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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA E RELAÕES INTERNACIONAIS 
TEORIA MICROECONÔMICA I 
PROF. MARCELO S. PORTUGAL e EDERSON L. SCHUMANSKI 
II SEMESTRE 2013 
1º PROVA 
 
1. Considere a seguinte função de utilidade: ( ) 
[
 
( ) 
]
 
 
, onde k é uma constante. Com base 
nessa função pede-se: 
a) Obtenha as funções de demanda pelos bens x e y. (1,0 ponto) 
Fazendo duas transformações monotônicas na função de utilidade chegaremos a uma 
expressão mais simples: tirando primeiramente o logaritmo natural ( ̇ ) e depois 
elevando a função de utilidade ao cubo ( ̈ ̇ ), chegaremos a seguinte expressão: 
 ̈ 
 
( ) 
. Montando o Lagrangeano: 
 ( ) 
 
( ) 
 ( ). Resolvendo o Lagrangeano para : 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 (1) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 (2) 
 (3) 
 Dividindo a equação (1) pela equação (2): 
 
 
 
( ) (4) 
 Substituindo a equação (4) na equação (3): 
 [
 
 
( )] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (5). 
 Substituindo a equação (5) na equação (4) chegamos a demanda pelo bem : 
 
 
 
[
 
 
 ] 
 
 
 
 
b) Demonstre matematicamente que a demanda do consumidor está sobre a reta orçamentária; ou 
seja, o consumidor consome toda sua renda no ponto de ótimo (lei de Walras). (1,0 ponto) 
Dizer que o consumidor gasta toda sua renda no ponto de escolha ótima é o mesmo que: 
 
 [ ] [ ] 
 Substituindo as Demanda ótimas encontradas no item (a) da questão: 
 [
 
 
] [
 
 
] 
 
 
c) Defina bens normais e inferiores e classifique os bens x e y. Comente sua resposta (0,5 ponto) 
Bens Normais: são bens que quando a renda do indivíduo aumenta, o seu consumo aumenta. 
Bens Inferiores: são bens que quando a renda do indivíduo aumenta, a sua demanda se 
reduz. 
Para classificar os bens como normais ou inferiores, deve-se derivar a demanda de cada bem 
com relação à renda: 
 
 
 
 
 
 , pois os preços e a renda são positivos por suposição. Assim, o bem é inferior. 
Bens inferiores são bens cuja demanda se reduz quando a renda do consumidor aumenta. 
 
 
 
 
 
 , pois os preços e a renda são positivos por suposição. Assim, o bem é um bem 
normal. Bens normais são aqueles cujo consumo aumenta à medida que a renda do indivíduo se 
eleva. 
 
2. Defina de forma simples o que é Curva de Engel. Mostre graficamente quais os formatos dessa 
curva quando os bens são normais, superiores e inferiores (1,0 ponto). Agora, considere um 
indivíduo que tenha uma função de utilidade dada por ( ) . Mostre qual será a 
expressão da Curva de Engel do bem ; ou seja, ( ), quando os preços dos bens são, 
respectivamente, e . (1,0 ponto) 
 A Curva de Engel é a curva que relaciona a quantidade consumida de um bem como função 
da renda, mantendo os preços dos bens constantes. 
Graficamente: 
 Bem Inferior Bem Normal Bem Superior 
 
 
 
Para encontrar a curva de Engel, devemos, primeiramente, obter a expressão da demanda pelo bem 
 : 
Montando o Lagrangeano: 
 ( ) ( ). Resolvendo o Lagrangeano para os dois bens: 
 
 (1) 
 
 (2) 
 (3) 
Dividindo a equação (1) pela equação (2) e substituindo na equação (3), chegaremos a 
demanda pelo bem : 
x x x 
 
 
 
 b b b 
 
 
 
 
 
. Agora, vamos substituir os dados do problema. 
 
 
 
 
 ( ) . 
 
3. Pedro precisa escolher dois estilos de vida diferentes: ou ele é um ladrão de bancos (LB) ou ele é 
um cidadão que vive dentro dos limites da lei (CL). Se Pedro respeita as leis, ele tem uma renda W. 
Por outro lado, roubando bancos, ele ganha uma renda adicional no valor de R; assim, sua renda de 
bandido é . Contudo, há uma probabilidade de Pedro ser preso caso ele escolha roubar 
bancos. Quando Pedro é preso ele é punido no valor de P; ou seja, sua renda passa a ser 
 . Caso Pedro respeite a lei ele nunca é punido. Dadas essas informações, pede-se: 
 
a) Se a utilidade de Pedro é definida genericamente por ( ), escreva a sua utilidade esperada no 
caso em que ele respeita as leis e na situação em que ele escolhe roubar bancos. (0,5 ponto) 
 Se Pedro decide respeitar as leis, a sua utilidade esperada vai ser dada por: 
 ( ) ( ) 
 Se Pedro decide roubar bancos, a sua utilidade esperada vai ser dada por: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
b) Suponha que ( ) , com ( ). Para quais valores de Pedro é avesso ao risco? (1,0 
ponto) 
Sabe-se que quando o indivíduo é avesso ao risco, a sua utilidade é côncava; ou seja, 
 ( ) para todo x. 
Então, derivando duas vezes a função de utilidade dada no item: 
 ( ) e ( ) ( ) . 
 ( ) ( ). Um exemplo de função seria: ( ) √ . 
 
4. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas e justifique sua escolha de 
maneira detalhada. 
a) Em uma curva de demanda negativamente inclinada e linear a elasticidade-preço é constante. (1,0 
ponto) 
Falso. Ao longo de uma demanda linear a Elasticidade-preço varia com o preço. Por 
exemplo, seja uma demanda linear dada por . A Elasticidade-preço da 
demanda é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Em uma curva de demanda individual, o nível de utilidade e as preferências permanecem 
constantes. (1,0 ponto) 
Falso. As preferência são exclusivas de cada indivíduo e; portanto, permanecem constantes 
ao longo de uma curva de demanda individual; Por outro lado, em geral, o Nível de 
Utilidade muda, quanto mais o consumidor consome – quanto mais para direita e a baixo – 
de bens, maior é o seu nível de satisfação; exceto no caso em que os preços dos bens e a 
renda mudem de maneira proporcional. Em outras palavras, é o mesmo que dizer que o 
indivíduo não sofre de ilusão monetária. 
c) Quando os dois bens são complementares perfeitos, o Efeito Substituição (ou seja, o efeito 
derivado de mudanças nos preços relativos dos bens) será sempre nulo. (obs: mostre graficamente 
supondo uma elevação no preço do bem). (1,0 ponto) 
Verdadeiro. Quando giramos a reta orçamentária em volta do ponto escolhido, a escolha 
ótima na nova reta orçamentária é idêntica à escolha na reta anterior. Isso significa que o 
efeito substituição é zero. A variação da demanda deve-se inteiramente ao efeito-renda. 
Gráfico no Varian sétima edição (página 157). 
d) Se a função de utilidade de um indivíduo for dada por ( ) , coeteris paribus, um 
aumento de renda não provocará alteração no consumo do bem y. (1,0 ponto) 
Falso. Essa função de utilidade é chamada de quase-linear. Podemos afirmar que um 
aumento de renda não provocará alterações no consumo de x. Podemos perceber isso ao 
observar as funções de demanda pelos bens: 
Montando o Lagrangeano: 
 ( ) ( ). Resolvendo o Lagrangeano para : 
 
 
 
 
 
 
 (1) 
 (2) 
 (3) 
Dividindo a equação (1) pela equação (2) e substituindo na equação (3): 
 
 
 
 e 
 
 
 
 Podemos notar que a demanda do bem x não varia com a renda.