Análise de Confiabilidade em Estruturas Aeronáuticas

Prévia do material em texto

Universidade Federal do ABC
Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais Aplicadas
Trabalho de Graduação em Engenharia Aeroespacial
Gabriel Fernando Magalhães Silva
José Willians Aparecido Vitório
COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS DE
ANÁLISE DE CONFIABILIDADE EM
ESTRUTURAS AERONÁUTICAS À BASE DE
MATERIAIS COMPÓSITOS
Orientador: Prof. Dr. Marcelo Araújo da Silva
São Bernardo do Campo
2021
Gabriel Fernando Magalhães Silva 
José Willians Aparecido Vitório 
 
 
 
COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS DE ANÁLISE DE CONFIABILIDADE EM 
ESTRUTURAS AERONÁUTICAS À BASE DE MATERIAIS COMPÓSITOS 
 
 
 
 
Trabalho de Graduação apresentado ao 
curso de Engenharia Aeroespacial, como 
parte dos requisitos necessários para a 
obtenção do Título de Bacharel em 
Engenharia 
 
 
 
Universidade Federal do ABC – UFABC 
Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais Aplicadas 
Engenharia Aeroespacial 
 
 
 
Orientador: Prof. Dr. Marcelo Araújo da Silva 
 
 
 
São Bernardo do Campo - SP 
Novembro de 2021 
 
 
Sistema de Bibliotecas da Universidade Federal do ABC
Elaborada pelo Sistema de Geração de Ficha Catalográfica da UFABC
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a).
Magalhães Silva, Gabriel Fernando
 COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS DE ANÁLISE DE CONFIABILIDADE
EM ESTRUTURAS AERONÁUTICAS À BASE DE MATERIAIS COMPÓSITOS
/ Gabriel Fernando Magalhães Silva, José willians Aparecido Vitório. — 2021.
 52 fls. : il.
 Orientador: Marcelo Araújo da Silva
 Trabalho de Conclusão de Curso — Universidade Federal do ABC,
Bacharelado em Engenharia Aeroespacial, São Bernardo do Campo, 2021.
 1. Confiabilidade. 2. Otimização. 3. FORM. 4. Monte Carlo. I. Aparecido
Vitório, José willians. II. Araújo da Silva, Marcelo. III. Bacharelado em
Engenharia Aeroespacial, 2021. IV. Título.
Gabriel Fernando Magalhães Silva 
José Willians Aparecido Vitório 
 
 
 
COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS DE ANÁLISE DE CONFIABILIDADE EM 
ESTRUTURAS AERONÁUTICAS À BASE DE MATERIAIS COMPÓSITOS 
 
 
Trabalho de Graduação apresentado ao 
curso de Engenharia Aeroespacial, como 
parte dos requisitos necessários para a 
obtenção do Título de Bacharel em 
Engenharia 
 
São Bernardo do Campo - SP, Novembro de 2021 
 
Trabalho aprovado. 
 
BANCA EXAMINADORA 
 
 
 
Prof. Dr. Marcelo Araújo da Silva 
Orientador 
 
 
 
Prof. Dr. Reyolando Manoel Lopes Rebello da Fonseca Brasil 
Membro titular 
 
 
 
Prof. Dr. Ricardo Gaspar 
 
Membro titular 
 
RESUMO
O desenvolvimento de estruturas aeronáuticas à base de materiais compósitos
tem aumentado significativamente nas últimas décadas. A longarina de uma asa de
aeronave é um exemplo de uma estrutura que pode ser desenvolvida com o uso dema-
teriais compósitos. Essa estrutura, que pode ser modelada como uma viga em balanço
sob aplicação de uma carga distribuída, tem rigorosos requisitos de projeto, principal-
mente no que se refere à confiabilidade da estrutura. A análise da confiabilidade de
uma estrutura pode ser realizada seguindo métodos baseados em simulações ou em
problemas de otimização. Independente do método utilizado para análise da confia-
bilidade, uma estrutura à base de materiais compósitos apresenta uma necessidade
diferenciada na sua modelagem, pelas novas propriedades mecânicas decorrentes do
uso de materiais compósitos. No presente trabalho, propõe-se uma comparação en-
tre dois métodos de análise de confiabilidade (um baseado em simulações e outro
baseado em otimização) de uma estrutura à base de materiais compósitos que se as-
semelha à longarina de uma asa de aeronave, com o intuito de realizar avaliações da
eficácia e complexidade de cada método.
Palavras-chave: Confiabilidade, Otimização, FORM, Monte Carlo.
1
ABSTRACT
The development of aeronautical structures based on composite materials has
increased significantly over the last decades. The spar of an aircraft’s wing is an exam-
ple of a structure which can be made using composite materials. This structure, which
can be modeled as a cantilever beam under the application of a distributed load, has
rigorous design requirements, especially with regard to the structure’s reliability. The
reliability analysis of a structure can be done with the use of methods based on simula-
tions or optimization problems. Regardless of the method utilized for reliability analysis,
a structure based on composite materials has special needs in its model, for the sake
of new mechanical properties due to the use of composite materials. In this study, a
comparison has been presented between two methods (one based on simulations and
another based on optimization) of analyzing reliability of a composite material based
structure which resembles the spar of an aircraft wing, in order to carry out evaluations
of the efficacy and complexity of each method.
Keywords: Reliability, Optimization, FORM, Monte Carlo.
2
LISTA DE SÍMBOLOS
α Parâmetro de escala distribuição de Weibull
αi Cossenos diretores
αn Inverso da medida de dispersão do maior valor da variável inicial de
Gumbel
β Parâmetro de forma distribuição de Weibull
βHL Índice de confiabilidade de Hasofer-Lind
βmc Índice de confiabilidade método de Monte Carlo
εd Deformação máxima de projeto
εf Deformação máxima suportada pela fibra
εm Deformação máxima suportada pela matriz
∂g
∂X′
i
I-ésima derivada parcial avaliada no ponto de projeto
µ Média da distribuição
µn Maior valor característico da variável inicial de Gumbel
µN
Xi
Média da distribuição normal equivalente
Φ Função de distribuição acumulada da normal padrão
φ Função de densidade de probabilidade normal padrão
ρf Proporção de fibra
ρm Proporção de matriz
σ Desvio padrão da distribuição
σ2 Variância da distribuição
σd Tensão de Hooke
σfr Tensão de resistência da fibra
σmr Tensão de resistência da matriz
σN
Xi
Desvio padrão da distribuição normal equivalente
b Base da seção transversal
3
D Distância mínima
Ec Módulo de elasticidade do compósito
Ef Módulo de elasticidade da fibra
Em Módulo de elasticidade da matriz
f Função de densidade de probabilidade
fx Função de densidade de probabilidade conjunta
Fxi
(x∗
i ) Função de distribuição acumulada variável não normal
fxi
(x∗
i ) Função de densidade de probabilidade variável não normal
FYn Função de distribuição acumulada da distribuição de Gumbel
fYn Função de densidade de probabilidade de Gumbel
g Superfície de Falha
h Altura da seção transversal
L Comprimento
Madm Momento admissível
Mmax Momento Máximo
N Números de simulações
n Número de termos da variável aleatória
pf Probabilidade de falha
q Carregamento
R Variável aleatória qualquer
S Variável aleatória qualquer
Sn Sequência de variáveis aleatórias
t Espessura da viga Tipo I
ui Vetor de variável aleatória
Vmax Força cortante máxima
4
x′∗ Ponto de projeto
X Variável aleatória
X ′ Sistema de coordenadas transformadas ou reduzidas
X ′
i Variável aleatória normal com média zero e desvio padrão unitário
Z Função de performance
I Momento de inércia da seção transversal
k Curvatura máxima suportada pelo material
5
Sumário
1 INTRODUÇÃO 8
2 OBJETIVO 9
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 10
4 MODELAGEM DO PROBLEMA 12
4.1 FUNÇÃO DE PERFORMANCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 MATERIAL COMPÓSITO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 FUNÇÃO DE PERFORMANCE DO MATERIAL COMPÓSITO . . . . . 17
4.4 FUNÇÃO DE PERFORMANCE DA VIGA COM SEÇÃO TRANSVER-
SAL EM I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 DISTRIBUIÇÕES 21
5.1 DISTRIBUIÇÃO NORMAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3 DISTRIBUIÇÃO EXTREMO TIPO I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6 MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO 24
6.1 FORM - FIRST ORDER RELIABILITY METHOD . . . . . . . . . . . . . 24
6.2 NORMAL EQUIVALENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.3 TRANSFORMAÇÃO DE DOISPARAMETROS NORMAL EQUIVALENTE 31
7 MÉTODO DE SIMULAÇÃO 33
7.1 LEI DOS GRANDES NÚMEROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.1.1 DEFINIÇÃO: LEI DOS GRANDES NÚMEROS . . . . . . . . . . 33
7.2 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.2.1 DEFINIÇÃO: TEOREMA DO LIMITE CENTRAL . . . . . . . . . 34
7.3 PROCESSO DE MONTE CARLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8 RESULTADOS 36
8.1 PROBLEMA PROPOSTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.1.1 FUNÇÃO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE DA FUNÇÃO
DE PERFORMANCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.1.2 RESOLUÇÃO FORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.1.3 RESOLUÇÃO MONTE CARLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9 CONCLUSÕES 39
9.1 SUGESTÕES DE FUTUROS TRABALHOS . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6
REFERÊNCIAS 41
ANEXO 43
7
1 INTRODUÇÃO
Dentro das engenharias, principalmente no âmbito da engenharia civil, da en-
genharia mecânica, e da engenharia aeroespacial, utilizam-se técnicas de análise de
confiabilidade das estruturas. O objetivo do uso de tais técnicas é projetar estruturas
mais seguras e econômicas (ALMEIDA, 2008) levando em consideração as incertezas
presentes em qualquer projeto de engenharia para quantificar a confiabilidade da es-
trutura, definida como a probabilidade de não ocorrer uma falha da mesma (SCIUVA;
LOMARIO, 2003).
Algumas técnicas de análise de confiabilidade de estruturas possuem formu-
lação baseada em um problema de otimização, como os métodos FORM (First Order
Reliability Method) e GRG (Generalized Reduced Gradient) (SILVA, 2019). Outras téc-
nicas possuem formulação baseada em simulações aleatórias de valores para cada
variável randômica, como o método de simulação de Monte Carlo (ALMEIDA, 2008).
Na engenharia aeroespacial, tem se projetado mais frequentemente estruturas
aeronáuticas à base de materiais compósitos. Segundo Daniel e Ishai (2006), esses
materiais consistem em duas ou mais fases numa escala macroscópica, cujo desem-
penho mecânico e cujas propriedades são projetadas para serem superiores às dos
materiais constituintes atuando independentemente. Dentre as propriedades de uma
estrutura construída commateriais compósitos está a confiabilidade, que deve ser ana-
lisada e quantificada para atender aos requisitos de projeto.
Na engenharia aeronáutica, uma das estruturas comumente feita de materiais
compósitos, e com mais rigorosos requisitos de projeto em relação à confiabilidade, é
a asa da aeronave, já que esta concentra a maior parte dos esforços aerodinâmicos
responsáveis por manter a aeronave em voo.
Os materiais compósitos, como os usados em estruturas aeronáuticas, exi-
bem comportamentos diferenciados quando comparados aos materiais convencionais,
levando-se à necessidade de estratégias de análise diferenciadas (SILVA, 2017).
Assim, o objetivo do presente trabalho de graduação é a utilização de ferramen-
tas computacionais para comparação de técnicas de análise de confiabilidade aplica-
das no contexto das estruturas aeronáuticas à base de materiais compósitos.
8
2 OBJETIVO
A importância do comparativo das formulações de análise de confiabilidade de
estruturas foi ressaltada por Silva (2017), em que sugeriu uma abordagem de mais
métodos para se identificar diferentes padrões de comportamento, garantindo a me-
lhor tomada de decisão de projeto. O objetivo do presente trabalho é realizar esse
comparativo no contexto de estruturas aeroespaciais à base de materiais compósitos
(principalmente da asa de uma aeronave).
Inicialmente, será feita uma revisão bibliográfica dos principais tópicos de con-
fiabilidade estrutural e de distribuições de probabilidade, além de uma revisão sobre
materiais compósitos aplicados nas estruturas aeronáuticas.
Logo após, serão utilizados métodos analíticos para avaliação das estruturas
aeronáuticas à base de materiais compósitos, com o objetivo de determinar as va-
riáveis de importância para a consequente análise de confiabilidade. Dentre essas
variáveis, estão incluídas a geometria da estrutura, as propriedades dos materiais que
compõem o material compósito, a geometria interna do material compósito e as possí-
veis forças e momentos externos atuantes sobre a estrutura. Essa avaliação será feita
com o auxílio de algoritmos computacionais escritos na linguagem de programação
Python.
Em seguida, será feita a análise de confiabilidade estrutural (também com o
auxílio de algoritmos computacionais) da estrutura aeronáutica à base de materiais
compósitos modelada. Nesse momento, serão comparadas as capacidades de previ-
são de falhas dos métodos de otimização e de simulação de Monte Carlo.
Serão levantadas regiões de convergências das formulações, além de compa-
rativos de custo computacional entre os métodos, a fim de se obter um cenário para a
correta tomada de decisão de projeto de estruturas aeronáuticas à base de materiais
compósitos.
9
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Foi realizada uma revisão de bibliografia sobre os temas abordados neste tra-
balho de graduação. Os trabalhos lidos incluem revisões gerais das propriedades de
estruturas de materiais compósitos e dos métodos de análise de confiabilidade, assim
como suas aplicações em problemas de engenharia.
No quarto capítulo de seu trabalho, Almeida (2008) apresenta as vantagens e
desvantagens dos métodos de análise de confiabilidade em estruturas, comparando o
método de simulação de Monte Carlo (MC) com o método de confiabilidade de 1ª or-
dem (FORM). Segundo essa comparação, ométodo deMC de cálculo de probabilidade
é de amplo uso por engenheiros pela sua facilidade de compreensão e implementa-
ção computacional, mas não é recomendável em problemas de otimização conside-
rando incertezas pois o tempo necessário para a obtenção da probabilidade via MC
demanda inúmeras análises da função de comportamento, inviabilizando o processo.
Por outro lado, o método FORM transforma as variáveis aleatórias em variáveis nor-
mais padrões reduzidas e independentes, e delas, é definido o ponto de projeto que
representa a maior probabilidade de falha. Para definir o índice de confiabilidade, é
aplicada a função de comportamento, que define se haverá falha ou não, no ponto
das médias das variáveis, e em seguida, no ponto de maior probabilidade de falha. A
distância entre esses dois pontos (no espaço da função de comportamento) é o índice
de confiabilidade.
Essa comparação é feita também por Sciuva & Lomario (2003) para calcular a
confiabilidade de estruturas compósitas. Nesse trabalho, a confiabilidade é definida
pela integração da função de densidade de probabilidade (φ) de cada variável alea-
tória (x̄i) sobre a região onde a função de comportamento (g, também chamada de
função de desempenho) é positiva. O método de Monte Carlo (MC) é uma opção para
aproximar uma solução desta integral, que, calculando g(x̄i) para um grande número
de combinações de valores de cada x̄i, encontra a razão entre o número de combi-
nações com g(x̄i) > 0 e o número total de combinações. Esse método apresenta
facilidade de implementação, mas como sua acurácia depende principalmente do nú-
mero de combinações, o consumo de tempo de implementação há de ser levado em
consideração. Outra opção é o método FORM, que é representado geometricamente
como um problema de procedimentos de busca pela menor distância num sistema de
coordenadas cartesianas multidimensional. Esse sistema é composto pelas variáveis
estocásticas x̄i, assumindo que são descritas por uma função de densidade de pro-
babilidade normal e que não são correlacionadas a nenhuma outra variável. Essas
variáveis estocásticas são transformadas em distribuições normais padronizadas (ūi),
e um novo sistema de coordenadas é descrito, onde a origem é definida como o ponto
onde todas as variáveis estocásticas assumem seu valor médio (x̄i = µi). O índice
10
de confiabilidade é definido como a razão entre amédia e o desvio padrão da função
de comportamento no ponto sobre uma superfície chamada “função de estado limite”
(em que g(x) = 0) de menor distância até a origem do sistema de coordenadas das
variáveis transformadas (este ponto sobre a função de estado limite é o “ponto mais
provável de falha”).
Silva (2019) compara o método de Monte Carlo com outro método de otimiza-
ção (que não é o método FORM), o método GRG (Generalized Reduced Gradient).
Este estudo afirma que no caso do método GRG, o índice de confiabilidade é definido
como a distância entre o projeto atual e a origem do sistema no espaço das variáveis
aleatórias reduzidas, com margem de segurança nula. É apresentada a possibilidade
de o método fornecer uma informação errônea de que um projeto é seguro, mas que
na verdade não é. Essa possibilidade surge quando o equilíbrio entre a carga externa
e a resistência é atingido minorando a força e majorando a resistência. Como o mé-
todo eleva ao quadrado as variáveis reduzidas, a informação do sinal de cada variável
é perdida, levando a índices de confiabilidade que não refletem a segurança real do
projeto. Esse procedimento não é realizado com o método de Monte Carlo, evitando
o fornecimento de informações errôneas a respeito da confiabilidade do projeto.
Daniel e Ishai (2006) apresentam as características, aplicações, vantagens, li-
mitações, configurações e comportamentos dos materiais compósitos usados na en-
genharia, destacando a importância das aplicações aeronáuticas e aeroespaciais para
o desenvolvimento da ciência dos materiais compósitos, e comparando o desempenho
destes materiais com materiais monofásicos, principalmente em relação à garantia de
qualidade, durabilidade e confiabilidade dos materiais.
Silva (2017) apresenta métodos de estimativa de valores de coeficientes de mi-
noração de carga e/ou calibração de coeficientes de segurança de estruturas à base
de materiais compósitos (como tubos confeccionados com uso de Polímeros Refor-
çados por Fibras) cujas incertezas resultam em imprevisibilidade de comportamento e
leva a projetos com subutilização da capacidade de carga. Os métodos utilizados ava-
liam a sensibilidade dos parâmetros que definem a configuração dos tubos por análise
de confiabilidade estrutural quando submetidos a pressões hidrostáticas. A análise
de confiabilidade estrutural é feita usando o método de simulações de Monte Carlo, e
foi utilizada a ferramenta Matlab com seus recursos de paralelismo, que possibilitam a
execução de um número maior de simulações em um tempomenor de processamento.
11
4 MODELAGEM DO PROBLEMA
4.1 FUNÇÃO DE PERFORMANCE
Iniciaremos o problema de cálculo de confiabilidade com um exemplo demodelo
simples de uma longarina de asa genérica como uma viga engastada na fuselagem do
avião. A princípio, será construída uma função de performance do modelo, na qual
poderemos aplicar os métodos de otimização e de simulação aleatória desenvolvidos
posteriormente para a análise da sua confiabilidade estrutural.
A estrutura da longarina é representada por uma viga engastada, e segue de-
talhada abaixo:
Figura 1: Longarina da Asa
Fonte: Elaborado pelos Autores
A força cortante máxima atuante na estrutura acima e o momento fletor máximo,
podem ser encontrados pelas seguintes relações, respectivamente [1] :
Vmax = qL (1)
Mmax =
−qL2
2
(2)
Através dos esforços máximos que atuam na estrutura, podemos desenvolver
funções de performance para a quantificação da confiabilidade estrutural.
Essa função de performance depende dos esforços máximos agindo na estru-
tura (Mmax) e da resistência dos materiais que a constituem (Madm):
Z = Madm −Mmax (3)
12
4.2 MATERIAL COMPÓSITO
Um Compósito Estrutural é um material constituído por duas ou mais fases em
escala macroscópica, cuja propriedade mecânica é superior aos dos constituintes atu-
ando separadamente [2]
Figura 2: Fases do material compósito
Fonte: Traduzido de [2]
O material geralmente é composto por uma fase matriz, contínua e com uma
baixa rigidez, e de uma fase dispersa, constituída de material com alta rigidez, com
altas propriedades mecânicas e podendo ser contínuas ou descontínuas Figura (2).
Às vezes, por interações químicas ou outros efeitos de processamento, existe
uma fase distinta adicional, chamada interfase, entre o reforço e a matriz.
As propriedades finais do material compósito dependem da combinação das
propriedades individuais, da geometria, e da distribuição das fases constituintes.
A geometria e a orientação do reforço afetam a anisotropia do sistema, e a sua
distribuição determina a uniformidade e a homogeneidade do material.
Uma grande variedade de fibras e matrizes estão disponíveis como reforço para
compósitos, sendo que as mais utilizadas são as fibras de carbono, vidro, aramida e
matrizes poliméricas e metálicas.
A seguir a tabela (1) apresenta algumas vantagens e desvantagens de diversas
fibras.
13
Tabela 1: Vantagens e desvantagens dos tipos de Matrizes e Fibras
Fibras Vantagens Desvantagens
E-glass, S- glass
Alta resistência
Baixo custo
Baixa rigidez
Curta vida em fadiga
Sensível a alta temperatura
Aramida (Kevlar)
Alta resistência à tração
Densidade baixa
Baixa resistência a compressão
Alta absorção de umidade
Boro
Alta rigidez
Alta resistência a compressão
Custo elevado
Carbono (AS4,T300,IM7)
Alta resistência
Alta rigidez
Custo moderadamente elevado
Grafite (GY-70, Pitch) Alta Rigidez
Baixa resistência
Custo elevado
Cerâmica (carboneto de silício, alumina)
Alta Rigidez
Uso em alta temperatura
Baixa resistência
Custo elevado
Fonte: Traduzido de [2]
As aplicações de compósitos são abundantes e continuam a se expandir. Suas
características de alta rigidez, alta resistência e baixa densidade torna-os altamente
desejáveis em estruturas primárias e secundárias de aeronaves militares e civis, além
de outras estruturas aeroespaciais [2].
A introdução dos materiais compósitos de alto desempenho a partir da década
de 60, chegou de maneira definitiva na indústria aeroespacial. O desenvolvimento de
fibras de carbono, boro, quartzo ofereceram ao projetista a oportunidade de flexibili-
zar os projetos estruturais, atendendo as necessidades de desempenho em voo de
aeronaves e veículos de reentrada [3].
A seguir alguns exemplos de projetos do setor aeroespacial desenvolvidos utilizando-
se materiais compósitos:
14
Figura 3: Representação da garganta de foguete produzida pelo CTA mostrando o uso
de compósitos carbono/carbono e carbono/fenólica
Fonte: Adaptado de [3]
Figura 4: Bombardeiro Northrop Grumman B-2 Spirit feito praticamente em sua totali-
dade de materiais compósitos (em especial materiais de matriz de epóxi com fibra de
carbono)
Fonte: US Air Force
15
Figura 5: Vista explodida da aeronave EMB-170, mostrando fabricados em compósitos
Fonte: Adaptado de [4]
16
4.3 FUNÇÃO DE PERFORMANCE DO MATERIAL COMPÓSITO
Uma função de performance possível do modelo descrito na seção (4.1) é de-
senvolvida em função dos momentos:
Z(Madm,Mmax) = Madm −Mmax (4)
Se o material considerado no modelo for um material compósito, suas proprie-
dades mecânicas serão alteradas em relação a um material formado por apenas um
constituinte, e como consequência, também será alterado o momento atuante supor-
tado pelo material, Madm.
Para calcular omomento fletor suportado pelomaterial compósito, deve-se iden-
tificar de quais materiais é feito o material compósito, qual a distribuição desses mate-
riais na parte interior da viga, qual a geometria dessa viga, e quais são as propriedades
mecânicas desses materiais.
Supondo que o material compósito contenha fibras distribuídas homogenea-
mente na matriz, e que o material seja isotrópico, é possível considerar o módulo de
elasticidade desse compósito, Ec, como a média ponderada dos módulos de elastici-
dade da fibra e da matriz (Ef , Em), pelas proporções de fibra e de matriz presentes no
material (ρf , ρm), de forma que:
Ec = ρfEf+ ρmEm (5)
Assim, calcula-se o momento fletor suportado pela equação:
Madm = kEcI (6)
Onde k se refere à curvatura máxima suportada pelo material e I se refere ao
momento de inércia da seção transversal.
A curvatura máxima suportada pelo material é proporcional à deformação má-
xima suportada pelo material, que no caso de um material compósito, é o mínimo das
deformações suportadas pelos materiais (normalmente, a deformação suportada pela
fibra é menor que a deformação suportada pela matriz):
εd = min
εf
εm
= k
h
2
(7)
k =
2εd
h
(8)
Para encontrar os valores das deformações máximas suportadas pela fibra e
pela matriz, é utilizada a Lei de Hooke:
17
σd = Eεd (9)
Considerando σfr o valor da tensão de resistência da fibra e σmr o valor da
tensão de resistência da matriz:
εf =
σfr
Ef
(10)
εm =
σmr
Em
(11)
O momento de inércia da seção transversal depende de sua geometria. Para uma
seção transversal retangular, com base b e altura h, o momento de inércia é dado por:
I =
bh3
12
(12)
Portanto, é possível calcular o momento fletor suportado numa viga em balanço
à base de material compósito com seção transversal retangular substituindo as equa-
ções (8), (9), (10), (11), e (12) na equação (6), resultando em:
Madm =
(
2
h
)min

σfr
Ef
σmr
Em
 (ρfEf + ρmEm)
(
bh3
12
)
(13)
Essa equação pode ser simplificada para:
Madm =
min

σfr
Ef
σmr
Em
 (ρfEf + ρmEm)
(
bh2
6
)
(14)
18
4.4 FUNÇÃO DE PERFORMANCE DA VIGA COM SEÇÃO TRANS-
VERSAL EM I
Caso a seção transversal da viga em balanço tenha uma geometria em ”I”, a
sua função de performance sofre alteração no termo do momento de inércia.
É possível supor que a seção transversal da viga tenha as dimensões exempli-
ficadas na figura abaixo:
Figura 6: Longarina da Asa com seção trasversal tipo I
Fonte: Elaborado pelos Autores
Para esse exemplo, omomento de inércia da viga é calculado da seguinte forma:
I =
th3
12
+ 2
(
bt3
12
+ bt
(
t
2
+
h
2
)2
)
(15)
Com essa alteração na seção transversal da viga, o valor do momento fletor
suportado na viga em balanço à base de material compósito passa a ser:
Madm =
(
2
h+ 2t
)min

σfr
Ef
σmr
Em
 (ρfEf + ρmEm)
(
th3
12
+ 2
(
bt3
12
+ bt
(
t
2
+
h
2
)2
))
(16)
Em conclusão, a função de performance é calculada da seguinte maneira:
Z(Madm,Mmax) = Madm −Mmax (17)
Madm =
(
2
h+ 2t
)min

σfr
Ef
σmr
Em
 (ρfEf + ρmEm)
(
t
12
[h3 + 2b(4t2 + 3h2)]
)
(18)
19
Mmax =
−qL2
2
(19)
Substituindo as equações (18) e (19) na equação (17), obtemos a função de
performance da viga com seção transversal do tipo I e feita com material compósito
em função de Madm e Mmax:
Z(Madm,Mmax) =
(
2
h+ 2t
)min

σfr
Ef
σmr
Em
 (ρfEf + ρmEm)
(
t
12
[h3 + 2b(4t2 + 3h2)]
)
−
∣∣∣∣−qL2
2
∣∣∣∣
(20)
20
5 DISTRIBUIÇÕES
5.1 DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A distribuição normal é fundamental no estudo de probabilidades e inferência
estatística. Suas origens remontam a Gauss e seus trabalhos sobre erros de observa-
ções astronômicas, por volta de 1810, donde origina o nome de distribuição gaussiana
para tal modelo [5].
A grande utilidade dessa distribuição (função densidade de probabilidade) está
associada ao fato de que aproxima de forma bastante satisfatória as curvas de frequên-
cias de medidas físicas. Essa curva é conhecida como distribuição normal ou gaussi-
ana [6].
A construção da distribuição normal depende de dois parâmetros, média µ e
variância σ2.
Dizemos que a variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros µ
e σ2, −∞ < µ < +∞ e 0 < σ2 < ∞, se sua densidade é dada por [5] :
f(x, µ, σ2) =
1
σ
√
2π
e
−(x−µ)2
2σ2 ,−∞ < x < ∞ (21)
A figura 3 ilustra uma curva normal para média µ = 20 e desvio padrão σ = 2.
Figura 7: Distribuição normal
Fonte: Elaborado pelos Autores
21
5.2 DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL
A distribuição Weibull é nomeada dessa forma em decorrência do seu criador,
o físico sueco Waloddi Weibull, que em 1939 a usou para modelar a distribuição da
resistência à ruptura de materiais.
A distribuição Weibull é uma das mais conhecidas distribuições. Descreve ade-
quadamente o resultado observado para falhas de muitos tipos diferentes de compo-
nentes e fenômenos [7].
A construção da distribuição Weibull depende de dois parâmetros, escala α e
de forma β.
Dizemos que a variável aleatória X tem distribuição Weibull com parâmetros α
e β, se sua densidade é dada por [8]:
f(α, β) =
αβ−αxα−1e−(x/β)α se x>0
0 caso contrário
(22)
A figura (4) ilustra uma curva de distribuição Weibull para α = 5 e β = 1.
Figura 8: Distribuição Weibull
Fonte: Elaborado pelos Autores
22
5.3 DISTRIBUIÇÃO EXTREMO TIPO I
Distribuições de valores extremos são usadas comumente para representar o
máximo ou mínimo de um número de amostras de várias distribuições.
A distribuição extremo tipo I, também chamada de distribuição Gumbel, é nor-
malmente utilizada para modelar cargas ambientais, como ventos e inundações. Outro
caso de utilização dessa distribuição é na modelagem de rajadas de ventos no projeto
de aeronaves [9].
A Função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição Gumbel, pode ser
expressa como:
FYn = exp[−e−αn(yn−µn)] (23)
onde µn é o maior valor característico da variável inicial X, e αn é a inverso
medida de dispersão do maior valor de X.
A função de densidade de probabilidade (PDF) da distribuição é dada por:
fYn(yn) = αne
−αn(yn−µn)exp[−e−αn(yn−µn)],−∞ < yn < +∞ (24)
Os parâmetros µn e αn se relacionam com amédia e o desvio padrão do extremo
da variável de valor Yn, na seguinte forma:
αn =
1√
6
(
π
σYn
), e µn = µYn − 0, 5772
αn
(25)
A figura (5) ilustra uma curva de distribuição Extremo tipo I para µ = 50 e σ = 5.
Figura 9: Extremo tipo I
Fonte: Elaborado pelos Autores
23
6 MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO
6.1 FORM - FIRST ORDER RELIABILITY METHOD
A primeira etapa na avaliação da confiabilidade ou probabilidade de falha de
uma estrutura é decidir sobre critérios de desempenho específicos e os parâmetros de
carga e resistência relevantes, chamadas de variáveis aleatórias básicas Xi, além de
ser necessário a construção das relações funcionais entre essas variáveis de acordo
com cada critério de desempenho. Essa relação é chamada de função de performance
ou de desempenho e pode ser definida matematicamente da seguinte forma [9]:
Z = g(X1, X2, ...Xn) (26)
A modelagem da função de performance segue o exemplo detalhado na seção
(5).
A superfície de falha ou o estado limite de interesse pode então ser definido
como Z = 0. Isso é, o limite entre as regiões seguras e inseguras no espaço de parâ-
metros do projeto, é também uma representação de um estado no qual a estrutura não
pode mais cumprir a função para qual foi projetado. Supondo que R e S sejam as duas
variáveis aleatórias básicas, a superfície de falha e as regiões seguras e inseguras são
mostradas na figura (10):
Figura 10: Estado limite
Fonte: Traduzido de [9]
O estado limite representa um papel importante no desenvolvimento dos mé-
todos de análise em confiabilidade estrutural. Um estado limite pode ser uma função
24
explícita ou implícita das variáveis aleatórias básicas.
A partir da equação (26), temos que a falha é definida quando Z = 0, pode-
mos então encontrar a probabilidade de ocorrência dessa falha como sendo a integral
definida:
pf =
∫
...
∫
g()<0
fX(x1, x2..., xn)dX1dX2dXn (27)
Em que fX(x1, x2..., xn) é a função de densidade de probabilidade conjunta para
as váriáveis aleátorias básicas X1, X2..., Xn e a integração é realizada sobre a região
de falha, ou seja, g() < 0.
Se as variáveis aleatórias forem estatisticamente independentes, então a pro-
babilidade conjunta da função de densidade pode ser substituída pelo produto das
funções de densidade de probabilidade individuais na integral.
O cálculo de pf é chamado de abordagem de distribuição completa e pode ser
considerado como sendo a equação fundamental da análise de confiabilidade. Em
geral, a funçãode densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias é pra-
ticamente impossível de obter. Ainda se disponível, a avaliação da integral múltipla é
difícil. Portanto, uma abordagem inteligente é a utilização de aproximações analíticas
desta integral que são mais simples de compreender.
O estado limite de interesse pode ser funções lineares ou não lineares das va-
riáveis básicas.
O FORM (First order reliability method), ou ainda, método de confiabilidade de
primeira ordem - nome vem do fato de que a função de performance Z é aproximada
pela expansão de Taylor de primeira ordem - pode ser usado para avaliar a Equação
15 quando a função de estado limite é uma função linear de variáveis normais não
correlacionadas ou quando a função de estado limite é não linear, mas é representada
por aproximações de primeira ordem (linear) com variáveis normais equivalentes.
A resolução do problema de confiabilidade através do método FORM, inicia-se
com a definição das variáveis no espaço reduzido:
X ′
i =
Xi − µxi
σxi
(i = 1, 2, ..., n) (28)
ondeX ′
i é uma variável aleatória de distribuição normal commédia zero e desvio
padrão unitário.
O estado limite original g(X) = 0 é então transformado no estado limite redu-
zido, g(X ′) = 0, o sistema de coordenadas X é definido como sendo o sistema de
coordenadas original e o sistema de coordenadas X ′ como sistema de coordenadas
transformadas ou reduzidas.
O índice de segurança βHL, ou índice de Hasofer-Lind [9], é definido como sendo
a distância mínima da origem dos eixos no sistema de coordenada reduzida para a
25
superfície de estado limite (superfície de falha), podendo ser expresso como:
βHL =
√
(x′∗)t(x′∗) (29)
O ponto de distância mínima na superfície do estado limite é chamado de ponto
de projeto ou ponto de verificação. É denotado pelo vetor x∗ no sistema de coorde-
nadas original e pelo vetor x′∗ no sistema de coordenadas reduzido. Esses vetores
representam os valores de todos as variáveis aleatórias, ou seja, X1, X2, ..., Xn, no
ponto de projeto correspondente ao sistema de coordenadas sendo utilizado.
Considerando uma função de performance com duas variáveis,
Z = R− S = 0 (30)
A princípio as variáveis aleatórias R e S não precisam ter distribuição normal,
podemos definir as variáveis reduzidas como sendo:
R′ =
R− µR
σR
(31)
e
S ′ =
S − µS
σS
(32)
A transformação de estados das variáveis aleatórias é detalhada na figura (11):
26
Figura 11: Função de Performance Linear
Fonte: Traduzido de [9]
Substituindo essas informações na equação (30), a equação de estado limite
no sistema de coordenadas reduzidas torna-se:
g() = σRR
′ − σSS
′ + µR − µS = 0 (33)
As regiões seguras e de falha também são mostradas na figura (10).
Através da figura 11.b, pode-se perceber que quando a linha de falha (linha de
estado limite) estiver mais próxima da origem no sistema de coordenadas reduzido, a
região de falha é maior, e se estiver mais longe da origem, a região de falha é menor.
Assim, a posição da superfície de estado limite em relação à origem do sistema de
coordenadas reduzido é uma medida da confiabilidade do sistema.
As coordenadas dos interceptos da equação (33), em R′ e S’, são
[
− (µR−µS)
σR
, 0
]
e
[
0, (µR−µS)
σS
]
respectivamente. Utilizando geometria analítica, pode-se calcular a dis-
tância da linha de estado limite com relação à origem do sistema de coordenadas
reduzidos:
βHL =
µR − µS√
σ2
R + σ2
R
(34)
27
Esta distância é conhecida como índice de confiabilidade ou índice de segu-
rança.
Nesta definição de βHL o índice de confiabilidade é invariável, pois independen-
temente da forma em que a equação de estado limite é escrita, sua forma geométrica e
a distância da origem permanecem constante. Para a superfície de estado limite onde
a região de falha está longe da origem.
Em geral, para um conjunto de variáveis aleatórias representadas pelo vetor
X = (x1, x2, ..., xn) no sistema coordenado original e X ′ = (X ′
1, X
′
2, ..., X
′
n) no sistema
de coordenadas reduzida, o estado limite g(X ′) = 0 é uma função não linear, conforme
mostrado na figura (12) para duas variáveis. As variáveis X ′
i ’s são consideradas não
correlacionadas.
g(X ′) > 0 denota a região segura e g(X ′) < 0 a região onde ocorre a falha.
Figura 12: Hasofer-Lind Reliability Index (FORM): Nonlinear Performance Function
Fonte: Traduzido de [9]
Através da figura (12), temos que x′∗ (Ponto de projeto), é o ponto de falha mais
provável.
O índice de confiabilidade de Hasofer-Lind (FORM) pode ser utilizado para cal-
cular uma aproximação de primeira ordem da probabilidade de falha, sendo definido
como pf = Φ(−βHL).
Esta é a integral da função de densidade da distribuição normal padrão ao longo
do raio que une a origem ao x′∗.
Quanto mais próximo x′∗ estiver da origem, maior será a probabilidade de falha.
Com isso, temos que o ponto com distância mínima da superfície do estado limite
também é o ponto de falha mais provável.
28
O ponto de distância mínima da origem para a superfície do estado limite, x′∗
pode também ser interpretado como sendo a pior combinação estocástica das variá-
veis aleatórias e é denominado como sendo o ponto de design/projeto ou o ponto mais
provável (MPP) de falha.
Para estados limites não lineares, o cálculo da distância mínima torna-se um
problema de otimização, onde buscamos minimizar:
D =
√
(x′)t(x′) (35)
Sujeito à restrição:
g(x) = g(x′) = 0 (36)
onde x′ representa as coordenadas do ponto de verificação na equação de es-
tado limite em coordenadas reduzidas, que precisam ser estimadas. Usando multipli-
cadores de Lagrange, pode-se obter a distância mínima como sendo:
βHL = −
∑n
i=1 x
′∗
i
(
∂g
∂X′
i
)∗
√∑n
i=1
(
∂g
∂X′
i
)2∗ (37)
onde
(
∂g
∂X′
i
)
é a i-ésima derivada parcial avaliada no ponto de projeto com coor-
denadas (x′
1, x
′
2, ..., x
′
n). O ponto do projeto nas coordenadas reduzidas é dado por:
x′∗
i = −αiβHL (i = 1, 2, ..., n) (38)
onde:
αi =
(
∂g
∂X′
i
)∗
√∑n
i=1
(
∂g
∂X′
i
)2∗ (39)
são os cossenos diretores ao longo dos eixos de coordenadasX ′
i. No espaço de
coordenadas original e usando a Equação (28), podemos encontrar o ponto de projeto:
x∗
i = µXi
− αiσXi
βHL (40)
Rackwitz (1976) [9], formulou um algoritmo para o cálculo de βHL e x′∗
i o passo
a passo do algoritmo é descrito a seguir:
29
1. Definir a função de Performance apropriada.
2. Assuma os valores iniciais do ponto de projeto x′∗
i (i = 1, 2, ..., n) . Tipicamente,
podemos assumir o ponto de partida do projeto como sendo as médias das variáveis
aleatórias. Logo após, obtenha as variáveis reduzidas x′∗
i = (x∗
i − µXi
/σXi
).
3. Avalie (∂g/∂X ′)∗ e αi em x′∗
i .
4. Obtenha o novo ponto de projeto x′∗
i em termos de βHL utilizando a equação (38).
5. Substitua o novo ponto de projeto x′∗
i na equação de estado limite g(x′∗) = 0 e
resolva para βHL.
6. Usando o valor de βHL obtido no passo 5, reavalie x′∗
i = −αiβHL.
7. Repita as etapas de 3 à 6 até a convergência de βHL.
Figura 13: Fluxograma detalhando método de Rackwitz
Fonte: Elaborado peloes Autores
30
6.2 NORMAL EQUIVALENTE
Quando nem todas as variáveis aleatórias do problema seguem uma distribui-
ção de probabilidade normal, como é comum em problemas de engenharia, é neces-
sário transformar as variáveis não normais em variáveis normais equivalentes para a
utilização do método FORM.
A transformação Rosenblatt (Rosenblatt,1952) pode ser usado para obter um
conjunto de variáveis normais padrão estatisticamente independentes, se a Função de
distribuição acumulada (CDF) conjunta de todas as variáveis aleatórias estiver disponí-
vel. Estatisticamente variáveis não normais independentes podem ser transformadas
em variáveis normais equivalentes.
Uma variável aleatória normal pode ser descrita exclusivamente por dois parâ-
metros (média e desvio padrão), o método desenvolvido por Rackwitz-Fiessler (two-
parameter equivalent normal), pode ser utilizado para a obtençãodesses parâmetros
a partir de uma variável não normal [9].
6.3 TRANSFORMAÇÃO DE DOIS PARAMETROS NORMAL EQUI-
VALENTE
Rackwitz e Fiessler (1976) estimaram os parâmetros da distribuição normal
equivalente, µN
Xi
e σN
Xi
, impondo duas condições. As funções de distribuição acumu-
lada e as funções de densidade de probabilidade das variáveis reais e das variáveis
normais equivalentes devem ser iguais no ponto de verificação (x∗
1, x
∗
2, ..., x
∗
n) na super-
fície de falha.
Considerando individualmente cada variável não normal e estatisticamente in-
dependente, podemos igualar sua CDF com a de uma variável normal equivalente no
ponto de verificação, resultando na seguinte equação [9]:
Φ
(
x∗
i − µN
Xi
σN
Xi
)
= Fxi
(x∗
i ) (41)
em que Φ é a CDF da variável normal padrão, µN
Xi
e σN
Xi
são a média e o desvio
padrão da variável normal equivalente no ponto de verificação e Fxi
(x∗
i ) é a CDF da
variável original não normal. Da equação (41), temos:
µN
Xi
= x∗
i − Φ−1[Fxi
(x∗
i )]σ
N
Xi
(42)
Igualando as funções de densidade de probabilidade (PDF’s) da variável original
com a da variável normal equivalente no ponto de verificação:
1
σN
Xi
φ
(
x∗
i − µN
Xi
σN
Xi
)
= fxi
(x∗
i ) (43)
31
em que φ e fxi
(x∗
i ) são respectivamente as PDFs da variável normal padrão e
da variável aleatória não normal. Da equação (43), temos:
σN
Xi
=
φ {Φ−1[Fxi
(x∗
i )}
fxi
(x∗
i )
(44)
Assim, tendo determinado µN
Xi
e σN
Xi
e procedendo de forma semelhante em
todos os casos que as variáveis aleatórias não seguem uma distribuição normal, po-
demos executar o método FORM para o cálculo da probabilidade de falha da função
de performance do problema.
32
7 MÉTODO DE SIMULAÇÃO
7.1 LEI DOS GRANDES NÚMEROS
O problema de obter empiricamente valores numéricos de probabilidades é um
dos interesses da estatística. Inúmeras técnicas foram desenvolvidas para que fos-
sem obtidas estimativas da probabilidade de eventos. As leis dos grandes números
fornecem a fundamentação teórica para a maioria dessas técnicas.
Em um certo espaço de probabilidade, considere um experimento em que o
evento A tem probabilidadeP (A) = p. A intuição, frequentemente aceita, indica que em
um grande número de repetições do experimento, a frequência relativa de ocorrência
de A se aproxima de p, isto é nA
n
≈ p, em que nA é a frequência de A e n o total de
repetições. Essa concepção intuitiva, importante para o método científico, foi tomada
como definição de probabilidade por muitos anos. De fato, essa definição pode ser
considerada imprecisa, se o sentido do limite não é explicitado.
A formalização axiomática de Kolmogorov em 1934, permitiu colocar em bases
matemáticas sólidas vários dos conceitos intuitivamente aceitos. Para experimentos
aleatórios, a noção intuitiva de probabilidade, como frequência relativa para muitas
repetições, torna-se um resultado matemático rigoroso, através da aplicação de um
caso especial da Lei dos Grandes Números [10].
7.1.1 DEFINIÇÃO: LEI DOS GRANDES NÚMEROS
Sejam X1, X2, ... variáveis aleatórias com esperanças finitas e seja Sn = X1 +
X2 + ...Xn. A sequência {Xn : n ≥ 1} satisfaz a Lei Fraca dos Grandes Números se:
Sn
n
− E(
Sn
n
)
p→ 0; (45)
e A Lei Forte dos Grandes Números se:
Sn
n
− E(
Sn
n
)
qc→ 0. (46)
7.2 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
O teorema do limite central é um teorema fundamental de probabilidade e es-
tatísticas. O teorema descreve a distribuição da média de uma amostra aleatória de
uma população com variância finita. Quando o tamanho amostral é suficientemente
grande, a distribuição da média é uma distribuição aproximadamente normal. O te-
orema aplica-se independentemente da forma da distribuição da população. Muitos
33
procedimentos estatísticos comuns requerem que os dados sejam aproximadamente
normais [11].
7.2.1 DEFINIÇÃO: TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Sejam {Xn : n ≥ 1} variáveis aleatórias independentes, identicamente dis-
tribuídas e com esperança µ e variância σ2, com 0 < σ2 < ∞. Então, para Sn =
X1 +X2 + ...Xn, temos:
Sn − nµ
σ
√
n
d→ N(0, 1). (47)
7.3 PROCESSO DE MONTE CARLO
O nomeMonte Carlo foi aplicado a uma classe de métodos matemáticos usados
pela primeira vez por cientistas que trabalham no desenvolvimento de armas nucleares
em Los Alamos na década de 40. A essência do método é a invenção de jogos de azar
cujo comportamento e resultado podem ser usados para estudar alguns fenômenos
interessantes [12].
O processo de Monte Carlo envolve a geração de muitos valores aleatórios ou
pseudoaleatórios, para computar algumas quantidades não necessariamente aleató-
rias, com base na Lei dos Grandes Números e no Teorema do Limite Central, consi-
derando as distribuições que melhor representam as variáveis aleatórias de interesse.
No caso da análise da confiabilidade de estruturas, isto quer dizer que, para
cada variável aleatória do modelo físico estudado, será gerada randomicamente e as-
sim será possível formar um vetor ui = {X1, X2, ..., Xn}
A função de performance é então avaliada em Z(ui), se ela for violada (i.e.
Z(ui)≤0), a estrutura ou o elemento não satisfez às condições mínimas exigidas.
Assim o experimento é repetido muitas vezes com a geração de um novo vetor
ui = {X1, X2, ..., Xn} em cada iteração.
Finalmente, se um número N de experimentos são feitos, a probabilidade de
falha é dada aproximadamente por [13]:
pf ≈ n(Z(ui)≤0)
N
(48)
onde: n(Z(ui)≤0) é o número de vezes que a função de performance teve va-
lores Z(ui) < 0 e N é o número de avaliações da função de performance necessárias
para a precisão desejada.
O índice de confiabilidade encontrado através do método de Monte Carlo pode
ser encontrado através da seguinte relação:
34
βmc =
µZ(ui)
σZ(ui)
(49)
35
8 RESULTADOS
8.1 PROBLEMA PROPOSTO
O problema proposto é o mesmo que foi desenvolvido na seção (4.4). Busca-
remos encontrar a probabilidade de falha da seguinte função de performance:
Z(Madm,Mmax) =
(
2
h+ 2t
)min

σfr
Ef
σmr
Em
 (ρfEf + ρmEm)
(
t
12
[h3 + 2b(4t2 + 3h2)]
)
−
∣∣∣∣−qL2
2
∣∣∣∣
(50)
Para encontrar essa probabilidade de falha, utiliza-se os métodos de Monte
Carlo e de otimização (FORM), destacados em seções anteriores.
Assim, foram definidas as distribuições das variáveis aleatórias consideradas, e
seus coeficientes de variação. Para exemplificar a execução dos métodos, selecionou-
se valores médios para as variáveis de forma que seja possível obter o índice de con-
fiabilidade e a probabilidade de falha, apenas para fins de comparação.
Essa configuração não necessariamente teria (em um projeto real) valores mé-
dios idênticos aos utilizados nesse exemplo. O algoritmo de comparação dos métodos
de análise de confiabilidade pode ser executado utilizando quaisquer valores médios
das variáveis como parâmetros da função de performance.
As variáveis aleatórias consideradas no problema, suas respectivas distribui-
ções, e os valores médios selecionados como exemplo para executar os métodos de
análise, estão representadas a seguir:
Tabela 2: Variáveis aleátorias e suas distribuições
Variável Aleatória Distribuição Média Coef. Var. Desv. Pad. Unidade
h Normal 0,20 5% 0,01 m
t Normal 0,02 5% 0,001 m
σfr Normal 3516000000 5% 175800000 Pa (N/m^2)
Ef Normal 234430000000 5% 11721500000 Pa (N/m^2)
Em Normal 3350000000 5% 167500000 Pa (N/m^2)
b Normal 0,05 5% 0,0025 m
q Extremo Tipo I 100000 5% 5000 N/m
L Normal 2 5% 0,100 m
Além disso, vamos supor que o material terá o carregamento máximo suportado
limitado pela fibra, i.e:
min

σfr
Ef
σmr
Em
⇒ σfr
Ef
(51)
E sua composição é de ρf = 0.2 e ρm = 0.8
36
8.1.1 FUNÇÃO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE DA FUNÇÃO DE PERFOR-
MANCE
Fonte: Elaborado pelos Autores
8.1.2 RESOLUÇÃO FORM
Antes da resolução do problema proposto pelo método FORM, foi necessário
realizar a normalização da distribuição de probabilidade da variável aleatória q, que
segue uma distribuição do tipo extremo tipo I. A normalização utilizadafoi descrita
pelo método de Rackwitz e Fiessler, visto na seção (6), e implementado utilizando-se
a linguagem Python (Anexo).
A resposta obtida através do método FORM, convergiu na 3ª iteração para o
nível de tolerância estipulado para βHL, conforme podemos ver na tabela a seguir que
representa a saída do console após o processo iterativo ser finalizado:
Tabela 3: Saída obtida através do método FORM no console Python
Iteração βHL
0 0.148065
1 0.148059
2 0.148054
Sendo a probabilidade de falha para esse valor de βHL igual a pf = 44.0%
37
8.1.3 RESOLUÇÃO MONTE CARLO
Para a resolução através do método de Monte Carlo foi admitido N = 1000001.
As variáveis aleatórias do problema proposto foram simuladas considerando
suas distribuições originais, logo após, foi computada a função de performance e a
probabilidade de falha como descrito na seção (7.3).
A seguir a tabela resume as saídas obtidas no console Python:
Tabela 4: Saída obtida através do método Monte Carlo
Simulação h t σfr Ef Em b q L Z
0 0,21 0,02 3152079773,49 246082082610,45 3456838981,28 0,05 91102,46 2,02 7320,28
1 0,20 0,02 3273388726,13 243130041984,42 3328484033,22 0,04 87767,81 1,96 14436,38
2 0,20 0,02 3531396706,20 234646417178,58 3231188752,84 0,05 90714,82 2,04 12830,04
3 0,21 0,02 3678671826,37 237892005974,37 3294330043,48 0,05 101163,49 1,88 62460,63
4 0,20 0,02 3655355341,60 256349300717,47 3346376895,09 0,05 100770,81 2,05 12394,27
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
999996 0,21 0,02 3657644226,86 229040612340,47 3524133114,96 0,05 93968,19 1,99 53026,88
999997 0,19 0,02 3340742307,66 217587794165,83 3165221504,89 0,05 103270,28 1,85 4596,63
999998 0,21 0,02 3254801442,91 239608274390,94 3383845384,45 0,05 94390,33 1,97 14784,46
999999 0,19 0,02 3410177768,15 230211633862,45 3086043647,98 0,05 92152,85 2,09 -25886,55
Sendo a probabilidade de falha obtida através dessa simulação e o índice de
confiabilidade iguais a, pf = 34.0% e βmc = 0.335209, respectivamente.
A implementação dos algoritmos utilizados nessa seção encontra-se disponível
no ambiente de desenvolvimento online ”Google Colaboratory”, para consulta, através
do link:
https://colab.research.google.com/drive/1bNaxM5S7Z-FVjvkzUBERADnwS
IK7t6Bv?usp=sharing.
E no Anexo do presente trabalho.
38
https://colab.research.google.com/drive/1bNaxM5S7Z-FVjvkzUBERADnwSIK7t6Bv?usp=sharing
https://colab.research.google.com/drive/1bNaxM5S7Z-FVjvkzUBERADnwSIK7t6Bv?usp=sharing
9 CONCLUSÕES
Com os resultados obtidos, é possível observar que há diferenças significati-
vas entre os métodos de otimização e de simulações. A diferença mais notável é a
estimativa da probabilidade de falha, que apresentou valores com uma divergência
considerável. Possivelmente essa diferença observada se deve ao processo de nor-
malização da distribuição de probabilidade da variável aleatória q, que foi realizada
seguindo o método de Rackwitz e Fiessler com o objetivo de transformar a distribuição
dessa variável de extremo tipo I para normal.
Também é possível observar uma diferença clara no custo de processamento
e de memória entre os métodos. Enquanto o método de otimização requer apenas
3 iterações do algoritmo para convergir a um valor do índice de confiabilidade (com
a primeira iteração já sendo uma aproximação da convergência na quarta casa deci-
mal), o método de simulações de Monte Carlo requer uma quantidade muito maior de
simulações para calcular, com precisão, a probabilidade de falha dessa estrutura.
Por fim, o método de Monte Carlo requer uma complexidade de desenvolvi-
mento menor, sendo necessário apenas conhecer a função de performance do pro-
blema proposto e calcular o valor da função para cada combinação de valores gerados
aleatoriamente para as variáveis conforme a distribuição proposta para cada, enquanto
o método de otimização exige a redução de cada variável, a normalização de variáveis
que possuírem distribuição diferente da normal e a avaliação do gradiente. Além da
modelagem da estrutura e da função de performance que também são realizadas no
método de Monte Carlo.
Evidentemente, caso haja poder computacional para tal, o desenvolvimento de
uma ferramenta de análise de confiabilidade de uma estrutura é mais simples (porém
ainda suficientemente correta) utilizando o método de Monte Carlo.
Para os valores médios utilizados no presente estudo, observa-se que o índice
de confiabilidade está demasiadamente baixo (e a probabilidade de falha demasia-
damente alta, como consequência) para que um projeto de uma longarina de asa de
aeronave fosse realmente desenvolvido considerando esses valores.
No desenvolvimento real de um projeto de asa de aeronave, a comparação entre
os métodos de análise de confiabilidade pode ser uma ferramenta valiosa para haver
mais exatidão na avaliação do projeto. Com o aumento da quantidade de variáveis
aleatórias presentes no modelo utilizado, também se espera uma maior dificuldade
em decidir os melhores parâmetros de projeto.
Com essa ferramenta, que permite avaliar a confiabilidade de uma estrutura por
dois métodos diferentes e aumenta a certeza da própria avaliação, antes de um projeto
ser finalizado, já é possível ter uma análise prévia da confiabilidade da estrutura.
A comparação também pode ser valiosa para fins didáticos, em que estudantes
39
conseguiriam visualizar alguns exemplos semelhantes à realidade prática que possi-
velmente facilitaria a compreensão dos métodos de análise de confiabilidade, do uso
de materiais compósitos em estruturas e da modelagem dessas estruturas.
Pelo fato de o algoritmo ter sido desenvolvido em ambiente online, é possível ser
utilizado como ferramenta didática, apenas disponibilizando o endereço para estudan-
tes interessados em compreender os métodos de análise de confiabilidade. O código
do algoritmo deixa explícito quais etapas precisam ser executadas para calcular, com
precisão, o índice de confiabilidade e a probabilidade de falha, e o ambiente permite
que esse algoritmo seja executado para novos valores das variáveis aleatórias, sem
necessidade de alteração do programa.
9.1 SUGESTÕES DE FUTUROS TRABALHOS
Essa seção visa sugerir estudos complementares ou baseados nesse trabalho,
como segue:
• Desenvolvimento de um estudo do erro gerado no cálculo do índice de confiabi-
lidade no método de otimização devido à normalização
• Verificação dos riscos associados à multicolinearidade entre variáveis indepen-
dentes
• Estudos de otimização, para encontrar configurações com melhor desempenho
40
Referências
[1] GASPAR, R.; TRAUWTEIN, L. M. Introdução à mecânica dos sólidos. [S.l.]: PLÊI-
ADE, 2016.
[2] DANIEL, I.; ISHAI, O. Engineering mechanics of composite materials. Second.
[S.l.]: Oxford University Press, 2006.
[3] BOTELHO E. C. O.; REZENDE, M. C. O uso de compósitos estruturais na in-
dústria aeroespacial. Polímeros. 2000, v. 10, n. 2, pp. e4-e10. Disponível em:
<https://doi.org/10.1590/S0104-14282000000200003>.
[4] REZENDE, M. C. Fractografia de Compósitos Estruturais. Polímeros, 2007,
v. 17, n. 3, pp. E4-E11. Disponível em: <https://doi.org/10.1590/S0104-
14282007000300003.>.
[5] MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. d. O. Estatística básica. [S.l.]: Saraiva, 2004.
[6] ZIBETTI, A. Distribuição Normal (Gaussiana) - Distribuição Normal. Disponível em:
<https://www.inf.ufsc.br/ andre.zibetti/probabilidade/normal.html>.
[7] LAI, C.-D.; MURTHY, D.; XIE, M. Weibull distributions and their applications. Sprin-
ger Handbook of Engineering Statistics, Chapter 3, p. 63–78, 02 2006.
[8] LAW, A. M. Simulation Modeling and Analysis. 5. ed. [S.l.]: McGraw-Hill Educa-
tion, 2014. (Mcgraw-hill Series in Industrial Engineering and Management). ISBN
0073401323,9780073401324.
[9] HALDAR, A.; MAHADEVAN, S. Probability, Reliability, and Statistical Methods in
Engineering Design. [S.l.]: Wiley, 1999. ISBN 9780471331193.
[10] MAGALHÃES, M. N. Probabilidade e Variáveis Aleatórias. [S.l.]: Edusp, 2006.
ISBN 9788531409455.
[11]MINITAB. O teorema do limite central: as médias de amostras grandes e aleató-
rias são aproximadamente normais. Disponível em: <https://support.minitab.com/pt-
br/minitab/18/help-and-how-to/statistics/basic-statistics/supporting-topics/data-
concepts/about-the-central-limit-theorem/>.
[12] KALOS, M. H.; WHITLOCK, P. A. Monte Carlo Methods. 2. ed. [S.l.]: Wiley-VCH,
2008.
[13] ALMEIDA, A. F. D. Projeto ótimo baseado em confiabilidade de pórticos planos
de concreto armado. 2008. Tese de Doutorado ( Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Civil) - PUC-Rio, 2008, Certificação Digital Nº 0410735/CA.
41
[14] SCIUVA, M. D.; LOMARIO, D. A comparison between monte carlo and forms in
calculating the reliability of a composite structure. Composite Structures, v. 59, p.
155–162, 01 2003.
[15] SILVA, M. A. Análise de formulações de problemas de confiabilidade estrutural.
2019. In: Congresso Ibero-LatinAmerican de métodos computacionais em engenha-
ria, nº XL, 2019, Natal. CILAMCE 2019. Natal: ABMEC, 2019. p.1-14.
[16] SILVA, R. M. Análise de confiabilidade estrutural de tubos de materiais compó-
sitos submetidos à pressões uniformes. 2017. Monografia (Bacharelado em Enge-
nharia Civil) - Universidade Federal de Alagoas - UFAL, Campus do Sertão. Delmiro
Gouveia, 2017.
[17] BEER, F. P. et al. Mechanics of materials. [S.l.]: McGraw-Hill Education, 2014.
[18] BARBERO, E.; FERNANDEZ-SAEZ, J.; NAVARRO, C. Mechanical properties of
composite materials. Department of Mechanical Engineering, Carlos II University of
Madrid, Madrid, Spain. 2000.
42
Script Python
1 # −∗− coding : utf −8 −∗−
2 ”””TG_FORM_E_MONTE_CARLO.ipynb
3
4 Automatica l ly generated by Colaboratory .
5 Notebook Desenvolvido para r e s o l u ção dos problemas apresentados no ...
Trabalho de gradua ção em Engenharia Aeroe spac i a l da
6 UFABC, pe l o s a lunos @José w i l l i a n s e @Gabriel S i l v a .
7
8 O traba lho apresentado tem como tema : ”∗∗ COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS DE ...
ANÁLISE DE CONFIABILIDADE EM ESTRUTURAS
9 AERONÁUTICAS À BASE DE
10 MATERIAIS COMPÓ”SITOS∗∗
11
12 O traba lho completo pode s e r v i s t o no l i n k :
13
14 Tendo dú v idas sobre o mate r i a l aqui expostos , en t ra r em contato ...
conosco v ia e−mail : wi l l iarandu@hotmai l . com
15
16
17 ∗∗A reprodu ção des se conteúdo é l i v r e para f i n s Acadê micos . ∗∗
18
19 # <center >BIBLIOTECAS </center >
20 ”””
21
22 # Commented out IPython magic to ensure Python c o m p a t i b i l i t y .
23 import pandas as pd
24
25 from sympy import symbols , d i f f , Eq , s o l v e
26
27 import numpy as np
28 import math
29 import random
30
31 import m a t p l o t l i b . p y p l o t as p l t
32 import numpy as np
33 import seaborn as sns
34
35 from s c i p y . s t a t s import weibull_min
36
37 # %matp lo t l i b i n l i n e
38 from s c i p y . s t a t s import norm
39
40 from IPython .d i sp lay import Image
41
43
42 from s c i p y . s t a t s import lognorm
43
44 pd.set_opt ion ( ' display.max_columns ' , None )
45
46 ”””#<center > FUNÇÕES AUXILIARES DO PROGRAMA </center >
47
48 ”””
49
50
51 ### c r i a d i s t r i b u i ção normal com mé dia e desv io padrão de imput :
52 de f gera_distr ibuicao_normal ( n_simula çõ es =1000000 , mu=0, sigma=1) :
53 l i s ta_va lore s_px = [ ]
54 acumulador = 0
55 whi le acumulador ≤ n_simula çõ es :
56 l i s ta_valores_px.append ( random.normalvar iate (mu=mu, sigma=sigma ) )
57 acumulador = acumulador + 1
58 re turn ( np .array ( l i s ta_va lore s_px ) )
59
60
61 ### c r i a d i s t r i b u i ção extremo t ipo 1 (Gumbel ) com mé dia e desv io ...
padrão de imput :
62 de f gera_distr ibuicao_extremo_tipo_1 ( n_simula çõ es =1000000 , mu=50, ...
sigma=5) :
63 l i s ta_va lore s_px = [ ]
64 acumulador = 0
65 whi le acumulador ≤ n_simula çõ es :
66 l i s ta_valores_px.append ( ( ( np . l og (− np . l og ( np.random.uniform ( ) ) ) ) ...
∗ sigma ) + mu)
67 acumulador = acumulador + 1
68 re turn ( np .array ( l i s ta_va lore s_px ) )
69
70
71 ### c r i a d i s t r i b u i ção we ibu l l de do i s parametros de imput f a t o r de ...
modulo e e s c a l a :
72 de f gera_distr ibuicao_weibul l_two_params ( n_simula çõ es , lam , k ) :
73 # n number o f samples
74 # k shape alpha
75 # lam s c a l e beta
76
77 n = n_simula çõ es
78
79 x = weibul l_min.rvs (k , l o c =0, s c a l e=lam , s i z e=n)
80 re turn ( x )
81
82
83 ### c r i a d i s t r i b u i ção Lognormal paramertros_media_desvio_padrao :
84 de f gera_distr ibuicao_log_normal ( n_simula çõ es =1000000 , mu=38, sigma=3. 8 ) :
44
85 n = n_simula çõ es
86 x = np.random.lognormal (mu, sigma , n)
87 re turn ( x )
88
89
90 #### Two−Parameter Equiva lent NormalTransformation Rackwitz−F i e s s l e r ...
method :
91
92 de f calculate_normal_equivalent_log_normal (mu=38, sigma=3.8 , ...
de l ta_f=0. 1 ) :
93 q s i = np . sq r t ( np . l og (1 + de l ta_f ∗∗ 2) )
94 lambda_f = np . l og (mu) − (0 . 5 ∗ ( q s i ) ∗∗ 2)
95 mu_norm = mu ∗ (1 − np . l og (mu) + lambda_f )
96 sigma_norm = q s i ∗ mu
97 re turn (mu_norm, sigma_norm )
98
99
100 de f calculate_normal_equivalent_log_normal_2 (mu=27.64 , sigma=3.79 ) :
101 de l ta_f = sigma / mu
102 q s i = np . sq r t ( np . l og (1 + de l ta_f ∗∗ 2) )
103 lambd_f = np . l og (mu) − (0 . 5 ∗ ( q s i ∗∗ 2) )
104 cd f = (1 / ( np . sq r t (2 ∗ np .p i ) ∗ q s i ∗ mu) ) ∗ ( np.exp(−0 . 5 ∗ ...
( ( ( np . l og (mu) − lambd_f ) ) / q s i ) ∗∗ 2) )
105 inv_pdf = ( np . l og (mu) − ( lambd_f ) ) / q s i
106 ppf = (1 / ( np . sq r t (2 ∗ np .p i ) ) ) ∗ np.exp(−0 . 5 ∗ inv_pdf ∗∗ 2)
107
108 sigma_nomr_y = ppf / cd f
109 mu_normr_y = mu − ( inv_pdf ∗ sigma_nomr_y)
110
111 re turn (mu_normr_y , sigma_nomr_y)
112
113
114 de f calculate_normal_equivalent_extremo_tipoI (mu=50, sigma=5) :
115 #### Two−Parameter Equiva lent NormalTransformation ...
Rackwitz−F i e s s l e r method :
116 u_n = mu
117 a_n = 1 / sigma
118
119 ##### Calulando Cdf ( fun ção de probab i l i dade Acumulada da ...
d i s t r i b u i c a o : )
120
121 cdf_star = np.exp (−( np.exp(−a_n ∗ (mu − u_n) ) ) )
122
123 ##### calcu lando PDF ( fun ção de dens idade de probab i l i dade ...
o r i g i n a l da d i s t r i b u i c a o ) :
124 pdf_star = a_n ∗ np.exp(−a_n ∗ (mu − u_n) ) ∗ np.exp(−np.exp(−a_n ∗ ...
(mu − u_n) ) )
45
125
126 sigma_norm = ( norm.pdf ( norm.ppf ( cdf_star ) ) / pdf_star )
127 mu_norm = mu − (( norm.ppf ( cdf_star ) ) ∗ sigma_norm )
128
129 re turn (mu_norm, sigma_norm )
130
131
132 ### gera gr á f i c o da d i s t r i b u i ção :
133 de f gera_grá f i c o _ d i s t r i b u i c a o ( d i s t , l a b e l =”Normal ” , name=' t e s t ' ) :
134 s n s . s e t ( s t y l e =”white ” , p a l e t t e=”muted ” , co lor_codes=True )
135
136 f , axes = p l t . s u b p l o t s (1 , 1 , f i g s i z e =(9 , 5) , sharex=True )
137 s n s . d e s p i n e ( l e f t=True )
138
139 s n s . d i s t p l o t ( d i s t , l a b e l=labe l , c o l o r=”BLUE”)
140 p l t . t i t l e (name)
141 p l t . l e g e n d ( )
142 pl t . show ( )
143
144
145 ”””#<center > RESOLUÇÃO VIA FORM </center >”””
146
147 ##### i n i c i o do problema :
148 ##### constru ção do data frame e contadores :
149 data_resu l tados = pd.DataFrame ( )
150 i = 0
151 di f_beta = 0 . 1
152
153 data_resu l tados [ ” I t e r a ção ” ] = [ ]
154 data_resu l tados [ ” beta ” ] = [ ]
155 data_resu l tados [ ”G(u) ” ] = [ ]
156 data_resu l tados [ ”Grad_G(u) ” ] = [ ]
157 data_resu l tados [ ” (U_x,U_y) ” ] = [ ]
158
159 l i s t _ i = [ ]
160 l i s t_grad = [ ]
161 list_g_U = [ ]
162 l ist_mpp = [ ]
163 l i s t _ b e t a = [ ]
164
165 #### CONSTANTES MATERIAL COMPÓSITO :
166 rho_f ibra = 0 . 2 # Percentua l de Fibra
167 rho_matriz = 0 . 8 # Percentua l de Resina
168
169 #### DEFININDO DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE INICIAIS (mé dias , de sv io ...
padrao ) :
170
46
171 d_h = (0 .2 , 0 . 01 ) # ¬ Normal (m)
172 d_t = (0 .02 , 0 .001 ) # ¬ Normal (m)
173 d_sigma_fibra = (3516000000 , 175800000) # ¬ Normal (m)
174 d_E_fibra = (234430000000 ,11721500000) # ¬ Normal (N/m^2)
175 d_E_matriz = (3350000000 , 167500000) # ¬ Normal (N/m^2)
176 d_b = (0 .05 , 0 .0025 ) # ¬ Normal (m)
177 d_q = (100000 , 5000) # ¬ Extremo t ipo I (N)
178 d_l = (2 , 0 .100 ) # ¬ Normal (m)
179
180 ###### DEFINIÇÃO DAS VARIÁVEIS ALEÁTORIAS NO ESPAÇO ORIGINAL E REDUZIDO:
181 h , t , s igma_fibra , E_fibra , E_matriz , b , q , l , h_reduzido , t_reduzido , ...
s igma_fibra_reduzido , E_fibra_reduzido , \
182 E_matriz_reduzido , b_reduzido , q_reduzido , l_reduzido = symbols (
183 ' h t s igma_fibra E_fibra E_matriz b q l h_reduzido t_reduzido ...
s igma_fibra_reduzido E_fibra_reduzido '
184 ' E_matriz_reduzido b_reduzido q_reduzido l_reduzido ' ,
185 r e a l=True )
186
187 ###### DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO DE PERFORMANCE DO PROBLEMA NO ESPAÇO ORIGINAL:
188
189 g = ((2 / (h + (2 ∗ t ) ) ) ∗ ( s igma_fibra / E_fibra ) ∗ ( rho_f ibra ∗ ...
E_fibra + rho_matriz ∗ E_matriz ) ∗ (
190 ( t / 12) ∗ ( ( h ∗∗ 3) + ((2 ∗ b) ∗ ( (4 ∗ t ∗∗ 2) + (3 ∗ (h ∗∗ ...
2) ) ) ) ) ) ) − ( ( q ∗ ( l ∗∗ 2) ) / 2)
191
192 #### NORMALIZAR VARIÁVEL EXTREMO TIPO I :
193 q_N = calculate_normal_equivalent_extremo_tipoI (d_q [ 0 ] , d_q [ 1 ] )
194
195 ### VETOR DAS VARIAVEIS ALEÁTORIAS NO ESPAÇO REDUZIDO:
196 X = np.array ( [ d_h [ 0 ] + h_reduzido ∗ d_h [ 1 ] , d_t [ 0 ] + t_reduzido ∗ d_t [ 1 ] ,
197 d_sigma_fibra [ 0 ] + sigma_fibra_reduzido ∗ d_sigma_fibra [ 1 ] ,
198 d_E_fibra [ 0 ] + E_fibra_reduzido ∗ d_E_fibra [ 1 ] , ...
d_E_matriz [ 0 ] + E_matriz_reduzido ∗ d_E_matriz [ 1 ] ,
199 d_b [ 0 ] + b_reduzido ∗ d_b [ 1 ] ,
200 q_N[ 0 ] + q_reduzido ∗ q_N[ 1 ] ,
201 d_l [ 0 ] + l_reduzido ∗ d_l [ 1 ] ] )
202
203 ##### FUNÇÃO DE PERFOMANCE NO ESPAÇO REDUZIDO:
204 G_u = ((2 / (X[ 0 ] + (2 ∗ X[ 1 ] ) ) ) ∗ (X[ 2 ] / X[ 3 ] ) ∗ ( rho_f ibra ∗ X[ 3 ] + ...
rho_matriz ∗ X[ 4 ] ) ∗ (
205 (X[ 1 ] / 12) ∗ ( (X[ 0 ] ∗∗ 3) + ((2 ∗ X[ 5 ] ) ∗ ( (4 ∗ X[ 1 ] ∗∗ 2) + ...
(3 ∗ (X[ 0 ] ∗∗ 2) ) ) ) ) ) ) − (
206 (X[ 6 ] ∗ (X[ 7 ] ∗∗ 2) ) / 2)
207
208 ##### PONTO DE PARTIDA:
209 mpp_star = np.array ( [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] , dtype=f l o a t )
210
47
211 #### TOLERÂNCIA DO BETA:
212 t o l l = 0 .000005
213
214 #### Í̃NICIO DA ITERAÇÃO:
215 whi le di f_beta > t o l l :
216 l i s t _ i . a p p e n d ( i )
217
218 #################### GRADIENTE ########################
219 dgu_dh_reduzido = ( d i f f (G_u, h_reduzido ) ) . sub s ( h_reduzido , ...
mpp_star [ 0 ] ) . sub s ( t_reduzido , mpp_star [ 1 ] ) . sub s (
220 s igma_fibra_reduzido , mpp_star [ 2 ] ) . sub s ( E_fibra_reduzido , ...
mpp_star [ 3 ] ) . sub s ( E_matriz_reduzido ,
221 mpp_star [ 4 ] ) . sub s ( b_reduzido ,
222 mpp_star [ 5 ] ) . sub s (
223 q_reduzido , mpp_star [ 6 ] ) . sub s ( l_reduzido , mpp_star [ 7 ] )
224 dgu_dt_reduzido = ( d i f f (G_u, t_reduzido ) ) . sub s ( h_reduzido , ...
mpp_star [ 0 ] ) . sub s ( t_reduzido , mpp_star [ 1 ] ) . sub s (
225 s igma_fibra_reduzido , mpp_star [ 2 ] ) . sub s ( E_fibra_reduzido , ...
mpp_star [ 3 ] ) . sub s ( E_matriz_reduzido ,
226 mpp_star [ 4 ] ) . sub s ( b_reduzido ,
227 mpp_star [ 5 ] ) . sub s (
228 q_reduzido , mpp_star [ 6 ] ) . sub s ( l_reduzido , mpp_star [ 7 ] )
229 dgu_dsigma_fibra_reduzido = ( d i f f (G_u, ...
s igma_fibra_reduzido ) ) . sub s ( h_reduzido , ...
mpp_star [ 0 ] ) . sub s ( t_reduzido ,
230 mpp_star [ 1 ] ) . sub s (
231 s igma_fibra_reduzido , mpp_star [ 2 ] ) . sub s ( E_fibra_reduzido , ...
mpp_star [ 3 ] ) . sub s ( E_matriz_reduzido ,
232 mpp_star [ 4 ] ) . sub s ( b_reduzido ,
233 mpp_star [ 5 ] ) . sub s (
234 q_reduzido , mpp_star [ 6 ] ) . sub s ( l_reduzido , mpp_star [ 7 ] )
235 dgu_dE_fibra_reduzido = ( d i f f (G_u, ...
E_fibra_reduzido ) ) . sub s ( h_reduzido , mpp_star [ 0 ] ) . sub s ( t_reduzido ,
236 mpp_star [ 1 ] ) . sub s (
237 s igma_fibra_reduzido , mpp_star [ 2 ] ) . sub s ( E_fibra_reduzido , ...
mpp_star [ 3 ] ) . sub s ( E_matriz_reduzido ,
238 mpp_star [ 4 ] ) . sub s ( b_reduzido ,
239 mpp_star [ 5 ] ) . sub s (
240 q_reduzido , mpp_star [ 6 ] ) . sub s ( l_reduzido , mpp_star [ 7 ] )
241 dgu_dE_matriz_reduzido = ( d i f f (G_u, ...
E_matriz_reduzido ) ) . sub s ( h_reduzido , ...
mpp_star [ 0 ] ) . sub s ( t_reduzido ,
242 mpp_star [ 1 ] ) . sub s (
243 s igma_fibra_reduzido , mpp_star [ 2 ] ) . sub s ( E_fibra_reduzido , ...
mpp_star [ 3 ] ) . sub s ( E_matriz_reduzido ,
244 mpp_star [ 4 ] ) . sub s ( b_reduzido ,
245 mpp_star [ 5 ] ) . sub s (
48
246 q_reduzido , mpp_star [ 6 ] ) . sub s ( l_reduzido , mpp_star [ 7 ] )
247 dgu_db_reduzido = ( d i f f (G_u, b_reduzido ) ) . sub s ( h_reduzido , ...
mpp_star [ 0 ] ) . sub s ( t_reduzido , mpp_star [ 1 ] ) . sub s (
248 s igma_fibra_reduzido , mpp_star [ 2 ] ) . sub s ( E_fibra_reduzido , ...
mpp_star [ 3 ] ) . sub s ( E_matriz_reduzido ,
249 mpp_star [ 4 ] ) . sub s ( b_reduzido ,
250 mpp_star [ 5 ] ) . sub s (
251 q_reduzido , mpp_star [ 6 ] ) . sub s ( l_reduzido , mpp_star [ 7 ] )
252 dgu_dq_reduzido = ( d i f f (G_u, q_reduzido ) ) . sub s ( h_reduzido , ...
mpp_star [ 0 ] ) . sub s ( t_reduzido , mpp_star [ 1 ] ) . sub s (
253 s igma_fibra_reduzido , mpp_star [ 2 ] ) . sub s ( E_fibra_reduzido , ...
mpp_star [ 3 ] ) . sub s ( E_matriz_reduzido ,
254 mpp_star [ 4 ] ) . sub s ( b_reduzido ,
255 mpp_star [ 5 ] ) . sub s (
256 q_reduzido , mpp_star [ 6 ] ) . sub s ( l_reduzido , mpp_star [ 7 ] )
257 dgu_dl_reduzido = ( d i f f (G_u, l_reduzido ) ) . sub s ( h_reduzido , ...
mpp_star [ 0 ] ) . sub s ( t_reduzido , mpp_star [ 1 ] ) . sub s (
258 s igma_fibra_reduzido , mpp_star [ 2 ] ) . sub s ( E_fibra_reduzido , ...
mpp_star [ 3 ] ) . sub s ( E_matriz_reduzido ,
259 mpp_star [ 4 ] ) . sub s ( b_reduzido ,
260 mpp_star [ 5 ] ) . sub s (
261 q_reduzido , mpp_star [ 6 ] ) . sub s ( l_reduzido , mpp_star [ 7 ] )
262
263 ##### GRADIENTE CALCULADO NO MPP STAR:
264 gradiente_gu_mpp = np.array (
265 [ dgu_dh_reduzido , dgu_dt_reduzido , dgu_dsigma_fibra_reduzido , ...
dgu_dE_fibra_reduzido , dgu_dE_matriz_reduzido ,
266 dgu_db_reduzido , dgu_dq_reduzido , dgu_dl_reduzido ] , dtype=f l o a t )
267 l i s t_grad .append ( gradiente_gu_mpp )
268
269 #### FUNÇÃO DE PERFORMANCE DO ESPAÇO REDUZIDO CALCULADO NO MPP STAR
270 G_u_mpp = ((2 / (X[ 0 ] . sub s ( h_reduzido , mpp_star [ 0 ] ) + (2 ∗ ...
X[ 1 ] . sub s ( t_reduzido , mpp_star [ 1 ] ) ) ) ) ∗ (
271 X[ 2 ] . sub s ( sigma_fibra_reduzido , mpp_star [ 2 ] ) / ...
X[ 3 ] . sub s ( E_fibra_reduzido , mpp_star [ 3 ] ) ) ∗ (
272 rho_f ibra ∗ X[ 3 ] . sub s ( E_fibra_reduzido , ...
mpp_star [ 3 ] ) + rho_matriz ∗ X[ 4 ] . sub s (
273 E_matriz_reduzido , mpp_star [ 4 ] ) ) ∗ ...
( (X[ 1 ] . sub s ( t_reduzido , mpp_star [ 1 ] ) / 12) ∗ (
274 (X[ 0 ] . sub s ( h_reduzido , mpp_star [ 0 ] ) ∗∗ 3) + ((2 ∗ ...
X[ 5 ] . sub s ( b_reduzido , mpp_star [ 5 ] ) ) ∗ (
275 (4 ∗ X[ 1 ] . sub s ( t_reduzido , mpp_star [ 1 ] ) ∗∗ 2) + (
276 3 ∗ (X[ 0 ] . sub s ( h_reduzido , mpp_star [ 0 ] ) ∗∗ 2) ) ) ) ) ) ) − (
277 (X[ 6 ] . sub s ( q_reduzido , mpp_star [ 6 ] ) ∗ ...
(X[ 7 ] . sub s ( l_reduzido , mpp_star [ 7 ] ) ∗∗ 2) ) / 2)
278 l ist_g_U.append (G_u_mpp)
279
49
280 ###MÓDULO DO VETOR GRADIENTE CALCULADO NO MPP
281 mod_gradiente_gu_mpp = np . l i na l g . no rm ( gradiente_gu_mpp )
282
283 #### NORMA
284 ao = np.array ( [ gradiente_gu_mpp [ 0 ] / mod_gradiente_gu_mpp , ...
gradiente_gu_mpp [ 1 ] / mod_gradiente_gu_mpp ,
285 gradiente_gu_mpp [ 2 ] / mod_gradiente_gu_mpp , ...
gradiente_gu_mpp [ 3 ] / mod_gradiente_gu_mpp ,
286 gradiente_gu_mpp [ 4 ] / mod_gradiente_gu_mpp , ...
gradiente_gu_mpp [ 5 ] / mod_gradiente_gu_mpp ,
287 gradiente_gu_mpp [ 6 ] / mod_gradiente_gu_mpp , ...
gradiente_gu_mpp [ 7 ] / mod_gradiente_gu_mpp ] )
288
289 #### BETA
290 beta_0 = np . l i na l g . no rm ( mpp_star )
291
292 #### NOVO MPP STAR
293 mpp_star = np.mul t ip ly ( ao , −1)
294 mpp_star = ( np .mul t ip ly ( mpp_star , ( beta_0 + (G_u_mpp / ...
mod_gradiente_gu_mpp ) ) ) ) . a s t ype ( f l o a t )
295 l ist_mpp.append ( mpp_star )
296
297 #### BETA CORRIGIDO ∗ MPP
298 beta_c = np . l i na l g . no rm( mpp_star )
299 l i s t_beta .append ( beta_c )
300
301 #### ITERAÇÃO E CONVERGÊNCIA
302 i += 1
303 di f_beta = abs ( beta_c − beta_0 )
304
305 #### compila r e s u l t a d o s
306 data_resu l tados [ ” I t e r a ção ” ] = l i s t _ i
307 data_resu l tados [ ” beta ” ] = l i s t _ b e t a
308 data_resu l tados [ ”G(u) ” ] = list_g_U
309 data_resu l tados [ ”Grad_G(u) ” ] = l i s t_grad
310 data_resu l tados [ ” (U_x,U_y) ” ] = list_mpp
311
312 #### COMPUTA A PROBABILIDADE DE FALHA:
313 pf = f l o a t ( norm.cdf (−( d a t a _ r e s u l t a d o s . i l o c [ −1 : ] . b e t a ) ) )
314 beta = f l o a t ( d a t a _ r e s u l t a d o s . i l o c [ −1 : ] . b e t a )
315
316 #### VERIFICAÇÃO FUNÇÃO DE PERFORMANCE NAS MÉDIAS INICIAIS :
317 i f ( ( 2 / (d_h [ 0 ] + (2 ∗ d_t [ 0 ] ) ) ) ∗ ( d_sigma_fibra [ 0 ] / d_E_fibra [ 0 ] ) ...
∗ (
318 rho_f ibra ∗ d_E_fibra [ 0 ] + rho_matriz ∗ d_E_matriz [ 0 ] ) ∗ (
319 (d_t [ 0 ] / 12) ∗ ( (d_h [ 0 ] ∗∗ 3) + ((2 ∗ d_b [ 0 ] ) ∗ ( (4 ∗ ...
d_t [ 0 ] ∗∗ 2) + (3 ∗ (d_h [ 0 ] ∗∗ 2) ) ) ) ) ) ) − (
50
320 (d_q [ 0 ] ∗ ( d_l [ 0 ] ∗∗ 2) ) / 2) > 0 :
321 pf = f l o a t ( norm.cdf (−( d a t a _ r e s u l t a d o s . i l o c [ −1 : ] . b e t a ) ) )
322 e l s e :
323 pr in t (”Na mé dia a fun ção de performance Falha nece s s á r i o a l t e r a r ...
va l o r de beta ”)
324 pf = f l o a t ( norm.cdf(−(− d a t a _ r e s u l t a d o s . i l o c [ −1 : ] . b e t a ) ) )
325
326 pr in t (”\ nbeta ” , beta )
327 pr in t (” probab i l i dade de f a l h a ” , round ( pf , 2) ∗ 100 , ”%”)
328 #### FIM MÉTODO FORM
329
330 data_resu l tados
331
332 ”””#<center > RESOLUÇÃO VIA MONTE CARLO </center >”””
333
334 #### DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE INICIAIS VARIÁVEIS ALEÁTORIAS:
335 # d_h=(0 .2 , 0 . 01 ) # ¬ Normal (m)
336 # d_t=(0 .02 , 0 .001 ) # ¬ Normal (m)
337 # d_sigma_fibra =(3516000000 ,175800000) # ¬ Normal (m)
338 # d_E_fibra =(234430000000 ,11721500000) # ¬ Normal (N/m^2)
339 # d_E_matriz=(3350000000 ,167500000) # ¬ Normal (N/m^2)
340 # d_b=(0 .05 , 0 .0025 ) # ¬ Normal (m)
341 # d_q=(100000 ,5000) # ¬ Extremo t ipo I (N)
342 # d_l=(2 ,0 .100 ) # ¬ Normal (m)
343
344 ### VETOR NÚMEROS ALEÁTORIOS:
345 v_h = gera_distr ibuicao_normal ( n_simula çõ es =1000000 , mu=d_h [ 0 ] , ...
sigma=d_h [ 1 ] )
346 v_t = gera_distr ibuicao_normal ( n_simula çõ es =1000000 , mu=d_t [ 0 ] , ...
sigma=d_t [ 1 ] )
347 v_sigma_fibra = gera_distr ibuicao_normal ( n_simula çõ es =1000000 , ...
mu=d_sigma_fibra [ 0 ] , sigma=d_sigma_fibra [ 1 ] )
348 v_E_fibra = gera_distr ibuicao_normal ( n_simula çõ es =1000000 , ...
mu=d_E_fibra [ 0 ] , sigma=d_E_fibra [ 1 ] )
349 v_E_matriz = gera_distr ibuicao_normal ( n_simula çõ es =1000000 , ...
mu=d_E_matriz [ 0 ] , sigma=d_E_matriz [ 1 ] )
350 v_b = gera_distr ibuicao_normal ( n_simula çõ es =1000000 , mu=d_b [ 0 ] , ...
sigma=d_b [ 1 ] )
351 v_q = gera_distr ibuicao_extremo_tipo_1 ( n_simula çõ es =1000000 , ...
mu=d_q [ 0 ] , sigma=d_q [ 1 ] )
352 v_l = gera_distr ibuicao_normal ( n_simula çõ es =1000000 , mu=d_l [ 0 ] , ...
sigma=d_l [ 1 ] )
353
354 #### CRIAÇÃO DO DATAFRAME:
355 df = pd.DataFrame ( )
356 df [ ” h ” ] = v_h
357 df [ ” t ” ] = v_t
51
358 df [ ” s igma_fibra ” ] = v_sigma_fibra
359 df [ ” E_fibra ” ] = v_E_fibra
360 df [ ” E_matriz ” ] = v_E_matriz
361 df [ ” b ” ] = v_b
362 df [ ” q ” ] = v_q
363 df [ ” l ” ] = v_l
364
365 #### CÁLCULO DA FUNÇÃO DE PERFORMANCE:
366 df [ ” funcao_de_performance ” ] = ( ( ( 2 / ( df [ ” h ” ] + (2 ∗ df [ ” t ” ] ) ) ) ∗ ...
( df [ ” s igma_fibra ” ] / df [ ” E_fibra ” ] ) ∗ (
367 rho_f ibra ∗ df [ ” E_fibra ” ] + rho_matriz ∗ df [ ” E_matriz ” ] ) ∗ ...
( ( df [ ” t ” ] / 12) ∗ (
368 ( df [ ” h ” ] ∗∗ 3) + ((2 ∗ df [ ” b ” ] ) ∗ ( (4 ∗ df [ ” t ” ] ∗∗ 2) + (3 ∗ ...
( df [ ” h ” ] ∗∗ 2) ) ) ) ) ) ) − (
369 ( df [ ” q ” ] ∗ ( df [ ” l ” ] ∗∗ 2) ) / 2) )
370
371 #### EXIBINDO PRIMEIRAS LINHAS DO DATAFRAME:
372 df .head ( )
373
374 ### CALCULANDO PROBABILIDADE DE FALHA PELA DEFINIÇÃO:
375
376 pr in t (” probab i l i dade de f a l h a ” , round ( ( d f . l o c [ df . funcao_de_performance ...
< 0 ] . shape [ 0 ] / d f . shape [ 0 ] ) , 2) ∗ 100 , ”%”)
377
378 ### CALCULANDO BETA MONTE CARLO:
379 beta = df.funcao_de_performance.mean ( ) / df . funcao_de_performance .std ( )
380
381 ### CALCULANDO PROBABILIDADE DE FALHA ( i n t e g r a l de zero at é beta )
382 norm.cdf(−beta )
383
384 ”””#<center > PDF DA FUNÇÃO DE PERFOMANCE </center >”””
385
386 gera_grá f i c o _ d i s t r i b u i c a o ( df. funcao_de_performance , l a b e l='PDF da ...
Função performance ' , name=' ' )
52
	8fd950cb30438b2b35f8d30528a4752ee1c1f612164f99aeb5a699a5399e7dec.pdf
	8fd950cb30438b2b35f8d30528a4752ee1c1f612164f99aeb5a699a5399e7dec.pdf
	8fd950cb30438b2b35f8d30528a4752ee1c1f612164f99aeb5a699a5399e7dec.pdf
	8fd950cb30438b2b35f8d30528a4752ee1c1f612164f99aeb5a699a5399e7dec.pdf
	8fd950cb30438b2b35f8d30528a4752ee1c1f612164f99aeb5a699a5399e7dec.pdf