Sequência e Progressão Aritmética

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
SEQUÊNCIA E PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
Prof. Wellington Nishio 
SEQUÊNCIA NUMÉRICA E PROGRESSÃO 
ARITMÉTICA 
 
Sequência Numérica 
Uma sequência numérica pode ser definida como uma 
função dos números naturais menos o zero em R: 
*
i
f : N R
i a
→
→
 
Uma sequência numérica é finita se o domínio de f é 
finito, isto é, i varia de 1 a n, com n pertencente ao 
conjunto dos naturais. 
Uma sequência numérica é infinita se o domínio de f é 
o próprio conjunto dos números naturais. 
Os termos da sequência são as imagens de f. 
Uma sequência finita pode ser representada da 
seguinte forma: (a1, a2, a3, ..., an). 
Uma sequência infinita pode ser representada da 
seguinte maneira: (a1, a2, a3, ..., ai, ...). 
Exemplo: 
1) (1, 2, 3, 4, 6, 12) é uma sequência finita. 
2) (-1, 0, 1, 2, ...) é uma sequência infinita. 
 
Lei de Formação 
As leis de formação podem ser apresentadas das 
seguintes formas: 
• Por recorrência: são dadas duas regras: uma que 
define o primeiro termo da sequência e outra para 
calcular os demais termos a partir de antecessores. 
• Pelo termo geral: é dada uma fórmula que 
generaliza qualquer termo dependendo apenas da sua 
posição. 
• Pela propriedade dos termos: é dada uma 
determinada propriedade que forma a sequência de 
números. 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
Definição: É uma sequência numérica em que cada 
termo, a partir do segundo, é igual ao seu antecessor 
somado a um número fixo (constante), denominado de 
razão da progressão indicada pela letra r. 
Exemplos: 
1) (-2, 0, 2, 4, ...) é uma P.A de razão r = 2. 
2) (0, -1, -2, -3, ...) é uma P.A de razão r = -1. 
3) (7, 7, 7, 7,...) é uma P.A de razão r = 0. 
 
Classificação da Progressão Aritmética 
• Crescente: quando a razão da P.A é positiva (r > 0). 
• Decrescente: quando a razão da P.A é negativa 
(r < 0). 
• Constante: quando a razão da P.A é nula (r = 0). 
 
Termo Geral de uma PA 
 
 
 
A expressão é denominada termo geral da PA. 
Nesta fórmula, temos que: 
- an é o termo de ordem n (n-ésimo termo); 
- r é a razão; e 
- a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA. 
 
 
 
 
Notações Especiais 
• PA com 3 termos: (x – r, x, x + r) 
• PA com 4 termos: (x – 3k, x – k, x + k, x + 3k); com 
k = 2r 
• PA com 5 termos: (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r) 
• (a, b, c, d, e): 𝐜 =
𝒃 + 𝒅
𝟐
 ou 𝐜 =
𝒂 + 𝒆
𝟐
 
• (a, b, c, d, e, f): a + f = b + e = c + d 
• an = ak + (n – k).r 
 
Interpolação Aritmética 
Interpolar meios aritméticos entre dois números dados 
é acrescentar números entre estes que são 
conhecidos, de forma que a sequência numérica 
formada seja uma P.A. 
 
Soma dos n primeiros termos de uma PA 
 
 
 
 
 
 
Observação: Progressão Aritmética de Segunda 
Ordem 
Uma PA de segunda ordem é uma PA na qual a 
diferença entre os números é outra PA. 
Exemplo: Considere a disposição de números abaixo. 
 
O primeiro elemento da quadragésima linha é: 
a) 777. b) 778. c) 779. d) 780. e) 781. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (EEAr – 2001) Se os ângulos internos de um 
triângulo estão em PA(progressão aritmética) e o 
menor deles é a metade do maior, então o valor do 
maior ângulo, em graus, é: 
a) 80 
b) 90 
c) 100 
d) 120 
 
2. (EEAr – 2001) Na sequência (1, 1, 2, 3, ...), onde 
an+1 = an + an-1 o nono termo é: 
a) 34 
b) 21 
c) 43 
d) 28 
 
3. (EEAr – 2001) Numa progressão aritmética, o 
primeiro termo é 10x – 9y, o último termo é y, e a razão 
é y – x. Sendo x ≠ y, o número determos dessa P.A. é 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
an = a1
 
+ (n – 1).r 
𝑺𝒏 =
(𝒂𝟏 + 𝒂𝒏). 𝒏
𝟐
 
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4. (EEAr – 2002) A soma dos vinte primeiros termos da 
PA cujo termo geral tem para expressão an = 3n + 5 
a) 657 
b) 730 
c) 803 
d) 1460 
 
5. (EEAr – 2002) Se (x + 3, 2x – 1, x + 5) é uma P.A., 
então a soma dos três termos dessa P.A. é 
a) –13 
b) 15 
c) 19 
d) 27 
 
6. (EEAr – 2002) Ao se efetuar a soma de 50 primeiras 
parcelas da P.A.: 202 + 206 + 210 + ..., por distração, 
não foi somada a 35ª parcela. A soma encontrada foi 
a) 10.200 
b) 12.585 
c) 14.662 
d) 16.419 
 
7. (EEAr – 2003) A soma dos 9 primeiros termos de 
uma P.A. de razão 2 é nula. Assim, pode-se afirmar que 
seu sexto termo é igual a 
a) 0 
b) 2 
c) 6 
d) 7 
 
8. (EEAr – 2004) O quinto termo de uma P.A. vale 23, 
e o décimo segundo termo é – 40. O primeiro termo 
negativo dessa P.A. é o 
a) sétimo. 
b) oitavo. 
c) nono. 
d) décimo. 
 
9. (EEAr – 2004) Numa P.A., o 10º termo e a soma dos 
30 primeiros termos valem, respectivamente, 26 e 
1440. A razão dessa progressão é: 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 6. 
 
10. (EEAr – 2000) Dada a função f(x) definida para todo 
n inteiro, e sabendo-se que f(0) = 1 e 
f(n + 1) = f(n) + 2, o valor de f(200) é: 
a) 201 
b) 401 
c) 2002 + 1 
d) 1.020.000 
 
11. (EEAr – 2005) A quantidade de números naturais, 
compreendidos entre 100 e 300, que não são divisíveis 
por 3, é: 
a) 136. b) 133. c) 130. d) 127. 
 
12. (EEAr – 2005) A soma dos números múltiplos de 7, 
compreendidos entre 20 e 300, é: 
a) 6250 
b) 6300 
c) 6350 
d) 6400 
13. (EEAr – 2006) A soma dos 10 primeiros termos de 
uma P.A., cujo termo geral é dado pela expressão 
ak = 3k – 16, é: 
a) 5. 
b) 14. 
c) 18. 
d) – 6. 
 
14. (EEAr – 2010) Inscrevendo-se nove meios 
aritméticos entre 15 e 45, obtém-se uma PA cujo sexto 
termo é 
a) 25 
b) 30 
c) 33 
d) 42 
 
15. (EEAr – 2013) As medidas dos ângulos internos de 
um triângulo formam uma P.A. Assim, independente do 
valor da razão, pode-se afirmar que um desses ângulos 
mede 
a) 30º 
b) 45º 
c) 60º 
d) 90º 
 
16. (EEAr – 2013) Na PA decrescente (18, 15, 12, 9, ...) 
o termo igual a -51 ocupa a posição 
a) 30 
b) 26 
c) 24 
d) 18 
 
17. (EEAr – 2015) Quatro números estão em PA de 
razão 3. Se o primeiro termo somado ao último é igual 
a 19, então o primeiro termo é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
18. (EEAr – 2016) A progressão aritmética, cuja 
fórmula do termo geral é dada por an = 5n -18, tem 
razão igual a 
a) -5 
b) -8 
c) 5 
d) 8 
 
19. (EEAr – 2017) Considere esses quatro valores 
x, y, 3x, 2y em PA crescente. Se a soma dos extremos 
é 20, então o terceiro termo é 
a) 9 
b) 12 
c) 15 
d) 18 
 
20. (EEAr - 2018) As medidas, em cm, dos lados de um 
pentágono estão em Progressão Aritmética(PA). Se o 
perímetro desse polígono é 125 cm, o terceiro elemento 
da PA é 
a) 25 
b) 30 
c) 35 
d) 40 
 
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21. (EEAr – 2018) Os quatro primeiros termos da 
sequência definida por an = (-1)n.n + 1, n  N*, são tais 
que 
a) formam uma PA de razão 4 
b) formam uma PG de razão 2 
c) a1 + a2 = a2 + a4 
d) a1 + a2 = a3 + a4 
 
22. (EEAr - 2020) As casas de uma rua foram 
numeradas em ordem crescente segundo as regras: os 
números formam uma P.A. de razão 5; cujo primeiro 
termo é 1; as casas à direita são ímpares e as à 
esquerda, pares. Assim, se Tiago mora na 3ª casa do 
lado esquerdo, o nº da casa dele é 
a) 26 b) 31 c) 36 d) 41 
 
23. (EEAr – 2020) Para se preparar para uma 
competição, João passará a ter a seguinte rotina diária 
de treinos: no primeiro dia correrá 5 km e, a partir do 
segundo dia, correrá 200 m a mais do que correu no dia 
anterior. Assim, a distância total que João correu nos 
10 primeiros dias de treino foi de ________km. 
a) 56,4 b) 57,8 c) 59,0 d) 60,2 
 
24. (EEAr – 2022) Pedro é um tenista profissional que 
vem treinando 120 saques por dia. Porém, a partir de 
amanhã, a cada dia de treino ele fará 5 saques a mais 
que no treino anterior. Se o objetivo de Pedro é alcançar 
o dia em que treinará 180 saques, ele conseguirá isso 
no ____ dia de treino, considerando hoje o primeiro dia. 
a) 10º b) 12ºc) 13º d) 15º 
 
25. (EEAr – 2022) Em uma P.A., a1 + a10 = 50 e 
a5 = 23. A razão dessa sequência é 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 
 
26. (EsSA – 2009) Numa progressão aritmética(PA) de 
nove termos, a soma dos dois primeiros termos é igual 
a 20 e a soma do sétimo e oitavo termos é 140. A soma 
de todos os termos desta PA é 
a) S9 = 405 
b) S9 = 435 
c) S9 = 320 
d) S9 = 395 
e) S9 = 370 
 
27. (EsSA – 2010) O número mínimo de termos que 
deve ter a PA (73, 69, 65, …) para que a soma de seus 
termos seja negativa é 
a) 18 
b) 19 
c) 20 
d) 37 
e) 38 
 
28. (EsSA – 2012) Em uma progressão aritmética, o 
primeiro termo é 5 e o décimo primeiro termo é 45. 
Pode-se afirmar que o sexto termo é igual a 
a) 15. 
b) 21. 
c) 25. 
d) 29. 
e) 35. 
 
29. (EsSA – 2014) Em um treinamento de 
condicionamento físico, um soldado inicia seu primeiro 
dia correndo 800 m. No dia seguinte corre 850 m. No 
terceiro 900 m e assim sucessivamente até atingir a 
meta diária de 2.200 m. Ao final de quantos dias, ele 
terá alcançado a meta? 
a) 31 
b) 29 
c) 27 
d) 25 
e) 23 
 
30. (EsSA – 2016) Em uma Progressão Aritmética com 
6 termos, temos que a soma de seus termos é igual a 
102 e seu último termo é 27. Com base nessas 
informações, a razão dessa progressão é: 
a) 3 
b) 5 
c) 11 
d) 4 
e) 7 
 
31. (EsSA – 2018) Em uma Progressão Aritmética, o 
décimo termo vale 16 e o nono termo é 6 unidades 
maior do que o quinto termo. Logo, o décimo segundo 
termo vale: 
a) 17,5 b) 16,5 c) 19,5 d) 19,0 e) 17,0 
 
32. (EsSA – 2022) Em um determinado quartel, o 
comandante determinou que, no primeiro dia de 
treinamento da nova turma, os recrutas deveriam 
realizar 20 flexões de braço e aumentar 5 flexões por 
dia ao longo do curso. Mantida essas condições, em 2 
meses, quantas flexões cada recruta terá executado? 
(Considere o mês com 30 dias) 
a) 10.500 
b) 8.225 
c) 2.805 
d) 3.350 
e) 10.050 
 
33. (EsPCEx – 2001) Uma progressão aritmética tem 
razão r = -10, sabendo que seu 100º (centésimo) termo 
é zero, pode-se afirmar que seu 14º (décimo quarto) 
termo vale: 
a) 120 b) 990 c) 860 d) 130 e) 870 
 
34. (EsPCEx – 2002) Na tabela abaixo, em que os 
números das linhas 1 e 2 encontram-se em progressão 
aritmética, seja n o número da coluna em que pela 
primeira vez o número bn da linha 2 é maior que o an da 
linha 1. 
 
A soma dos algarismos de n é 
a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9 
35. (EsPCEx – 2003) Se Sn = 1 – 2 + 3 – 4 + ... 
+ (–1)n - 1 . n, para todo n inteiro e positivo, então 
3
S2003 
é igual a 
a) 668. b) 567. c) 334. d) 424. e) 223. 
 
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36. (EsPCEx – 2012) Em uma progressão aritmética, a 
soma Sn de seus n primeiros termos é dada pela 
expressão Sn = 5n2 - 12n, com n  N*. A razão dessa 
progressão é 
a) -2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12 
 
37. (EsPCEx – 2013) Os números naturais ímpares são 
dispostos como mostra o quadro 
 
O primeiro elemento da 43ª linha, na horizontal, é: 
a) 807 b) 1007 c) 1307 d) 1507 e) 1807 
 
38. (EsPCEx – 2015) João e Maria iniciam juntos uma 
corrida, partindo de um mesmo ponto. João corre 
uniformemente 8 Km por hora e Maria corre 6 Km na 
primeira hora e acelera o passo de modo a correr mais 
Km
2
1
cada hora que se segue. Assinale a alternativa 
correspondente ao número de horas corridas para que 
Maria alcance João. 
a) 3 
b) 5 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
 
39. (EsPCEx – 2018) Uma fábrica de tratores agrícolas, 
que começou a produzir em 2010, estabeleceu como 
meta produzir 20.000 tratores até o final do ano de 
2025. O gráfico abaixo mostra as quantidades de 
tratores produzidos no período 2010 - 2017. 
 
Admitindo que a quantidade de tratores produzidos 
evolua nos anos seguintes segundo a mesma razão de 
crescimento do período 2010 - 2017, é possível concluir 
que a meta prevista 
a) deverá ser atingida, sendo superada em 80 tratores. 
b) deverá ser atingida, sendo superada em 150 
tratores. 
c) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 1850 
tratores a menos. 
d) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 150 
tratores a menos. 
e) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 80 
tratores a menos. 
 
40. (EsPCEx – 2021) O Cap R. Gomes é um autêntico 
“canga”, isto é, um militar que não apenas coopera com 
os membros de sua equipe, mas estimula superiores, 
pares e subordinados ao bom cumprimento das 
missões. Em particular, ele incentiva um grupo de 
militares a melhorar o desempenho na corrida. Para tal, 
criou um programa de treinamento em que é preciso 
correr exatamente 576 Km no total, começando com 26 
Km na primeira semana e, a partir da segunda, 
acrescentando exatos 4 Km a cada semana, ou seja, 
cada integrante do grupo deve correr exatamente 26 
Km na 1ª semana, 30 Km na 2ª semana, 34 Km na 3ª 
semana e assim sucessivamente. Após quantas 
semanas a meta de 576 Km será atingida? 
a) 10. b) 11. c) 12. d) 13. e) 14. 
 
41. (EsPCEx – 2022) Um grupo de 421 alunos da 
EsPCEx foi organizado para a apresentação de uma 
solenidade militar. Em determinada etapa, esses 421 
alunos se posicionaram em N linhas, de modo que 
havia exatamente: 1 aluno na Linha 1; 2 alunos na 
Linha 2; 4 alunos na Linha 3; 6 alunos na Linha 4; e 
assim sucessivamente. 
Ou seja, para cada número natural K, com 1 < K ≤ N, o 
número de alunos posicionados na Linha K é igual a 
2.(K – 1). 
A figura abaixo ilustra a distribuição dos alunos nas 
quatro primeiras linhas. 
 
Pode-se deduzir, com isso, que o número total de 
linhas, N, é igual a 
a) 18. 
b) 19. 
c) 20. 
d) 21. 
e) 40. 
 
42. (AFA - 2008) Um cão e um gato, ambos parados, 
observam-se a uma distância de 35 m. No mesmo 
instante, em que o cão inicia uma perseguição ao gato, 
este parte em fuga. O cão percorre 2 m no primeiro 
segundo, 4 m no seguinte, 6 m no terceiro segundo e, 
assim, sucessivamente. O gato, apavorado, percorre 3 
m no primeiro segundo, 4 m no seguinte, 5 m no terceiro 
segundo e, assim, sucessivamente. Considerando que 
os dois animais se deslocam sempre sem interrupção 
em seu movimento e numa trajetória retilínea de 
mesmo sentido, assinale a alternativa INCORRETA. 
a) Até o quinto segundo, o cão terá percorrido uma 
distância igual àquela que o separa do gato naquele 
instante. 
b) Ao final dos três primeiros segundos, o cão ainda 
está 35 m distante do gato. 
c) Em dez segundos, o cão alcançará o gato. 
d) No oitavo segundo, o gato percorre 14 metros. 
 
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43. (AFA – 2018) Constrói-se um monumento em 
formato de pirâmide utilizando-se blocos cúbicos: 
 
 
 
Para a formação piramidal os blocos são dispostos em 
uma sequência de camadas, sendo que na última 
camada, no topo da pirâmide, haverá um único bloco, 
como mostra a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na disposição total, foram utilizados 378 blocos, do 
topo à base da pirâmide. 
Havendo necessidade de acrescentar uma nova 
camada de blocos abaixo da base da pirâmide, 
obedecendo à sequência já estabelecida, serão gastos 
x blocos nesta camada. 
A quantidade total de divisores positivos do número x é 
igual a 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
 
44. (AFA – 2019) Considere, no plano cartesiano, a 
figura abaixo, em que os segmentos horizontais são 
paralelos ao eixo Ox e os segmentos verticais são 
paralelos ao eixo Oy 
 
Sabe-se que: 
• os comprimentos de segmentos consecutivos da 
poligonal, que começa na origem O(0,0) e termina em 
Q, formam uma progressão aritmética decrescente de 
razão r e primeiro termo a1 = 1 em que 
1
r 0 ;
15
 
−   
 
 
• dois segmentos consecutivos da poligonal são sempre 
perpendiculares; 
• 1 2 3OA a ,AB a ,BC a ,= = = e, assim sucessivamente, até
16PQ a .= 
Suponha que uma formiga parta da origem O(0,0) e 
percorra a trajetória descrita pela poligonal até chegar 
ao ponto Q. 
Com base nas informações acima, analise as 
proposições abaixo. 
I.Se a1 = 1 e 
1
r ,
16
= − então a distância d percorrida pela 
formiga até chegar ao ponto Q é tal que 
1
17
d a
2
= . 
II. Quando a formiga estiver na posição do ponto L(x, y) 
então x = -6r. 
III. Se a1 = 1 então de A até C, a formiga percorrerá a 
distância d = 2 + 3r. 
Quanto à veracidade das proposições, tem-se 
a) apenas uma delas é verdadeira. 
b) apenas duas são verdadeiras. 
c) todas são verdadeiras. 
d) nenhuma delas é verdadeira. 
 
45. (AFA – 2021) A organização de um festival de 
Rock’n Roll decidiu que os ingressos seriam 
disponibilizados para venda em quantidades 
sequencialmente estabelecidas. 
No 1° dia, foram vendidas 30 caixas com 400 ingressos 
em cada uma. 
No 2° dia de venda em diante, foram disponibilizadas 3 
caixas a mais em cada dia, porém, em cada caixa, do 
total de caixas do dia, havia 10 ingressos a menos. 
O quadro apresenta a sequência até o 4° dia. 
 
A disponibilização diária de ingressos para venda 
seguiu a sequência acima até o 38° dia, último dia de 
vendas. 
Dia a dia, o total de ingressos disponibilizados era 
integralmente vendido a R$ 50,00, cada unidade. 
Sendo assim, o maior valor apurado em um único dia 
de venda de ingressos foi, em reais, de 
a) 924000 
b) 931500 
c) 937500 
d) 938100 
 
46. (EFOMM - 2005) Se o 5º número de uma P.A. de 9 
termos é 16, então a soma de seus termos será: 
a) 76 
b) 96 
c) 144 
d) 176 
e) 196 
 
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47. (EFOMM - 2009) Todos os anos uma fábrica 
aumenta a produção em uma quantidade constante. No 
5º ano de funcionamento, ela produziu 1460 peças, e 
no 8º ano, 1940. Quantas peças, então, ela produziu no 
1º ano de funcionamento? 
a) 475 
b) 520 
c) 598 
d) 621 
e) 820 
 
48. (EFOMM - 2009) Em uma progressão aritmética 
cujo números de termos é ímpar a soma dos termos de 
ordem ímpar é 573, e a soma dos termos de ordem par 
é 549. Quanto vale a soma de dois termos 
equidistantes dos extremos dessa progressão? 
a) 12 b) 24 c) 48 d) 56 e) 68 
 
49. (EFOMM - 2013) Os múltiplos de 5 são escritos na 
disposição abaixo: 
 
Caso esse padrão seja mantido indefinidamente, com 
certeza o número 745 pertencerá à 
a) primeira coluna 
b) segunda coluna 
c) terceira coluna 
d) quarta coluna 
e) quinta coluna 
 
50. (EFOMM - 2010) A expressão 6.n + n2 representa a 
soma dos n primeiros termos de uma sequência 
numérica. É correto afirmar que essa sequência é uma 
progressão 
a) aritmética de razão 3. 
b) aritmética de razão 4. 
c) aritmética de razão 2. 
d) geométrica de razão 4. 
e) geométrica de razão 2. 
 
51. (EFOMM - 2011) Sabendo-se que f(0) = 3 e 
f(n + 1) = f(n) + 7, então f(201) é igual a: 
a) 1206 
b) 1307 
c) 1410 
d) 1510 
e) 1606 
 
52. (EFOMM – 2021) Observe as progressões 
aritméticas a seguir e assinale a alternativa que 
representa o sexagésimo primeiro número a se repetir 
em ambas as progressões. 
-1, 3, 7,11,15, ... 
1, 4, 7,10, ... 
a) 301 
b) 399 
c) 619 
d) 727 
e) 799 
 
53. (EFOMM – 2022) A Semente da Vida (figura 1) é 
uma figura geométrica regular formada por sete 
círculos dispostos segundo uma simetria hexagonal, 
formando um padrão. 
A Semente da Vida juntamente com a Flor da Vida 
(figura 2), são figuras presentes na história em diversos 
povos antigos, tais como os egípcios. 
Diversas religiões, escolas filosóficas e cientistas 
denominam o agrupamento de figuras dessa natureza 
como “Geometria Sagrada”. 
 
 
 
A Semente da Vida é assim denominada por ser a base 
de formação de várias figuras da geometria sagrada. 
A primeira fase da vida, descrita a seguir, é composta 
de 7 sementes. 
 
Assim seguindo, a segunda fase da criação é composta 
por um total de 19 sementes da vida. 
 
Na terceira fase da criação a figura gerada será 
composta por 37 sementes da vida. Dessa forma, 
quantas sementes da vida comporão a figura gerada na 
sétima fase de criação? 
a) 169 
b) 750 
c) 1447 
d) 2022 
e) 2048 
 
54. (EFOMM – 2023) Seja g uma função polinomial do 
primeiro grau, decrescente, tal que g(g(x)) = 9x + 8, 
para todo x real. 
Considere a progressão aritmética 2, 5, 8, ..., 44. 
Pode-se afirmar que o valor numérico de 
g(2) + g(5) + g(8) + ... + g(44) é 
a) -1035. 
b) -1050. 
c) -1065. 
d) -1080. 
e) -1095. 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
SEQUÊNCIA E PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
Prof. Wellington Nishio 
55. (ITA – 2007) Se A, B, C forem conjuntos tais que 
n(A  B) = 23, n(B – A) = 12, n(C – A) = 10, 
n(B  C) = 6 e n(A  B  C) = 4, então n( A), n( A ∪ 
C), n( A ∪ B ∪ C), nesta ordem, 
a) formam uma progressão aritmética de razão 6. 
b) formam uma progressão aritmética de razão 2. 
c) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo 
primeiro termo é 11. 
d) formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo 
último termo é 31. 
e) não formam uma progressão aritmética. 
 
56. (ITA – 2010) Considere a progressão aritmética 
(a1, a2, ... , a50) de razão d. Se
=
+=
10
1n
n d2510a e

=
=
50
1n
n 4550a então d – a1 é igual a 
a) 3. 
b) 6. 
c) 9. 
d) 11. 
e) 14. 
 
57. (ITA – 2012) Sabe-se que (x + 2y, 3x − 5y, 8x − 2y, 
11x − 7y + 2z) é uma progressão aritmética com o 
último termo igual a –127. Então, o produto xyz é igual 
a 
a) –60. 
b) –30. 
c) 0. 
d) 30. 
e) 60. 
 
58. (IME – 2008) A soma dos números inteiros positivos 
de quatro algarismos que admitem 3, 5 e 7 como fatores 
primos é: 
A) 11025 
B) 90300 
C) 470005 
D) 474075 
E) 475105 
 
59. (IME – 2009) É dada uma PA de razão r. Sabe-se 
que o quadrado de qualquer número par x, x > 2, pode 
ser expresso como a soma dos n primeiros termos 
desta PA, onde n é igual à metade de x. O valor de r é 
a) 2 
b) 4 
c) 8 
d) 10 
e) 16 
 
60. (IME – 2011) Uma progressão aritmética {an}, onde 
n  IN*, tem a1 > 0 e 3a8 = 5a13. Se Sn é a soma dos n 
primeiros termos desta progressão, o valor de n para 
que Sn seja máxima é: 
a) 10 
b) 11 
c) 19 
d) 20 
e) 21 
 
61. (IME – 2010) A quantidade k de números naturais 
positivos, menores do que 1000, que não são divisíveis 
por 6 ou 8, satisfaz a condição: 
a) k < 720 
b) 720 ≤ k < 750 
c) 750 ≤ k < 780 
d) 780 ≤ k < 810 
e) k ≥ 810 
 
62. (IME – 2014) Em uma progressão aritmética 
crescente, a soma de três termos consecutivos é S1 e 
a soma de seus quadrados é S2. Sabe-se que os dois 
maiores desses três termos são raízes da equação 
0
2
1
SxSx 21
2 =





−+− . A razão desta PA é 
a) 
6
1
 
b) 
6
6
 
c) 6 
d) 
3
6
 
e) 1 
 
 
GABARITO 
 
A) 1, 2, 13, 14, 20, 22, 26, 30, 34, 53, 57 
B) 4, 7, 8, 10, 11, 12, 19, 29, 62 
C) 6, 9, 15, 16, 23, 24, 25, 28, 33, 35, 38, 40, 43, 44, 45, 
46, 48, 50, 51, 56, 59, 61 
D) 3, 5, 21, 31, 36, 41, 42, 49, 52, 55, 56, 58, 60 
E) 27, 32, 37, 39, 47, 54