Matemática Interligada Trigonometria e programação (49)

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π π π
π f x x( ) = sen
 2
 g(x) = a + b . sen cx
0
 3
 2
y
x
 1
 5
 2
–1
2
π π π π
 2 4
–3
 3
0 3
 4
y
x
Não escreva no livro.
94
 R15. Observe no plano cartesiano a seguir os gráficos das funções f e g, definidas por f ( x ) 5 sen x 
e g ( x ) 5 a 1 b ?? sen cx . Depois, determine o valor das constantes a, b e c, e escreva a lei de for-
mação da função g .
Resolução
O conjunto imagem de g está no intervalo [2 1, 5] .
Assim:
 2 1 < a 1 b ?? sen cx < 5 ä 2 1 2 a < b ?? sen cx < 5 2 a 
De acordo com o gráfico, temos que b . 0 . Segue que:
 2 1 2 a < b ?? sen cx < 5 2 a ä 
ä 
2 1 2 a
 ― 
b
 < sen cx < 
5 2 a
 ― 
b
 
 
⎧
 
⎪
 ⎨ 
⎪
 
⎩
 
 
2 1 2 a
 ― 
b
 5 2 1
 
 
5 2 a
 ― 
b
 5 1
 ä { 2 a 1 b 5 1 
2 a 2 b 5 2 5
 
‾
 
 2 2a 5 2 4 ä a 5 2
 2 a 1 b 5 1 ä 2 2 1 b 5 1 ä b 5 3 
Observando o gráfico, notamos que o período de g é 2p . Logo:
 p 5 
2p
 
― 
 |c| 
 ä 2p 5 
2p
 
― 
 |c| 
 ä |c| 5 1 ⟨ 
c 5 1
 
c 5 2 1 ( não convém ) 
 
Assim, c 5 1 .
Portanto, g ( x ) 5 2 1 3 ?? sen x .
 R16. Seja a função dada por y 5 g ( x ) 5 2 2 sen ( px 2 
3p
 ― 
2
 ) , definida para todo x real. Determine o 
período e o conjunto imagem dessa função.
Resolução
O período da função seno é p 5 2p . Utilizando a relação p 
g
 5 
p
 ― 
 |c| 
 , obtemos o período de g: 
p 
g
 5 
p
 ― 
 |c| 
 5 
2p
 ― 
 |p| 
 5 2 
As constantes a 5 2 e b 5 2 1 alteram a imagem da função seno em duas unidades para cima. 
Portanto, Im ( g ) 5 [1, 3] .
 57. Esboce o gráfico, obtenha o conjunto imagem e o período da função definida por:
a ) f ( x ) 5 2 1 1 sen 2x 
b ) n ( x ) 5 3 ?? cos ( x 1 
p
 ― 
6
 ) 
c ) m ( x ) 5 4 ?? sen ( 2x 2 
p
 ― 
2
 ) 
d ) g ( x ) 5 
1
 ― 
2
 ?? sen ( 
x
 ― 
4
 1 p ) 
e ) q ( x ) 5 2 ?? cos ( 
x
 ― 
2
 1 
p
 ― 
4
 ) 
 58. Considere a representação gráfica da função f, definida por f ( x ) 5 a ?? sen bx , com 0 , x , p e b > 0 .
Quais são os valores de a e b?
Aproveite esta tarefa e peça aos alunos que esbocem o gráfico da função g .
Oriente os 
alunos a 
construir um 
quadro com 
os valores 
dos pares 
ordenados que 
serão marcados 
no gráfico. 
E também, 
se achar 
conveniente, 
oriente-os a 
usar papel 
milimetrado 
para os esboços 
dos gráficos.
 a 5 3 ; b 5 2 
Veja as respostas na Resolução dos problemas e exercícios na Assessoria pedagógica.
S
e
rg
io
 L
. F
il
h
o
S
e
rg
io
 L
. F
il
h
o
g21_scp_lt_2mat_c2_p090a095.indd 94g21_scp_lt_2mat_c2_p090a095.indd 94 9/20/20 10:16 AM9/20/20 10:16 AM
π
π 3
 4
 3
ππ 3
 2
 9
 4
0
y
x
1
2
1
2
95
 59. De acordo com a representação gráfica da função 
f , definida por f ( x ) 5 a ?? cos bx , com 0 < x < 3p e 
b > 0 , determine o valor de a 1 b .
 60. Obtenham o domínio, o conjunto imagem e o 
período da função definida por:
a ) g( x ) 5 2 2 sen ( x 1 p ) 
b ) h( x ) 5 2 1 1 3 ?? cos ( x 1 
4p
―
3
 ) 
c ) m( x ) 5 1 1 3 ?? sen ( 
x
―
2
 1 
p
―
2
 ) 
d ) q( x ) 5 
3
―
2
 2 2 ?? cos ( 
x
―
2
 1 
7p
―
6
 ) 
• Agora, escrevam a lei de formação de duas 
funções, uma do tipo f(x)5a1b ?? sen ( cx 1 d )
e outra do tipo q( x ) 5 e 1 m ?? cos ( nx 1 h ) . 
Depois, peçam a um colega que determine o 
domínio, o conjunto imagem e o período de 
cada uma delas e, por último, verifiquem se 
as resoluções estão corretas.
 66. (FGV-SP) No mês de abril o mercado financei-
ro viveu uma certa instabilidade, e o preço de 
determinada ação oscilou de tal maneira que 
ele poderia ser descrito pela função periódica: 
f ( x ) 5 4,50 1 sen( 2px ) , em que f ( x ) é o pre-
ço da ação, x 5 0 representa o 1º dia útil de 
abril, x 5
1
―
4
 , o 2º dia útil, x 5
1
―
2
 , o 3º dia útil, 
e assim por diante.
a ) Esboce o gráfico da função f ( x ) correspon-
dente aos primeiros 5 dias úteis de abril.
b ) Considerando que o dia 1º de abril foi se-
gunda-feira, determine em que dias da 
1ª semana útil de abril o preço dessa ação 
atingiu o maior e o menor valor. 
c ) Quais foram o maior e o menor valor dessa 
ação na 1ª semana útil de abril?
 65. Como vimos na página 84, o movimento de subi-
da e descida do nível do mar, ou seja, as marés, 
ocorre por influência do Sol e da Lua. Elaborem 
um problema envolvendo a altura de uma maré 
com relação ao nível do mar, em função do tem-
po, sendo esta uma função trigonométrica. En-
treguem para outro grupo resolver e, por fim, 
verifiquem se a resolução está correta. 
 O que você entendeu sobre as funções trigonométricas?
 As funções seno e cosseno são periódicas? Justifique sua resposta.
 O que diferencia a função seno da função cosseno?
 Você considerou importante o estudo deste capítulo? Por quê?
 61. O deslocamento horizontal de um pêndulo é dado 
pela função f , definida por f ( t ) 5 a ?? sen bt , em 
que f ( t ) é expresso em centímetros, t em se-
gundos e a e b são constantes. Sabendo que 
para certo pêndulo f ( t ) 5 7 ?? sen 3pt , determi-
ne o conjunto imagem de f e o período de seu 
movimento.
 62. A tensão, em volts, de um circuito elétrico é dada 
por U( t ) 5 a ?? sen bt , em que a e b são constantes 
e t é o tempo em segundos. Em certo circuito elé-
trico, a tensão é dada por U( t ) 5 5,3 ?? sen 30pt . 
Determine o conjunto imagem de U e o período da 
tensão desse circuito.
 63. Determine os valores de m para que a função:
a ) dada f( x ) 5 2m 1 5 ?? sen ( 
2x
―
m
1 
p
―
3
 ) , tenha pe-
ríodo 5p .
b ) dada por g( x ) 5 3m 1 2 ?? cos ( 
x
―
m
1 
p
―
5
 ) , tenha 
período 3p .
 64. Para determinada maré, a altura h, medida em me-
tros, acima do nível médio do mar, é definida, apro-
ximadamente, por h( t ) 5 8 1 4 sen(
p
―
12
t ) , em que 
t é o tempo medido em horas. Com base nas infor-
mações, determine o período de variação da altura 
da maré. 
7
―
6
 
Veja as respostas na Resolução dos problemas e 
Im( f ) 5 [2 7; 7] ; período: 
aproximadamente 0,67 s
Im( U ) 5 [2 5,3; 5,3] ; período: aproximadamente 0,07 s
m 5 5 ou m 5 2 5 
m 5 2 
3
―
2
 ou m 5 
3
―
2
24 horas
exercícios na Assessoria 
pedagógica.
Veja as respostas na Resolução 
Resposta pessoal. 
dos problemas e exercícios na Assessoria pedagógica.
Resposta pessoal. Espera-se que os alunos tenham 
compreendido que as funções trigonométricas podem 
representar fenômenos naturais periódicos, ou seja, que 
se repetem em iguais intervalos de tempo, como em 
Sim, pois ambas as funções se repetem no período p 5 2p . 
Resposta pessoal. Possível resposta: a função seno é ímpar e a função cosseno é par. 
Resposta pessoal. Espera-se que os alunos digam que sim, pois, a partir das funções trigonométricas, é 
possível compreender, de maneira mais esclarecedora, como ocorrem alguns fenômenos periódicos e, 
assim, inferir e tomar decisões.
estudos das variações da temperatura terrestre, no comportamento ondulatório do som, na pressão sanguínea no coração, nas 
cordas vibrantes, nos níveis de 
água dos oceanos etc.
Espera-se que os alunos apliquem a definição de 
função trigonométrica para elaborar o problema.
Se
rg
io
 L
. F
ilh
o
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