196_PDFsam_APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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Fixado λ ∈ ℝ, considere o conjunto Gλ das matrizes 2 × 2 da forma:
u =
a11 a12
a21 λ
onde aij ∈ ℝ para todo i,j = 1,2.
Dados u = , v = e α є ℝ
a11 a12
a21 λ
b11 b12
b21 λ , definimos a soma e a multiplicação por 
escalar em Gλ, como:
u + v = αu = 
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 λ
αa11 αa12
αa21 λ
Assim, verificamos as seguintes condições.
i. u + v é uma matriz 2 × 2, e cada entrada de u + v é um número real com o elemento 
da posição (2,2) valendo λ, logo u + v ∈ Gλ.
ii. αu é uma matriz 2 × 2, e cada entrada de αu é um número real com o elemento 
da posição (2,2) valendo λ, logo αu ∈ Gλ.
A seguir, verificamos se essas operações satisfazem os axiomas.
Dados u = , v = , w = є Gλ e α, β є ℝ
a11 a12
a21 λ
b11 b12
b21 λ
c11 c12
c21 λ
a) u + v = = = v + u;
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 λ
b11 + a11 b12 + a12
b21 + a21 λ
b) (u + v) + w = + =
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 λ
a11 + b11 + c11 a12 + b12 + c12
a21 + b21 + c21 λ
c11 c12
c21 λ
b11 + c11 b12 + c12
b21 + c21 λ
a11 a12
a21 λ= + = u + (v + w)
(αβ)u = = = α(βu)
(αβ)a11 (αβ)a12
(αβ)a21 λ
α(βa11) α(β)a12)
α(βa21) λ
c) Tomando 0 = 0 0
0 λ , então, para todo v ∈ E:
0 0
0 λ
0 + v = + = = v;
b11 b12
b21 λ
b11 b12
b21 λ
Espaços vetoriais: exemplos e propriedades básicas10
d) Para cada u ∈ E tomando –u = (–1)u =
–a11 –a12
–a21 λ , temos:
u + (–u) = + = ;
a11 a12
a21 λ
–a11 –a12
–a21 λ
0 0
0 λ
e) 
(α + β)u = (α + β) = =
a11 a12
a21 λ
(α + β)a11 (α + β)a12
(α + β)a21 λ
αa11 + βa11 αa12 + βa12
αa21 + βa21 λ
= αu + βu
 
e
α(u + v) = = + = αu + αv; 
α(a11 + b11) α(a12 + b12)
α(a21 + b21) λ
αa11 αa12
αa21 λ
αb11 αb12
αb21 λ
f) Para todo u ∈ E, temos que:
u + (–u) = + = ;
a11 a12
a11 λ
–a11 –a12
–a11 λ
0 0
0 λ
Portanto, Gλ é espaço vetorial.
O paralelo que precisamos fazer entre os dois exemplos anteriores é: Gλ 
é um subconjunto de F , mas F e Gλ são espaços vetoriais com operações 
distintas e incompatíveis, se λ ≠ 0. De forma mais precisa, se compararmos 
a soma de u, v ∈ Gλ pela soma definida em F com a soma definida em Gλ:
Podemos reparar que, se λ ≠ 0, então (u + v)F ≠ (u + v)G. Isso significa 
que, dado um conjunto, existem diferentes maneiras de definirmos as suas 
operações, a fim de obtermos um espaço vetorial. O próximo exemplo mostra 
que nem toda operação define um espaço vetorial.
11Espaços vetoriais: exemplos e propriedades básicas
Considere o conjunto H das matrizes 2 × 2 da forma:
u =
a11 a12
a21 a22
onde aij ∈ ℝ para todo i,j = 1,2.
Dados u = , v = e α є ℝ
a11 a12
a21 a22
b11 b12
b21 b22
 definimos a soma e a multiplicação por 
escalar em H, como:
u + v =
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
αu =
αa11 αa12
αa21 αa22
2 2 2 2
2 2 2 2
Dessa forma, as condições (i) e (ii) funcionam igual aos demais exemplos, assim como 
a condição (a). Contudo, a condição (b) não é verificada, pois:
(u + v) + w = + =
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
c11 c12
c21 c22
(a11 + b11) + c11 (a12 + b12) + c12
(a21 + b21) + C21 (a22 + b22) + c22
2 2 2 2 22 22 2
2 2 2 22 22 2
2 2 2
2 2 2 2
Enquanto que:
u + (v + w) = + =
a11 a12
a21 a22
b11 + c11 b12 + c12
b21 + c21 b22 + c22
2
2 2 2 2
2 2 2 a11 + (b11 + c11) a12 + (b12 + c12)
a21 + (b21 + c21) a22 + (b22 + c22)
2 22 2 2 2
2
2 2 2
2
2
2 2 2
2
Logo, com as operações definidas anteriormente, H não é espaço vetorial. É impor-
tante ressaltar, também, a necessidade de verificarmos todas as condições e proprie-
dades da definição, a fim de concluirmos se o conjunto e as operações definem um 
espaço vetorial.
Exemplos de espaços vetoriais
Antes de prosseguir, vamos a outros exemplos de espaços vetoriais que não 
foram mencionados neste capítulo, mas que são comuns nas aplicações.
Espaços vetoriais: exemplos e propriedades básicas12
Generalizando um dos exemplos anteriores, fixados m, n ∈ ℕ, seja Mm × n(ℝ) o conjunto 
formado por todas as matrizes m × n, de coeficientes reais, isto é, o conjunto formado 
pelos elementos da forma:
u = [aij],
v = [bij]
onde aij, bij∈ ℝ para i = 1, …, m e j = 1, …, n. Nesse conjunto, definimos as operações 
de modo que:
u + v = [cij ],
onde cij = aij + bij para i = 1, …, m e j = 1, …, n, e αu = [αaij].
Assim, o vetor nulo é a matriz formada por zero em todas as posições: 
0 = [0]
E o inverso aditivo de u é:
– u = [– aij].
Outro exemplo são as sequências ordenadas de infinitos números reais, o ℝ∞. Nesse 
conjunto, os elementos de ℝ∞ são:
u = (a1, a2, a3,…)
v = (b1, b2, b3,…),
onde a1, b1, a2, b2, a3, b3, …∈ ℝ. Nesse espaço, definimos as operações de modo que:
u + v = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3,…),
αu = (αa1, αa2, αa3,…).
13Espaços vetoriais: exemplos e propriedades básicas
Assim, o vetor nulo é:
0 = (0, 0, 0,…)
E o inverso aditivo de u é:
– u = (– a1, – a2, – a3,…).
Um subconjunto como subespaço vetorial
Como foi definido, dado E espaço vetorial, um subespaço vetorial (ou subes-
paço) de E é um subconjunto F ⊂ E que ainda é um espaço vetorial em relação 
às operações de E. Isto é, F precisa ser fechado em relação às operações de 
E. Confirmamos isso se verificarmos o seguinte. 
 � Se u, v ∈ F, então u + v ∈ F.
 � Se u ∈ F , então, para todo α ∈ ℝ, α u ∈ F.
A tarefa de determinar se um subconjunto é subespaço depende de um número 
menor de condições por F herdar as operações do espaço E. Essas operações 
trazem, de forma implícita, as propriedades (a) até (f), necessitando apenas 
mostrar que F é fechado em respeito a essas operações. Vamos a alguns 
exemplos de subespaço.
No espaço vetorial Mn × n(ℝ) das matrizes n × n de coeficientes reais com as operações 
naturais de soma matricial e multiplicação por número real, definimos o subconjunto:
Sn = {A ∈ Mn × n(ℝ); A é matriz simétrica}.
Lembrando que uma matriz A = [aij], n × n é dita simétrica se, para todo i,j = 1, …, n,
aij = aji, isto é, se A coincide com a sua transposta (A = AT).
Nessas condições, verificamos que Sn é um subespaço de Mn × n(ℝ), pois:
Espaços vetoriais: exemplos e propriedades básicas14