topografia 3

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FUNDAMENTOS DE 
TOPOGRAFIAMARCELO TULER
SÉRGIO SARAIVA
FUNDAM
ENTOS DE TOPOGRAFIA
TULER & SARAIVA
Base de qualquer projeto ou obra realizada por engenheiros ou arquitetos, o levantamento 
topográfico é uma prática indispensável para determinar todos os detalhes de um terreno. 
Para ajudá-lo a compreender a importância da ciência topográfica e a entender como fazer um 
levantamento topográfico (métodos e tecnologias), os experientes professores Marcelo Tuler e 
Sérgio Saraiva apresentam neste livro os seguintes tópicos:
 Resumo histórico da ciência topográfica
 Fundamentos básicos de geodésia e topografia, suas aplicações e profissionais 
habilitados para sua prática
 Processos, equipamentos e requisitos para um levantamento topográfico planimétrico
 Métodos de levantamento altimétrico, com ênfase no nivelamento geométrico
 Planialtimetria: exemplos do levantamento e do uso da planta planialtimétrica
 Aspectos básicos das concordâncias horizontal e vertical, e da estatística aplicada 
à topografia
 Biologia dos animais peçonhentos e prevenção de 
acidentes durante a atividade de campo
Este lançamento da série Tekne é um instrumento 
pedagógico indispensável para alunos e professores dos 
cursos do eixo Infraestrutura, previstos pelo Ministério da 
Educação, no Programa Nacional de Acesso ao 
Ensino Técnico e Emprego (Pronatec).
Topografia
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que complementam 
o conteúdo.
FUNDAMENTOS DE 
TOPOGRAFIA
MARCELO TULER
SÉRGIO SARAIVA
49280 Fundamentos de Topografia.indd 1 05/08/13 14:19
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
T917f Tuler, Marcelo.
 Fundamentos de topografia [recurso eletrônico] / Marcelo 
 Tuler, Sérgio Saraiva. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : 
 Bookman, 2014.
 Editado também como livro impresso em 2014.
 ISBN 978-85-8260-120-4
 1. Levantamento topográfico. 2. Topografia. I. Saraiva, 
 Sérgio. II. Título. 
CDU 528.425 
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 CURIOSIDADE
Em 4 de outubro de 1957, a URSS lançou o primeiro satélite artificial, o Sputnik 1 (“companheiro de via-
gem”): uma esfera de metal do tamanho de uma bola de basquete, com quatro antenas que transmitiam 
sinais de rádio para a Terra. Seu lançamento desencadeou a Corrida Espacial. Após 96 dias em órbita, o 
Sputnik 1 reentrou na atmosfera e incendiou-se devido ao atrito com o ar.
Terra geoidal, elipsoidal, esférica e plana
Considerações devem ser feitas para as representações de feições da superfície da Terra, tanto 
na Geodésia quanto na Topografia. Partindo do geral (Geodésia), em primeira aproximação, a 
superfície que mais se aproxima da forma da Terra é a que se denomina geoide. Ela é obtida 
pelo prolongamento do nível médio dos mares, em repouso, pelos continentes, sendo nor-
mal em cada ponto à direção da gravidade terrestre. Essa forma é bem definida fisicamente 
em um ponto, mas matematicamente tem sido alvo de exaustivos estudos pela comunidade 
geodésica.
Pela dificuldade da utilização do geoide por meio de uma equação, os geodesistas adotaram 
como forma da Terra a de um elipsoide de revolução, girante em torno de seu eixo menor 
(Fig. 1.9). Com isso, o elipsoide de revolução constitui a figura com possibilidade de tratamen-
to matemático que mais se assemelha ao geoide. Sua construção é oriunda da rotação de uma 
elipse em torno de seu eixo menor.
A segunda missão do satélite GOCE, da ESA-
-GOCE (European Space Agency-Gravity field 
and steady-state Ocean Circulation Explorer), 
de 2009, entregou o mapa mais preciso da 
gravidade da Terra (Fig. 1.10).
Um sistema elipsóidico global está relaciona-
do ao elipsoide de referência como a melhor 
figura da Terra como um todo. A origem do 
elipsoide geralmente coincide com o centro 
de massa da Terra (geocêntrico). O conjunto 
de parâmetros que descreve a relação entre 
um elipsoide local particular e um sistema de 
referência geodésico global é chamado de 
datum geodésico.
a
b
Figura 1.9 Elipsoide de revolução.
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Um sistema elipsoidico ou geodésico é caracterizado por cinco parâmetros geométricos:
 a) Dois parâmetros definem a geometria do elipsoide de referência:
 • Semieixo maior (a)
 • Achatamento (f ): ,
onde b é o semieixo menor (Fig. 1.9).
 b) Três parâmetros definem a orientação desse modelo em relação ao corpo terrestre:
 • � e � → Componentes do desvio da vertical
 • N → Ondulação do geoide
Na maioria dos sistemas geodésicos de origem locais, os valores das componentes do desvio 
da vertical e da ondulação do geoide são arbitrados iguais a zero, o que leva o elipsoide e 
o geoide a se tangenciarem no datum. Além desses parâmetros geométricos, são definidos 
parâmetros dinâmicos: J2 (fator de elipticidade geopotencial ou fator de forma); GM, sendo 
G a constante gravitacional de Newton e M a massa da terra; W, velocidade angular da terra.
Tendo definido a melhor forma para a Terra, a busca incessante dos cientistas foi pela definição 
do melhor elipsoide que a representasse. Com o passar dos anos, vários elipsoides de referên-
cia foram adotados, sendo substituídos por outros que proporcionassem parâmetros mais pre-
cisos (Quadro 1.2). O elipsoide de Hayford foi recomendado pela Assembleia Geral da União In-
ternacional de Geodésia e Geofísica (UIGG), em Madrid, em 1924. Em 1967, a UIGG, em Lucena, 
o sistema 1924/1930 foi substituído pelo Sistema Geodésico de Referência 1967, atualmente 
utilizado no Brasil. Em 1979, em Camberra, a UIGG reconheceu que o sistema geodésico de 
referência 1967 não representava a medida, a forma e o campo da gravidade da Terra com a 
precisão adequada. Esse sistema foi, então, substituído pelo sistema geodésico de referência 
(1980). Esse último sistema constitui a base do World Geodetic System (WGS-84), o sistema de 
referência utilizado pelo Global Position System: Sistema de Posicionamento Global (GPS).
Figura 1.10 Imagem planificada do geoide, pelo satélite GOCE.
Fonte: European Space Agency (2010).
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Em 2005, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) estabeleceu o Sistema de Re-
ferência Geocêntrico para as Américas (SIRGAS), em sua realização do ano 2000, como o novo 
sistema de referência geodésico para o Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) e para o Sistema 
Cartográfico Nacional (SCN), estabelecendo um período de dez anos de transição entre os sis-
temas anteriores. Dessa forma, por exemplo, os serviços de Cadastro de Imóveis Rurais, impos-
tos pelo Incra (Instituto Nacional de Colonização e Reforma Agrária) devem estar referenciados 
integralmente a esse sistema a partir de 2015.
Outra aproximação para a representação da forma da Terra é a esférica. Em representações 
que permitem menor precisão, adota-se a redução do elipsoide a uma esfera de raio igual à 
média geométrica dos raios de curvatura das seções normais que passa por um ponto sobre a 
superfície do elipsoide terrestre em questão. As seções normais principais são a seção meridia-
na (M) e a seção do primeiro vertical (N), e o modelo para o raio da Terra esférica será a medida 
geométrica dada por R = (N  M)1/2. Na Geodésia, essa aproximação permitiu a implantação e 
a densificação de pontos geodésicos, a partir da execução de triangulações geodésicas, cujas 
figuras geométricas eram tratadas como triângulos esféricos.
Essa opção também é muitoutilizada nos estudos das projeções cartográficas, em que se 
tem o conceito da “esfera-modelo”, uma esfera desenhada na escala da projeção e que serve 
como construção auxiliar para obtenção das projeções geométricas. Com esse recurso, além 
de facilitar o cálculo, o erro obtido é quase insignificante, devido às escalas de projeção. O raio 
dessa esfera (Rm) depende diretamente da escala de representação, sendo:
→
→
Como dito anteriormente, a Topografia considera levantar trechos de dimensões limitadas. 
Logo, outra aproximação é sugerida: considerar a superfície terrestre como plana. Dessa for-
ma, despreza-se a curvatura terrestre, constituindo o que se denomina campo topográfico.
O campo topográfico é a área limitada da superfície terrestre que pode ser representada topo-
graficamente, desconsiderando a curvatura da Terra, supondo-a esférica. O limite da grandeza 
dessa área, de forma que se possa considerar a Terra como plana em determinada faixa de sua 
superfície, é função da precisão exigida para sua representação.
Quadro 1.2 Alguns elipsoides e seus parâmetros
Nome Datum
Semieixo maior 
(a)
Semieixo menor 
(b) Achatamento (f)
Hayford Córrego Alegre 6.378.388,000
b � a � f � a
1/297
SGR-67 SAD-69 6.378.160,000 1/298,25
SGR-80 WGS-84 6.378.137,000 1/298,257223563
Fonte: IBGE (2005).
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Segundo a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT, 1994), o campo topográfico tem 
as seguintes características:
 • As projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o centro de proje-
ção localizado no infinito.
 • A superfície de projeção é um plano normal à vertical do lugar no ponto da superfície terres-
tre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimétrico referido ao 
datum vertical.
 • As deformações máximas inerentes à desconsideração da curvatura terrestre e à refração 
atmosférica têm as seguintes expressões aproximadas:
	 l (mm) � � 0,004 � l3 (km)
	 h (mm) � � 78,5 � l2 (km)
	 h’ (mm) � � 67 � l2 (km),
onde
	 l � Deformação planimétrica devida à curvatura da Terra, em mm
	 h � Deformação altimétrica devida à curvatura da Terra, em mm
	 h’ � Deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da refra-
ção atmosférica, em mm
l � Distância considerada no terreno, em km
 • O plano de projeção tem a dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, de ma-
neira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse 
1/35.000 nessa dimensão e 1/15.000 nas imediações da extremidade dessa dimensão.
Há outros fundamentos matemáticos para definir o limite do campo topográfico, como:
a) Considerar um plano tangente em ponto médio da porção considerada.
O erro cometido ao substituir o arco pela tangente em uma extensão da superfície terres-
tre denominando erro de esfericidade (veja a Fig. 1.11):
Erro de esfericidade (e)
e � AB � AF’ (1)
 1. Pelo triângulo ABC, temos:
AB � AC � tg
 
AB � R � tg
(2)
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 2. Considerando a circunferência terrestre, temos:
2 � � R → 360
AF → 
 (3)
e AF � AF’
 3. (2) e (3) em (1), temos:
tg
Para exemplificar, considere os seguintes valores:
Raio da Terra � 6.367.000 m; α � 0° 30’.
Para esses valores, tem-se a seguinte solução:
tg � 55.563,96 m � 55.562,55 m � 1,41 m.
Esse valor pode ser considerado desprezível nas operações topográficas correntes, em 
face da precisão de alguns instrumentos usados. Logo, pode-se afirmar que uma área 
limite de aproximadamente 55 km de raio é satisfatória para limitar o campo topográfico. 
Acima desse valor, devem-se fazer considerações à precisão imposta.
b) Considerar o erro de graficismo.
Uma vez que a planta topográfica é representada sob um erro de graficismo da ordem de 
0,1mm, a limitação do campo topográfico para obtenção da precisão desejada também 
pode ser função da escala adotada.
Considere o erro de esfericidade (e) da alínea anterior:
.
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1
H BF’A
E
Ra
io
 d
a 
Te
rr
a
EAD � Arco da Terra
HH
1
 � Plano horizontal tangente em A
AC � CF � Raio da Terra
AF � Arco com ângulo central 
Figura 1.11 Extensão do campo topográfico.
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Sendo 
 muito pequeno em relação a R, desenvolvendo tg
 em série e desprezando os 
termos acima de 
5, temos:
Denominando o arco R � 
 de D, o erro 	D da distância D será:
e 	D � erro de graficismo � denominador da escala.
Finalmente:
D3 � 3 � R2 � erro de graficismo � denominador da escala.
Veja o exemplo a seguir:
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	Terra geoidal, elipsoidal, esférica e plana