Senóides e Fasores na Engenharia Elétrica

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Profa. Mariana Moronari
SENÓIDES E FASORES
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SENÓIDES
Uma senóide é um sinal que tem a forma 
de uma função seno ou cosseno!
Considere que uma determinada tensão v(t) é caracterizada pela sua variação
no tempo segundo a forma de uma senóide. Temos então a seguinte
representação no domínio temporal:
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
➢ Vm representa a amplitude da senóide;
➢ ω é a frequência angular em rad/s;
➢ ωt é o argumento da função.
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SENÓIDES
Figura 1- Gráfico de uma tensão senoidal (a) como função de ωt e (b) como função de t.
Fonte: Sadiku (2006).
✓ O comportamento da função se repete a cada T;
✓ Devido ao fato das funções senoidais se repetirem a cada período, também são
denominadas funções periódicas.
𝑇 =
2𝜋
𝜔
O período de uma senóide é dado por:
Uma função periódica é aquela que
satisfaz 𝒇 𝒕 = 𝒇 𝒕 + 𝐧𝑻 para
qualquer t e para qualquer n inteiros.
𝑣 𝑡 + 𝑇 = 𝑣 𝑡
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SENÓIDES
O que significa dizer, por exemplo, que uma tensão v1 está adiantada, atrasada ou
em fase com uma tensão v2?
𝑣1 𝑡 = 𝑉𝑚𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
𝑣2 𝑡 = 𝑉𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙
✓ (ωt + φ) é o argumento da função;
✓ φ representa a fase!
Figura 2-Funções senoidais defasadas em φ. 
Fonte: Sadiku (2006)
A fase de uma função senoidal nos permite
saber se uma determinada função está
adiantada, atrasada ou em fase com outra
função qualquer!
✓ As tensões v2 e v1 estão defasadas em φ radianos ou 
graus; 
✓ Se as tensões estivessem em fase uma com a outra, 
o termo φ seria nulo!
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SENÓIDES
Figura 2-Funções senoidais defasadas em φ. 
Fonte: Sadiku (2006)
A única diferença entre a função seno e cosseno 
é o ângulo de fase! A função cosseno nada mais 
é do que a função seno adiantada 90°. 
✓ Por mais que seja usual representar uma senóide por meio de uma função seno, a 
função cosseno também pode utilizada devido à relação entre essas duas funções!
𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 = sen 𝜔𝑡 +
𝜋
2
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 = cos 𝜔𝑡 −
𝜋
2
O argumento da função senoidal pode ser
representado tanto em radianos quanto em
graus!
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FASORES
✓ Os fasores representam um meio para analisar circuitos excitados por fontes
senoidais;
✓ Podemos utilizar os fasores expressar e fazer operações com as funções senoidais;
✓ As senóides são frequentemente representadas por meio dos fasores, pois é mais
fácil trabalhar com essa notação do que com as funções seno e cosseno;
✓ Os números complexos são a base para o estudo de fasores. A utilização desse
conhecimento é inevitável para a resolução de questões de concursos que são
representadas em notação fasorial!
Um fasor é um número complexo que
representa a amplitude e a fase de uma
senóide!
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FASORES
✓ Os números complexos podem ser representados na forma retangular, polar e
exponencial;
✓ O conhecimento dessas formas de representação é de extrema importância, pois,
para fazer determinadas operações entre os fasores, é necessário que eles sejam
convertidos de uma forma para outra!
➔ Forma retangular: 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦
➔ Forma polar: 𝑧 = 𝑟∠ϕ
➔ Forma exponencial: 𝑧 = 𝑟𝑒𝑗ϕ
As três maneiras de representação dos fasores são:
A forma retangular é a forma
utilizada para realizar as operações
de soma e subtração!
A forma polar é utilizada para fazer
as operações de multiplicação e
divisão!
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FASORES
✓ A conversão da forma polar para a forma retangular nada mais é do que a
decomposição de um vetor no eixo x (eixo dos números reais) e do eixo y (eixo dos
números imaginários);
Figura 3-Representação de um número 
complexo. Fonte: Sadiku (2006).
Conversão retangular para polar:
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2, ϕ = tan−1
𝑦
𝑥
Conversão polar para retangular:
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠ϕ , 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛ϕ
✓ Note que a parte real do número complexo z é dado pelo vetor x e a parte imaginária é 
dado pelo vetor y!
𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 = 𝑟∠ϕ = r(𝑐𝑜𝑠ϕ + j𝑠𝑒𝑛ϕ)
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FASORES
OPERAÇÃO
Soma
Subtração
Multiplicação
Divisão
Inverso
Complexo conjugado
PROCEDIMENTO
𝑧1 + 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑥2) + 𝑗(𝑦1 + 𝑦2)
𝑧1 − 𝑧2 = 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑗(𝑦1 − 𝑦2)
𝑠1𝑠2 = 𝑟1𝑟2∠(ϕ1 +ϕ2)
𝑠1
𝑠2
=
𝑟1
𝑟2
∠(ϕ1 − ϕ2)
1
𝑧
=
1
𝑟
∠ −ϕ
𝑧∗ = 𝑥 − 𝑗𝑦 = 𝑟∠ −ϕ = 𝑟𝑒−𝑗ϕ
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FASORES
Identidade de Euler:
Professora, como podemos transformar uma função senoidal em um fasor?
A ideia da representação fasorial se baseia na identidade de Euler:
Toda vez que uma senóide for
expressa como fasor, o termo
𝑒𝑗𝜔𝑡 está implicitamente presente!
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙
𝑒±𝑗ϕ = 𝑐𝑜𝑠ϕ ± j𝑠𝑒𝑛ϕ
𝑽 = 𝑉𝑚∠𝜙
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FASORES
✓ Da mesma forma, podemos representar uma função seno como um fasor; 
A única diferença entre elas é o atraso da 
função seno com relação a função cosseno. 
Esta defasagem equivale a 90°!
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙
𝑽 = 𝑉𝑚∠𝜙 − 90°
✓ Como geralmente as funções possuem a mesma frequência, é comum
denominarmos o domínio fasorial como domínio frequencial;
✓ É conveniente também falar um pouco sobre as diferenças entre a
senóide no domínio temporal v(t) e no domínio fasorial V;
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FASORES
✓ A análise de fasores se aplica apenas quando a frequência é constante e também 
na manipulação de dois ou mais sinais senoidais apenas se eles tiverem a mesma 
frequência;
𝒗 𝒕 V
𝒗 𝒕 é a representação instantânea 
no domínio temporal.
𝑽é a representação de frequência 
no domínio fasorial.
𝒗 𝒕 depende do tempo. enquanto 𝑽 não!
𝒗 𝒕 sempre é real e não possui 
nenhum termo complexo.
enquanto 𝑽 é representado por um 
número complexo
A operação entre funções senoidais ocorre apenas
se elas possuírem a mesma frequência. Isto é, a
soma de senóides de mesmas frequência equivale
a somar seus correspondentes fasores!
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ANÁLISE DE CIRCUITOS CA
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RELAÇÕES FASORIAIS
✓ Agora que já sabemos como representar uma senóide como um fasor, resta saber
como aplicar essa ferramenta nos elementos dos circuitos elétricos em corrente
alternada;
✓ Vamos iniciar nosso estudo pelo elemento puramente resistivo e posteriormente
faremos a mesma análise para os elementos capacitivos e indutivos do circuito;
O objetivo principal desse bloco é
apresentar a vocês como os elementos
dos circuitos (sejam eles elementos
resistivos, indutivos ou capacitivos) se
relacionam na forma fasorial;
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ELEMENTO PASSIVOS
✓ Os resistores, capacitores e indutores são considerados elementos
passivos de um circuito;
✓ Elemento ativo é capaz de gerar energia enquanto um elemento passivo
não é;
Exemplos de elementos passivos:
Resistores, capacitores e indutores!
Exemplos de elementos ativos: 
Geradores, baterias e Amp. Op!
✓ A diferença entre os resistores e esses elementos é que o primeiro
dissipa energia na forma de calor e os outros armazenam energia que
pode ser utilizada posteriormente.
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CAPACITORES 
Capacitor é um elemento passivo
projetado para armazenar energia
em seu campo elétrico!
𝑖 = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
➢ A capacitância de um
capacitor é dada em Farad (F).
✓ Capacitores são largamente utilizadosem eletrônica, comunicação, computadores
e sistemas de potência;
✓ Um capacitor é composto por dois condutores separados pelo espaço livre ou
dielétrico (isolante);
✓ Quando um capacitor está sob uma determinada tensão, cargas positivas são
depositadas em uma placa, enquanto as cargas negativas são depositas em outra;
A relação entre a corrente elétrica e a
tensão em um capacitor é dada por:
Associação de capacitores em CC
Em paralelo: 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 +⋯+ 𝐶𝑁
Em série: 1
𝐶𝑒𝑞
=
1
𝐶1
+
1
𝐶2
+⋯+
1
𝐶𝑁
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✓ Os indutores de energia possuem numerosas aplicações em sistemas elétricos.
Eles são utilizados em transformadores, rádios, televisores e motores elétricos por
exemplo;
✓ Qualquer condutor de corrente elétrica possui efeito indutivo. Para aumentar esse
efeito, um indutor é geralmente formado por uma bobina com várias voltas de um
fio condutor;
✓ A tensão em um indutor é diretamente proporcional a taxa de variação da
corrente no tempo.
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INDUTORES 
𝑣 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
➢ A indutância de um indutor
é dada em Henry (H).
Um indutor é um elemento passivo
projetado para armazenar energia
em seu campo magnético!
A relação entre a corrente elétrica e a
tensão em um indutor é dada por:
Associação de indutores em CC
Em série : 𝐿𝑒𝑞 = 𝐿1 + 𝐿2 +⋯+ 𝐿𝑁
Em paralelo : 1
𝐿𝑒𝑞
=
1
𝐿1
+
1
𝐿2
+⋯+
1
𝐿𝑁
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ELEMENTO RESISTIVO
Considere que a corrente que circula em 
um determinado resistor R seja:
𝑖 = 𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡 + ϕ
A tensão através deste elemento é dada 
pela lei de Ohm como:
𝑣 = 𝑅𝑖 = 𝑅𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡 + ϕ
Figura 4-Relação entre tensão e corrente em um resistor a)
Domínio temporal b) Domínio fasorial c) Diagrama fasorial.
Fonte: Sadiku (2006).
𝐕 = R𝐼𝑚∠ϕ = R𝐈
Na representação fasorial temos:
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ELEMENTO RESISTIVO
✓ A tensão e a corrente estão em fase, pois ambas possuem o mesmo
valor de φ.
✓ No entanto, sabemos que um circuito pode ser constituído também de
elementos capacitivos e indutivos. Assim, nossa análise não pode ser
simplista em considerar apenas elementos resistivos!
✓ Circuitos elétricos puramente resistivos possuem aplicação muito
restrita, já que a maioria dos circuitos práticos possuem elementos
indutivos e capacitivos;
✓ As técnicas de análise de circuitos são igualmente aplicadas em
circuito com capacitores e indutores;
Para um circuito que possua apenas elementos
resistivos, a corrente e a tensão nos resistores
permanecem em fase!
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ELEMENTO INDUTIVO
𝑽 = 𝑗𝜔𝐿𝑰
Considere que a corrente que circula em um determinado indutor L seja:
𝑖 = 𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡 + ϕ
A tensão em um indutor é dada por:
𝑣 𝑡 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝑽 = 𝑉𝑚∠ϕ + 90°
ou
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ELEMENTO INDUTIVO
Figura 5-Relação entre tensão e corrente em um indutor a) 
Domínio temporal b) Domínio fasorial c) Diagrama fasorial. 
Fonte: Sadiku (2006).
Perceba que a corrente e a tensão estão
defasadas em 90°! Ou melhor dizendo, a
corrente está atrasada em 90° com
relação a tensão em um indutor.
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ELEMENTO CAPACITIVO
Considere que a tensão através de um determinado capacitor C seja:
𝑣 = 𝑉𝑚 cos 𝜔𝑡 + ϕ
A corrente no capacitor é dada por:
𝑖 = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Seguindo os mesmos passos realizados na 
análise do indutor :
𝑰 = 𝑗𝜔𝐶𝑽 → 𝑽 =
𝑰
𝑗𝜔𝐶
𝑰 = 𝐼𝑚∠ϕ + 90°
ou
Figura 6-Relação entre tensão e corrente em um capacitor a)
Domínio temporal b) Domínio fasorial c) Diagrama fasorial.
Fonte: Sadiku (2006).
Perceba que a corrente e a tensão estão
defasadas em 90°! Ou melhor dizendo, a
corrente está adiantada em 90° com relação
a tensão em um capacitor.
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RELAÇÕES TENSÃO-CORRENTE
Domínio 
temporal
Domínio 
fasorial
𝑣 = 𝑅𝑖
𝑽 = 𝑅𝑰
R
𝑣 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝑽 = 𝑗ω𝐿𝑰
L
𝑖 = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑽 =
𝑰
𝑗𝜔𝐶
C
𝑽
𝑰
= 𝑅
𝑽
𝑰
= 𝑗𝜔𝐿
𝑽
𝑰
=
1
𝑗𝜔𝐶
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IMPEDÂNCIA 
✓ A análise dos circuitos em corrente alternada será realizada considerando os três 
elementos passivos dos circuitos;
✓ Eles podem ser compactados em um único termo conhecido como impedância Z
do circuito;
A impedância Z de um circuito é a razão
entre a tensão fasorial V e a corrente
fasorial I, medida em ohms (Ω)!
𝒁 =
𝑽
𝑰
𝑜𝑢 𝑽 = 𝒁𝑰
A lei de Ohm na forma fasorial para qualquer tipo de elemento:
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IMPEDÂNCIA
𝒁 = 𝑅
R
𝒁 = 𝑗ω𝐿
L
𝒁 =
1
𝑗𝜔𝐶
C
𝒁𝑅 = 𝑅
𝒁𝐿 = 𝑗ω𝐿
𝒁𝐶 =
1
𝑗𝜔𝐶
= −
𝑗
𝜔𝐶
𝒀 =
1
𝒁
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IMPEDÂNCIA 
Como quantidade complexa, a impedância pode ser escrita em forma
retangular, como se segue:
𝒁 = 𝑅 + 𝑗𝑋
➢ a resistência (R) é a parte real;
➢ a reatância (X) é a parte imaginária;
✓ O interessante aqui é perceber que a reatância pode ter característica 
predominantemente indutiva ou capacitiva dependendo do seu sinal!
Quando temos uma impedância indutiva,
o sinal da reatância é positivo.
Quando temos uma impedância
capacitiva, o sinal da reatância é negativo.
A impedância é indutiva de retardo, pois assim
a corrente se atrasa com relação a tensão. A
impedância é capacitiva de adianto, posto que
a corrente se adianta neste caso.
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IMPEDÂNCIA
Conversão da impedância da forma retangular para a polar (e vice versa):
𝒁 = 𝑅 + 𝑗𝑋 = 𝒁 ∠𝜃
𝒁 = 𝑅2 + 𝑋2 𝑒 𝜃 = tan−1
𝑋
𝑅
𝑅 = 𝒁 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒 𝑋 = 𝒁 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝒁 =
𝑽
𝑰
O ângulo entre a tensão e a corrente é
justamente o ângulo de fase da impedância Z (θ)!
𝜃 = 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖
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ANÁLISE SENOIDAL
✓ As técnicas de divisão de tensão e corrente, de combinação em série e em
paralelo, de redução de circuitos e de transformação estrela-delta podem ser
aplicadas de igual forma às análises de circuitos de corrente alternada;
✓ Portanto, os métodos das malhas e dos nós bem como os teoremas, Norton e
Thévenin também podem aplicados;
✓ A única diferença é que você deverá trabalhar com fasores e agora isso já não é
um problema, visto que aprendemos a trabalhar com as relações fasoriais entre os
elementos do circuito neste bloco da aula.
As mesmas técnicas de análise de circuito de
corrente contínua poderão ser utilizadas nos
circuitos de corrente alternada!
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ANÁLISE SENOIDAL
As questões sobre a análise de circuitos de corrente alternada podem ser resolvidas
seguindo três passos principais, os quais consistem em:
Transformar o circuito 
para o domínio 
fasorial.
Aplicar as técnicas de 
análise de circuitos.
Transformar o fasor
resultante para o 
domínio temporal.
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Determine a corrente fornecida pela fonte para o circuito a seguir.
A) 2 2∠ − 15°
B) 2 2∠15°
C) 2∠ − 15°
D) 2∠15°
E) 2 2∠30°
Resolução e comentários:
A questão solicita que você determine a corrente fornecida
pela fonte para o circuito da figura.
O procedimento para resolver esta questão consiste em
relacionar os elementos do circuito na forma fasorial como
aprendemos nesse bloco.
Para calcular a corrente, devemos considerar a relação entre
a tensão e a impedância do sistema dada por:
𝑰 =
𝑽
𝒁
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Determine a corrente fornecida pela fonte para o circuitoa seguir.
A) 2 2∠ − 15°
B) 2 2∠15°
C) 2∠ − 15°
D) 2∠15°
E) 2 2∠30°
Resolução e comentários:
Perceba que possuímos um resistor, um indutor e um
capacitor ligados em série na figura do circuito.
Assim, a questão solicita uma análise de um circuito RLC em
corrente alternada.
𝒁𝑅 = 𝑅
𝒁𝐿 = 𝑗ω𝐿
𝒁𝐶 =
1
𝑗𝜔𝐶
𝒁 = 𝒁𝑅 + 𝒁𝐿 + 𝒁𝐶
A impedância total do circuito pode ser determinada pela 
soma desses elementos. Logo:
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Determine a corrente fornecida pela fonte para o circuito a seguir.
A) 2 2∠ − 15°
B) 2 2∠15°
C) 2∠ − 15°
D) 2∠15°
E) 2 2∠30°
Resolução e comentários:
𝒁 = 𝒁𝑅 + 𝒁𝐿 + 𝒁𝐶
𝑍 = 5 + 𝑗10 − 𝑗5
𝑍 = 5 + 𝑗5
Como devemos somar os elementos do circuito que estão
em série, precisaremos converter os fasores (fornecidos no
enunciado) da forma polar para a retangular.
𝒁𝑅 = 5∠0° = 5𝛺
𝒁𝐿 = 10∠90° = 𝑗10𝛺
𝒁𝐶 = 5∠ − 90° = −𝑗5𝛺
A impedância total do circuito equivale a: 
Como a impedância pode ser reescrita na forma polar,
temos que: 𝒁 = 𝑅 + 𝑗𝑋 = 𝒁 ∠𝜃
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠ϕ , 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛ϕ
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Determine a corrente fornecida pela fonte para o circuito a seguir.
A) 2 2∠ − 15°
B) 2 2∠15°
C) 2∠ − 15°
D) 2∠15°
E) 2 2∠30°
Resolução e comentários:
Perceba que R é a resistência e X é reatância (parte
imaginária composta pela capacitância e indutância) da
impedância de carga Z!
𝑅 = 5 𝑒 𝑋 = 5
Devemos converter a impedância total da forma retangular
para a forma polar, pois precisamos fazer uma divisão no
cálculo da corrente.
Usando as relações que foram abordadas nessa seção do
capítulo:
𝒁 = 𝑅2 + 𝑋2 = 52 + 52 = 5 2
𝜃 = tan−1
𝑋
𝑅
= tan−1
5
5
= tan−1 1 = 45°
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Determine a corrente em [A] fornecida pela fonte para o circuito a seguir.
A) 2 2∠ − 15°
B) 2 2∠15°
C) 2∠ − 15°
D) 2∠15°
E) 2 2∠30°
Resolução e comentários:
A impedância de carga na forma polar equivale a:
𝒁 = 5 2 ∠45°
Finalmente podemos calcular a corrente fornecida pela
fonte, já que enunciado da questão também fornece o valor
da tensão na forma polar. Portanto:
𝑰 =
𝑽
𝒁
=
10 2∠30°
5 2∠45°
𝑰 = 2∠ − 15° 𝐴
A alternativa (C) é o gabarito da questão!
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POTÊNCIA EM CA
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POTÊNCIA INSTANTÂNEA
✓ A potência instantânea p(t) absorvida por algum elemento do circuito é o produto
da tensão e da corrente;
A potência instantânea p(t), em watts, é a 
potência em qualquer instante!
✓ Considerando que em circuitos de corrente alternada a tensão e a corrente são
caracterizadas por funções senoidais, temos que:
𝑝 𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑖 𝑡 = 𝑉𝑚𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 cos 𝜔𝑡 + 𝜃𝑖
𝑝 𝑡 =
1
2
𝑉𝑚𝐼𝑚 cos 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 +
1
2
𝑉𝑚𝐼𝑚 cos 2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖
✓ Aplicando as identidades trigonométricas e realizando as devidas simplificações, a
potência instantânea é dada por:
𝑉𝑚 e 𝐼𝑚 são as amplitudes (ou
valores de pico)!
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POTÊNCIA INSTANTÂNEA
✓ Note que a potência instantânea possui uma parte que é constante e não depende
do tempo e a outra que é de fato uma função senoidal;
✓ A primeira parte depende exclusivamente da defasagem entre a tensão e a
corrente;
✓ Na verdade, nos interessa saber a potência média absorvida em um circuito, que
pode ser obtida por meio da potência instantânea!
Figura 7-Potência instantânea em um circuito de
corrente alternada. Fonte: Sadiku (2006)
𝑝 𝑡 =
1
2
𝑉𝑚𝐼𝑚 cos 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 +
1
2
𝑉𝑚𝐼𝑚 cos 2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖
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POTÊNCIA MÉDIA
A potência média é dada por:
𝑃 =
1
𝑇
׬
0
𝑇
𝑝(𝑡) 𝑑𝑡
Substituindo a função p(t) definida
anteriormente e realizando a devida
integração, obtemos:
𝑃 =
1
2
𝑉𝑚𝐼𝑚 cos 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖
Também podemos encontrar a potência
média quando a tensão e a corrente são
expressas no domínio fasorial:
𝐕 = 𝑉𝑚∠𝜃𝑣 e 𝑰 = 𝐼𝑚∠𝜃𝑖
1
2
𝑽𝑰∗ =
1
2
𝑉𝑚𝐼𝑚∠ 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖
=
1
2
𝑉𝑚𝐼𝑚[ 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 + 𝑗𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ]
𝑃 =
1
2
𝑅𝑒[𝐕𝐈∗]
A potência ativa [W] nada mais é
do que a parte real da
multiplicação fasorial entre a
tensão e a corrente!
O que seria a parte imaginária do produto entre a tensão e o 
conjugado complexo da corrente?! 
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POTÊNCIA MÉDIA
✓ Se a potência média (ativa) é dada pela parte real, o que seria a parte imaginária do
produto entre a tensão e o conjugado complexo da corrente?!
𝜃 = 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖
✓ Mas por que consideramos o ângulo entre a fase da tensão e da corrente na
equação?
✓ O ângulo entre a tensão e a corrente é justamente o ângulo de fase da impedância
Z (θ), conforme estudamos antes! Logo:
✓ Agora vamos considerar casos específicos dessa equação para podermos tirar
algumas conclusões com relação ao ângulo de fase da impedância...
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POTÊNCIA MÉDIA
Quando a tensão e a corrente estão em fase, θ é igual a 0 e temos que:
𝑃 =
1
2
𝑉𝑚𝐼𝑚 cos 0 =
1
2
𝑉𝑚𝐼𝑚
✓ No entanto, quando o ângulo entre a tensão e a corrente equivale a ± 90°,
estamos falando de um circuito puramente reativo (indutivo se o sinal for
positivo e capacitivo se o sinal for negativo);
✓ Como o cosseno de 90° equivale a 0, então os circuitos puramente reativos
não absorvem potência média (potência ativa);
Uma carga resistiva absorve potência média
(ativa), enquanto cargas reativas (indutores e
capacitores) absorvem potência ativa nula!
✓ O circuito analisado é um circuito puramente resistivo caracterizado por
absorver potência todo o tempo!
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VALOR EFICAZ (RMS)
✓ Quando estudamos os circuitos de corrente alternada, é comum nos depararmos
com o valor eficaz de tensão e corrente de um circuito;
✓ Isto ocorre devido a necessidade de medir a eficácia do fornecimento de potência
às cargas resistivas;
O valor eficaz ou valor rms de uma corrente
periódica equivale a corrente contínua que
fornece a mesma potência média a uma
resistência que seria fornecida pela
corrente periódica.
✓ O valor eficaz também é denominado valor quadrático médio devido ao fato de ser
calculado por meio da raiz da média do quadrado de um sinal periódico;
Figura 8- Determinação dos valores eficazes. a)
Circuito CA b) Circuito CC. Fonte: Sadiku (2006).
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VALOR EFICAZ (RMS)
✓ O valor quadrático médio de qualquer função periódica x(t) pode ser calculada
por meio da seguinte equação:
𝑋𝑟𝑚𝑠 =
1
𝑇
0׬
𝑇
𝑥2𝑑𝑡
✓ Se calcularmos o valor quadrático médio da corrente i(t) e da tensão v(t) em seus
respectivos formatos senoidais, nós obteremos a seguinte relação
𝑉𝑟𝑚𝑠 =
𝑉𝑚
2
𝑒 𝐼𝑟𝑚𝑠 =
𝐼𝑚
2
Tenha em mente que estas equações são
válidas apenas para funções senoidais, ok?
➢ Vm e Im são as amplitudes (ou valores
máximos) da tensão e da corrente elétrica.
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VALOR EFICAZ (RMS)
✓ A potência média com referência aos valores rms da tensão e da corrente é dada
por:
𝑃 =
1
2
𝑉𝑚𝐼𝑚 cos 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 =
𝑉𝑚
2
𝐼𝑚
2
cos 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖
𝑃 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠 cos 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖
Caso uma questão forneça a amplitude ou
valor de pico da tensão e da corrente, basta
dividir esses valores por raiz de dois para
calcular os respectivos valores eficazes!
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ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CA
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POTÊNCIA COMPLEXA
✓ Para analisarmos as relações entre “potências”, énecessário entender primeiro o
que representa a potência complexa;
✓ Essa potência é muito importante, pois ela contém toda a informação para realizar
a análise de potência em uma carga!
1
2
𝑽𝑰∗ =
1
2
𝑉𝑚𝐼𝑚∠ 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖
A potência complexa S é o produto da
tensão V pelo complexo conjugado da
corrente I em valores rms!
A potência complexa na forma polar é dada por:
)𝑺 = 𝑽𝑟𝑚𝑠𝑰
∗
𝑟𝑚𝑠 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠∠(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖
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POTÊNCIA COMPLEXA
Como qualquer fasor, também podemos representá-la na forma retangular:
𝑺 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠cos 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 + j 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠sen(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖)
➔Observe que a magnitude da potência complexa é
o produto da tensão pela corrente!
➔ Temos algum nome para definir esse termo?
➔ Sim! Ele será definido como a potência aparente S!
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POTÊNCIA APARENTE
✓ A potência aparente é justamente a magnitude da potência complexa!
✓ Fazendo uma comparação com os circuitos de corrente contínua, a potência
deveria ser o produto entre a tensão e corrente do circuito;
✓ No entanto, parte desta potência não pode ser considerada com potência útil
(ou potência ativa) em um sistema.
✓ Logo, a potência aparente possui esta denominação devido ao fato de ser um
valor apenas aparente!
A potência aparente S, em VA, é o
produto entre os valores eficazes da
tensão pela corrente elétrica!
𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠
)𝑺 = 𝑽𝑟𝑚𝑠𝑰
∗
𝑟𝑚𝑠 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠∠(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖
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POTÊNCIA REATIVA
✓ Analisando a potência complexa em sua forma retangular, verificamos que ela
possui uma parte real e outra imaginária;
✓ A parte real da potência complexa é justamente a potência ativa (P) absorvida
por uma carga puramente resistiva. Mas então o que seria a parte imaginária?
✓ A parte imaginária da potência complexa é a denominada potência reativa, que
depende exclusivamente da reatância da carga Z;
)𝑺 = 𝑽𝑟𝑚𝑠𝑰
∗
𝑟𝑚𝑠 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠∠(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠cos 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 + j 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠sen(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖)
Vamos analisar novamente a potência complexa S:
A potência reativa Q, em VAR, é uma medida
da troca de energia entre a fonte e a parte
reativa da impedância Z de uma carga.
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POTÊNCIA COMPLEXA
Potência complexa (em VA) é o produto
do fasor de tensão RMS e o conjugado
complexo do fasor de corrente RMS.
Potência complexa
Potência ativa
𝑃 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠 cos(θ𝑣 − θ𝑖)
Potência reativa
𝑄 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠 sin(θ𝑣 − θ𝑖)
Por ser um número complexo, sua parte
real é a potência ativa P e sua parte
imaginária é a potência reativa Q !
𝐒 = 𝑃 + 𝑗𝑄
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POTÊNCIA COMPLEXA
✓ Também podemos expressar a potência complexa em termos da impedância de
carga Z!
✓ Fazendo este procedimento, ficará mais claro ainda o porquê consideramos a
potência ativa apenas em elementos resistivos do circuito e potência reativa nos
elementos capacitivos ou indutivos;
𝒁 =
𝑉𝑟𝑚𝑠
𝐼𝑟𝑚𝑠
∠ 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ou 𝑉𝑟𝑚𝑠 = 𝒁𝐼𝑟𝑚𝑠𝒁 =
𝑽
𝑰
ou 𝑽 = 𝒁𝑰
A lei de Ohm na forma fasorial para qualquer tipo de elemento:
Em notação fasorial na forma polar!
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POTÊNCIA COMPLEXA
Substituindo esta relação na equação da potência complexa, temos que:
𝑺 = 𝐼2𝑟𝑚𝑠𝐙
𝑺 = 𝐼2𝑟𝑚𝑠 R + jX = (𝐼2𝑟𝑚𝑠R) + j(𝐼2𝑟𝑚𝑠X) = 𝑃 + 𝑗𝑄
✓ Podemos verificar que de fato a potência ativa P possui relação direta e exclusiva
com os elementos resistivos do circuito;
✓ E a potência reativa Q possui relação com os elementos reativos, sejam eles
indutivos ou capacitivos!
Como Z em sua forma retangular é dada por Z=R+jX, então:
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POTÊNCIAS
POTÊNCIA COMPLEXA
𝑺 = 𝑃 + 𝑗𝑄 =
1
2
𝑽𝑰∗
𝑺 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠∠(θ𝑣 −
θ𝑖)
S é o produto da 
tensão V pelo 
complexo conjugado 
de I.
POTÊNCIA APARENTE
𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠
𝑆 = 𝑃2 + 𝑄2
A magnitude de S é 
a potência aparente 
S.
POTÊNCIA ATIVA
𝑃 = 𝑅𝑒(𝑺)
𝑃 = 𝑆 cos(θ𝑣 − θ𝑖)
A parte real de S é a 
potência ativa P.
POTÊNCIA 
REATIVA
𝑄 = 𝐼𝑚(𝑺)
𝑄 = 𝑆 sin(θ𝑣 − θ𝑖)
A parte imaginária 
de S é a potência 
reativa Q.
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FATOR DE POTÊNCIA
✓ Um termo muito cobrado em questões de concurso (que exigem o conhecimento
de análise de potência em circuitos de corrente alternada) é o fator de potência
(fp)!
𝑓𝑝 =
𝑃
𝑆
= cos 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖
O fator de potência é o cosseno da 
diferença de fase entre a tensão e a 
corrente. Ou seja, equivale ao cosseno 
do ângulo da impedância da carga. 
𝒁 =
𝑽
𝑰
=
𝑉𝑟𝑚𝑠∠𝜃𝑣
𝐼𝑟𝑚𝑠∠𝜃𝑖
=
𝑉𝑟𝑚𝑠
𝐼𝑟𝑚𝑠
∠(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖)
✓ Repare que ângulo formado entre a tensão e a corrente 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 equivale
justamente ao ângulo da impedância da carga Z;
Podemos calculá-lo também pela
razão entre a potência ativa P e a
potência aparente S!
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FATOR DE POTÊNCIA
✓ Vamos analisar os casos extremos em que um circuito é caracterizado por ser
puramente resistivo ou reativo!
➔ Se considerarmos uma carga puramente
resistiva, o ângulo entre a tensão e a
corrente é nulo, pois a corrente e a
tensão estarão em fase. Assim, o fator
de potência assumirá seu valor máximo (
fp=1) e a potência aparente
corresponderá a potência ativa.
➔ Caso a carga do circuito seja puramente 
reativa, a tensão e a corrente estarão 
defasadas em 90°. Portanto, o fator de 
potência será nulo (cos ±90°=0).
𝑓𝑝 =
𝑃
𝑆
= cos 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖
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FATOR DE POTÊNCIA
✓ Portanto, em uma rede constituída apenas de elementos reativos ideais a
potência média dissipada é zero. Fisicamente, eles armazenam energia durante
uma parte do período e a devolvem durante outra;
✓ Mas e nos casos mais gerais em que existam cargas resistivas, indutiva e
capacitivas?
✓ O valor do fator de potência estará entre 0 e 1!
E será considerado atrasado no caso
contrário em que uma carga seja
predominantemente indutiva.
Ele será considerado um fator de potência
adiantado quando a corrente estiver adiantada
com relação a tensão, implicando em uma
carga predominantemente capacitiva.
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TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS
✓ O triângulo de potência é uma maneira resumida de representar S, P e Q em
função do ângulo θ (diferença entre a fase da tensão e da corrente);
A potência ativa P é a projeção da potência
aparente S no eixo dos números reais e que a
potência reativa Q é a projeção de S nos eixos
dos números imaginários.
Figura 8- Triângulo de potência.
Fonte: Adaptado de Sadiku (2006)
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TRIÂNGULO DE IMPEDÂNCIA
Figura 9- Triângulo de impedância
Fonte: Adaptado de Sadiku (2006).
✓ Também é comum trabalharmos com o triângulo de impedância que possui uma
parte resistiva R e outra reativa X;
✓ No triângulo de impedâncias, fica mais visível ainda que o ângulo θ é a fase da
impedância da carga)!
𝜃 = 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Considere um sistema, apresentado abaixo, no qual a potência ativa é de 400 kW e a potência
reativa é 300 kVar. É correto afirmar que o seu fator de potência:
Resolução e comentários:
A) 0,6
B) 0,8
C) 0,9
D) 0,75
A questão solicita que você calcule o fator de potência.
O enunciado fornece tanto a potência ativa P quanto a
reativa Q.
Com esses valores, podemos calcular o fator de
potência por meio da equação:
𝑓𝑝 = cos 𝜑 =
𝑃
𝑆
Masprimeiramente precisamos calcular a potência
aparente S!
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Considere um sistema, apresentado abaixo, no qual a potência ativa é de 400 kW e a potência
reativa é 300 kVar. É correto afirmar que o seu fator de potência:
Resolução e comentários:
A) 0,6
B) 0,8
C) 0,9
D) 0,75
Então, considere o triângulo de potências abaixo.
Vamos determinar a potência aparente por meio da
relação:
𝑆2 = 𝑃2 + 𝑄2
𝑆 = 𝑃2 + 𝑄2 = 4002 + 3002 = 500 𝑘𝑉𝐴
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Considere um sistema, apresentado abaixo, no qual a potência ativa é de 400 kW e a potência
reativa é 300 kVar. É correto afirmar que o seu fator de potência:
Resolução e comentários:
A) 0,6
B) 0,8
C) 0,9
D) 0,75
Logo, o fator de potência é :
𝑓𝑝 =
𝑃
𝑆
=
400
500
𝑓𝑝 = 0,8
A alternativa (B) é o gabarito da questão!
O fator de potência é um fator de potência adiantado, pois
a orientação da potência reativa está para baixo.
Ou seja, a impedância de carga possui uma característica
predominantemente capacitiva, onde a corrente está
adiantada com relação a tensão!
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CORREÇÃO DO FATOR POTÊNCIA
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CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
✓ A maioria das cargas em um sistema elétrico é caracterizada por ser indutiva,
como por exemplo: motores e refrigeradores;
✓ Portanto, parte da potência entregue a essas cargas será potência reativa
(predominantemente indutiva) e não potência útil (potência ativa);
✓ A potência reativa não permite a realização de trabalho útil e serve apenas para
magnetizar boinas em motores e transformadores, por exemplo;
✓ Uma forma de compensar a potência reativa devido a uma carga indutiva é tentar
diminuir, o quanto possível, o seu valor por meio de cargas capacitivas (o inverso
também poderia ocorrer...);
✓ Se o sistema possui uma potência reativa alta devido a cargas
predominantemente indutivas, é possível então diminuí-la por meio do
incremento de cargas capacitivas!
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CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
Este procedimento é justamente
a correção do fator de potência!
✓ Veja que, se diminuirmos a potência reativa,
a potência aparente também diminuirá;
✓ Consequentemente o fator de potência se
aproximará da unidade;
✓ Isso representaria o caso ideal, no qual toda
potência fornecida ao sistema seria
potência útil;
✓ Isso não acontece na prática, pois não
existem apenas cargas resistivas, mas
também, as indutivas e as capacitivas!
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CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
✓ Se adicionarmos cargas capacitivas ao
sistema, a potência reativa diminuirá e o
fator de potência aumentará!
✓ Este processo é realizado por meio da
instalação de um capacitor (ou banco de
capacitores) em paralelo com a carga.
O processo de aumentar o fator de potência
sem alterar a tensão ou a corrente da carga
original é conhecido como correção do fator
de potência!
Professora, mas de que forma é possível diminuir a 
potência reativa proveniente das cargas indutivas?
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CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
Figura 9-Triângulo de potência que ilustra a correção 
do fator de potência. Fonte: Sadiku(2006).
Considere que a situação original de uma carga
puramente indutiva seja:
➔ Potência aparente S1, potência reativa Q1,
potência ativa P e ângulo de fase da
impedância θ1;
➔ Se adicionarmos uma potência reativa
(capacitiva) Qc para diminuir a potência
reativa (indutiva) Q1, obteremos uma nova
potência reativa Q2 menor do que a
original!
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CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
Figura 9-Triângulo de potência que ilustra a correção 
do fator de potência. Fonte: Sadiku(2006).
Considere o procedimento no qual
adicionamos uma carga capacitiva QC para
reduzir a potência reativa inicial. Teremos a
seguinte situação:
➔ Potência aparente S2, potência reativa Q2,
potência ativa P e ângulo de fase da
impedância θ2;
➔ Veja que agora o ângulo de fase θ2 é menor
do que o anterior;
➔ O fator de potência dessa nova situação
será maior, pois quanto menor o ângulo
mais o cosθ se aproximará da unidade!
Todo esse procedimento é exatamente
a correção do fator de potência!
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CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
Figura 9-Triângulo de potência que ilustra a correção 
do fator de potência. Fonte: Sadiku(2006).
✓ Em um caso extremo, se reduzirmos o
ângulo θ2 a zero, então o fator de potência
será igual a 1!
✓ Toda potência aparente poderá ser utilizada
como potência útil (S=P)!
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DIMENSIONAMENTO CARGA CAPACITIVA
Figura 9-Triângulo de potência que ilustra a correção 
do fator de potência. Fonte: Sadiku(2006).
Se desejarmos aumentar o fator de potência de
cosθ1 para cosθ2, temos:
𝑃 = 𝑆2 𝑐𝑜𝑠𝜃2; 𝑄2 = 𝑆2 𝑠𝑒𝑛𝜃2 = 𝑃 𝑡𝑎𝑛𝜃2
)𝑄𝐶 = 𝑃(𝑡𝑎𝑛𝜃1 − 𝑡𝑎𝑛𝜃2
✓ Vamos avaliar as relações do triângulo de potência
das duas situações descritas anteriormente;
Se a carga indutiva original tem a potência
aparente S1, então:
𝑃 = 𝑆1 𝑐𝑜𝑠𝜃1; 𝑄1 = 𝑆1 𝑠𝑒𝑛𝜃1 = 𝑃 𝑡𝑎𝑛𝜃1
𝑄𝐶 = 𝑄1 − 𝑄2
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DIMENSIONAMENTO CARGA CAPACITIVA
Figura 9-Triângulo de potência que ilustra a correção 
do fator de potência. Fonte: Sadiku(2006).
Se considerarmos que:
𝑄𝐶 =
𝑉2
𝑋𝐶
= 𝜔𝐶 𝑉2
𝐶 =
𝑄𝐶
𝜔𝑉2𝑟𝑚𝑠
=
𝑃(𝑡𝑎𝑛𝜃1−𝑡𝑎𝑛𝜃2)
𝜔𝑉2𝑟𝑚𝑠
Por meio desta importante equação é
possível calcular a capacitância necessária
para corrigir o fator de potência!
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CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
✓ Recorde que o fator de potência pode
apresentar um determinado valor de forma
atrasada ou adiantada!
✓ Isso vai depender se a potência reativa final
vai ser predominantemente indutiva ou
capacitiva;
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CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
Uma concessionária de energia elétrica solicitou a uma
indústria que aumentasse o fator de potência para um
valor maior ou igual a 0,8. A solução que a indústria
encontrou foi aumentar o seu fator de potência atrasado
por meio da instalação de um banco de capacitores.
Qual seria a potência reativa necessária para corrigir o
fator de potência?
➔ Podemos constatar que o fator de potência possuía
um baixo valor devido a cargas predominantemente
indutivas, pois foi especificado que o fator de
potência é atrasado!
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CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
Considere o primeiro caso:
✓ A situação ideal seria a instalação de um banco de
capacitores dimensionado apenas o suficiente para
reduzir a potência reativa (indutiva) a fim de obter o
fator de potência de 0,8!
Para achar a potência reativa do banco (QC1)
nesse primeiro caso, usamos:
𝑄𝐶1 = 𝑄1 − 𝑄2
➔ Onde, Q1 é a potência reativa original e Q2
é a potência reativa final (ainda indutiva).
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CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
Considere o segundo caso:
✓ Se o banco de capacitores for superdimensionado
até um determinado ponto, ele vai gerar o mesmo
fator de potência de forma adiantada;
✓ Ou seja, a indústria poderá obter um fator de
potência de 0,8 agora adiantado com cargas
predominantemente capacitivas!
✓ O segundo caso vai atender a demanda da indústria
para corrigir o fator de potência da mesma forma
que o primeiro;
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CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
Professora, mas qual seria o valor desse banco de
capacitores superdimensionado?
✓ Como a potência reativa final da indústria (Q2) agora
será predominantemente capacitiva (devido ao
banco de capacitores superdimensionado), ela
apresentará o sinal negativo.
➔ Onde Q1 é a potência reativa original e Q2
é a potência reativa final (agora capacitiva!)
𝑄𝐶2 = 𝑄1 − −𝑄2
𝑄𝐶2 = 𝑄1 + 𝑄2
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CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
✓ Perceba que devemos avaliar as duas situações
limites que podem aumentar o fator de potência para
um valor solicitado!
✓ Se aumentarmos ainda mais a potência reativa (agora
predominantemente capacitiva) gerada pelo banco
superdimensionado, ele aumentará tanto a potência
reativa (devido ao aumento das cargas capacitivas)
que o fator de potência vai começar a diminuir
novamente;
✓ O que não vai atender à solicitação da
concessionária!
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CONCLUSÃO
✓ O fator de potência pode apresentar o mesmo
valor de forma atrasada (indutiva) ou adiantada
(capacitiva);
➔ Potência reativa final (Q2 positivo)
predominantemente indutiva:
𝑄𝐶1 = 𝑄1 − 𝑄2
➔ Potência reativa final (Q2 negativo)
predominantemente capacitiva:
𝑄𝐶2 = 𝑄1 + 𝑄2
Devemos avaliar o banco de capacitores que pode
reduzir o fator de potência nos dois casos:
Quando a exigência for um fator de
potência for igual a 1?
Aí teremos que dimensionar
exatamente um banco de capacitores
que reduza a potência reativa (seja ela
indutiva ou capacitiva) a zero.
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Um consumidor industrial tem uma carga conectada a uma rede elétrica com tensão de 200V que
apresenta potência ativa de 3.400 W e potência reativa de 2.100 Var. A empresa de fornecimento
de energia está exigindo dos consumidores industriais fator de potência unitário. Determine o valor
do banco de capacitores que atende esse requisito. Considere a frequência da rede elétrica em
50Hz e o valor de π = 3,14.
Resolução e comentários:
A) 161 μF
B) 164 μF
C) 167 μF
D) 170 μF
E) 173 μF
A questão solicita que você determine o valor do banco de capacitores
que atenda a solicitação da empresa de fornecimento de energia.
Logo, será necessária a aplicação do conhecimento sobre a correção
do fator de potência!
Como ele pede que o fator de potência seja unitário, o banco de
capacitores deve compensar toda a potência reativa.
Se a empresa exige que o fator de potência seja igual a um, ela está
solicitando que toda a potência reativa original do sistema seja
reduzida a 0.
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Um consumidor industrial tem uma carga conectada a uma rede elétrica com tensão de 200V que
apresenta potência ativa de 3.400 W e potência reativa de 2.100 Var. A empresa de fornecimento
de energia está exigindo dos consumidores industriais fator de potência unitário. Determine o valor
do banco de capacitores que atende esse requisito. Considere a frequência da rede elétrica em
50Hz e o valor de π = 3,14.
Resolução e comentários:
A) 161 μF
B) 164 μF
C) 167 μF
D) 170 μF
E) 173 μF 𝐶 =
𝑄𝐶
𝜔𝑉2
𝑟𝑚𝑠
Precisamos de um banco de capacitores que compense exatamente o
valor da potência reativa original.
Assim, o valor de QC será exatamente igual a 2100 Var!
Substituindo esse valor na equação acima, chegamos rapidamente na
resposta final para a capacitância...
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Um consumidor industrial tem uma carga conectada a uma rede elétrica com tensão de 200V que
apresenta potência ativa de 3.400 W e potência reativa de 2.100 Var. A empresa de fornecimento
de energia está exigindo dos consumidores industriais fator de potência unitário. Determine o valor
do banco de capacitores que atende esse requisito. Considere a frequência da rede elétrica em
50Hz e o valor de π = 3,14.
Resolução e comentários:
A) 161 μF
B) 164 μF
C) 167 μF
D) 170 μF
E) 173 μF
𝑄𝐶 = 𝑄1 − 𝑄2
Calculando a capacitância total :
𝐶 =
2100
2𝜋50 200 2 = 1,67 ∙ 10−4𝐹
𝑄𝐶 = 2100 − 0
𝑄𝐶 = 2100 Var
𝐶 = 167𝜇𝐹
A alternativa (C) é o gabarito da questão!
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SISTEMAS TRIFÁSICOS
BALANCEADOS
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SISTEMAS TRIFÁSICOS BALANCEADOS
✓ Os circuitos em que as fontes CA operam com a mesma frequência e em
diferentes fases são denominados os circuitos polifásicos;
✓ Dentre os polifásicos, os sistemas trifásicos são os mais comuns, porque a
potência elétrica gerada nas unidades geradoras é transmitida na forma trifásica;
✓ Caso entradas monofásicas ou bifásicas sejam requeridas é possível obtê-las por
meio do sistema trifásico;
✓ As tensões trifásicas são produzidas por meio de geradores trifásicos de corrente
alternada;
✓ Sistema composto por fontes e cargas de diferentes configurações.
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FONTES BALANCEADAS
Em um sistema trifásico, as fontes de tensão podem ser
conectadas em estrela (Y) ou em triângulo (Δ);
➔ As tensões Van, Vbn e Vcn são consideradas tensões de
fase (ou fase-neutro), pois estão entre a linha a,b e c e a
linha neutra n;
➔ Em um sistema balanceado, elas irão possuir a mesma
amplitude e frequência, no entanto estarão defasadas em
120°;
Figura 11-Fontes trifásicas conectadas
(a) em Y (b) em Δ. Fonte: Sadiku (2006).
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Figura 11-Fontes trifásicas conectadas
(a) em Y (b) em Δ. Fonte: Sadiku (2006).
As tensões de fase balanceadas
correspondem a tensões senoidais que
possuem a mesma amplitude e estão
defasadas 120° entre si!
𝑽𝑎𝑛 = 𝑉𝑝∠0°
𝑽𝑏𝑛 = 𝑉𝑝∠ − 120°
𝑽𝑐𝑛 = 𝑉𝑝∠120°
✓ O termo Vp é o valor eficaz (rms) das
tensões de fase!
Formato fasorial:
FONTES BALANCEADAS
𝑽𝑎𝑛 + 𝑽𝑏𝑛 + 𝑽𝑐𝑛 = 0
𝑽𝑎𝑛 = 𝑽𝑏𝑛 = 𝑽𝑐𝑛
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SISTEMAS TRIFÁSICOS BALANCEADOS
Quando a tensão Van possui um ângulo de fase igual a 0°,
Vbn possui um ângulo de fase igual a -120° e Vcn possui um
ângulo de fase igual a 120°:
✓ A sequência de fase é denominada sequência positiva ou
sequência ABC;
✓ No caso em que a tensão Van se adianta com relação a
Vcn, então teremos a sequência negativa (sequência ACB);
✓ Uma questão pode apenas te dar esta informação para
que você defina quais os ângulos de fase de cada tensão.
Figura 12- Sequência (a) positiva (b)
negativa. Fonte: Sadiku(2006).
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SISTEMAS TRIFÁSICOS BALANCEADOS
✓ Da mesma forma que as tensões, as cargas podem estar
conectadas em estrela e em triângulo;
Figura 13-Cargas conectadas (a) em
Y e (b) em Δ. Fonte: Sadiku (2006).
Uma carga balanceada é aquela em que
as impedâncias de cada fase possuem a
mesma magnitude e mesma fase!
✓ Tanto o módulo da impedância quanto a fase de cada
carga devem ser iguais para que um conjunto de cargas
seja considerado balanceado;
Quando as correntes que saem das 
fontes também estão defasadas em 120°,
o sistema é considerado um sistema 
trifásico equilibrado.
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SISTEMAS TRIFÁSICOS BALANCEADOS
Sabendo que as tensões e as cargas podem ser conectadas em estrela (Y) ou em
triângulo (ou delta Δ), quatro configurações diferentes podem existir:
Conexão Y-Y
Conexão Y-Δ
Conexão Δ-Δ
Conexão Δ-Y;
✓ Na prática, a configuração das cargas em
triângulo é mais comum do que a
configuração em estrela devido à facilidade
de se retirar ou conectar uma outra carga;
✓ Sendo que isto não seria possível no caso
da configuração em estrela, já quea linha
neutra pode não estar acessível;
✓ Com relação às fontes, a conexão em
estrela é a forma mais usual de
configuração;
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CONEXÃO ESTRELA-ESTRELA
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CONEXÃO Y-Y
Considere o sistema Y-Y balanceado de quatro condutores
de sequência de fase positiva ou sequência ABC:
✓ O sistema Y-Y balanceado é o sistema no qual as
fontes e as cargas estão conectadas em estrela;
✓ O sistema é considerado equilibrado, pois tanto as
tensões das fontes (mesmo módulo e defasagem de
120°) quanto as cargas também são equilibradas
(mesma magnitude e mesma fase).
Figura 14-Conexão Y-Y balanceada.
Fonte: Sadiku (2006).
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TENSÕES DE FASE E DE LINHA
Considerando a sequência positiva, as tensões de fase
equivalem a:
Figura 14-Conexão Y-Y balanceada.
Fonte: Sadiku (2006).
𝑽𝑎𝑛 = 𝑉𝑝∠0°
𝑽𝑏𝑛 = 𝑉𝑝∠ − 120°
𝑽𝑐𝑛 = 𝑉𝑝∠120°
✓ As tensões de linha (ou fase-
fase) podem ser calculadas
por meio das tensões de fase!
Vamos determiná-las?
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𝑽𝑎𝑏 = 3𝑉𝑝∠30°
𝑽𝑏𝑐 = 3𝑉𝑝∠ − 90°
𝑽𝑐𝑎 = 3𝑉𝑝∠150°(ou − 210°)
As tensões de linha (Vab, Vbc e Vca)
permanecem defasadas entre si em
120°. No entanto, elas estão adiantadas
em 30° com relação às tensões de fase!
✓ As tensões de linha possuem o mesmo
módulo. Portanto, o módulo da tensão de
linha equivale a:
𝑉𝐿 = 3𝑉𝑝
Essa relação permitirá que você
converta a tensão de fase em tensão
de linha para resolver as questões!
TENSÕES DE FASE E DE LINHA
Professora, mas como a corrente 
se comporta na conexão Y-Y?
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CORRENTES DE FASE E DE LINHA
✓ Da mesma forma que podemos calcular a tensão de fase e a tensão de linha,
também podemos realizar um procedimento para calcular a corrente de fase e a
corrente de linha!
✓ A figura abaixo representa apenas uma fase do nosso sistema trifásico:
✓ Por meio dela, nós podemos visualizar como é fácil determinar a corrente elétrica
que circula na linha e chega à carga ZY;
Figura 15-Circuito monofásico da 
conexão Y-Y. Fonte: Sadiku (2006).
𝑰𝑏 =
𝑽𝑏𝑛
𝒁𝑌
=
𝑽𝑎𝑛∠−120°
𝒁𝑌
= 𝑰𝑎∠ − 120°
𝑰𝑐 =
𝑽𝑐𝑛
𝒁𝑌
=
𝑽𝑎𝑛∠−240°
𝒁𝑌
= 𝑰𝑎∠ + 120°
Examinando a fase “aANn” e aplicando a sequência de 
fases, temos:
𝑰𝑎 =
𝑽𝑎𝑛
𝒁𝑌
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CORRENTES DE FASE E DE LINHA
✓ As correntes de linha para as outras fases podem ser calculadas apenas em
função da corrente de linha Ia;
✓ Perceba que a defasagem de 120° entre elas permanece. Logo, a soma dessas
correntes (que passam pela linha neutra) é zero! Assim, temos que:
𝑰𝑁 = − 𝑰𝑎 + 𝑰𝑏 + 𝑰𝑐 = 0
Na configuração Y-Y, a corrente elétrica que
passa na linha é a mesma que passa pela
carga conectada em uma fase. Dessa forma, a
corrente de linha e de fase são iguais! Figura 15-Circuito monofásico da 
conexão Y-Y. Fonte: Sadiku (2006).
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ESQUEMA Y-Y
CONEXÃO Y-Y
TENSÃO
CORRENTE
FASE
𝑽𝑎𝑛 = 𝑉𝑝∠0°
𝑽𝑏𝑛 = 𝑉𝑝∠− 120°
𝑽𝑐𝑛 = 𝑉𝑝∠ + 120°
𝑰𝐴𝐵 = 𝑰𝑎
𝑰𝐵𝐶 = 𝑰𝑏
𝑰𝐶𝐵 = 𝑰𝑐
LINHA
𝑽𝑎𝑏 = 3𝑉𝑝∠30°
𝑽𝑏𝑐 = 𝑽𝑎𝑏∠ − 120°
𝑽𝑐𝑎 = 𝑽𝑎𝑏∠ + 120°
𝑰𝑎 =
𝑽𝑎𝑛
𝒁𝑌
𝑰𝑏 = 𝑰𝑎∠ − 120°°
𝑰𝑐 = 𝑰𝑎∠ + 120°°
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CONEXÃO ESTRELA-DELTA
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CONEXÃO Y-Δ
✓ Considere o sistema Y-Δ balanceado de sequência
positiva;
✓ As tensões de fase das fontes continuam sendo
as mesmas analisadas no bloco anterior!
Figura 16-Conexão Y-Δ balanceada. 
Fonte: Sadiku (2006).
As tensões de fase equivalem a:
𝑽𝑎𝑛 = 𝑉𝑝∠0°
𝑽𝑏𝑛 = 𝑉𝑝∠ − 120°
𝑽𝑐𝑛 = 𝑉𝑝∠120° 𝑽𝑎𝑏 = 3𝑉𝑝∠30°
𝑽𝑏𝑐 = 3𝑉𝑝∠ − 90°
𝑽𝑐𝑎 = 3𝑉𝑝∠150°(ou − 210°)
As tensões de linha equivalem a:
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Por meio da Figura, perceba que a tensão de linha
é igual à tensão nas cargas para essa
configuração. Assim,
Figura 16-Conexão Y-Δ balanceada. 
Fonte: Sadiku (2006).
✓ Podemos determinar a corrente que passa
pela impedância de carga (corrente de
fase), considerando justamente a tensão
que acabados de definir! Logo,
𝑰𝐴𝐵 =
𝑽𝐴𝐵
𝒁𝛥
𝑰𝐵𝐶 =
𝑽𝐵𝐶
𝒁𝛥
𝑰𝐶𝐴 =
𝑽𝐶𝐴
𝒁𝛥
CONEXÃO Y-Δ
➔ Essas correntes possuem a mesma magnitude, 
mas continuam defasadas 120° entre si!
𝑽𝑎𝑏 = 𝑽𝐴𝐵, 𝑽𝑏𝑐 = 𝑽𝐵𝐶 𝑒 𝑽𝑐𝑎 = 𝑽𝐶𝐴
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Figura 16-Conexão Y-Δ balanceada. 
Fonte: Sadiku (2006).
CONEXÃO Y-Δ
✓ Perceba na figura que a corrente de linha Ia não
possui o mesmo valor do que a corrente de fase
IAB;
Nesta configuração, a corrente de 
linha não é igual a corrente de fase! 
✓ Isto ocorre devido ao fato de que a corrente de
linha Ia e a corrente de fase ICA entram pelo mesmo
nó;
✓ Portanto, devem ser somadas para resultar na
corrente de fase IAB!
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Figura 16-Conexão Y-Δ balanceada. 
Fonte: Sadiku (2006).
CONEXÃO Y-Δ
Temos então que a corrente de linha Ia equivale a:
𝑰𝐴𝐵 = 𝑰𝑎 + 𝑰𝐶𝐴 𝑜𝑢 𝑰𝑎 = 𝑰𝐴𝐵 − 𝑰𝐶𝐴
Considerando que ICA = IAB∠120° (possuem o
mesmo módulo e estão defasadas em 120°),
temos:
𝑰𝑎 = 3𝑰𝐴𝐵∠ − 30°
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CONEXÃO Y-Δ
A corrente de linha se atrasa em
30° com relação a corrente de
fase na conexão Y-Δ!
➔ Não confunda com a tensão de linha que se
adianta em 30 ° com relação a tensão de
fase na conexão Y-Y.
𝑰𝐿 = 3𝑰𝑝
A magnitude da corrente de linha IL é
dada por:
𝑰𝑎 = 3𝑰𝐴𝐵∠ − 30°
Para calcular as correntes de linha Ib e Ic, basta
aplicar a sequência de fases. Logo,
𝑰𝑎 = 3𝑰𝐴𝐵∠ − 30°
𝑰𝑏 = 𝑰𝑎∠ − 120°
𝑰𝑐 = 𝑰𝑎∠ + 120°(𝑜𝑢 − 240°)
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CONEXÃO Y-Δ
Nesta configuração, as tensões de fase e
de linha permanecem diferentes e
continuam se relacionando pelo fator
“raiz de três”.
Figura 16-Conexão Y-Δ balanceada. 
Fonte: Sadiku (2006).No entanto, as correntes de linha e de
fase, que anteriormente eram iguais
(conexão Y-Y), também serão diferentes
para este caso!
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ESQUEMA Y-Δ
CONEXÃO Y-Δ
TENSÃO
CORRENTE
FASE
𝑽𝑎𝑛 = 𝑉𝑝∠0°
𝑽𝑏𝑛 = 𝑉𝑝∠− 120°
𝑽𝑐𝑛 = 𝑉𝑝∠ + 120°
𝑰𝐴𝐵 =
𝑽𝑨𝑩
𝒁𝜟
𝑰𝐵𝐶 =
𝑽𝑩𝑪
𝒁Δ
𝑰𝐶𝐴 =
𝑽𝐶𝐴
𝒁Δ
LINHA
𝑽𝑎𝑏 = 𝑽𝐴𝐵 = 3𝑽𝑝∠30°
𝑽𝑏𝑐 = 𝑽𝐵𝐶 = 𝑽𝑎𝑏∠ − 120°
𝑽𝑐𝑎 = 𝑽𝐶𝐴 = 𝑽𝑎𝑏∠ + 120°
𝑰𝑎 = 3𝑰𝐴𝐵∠ − 30°
𝑰𝑏 = 𝑰𝑎∠ − 120°°
𝑰𝑐 = 𝑰𝑎∠ + 120°°
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CONEXÃO DELTA-DELTA
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CONEXÃO Δ-Δ
✓ Considere o sistema Δ-Δ balanceado de
sequência positiva;
✓ O nosso objetivo é determinar as tensões e
correntes de fase e de linha do sistema
trifásico balanceado;
✓ Considerando novamente a sequência
positiva, as tensões de fase das fontes
conectadas em triângulo são:
Figura 17- Conexão Δ-Δ balanceada.
Fonte: Sadiku (2006).
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝑝∠0°
𝑽𝑏𝑐 = 𝑉𝑝∠ − 120°
𝑽𝑐𝑎 = 𝑉𝑝∠120°
➔ As tensões de fase de fontes conectas em
triângulo são iguais às tensões de linha!
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CONEXÃO Δ-Δ
✓ A tensão de fase A-B (onde a impedância de
carga está conectada) é a própria tensão Vab;
✓ Ou seja, as tensões de fase de cada fonte
equivalem às tensões sob a qual as
impedâncias estão submetidas;
Figura 17- Conexão Δ-Δ balanceada.
Fonte: Sadiku (2006).
𝑽𝑎𝑏 = 𝑽𝐴𝐵; 𝑽𝑏𝑐 = 𝑽𝐵𝐶; 𝑽𝑐𝑎 = 𝑽𝐶𝐴
As correntesde fase equivalem a :
𝑰𝐴𝐵 =
𝑽𝐴𝐵
𝒁𝛥
=
𝑽𝑎𝑏
𝒁𝛥
𝑰𝐵𝐶 =
𝑽𝐵𝐶
𝒁𝛥
=
𝑽𝑏𝑐
𝒁𝛥
𝑰𝐶𝐴 =
𝑽𝐶𝐴
𝒁𝛥
=
𝑽𝑐𝑎
𝒁𝛥
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CONEXÃO Δ-Δ
✓ A análise da corrente fica mais fácil agora, pois
estudamos na seção anterior como ela
comporta quando as cargas estão conectadas
em triângulo;
Figura 17- Conexão Δ-Δ balanceada.
Fonte: Sadiku (2006).
Repetindo o mesmo raciocínio, temos que:
𝑰𝑎 = 𝑰𝐴𝐵 − 𝑰𝐶𝐴; 𝑰𝑏 = 𝑰𝐵𝐶 − 𝑰𝐴𝐵 ; 𝑰𝑐 = 𝑰𝐶𝐴 − 𝑰𝐵𝐶
➔ A corrente de linha permanece atrasada
com relação a corrente de fase em 30°;
➔ A corrente de linha e a corrente de fase se
relacionam por meio do fator “raiz de três”.
✓ Temos as mesmas conclusões obtidas para a
corrente na seção passada, dado que as cargas
permanecem conectadas em triângulo;
𝑰𝑎 = 3𝑰𝐴𝐵∠ − 30°
𝑰𝑏 = 𝑰𝑎∠ − 120°
𝑰𝑐 = 𝑰𝑎∠ + 120°(𝑜𝑢 − 240°)
𝑰𝐿 = 3𝑰𝑝
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CONEXÃO Δ-Δ
Figura 17- Conexão Δ-Δ balanceada.
Fonte: Sadiku (2006).
Nesta configuração, a tensão de linha é
igual à tensão de fase. 
No entanto, a corrente de linha e a
corrente de fase permanecem diferentes
e continuam a se relacionar pelo fator
“raiz de três”!
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ESQUEMA Δ-Δ
CONEXÃO Δ-Δ
TENSÃO
CORRENTE
FASE
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝑝∠0°
𝑽𝑏𝑐 = 𝑉𝑝∠ − 120°
𝑽𝑐𝑎 = 𝑉𝑝∠+ 120°
𝑰𝐴𝐵 =
𝑽𝒂𝒃
𝒁𝜟
𝑰𝐵𝐶 =
𝑽𝑏𝑐
𝒁Δ
𝑰𝐶𝐴 =
𝑽𝑐𝑎
𝒁Δ
LINHA
𝑽𝑎𝑏 = 𝑽𝐴𝐵
𝑽𝑏𝑐 = 𝑽𝐵𝐶
𝑽𝑐𝑎 = 𝑽𝐶𝐴
𝑰𝑎 = 3𝑰𝐴𝐵∠ − 30°
𝑰𝑏 = 𝑰𝑎∠ − 120°°
𝑰𝑐 = 𝑰𝑎∠ + 120°°
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CONEXÃO DELTA-ESTRELA
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CONEXÃO Δ-Y
✓ Considere o sistema Δ-Y balanceado de
sequência positiva onde é possível visualizar
que as fontes estão conectadas em triângulo e
as cargas em estrela;
✓ Considerando que as fontes continuam
conectadas em triângulo, nós vamos utilizar o
mesmo raciocínio do bloco anterior para
analisar as tensões do nosso sistema;
Figura 18-Conexão Δ-Y balanceada.
Fonte: Sadiku (2006).
➔ As tensões de fase de fontes conectas em
triângulo continuam sendo iguais às tensões
de linha!
➔ A tensão de fase A-B (onde a impedância
de carga está conectada) é a própria tensão
Vab;
𝑽𝑎𝑏 = 𝑽𝐴𝐵 = 𝑉𝑝∠0°
𝑽𝑏𝑐 = 𝑽𝐵𝐶 = 𝑉𝑝∠ − 120°
𝑽𝑐𝑎 = 𝑽𝐶𝐴 = 𝑉𝑝∠120°
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CONEXÃO Δ-Y
✓ Basta considerarmos uma fase do circuito para
determinar as correntes de linhas!
✓ Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões na
malha formada pelos pontos a ANBba, temos:
Figura 18-Conexão Δ-Y balanceada.
Fonte: Sadiku (2006).
−𝑽𝑎𝑏 + 𝒁𝑌𝑰𝑎 − 𝒁𝑌𝑰𝑏 = 𝑂
𝑽𝑎𝑏 = 𝒁𝑌 𝑰𝑎 − 𝑰𝑏 = 𝑉𝑝∠0°
𝑰𝑎 − 𝑰𝑏 =
𝑉𝑝∠0°
𝒁𝑌
Isolando as correntes,
➔ Ib pode ser escrito em função de Ia,
aplicando a sequência de fases;
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CONEXÃO Δ-Y
Figura 18-Conexão Δ-Y balanceada.
Fonte: Sadiku (2006).
𝑰𝑎 − 𝑰𝑏 = 𝑰𝑎 − 𝑰𝑎∠ − 120°
𝑰𝑎 − 𝑰𝑏 = 3𝑰𝑎∠30°
𝑰𝑎 − 𝑰𝑏 =
𝑉𝑝∠0°
𝒁𝑌
= 3𝑰𝑎∠30°
✓ Nós podemos encontrar a equação para
calcular a corrente Ia fazendo as devidas
substituições. Dessa maneira,
𝑰𝑎 =
𝑉𝑝∠ − 30°
3𝒁𝑌
➔ Por fim, aplica-se a sequência de fases para
determinar a corrente Ib e Ic!
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CONEXÃO Δ-Y
Figura 18-Conexão Δ-Y balanceada.
Fonte: Sadiku (2006).
As correntes de linha são iguais às
correntes de fase da mesma forma
que ocorreu na configuração Y-Y.
𝑰𝑎 =
𝑉𝑝∠−30°
3𝒁𝑌
𝑰𝑏 = 𝑰𝑎∠ − 120°
𝑰𝑐 = 𝑰𝑎∠ + 120°(𝑜𝑢 − 240°)
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ESQUEMA Δ-Y
CONEXÃO Δ-Y
TENSÃO
CORRENTE
FASE
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝑝∠0°
𝑽𝑏𝑐 = 𝑉𝑝∠ − 120°
𝑽𝑐𝑎 = 𝑉𝑝∠+ 120°
𝑰𝐴𝐵 = 𝑰𝑎
𝑰𝐵𝐶 = 𝑰𝑏
𝑰𝐶𝐴 = 𝑰𝑐
LINHA
𝑽𝑎𝑏 = 𝑽𝐴𝐵
𝑽𝑏𝑐 = 𝑽𝐵𝐶
𝑽𝑐𝑎 = 𝑽𝐶𝐴
𝑰𝑎 =
𝑉𝑝∠−30°
3𝒁𝑌
𝑰𝑏 = 𝑰𝑎∠ − 120°°
𝑰𝑐 = 𝑰𝑎∠ + 120°°
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RESUMO
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Profa. Mariana Moronari
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Profa. Mariana Moronari
QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Uma fonte trifásica, simétrica e de sequência positiva alimenta uma carga trifásica, equilibrada,
ligada em triângulo. São dados:
- O módulo da tensão de fase na fonte é 127 [V];
- A fonte está conectada em estrela;
- A fase da tensão VAB é nula; e
- Zc = 3+j4 [Ω] é a impedância por fase da carga.
Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a corrente de fase
na carga.
(A) IAB = 26,4 + j 35,2 [A]
(B) IAB = 26,4 - j 35,2 [A]
(C) IAB = 15,2 + j 20,3 [A]
(D) IAB = 15,2 - j 20,3 [A]
(E) IAB = 13,2 +j 17,6 [A]
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Resolução e comentários:
✓ A questão solicita que você calcule a corrente de fase na fase AB do sistema.
Primeiramente, devemos considerar que o sistema em questão é um sistema
balanceado com conexão Y-Δ. Outra informação importante é que a sequência
positiva será considerada.
✓ Conforme eu já havia comentado, devemos prestar muita atenção com relação a
sequência de fase! Pois, o ângulo de fase da resposta dependerá se a sequência é
positiva (abc) ou negativa (acb).
✓ Da mesma forma que analisamos o sistema na aula, faremos para resolver a questão.
✓ À princípio, já sabemos que a corrente e a tensão de linha e de fase são diferentes
para essa configuração.
✓ Portanto, vamos analisar apenas uma fase do sistema para calcular IAB.
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Resolução e comentários:
A corrente de fase pode ser
calculada por meio da equação:
𝑰𝐴𝐵 =
𝑽𝐴𝐵
𝒁𝛥
O enunciado da questão fornece apenas o ângulo de
fase (0°) da tensão VAB.
O módulo dessa tensão pode ser obtido pela relação
entre a tensão de fase a tensão de linha. Logo:
𝑽𝑎𝑛 = 𝑉𝑝∠θ = 127∠θ
𝑽𝐴𝐵 = 3𝑉𝑝∠0° = 3 127∠0
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Resolução e comentários:
A corrente de fase pode ser calculada por:
𝑰𝐴𝐵 =
𝑽𝐴𝐵
𝒁𝛥
Agora precisamos transformar a impedância de carga
da forma retangular para polar. A magnitude da
impedância é:
𝒁𝛥 = 3 + 𝑗4
𝒁𝛥 = 32 + 42 = 5
O ângulo de fase é
cos𝜃 =
3
5
= 0,6
𝜃 = cos−1 0,6 = 53°
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Resolução e comentários:
Assim, podemos calcular a corrente de fase IAB:
𝑰𝐴𝐵 =
𝑽𝐴𝐵
𝒁𝛥
=
3 127∠0°
5∠53°
= 44∠ − 53°
As alternativas estão no formato retangular, portanto
ainda devemos fazer mais uma transformação!
𝑰𝐴𝐵 = 𝑰𝐴𝐵 cos 𝜃 + 𝑗 𝑰𝐴𝐵 sen 𝜃
𝑰𝐴𝐵 = 44cos(−53°) + 𝑗 44 sen(−53°)
𝑰𝐴𝐵 = 26,4 − 𝑗 35,2
A alternativa (B) é o gabarito da questão!
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Resolução e comentários:
Perceba que a questão também poderia pedir a
corrente de linha Ia!
Como a corrente de fase e de linha são
diferentes para este tipo de conexão, você
apenas usaria a fórmula abaixo para calculá-la.
𝑰𝑎 = 3𝑰𝐴𝐵∠ − 30°
𝑰𝑎 = 76,2∠ − 83°
Aproveite a tabela que eu fiz no final de cada seção
para conferir as fórmulas e as relações que você deve
usar em cada caso!
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Uma fonte trifásica, simétrica e de sequência positiva alimenta uma carga trifásica, equilibrada,
ligada em triângulo. São dados:
- O módulo da tensão de fase na fonte é 127 [V];
- A fonte está conectada em estrela;
- A fase da tensão VAB é nula; e
- Zc = 3+j4 [Ω] é a impedância por faseda carga.
Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a corrente de fase
na carga.
(A) IAB = 26,4 + j 35,2 [A]
(B) IAB = 26,4 - j 35,2 [A]
(C) IAB = 15,2 + j 20,3 [A]
(D) IAB = 15,2 - j 20,3 [A]
(E) IAB = 13,2 +j 17,6 [A]
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POTÊNCIA EM SISTEMAS
TRIFÁSICOS
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POTÊNCIA TRIFÁSICA
Realizaremos a análise de potência por fase do circuito com cargas conectadas em Y:
Potência ativa por fase:
𝑃𝑝 = 𝑉𝑝𝐼𝑝 𝑐𝑜𝑠 𝜃
Potência reativa por fase:
𝑄𝑝 = 𝑉𝑝𝐼𝑝 sen 𝜃
Potência aparente por fase:
𝑆𝑝 = 𝑉𝑝𝐼𝑝
Potência complexa por fase
𝑺𝑝 = 𝑃𝑝 + 𝑗𝑄𝑝 = 𝑽𝑝𝑰𝑝
∗
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POTÊNCIA TRIFÁSICA
Realizaremos a análise de potência por fase do circuito com cargas conectadas em Δ :
Potência ativa por fase:
𝑃𝑝 = 𝑉𝑝𝐼𝑝 𝑐𝑜𝑠 𝜃
Potência reativa por fase:
𝑄𝑝 = 𝑉𝑝𝐼𝑝 sen 𝜃
Potência aparente por fase:
𝑆𝑝 = 𝑉𝑝𝐼𝑝
Potência complexa por fase
𝑺𝑝 = 𝑃𝑝 + 𝑗𝑄𝑝 = 𝑽𝑝𝑰𝑝
∗
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POTÊNCIA TRIFÁSICA
✓ Para determinar a potência total do sistema, basta somar a potência de cada
fase...Simples assim!
✓ Por exemplo, a potência ativa total será a soma das potências ativas de cada
fase. Como estamos considerando um sistema trifásico balanceado, as potências
de casa fase serão iguais:
P = 3𝑉𝑝𝐼𝑝 cos 𝜃 = 3𝑉𝐿𝐼𝐿 cos 𝜃
✓ Analisar a potência em um sistema trifásico em qualquer tipo de configuração
possível é mais simples do que você imagina!
Não importa qual seja o tipo de ligação, a
fórmula resultante da potência será a mesma
em qualquer um dos casos!
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POTÊNCIA TRIFÁSICA
Potência ativa trifásica:
𝑃 = 3𝑉𝑝𝐼𝑝 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 3𝑉𝐿𝐼𝐿 cos 𝜃
Potência reativa trifásica: 
Q = 3𝑉𝑝𝐼𝑝 sen 𝜃 = 3𝑉𝐿𝐼𝐿 sen 𝜃
Potência aparente trifásica: 
S = 3𝑉𝑝𝐼𝑝 = 3𝑉𝐿𝐼𝐿
Potência complexa trifásica: 
𝑺 = 𝑃 + 𝑗𝑄 = 3𝑽𝑳𝑰𝐿
∗
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SISTEMAS TRIFÁSICOS
DESBALANCEADOS
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SISTEMAS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS
Um sistema pode se tornar
desbalanceado devido a fontes
ou a cargas desbalanceadas!
✓ Se você entendeu todo raciocino por trás das análises realizadas dos blocos
anteriores, facilmente entenderá como analisar também este tipo de sistema;
✓ Em sistemas trifásicos desbalanceados, você deverá analisar cada fase
separadamente para determinar as tensões e as correntes em um sistema
desbalanceado.
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SISTEMAS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS
✓ A Figura representa um sistema desbalanceado devido a
cargas desbalanceadas conectadas em estrela;
✓ Perceba que agora as impedâncias de carga ZA, ZB e ZC
possuem valores diferentes!
✓ Aplicando a lei de Ohm separadamente para cada
circuito, temos que:
𝑰𝑎 =
𝑽𝐴𝑁
𝒁𝐴
; 𝑰𝑏 =
𝑽𝐵𝑁
𝒁𝐵
; 𝑰𝑏 =
𝑽𝐶𝑁
𝒁𝐶 Figura 19-Carga trifásica
desbalanceada. Fonte: Sadiku (2006).
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SISTEMAS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS
✓ Este conjunto de correntes resultam em uma corrente
circulante diferente de zero na linha neutra, diferentemente
do que ocorria nos sistemas balanceados!
𝑰𝑛 = −(𝑰𝑎 + 𝑰𝑏 + 𝑰𝑐)
Quando uma questão especificar que a
corrente na linha neutra é diferente de zero,
perceba imediatamente que se trata de um
sistema trifásico desbalanceado!
Figura 19-Carga trifásica
desbalanceada. Fonte: Sadiku (2006).
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SISTEMAS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS
✓ A análise de potência é muito simples nos sistemas desbalanceado!
✓ A potência ativa, reativa e aparente totais de um sistema trifásico continuam sendo
calculadas por meio da soma das potências de cada fase!
𝑃 = 𝑃𝑎 + 𝑃𝑏 + 𝑃𝑐
𝑄 = 𝑄𝑎 + 𝑄𝑏 + 𝑄𝑐
𝑆 = 𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 + 𝑆𝑐
A potência total de um sistema trifásico
desbalanceado não é simplesmente três
vezes a potência em uma fase, mas sim a
soma das potências de cada fase!
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Um sistema trifásico ABC alimenta um circuito composto por três cargas distintas conforme
mostra a figura a seguir. Para essa configuração, a potência ativa total consumida pelo circuito,
em W, é de:
(A) 950.
(B) 1900.
(C) 2850.
(D) 7600.
(E) 10450.
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Resolução e comentários:
A questão solicita que você calcule a potência ativa total consumida pelo sistema. Primeiro
devemos fazer algumas considerações:
✓ O sistema é um sistema desbalanceado devido às diferentes impedâncias de carga, que
possuem diferentes magnitude e diferentes ângulos de fase;
✓ O sistema possui uma configuração Δ-Δ (configuração menos recorrentes nas provas);
✓ Para calcularmos a potência ativa total, devemos calcular a potência ativa em cada fase
do nosso sistema;
Tendo em vista que a potência total em sistemas desbalanceados é dada pela soma das
potências de cada fase, temos que:
𝑃 = 𝑃𝑎 + 𝑃𝑏 + 𝑃𝑐
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Resolução e comentários:
Lembre-se que não importa o tipo de conexão (Y ou Δ) entre as cargas, dado que a fórmula
resultante da potência será igual em ambos os casos! A potência ativa por fase é dada por:
𝑃𝑝 = 𝑉𝑝𝐼𝑝 cos 𝜃
✓ Poderíamos reescrever essa mesma equação em função da corrente de linha, mas como
vamos calcular primeiro a corrente de fase, podemos utilizá-la diretamente na equação da
potência ativa de cada fase e assim não precisaremos calcular a corrente de linha!
✓ Para fontes conectadas em triângulo, a tensão de linha é igual a tensão de fase!
✓ O enunciado da questão fornece tanto a tensão quanto a impedância de cada carga e
ambas estão no formato polar (não precisaremos trabalhar com a transformações dos
fasores);
✓ Como se trata de um sistema desbalanceados, nós iremos analisar cada fase
separadamente!
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Resolução e comentários:
Usaremos as equações abaixo para calcular a corrente de fase do sistema:
Fase AB:
𝑰𝐴𝐵 =
380∠0°
76∠60°
= 5∠ − 60°
Fase BC:
𝑰𝐵𝐶 =
380∠−120°
19∠0°
= 20∠ − 120°
Fase CA:
𝑰𝐶𝐴 =
380∠120°
38∠−60°
= 10∠180°
Portanto, agora temos todos os dados necessários para
calcular a potência!
Outros ponto que você deve prestar muita atenção são:
✓ O ângulo θ (utilizado para calcular a potência) é a
defasagem entre a tensão e a corrente;
✓ Ou melhor, corresponde ao próprio ângulo de fase da
impedância de carga;
✓ Basta olhar o ângulo da impedância de carga de cada
fase para utilizar na equação da potência!
𝑰𝐴𝐵 =
𝑽𝐴𝐵
𝒁𝐴
, 𝑰𝐵𝐶 =
𝑽𝐵𝐶
𝒁𝐵
e 𝑰𝐶𝐴 =
𝑽𝐶𝐴
𝒁𝐶
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Resolução e comentários:
Fase AB:
𝑃𝐴𝐵 = 380 ∙ 5 ∙ cos 60° = 950𝑊
Fase BC:
𝑃𝐵𝐶 = 380 ∙ 20 ∙ cos 0° = 7600𝑊
Fase CA:
𝑃𝐶𝐴 = 380 ∙ 10 ∙ cos(−60°) = 1900𝑊
𝑃𝑝 = 𝑉𝑝𝐼𝑝 cos 𝜃
Calculando a potência ativa total do sistema:
𝑃 = 𝑃𝑎 + 𝑃𝑏 + 𝑃𝑐 = 950 + 7600 + 1900
𝑃 = 10450𝑊
A alternativa (E) é o gabarito da questão!
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QUESTÃO DE FIXAÇÃO
Um sistema trifásico ABC alimenta um circuito composto por três cargas distintas conforme
mostra a figura a seguir. Para essa configuração, a potência ativa total consumida pelo circuito,
em W, é de:
(A) 950.
(B) 1900.
(C) 2850.
(D) 7600.
(E) 10450.
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RESUMO
➔Correção do fator de potência;
➔ Sistemas trifásicos balanceados;
➔Análise de potência trifásica;
➔ Sistemas trifásicos desbalanceados;
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moronari.mariana@gmail.com
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OBRIGADA!
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