Microeconomia: Custos e Produção

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Lista 7 - Cap. 10
Prof. Ariaster B. Chimeli
Monitor: João Marcolin (joao.marcolin@usp.br)
EAE0203 - Microeconomia I
FEA - USP
23 de Junho de 2020
1. (Exerćıcio 10.1 do Nicholson Ed. 10) Em um famoso artigo [J. Viner,
”Cost Curves and Supply Curves,”Zeitschrift fur Nationalokonomie 3 (Setem-
bro 11931): 23-46], Viner criticou seu desenhista que não conseguia desenhar
uma famı́lia de curvas de Custo Médio de Curo prazo (SAC em inglês) das quais
os pontos de tangência com a curva de Custo Média (AC do inglês) em formato
de ”U”eram também os pontos de mı́nimo de cada uma das curvas SAC. O de-
senhista protestou dizendo que esse desenho era imposśıvel de se fazer. Quem
você apoiaria neste debate?
Para ilustrar o problema, incluo um exemplo deste tipo de gráfico, tirado do livro.
É imposśıvel que todas as curvas SAC sejam tangentes à curva AC em seu ponto de mı́nimo,
pois várias das curvas SAC fazem tangência com a curva AC em pontos em que a inclinação
da curva AC é diferente de zero. Ter inclinação igual a zero é condição necessária para ser
um ponto de mı́nimo da curva. Logo, o desenhista está certo.
1
2. (Exerćıcio 10.3 do Nicholson Ed. 10) Professor Smith e Professor Jones irão
produzir um novo livro texto de ńıvel introdutório. Como verdadeiros cientistas,
eles descreveram a função de produção do livro como
q = S1/2J1/2
onde q = número de páginas no livro finalizado, S = número de horas trabalhadas
por Smith e J = número de horas trabalhadas por Jones.
Smith valora seu trabalho a $3 por hora trabalhada. Ele gastou 900 horas pre-
parando o rascunho inicial. Jones, que valora seu trabalho a $12 por hora tra-
balhada, irá revisar o rascunho de Smith para completar o livro.
(a) Quantas horas Jones terá que trabalhar para produzir um livro finalizado de
150 páginas? E de 300? E de 450?
(b) Qual é o custo marginal da página 150 do livro finalizado? E da 300a? E da
450a?
(a) Vamos fixar S = 900 e variar somente J e q. Abaixo, listo as 3 situações pedidas
(q1 = 150 páginas, q2 = 300 páginas e q3 = 450 páginas):
q1 = 150 =
√
900J1 =⇒ J1 =
(
150√
900
)2
= 25
q2 = 300 =
√
900J2 =⇒ J2 =
(
300√
900
)2
= 100
q3 = 450 =
√
900J3 =⇒ J3 =
(
450√
900
)2
= 225
(b) O custo é dado por
C = 3S + 12J
Como S está fixo em 900, o custo será função somente de J . Como vimos no item anterior,
dada uma quantidade q de páginas, o valor de J é dado por
J =
(
q√
900
)2
=
q2
900
Então a função custo é
C(q) = 2700 + 12
q2
900
E o custo marginal é
MC(q) =
∂C
∂q
=
24q
900
=
2q
75
Então temos MC(150) = 4, MC(300) = 8 e MC(450) = 12.
2
3. (Exerćıcio 10.5 do Nicholson Ed. 10) Uma firma produzindo tacos de hóquei
possui uma função de produção dada por
q = 2
√
kl
No curto prazo, a quantidade de capital da firma é fixa em k = 100. A taxa de
aluguel para k é v = $1, e o salário por l é w = $4.
(a) Calcule a curva de custo total de curto prazo da firma. Calcule a curva de
custo médio de curto prazo.
(b) Qual é a função de custo marginal de curto prazo da firma? Quais são as
curvas de custo total, médio e marginal de curto prazo (respectivamente, SC,
SAC e SMC em inglês) da firma se ela produz 25 tacos de hóquei? Cinquenta
tacos de hóquei? Cem tacos de hóquei? Duzentos tacos de hóquei?
(c) Desenhe o gráfico das curvas SAC e SMC. Indique os pontos encontrados no
item (b).
(d) Onde a curva SMC intercepta a curva SAC? Explique porque a curva SMC
sempre irá interceptar a curva SAC em seu ponto mais baixo.
Suponha que o capital utilizado para produção de tacos de hóquei está fixo em
k̄ no curto prazo.
(e) Calcule a função de custo total da firma em função de q, w, v e k̄.
(f) Dados q, w e v, como o estoque de capital deveria ser escolhido a fim de se
minimizar os custos totais?
(g) Use o resultado do item (f) para calcular o custo total de longo prazo para
a produção de tacos de hóquei.
(h) para w = $4, v = $1, desenhe o gráfico da curva de custo total de longo prazo
da produção de tacos de hóquei. Mostre que isto é um envelope para as curvas
de curto prazo calculadas no item (a) ao examinar os valores de k̄ de 100, 200 e
400.
(a) Como estamos no curto prazo, não podemos variar K, somente L. Então o custo é dado
por 100 + 4L. Além disso, a partir da função de produção, temos q = 2
√
100L = 20
√
L, o
que implica L = q2/400. Logo, a função custo total de curto prazo é
SC(q) = 100 +
q2
100
O custo médio é simplesmente
SAC(q) =
SC(q)
q
=
100
q
+
q
100
(b) A função de custo marginal de curto prazo é, simplesmente,
SMC(q) =
∂SC
∂q
=
q
50
Variando as funções SC(q), SAC(q) e SMC(q) para os diferentes valores de q sugeridos pelo
enunciado, temos:
3
q=25 q=50 q=100 q=200
SC(q) 106.5 125 200 500
SAC(q) 4.25 2.5 2 2.5
SMC(q) 0.5 1 2 4
(c) e (d)
Enquanto o custo marginal for menor que o custo médio, o custo médio vai diminuir à medida
que a quantidade produzida aumenta. Por outro lado, se o custo marginal é maior que o
médio, aumentos em q vão aumentar o custo médio.
Suponha que o capital utilizado para a produção de tacos de h́ıquei está fixo em k̄ no curto
prazo.
(e) Temos q = 2
√
K̄L, o que implica
L =
q2
4K̄
Logo,
SC(q, K̄) = vK̄ + wL(q, K̄)
SC(q, K̄) = vK̄ +
wq2
4K̄
(f) Do item anterior, temos
SC = vK̄ +
wq2
4K̄
Então,
∂SC
∂K̄
= v − wq2
4K̄2
= 0
Logo,
K̄ =
q
2
√
w
v
(g) No longo prazo, a firma escolhe K̄ = q
2
√
w
v
. Substituindo isso na fórmula de SC(q, K̄),
obtemos
C(q) = v
(
q
2
√
w
v
)
+
wq2
4
(
2
q
√
v
w
)
C(q) = q
√
vw
4
(h) Para w = 4 e v = 1, temos
C(q) = 2q
Repetindo os passos do item (a), obtemos a curva de custo de curto prazo para um dado K̄,
SC(q) = K̄ +
q2
K̄
Agora resta mostrar que a equação acima, para K̄ = 100, 200, 400 é ”envolvida”pela curva
de custo de longo prazo C(q) = 2q. Para K̄ = 100, SC(q) = 100 + q2
100
, que é tangente à
curva C(q) quando q = 100.
Para K̄ = 200, SC(q) = 200 + q2
200
, que é tangente à curva C(q) quando q = 200.
Para K̄ = 400, SC(q) = 400 + q2
400
, que é tangente à curva C(q) quando q = 400.
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4. (Exerćıcio 10.6 do Nicholson Ed. 10) Um empresário empreendedor compra
duas firmas para produzir aparelhos. Cada uma das firmas produz produtos
idênticos, e cada uma possui uma função de produção dada por
q =
√
kili, i = 1, 2
As firmas diferem, entretanto, na quantidade de capital que cada uma possui.
Em particular, a firma 1 possui k1 = 25 sendo que a firma 2 possui k2 = 100. A
taxa de aluguel por k e l são dadas por w = v = $1.
(a) Se o empresário deseja minimizar o custo total de curto prazo na produção
de aparelhos, como a produção deveria ser dividida entre as duas firmas?
(b) Dado que essa alocação de produção é ótima entre as duas firmas, calcule as
curvas de custo total, médio e marginal de curto prazo. Qual é o custo marginal
do centésimo aparelho? E do 125o? E do 200o?
(c) Como o empresário deveria dividir a produção dos aparelhos entre as duas
firmas no longo prazo? Calcule as curvas de custo total, médio e marginal de
longo prazo da produção de aparelho?
(d) Como sua resposta do item (c) mudaria se ambas firmas exibissem retornos
decrescentes a escala?
(a) O produto total é
q = q1 + q2
q =
√
k1l1 +
√
k2l2
q =
√
25l1 +
√
100l2
q = 5
√
l1 + 10
√
l2
O custo total de curto prazo é
SC = v(k1 + k2) + w(l1 + l2)
SC = 125 + l1 + l2
Então queremos minimizar C = 125 + l1 + l2 sujeito a q̄ = 5
√
l1 + 10
√
l2. O lagrangeano
desse problema de minimização é dado por
L = 125 + l1 + l2 + λ(q̄ − 5
√
l1 − 10
√
l2)
As CPOs são:
∂L
∂l1
= 1− 5
2
√
l1
λ = 0 (1)
∂L
∂l2
= 1− 10
2
√
l2
λ = 0 (2)
∂L
∂λ
= q̄ − 5
√
l1 − 10
√
l2 = 0 (3)
6
De (1) e (2), obtemos
l2 = 4l1
Como l = l1 + l2, isto implica l1 = l/5 e l2 = 4l/5. Ou seja: dada uma força de trabalho l
(cujo valor depende da quantidade que o empresário deseja produzir), ele aloca 4/5 da força
de trabalho na firma 2 e 1/5 da força de trabalhona firma 1.
(b) Primeiro, precisamos achar o custo em função de q. Do item anterior, sabemos que
SC = 125 + (l1 + l2) = 125 + l
A partir da função de produção, substituindo l1 = l/5 e l2 = 4l/5, obtemos:
q = 5
√
l1 + 10
√
l2
q = 5
√
l
5
+ 10
√
4l
5
q = 25
√
l
5
q2
125
= l
Então a função custo de curto prazo é dada por
SC(q) = 125 +
q2
125
O custo marginal é dado por
SMC(q) =
∂SC
∂q
=
2q
125
O custo médio é
SAC(q) =
SC(q)
q
=
125
q
+
q
125
Finalmente, o item perguntava o custo marginal para q = 100, q = 125 e q = 200. Basta
substituir os valores na fórmula de custo marginal: SMC(100) = 1, 6, SMC(125) = 2 e
SMC(200) = 3, 2.
(c) No longo prazo, como podemos variar o estoque de capital e ambas as firmas possuem a
mesma função de produção, o empresário pode dividir a produção como quiser (pode inclu-
sive fechar uma das firmas e produzir tudo na outra).
(d) Se ambas as firmas tivessem retornos decrescentes de escala, o ideal seria dividir a
produção igualmente entre ambas as firmas. Pois quanto mais se produzisse num lugar,
menos eficiente aquele lugar seria.
7
5. (Exerćıcio 10.8 do Nicholson Ed. 10) Suponha que a função de custo total de
uma firma é dado por
C = q(v + 2
√
vw + w)
(a) Use a lema de Shephard para calcular a função de demanda de produção
constante para cada um dos insumos, k e l.
(b) Use o resultado obtido no item (a) para calcular a função de produção sub-
jacente de q.
(c) Você pode conferir os resultados ao utilizar os resultados do Exemplo 10.2
para mostrar que a função custo da forma CES com σ = 0.5 e ρ = −1 gera essa
função de custo total.
(a) Pelo lema de Shephard, a demanda por um insumo é igual à derivada parcial da função
custo em relação ao preço do insumo em questão. Assim,
K =
∂C
∂v
= q +
√
w
v
q = q
(√
v +
√
w√
v
)
(1)
L =
∂C
∂w
= q +
√
v
w
q = q
(√
v +
√
w√
w
)
(2)
(b) Das equações (1) e (2), temos
q
K
=
√
v√
v +
√
w
q
L
=
√
w√
v +
√
w
Note que
q
K
+
q
L
=
√
v√
v +
√
w
+
√
w√
v +
√
w
= 1
Então,
q
K
+
q
L
= 1
1
K
+
1
L
=
1
q
K−1 + L−1 = q−1
E obtemos a função de produção:
q =
(
K−1 + L−1
)−1
(c) Do exemplo 10.2, a função custo que sai de uma função de produção CES é
C(v, w, q) = q1/γ(v1−σ + w1−σ)1/(1−σ)
8
Em que γ é um parâmetro de escala (o grau de homogeneidade da função de produção) e
σ = 1/(1− ρ) é a elasticidade de substituição da função de produção. Com σ = 1/2 e γ = 1,
temos
C(v, w, q) = q(v1/2 + w1/2)2
C(v, w, q) = q(v + 2
√
vw + w)
Que é a função custo dada no enunciado da questão.
9
6. (Exerćıcio 10.9 do Nicholson Ed. 10) A função de produção CES pode ser
generalizada para permitir pesar os insumos. No caso de dois insumos, essa
função é
q = f(k, l) = [(ak)ρ + (bl)ρ]γ/ρ
(a) Qual é a função de custo total para uma firma com essa função de produção?
Dica: Você pode, é claro, resolver isto a partir do nada; é talvez, mais fácil
utilizar o resultado do Exemplo 10.2 e imaginar que o preço de uma unidade de
capital colocado nessa função de produção é v/a e por uma unidade de trabalho
é w/b.
(b) Se γ = 1 e a+ b = 1, pode ser mostrado que essa função de produção converge
para uma Cobb-Douglas q = kalb quando ρ → 0. Qual é a função de custo total
para essa versão particular da função CES?
(c) A proporção de custo relativo de trabalho para uma função de produção de 2
insumos é dada por wl/vk. Mostre que essa proporção é constante para a função
Cobb-Douglas do item (b). Como a proporção do custo de trabalho é afetada
pelos parâmetros a e b?
(d) Calcule a proporção de custo relativo de trabalho para a função CES genera-
lizada apresentada acima. Como essa proporção é afetada por mudanças em w/v?
Como a direção desse efeito é determinada pela elasticidade de substituição, σ?
Como é afetada pelo tamanho dos parâmetros a e b?
(a) Duas opções.
1) Começar do zero:
Escolher K e L para Min vK + wL sujeito a [(aK)ρ + (bL)ρ]
γ
ρ = q
Substituir K∗ e L∗ em C = vK + wL
2) Usar o resultado do Exemplo 10.2
O resultado no exemplo 10.2 para a função CES q = f(k, l) = (Kρ + Lρ)
γ
ρ nos diz que
(equação 10.26)
C(v, w, q) = q
1
γ (v1−σ + w1−σ)
1
(1−σ)
em que σ = 1/(1− ρ).
Assim, basta escolher os preços v/a e w/b, como sugere o enunciado
C = C(v/a, w/b, q) = q
1
γ
[(v
a
)1−σ
+
(w
b
)1−σ] 1
1−σ
C = q
1
γ
[(v
a
) ρ
ρ−1
+
(w
b
) ρ
ρ−1
] ρ−1
ρ
(b) É mais fácil partir da Cobb-Douglas q = f(K,L) = KaLb e achar sua função custo
escolhendo K e L para minimizar vK +wL sujeito a KaLb = q. Temos o lagrangeano dado
por:
L = vK + wL+ λ(q −KaLb)
10
cujas CPOs são
∂L
∂K
=
∂L
∂L
=
∂L
∂λ
= 0
Resolvendo as CPOs, temos as equações
v = λaKa−1Lb (1)
w = λbKaLb−1 (2)
q = KaLb (3)
Resolvendo o sistema, obtemos
K = q
(w
v
a
b
)b
e L = q
(
w
v
b
a
)a
Substituindo em C = vK + wL, obtemos (depois de muita conta chata) a função custo
C(v, w, q) = qa−ab−bvawb
(c) Vimos que
K = q
(w
v
a
b
)b
e L = q
(
w
v
b
a
)a
Então
vK = vq
(w
v
a
b
)b
e wL = wq
(
w
v
b
a
)a
Logo,
wL
vK
=
wq
(
w
v
b
a
)a
vq
(
w
v
a
b
)b =
w
v
(w
v
)a−b( b
a
)a+b
=
b
a
(d) Para achar as demandas por K e L, podeŕıamos repetir o processo de minimização de
custo. Porém, como já temos a função custo, basta aplicar o lema de Shephard. Sabemos
que
K =
∂C
∂v
e L =
∂C
∂w
Do item (a) já temos a função custo,
C = q
1
γ
[(v
a
)1−σ
+
(w
b
)1−σ] 1
1−σ
É uma conta chata, mas as derivadas são
K =
∂C
∂v
= q
1
γ
(
1
1− σ
)[(v
a
)1−σ
+
(w
b
)1−σ] 1
1−σ−1
v−σaσ−1
L =
∂C
∂w
= q
1
γ
(
1
1− σ
)[(v
a
)1−σ
+
(w
b
)1−σ] 1
1−σ−1
w−σbσ−1
11
Então, basta dividir wL por vK (a conta é intimidadora mas dá pra cortar vários termos):
wL
vK
=
wq
1
γ
(
1
1−σ
) [(
v
a
)1−σ
+
(
w
b
)1−σ] 1
1−σ−1
w−σbσ−1
vq
1
γ
(
1
1−σ
) [(
v
a
)1−σ
+
(
w
b
)1−σ] 1
1−σ−1
v−σaσ−1
=
(w
v
a
b
)1−σ
Como vimos, no caso geral da CES temos wL
vK
=
(
w
v
a
b
)1−σ
• se σ < 1, aumentos de w/v aumentam wL/vK - ou seja, se a elasticidade de substi-
tuição é baixa, um aumento da taxa de salário (relativa à taxa de aluguel de capital) faz
com que o custo relativo de trabalho aumente (wL/vK), já que é mais dif́ıcil substituir
capital por trabalho e o preço do trabalho aumentou;
• se σ > 1, aumentos de w/v diminuem wL/vK - ou seja, se a elasticidade de substi-
tuição é alta, é fácil substituir trabalho por capital e um aumento da taxa de salário
(em relação à taxa de aluguel de capital) faz com que o custo relativo do trabalho
(wL/vK) diminua;
Quanto maior a relação a/b, maior o efeito (positivo ou negativo, dependendo do valor de
σ) da razão w/v sobre wL/vK.
12
7. (Exerćıcio 10.10 do Nicholson Ed. 10) As elasticidades-preço da demanda
contingente por trabalho e capital são definidas por
eLc,w =
∂Lc
∂w
w
Lc
, eKc,v =
∂Kc
∂v
v
Kc
(a) Calcule elc,w e ekc,v para cada uma das funções custo mostradas no Exemplo
10.2.
(b) Mostre que, em geral, elc,w + elc,v = 0.
(c) Mostre que as derivadas cruzadas de preço da função demanda contingente
são iguais - isto é, mostre que ∂lc/∂v = ∂kc/∂w. Use esse fato para mostrar que
slelc,v = skekc,w, onde sl e sk são, respectivamente, a proporção de trabalho no
custo total (wl/C) e de capital no custo total (vk/C).
(d) Use os resultados dos itens (b) e (c) para mostrar que slelc,w + skekc,w = 0.
(e) Interprete essas variadas relações de elasticidades em palavras e discuta sua
relevância, em geral, para uma teoria geral de demanda por insumos.
(a) As funções do exemplo 10.2 são:
q = min(aK, bL) (1)
q = KαLβ (2)
q = (Kρ + Lρ)
γ
ρ (3)
Função (1) - proporções fixas: Do exemplo 10.2, temos que as demandas pelos insumos são
dadas por
Kc =
q
a
e Lc =
q
b
Neste caso, como ∂Lc
∂w
= ∂Kc
∂v
= 0, temos eLc,w = eKc,v = 0
Função (2) - Cobb-Douglas: Do exemplo 10.2, temos que as demandas pelos insumos são
dadas por
Kc = q
1
α+β
(
α
β
wv
) β
α+β
e Lc = q
1
α+β
(
α
β
v
w
) α
α+β
Neste caso,
eLc,w = β − 1 e eKc,v = β − β
α
Função (3) - CES: O exemplo 10.2 não nos dá as demandas pelos insumos que saem de
uma função de produção CES, mas felizmente nós já achamos essas funções no item (d) da
questão (6). Note que na questão 6 havia parâmetros adicionais na função (a e b), enquanto
aqui na equação (3) esses parâmetros não foram inclúıdos. Então basta pegar as expressões
que achamos na questão 6 e substituir a = 1 e b = 1:
Kc = q
1
γ
(
1
1− σ
)[
v1−σ + w1−σ] σ
1−σ v−σ
Lc = q
1
γ
(
1
1− σ
)[
v1−σ + w1−σ] σ
1−σ w−σ
13
eLc,w = σ[(v1−σ + w1−σ)−1w1−σ − 1] e eKc,v = σ[(v1−σ + w1−σ)−1v1−σ − 1]
(conta super chatinha mas dá pra fazer, se quiser o passo-a-passo me mande um email)
(b) As funções de demanda por insumos são homogêneas de grau zero nos preços. Então, o
teorema de Euler implica que
∂Lc
∂w
w +
∂Lc
∂v
v = 0
Basta dividir a expressão acima por Lc e aplicar a definição das elasticidades-preço para
obter
eLc,w + eLc,v = 0
(c) Pelo Lema de Shephard, sabemos que:
Lc =
∂C
∂w
e Kc =
∂C
∂v
Logo,
∂Lc
∂v
=
∂
∂v
(
∂C
∂w
)
=
∂2C
∂v∂w
∂Kc
∂w
=
∂
∂w
(
∂C
∂v
)
=
∂2C
∂w∂v
Pelo teorema de Young (fxy = fyx), provamos que ∂Lc/∂v = ∂Kc/∂w. Partindo da igualdade
∂Lc/∂v = ∂Kc/∂w, basta multiplicar ambos os lados por vw/C e por 1:
vw
C
Lc
Lc
∂Lc
∂v
=
vw
C
Kc
Kc
∂Kc
partialw
wLc
C
(
∂Lc
∂v
v
Lc
)
=
vKc
C
(
∂Kc
∂w
w
Kc
)
sLeLc,v = sKeKc,w
(d) Do item (b), temos eLc,w + eLc,v = 0. Multiplicando ambos os lados por sL obtemos
sLeLc,w + sLeLc,v = 0
Do item (c), temos sLeLc,v = sKeKc,w. Basta substituir essa igualdade na expressão acima e
obtemos
sLeLc,w + sKeKc,w = 0
(e)
• No item (b) provamos que eLc,w = −eLc,v, implicando que a reação da demanda por
trabalho a um aumento de 1% no salário é precisamente o negativo da reação da
demanda por trabalho a um aumento de 1% na taxa de aluguel do capital.
• No item (d) mostramos que sLeLc,w = −sKeKc,w, o que implica uma relação linear
entre eKc,w e eLc,w, mediada por sK e sL.
Essas relações são úteis porque podem ser verificadas em trabalhos emṕıricos, permitindo
que tentemos corroborar a teoria.
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8. (Exerćıcio 10.12 do Nicholson Ed. 10) Muitos estudos emṕıricos sobre custos
reportam uma definição alternativa da elasticidade de substituição entre insu-
mos. Essa definição alternativa foi proposta inicialmente por R. G. D. Allen nos
anos 1930 e depois esclarecida por H. Uzawa nos anos 1960. Essa definição baseia-
se diretamente na elasticidade de substituição baseada na função de produção
definida na nota de rodapé 6 do Caṕıtulo 9: Ai,j = CijC/CiCj, onde os subscritos
indicam a diferenciação parcial em relação aos vários preços dos insumos. Cla-
ramente, a definição de Allen é simétrica.
(a) Mostre que Ai,j = exci ,wj/sj, onde sj é a proporção do insumo j no custo total.
(b) Mostre que a elasticidade de si em relação ao preço do insumo j está relaci-
onada à elasticidade de Allen por esi,pj = sj(Ai, j − 1).
(c) Mostre que, com apenas dois insumos, Ak,l = 1 para o caso Cobb-Douglas e
Ak,l = σ para o caso CES.
(d) Leia Blackorby e Russell (1989: ”Will the Real Elasticity of Substitution
Please Stand Up?”) para ver porque a definição de Morishima é perferida para
a maior parte dos propósitos.
Antes de qualquer coisa, vamos interpretar este novo conceito da elasticidade de substi-
tuição. Primeiro, é importante observar que ele parte da função custo, C, e não da função
de produção. Além disso, note que aqui estamos lidando com um caso de n insumos
{x1, x2, ..., xn}, por isso os subscritos i e j ao invés de subscritos K e L. Assim, um jeito de
escrever esse novo conceito de elasticidade de substituição entre um par de insumos xi e xj é
Ai,j =
Ci,jC
CiCj
=
(
∂2C
∂pi∂pj
)
C
∂C
∂pi
∂C
∂pj
(a) Pelo Lema de Shephard,
xci =
∂C
∂wi
= Ci
Logo,
exci ,wj =
∂xci
∂wj
wj
xci
=
∂2C
∂wj∂wi
wj
xci
= Cij
wj
Ci
Além disso,
sj =
wjx
c
j
C
=
wjCj
C
Como já temos exci ,wj e sj, podemos provar que
exci ,wj
sj
= Cij
wj
Ci
C
wjCj
=
CijC
CiCj
= Ai,j
(b) A elasticidade de si em relação a wj, o preço do insumo j, é dada por:
esi,wj =
∂si
∂wj
wj
si
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O que é uma conta muito longa e chata. Primeiro vamos achar ∂si/∂wj:
∂si
∂wj
=
∂(wiCi/C)
∂wj
= wi
∂(Ci/C)
∂wj
= wi
CjiC − CiCj
C2
Agora, vamos achar wj/si
wj
si
=
wj
wiCi/C
=
wjC
wiCi
Finalmente, podemos calcular esi,wj :
esi,wj =
(
wi
CjiC − CiCj
C2
)(
wjC
wiCi
)
=
CjiC − CiCj
C
wj
Ci
=
CjiC − CiCj
Ci
wj
C
Cj
Cj
=
CjiC − CiCj
CiCj
(
wjCj
C
)
= (Aij − 1)sj
Em que a última igualdade decorre de que, pelo lema de Shephard, Cj = xcj
(c) No caso Cobb-Douglas, a função custo (ver exemplo 10.2) é
C = q
1
α+β (α + β)α
−α
α+β β
−β
α+β v
α
α+βw
β
α+β
A conta é grande e eu a omito, mas calculando CL, CK e CKL, obteŕıamos AKL = 1.
No caso CES, a função custo é dada por (de novo, ver exemplo 10.2)
C = q
1
γ (v1−σ + w1−σ)
1
1−σ
Eu novamente omito as contas necessárias para achar CK , CL e CKL, mas obteŕıamos AKL =
σ
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