2
. Use o Maxima
para calcular os limites lim
x→0
f1(x) e lim
x→0
f2(x). Compare os resultados dados pelo software. Agora,
calcule os limites laterais lim
x→0−
f1(x), lim
x→0+
f1(x), lim
x→0−
f2(x) e lim
x→0+
f2(x). Como você interpreta
esses resultados?
2. Considere as funções g1, g2 : R? → R, definidas por g1(x) =
x
|x| e g2(x) = sen
(
1
x
)
. Use o
Maxima para calcular lim
x→0
g1(x) e lim
x→0
g2(x). Compare os resultados dados pelo software. Agora,
calcule lim
x→0−
g1(x), lim
x→0+
g1(x), lim
x→0−
g2(x) e lim
x→0+
g2(x). Como você interpreta esses resultados?
5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO INFINITESIMAL 165
3. Repita as atividades 8 a 11 da seção 3.3 (p. 54 a 55) usando um sistema de computação algébrica.
Procure usar os recursos do software para determinar os limites necessários. Que vantagens e
desvantagens pedagógicas você vê no uso do sistema de computação algébrica para realizar estas
atividades?
Na atividade 1, todos os limites laterais são infinitos. Porém, os limites laterais de f1 possuem sinais
opostos, enquanto que os de f2 têm o mesmo sinal. Assim, temos que lim
x→0
1
x2
= +∞, quecorresponde
à resposta dada pelo Maxima. Porém, não podemos representar lim
x→0
1
x
pelo śımbolo de infinito. Por
isso, o Maxima retorna o palavra Infinity ao cálculo de lim
x→0
1
x
, significando apenas que os limites laterais
são infinitos.
Figura 5.61: Limites infinitos no wxMaxima.
Na atividade 2, ambos os limites propostos não existem, porém com comportamentos distintos
(figura 5.62). No caso da função g1, o limite global não existe porque os limites laterais existem mas
são diferentes. Porém, no caso de g2 nem mesmo os limites laterais existem. Para apontar essa di-
ferença de comportamento, o Maxima retorna os termos: und, no caso em que o limite global não
existe por que os limites laterais existem mas são diferentes; e ind no caso em que o limite não existe
por outros motivos. Para entender melhor o comportando dessas funções, você poderá usar o próprio
software para traçar seus gráficos1 (figura 5.63). Observe que, por exemplo, que:
sen
(
1
x
)
= 0 ⇐⇒ x =
1
n π
, n ∈ Z
sen
(
1
x
)
= 1 ⇐⇒ x =
1
π
2
+ n π
, n ∈ Z
Portanto, existem sequências de números reais positivos (an)n∈N e (bn)n∈N tais que lim an =
lim bn = 0, mas lim g2(an) = 0 e lim g2(bn) = 1. Por isso, não pode existir lim
x→0+
g2(x). Analo-
gamente, não pode existir lim
x→0+
g2(x). Na verdade, para cada α ∈ [0, 1], podemos construir uma
sequência de números reais (positivos ou negativos) (xn)n∈N tal que lim xn = 0 e lim g2(xn) = α.
1Observe que o Maxima não representa graficamente o fato de o ponto x = 0 não pertencer ao doḿınio das funções.
Este tipo de limitação computacional já foi amplamente discutida no caṕıtulo 3.
166 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Figura 5.62: Limites inexistentes no wxMaxima.
Figura 5.63: Limites inexistentes no wxMaxima.
5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO INFINITESIMAL 167
Derivadas
Para calcular derivadas, o comando básico do Maxima é diff. Esse comando também é acesśıvel no
menu superior do wxMaxima, nas opções Cálculo e Diferenciar, em que devem ser informadas a função
a ser derivada, a variável de derivação e a ordem da derivada (figura 5.64). Assim, este comando
permite também o cálculo direto de derivadas de ordem superior (figura 5.65). Também podem ser
calculadas derivadas de funções cujas expressões envolvem constantes ou várias variáveis, o que, em
particular, permite o cálculo de derivadas parciais (figura 5.66).
Figura 5.64: Calculando derivadas com o wxMaxima.
Figura 5.65: Calculando derivadas com o wxMaxima.
Figura 5.66: Calculando derivadas com o wxMaxima.
168 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Atividades
4. Considere a função h : R→ R definida por h(x) = ||x| − 1|.
(a) Use o Maxima para calcular h′. Esta derivada está definida para todos os valores de x?
(b) Trace os gráficos de h e de h′.
Como você interpreta esses resultados?
5. Considere a função p : R→ R definida por p(x) = x4 − 3 x2 − 2
√
2 x + 2. Use o Maxima para
responder às questões a seguir.
(a) Defina a função derivada2 de p. Para isso, siga os passos mostrados na figura abaixo: você
deverá primeiro atribuir um nome à expressão simbólica de p′ gerada pelo software e, em
seguida, usar o comando ev (que serve para atribuir valores numéricos a uma expressão
simbólica) para definir a função com essa expressão.
(b) Determine todos os valores de x ∈ R em que a p′(x) = 0. Use o comando ratsimp para
simplificar as expressões geradas pelo programa.
(c) Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de p no pontos (1, p(1)), (2, p(2)), e
em todos os pontos em que a reta tangente é horizontal.
(d) Esboce os gráficos de p e p′ na mesma janela gráfica.
(e) Esboce o gráfico de p e todas as retas tangentes obtidas no item 5c na mesma janela gráfica.
6. Considere a função q : R \
{
0, 1
2
}
→ R definida por q(x) =
x2 − 4
2 x2 − x . Use o Maxima para
responder às questões a seguir.
(a) Defina a função derivada de q.
(b) Calcule lim
x→+∞
q(x) e lim
x→−∞
q(x).
(c) Determine todos os pontos de máximo e de ḿınimo locais de q.
(d) Faça esboços do gráfico de p em janelas gráficas em que seja posśıvel visualizar esses pontos
de máximo e de ḿınimo.
7. Em muitos casos não é posśıvel resolver analiticamente equações do tipo f(x) = 0, isto é, não é
posśıvel encontrar os valores exatos das ráızes da função f . Por exemplo, considere as equações
dadas nas atividades 6 e 7 da seção 5.1 (p. 136). Nessas situações, só é posśıvel procurar
demonstrar a existências das ráızes e buscar valores aproximados para elas.
2Você não poderá usar o śımbolo p′ para definir uma função, portanto escolha outro śımbolo, que envolva apenas
letras e números, para representar a derivada de p.
5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO INFINITESIMAL 169
Uma das principais formas de obter aproximações
para ráızes de funções é o chamado método de
Newton, que consiste no seguinte. Seja f : ]a, b[⊂
R → R uma função cujas ráızes deseja-se aproxi-
mar. Começamos com um valor x0 e encontramos a
reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)).
Tomamos o ponto x1, de interseção entre essa reta
tangente e o eixo x. Aplicamos então o mesmo
procedimento a x1, obtendo o ponto x2, de in-
terseção da reta tangente ao gráfico de f no ponto
(x1, f(x1)) com o eixo x.
Assim, constrúımos uma sequência (xn)n∈N tal que
xn+1 é o ponto de interseção da reta tangente
ao gráfico de f no ponto (xn, f(xn)) com o eixo
x. Como essa reta tem equação dada por y =
f ′(xn)(x − xn) + f(xn), então a sequência (xn)
é definida recursivamente da seguinte forma:
xn+1 = xn −
f(xn)
f ′(xn)
x
y
É posśıvel mostrar que, se f tem uma raiz no intervalo ]a, b[ , é duas vezes diferenciável com f ′′
cont́ınua, e f ′ não se anula, então é posśıvel escolher um valor inicial x0 para o qual a sequência
definida pelo método de Newton convirja para uma raiz de f (ver, por exemplo [48, 52]).
(a) Elabore um procedimento para aplicar o método de Newton no Maxima.
(b) Considere a função polinomial f : R→ R, f(x) = x5 + x3 + 1. Como f é de grau ı́mpar e
f ′(x) = 5 x4 + 3 x2 > 0 ∀ x ∈ R, podemos concluir que f tem uma única raiz real. Tente
usar o comando solve para resolver a equação f(x) = 0 simbolicamente. Aplique o método
de Newton para encontrar uma aproximação para essa raiz. Compare o resultado com o
comando find root, que serve resolver equações numericamente.
8. O objetivo desta atividade é usar o Maxima para explorar o comportamento local de uma função
diferenciável f próximo a um ponto x0 de seu doḿınio, comparando a relação entre o gráfico de
f e a sua reta tangente em (x0, f(x0)) com a relação entre o gráfico e outras retas que passam
por (x0, f(x0)) mas não são tangentes.
Em primeiro lugar, você deverá escolher: uma função diferenciável f ; um ponto x0 no doḿınio
de f ; um valor a ∈ R (que será a inclinação de uma reta passando pelo ponto (x0, f(x0))). Esta
reta terá, portanto, a seguinte equação: r(x) = m (x− x0) + f(x0) .
No exemplo a seguir, foram escolhidos f(x) = x2, x0 = 1 e a = 2 (que é corresponde à f ′(x0)).
170 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Agora, digite no Maxima a seguinte rotina3, que chamaremos de aproximação linear:
O valor de h na primeira linha da rotina representa o variação h = ∆x = x − x0. Você poderá
alterar livremente este valor, e acionar novamente a rotina. O software dará então o seguinte
retorno:
• o valor de h;
• a diferença ρ(h) entre os valores de f e de r em x = x0 + k:
ρ(h) = f(x0 + h)− r(x0 + h) = f(x0 + h)− f(x0)− a h ;
• a razão ρ entre a diferença acima e h:
α(h) =
ρ(h)
h
=
f(x0 + h)− r(x0 + h)
h
=
f(x0 + h)− f(x0)− a h
h
=
f(x0 + h)− f(x0)
h
− a ;
• uma figura exibindo: os gráficos de f (em azul) e de r (em lilás) no intervalo [x0−h, x0 +h];
juntamente com um segmento de reta horizontal (em vermelho), cujocomprimento é |h|;
um segmento de reta vertical (em vermelho), que liga esses dois gráficos na extremidade
superior do intervalo, e, portanto, cujo comprimento é igual a |ρ(h)|.
3As definições de y1, y2, xrange e yrange visam apenas ajustar o tamanho da janela gráfica para melhor visualização.
Portanto, não constituem parte conceitual importante da atividade.
5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO INFINITESIMAL 171
(a) Mantendo a = 2, acione a rotina aproximação linear para h = 0, 1 e em seguida para
h = 0, 01. Explique os comportamentos de ρ(h), de
ρ(h)
h
e dos gráficos.
(b) Agora, altere o valor de a para a = 2, 5. Acione a rotina aproximação linear para h = 1, para
h = 0, 1 e para h = 0, 01. Explique os comportamentos de ρ(h), de
ρ(h)
h
e dos gráficos.
A atividade 4 ilustra mais um exemplo de limitações do software, que geram resultados aparente-
mente contraditórios. Observe o gráfico da função h na figura 5.67. É claro que a derivada de h é a
função h′ : R \ {−1, 0, 1} → R dada por:
{
−1 se x < −1 ou 0 < x < 1
1 se −1 < x < 0 ou x > 1
Figura 5.67: O gráfico de f(x) = ||x| − 1| no wxMaxima.
Entretanto, quando h′ é calculada simbolicamente no Maxima, não são considerados os pontos em
que h não é diferenciável (figura 5.68). Observe que, de fato, a resposta do software coincide com
h′(x) para os valores de x em que h′ está definida.
Figura 5.68: Calculando derivadas no wxMaxima.
Além disso, ao gerar o gráfico do h′, o software liga indevidamente os pontos em que h′ não
está definida (figura 5.67), gerando um gráfico que não pode representar uma função real. Erros
computacionais deste tipo já foram abordados no caṕıtulo 3 (ver atividade 1 da seção 3.3, p. 49).
172 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Figura 5.69: O gráfico da derivada de f(x) = ||x| − 1| no wxMaxima.
As atividades 5 e 6 visam à familiarização com algumas das ferramentas do Maxima que podem
ajudar a estudar o comportamento gráfico de funções. Na atividade 5, é necessário simplificar as ráızes
da equação p′(x) = 0 determinadas pelo software, para perceber que ambas são reais.
Figura 5.70: Explorando derivadas no wxMaxima.
O exerćıcio de analisar o gráfico de uma função com a de sua derivada, traçados em uma mesma
janela gráfica, pode ajudar na exploração das relações entre as propriedades gráficas da função e da
derivada. Por exemplo, figura 5.71, podemos observar as propriedades nos gráficos de h (em azul) e h′
(em vermelho):
• Nos pontos x em p′(x) = 0, no caso, x1 = −
√
2
2
e x2 =
√
2, a reta tangente ao gráfico de p é
horizontal.
• Nos intervalos em p′(x) > 0, p é crescente.
• Nos intervalos em p′(x) < 0, p é decrescente.
• Analisando a primeira raiz de p′, x1 = −
√
2
2
, observamos que é posśıvel encontrar um raio δ1 > 0
tal que p′(x) < 0 para x1 − δ1 < x < x1 e também para x1 < x < x1 + δ1. Logo, conclúımos
que p é decrescente em ]x1 − δ1, x1[ e também em ]x1, x1 − δ1[ e, portanto, que (x1, f(x1)) é
ponto de inflexão de p.
• Analisando a segunda raiz de p′, x2 =
√
2, é posśıvel encontrar um raio δ2 > 0 tal que p′(x) < 0
para x2− δ2 < x < x2 e p′(x) > 0 para x2 < x < x2 + δ2. Logo, conclúımos que p é decrescente
em ]x2 − δ2, x2[ e crescente em ]x2, x2 − δ2[ e, portanto, que (x2, f(x2)) é ḿınimo local de p.
5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO INFINITESIMAL 173
Da análise acima, conclúımos que p é decrescente em ]−∞, x2[ e crescente em ]x2,+∞[ , e que
(x2, f(x2)) é, de fato, um ponto de ḿınimo absoluto de p.
Figura 5.71: Explorando derivadas e gráficos no wxMaxima.
Para obter as equações das retas tangentes ao gráfico de p (figura 5.72), nos pontos x0 em que
p′(x0) 6= 0, no caso x3 = 1 e x4 = 2, fazemos y = p′(x0) (x − x0) + f(x0). Nos pontos x0 em que
p′(x0) = 0, no caso x1 = −
√
2
2
e x2 =
√
2, basta fazer y = f(x0). Finalmente, geramos o gráfico de p
com as retas tangentes obtidas (figura 5.73).
Figura 5.72: Explorando derivadas no wxMaxima.
174 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Figura 5.73: Explorando derivadas e gráficos no wxMaxima.
Na atividade 6, verificamos que a derivada de q tem duas ráızes, x1 = 8− 2
√
15 e x2 = 8 + 2
√
15,
e, pelo teste da derivada segunda, conclúımos que (x1, q(x1)) é um ponto de ḿınimo local e (x1, q(x1))
é um ponto de máximo local (figura 5.74).
Figura 5.74: Calculando extremos locais no wxMaxima.
5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO INFINITESIMAL 175
Entretanto, se esboçamos o gráfico em uma janela gráfica “convencional”, como não por exemplo
a da figura 5.75, não conseguimos visualizar esses pontos de máximo e de ḿınimo.
Figura 5.75: O gráfico de q(x) =
x2 − 4
2 x2 − x na janela gráfica −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5.
Para buscar janelas gráficas nas quais seja posśıvel visualizar os pontos de máximo e de ḿınimo,
devemos calcular os valores de suas coordenadas (figura 5.77). Verificamos que x1 é próximo de 0, mas
q(x1) é relativamente grande (próximo de 30); e que x2 é relativamente grande (próximo de 15), mas
mas q(x2) é próximo de 1
2
. Por isso, esses pontos ficaram fora da janela da figura 5.75. Para obter
uma janela gráfica adequada para a visualização de (x1, q(x1)), deve-se escolher valores próximos de
x1 na horizontal e q(x1), como por exemplo 0 ≤ x ≤ 0, 5, 30 ≤ y ≤ 35 (figura 5.77, à esquerda).
Como q(x2) ∼= 1
2
é y = 1
2
é uma asśıntota horizontal de q, a variação da função q na região próxima a
x2 é muito sutil. Portanto, para que seja posśıvel perceber visualmente essa variação, deve-se escolher
um intervalo horizontal extenso e um intervalo vertical muito próximo de q(x2), como por exemplo
5 ≤ x ≤ 25, 0, 5 ≤ y ≤ 0, 51 (figura 5.77, à direita).
Figura 5.76: Calculando extremos locais no wxMaxima.
176 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Figura 5.77: O gráfico de q(x) =
x2 − 4
2 x2 − x nas janelas gráficas 0 ≤ x ≤ 0, 5, 30 ≤ y ≤ 35 e
5 ≤ x ≤ 25, 0, 5 ≤ y ≤ 0, 51.
Na atividade 7, verificamos que não é posśıvel resolver a equação f(x) = 0 analiticamente no
Maxima (figura 5.78). Introduzimos no software a fórmula do método de Newton: N(x) = x− f(x)
f ′(x)
(figura 5.79). Escrevemos uma instrução para aplicar a fórmula a um valor x0 escolhido, obtendo
x1 = N(x0), e atualizamos o valor de x0, com o valor de x1 obtido. Acionado essa instrução sucessivas,
os valores obtidos aproximação de raiz de f . Depois de algumas iterações, verificamos que o aproximação
obtida para a raiz coincide com o valor dado pelo comando find root do Maxima (figura 5.80).
Figura 5.78: Uma equação que não pode ser resolvida analiticamente no wxMaxima.
Figura 5.79: Aplicando o método de Newton no wxMaxima.
Figura 5.80: Resolvendo uma equação numericamente no wxMaxima.
5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO INFINITESIMAL 177
Atividade 8 explora uma interpretação para a definição de derivada dinamicamente. Como sabemos,
f : D ⊂ R→ R é diferenciável em x0 ∈ D se existe o limite:
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
. (5.2)
O valor deste limite é chamado de derivada de f em x0 e denotado por f ′(x0). Uma forma
equivalente de enunciar esta definição é afirmar que f é diferenciável em x0 se existe a ∈ R tal que:
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)− a h
h
= 0 . (5.3)
Neste caso, temos a = f ′(x0). A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0))
será então r(x) = a (x − x0) + f(x0). Fixado x0, o denominador da expressão 5.3, dado por ρ(h) =
f(x0 + h)− f(x0)− a h, é chamado de resto. Assim, o resto corresponde à diferença entre os valores
de f e da reta r em x = x0 + h.
Se tomamos agora um número real qualquer a 6= f ′(x0), então r(x) = a (x−x0)+f(x0) representa
uma reta que intercepta o gráfico de f em (x0, f(x0)), mas não é tangente ao gráfico nesse ponto.
Neste caso, temos que:
lim
h→0
ρ(h) = 0 , mas lim
h→0
ρ(h)
h
6= 0 .
Por outro lado, se a = f ′(x0), a definição de derivada afirma que:lim
h→0
ρ(h) = lim
h→0
ρ(h)
h
= 0 .
Desta forma, podemos dizer que qualquer reta que intercepta o gráfico de f em (x0, f(x0)) aproxima
a função nesse ponto, nos sentido em que ρ(h) tende a zero. Porém, dentre todas as retas que
interceptam o gráfico de f em (x0, f(x0)), aquela cuja inclinação é a = f ′(x0) (isto é, a reta tangente)
é a única para a qual
ρ(h)
h
também tende a zero – ou seja, o resto tende a zero mesmo quando
comparado com h. Em outras palavras, lim
h→0
ρ(h)
h
= 0 significa que, para valores pequenos de h, o resto
ρ(h) fica muito menor que h. Neste sentido, a reta tangente é a melhor aproximação linear local para
f em (x0, f(x0)).
A rotina aproximação linear, proposta na atividade 8, visa explorar esta interpretação de derivada,
articulando representações numéricas e gráficas de forma dinâmica. Para este fim, a rotina exibe os
valores numéricos de h, do resto ρ(h) e da razão α(h) =
ρ(h)
h
; juntamente com a os gráficos de f
e da reta de equação r(x) = a (x − x0) + f(x0), em que são destacados um segmento vertical cujo
comprimento é |ρ(h)| e um segmento horizontal cujo comprimento é |h|. Este segmento de tamanho
h determina o tamanho da janela gráfica, uma vez sua dimensão horizontal é dada pelo segmento
[ x0−h, x0 +h ]. Desta forma, é posśıvel observar os valores ρ(h) e de h, numérica e geometricamente,
e comparar seu comportamento quando h se aproxima de 0, ao mesmo tempo que se observa a relação
entre o gráfico de f e a reta r.
De fato, no caso em que a = f ′(x0) (figura 5.81), quando aproximamos os valores de h de 0,
podemos observar os valores de ρ(h) e de α(h) =
ρ(h)
h
se aproximando de 0. Ao mesmo tempo,
verificamos que o segmento vertical de comprimento |ρ(h)| deixar ser viśıvel – pois este fica muito
menor que |h| (que determina o tamanho da janela gráfica). Portanto, o gráfico de f tende a se
confundir com a reta r.
178 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Figura 5.81: Comportamento local de uma função diferenciável e sua reta tangente.
Por outro lado, se a 6= f ′(x0) (figura 5.82), quando aproximamos os valores de h de 0, observamos
que os valores de ρ(h) se aproximando de 0, mas os de α(h) =
ρ(h)
h
não. Verificamos que o segmento
vertical de comprimento |ρ(h)| é sempre viśıvel e o gráfico de f sempre pode ser distinguido da reta r.
Figura 5.82: Comportamento local de uma função diferenciável e uma reta não tangente.
É importante observar que o sistema de computação algébrica desempenha um papel central nesta
atividade, pois as representações numéricas e gráficas não poderiam ser articuladas desta maneira
apenas com recursos didáticos não computacionais.
Integrais
Nesta seção, não nos aprofundaremos muito no cálculo de integrais com o Maxima. Serão propostas
apenas algumas atividades visando a familiarização com o uso do comando básico integrate, por meio
de situações em que este é usado de forma integrada com outras ferramentas do software, apresentadas
anteriormente neste caṕıtulo.
O comando integrate também pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, nas opções
Cálculo e Integrar, em que devem ser informadas a função integrando e a variável de integração. Este
comando permite o cálculo de integrais indefinidas (figura 5.83) e definidas (figura 5.84). No caso
de integrais definidas, o Maxima retornará uma função primitiva da função integrando. Para calcular
integrais indefinidas, é necessário escolher esta opção no menu e informar os limites de integração.
Também é posśıvel digitar o comando integrate diretamente, sem usar o menu. Neste caso, para
calcular uma integral definida, basta incluir os limites de integração (de acordo com a sintaxe mostrada
na figura 5.84). Se os limites de integração forem omitidas, o software interpretará a instrução como
uma integral indefinida.
Com o comando integrate é posśıvel ainda calcular integrais impróprias. Os limites de integração
infinitos podem ser selecionados na opção Especial. Se a integral for divergente, o Maxima retornará
uma mensagem com esta informação (figura 5.85). Se a integral for convergente, o software retornará
o seu valor (figura 5.86).
5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO INFINITESIMAL 179
Figura 5.83: Calculando integrais indefinidas com o wxMaxima.
Figura 5.84: Calculando integrais definidas com o wxMaxima.
Figura 5.85: Calculando integrais impróprias com o wxMaxima.
Figura 5.86: Calculando integrais impróprias com o wxMaxima.
180 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Atividades
9. Use o Maxima para calcular a integral indefinida:
∫
xndx .
(a) O Maxima retornará esta solicitação perguntando se n+ 1 é zero ou diferente de zero:
Por que você acha que o software retorna esta pergunta?
(b) Você poderá responder à pergunta do Maxima na mesma linha de comando:
Explique o resultado dodo pelo software.
10. (a) Para cada n ∈ N, considere An a região limitada entre a curva y = xn e o eixo x, para
0 6 x 6 1. Seja an a área de An:
an =
∫ 1
0
xn dx .
Determine lim
n→+∞
an. Interprete geometricamente este resultado.
(b) Para cada n ∈ N, considere tn ∈ ]0, 1[ tal que:
∫ t
0
xn dx =
1
2
an . Isto é, x = tn é a
reta vertical que divide An em duas regiões de igual área. Determine lim
n→+∞
tn. Interprete
geometricamente este resultado.
(c) Faça uma animação para representar a faḿılia de curvas y = xn, quando n cresce.
11. A figura ao lado representa uma região plana P, de base b a altura
h, delimitada por um arco de parábola e um segmento de reta
perpendicular ao seu eixo de simetria.
(a) Determine uma fórmula para a área de P, em função de b e
h.
(b) Determine uma fórmula para o volume do sólido Q, gerado
pela rotação de P em torno de seu eixo de simetria, em função
de b e h. b
h
(c) Supondo que b+h = k, sendo k é uma constante real, determine a relação entre b e h para
que a área de P seja o maior posśıvel.
(d) Ainda supondo b + h = k, determine a relação entre b e h para que o volume de Q seja o
maior posśıvel.
5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO INFINITESIMAL 181
As perguntas feitas pelo software, como a exemplificada na atividade 9, visam estabelecer propri-
edades dos dados que podem alterar a forma do resultado. Na atividade 10, também será necessário
responder algumas perguntas dessa natureza. Nesta atividade, usar o comando integrate para deter-
minar que an =
1
n+ 1
(figura 5.87). Portanto, lim
n→+∞
an = 0.
Figura 5.87: Resolvendo problemas de integração com o wxMaxima.
Em seguida, encontramos a área delimitada entre y = xn e o eixo x, para 0 6 x 6 t, que é
dada por
∫ t
0
xn dx =
tn+1
n+ 1
(figura 5.88). Então, o número tn procurado será solução da equação
tn+1 =
1
2 (n+ 1)
. Logo, tn = 2−
1
n+1 . Portanto, lim
n→+∞
tn = 1. Isto significa que, quando n cresce,
a área an tende a ficar mais concentrada na extremidade superior do intervalo [ 0, 1 ]. A animação
proposta no item 10c pode ajudar a entender melhor este comportamento.
Figura 5.88: Resolvendo problemas de integração com o wxMaxima.
Na atividade 11, primeiro representamos o arco de parábola que delimita P como gráfico de uma
função f do segundo grau. Como P deve ter base b e altura h, podemos buscar f de tal forma que
f
(
− b
2
)
= f
(
b
2
)
= 0 e f(0) = h. Então, obtemos (figura 5.89):
f(x) =
4 h
b2
(
b2
4
− x2
)
182 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Conhecida a função f , podemos obter por integração as fórmulas de S, a área de P, e V , o volume
de V (figura 5.89):
S =
2
3
b h V =
π
8
b2 h
O volume V foi obtido pela fórmula de volume sólidos de revolução: 2 π
∫ x2
x1
x f(x) dx.
Figura 5.89: Resolvendo problemas de integração com o wxMaxima.
Estabelecendo a restrição h = k − b, podemos definir a função s : [0, k] → R, que a cada valor b
associa o valor correspondente da área de P (figura 5.90):
s(b)=
2
3
b (k − b) =
2
3
(k b− b2) .
Determinamos a derivada de s e resolvemos a equação s′(x) = 0, obtendo b = 1
2
k como solução.
Portanto, a região de maior área posśıvel é aquela tal que b = h.
Figura 5.90: Resolvendo problemas de integração com o wxMaxima.
Analogamente, definimos a função v : [0, k]→ R, que a cada valor b associa o valor correspondente
da volume de Q (figura 5.91):
v(b) =
π
8
b2 (k − b) =
π
8
(k b2 − b3) .
Determinamos a derivada de V e resolvemos a equação v ′(x) = 0, obtendo b = 2
3
k como solução.
Portanto, devemos ter h = 1
3
k. Logo, a região que determina o sólido de maior volume posśıvel é
aquela tal que b = 2 h.
5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO INFINITESIMAL 183
Figura 5.91: Resolvendo problemas de integração com o wxMaxima.
É claro que muitos dos cálculos feitos nas atividades 9, 10 e 11 são relativamente simples e não
demandariam o uso do software. Entretanto, o objetivo é empregar essas situações para ilustrar como
é posśıvel integrar as diversas ferramentas do sistema de computação algébrica apresentadas neste
caṕıtulo no encadeamento da resolução de um problema.
Polinômios de Taylor
Encerraremos esta seção apresentando animações para gerar gráficos de polinômios de Taylor apro-
ximando funções reais. Como sabemos, dada uma função f : D ⊂ R → R, k vezes diferenciável,
definimos o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de um ponto x0 ∈ D como (ver, por
exemplo [48, 52]):
pn(x) =
n∑
k=0
f (n)(x0)
k!
(x− x0)k .
Conceitualmente, o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de x0 é, dentre todos os
polinômios de grau menor ou igual a n, aquele que melhor aproxima o gráfico de f na vizinhança de
x0. Além disso, quanto maior for a ordem do polinômio, melhor será a aproximação. Por exemplo, o
polinômio de Taylor de ordem 5 de f(x) = sen (x) em torno de x0 = 0 é dado por:
p5(x) = x− x3
6
+
x5
120
.
Como todas as derivadas de ordem par de f(x) = sen (x) em x0 = 0 se anulam, então todos os
polinômios de Taylor de f em torno de x0 = 0 só apresentam termos de grau ı́mpar.
No Maxima, o comando taylor permite calcular polinômios de Taylor. Para isso, devem ser infor-
mados, nesta ordem: a função; o ponto em torno do qual de deseja determinar o polinômio de Taylor;
e a ordem do polinômio (figura 5.92).
Figura 5.92: Determinando polinômios de Taylor com o wxMaxima.
Com o Maxima, podemos construir animações para ilustrar graficamente a propriedade de que,
quanto maior a ordem do polinômio de Taylor melhor será a aproximação da função. Para isso, devemos
184 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
usar o comando with slider (ver p. 161). Segundo a sintaxe do comando, devem ser informados, nesta
ordem: o parâmetro da animação; os valores desse parâmetro; a faḿılia de funções dependendo desse
parâmetro; e a janela gráfica. Pode-se ainda usar o comando makelist para a gerar uma lista com os
valores do parâmetro.
Como exemplo, construiremos uma animação para os polinômios de Taylor de f(x) = sen (x) em
torno de x0 = 0. Neste caso, a faḿılia de funções é formada pelos polinômios de Taylor, e o parâmetro
é a ordem do polinômio. Portanto, só interessam os polinômios de ordem ı́mpar. Devemos gerar então
uma lista com números ı́mpares. Por exemplo, podemos gerar uma lista com os 11 primeiros números
ı́mpares (figura 5.93). Com esta lista, criaremos uma animação com os polinômios de Taylor de ordens
1 a 21. Usamos então a lista gerada para criar a animação com o comando with slider (figura 5.94).
A figura 5.95 mostra os três primeiros quadros desta animação.
Figura 5.93: Determinando polinômios de Taylor com o wxMaxima.
Figura 5.94: Determinando polinômios de Taylor com o wxMaxima.
Figura 5.95: Determinando polinômios de Taylor com o wxMaxima.
Para ilustrar mais claramente a aproximação, podemos ainda representar os gráficos dos polinômios
juntamente com o gráfico da função na animação constrúıda (figuras 5.96 e 5.97).
Figura 5.96: Determinando polinômios de Taylor com o wxMaxima.
Figura 5.97: Determinando polinômios de Taylor com o wxMaxima.
5.4. EXPLORAÇÕES ARITMÉTICAS 185
Atividades
12. Use o Maxima para construir animações para os polinômios de Taylor de:
(a) f(x) = cos x, em torno de x0 = 0.
(b) f(x) = ex, em torno de x0 = 0.
(c) f(x) = ln x, em torno de x0 = 1.
13. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 12.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel do sistema de computação algébrica no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso do sistema de computação algébrica pode trazer para
a aprendizagem dos conceitos enfocados, em comparação com abordagens com recursos
convencionais (isto é, sem o uso de recursos computacionais)?
(e) Quais dessas atividades poderiam ser adaptadas para o ensino médio?
(f) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplicação dessas
atividades em sala de aula?
5.4 Explorações Aritméticas
Conceitos como os de múltiplo, divisor, número primo, decomposição em fatores primos, e as ideias
relacionadas, estão entre os principais tópicos abordados na aritmética do ensino básico. É interessante
saber que conceitos tão elementares como esses podem dar origem a problemas com soluções matemati-
camente sofisticadas, incluindo até mesmo problemas que permanecem em aberto, isto é, cujas soluções
ainda não são conhecidas. Alguns desses problemas foram propostos há vários séculos e apresentam
enunciados simples, que são acesśıveis mesmo para alunos do ensino médio. Por outro lado, questões en-
volvendo divisibilidade e números primos despertam grande interesse na pesquisa matemática de ponta
até os dias de hoje, pois possuem muitas aplicações importantes, especialmente na área de códigos e
criptografia (ver, por exemplo [24]). Assim, é posśıvel estabelecer uma conexão entre Matemática ele-
mentar e Matemática superior: mesmo problemas com enunciados simples, envolvendo apenas
conceitos básicos que aprendemos na escola, podem ser de grande relevância em Matemática
superior, e levar a soluções que demandam ferramentas matemáticas avançadas.
Os sistemas de computação algébrica permitem abordar esses problemas históricos por meio de uma
perspectiva computacional, realizando alguns dos cálculos pesados envolvidos e permitindo que os alunos
explorem propriedades qualitativas dos resultados. Nesta seção, utilizaremos o Maxima para realizar
explorações aritméticas com números de Fermat, primos de Mersenne e uma certa função aritmética
envolvendo números perfeitos (ver, por exemplo [38]). Aproveitaremos para apresentar algumas novas
ferramentas do Maxima.
Os Primos de Fermat e de Mersenne
Iniciamos com os números de Fermat, que são obtidos a partir de um número natural n > 0 pela
operação aritmética:
Fn = 22n + 1 . (5.4)
Os primeiros quatro números de Fermat, obtidos a partir de n = 1, 2, 3, 4, são:
186 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537.
Em 1640, o matemático Pierre de Fermat observou que esses primeiros quatro números eram primos
e conjecturou que todos os outros números dados pela expressão 5.4 também seriam primos. Entretanto,
verificar a primalidade de um número n ∈ N grande (isto é, verificar se n é ou não primo) pode ser
uma tarefa bastante dif́ıcil, pois envolve testar a divisibilidade de n por todos os primos p 6
√
n.
Supondo que todos esses números primos sejam conhecidos, cada uma dessas verificações envolve uma
grande quantidade de cálculos aritméticos elementares. Na época de Fermat, as ferramentas dispońıveis
(basicamente, papel e lápis) não possibilitavam fazer tantos cálculos.
Hoje, com o aux́ılio de computadores,é posśıvel constatar rapidamente que Fermat não estava
correto em sua conjectura. Por exemplo, com o Maxima (figura 5.98), verificamos que o sétimo núme-
ro de Fermat
F7 = 340282366920938463463374607431768211457 ,
que possui 39 algarismos, não é primo, pois é composto pelo produto dos primos:
F7 = 59649589127497217× 5704689200685129054721 . (5.5)
Figura 5.98: Explorando os números de Fermat o wxMaxima.
Na tela mostrada na figura 5.98, empregamos os comandos do Maxima: slength, para determinar a
quantidade de algarismos de um número; primep para verificar a primalidade de um número; divisors
para determinar todos os divisores de um número. Assim, foi posśıvel verificar que o número de
5.4. EXPLORAÇÕES ARITMÉTICAS 187
Fermat F7 não é primo, que possui dois fatores primos e que, portanto, a expressão 5.5 corresponde à
decomposição em fatores primos desse número.
Entretanto, quando lidamos com números ainda maiores, a verificação da primalidade pode ser
dif́ıcil, mesmo com o aux́ılio dos computadores mais poderosos de que dispomos no momento. Assim,
não conhecemos hoje nenhum outro primo de Fermat além dos que já eram conhecidos em 1640, e
nem mesmo sabemos se a quantidade desses primos é finita ou infinita. Tais questões permanecem em
aberto.
O desafio de saber a quantidade de certos números especiais também ocorre com os chamados
primos de Mersenne, obtidos a partir de um número primo p pela operação aritmética
Mp = 2p − 1 . (5.6)
Nem todos os númerosMp = 2p−1, com primo p, são primos. Executando um sistema de computa-
ção algébrica em um microcomputador comum (figura 5.99), não é preciso esperar nem um minuto para
testar a primalidade dos números de Mersenne Mp = 2p − 1 correspondentes aos primeiros duzentos
primos p, e listar os catorze primos de Mersenne encontrados.
Figura 5.99: Explorando os números de Mersenne o wxMaxima.
Na tela mostrada na figura 5.99, utilizamos os comandos for, while e do, que servem para executar
uma instrução (especificada entre parênteses) enquanto uma condição dada for verdadeira. Neste caso,
iniciamos definindo p = 1 e criando uma lista vazia. Em seguida, começamos a incrementar o contador
i, de uma em uma unidade, e, a cada passo, executamos a seguinte instrução:
• determinados o número primo p seguinte, por meio do comando next prime;
• calculamos o número de Fermat correspondente a p, fazendo Mp = 2p − 1;
• verificamos se Mp é primo, por meio da instrução primep, e, em caso afirmativo, inclúımos p na
lista.
188 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
Por exemplo, quando i = 1, determinados o número primo seguinte ao valor inicial p = 1, que é
p = 2, calculamos M2 = 22 − 1 = 3 e verificamos se M2 é primo. Como M2 é primo, inclúımos p = 2
na lista. Em seguida, determinamos o próximo número primo, que é p = 3, e repetimos a instrução.
Executamos essa instrução até que o valor do contador i seja igual a 200. Ao final desse processo,
teremos produzido uma lista com os números p, dentre os 200 números primos, tais que o número de
Meresenne Mp = 2p − 1 correspondente é primo. Verificamos ainda que o décimo quarto primo de
Mersenne,
M607 = 53113799281676709868958820655246862732959311772703
19231994441382004035598608522427391625022652292856
68889329486246501015346579337652707239409519978766
587351943831270835393219031728127
possui 183 algarismos.
Até dezembro de 2001 eram conhecidos apenas trinta e nove primos de Mersenne. Hoje, após
quase dez anos de computação ininterrupta em poderosos supercomputadores, o grupo GIMPS (Great
Internet Mersenne Prime Search) de busca de primos de Mersenne conseguiu aumentar essa quantidade
em apenas oito novos números, sendo que o último deles, M43112609, possui mais de doze milhões de
algarismos.
Atividades
1. Utilize o Maxima para verificar que o quinto e o sexto números de Fermat não são primos e
encontre a lista de seus divisores.
2. Utilize o Maxima para verificar que não existem primos de Mersenne com 608 < p < 1278.
3. Utilize o Maxima para verificar que p = 1279 é um número primo, gerador do primo de Mersenne
M1279, com 386 algarismos.
Números Perfeitos
Os sistemas de computação algébrica também podem ser utilizados na exploração de algumas funções
aritméticas interessantes envolvendo a função σ(n), que calcula a soma de todos os divisores positivos
de um número natural n. Dentre estas está uma função f que subtrai de cada número natural n a
soma de seus divisores positivos próprios (isto é, diferentes de 0 e do próprio n). Assim, esta função
pode ser calculada da seguinte forma:
f : N∗ → Z , n 7→ f(n) = n− [σ(n)− n] = 2n− σ(n)
De certa forma, a função f compara um número natural n com a soma de seus divisores próprios.
Por exemplo:
f(1) = 1 = 1− [0] = 1
f(6) = 6− [1 + 2 + 3] = 0
f(24) = 24− [1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12] = −12
f(111) = 111− [1 + 3 + 37] = 70
Então, os elementos do conjunto dos zeros da função f ,
f−1(0) = {n ∈ N∗ | f(n) = 0} = {6, 28, 496, 8128, 33550336, . . .}
5.4. EXPLORAÇÕES ARITMÉTICAS 189
são os números naturais n com a seguinte propriedade: n é igual à soma de seus divisores próprios. Esses
números fascinaram os gregos antigos a ponto de serem chamados de números perfeitos. Atualmente, os
elementos conhecidos desse conjunto são todos pares e estão relacionados com os primos de Mersenne
por meio de um teorema devido parte a Euclides e parte a Euler (para a prova, veja por exemplo [38]):
Teorema 5.1 Um número natural n é um número perfeito par se, e somente se, n = 2p−1Mp, onde
Mp é um primo de Mersenne.
O comando divsum do Maxima calcula σ(n), para n ∈ N∗ (figura 5.100). O Maxima permite
também criar uma lista com os pares ordenados (n, f(n)) e utilizar essa lista para gerar o gráfico da
função f . A figura 5.101 mostra esse gráfico restrito ao retângulo de visualização 0 < n < 10000 e
−100 < f(n) < 100.
Figura 5.100: Explorando a função f(n) = 2n− σ(n) no wxMaxima.
Figura 5.101: O gráfico da função f(n) = 2n− σ(n).
190 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA
A dispersão dos pontos (n, f(n)) do gráfico da função f é um verdadeiro convite à Matemática.
Observe essa dispersão na figura 5.101. Muitos pontos do gráfico de f se apresentam alinhados. Por
quê?
Para entender porque muitos pontos do gráfico de f se apresentam alinhados, vamos explorar
inicialmente os alinhamentos horizontais. O caso mais evidente, logo abaixo do eixo x, corresponde aos
naturais n para os quais f(n) = −12. Com o aux́ılio do Maxima (figura 5.102) podemos rapidamente
listar esses números e obter
f−1(−12) = {n : f(n) = −12} = {24, 30, 42, 54, 66, 78, 102, 114, 138, 174, . . .} .
Figura 5.102: Explorando o alinhamento f(n) = −12.
Observando a decomposição em fatores primos dos naturais n para os quais f(n) = −12, temos a
seguinte proposição:
Proposição 5.1 Se n = 6p com p primo distinto de 2 e 3, então f(n) = −12.
Demonstração: Como p é um primo distinto de 2 e 3 segue que 6 e p não possuem divisores comuns
além do 1. Logo, os divisores de n = 6p são 1, 2, 3, 6, p, 2p, 3p e 6p. A soma desses divisores é
σ(n) = 12 + 12p e f(n) = 2n− σ(n) = 12p− (12 + 12p) = −12.
O segundo caso de alinhamento horizontal na figura 5.101 corresponde aos naturais n para os quais
f(n) = −56. Para este caso temos a seguinte proposição, cuja demonstração será deixada como
exerćıcio.
Proposição 5.2 Se n = 28p com p primo distinto de 2 e 7, então f(n) = −56.
5.4. EXPLORAÇÕES ARITMÉTICAS 191
Observe que, nas duas proposições anteriores, aparecem os dois primeiros números perfeitos, 6 e
28. A generalização para os demais números perfeitos se dá na proposição a seguir, cuja demonstração
também será deixada como exerćıcio.
Proposição 5.3 Se K é um número perfeito e se n = Kp com p primo não divisor de K, então
f(n) = −2K.
Passemos agora a proposições que justificam os alinhamentos obĺıquos