Campo Elétrico e Distribuição de Cargas

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Aula-2 
O campo elétrico 
Curso de Física Geral III - F-328 
2º semestre, 2015 
F328 – 2S20125 1 
nFFFF 002010 ...
!!!!
+++=
 Pelo princípio da superposição, vimos que a força que um 
conjunto de cargas puntiformes q1, q2,...., qn exerce sobre uma carga 
de prova q0 é dada por: 
 

F0 =
1
4πε0i=1
n
∑ q0qi
r0i
2 r̂0i
 
r̂0i =
r0i
| r0i |
≡
r0 −
ri
| r0 −
ri |
que pela lei de Coulomb se escreve como , 
onde 
 Assim, podemos definir um grandeza , i
i
i
n
i
r
r
q
q
FE 02
01 00
0 ˆ
4
1∑
=
=≡
πε
!
!
que só depende da distribuição das cargas q1, q2,...., qn e das suas 
distâncias ao ponto onde q0 se encontra. 
, 
•
O 
0r
!
irr !! −0
ir
!
•
iq
0q
O Campo Elétrico 
F328 – 2S20125 2 
 

E ≡

F0
q0
= 1
4πε0i=1
n
∑ qi
r0i
2 r̂0i
 O campo elétrico devido a uma distribuição discreta de cargas 
q1, q2,..., qn em um dado ponto é dado por: 0r
!
 Para medir o campo devido à distribuição de cargas, devemos 
medir a força exercida por esse conjunto de cargas sobre uma carga 
de prova q0 e dividir pelo próprio valor de q0. Para que não haja 
influência da carga de prova sobre a distribuição de cargas, a carga 
q0 deve ser a menor possível. 
 Ou seja: 
O Campo Elétrico 
F328 – 2S20125 3 
 

E ≡ lim
q0→0

F0
q0
Campo Elétrico vs Campo Gravitacional 
F328 – 2S20125 4 
 Podemos fazer uma analogia entre o campo gravitacional e o 
campo elétrico. 
2 ˆG
MF G m r
r
= −
r No caso da Terra, ou seja 
uma distribuição fixa de 
massa, teremos: 
Força Gravitacional 
 
!
FG =
!
P = m GM Terra
RTerra
2 r̂
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= m!g
 

FE = k
Qq
r2
r̂
Numa distribuição fixa de 
cargas (veja figura abaixo) 
Força Eletrostática 
 
!
FE = q k qi
ri
2 r̂i
i=1
4
∑
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= q
!
E
 

F1
 

F2
 

Fn
 qn
 q2
 q1
 q
 
g
Campo 
Gravitacional 
 

E
Campo 
Elétrico 
As linhas de força são linhas a partir das quais pode-se visualizar a 
configuração do campo elétrico de uma dada distribuição de cargas no 
espaço. Elas são traçadas de forma que: 
 a) A tangente a cada ponto da linha é a direção do campo elétrico; 
b) O número de linhas por 
unidade de área de uma superfície 
perpendicular à direção das linhas 
é proporcional ao módulo do 
campo; 
c) As linhas saem das cargas 
positivas e chegam nas cargas 
negativas. 
 Duas linhas de campo nunca 
se cruzam. 
Linhas de Força 
F328 – 2S20125 5 http://www.youtube.com/watch?v=7vnmL853784 
Um dipolo elétrico 
,...21 nEEEE
!!!!
+++=
Dada uma distribuição de cargas, o campo 
elétrico criado pela distribuição em 
qualquer ponto do espaço é dado pelo 
princípio da superposição : 
Duas cargas iguais 
Cargas +2q e –q 
onde é o campo criado por cada 
parte individual da distribuição. 
iE
!
Linhas de Força 
F328 – 2S20125 6 http://www.falstad.com/emstatic/index.html 
Q1 - Moodle 
7 F328 – 2S20125 
r
r
q
E ˆ
4
1
2
0πε
=
!
 Dipolo elétrico 
 Carga puntiforme 
Ao longo da linha que une as 
cargas e para z >> d : 
3
0
)()( 2
1
z
pEEE
πε
≈−= −+
onde p é o módulo do momento 
de dipolo elétrico dado por: 
dqp
!! ≡
 , 
Alguns Campos Elétricos Importantes 
F328 – 2S20125 8 
∫ ′
′−
′
=
)ou,(
2
0
),(ˆ
||
)(
4
1)(
LSV
rru
rr
rdqrE !!
!!
!
!!
πε
||
),(ˆonde
rr
rrrru
′−
′−≡′ !!
!!
!!
r ′!
ŷ
x̂
ẑ
rr ′− !!
r!
P ),( rrEd ′!!
!
)(rdq ′!
),( rrEd ′!!
!
Distribuição Contínua de Cargas 
F328 – 2S20125 9 
dA
dq=σ:erficialsupdensidade
dV
dq=ρ:ca volumétridensidade
dldq λ=:ou
dq
dl
dq=λ:linear densidade
dAdq σ=:ou
dVdq ρ=:ou
dq
dq
Distribuição Contínua de Cargas 
F328 – 2S20125 10 
Campo devido a um anel uniformemente carregado com 
carga q: 
 Ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel e que 
passa pelo seu centro o campo é dado por: 
x
ax
qxE ˆ
)(4 2/322
0 +
=
πε
!
 Note que em pontos bem longe do 
anel (x >> a): 
x
x
qE ˆ
4 2
0πε
≈
!
(campo semelhante ao de uma carga puntiforme) 
Ed
!
Distribuição Contínua de Cargas 
F328 – 2S20125 11 
 Campo devido a uma haste isolante em 
forma de arco circular uniformemente 
carregada com carga –Q 
x
r
QE ˆ
4
83,0
2
0πε
≈
!
 No centro do arco circular de raio r o campo é 
dado por: 
Distribuição Contínua de Cargas 
F328 – 2S20125 12 
Campo devido a um disco de raio R uniformemente 
carregado com densidade superficial de carga σ. 
 Ao longo do eixo perpendicular ao plano do disco e que passa 
pelo seu centro o campo é dado por: 
x
Rx
x
x
xE ˆ
)(||2 2/122
0
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
−=
ε
σ!
 Note que se R >> x (ou plano infinito) : 
x
x
xE ˆ
||2 0ε
σ≈
!
Ed
!
Distribuição Contínua de Cargas 
F328 – 2S20125 13 
Distribuição Contínua de Cargas 
14 F328 – 2S20125 
Campo no interior de uma casca esférica com distribuição uniforme de 
carga: Em qualquer ponto no interior de uma distribuição esférica 
uniforme de carga, o campo elétrico é nulo. 
Considere o campo elétrico produzido no ponto P por uma 
superfície esférica de raio R carregada com carga +Q (densidade 
superficial uniforme σ). Usando a relação entre o ângulo sólido 
e as áreas infinitesimais dA1 e dA2 podemos concluir que: 
dA1 = r1
2dΩ, dA2 = r2
2dΩ
dE1 =
1
4πε0
σdA1
r1
2 = 1
4πε0
σdΩ
4π
= 1
4πε0
σdA2
r2
2 = dE2
Sendo assim o módulo dos campos infinitesimais dE1 e dE2 serão: 
Como os campos têm a mesma direção e sentido opostos a soma deles no ponto P é zero. 
Podemos estender esse argumento para toda a área da esfera o que resulta num campo 
nulo dentro da superfície esférica. 
As componentes dEz cancelam-se por simetria e 
Fio infinito com densidade de carga linear 
Ed
!
xdE
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
dz 
dE = 1
4πε0
dq
r 2 = 1
4πε0
λdz
z2 + x2
θcosdEdEx =
=== ∫∫
+∞
∞−
θcosdEdEE xx
θ
πε
λθ cos
2
cos2
0
22
00
∫∫
∞∞
+
==
xz
dzdE
x
ztg =θ
θθ dxdz 2sec=
θθ 222222 sec)1( xtgxzx =+=+
Substituindo estas duas relações no integrando acima, tem-se: 
x
sen
x
d
x
E
0
2/
0
0
2/
00 2
][
2
cos
2 πε
λθ
πε
λθθ
πε
λ π
π
=== ∫
∴
Contribuição dE devida ao elemento de carga dq (=λdz): 
Faz-se: 
zdE
θ
r 
x 
P 
x 
z 
z 
F328 – 2S20125 15 
Eq
dt
rdmF
!!!
== 2
2
Experiência de Millikan: 
O peso de uma gotícula carregada 
pode ser equilibrado pela ação de 
um campo elétrico. A condição de 
equilíbrio é: 
qEgR =ρπ 3
3
4
C106,1 19−×=e,...2,1onde, ±±== nneq
Movimento de uma carga num campo elétrico 
F328 – 2S20125 16 
http://www.youtube.com/watch?v=UFiPWv03f6g 
Impressora de jato de tinta 
Mantém-se o campo elétrico 
fixo e varia-se a carga da gota 
de tinta. 
2
0
2
0 2mv
QELyy =−
tvL
t
m
QEtayy
0
22
0 2
1
2
1
=
==−
Eliminando-se t nas duas 
equações, obtém-se a deflexão 
vertical da gota em x=L: 
Movimento de uma carga num campo elétrico 
F328 – 2S20125 17 
Torque 
θθθτ sinsinsin pEqEdFd ===
Ep
!!! ×=τ
Energia potencial 
( ) ( ) ( )00 coscos
0
θθθτθθ
θ
θ
−−===− ∫ pEdWUU
EpU
!! ⋅−=
Se escolhermos 
20
πθ = : 
Dipolo num campo elétrico uniforme 
F328 – 2S20125 18 
Forno de micro-ondas 
Dipolo num campo elétrico 
F328 – 2S20125 19 
 Se a molécula de água não fosse polar, o forno de microondas não 
funcionaria para aquecer alimentos que contêm essa substância... 
Lista de exercícios – Capítulo 22 
F328 – 2S20125 20 
Os exercícios pares do Livro texto capítulo Circuitos: 
 
Consultar: 
https://www.ggte.unicamp.br/ea/moodle/login/index.php 
Aulas gravadas: 
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) 
 ou 
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin) 
• Informações complementares