Matemática em Contexto Trigonometria e Sistemas Lineares (63)

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30.	Observe os valores aproximados que você e um cole-
ga calcularam no item e da atividade 28 e verifique se 
eles condizem com os valores indicados na tabela de 
razões trigonométricas. Resposta esperada: Sim.
	31.	Agora, observe também as afirmações do Reflita da pá-
gina 21 e verifique se elas condizem com os valores 
indicados na tabela de razões trigonométricas de ân-
gulos agudos. Sim.
	32.	Retome a construção do triângulo retângulo que você e 
um colega fizeram na atividade 29 e os valores experi-
mentais que obtiveram para sen 40°, cos 40° e tan 40°. 
Consultem a tabela de razões trigonométricas e verifi-
quem se os valores estão próximos. Respostas pessoais.
Nas atividades a seguir, sempre que necessário, use 
uma calculadora científica ou consulte a tabela de razões 
trigonométricas.
Fique atento
	33.	Para cada triângulo retângulo abaixo, determine o 
seno, o cosseno e a tangente de b usando a defini-
ção dessas razões trigonométricas. Depois, consulte a 
tabela de razões trigonométricas e determine o valor 
aproximado de b, em graus.
	a)
B
C
2
4
A32
b
b)
	34.	Determine o valor de x e de y em cada figura a seguir.
	a)
70°
8 dm x
	b)
x
y 70°
50°
8 m
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x 5 13,23 m e y â 12,44 m.
	35.	Observe o esboço de uma escada.
4 m
60°
x
a
	a) Qual é a medida de comprimento da escada? 8 m
	b) Qual é a medida de abertura do ângulo formado 
pela escada e o chão? 30°
	36.	As ruas Canário e Tico-Tico são perpendiculares. A 
medida de distância entre os pontos A e B é de 50 m. 
As ruas Canário e Sabiá cruzam-se em B formando um 
ângulo de medida de abertura de 60°. 
Qual é a medi-
da de períme-
tro do triângulo 
ABC determi-
nado pelos cru-
zamentos des-
sas três ruas?
	37.	Para determinar a altura de uma torre, um topógra-
fo coloca o teodolito a 100 m da base e obtém um 
ângulo de medida de abertura de 30°, conforme 
mostra a imagem. O teodolito é um instrumento que 
mede a abertura de ângulos horizontais ou verticais 
muito utilizado em topografia.
30°
100 m
h
30°
Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70 m do 
solo, qual é a medida de comprimento aproximada da 
altura da torre?
B
a
n
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g
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A
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(150 1 50 3 ) m ou 
aproximadamente 236,6 m.
D
a
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 d
a
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o
ra
¯ 100 3
3
1 1,70̆ m ou aproximadamente 59,4 m.
Atividades Não escreva no livro.
não sejam próximos, oriente-os a verificar a construção que fizeram e os possíveis erros 
cometidos.
Para obter o valor de x, usaremos a definição de 
tangente.
3. Executando o que foi planejado
Calculamos a medida de comprimento x do cateto 
oposto a 30°:
tan 30° 5 3
3
~ 5x
80 3
3
3
~ 3x5 80 ? ?3 3 ~
~ 3x 5 240 ~ x 5 80
Agora, calculamos a medida de comprimento h da 
altura do prédio:
h 5 x 1 1,6 5 80 1 1,6 5 81,6
Logo, a medida de comprimento da altura do pré-
dio é de 81,6 metros.
4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa b.
A
C
6
8
10
B
b
32. Professor, os cálculos das razões trigonométricas vão depender da precisão da construção do ângulo de medida de abertura 
de 40° e da medição do comprimento dos lados do triângulo retângulo. Porém, esperamos que os estudantes obtenham valores 
próximos aos indicados na tabela de razões trigonométricas: sen 40° â 0,643; cos 40° â 0,755 e tan 40° â 0,839. Caso os valores 
x â 8,51 dm
Il
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Rua Tico-Tico
Rua Sabiá
A
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A resposta encontra-se nas 
Orientações específicas
deste Manual. 
27
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	38.	A imagem a seguir foi reproduzida do livro em latim Qua-
drans Apiani astronomicus, do humanista alemão Petrus 
Apianus (1495-1552), publicado em 1532. Ela mostra a 
medição do comprimento da altura de uma torre.
Aparentemente o homem viu a torre sob um ângulo 
de medida de abertura de 50°, andou 246 unidades 
de comprimento para trás e novamente viu a torre, 
agora sob um ângulo de medida de abertura de 25°, 
como mostra o esboço a seguir.
torre
50º 25º
246
Considerando esses dados, qual seria a medida de 
comprimento da altura da torre, na unidade de medida 
de comprimento adotada e sem considerar a altura da 
pessoa que mede?
h
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Aproximadamente 188 unidades 
de comprimento.
Você já pensou em como grandes alturas são medidas? 
Em construções feitas pelo ser humano, às vezes 
podemos consultar a medida indicada no projeto 
arquitetônico ou utilizar um teodolito, como na situação 
da torre desta atividade. Quando isso não é possível 
ou quando queremos medir a altura de uma montanha, 
por exemplo, precisamos recorrer a outros processos 
de medição, e o avanço das tecnologias é nosso aliado 
para conseguir medidas cada vez mais precisas.
Pesquise os aparelhos e os processos de medições 
de grandes alturas e como eles evoluíram ao longo 
dos anos, gerando atualizações das medidas. Veja a 
seguir sugestões de sites que podem ser consultados. 
(Acesso em: 17 jun. 2020.)
Geociências: IBGE revê as altitudes de sete pontos 
culminantes. Disponível em: https://agenciadenoticias.
ibge.gov.br/agencia-sala-de-imprensa/2013-agencia-
de-noticias/releases/15275-geociencias-ibge-reve-as-
altitudes-de-sete-pontos-culminantes.
Por que é tão difícil determinar a altura de montanhas. 
Disponível em: https://www.bbc.com/portuguese/
revista/vert_fut/2016/04/160407_vert_future_montanha_
altura_fd.
Sobre o assunto
	39. Veja o croqui que um arquiteto desenhou para a cons-
trução de uma casa, usando a estrutura de tesoura 
para sustentar o telhado.
3 m
6 m 6 m
20¡
	a) Determine a que altura se encontra o ponto mais 
alto da tesoura projetada, em relação ao solo.
	b) Se o arquiteto tivesse projetado uma medida de 
abertura do ângulo maior do que 20°, mantendo a 
medida de comprimento de 6 m, então a altura do 
ponto mais alto da tesoura seria maior ou menor 
do que a calculada no item a? Escolha uma nova 
medida de abertura e faça os cálculos.
	40.	Para saber a medida de comprimento da largura de 
um rio, sem atravessá-lo, podemos utilizar um teodo-
lito e, com os conhecimentos de razões trigonomé-
tricas, efetuar os cálculos. Veja um exemplo de como 
podemos proceder.
•	 Marcamos com uma estaca um ponto A na margem 
do rio em que estamos e consideramos um ponto 
B na outra margem (que pode ser uma árvore ou 
outro objeto que possamos visualizar).
•	 Escolhemos um ponto C na mesma margem do rio 
que o ponto A, de modo que conhecemos a medida 
de distância entre C e A e que o ângulo BACµ seja 
reto. 
•	 Fixamos o teodolito no ponto C e medimos a abertu-
ra do ângulo ACBµ .
Considere que, em determinado rio, a medida de distân-
cia entre os pontos C e A seja de 8 metros, e que a medi-
da obtida para a abertura do ângulo BCAµ tenha sido de 
70°, como na imagem a seguir. Nessas condições, qual é 
medida de comprimento da largura desse rio? 
C
8 m A
70¡
B
L
B
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Aproximadamente 5,052 m.
Maior. Resposta pessoal.
Aproximadamente 22 m.
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Não escreva no livro.
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