Resistência dos Materiais - Exercícios

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FURG - DMC - Resistência dos Materiais - Turmas A, B e C - 2001 
Lista de Exercícios 
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Análise de Tensões 
 
 
1) Determinar, para cada um dos estados de tensões representados, a tensão normal e a tensão de 
cisalhamento que atuam em um plano paralelo à linha a-a . (Resposta : a) -28,0 MPa e 26,25 MPa; b)-
1,17 MPa e 35,19 MPa; c) 17,86 MPa e 50,3 MPa; d) -64,50 MPa e 7,40 MPa.) 
750 a
a
35MPa
70MPa
a) b)
600
a
a
34,5MPa
41,4MPa 650
a
a
60MPa
80MPa
d)
40MPa
600
a
a
40MPa
70MPa
c) 
2) Determinar, para cada um dos estados de tensão abaixo representados : 
• a orientação dos planos principais; 
• as tensões principais; 
• a máxima tensão de cisalhamento; 
• a orientação dos planos das tensões máxima de cisalhamento; 
• a tensão normal associada a tensão máxima de cisalhamento. 
(Resposta : a) 18,52o e 108,52o; 66,10 MPa e -53,10 MPa; 59,60 MPa; -26,42o e 63,57o; -2,5 MPa; 
b) 18,4o e 108,4o; 151,7 MPa e 13,8 MPa; 69 MPa; -26,6o e 63,4o; +82,75 MPa; 
c) -37o e 53o; -27,2 MPa e -172,8 MPa; 72,8 MPa; 8o e 98o; -100 MPa; 
d) -31,o e 59o; 130,0 MPa e -210,0 MPa; 170 MPa; 14o e 104o; -40MPa.) 
a) b) c) d)
41MPa
36MPa
54MPa
137,9MPa
27,6MPa
41,4MPa
80MPa
70MPa
120MPa
120MPa
40MPa
150MPa
 
3) As fibras de uma barra de madeira formam um ângulo de 15o com a vertical. Determinar para os estados 
de tensões indicados abaixo: a) a tensão de cisalhamento paralela às fibras; b) a tensão normal às fi-
bras. (Resposta : a) -0,600 MPa e -3,84 MPa; b) 217 psi e -125 psi) 
 
4) Determinar para cada um dos estados de tensão representados abaixo, a tensão normal e de cisalha-
mento que atuam em um plano obtido ao se girar o elemento de 20o no sentido anti-horário. (Resposta : 
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a) 29,05 MPa e 44,8 MPa; b) -142,9 MPa e 22 MPa.) 
56MPa
35MPa 30MPa
140MPa
a) b) 
5) A força centrada P está aplicada ao poste curto mostrado. Sabendo que as tensões no plano a-a valem 
σ = - 10 ksi e τ = 4 ksi, determine: (a) o ângulo β que o plano a-a forma com a horizontal, (b) a máxima 
tensão de compressão. (Resposta : a) 21,8o; b) -11,6 ksi) 
6) Um eixo de automóvel está submetido às forças e ao conjugado mostrados. Sabendo que o diâmetro 
do eixo é de 32 mm, determine os planos principais e as tensões principais no ponto H localizado na 
parte superior do eixo. (Resposta : 18,9o e 108,9o; 18,7 MPa e -158,6 MPa) 
7) Uma engrenagem acoplada a um eixo de seção vazada recebe duas forças verticais nos pontos A e B. 
O eixo DE tem diâmetro externo de 60 mm e diâmetro interno de 40 mm. Determinar as tensões 
principais e a tensão máxima de cisalhamento no ponto H localizado na parte superior do eixo. 
(Resposta : 78,8 MPa e -17,12 MPa; 48,0 MPa) 
P
a
a
β
 
 5 6 7 
8) Determinar, para o estado plano de tensões indicado, a máxima tensão de cisalhamento quando: a) σy 
= 26,7 MPa, b) σy = 82,7 MPa. (Resposta : a) 65 MPa; b) 72,6 MPa) 
9) Determinar para o estado de tensão indicado, a tensão de cisalhamento máxima quando τxy = 45 MPa 
e τxy = 144 MPa. (Resposta : a) 82,5 MPa; b) 156 MPa) 
x
y
z
σy
96,5MPa
55,2MPa
8)
x
z
30MPa
150MPa
τxy
9) 
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10) Determinar para os estados de tensões indicados, a tensão de cisalhamento máxima quando: σy = + 48 
MPa, σy = -48 MPa e σy = 0. (Resposta : a) 37 MPa; 30 MPa e 19 MPa; b) 42 MPa; 40 MPa e 32 MPa.) 
a) b)
z z
y y
x x
σy σy
20MPa 20MPa
18MPa 32MPa
 
11) Determinar, para o estado de tensões indicado, a máxima tensão de cisalhamento. (Resposta : 125 
MPa) 
y
z
x
140MPa
70MPa
120MPa
 
12) Determinar as tensões principais e os planos principais para cada estado de tensões resultante da 
superposição indicada. (Resposta : a) ± 3 0τ ; 0o; b) σo ( 1 ± cos θ); ½ θ; c) 100 MPa e 0; 18,4o) 
300
300 τ0
τ0
a)
σ0
σ0
θ
b)
80MPa
70MPa
450
50MPa30MPa
c)
 
13) Determinar, para o elemento indicado, a faixa de valores de τxy para os quais a máxima tensão de 
cisalhamento é igual ou menor do que 85 MPa. (Resposta: -40 MPa ≤ τxy ≤ 40 MPa) 
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14) Determinar, para o estado plano de tensões indicado, a faixa de valores de θ para os quais a tensão 
normal σx' é menor ou igual a +70 MPa. (Resposta : -8,13o ≤ θ ≤ +135,0o) 
15) Em um certo estado de tensões, se conhecem algumas componentes de tensões em cada uma das 
orientações dos eixos coordenados indicadas. Determinar as seguintes componentes de tensões: a) 
τxy, b) τx'y', c) σy'. (Resposta : a) +43,3 MPa; b) - 43,3 MPa; c) 50 MPa) 
50MPa
100MPa
τxy
13)
60MPa
40MPa
θ
σx'
τx'y'
σy'
14)
300
σx' =100MPa
τx'y'
σy'
15)
σy=50MPa
σx=100MPa
τxy
 
 
16) Resolver o problema 1 usando o círculo de Mohr. 
17) Resolver o problema 2 usando o círculo de Mohr. 
18) Resolver o problema 3 usando o círculo de Mohr. 
19) Resolver o problema 4 usando o círculo de Mohr. 
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Leitura Recomendada: 
 
Resistência dos Materiais - Beer & Johnston - 2a. edição 
Capítulo 6 - Análise de Tensões e Deformações - pp. 325-350. 
Seções 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5 e 6.6. 
ou 
Resistência dos Materiais - Beer & Johnston - 3a. edição 
Capítulo 6 - Análise de Tensões e Deformações - pp. 593-635. 
Seções 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5 e 6.6. 
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.- 
Formulário 
σ
σ σ σ σ
θ τ
σ
σ σ σ σ
θ τ
′
′
=
+
+
−
+
=
+
−
−
−
x
x y x y
xy
y
x y x y
xy
2 2 2 2
2 2 2 2
cos sen
cos sen
θ
θ
 
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 τ
σ σ
θ τ′ ′ = −
−
+x y
x y
xy2 2 2sen cos θ 
 
σ
σ σ σ σ
τ θ
τ
σ σ
τ
σ σ
τ θ
σ σ
τ
σ
σ σ
1 2
2
2
2
2
2 2 2 2
2 2 2
2
, =
+
±
−



+ =
−
= ±
−



+ = −
−
=
+
x y x y
xy p
xy
x y
max
x y
xy c
x y
xy
x y
tg
tg 
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-