Volume de Caixa Cúbica

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5. Na caixa cúbica da figura ao lado, a ripa transversal mede 8 dm de comprimento. 
Qual é a medida do volume da caixa?
Resolução
Vamos, inicialmente, estabelecer o modelo matemático:
Pela figura, precisamos determinar a medida da aresta a, conhecendo a medida 
da diagonal d de uma face:
d2 5 a2 1 a2 ⇒ d 5 a 2
Como d 5 8 dm, temos:
8 5 a 2 ⇒ a 5 
8
2
 5 
8 2
2
 5 4 2
Vamos calcular a medida do volume:
V 5 a3 5 4 2 dm
3
( ) 5 4 23 3 dm3 5 128 2 dm3
A medida do volume da caixa é 128 2 dm3.
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EXERCÍCIO RESOLVIDO PASSO A PASSO
(Enem) Eclusa é um canal que, construído em águas de um rio com grande desnível, possibilita a navega-
bilidade, subida ou descida de embarcações. No esquema abaixo, está representada a descida de uma 
embarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná até o nível da jusante.
20 m
câmara
válvula de dreno
P
O
R
T
A
2
P
O
R
T
A
1
válvula de enchimento
6 m
nível da 
jusante
c‰mara
Enquanto a válvula de enchimento está fechada e a de dreno, aberta, o fluxo de água ocorre no sentido 
indicado pelas setas, esvaziando a câmara até o nível da jusante.
Quando, no interior da câmara, a água atinge o nível da jusante, a porta 2 é aberta, e a embarcação pode 
continuar navegando rio abaixo.
A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada 
da água durante o esvaziamento da câmara é de 4 200 m3 por minuto. Assim, para descer do nível mais 
alto até o nível da jusante, uma embarcação leva cerca de:
a) 2 minutos.
b) 5 minutos. 
c) 11 minutos.
d) 16 minutos.
e) 21 minutos.
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CAPêTULO 20 • POLIEDROS: PRISMAS E PIRÂMIDES 623
Contexto e Aplicacoes Matematica_U9_C20_606a648.indd 623 8/22/18 2:57 PM
1. LENDO E COMPREENDENDO
a) O que é dado no problema? 
 São dados o esquema de funcionamento da eclusa do porto Primavera, as medidas das dimensões da 
câmara da eclusa (200 m 3 17 m), a diferença de nível de água entre as 2 partes do rio Paraná (20 m) e a 
medida da vazão de água quando a câmara é esvaziada (4 200 m3/min). 
b) O que se pede? 
 Pede-se o tempo que uma embarcação leva para descer pela eclusa.
2. PLANEJANDO A SOLUÇÃO 
O tempo que a embarcação leva para descer equivale ao tempo que a câmara leva para ser esvaziada. Dessa 
maneira, sabendo-se o volume de água que precisa ser retirado da câmara e a vazão de saída da água, po-
demos calcular esse período de tempo.
3. EXECUTANDO O QUE FOI PLANEJADO 
A câmara de água equivale a um paralelepípedo reto retangular, com medidas de dimensões
200 m 3 20 m 3 17 m. Assim, a medida de seu volume é dada por V 5 200 m ? 20 m ? 17 m 5 68 000 m3 de água.
Uma vazão de 4 200 m3 de água por minuto significa que, a cada minuto, saem da câmara 4 200 m3 de água. 
Logo, o tempo necessário para escoar toda a água é de 
68000
4200
 . 16,20 min.
4. EMITINDO A RESPOSTA
A resposta é a alternativa d.
5. AMPLIANDO O PROBLEMA
a) Suponha que se deseje que o tempo de descida da embarcação não supere 10 min. Nesse caso, qual teria 
de ser a vazão mínima de água? 
b) Debate em grupo e pesquisa
 O transporte fluvial (pelos rios) é importante? Ele é necessário?
 Vale a pena gastar dinheiro fazendo eclusas?
 Quando o canal do Panamá entrou em atividade? 
 Que grande acontecimento mundial teve início no mesmo ano da inauguração do canal do Panamá?
EXERCÍCIOS
35. Em um paralelepípedo, as medidas das dimen-
sões da base são 4 cm e 7 cm. Sendo a medida 
da altura do paralelepípedo 5 cm, determine a 
medida do seu volume. 
36. Quantos litros de água são necessários para en-
cher uma caixa-d’água cujas medidas das dimen-
sões são: 1,20 m por 0,90 m por 1 m? (Lembre-se: 
1 dm3 corresponde a 1 L.) 
1 dm3
1 dm
1 dm
1 dm
1 L
37. Qual é a medida do volume de um cubo de aresta 
medindo 5 3 cm? 
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38. Certos lingotes de metal são fundidos na forma de 
paralelepípedo. As medidas de suas dimensões 
são 40 cm por 16 cm por 20 cm. Qual é a medida 
do volume desse lingote de metal? 
39. Qual deve ser a medida de comprimento da ares-
ta de uma caixa-d’água cúbica para que ela pos-
sa conter 8 000 L de água? 
40. Três cubos de chumbo, com arestas medindo 
6 cm, 8 cm e 10 cm, respectivamente, são fundi-
dos em uma só peça cúbica. Qual é a medida do 
volume da peça cúbica obtida? 
41. Para fabricar uma caixa cúbica de papelão são 
gastos 600 cm2 de material. Qual é a medida do 
volume dessa caixa? 
42. O comprimento da diagonal de um cubo mede 
10 3 cm. Qual é a medida do volume desse cubo? 
UNIDADE 9 • POLIEDROS E CORPOS REDONDOS624
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43. Ao projetar uma estrada, a equipe de engenharia 
de uma firma verifica que é preciso fazer um cor-
te em um morro de acordo com a forma e as me-
didas indicadas na figura abaixo. Qual é a medida 
do volume de terra a ser removido? 
72,5 m6 m
40 m
44. Sabendo que as medidas das dimensões de um 
tijolo são 20 cm por 9 cm por 7 cm, qual é a me-
dida do volume de argila empregado para fabri-
car esse tijolo? 
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45. Qual é a medida do volume de um sólido cuja for-
ma e medidas estão na figura abaixo? 
1,5 cm
1 cm
3 cm
10 cm
8 cm
46. Uma piscina tem o formato e as medidas da figu-
ra abaixo. Qual é o volume máximo de água que 
essa piscina pode conter? 
6 m
2 m
4 m
9 m
0,80 m
8. PRINCÍPIO DE CAVALIERI
Imagine 3 pilhas com o mesmo número de folhas 
de papel, arrumadas de formas diferentes, como indi-
cam as figuras:
Note que qualquer plano horizontal que seccione 
as 3 pilhas terá intersecções de mesma medida de área 
(uma folha); note também que as 3 pilhas têm medidas 
de volume iguais (só mudam as formas).
Essa situação serve para ilustrar o princípio de 
Cavalieri, que veremos em seguida.
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1
A
1
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2
a
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Vamos considerar os sólidos S
1
 e S
2
 apoiados em um 
plano horizontal a. Consideremos também o plano b, pa-
ralelo a a, que, ao seccionar S
1
, também secciona S
2
, de-
terminando 2 regiões planas de medidas de área A
1
 e A
2
.
Nessas condições, podemos afirmar que:
Se para todo plano b temos A
1
 5 A
2
, então: 
volume S
1
 5 volume S
2
.
É possível demonstrar o princípio de Cavalieri, mas 
aqui vamos considerá-lo verdadeiro sem fazer a sua 
demonstração. Veremos que esse princípio simplifica 
muito o cálculo de medidas de volumes.
9. VOLUME DO PRISMA 
Para calcular a medida do volume de um prisma 
qualquer, aplicamos o princípio de Cavalieri.
Inicialmente, observamos que, em um prisma qual-
quer com a base contida em um plano a, se π é para-
lelo a a, a secção determinada por π no prisma será 
sempre congruente à base, e por isso essa secção e a 
base terão sempre medidas de área iguais.
a
π
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