Produtos Notáveis em Matemática

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3o bimestre – Aula 3
Ensino Médio
Desenvolvimento de produtos notáveis –
Parte 2
Matemática
● Produtos notáveis. ● Determinar o produto da soma pela 
diferença de dois termos;
● Determinar o cubo da soma e 
diferença de dois termos.
Atividade Inicial 
ORGANIZADORES
DO CONHECIMENTO
O trinômio é um polinômio que possui três termos não semelhantes. A seguir, utilize a 
estratégia do trinômio do quadrado perfeito e fatore os polinômios.
i) p2 + 2pq + q2
ii) y2 + 6y + 9
Aprender Sempre (2022), Caderno do Aluno, SA 1, Aulas 3 e 4, Ativ. 7, p. 120.
5 MINUTOS
CONTINUA
Atividade Inicial – Correção 
O trinômio é um polinômio que possui três termos não semelhantes. A seguir, utilize a 
estratégia do trinômio do quadrado perfeito e fatore os polinômios.
i) p2 + 2pq + q2 = p2 + pq p ∙ p + q+ pq + q2 = + q ∙ p + q =
= p + q ∙ p + q = p + q 2
ii) y2 + 6y + 9 = y2 + 3y + 3y + 32 = y ∙ y + 3 + 3 ∙ y + 3 =
= y + 3 ∙ y + 3 = y + 3 2
Principais casos de fatoração de polinômios TODOS 
JUNTOS
QUADRADO DA SOMA OU DIFERENÇA DE DOIS TERMOS (TRINÔMIO DO QUADRADO PERFEITO)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA (DIFERENÇA DE QUADRADOS)
a + b a − b = a2 − b2
5 MINUTOS
Principais casos de fatoração de polinômios
CUBO DA SOMA OU CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
SOMA OU DIFERENÇA DE CUBOS
a3 + b3 = a + b (a2 − ab + b2)
a3 − b3 = a − b (a2 + ab + b2)
Atividade 1 
Utilizando a estratégia diferença ou soma de dois cubos, fatore os polinômios a seguir.
i) u3 − v3
ii) n3 + 8
FAÇA 
AGORA
Aprender Sempre (2022), Caderno do Aluno, SA 1, Aulas 3 e 4, Ativ. 9, p. 120.
5 MINUTOS
CONTINUA
Atividade 1 – Correção 
Utilizando a estratégia diferença ou soma de dois cubos, fatore os polinômios a seguir.
Aprender Sempre (2022), Caderno do Aluno, SA 1, Aulas 3 e 4, Ativ. 9, p. 120.
i) u3 − v3 = u − v ∙ u2 + u ∙ v + v2
ii) n3 + 8 = n3 + 23 = n + 2 ∙ n2 + 2 ∙ n + 22 = n + 2 ∙ n2 + 2 ∙ n + 4
Atividade 2 
Qualquer expressão algébrica formada pela adição de monômios é denominada de 
polinômio, já os produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios. 
Sendo assim, os itens a seguir são produtos notáveis e em cada item, por meio das 
estratégias de fatoração utilizadas nas atividades anteriores, desenvolva o quadrado da soma 
ou da diferença de dois termos.
I) (u + 2)2
II) (x + 3y)2
III) (3p − 4q)2
IV) (7v − x)2
MOSTRE-ME10 MINUTOS
Aprender Sempre (2022), Caderno do Aluno, SA 1, Aulas 3 e 4, Ativ. 10, p. 120.
CONTINUA
Atividade 2 – Correção 
Qualquer expressão algébrica formada pela adição de monômios é denominada de polinômio, 
já os produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios. Sendo assim, os 
itens a seguir são produtos notáveis e em cada item, por meio das estratégias de fatoração 
utilizadas nas atividades anteriores, desenvolva o quadrado da soma ou da diferença de dois 
termos.
Aprender Sempre (2022), Caderno do Aluno, SA 1, Aulas 3 e 4, Ativ. 10, p. 120.
I) u + v 2 = u + v ∙ u + v = u2 + u ∙ v + v ∙ u + v2 = u2 + 2 ∙ u ∙ v + v2
II) x + 3y 2 = x + 3y ∙ x + 3y = x2 + x ∙ 3y + 3y ∙ x + 3y2 = x2 + 6 ∙ x ∙ y + y2
III) 3p − 4q 2 = 3p − 4q ∙ 3p − 4q = 3p 2 + 3p ∙ −4q − 4q ∙ 3p + −4q 2 =
= 9p2 − 12pq − 12qp + 16q2 = 9p2 − 24pq + 16q2
IV) 7v − x 2 = 7v − x ∙ 7v − x = 7v 2 + 7v ∙ −x − x ∙ 7v − x ∙ −x =
49v2 − 7vx − 7xv + x2 = 49v2 − 14vx + x2
Demonstre geometricamente a igualdade (a − b)2= a2 − 2ab + b2, 
partindo de um quadrado de lado a, conforme mostra a figura.
OBSERVAÇÃO 
ATIVA
Material de apoio ao currículo do Estado de São Paulo (2014), Caderno do Professor; Ativ.10, p. 58.
a
a
b
b
a − b
F
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C
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(2
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1
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),
 p
.5
8
.
CONTINUA
10 MINUTOS
A área do quadrado interno de lado a − b vale (a − b)2. Ela equivale à área do quadrado 
maior (a)2, subtraída das áreas dos retângulos de lados a e b (a ∙ b). Contudo, é preciso 
adicionar a área do quadrado de lado b (b2), pois ele foi retirado duas vezes ao subtrairmos 
os retângulos do quadrado maior. Essa operação pode ser visualizada geometricamente na 
figura a seguir:
F
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),
 p
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9
.
Correção 
(a − b)2
a2 a.b
a.b b2= − +
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
A
B
C
D
E
2
3
4
5
7
FUVEST – 1987 (adaptado): A diferença entre o cubo da soma de 
dois números inteiros e a soma de seus cubos é um múltiplo de:
MOSTRE-ME
10 MINUTOS
CONTINUA
A
B
C
D
E
2
3
4
5
7
Correção – FUVEST – 1987 (adaptado): A diferença entre o cubo da soma de dois 
números inteiros e a soma de seus cubos é um múltiplo de:
Resposta: B
a + b 3 a3 + 3 ∙ a2∙b + 3 ∙ a ∙ b2 + b3
= 3 ∙ a2 ∙ b + 3 ∙ a ∙ b2 =
− a3 + b3 = −a3 − b3 =
3 ∙ a ∙ b ∙ a + b
Desenvolvimento de produtos notáveis – Parte 2
● Vimos os principais tipos de fatoração de polinômios;
● Aplicamos as técnicas de produtos notáveis nos seguintes casos: quadrado da soma de 
dois termos, quadrado da diferença de dois termos, diferença de quadrados de dois 
termos, cubo da soma e da diferença de dois termos;
● Conhecemos a forma de fatorar a soma e a diferença dos cubos de dois termos.
Referências Bibliográficas:
LEMOV, D. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 
2018.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre, 2023. Caderno do Professor, 
Matemática, 1a à 3a série do Ensino Médio, v. 2 – parte 1. Disponível em: 
efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/10/EM-MT-Professor-Vol2-Parte-I-
Ebook_credito-novo.pdf. Acesso em: 12 maio 2024.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre, 2023. Caderno do Aluno, Língua 
Portuguesa e Matemática, v. 2. Disponível em: Cópia-de-EM-1ª-Série-Vol-2-Ebook.pdf 
(educacao.sp.gov.br). Acesso em: 12 maio 2024.
Lista de Imagens e vídeos
Slides 11 e 12 – Material de Apoio ao Currículo Do Estado de São Paulo: Caderno do Professor, 
Matemática, 2014, p. 58 e 59. Disponível em: https://encr.pw/F0JG9.
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/10/EM-MT-Professor-Vol2-Parte-I-Ebook_credito-novo.pdf
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/10/EM-MT-Professor-Vol2-Parte-I-Ebook_credito-novo.pdf
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/06/C%C3%B3pia-de-EM-1%C2%AA-Se%CC%81rie-Vol-2-Ebook.pdf
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/06/C%C3%B3pia-de-EM-1%C2%AA-Se%CC%81rie-Vol-2-Ebook.pdf
https://encr.pw/F0JG9
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3: Atividade Inicial 
	Slide 4: Atividade Inicial – Correção 
	Slide 5: Principais casos de fatoração de polinômios
	Slide 6: Principais casos de fatoração de polinômios
	Slide 7: Atividade 1 
	Slide 8: Atividade 1 – Correção 
	Slide 9: Atividade 2 
	Slide 10: Atividade 2 – Correção 
	Slide 11
	Slide 12: Correção 
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15: Desenvolvimento de produtos notáveis – Parte 2
	Slide 16
	Slide 17