Calculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 2-413

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Logo, a carga total é C.
Momentos e Centros de Massa
Na Seção 8.3, no Volume I, determinamos o centro de massa de uma lâmina de densidade cons-
tante; aqui, consideraremos uma lâmina de densidade variável. Suponha que a lâmina ocupe
uma região D e que tenha como função densidade. Lembre-se de que no Capítulo 8 de-
finimos o momento de uma partícula em relação a um eixo como o produto de sua massa pela
distância (perpendicular) ao eixo. Dividimos D em retângulos pequenos, como na Figura 2.
Então a massa de é aproximadamente , e podemos aproximar o momento de
com relação ao eixo x por
Se somarmos essas quantidades e tomarmos o limite quando o número de sub-retângulos cresce
indefinidamente, obteremos o momento da lâmina inteira em relação ao eixo x:
Da mesma forma, o momento em relação ao eixo y é
Como anteriormente, definimos o centro de massa de modo que e .
O significado físico disso é que a lâmina se comporta como se toda sua massa estivesse con-
centrada em seu centro de massa. Assim, a lâmina permanece horizontal quando equilibrada
em seu centro de massa (veja a Figura 4).
As coordenadas do centro de massa de uma lâmina ocupando a região D e
tendo função densidade são 
onde a massa m é dada por
Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices
(0, 0), (1, 0) e (0, 2), se a função densidade for .
SOLUÇÃO O triângulo está mostrado na Figura 5. (Observe que a equação do limite superior
é .) A massa da lâmina é
m � yy
D
��x, y� dA � y
1
0
y
2�2x
0
�1 � 3x � y� dy dx
y � 2 � 2x
��x, y� � 1 � 3x � y
EXEMPLO 2
m � yy
D
��x, y� dA
y �
Mx
m
�
1
m yy
D
y ��x, y� dAx �
My
m
�
1
m yy
D
x ��x, y� dA
��x, y�
�x, y�5
my � Mxmx � My�x, y�
My � lim
m, nl�
m
i�1
n
j�1
xij* ��xij*, yij*� 	A � yy
D
x ��x, y� dA
Mx � lim
m, nl�
m
i�1
n
j�1
yij* ��xij*, yij*� 	A � yy
D
y ��x, y� dA
4
3
���xij*, yij*� 	A� yij*
��xij*, yij*� 	A
Rij
Rij
��x, y�
5
24
� 1
2 y
1
0
�2x 2 � x 3 � dx �
1
2 �2x 3
3
�
x 4
4 �0
1
�
5
24
� y
1
0
�x
y 2
2 �y�1�x
y�1
dx � y
1
0
x
2
�12 � �1 � x�2 � dx
902 CÁLCULO
FIGURA 4
D
(x, y) 
FIGURA 5
0
y
x(1, 0)
(0, 2)
y=2-2x
” , ’
3
8
11
16
D
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	15- Integrais Múltiplas
	15.5 Aplicações de Integrais Duplas
	Momentos e Centros de Massa