apostila algebra linear

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ÁLGEBRA
LINEAR
MARCELA NASCIMENTO
EDUCAÇÃO A 
DISTÂNCIAFACULDADE ÚNICA
1
ÁLGEBRA LINEAR
MARCELA NASCIMENTO
Marcela Nascimento
Doutoranda em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). Mestre em Ma-
temática pela Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF-MG) (2018). Gradu-
ada (licenciatura) em Matemática pela Universidade Federal de Viçosa (2015). 
1
FACULDADE ÚNICA EDITORIAL
Diretor Geral:
Diretor Executivo:
Ger. do Núcleo de Educação à Distância:
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: 
Revisão Gramatical e Ortográfica:
Revisão/Diagramação/Estruturação:
Design:
Valdir Henrique Valério
William José Ferreira
Cristiane Lelis dos Santos
Gilvânia Barcelos Dias Teixeira
Izabel Cristina da Costa
Bárbara Carla Amorim O. Silva
Carla Jordânia G. de Souza
Rubens Henrique L. de Oliveira
Aline de Paiva Alves
Élen Cristina Teixeira Oliveira 
Maria Luiza Filgueiras
Taisser Gustavo Soares Duarte
© 2021, Faculdade Única.
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autorização escrita do Editor.
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ÁLGEBRA LINEAR
1° edição
Ipatinga, MG
Faculdade Única
2021
3
4
LEGENDA DE
Ícones
Trata-se dos conceitos, definições e informações importantes nas 
quais você precisa ficar atento.
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do 
conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones 
ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para determinado 
trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, mostradas a 
seguir:
São opções de links de vídeos, artigos, sites ou livros da biblioteca 
virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro.
Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade, 
associando-os a suas ações.
Atividades de multipla escolha para ajudar na fixação dos 
conteúdos abordados no livro.
Apresentação dos significados de um determinado termo ou 
palavras mostradas no decorrer do livro.
 
 
 
FIQUE ATENTO
BUSQUE POR MAIS
VAMOS PENSAR?
FIXANDO O CONTEÚDO
GLOSSÁRIO
5
SUMÁRIO
1.1 Conceito de Vetor...............................................................................................................................................8
1.2 Operações com vetores...............................................................................................................................10
1.3 Vetores no plano...............................................................................................................................................12
1.4 Componentes de vetor no plano..........................................................................................................14
1.5 Vetores no espaço...........................................................................................................................................16
2.1 Espaços vetoriais..............................................................................................................................................21 
2.2 Propriedades dos espaços vetoriais..................................................................................................24
2.3 Subespaços vetoriais....................................................................................................................................25
3.1 Combinação linear.........................................................................................................................................32
3.2 Subespaços gerados....................................................................................................................................34
3.3 Dependência e independência linear..............................................................................................37
3.4 Propriedades da dependência e independência linear.....................................................39
UNIDADE 1
UNIDADE 2
UNIDADE 3
VETORES
ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS
4.1 Base de um espaço vetorial.....................................................................................................................43
4.2 Dimensão de um espaço vetorial......................................................................................................44
4.3 Componentes de um vetor....................................................................................................................45
4.4 Mudança de base.........................................................................................................................................46
UNIDADE 4
COMBINAÇÃO LINEAR
BASES
UNIDADE 5
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
5.1 Transformações lineares.............................................................................................................................55
5.2 Propriedades das transformações lineares..................................................................................57
5.3 Núcleo de uma transformação linear..............................................................................................60
5.4 Imagem de uma transformação linear...........................................................................................61
5.5 Teorema do núcleo e da imagem.......................................................................................................62
5.6 Matriz de uma transformação linear................................................................................................64
5.7 Operações com transformações lineares.....................................................................................68
5.8 Transformações lineares planas...........................................................................................................69
5.9 Autovalores e autovetores........................................................................................................................72
UNIDADE 6
PRODUTOS
6.1 Produto interno...............................................................................................................................................78
6.2 Produto vetorial...............................................................................................................................................81
6.3 Produto misto.................................................................................................................................................84
6
UNIDADE 1
Iniciamos a unidade apresentando o conceito de vetor e exemplificando sua 
dinamicidade. Definimos suas classificações e as operações que podem ser 
realizadas. Mostramos como são representados os vetores no plano e no espaço e 
definimos também suas componentes.
UNIDADE 2
Nesta unidade definimos e exemplificamos espaços vetoriais. Exibimos suas 
propriedades, definimos subespaços vetoriais e apresentamos um teorema de 
caracterização dos subespaços vetoriais.
UNIDADE 3
Começamos definindo combinação linear e subespaços gerados, exemplificamos 
e, em seguida, apresentamos a noção de dependência e independência linear, 
juntamente com suas propriedades.
UNIDADE 4
Esta unidade é iniciada com o conceito de base e dimensão de um espaço vetorial. 
Apresentamos exemplos e resultados importantes sobre esse assunto. Definimos 
também as coordenadas de um vetor e, uma vez que cada espaço vetorial possui 
infinitas bases, mostramos como é realizada a mudança de base.
UNIDADE 5
Transformações lineares é o tema desta unidade. Definimos esse tipo de função 
e suas propriedades, apresentamos também o Teorema do Núcleo e da Imagem, 
que é um dos principais resultados do estudo da Álgebra Linear. Mostramos como 
são feitas algumas operações com as transformações lineares e exibimos algumas 
transformações planas. Apresentamos também os conceitos de autovalores e 
autovetores.
UNIDADE 6
Finalizamos definindo os produtos que podem ser realizadoscom os vetores do 
espaço euclidiano: produto interno ou escalar, produto vetorial e produto misto. 
Exemplificamos cada um deles, discutimos suas propriedades e interpretações 
geométricas.
C
O
N
FI
R
A
 N
O
 L
IV
R
O
7
VETORES
UNIDADE
01
8
1.1 CONCEITO DE VETOR
 O objetivo desta unidade é apresentar a noção de vetor em e discutirmos 
algumas operações que envolvem os vetores.
 Vetores no plano ou no espaço nada mais são do que segmentos de retas orientados. 
Segmentos de retas que possuem mesmo tamanho, mesma direção e mesmo sentido re-
presentam o mesmo vetor, não importa onde estão no plano ou no espaço. Por exemplo, 
no quadrado abaixo, os segmentos possuem mesmo tamanho, direção e 
sentido, por isso, representam o mesmo vetor. O mesmo acontece com os segmentos 
ℝ2 e ℝ3
AB e CD
CA e DB.
Figura 1: Quadrado feito com vetores
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Um mesmo vetor possui infinitos segmentos de reta orientados que o representa.
FIQUE ATENTO
 Escrevendo , afirmamos que o vetor é determinado pelo segmento de reta 
orientado, de origem A e extremidade B. Assim, qualquer outro segmento de mesmo ta-
manho, mesma direção e mesmo sentido também representará o vetor v. O segmento 
por exemplo, também representa o vetor v. Dessa forma, cada ponto do espaço pode ser 
considerado como origem ou extremidade de algum segmento orientado que representa 
o vetor v.
 O comprimento, que também chamaremos de módulo, de um vetor v, será denota-
do por |v|. 
 Qualquer ponto do plano ou do espaço representa um vetor de comprimento zero. 
Os vetores que possuem comprimento zero são chamados de vetores nulos.
 Para cada vetor não-nulo v, existe um vetor oposto, que denotaremos por -v, que pos-
sui mesmo módulo e mesma direção de v, porém, sentido ao contrário de v. 
v = AB
CD
9
Figura 2: Vetores opostos v e -v
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
 Vetores que possuem módulo igual a 1, ou seja, |v|=1, são chamados de vetores uni-
tários. 
 Dois vetores u e v que possuem mesma direção são chamados de vetores colinea-
res, ou seja, eles estão sobre a mesma reta ou sobre retas paralelas. Nessa definição, não 
importa o sentido dos vetores, analisamos apenas a direção. Veja as figuras abaixo que 
ilustram alguns exemplos de vetores colineares.
Figura 3: Vetores u e v colineares, com mesmo sentido e, vetores a e b colinea-
res com sentidos opostos
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Figura 4: Vetores m e n colineares, com mesmo sentido, situados em semirretas 
paralelas
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
 Vetores não nulos representados por segmentos de reta que se encontram no mes-
mo plano são chamados de vetores coplanares. Na figura abaixo, por exemplo, os vetores 
u, v e w, representados pelos segmentos de reta , respectivamente, são copla-
nares pois, se encontram no mesmo plano .
AB, CD e EF
α
Figura 5: Vetores coplanares u,v e w
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
10
1.2 OPERAÇÕES COM VETORES
 Nesta seção definiremos as principais operações realizadas com vetores: adição e 
multiplicação por um escalar real.
1.2.1 ADIÇÃO DE VETORES
 Do ponto de vista geométrico, a adição entre os vetores u e v, denotada por u+v, é 
realizada da seguinte forma: na extremidade do vetor u, encaixaremos a origem do vetor v. 
O vetor u+v será o vetor cuja origem é a mesma origem de u e cuja extremidade é a mesma 
extremidade do vetor v. De forma mais clara, se os vetores u e v são representados pelos 
segmentos orientados respectivamente, a soma u+v será representada pelo seg-
mento orientado desde que os pontos B e C estejam justapostos.
AB e CD
AD
Figura 6: Vetores u e v. Em seguida, u e v com os pontos B e C justapostos e, em vermelho, o 
vetor u + v
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
 Na física é muito comum a utilização de duas regrinhas para a soma de vetores, que 
foram elaboradas de acordo com a definição acima. São elas:
 • Regra do Paralelogramo;
 • Regra da Poligonal.
 Na regra do paralelogramo, dados dois vetores, para somá-los juntamos suas ori-
gens, traçamos uma linha paralela a cada um dos vetores a fim de formarmos um parale-
logramo. A diagonal desse paralelogramo formado será a soma dos dois vetores. 
Figura 7: Soma dos vetores u e v utilizando a regra do paralelogramo
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
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Acompanhe mais exemplos de soma de vetores utilizando a regra do paralelogramo em “Ál-
gebra Linear com Aplicações” (2016) de Jeffrey Hold, disponível na Biblioteca Única. Acesse 
em: https://bit.ly/34FlHx3. Acesso em: 03 mar. 2021. 
BUSQUE POR MAIS
 Na regra poligonal podemos somar mais de dois vetores de uma só vez. Basta juntar-
mos os vetores, um pela origem e outro pela extremidade, repetindo esse processo, suces-
sivamente, conforme o número de vetores que desejamos somar. Em seguida, traçamos 
uma linha entre a origem do primeiro vetor e a extremidade do último a fim de obtermos 
um polígono. Essa linha representa o resultado da soma desses vetores.
Figura 8: Soma dos vetores u, v e w utilizando a regra poligonal
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
 Independente da forma que façamos a soma dos vetores temos as seguintes pro-
priedades:
 Associatividade: Para quaisquer vetores u, v e w temos:
 (u+v)+w=u+(v+w) (1)
 Comutatividade: Para quaisquer vetores u, v temos:
 u+v=v+u (2)
 Elemento neutro: Existe um único vetor nulo 0 tal que, para todo vetor v temos:
 v+0=0+v=v (3)
 Para qualquer vetor v, existe um único vetor oposto -v tal que:
 v+(-v)=0=(-v)+v (4)
 Observação: A diferença entre dois vetores é dada pela soma de um com o oposto 
do outro. Por exemplo, dados os vetores u, v, a diferença u-v é dada pela soma de u com o 
oposto de v, ou seja:
 u-v=u+(-v) (5)
12
1.2.2 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES POR 
UM NÚMERO REAL
 Dado um vetor não nulo v e um número real também não nulo k, o produto do nú-
mero real k pelo vetor v é o vetor u=kv tal que:
 |u|=|kv|=|k|.|v|
 a direção de u coincide com a direção de v
 o sentido de u coincide com o sentido de v se k for um real positivo e, u terá sentido 
contrário de v se k for um real negativo.
Figura 9: Multiplicação do vetor v pelos escalares ½, 2 e -1
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
 Observação: Se k=0 ou v=0, então o vetor u=kv é o vetor nulo e, se k=-1 e v é não nulo, 
o vetor u=kv é o vetor oposto de v, ou seja, u=-v.
 Dados a,b números reais quaisquer e u,v vetores arbitrários, temos as seguintes pro-
priedades da multiplicação de vetores por um número real:
 a(bu)=(ab)u;
 (a+b)u=au+bu;
 a(u+v)=au+av;
 1u=u.
1.3 VETORES NO PLANO
 Qualquer vetor considerado no plano possui sempre um representante 
(segmento , por exemplo) cuja origem é a origem do sistema de coordenadas. 
 Por exemplo, o vetor , com A=(3,3) e B=(5,5) possui como represente o seg-
mento , onde P=(2,2) e O é a origem do sistema de coordenadas.
v = AB xOy
OP
v = AB
OP
13
Figura 10: Vetor v com dois representantes distintos
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
 Dessa forma, consideraremos vetores representados por segmentos orientados com 
origem na origem do sistema . Nessas condições, cada vetor do plano é determinado 
pelo ponto extremo do segmento e, portanto, o ponto P=(x,y) individualiza o vetor . 
Assim, temos v=(x,y), identificando v com as coordenadas de P. 
 Na figura acima, por exemplo, temos v=(2,2). A origem do sistema O=(0,0) representa 
o vetor nulo e o vetor oposto de v=(x,y) é o vetor -v=(-x,-y).
 Diante disso temos que dois vetores são iguais se, e somente
se, .Nesse caso escrevemos u=v. 
 Por exemplo, os vetores u=(x+1,y+5) e v=(7,0) são iguais se, e somente se, x+1=7 e y+5=0, 
ou seja, u=v se, e somente se, x=6 e y=-5.
 Vimos, anteriormente, como era realizada a soma entre dois vetores e o produtode 
um vetor por um número real do ponto de vista geométrico. Vejamos agora como essas 
operações são realizadas do ponto de vista algébrico.
 Para isso, consideremos dois vetores quaisquer do plano e, 
seja a um número real arbitrário. Assim temos:
 
 
 Portanto, para somar dois vetores do plano basta somarmos suas componentes cor-
respondentes e, para multiplicarmos um vetor do plano por um escalar real, basta multipli-
car cada componente por esse escalar.
 Por exemplo, dados u=(2,3) , v=(-1,5) e a=3 temos:
 u+v=(2,3)+(-1,5)=(2+(-1),3+5)=(1,8)
 e
 au=3(2,3)=(3.2,3.3)=(6,9)
 Nem sempre o vetor está representado por um segmento orientado que parte da ori-
gem do sistema . Nesse caso, consideremos o vetor de origem no ponto A=(a_1,a_2 
xOy
v = OP
u = u1, u2 e v = v1, v2
u1 = v1 e u2 = v2
u = u1, u2 e v = v1, v2
u + v = u1, u2 + v1, v2 = u1 + v1, u2 + v2 ;
av = a v1, v2 = av1, av2 .
xOy AB.
14
) e extremidade no ponto B = b1, b2 .
Figura 11: Vetor em vermelho
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
AB.
 Note que o vetor é a diferença entre os vetores , ou seja,
 
e, portanto 
 
 Assim, concluímos que as componentes do vetor são obtidas pela diferença en-
tre as coordenadas da extremidade B e as da origem A.
 Por exemplo, se A=(2,4) e B=(1,7), o vetor será:
AB OB e OA
AB = OB − OA
AB = b1, b2 − a1, a2 = b1 − a1, b2 − a2 .
AB
AB
AB = B − A = 1,7 − 2,4 = 1 − 2,7− 4 = −1,3 .
1.4 COMPONENTES DE UM VETOR
NO PLANO
 Dado um vetor qualquer v inclinado, que não esteja sobre as retas dos eixos x e y, 
podemos escrevê-lo como a soma de outros dois vetores, .
 encontra-se sobre o eixo encontra-se sobre o eixo y. Ambos possuem a ori-
gem do sistema como origem.
 Esses vetores recebem um nome especial. é chamado de componente horizon-
tal do vetor é chamado de componente vertical de v. 
vx e vy.
vx x e vy
vx
v e vy
15
Figura 12: Vetor v e suas componentes v_x e v_y
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
 Para determinarmos o tamanho das componentes de v, basta conhecermos o valor 
do ângulo , formado entre o vetor v e a direção horizontal, e o módulo do vetor v. Observe 
que esses vetores formam um triângulo retângulo e, a partir de algumas relações trigono-
métricas, obtemos os tamanhos de .
θ
vx e vy
Figura 13: Triângulo retângulo formado pelo vetor v e suas componentes
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
 De acordo com a figura acima temos:
 (6)
 Assim, através das componentes v_x e v_y de um vetor v, é possível calcular o seu 
módulo. Para isso, basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras já que essas componentes são 
perpendiculares entre si:
 (7)
vx = v cosθ e vy = v senθ
v = vx 2 + vy
2�
16
Uma aplicação bem direta da fórmula acima em nosso cotidiano é quando um barco atra-
vessa um rio com correnteza. Quando ele começa a cruzar um rio sempre velejando para 
frente, existe uma composição de movimentos entre a velocidade que o barco está e a velo-
cidade da correnteza, de tal forma que a velocidade resultante entre essas forças se encon-
tra sempre na diagonal.
VAMOS PENSAR?
Figura 14: Decomposição da velocidade de um barco atravessando um rio com correnteza
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
 Exemplo 1: Um barco está atravessando um rio a uma velocidade e a cor-
renteza atua para a direita a uma velocidade de conforme a ilustração a seguir:
vb = 10m/s
vc = 3m/s
Figura 15: Ilustração da decomposição da velocidade de um barco 
atravessando um rio com correnteza
Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3vJBrLj. Acesso em: 03 mar. 2021
 A velocidade resultante na qual o barco consegue atravessar o rio é dada por:
 
vr
vr2 = vc2 + vb2 ⟹ vr2 = 32 + 102 = 9 + 100 = 109 ⟹
vr ≈ 10,44m/s.
1.5 VETORES NO ESPAÇO
 De forma análoga ao que fizemos para o plano, consideraremos vetores represen-
tados por segmentos orientados com a origem na origem do sistema. Assim, cada vetor v 
no espaço é determinado pelo seu ponto extremo do segmento, ou seja, o ponto P=(x,y,z) 
individualiza o vetor e, dessa forma, escrevemos: 
 v=(x,y,z) (8)
v = OP
https://bit.ly/3vJBrLj
17
 identificando as coordenadas de P com as componentes de v.
 Dessa forma, a origem do sistema O=(0,0,0) representa o vetor nulo.
 O vetor oposto de v=(x,y,z) é dado pelo vetor -v=(-x,-y,-z).
 De forma análoga ao que foi feito no plano temos:
 Dois vetores são iguais se, e somente se, 
 Dados os vetores e a um número real arbitrário temos:
 Se são dois pontos quaisquer do espaço, então:
 
 Exemplos:
 
 Considere u=(1,8,4) e v=(0,3,7) vetores no espaço e a=2. Temos:
 Dados os pontos A=(5,1,6) e B=(7,3,0), o vetor é dado por:
u = u1, u2, u3 e v = v1, v2, v3
u1 = v1, u2 = v2 e u3 = v3
u = u1, u2, u3 , v = v1, v2, v3
u + v = u1, u2, u3 + v1, v2, v3 = u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3
e
au = a u1, u2,3 = au1, au2, au3
A = a1, a2, a3 e B = b1, b2, b3
AB = b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3
Dados u = x + 2, y − 3, z + 7 e v = 4,2,9 temos que u = v se, e somente se, x + 2 = 4, y − 3 = 2 e z +
7 = 9, ou seja, u = v se, e somente se, x = 2, y = −1 e z = 2.
u + v = 1,8,4 + 0,3,7 = 1 + 0,8 + 3,4 + 7 = 1,11,11 e
au = 2. 1,8,4 = 2.1,2.8,2.4 = 2,16,8
AB
AB = B − A = 7,3,0 − 5,1,6 = 7 − 5,3 − 1,0 − 6 = 2,2,−6 .
 Quando falamos de vetores no espaço estamos nos referindo a vetores em R^3. Essas ideias 
podem ser generalizadas a fim de obtermos vetores em R^n. Consulte “Álgebra Linear” 
(2016) de Neide Bertoldi Franco, página 77, disponível na Biblioteca Pearson. Acesse: https://
bit.ly/3yWlxiR. Acesso em: 03 mar. 2021.
No vídeo a seguir é abordado todo o conteúdo visto sobre vetores através de um mapa con-
ceitual. O vídeo também exemplifica a aplicação dos vetores na física. Vamos assistir? Aces-
se: https://bit.ly/34DmBu7. Acesso em: 03 mar. 2021
BUSQUE POR MAIS
https://bit.ly/3yWlxiR
https://bit.ly/3yWlxiR
https://bit.ly/34DmBu7
18
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (SEDUC) Um barco deve atravessar um rio num trecho em que as margens são paralelas 
e a velocidade da correnteza é paralela a elas. São dadas cinco possíveis trajetórias do bar-
co, em relação às margens, durante a travessia.
Seja v a velocidade do barco em relação à água e a velocidade da correnteza em relação 
às margens. Se , a trajetória que tomará a travessia mais rápida será:
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
2. (PM MA – FGV 2012). Dados os vetores u=(3,1) e v=(–1,1) o módulo do vetor 3u + v é aproxi-
madamente igual a:
a) 8.
b) 9.
c) 10.
d) 11.
e) 12.
3. Considere u=(5,2), v=(3,7),w=(-5,-1) e k=2. O resultado da expressão u+v-k(v+w) é:
a) (12,-3).
b) (-12,3).
c) (3,12).
d) (-3,12).
e) (3,-12).
4. (EEAR) A adição de dois vetores de mesma direção e mesmo sentido resulta num vetor 
cujo módulo vale 8. Quando estes vetores são colocados perpendicularmente, entre si, o 
módulo do vetor resultante vale 4√2. Portanto, os valores dos módulos destes vetores são:
a) 1/2 e 7,5.
b) 1 e 7.
c) 2 e 6.
d) 3 e 5.
v
v = v ′ 3�
19
e) 4 e 4.
5. Considere . O valor de x+y para que tenha-
mos u=v é:
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 9.
6. (FCM PB) Na figura abaixo podemos ver representada a soma entre dois vetores, cujo 
vetor resultante é qual o módulo desse vetor resultante?
a) 3,74.
b) 6,92.
c) 1,41.
d) 1.
e) 10.
7. O valor de x para que u=(3x,-4x) seja um vetor unitário é:
a) 1/5.
b) 5.
c) -5.
d) 25.
e) 50.
8. Dados os pontos é: 
a) (7,3,4).
b) (7,4,4).
c) (2,3,1).
d) (7,4,3).
e) (1,2,3).
u = x2 + 5x, 10 + y, 5y + 20 e v= −6,5x + 4,40
Vr,
A = 1,2,3 , B = −6,−2,3 e C = 1,2,1 o vetor w = 3BA − 2BC
20
Figura 9: Estrutura das bases nitrogenadas que compõem os ácidos nucleicos
Fonte: Nelson e Cox (2019, p. 283)
 
ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS
UNIDADE
02
21
2.1 ESPAÇOS VETORIAIS
 Um espaço vetorial real é um conjunto V não vazio, com duas operações:
 Soma: 
 Multiplicação por escalar: 
 tais que, para quaisquer u,v,w em V e a,b números reais, as seguintes propriedades 
da tabela abaixo são satisfeitas:
V × V ⟶ V
x, y ⟼ x + y
ℝ × V ⟶ V
a, x ⟼ a. x
 Se na definição acima, ao invés de termos como escalares números reais tivermos 
números complexos, V será chamado de espaço vetorial complexo.
 Os elementos de V são chamados de vetores independente de sua natureza:
Pode parecer estranho, e à primeira vista não deixa de ser, o fato de se 
chamar de vetores os polinômios (quando V for constituído de polinô-
mios), as matrizes (quando V for constituído por matrizes), os núme-
ros (quando V for um conjunto numérico), e assim por diante. A jus-
tificativa está no fato de as operações de adição e multiplicação por 
escalar realizadas com esses elementos de natureza tão distintas se 
comportarem de forma idêntica, como se estivéssemos trabalhando 
com os próprios vetores do ou do (STEINBRUCH; WINTERLE, 
1987, p. 19).
Nesse vídeo é apresentada, de forma mais clara, a ideia de espaço vetorial e as proprieda-
des descritas na tabela anterior. Disponível em: https://bit.ly/2S318bf. Acesso em: 08 mar. 
2021. 
BUSQUE POR MAIS
ℝ2 ℝ3
https://bit.ly/2S318bf
22
 Vejamos agora alguns exemplos de espaços vetoriais.
 Exemplos: 
1. O conjunto dos números reais, munido da adição e multiplicação usuais, é espaço veto-
rial real.
2. O conjunto que representa todas as matrizes de ordem 2 com entradas reais, 
é um espaço vetorial real.
 De fato, dados temos que, as operações soma e multiplicação 
por escalar estão bem definidas, uma vez que a soma de duas matrizes de ordem 2 com 
entradas reais é uma matriz de ordem 2 com entrada real e, a multiplicação de uma matriz 
de ordem 2 com entrada real por um número real qualquer, também é uma matriz de or-
dem 2 com entrada real. 
 Para verificar as 8 propriedades da tabela da p. anterior, consideremos:
 Assim temos:
 (I) 
 (II) 
 (III)
 (IV)
V = M2 ℝ , 
A, B, C ∈ M2 ℝ e x, y ∈ ℝ
A =
a11 a12
a21 a22 , B =
b11 b12
b21 b22
e C =
c11 c12
c21 c22
A + B + C =
a11 a12
a21 a22 +
b11 b12
b21 b22
+
c11 c12
c21 c22 =
= a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22
+
c11 c12
c21 c22 =
= a11 + b11 + c11 a12 + b12 + c12a21 + b21 + c21 a22 + b22 + c22
=
= a11 + b11 + c11 a12 + b12 + c12a21 + b21 + c21 a22 + b22 + c22
=
=
a11 a12
a21 a22 +
b11 + c11 b12 + c12
b21 + c21 b22 + c22
=
=
a11 a12
a21 a22 +
b11 b12
b21 b22
+
c11 c12
c21 c22 = A + B + C
A + B =
a11 a12
a21 a22 +
b11 b12
b21 b22
= a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22
=
= b11 + a11 b12 + a12b21 + a21 b22 + a22
= b11 b12b21 b22
+
a11 a12
a21 a22 = B + A
Considerando 0v =
0 0
0 0 temos:
0v + A =
0 0
0 0 +
a11 a12
a21 a22 =
0 + a11 0 + a12
0 + a21 0 + a22
=
a11 a12
a21 a22 = A
Dado −A =
−a11 −a12
−a21 −a22 temos: 
−A + A =
−a11 −a12
−a21 −a22 +
a11 a12
a21 a22
= −a11 + a11 −a12 + a12−a21 + a22 −a22 + a22
= 0 00 0 = 0v
23
 (V)
 (VI)
 (VII)
 (VIII) 
x. y. A = x.
ya11 ya12
ya21 ya22 =
xya11 xya12
xya21 xya22 = xy .
a11 a12
a21 a22 = xy . A
1. A = 1.
a11 a12
a21 a22 =
1. a11 1. a12
1. a21 1. a22
=
a11 a12
a21 a22 = A
x + y . A = x + y .
a11 a12
a21 a22 =
x + y a11 x + y a12
x + y a21 x + y a22
=
x + y . A = x + y .
a11 a12
a21 a22 =
x + y a11 x + y a12
x + y a21 x + y a22
=
=
xa11 + ya11 xa12 + ya12
xa21 + ya21 xa22 + ya22
=
xa11 xa12
xa21 xa22 +
ya11 ya12
ya21 ya22 =
= x.
a11 a12
a21 a22 + y.
a11 a12
a21 a22 = x. A + y. A
 Logo, é um espaço vetorial real.
3. De forma análoga ao exemplo anterior, considerando temos que é um 
espaço vetorial complexo.
 Sabemos que um par (x,y) pode ser interpretado como um ponto no plano cartesia-
no. Vimos na unidade 1 que esse mesmo par (x,y) pode ser considerado um vetor em . 
Vimos também que essa ideia pode ser estendida para o espaço tridimensional. Apesar de 
não conseguirmos imaginar como seria o espaço em dimensões maiores que 3, podemos 
estender a ideia de vetores em para obtermos vetores em , para n≥4. Assim, quín-
tuplas de números podem ser compreendidas como pontos ou vetores no 
espaço , que possui dimensão 5. Dessa forma, podemos definir o espaço de dimensão 
n, que será formado por todas as n-uplas de entradas reais e que possui a seguinte repre-
sentação:
 
 Observe que as operações de soma e multiplicação por escalar estão bem definidas 
em e, realizando alguns cálculos, mostramos facilmente que é um espaço vetorial 
real.
M2 ℝ
x, y ∈ ℂ M2 ℝ
ℝ2.
x1, x2, x3, x4, x5
ℝ2 e ℝ3 ℝn
ℝ5
ℝn ℝn
24
 é um espaço vetorial real quando munido das operações de adição e multi-
plicação por escalar usuais. Trocando essas operações, não podemos afirmar 
que é um espaço vetorial. Nesse caso, temos que fazer a verificação das oito 
propriedades da tabela do início desse capítulo.
FIQUE ATENTO
ℝ2.
ℝ2.
 Dados , definindo a soma e a multiplicação por es-
calar como:
 (10)
 
 
 temos que não é um espaço vetorial real.
u = u1, u2 , v = v1, v2 em ℝ2 e k ∈ ℝ
u ⊕ v = u1, u2 ⊕ v1, v2 = u1 + v2, u2 + v1
k ∙ v = k ∙ v1, v2 = kv1, v2
ℝ2
Você sabia que o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual à é um es-
paço vetorial? Acompanhe esse e outros exemplos de espaços vetoriais em “Álgebra Linear 
– Coleção Schaum, 4ª edição” (2011) de Seymour Lipschutz e Marc Lipson, página 121. Dis-
ponível em: https://bit.ly/3icaD2o. Acesso em: 08 mar. 2021. 
BUSQUE POR MAIS
n∈N
2.2 PROPRIEDADES DOS 
ESPAÇOS VETORIAIS
 Da definição de espaço vetorial, temos as seguintes propriedades:
 (I) O vetor nulo é único.
 (II) Cada vetor possui apenas um elemento simétrico .
 (III) Para quaisquer .
 (IV) Para todo .
 (V) Quaisquer que sejam , existe um único esse vetor 
w é representado por w=v-u.
 (VI) qualquer que seja .
 (VII) Para todo k em ou tem-se .
 (VIII) Se então 
 (IX) Para todo temos que .
 (X) Para quaisquer que sejam temos:
 (11)
0v ∈ V
v ∈ V −v ∈ V
u, v, w ∈ V, se u + v = u + w então v = w
v ∈ V temos que − −v = v, ou seja, o simétrico de −v é v
u, v ∈ V w ∈ V tal que u + w = v e
0. v = 0v v ∈ V
ℝ ℂ k. 0v = 0v
k. v = 0v k = 0 ou v = 0v
v ∈ V −1 . v = v
v ∈ V e k ∈ ℝ ou k ∈ ℂ
https://bit.ly/3icaD2o
25
2.3 SUBESPAÇOS VETORIAIS
 Seja S um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V. Dizemos que S é um su-
bespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por 
escalar definidas em V.
 Assim, para verificarmos que um subconjunto não vazio S é um subespaço vetorial 
de V, devemos verificar as 8 propriedades descritas na definição de espaço vetorial relacio-
nadas à adição e à multiplicação por escalar definidas para V. Como S está contido em V e 
este é um conjunto que satisfaz as 8 propriedades, não há necessidade da verificação de 
todas elas. Dessa forma, para a simplificaçãodos cálculos temos o seguinte Teorema, que 
caracteriza os subespaços vetoriais.
2.3.1 TEOREMA DE CARACTERIZAÇÃO 
DOS SUBESPAÇOS VETORIAIS
 Um subconjunto não vazio S, de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V 
se forem satisfeitas as seguintes condições:
 Para quaisquer , tem-se:
 (12)
 Para quaisquer for um espaço vetorial complexo) e , tem-se:
 (13)
 Prova: Suponha que (a) e (b) sejam válidas. Seja v um elemento qualquer de S. Por (b)
, . Logo, tomando k=-1 temos que , garantindo, assim, que 
S satisfaz a propriedade (iv) de espaço vetorial. 
 De (a) temos que , logo S satisfaz a propriedade (iii) de espaço veto-
rial.
 As demais propriedades de espaço vetorial são satisfeitas em S pelo fato de S ser um 
subconjunto não vazio de V.
 Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços chamados de subes-
paços triviais: , conhecido também por subespaço nulo e o próprio espaço V. Os 
demais subespaços são chamados de subespaços próprios. Por exemplo, os subespaços 
triviais de e um subespaço próprio de são as retas que passam pela 
origem. 
 Vejamos agora alguns exemplos de subespaços vetoriais:
 Exemplos:
u, v ∈ S
k ∈ ℝ (ou k ∈ ℂ se V v ∈ V
kv ∈ S para todo k ∈ ℝ (ou k ∈ ℂ) −v ∈ S
v + −v = 0v ∈ S
{0v}
ℝ2 são: ℝ2 e { 0,0 } ℝ2
26
 1. Considere , ou seja, S é o conjunto dos vetores de que 
possui a segunda componente igual à zero. Claramente . Vejamos que S 
satisfaz as condições (a) e (b) do Teorema. 
 Sejam , temos:
 a) 
 b) 
 Portanto S é um subespaço de .
 2. Considere , ou seja, S é o conjunto das 
matrizes de ordem 2 com entradas que possui a segunda linha nula. Note que S é não vazio 
pois a matriz nula está em S. 
 a)
 b)
 Logo, S é um subespaço vetorial de .
 3. Considere , ou seja, S é o conjunto dos vetores do 
plano que possui a segunda componente igual ao dobro da primeira. Claramente S é não 
vazio pois (0,0) S . Considere . Temos:
 
 a)
 b)
 Logo, S é um subespaço vetorial. 
 Geometricamente, esse subespaço representa as retas que passam pela origem. 
Note que, se tomarmos u e v dois vetores da reta, o vetor soma, u+v, ainda é da reta e, 
quando multiplicamos um vetor u por um escalar real k, o vetor ainda está na reta, in-
dependente do sinal de k.
V = ℝ2 e S = { x, y ∈ ℝ2; y = 0} ℝ2
S ≠ ∅ pois 0,0 ∈ S
u, 0 , v, 0 ∈ S e k ∈ ℝ (ou ℂ)
u, 0 + v, 0 = u + v, 0 ∈ S
k. u, 0 = ku, k0 = ku, 0 ∈ S
V = ℝ2
V = M2 ℝ e seja S = A ∈ M2 ℝ ; A =
a11 a12
0 0
Dados A = a11 a120 0 , B =
b11 b12
0 0 em S e k ∈ ℝ (ou k ∈ ℂ) temos:
A + B = a11 a120 0 +
b11 b12
0 0 =
a11 + b11 a12 + b12
0 0 ∈ S;
k. A = k. a11 a120 0 =
ka11 ka12
0 0 ∈ S
V = M2 ℝ
V = ℝ2 e seja S = { x, 2x ; x ∈ ℝ}
∈ u, 2u , v, 2v ∈ S e seja k ∈ ℝ
u, 2u + v, 2v = u + v, 2 u + v ∈ S;
k. u, 2u = ku, 2ku = ku , 2 ku ∈ S.
ku
27
Figura 16: Vetores u, v, u+v e ku sobre a reta y=2x
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
O conjunto das retas no plano que não passa pela origem forma um subespaço vetorial de 
 ?
VAMOS PENSAR?
ℝ2
 4. Considere . Note que S não é um subespaço 
vetorial de V pois, tomando temos que det A = 1, ou seja 
uma vez que det 3A=9.
V = M2 ℝ e seja V = {A ∈ M2 ℝ ; detA = 1}
A = 1 00 1 A ∈ S, mas 3A ∉ S
Dados subespaços vetoriais de um espaço vetorial é também um subes-
paço vetorial de V? Veja em “Álgebra Linear” (2017) de Luana Fonseca Duarte Fernandes, 
p. 85. 
Disponível em: https://bit.ly/34KaafO. Acesso em: 08 mar. 2021.
BUSQUE POR MAIS
W1 e W2 V, W1 ∩ W2
https://bit.ly/34KaafO
28
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Apresentamos a seguir um conjunto com as operações de adição e multiplicação por 
escalar nele definidas. Assinale a alternativa que define um espaço vetorial real.
a) 
b)
c)
d)
e)
2. O conjunto , munido das operações NÃO é 
um espaço vetorial real porque:
a) A adição não é comutativa. 
b) A propriedade do elemento neutro da multiplicação não é satisfeita.
c) A multiplicação não é associativa.
d) A distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma dos elementos de R^2 
não é satisfeita.
e) Todas as alternativas anteriores.
3. Assinale a alternativa CORRETA:
a) é um espaço vetorial real quaisquer que sejam as operações de soma e multiplicação 
por escalar nele definidas.
b) Existem espaços vetoriais que não possuem subespaços vetoriais.
c) O conjunto dos números naturais, munido das operações usuais é um espaço vetorial 
real. 
d) Os elementos de um espaço vetorial V são chamados de vetores.
e) O conjunto dos números naturais, munido das operações usuais é um espaço vetorial 
complexo. 
4. Qual dos seguintes conjuntos abaixo é um subespaço vetorial de munido das 
operações usuais?
a) 
b) 
c) 
d)
e) 
5. Considere as seguintes afirmações:
I. munido das operações não é um es-
paço vetorial real
ℝ3; x, y, z + x′, y ′, z′ = x + x′ , y + y ′, z + z′ ; k x, y, z = 0,0,0
ℝ2; a, b + a′ , b′ = a, b ; k. a, b = ka, kb
A = { x, y ∈ ℝ2; y = 5x + 3}
A = { x, 10x, 100x ∈ ℝ3; x ∈ ℝ} com as operações usuais de adição e mul�plicação por escalar
ℝ4; a, b, c, d + a′ , b′ , c′ , d′ = a + a′ , b + b′, c + c′ , d + d′ ; k. a, b, c, d = 0,0,0, d
V = ℝ2 a, b + c, d = a, d e k. a, b = ka, kb
ℝ2
V = ℝ2
S = { 0,0 }
ℝ2 ∖  { 0,0 }
S = { x, x + 7 ; x ∈ ℝ}
S = { x, x2 ; x ∈ ℝ}
S = { x, x2 + 5 ; x ∈ ℝ}
ℝ3 x, y, z + x′, y ′, z′ = x, y, z′ e k. x, y, z = kx, y, kz
29
pois
II. 3.(1,2,3)=(3,2,9).
Assinale a alternativa CORRETA:
a) A afirmação (I) é verdadeira e a afirmação (II) justifica (I).
b) A afirmação (I) é falsa e a afirmação (II) é um contraexemplo de (I).
c) As afirmações (I) e (II) são falsas.
d) Apesar das afirmações (I) e (II) serem verdadeiras, (II) não justifica (I).
e) A afirmação (II) é verdadeira e (II) justifica (I).
6. Qual dos seguintes conjuntos abaixo é um subespaço vetorial de R^3, munido das ope-
rações usuais:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
7. O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2 é um 
espaço vetorial real. Seus subespaços triviais são:
a) 
b) Qualquer subconjunto não vazio S de
c) 
d) 
e) 
8. Classifique as afirmações abaixo (V) para verdadeiras ou (F) para falsas e, em seguida, 
assinale a alternativa correta:
( ) Se S é um subespaço vetorial de V, então os vetores nulos de S e V são distintos.
( ) Todo espaço vetorial possui pelo menos dois subespaços vetoriais.
( ) O conjunto munido das operações:
é um espaço vetorial real.
( ) O conjunto das funções reais definidas em toda reta, munido das opera-
ções usuais de soma e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial real.
 
a) F-V-F-V.
b) F-V-V-V.
c) V-V-V-F.
d) F-V-V-F. 
S = { x, y, z ; x = z2}
S = { x, x, x ; x ∈ ℝ}
S = { x, y, z ; z = x2 − z2}
S = { x, x, 1 ; x ∈ ℝ}
S = { y, y, z ; z = y + 3}
P2 = {a0 + a1 x + a2x2; ai ∈ ℝ}
P2 e {0}
P2 e {1 + x + x2}
P2 e {x2}
P2 e {x}
P2
V = { x, x2 ; x ∈ ℝ}
a, a2 + b, b2 = a + b, a + b 2
k. a, a2 = ka, k2a2V = {f:ℝ ⟶ ℝ}
30
e) F-F-F-F.
31
COMBINAÇÃO LINEAR
UNIDADE
03
32
3.1 COMBINAÇÃO LINEAR
Se V for um espaço vetorial real, os escalares serão números reais 
e, se V for um espaço vetorial complexo, esses escalares serão números comple-
xos.
FIQUE ATENTO
 Consideremos vetores de um espaço vetorial escalares. Qual-
quer vetor escrito da forma:
 (14) 
 é chamado de combinação linear dos vetores .
v1, v2, … , vn V e a1 , a2, … , an
v ∈ V
v1, v2, … vn
a1, a2, … an
 Exemplos:
 
1. No espaço vetorial real dos polinômios de grau menor ou igual a 2, 
o polinômio é uma combinação linear dos polinômios pois,
2. No espaço vetorial real , determinando os valores de que , com 
v= . Temos que:
Logo, .
3. O vetor v=(4,3,-6) não pode ser escrito como combinação linear dos vetores 
e .
De fato, suponhamos que existam escalares reais tais que . Temos:
P2
v1 = x2 e v2 = x − 1
v = 3v1 + 5v2
v = 3x2 + 5x − 5
ℝ3 a1 e a2 v = a1. v1 + a2. v2
−4,−18,7 , v1 = 1,−3,2 e v2 = 2,4,−1
v = a1. v1 + a2. v2 ⇒ −4,−18,7 = a1 1,−3,2 + a2 2,4,−1 ⟹
a1,−3a1,2a1 + 2a2,4a2,−a2 = −4,−18,7 ⟹
a1 + 2a2,−3a1 + 4a2,2a1 − a2 = −4,−18,7 ⟹
�
a1 + 2a2 = −4
−3a1 + 4a2 = −18 ⟹
2a1 − a2 = 7
a1 = 2 e a2 = −3.
v = 2v1 − 3v2
v1 = 1,−3,2
v2 = 2,4,−1
a1, a2 v = a1. v1 + a2. v2.
33
Uma vez que o sistema acima não possui solução, concluímos que o vetor v não pode ser 
escrito como combinação linear de .
4. No espaço vetorial , vamos determinar o valor de k para que o vetor seja 
combinação linear de . Consideremos , temos:
Pela segunda e terceira equação do sistema acima temos que . Substituindo 
esses valores na primeira equação do sistema, obtemos k=1.
5. No espaço , o vetor v=(3,4) pode ser escrito de infinitas formas como combinação 
linear dos vetores . De fato:
Para cada valor atribuído à , obtemos um valor para e outro para . 
v = a1. v1 + a2. v2 ⟹ 4,3,−6 = a1 1,−3,2 + a2 2,4,−1 ⟹
a1,−3a1, 2a1 + 2a2, 4a2,−a2 = 4,3,−6 ⟹
a1 + 2a2,−3a1 + 4a2,2a1 − a2 = 4,3,−6 ⟹
.
v1 e v2
V = ℝ3 v = k, 8,5
v1 = 1,3,2 v = a1. v1 + a2. v2
v = a1. v1 + a2. v2 ⟹ k, 8,5 = a1 1,3,2 + a2 −1,2,1 ⟹
a1,3a1,2a1 + −a2,2a2, a2 = k, 8,5 ⟹
a1 − a2,3a1 + 2a2,2a1 + a2 = k, 8,5 ⟹
�
a1 − a2 = k
3a1 + 2a2 = 8
2a1 + a2 = 5
.
a1 = 2 e a2 = 1
V = ℝ2
v1 = 1,0 , v2 = 0,1 e v3 = 2,−1
v = a1. v1 + a2. v2 + a3. v3 ⟹ 3,4 = a1 1,0 + a2 0,1 + a3 2,−1 ⟹
a1,0 + 0, a2 + 2a3,−a3 = 3,4 ⟹
�a1 + 2a3 = 3a2 − a3 = 4
.
a3 a1 a2
34
Veja mais um exemplo de combinação linear de vetores no vídeo: https://bit.ly/3yW2apX. 
Acesso em: 09 mar. 2021.
BUSQUE POR MAIS
3.2 SUBESPAÇOS GERADOS
 Seja V um espaço vetorial real (ou complexo) e um subconjunto não 
vazio de V. Dados:
 
 (15) 
 combinações lineares dos vetores de A temos:
a) também é uma combinação linear dos 
vetores de A e,
b) também é uma combinação linear dos vetores de A.
 Logo, tomando S como o conjunto de todos os vetores de V que são combinações li-
neares de A, temos que u,w estão em S e u+w e k.u também estão em S. Assim, concluímos 
que S é um subespaço vetorial de V.
Simbolicamente, descrevemos o subespaço S da seguinte forma:
 (16)
 Chamamos o subespaço S de espaço gerado pelos vetores ou gerado 
pelo conjunto A e o representamos por:
 (17)
 Os vetores são chamados geradores do subespaço V, enquanto A é o con-
junto gerador de S.
 No caso em que A=∅, definimos .
 Todo subconjunto A de V gera um subespaço vetorial de V, podendo acontecer 
[A]=V. Nesse caso, A é um conjunto gerador de V.
 Exemplos: 
 Os vetores i=(1,0) e j=(0,1) geram o espaço pois, qualquer vetor pode ser 
escrito da seguinte forma
A = {v1, v2, … , vn}
u + w = u1 + w1 v1 + u2 + w2 v2 + ⋯+ un + wn vn
k. u = ku1. v1 + ku2. v2 + ⋯+ kun. vn
v1, v2, … , vn
S = v1, v2, … , vn ou S = span{v1, v2, … , vn}
v1, v2, … , vn
∅ = {0}
ℝ2 u, v ∈ ℝ2
https://bit.ly/3yW2apX.
35
 portanto, .
2. Os vetores geram o espaço pois, qualquer vetor 
(x,y,z)∈ pode ser escrito da seguinte forma
 portanto, .
u, v = u, 0 + 0, v = u 1,0 + v 0,1 = u. i + v. j
i, j = ℝ2
e1 = 1,0,0 , e2 = 0,1,0 e e3 = 0,0,1 ℝ3
∈ ℝ3
x, y, z = x, 0,0 + 0, y, 0 + 0,0, z = x 1,0,0 + y. 0,1,0 + z 0,0,1 =
= x. e1 + y. e2 + z. e3,
e1, e2, e3 = ℝ3
Não são apenas os vetores (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1) que geram o espaço . Veja quais outros 
vetores podem gerar o R^3 em “Álgebra Linear com Aplicações” (2016) de Jeffrey Holt, p. 
54. Disponível em: https://bit.ly/3g7OHmo. Acesso em: 09 mar. 2021
BUSQUE POR MAIS
ℝ3
 Observação: Dado n vetores de um espaço vetorial V, digamos, é 
tal que , então .De fato, 
se então existem escalares tais que:
 (18)
 
 Substituindo na equação acima temos:
 (19)
 logo, .
 Considere agora . Então existem escalares tais que:
 (20)
 Portanto, e, assim, concluímos que . 
Portanto, se S é um subespaço gerado pelo conjunto de vetores , ao acrescen-
tarmos um vetor w, que seja combinação linear dos elementos de A, o subespaço gerado 
por é o mesmo subespaço S gerado por A. Logo, um determinado subespaço pode 
ser gerado por diversos vetores, porém, existe um número mínimo de vetores que o gera.
 Exemplos:
 Vamos determinar o subespaço gerado por v=(2,1,5).
v1, v2, … , vn, se w ∈ V
w = a1. v1 + a2. v2 +⋯+ an. vn v1, v2, … , vn, w = v1, … , vn
v ∈ v1, … , vn, w a1, … , an , a
w = a1. v1 + a2 . v2 +⋯+ an. vn
v = a1. v1 + ⋯+ an . vn + a. a1. v1 + a2 . v2 + ⋯+ an. vn =
= a1 + a. a1 v1 + a2 + a. a2 v2 + ⋯+ an + a. an vn ⟹ v ∈ v1, … , vn
v1, v2, … , vn, w ⊆ v1, … , vn
w ∈ v1, … , vn b1, … , bn
w ∈ v1, v2, … , vn, w v1, v2, … , vn, w = v1, … , vn
A = {v1, … , vn}
A ∪ {w}
https://bit.ly/3g7OHmo
36
 Por definição temos:
 Da igualdade (x,y,z)=k(2,1,5) temos que Logo:
 Geometricamente, o subespaço gerado por um vetor não nulo , é uma reta 
que passa pela origem. 
2. Vamos determinar o subespaço gerado por . Por definição temos:
 
3. O conjunto . De fato, por definição temos:
 Claramente, . Da igualdade (x,y)=a(5,2)+b(3,1) temos 
 Resolvendo esse sistema obtemos a=-x+3y e b=2x-5y. Logo, 
 e, portanto, . Assim, concluímos que . Vimos que os vetores i=(1,0) e 
j=(0,1) geram o e, no exemplo anterior, temos que (5,2) e (3,1) também geram o . Logo, 
um mesmo espaço vetorial pode ser gerado por elementos distintos. 
v = { x, y, z ∈ ℝ3; x, y, z = k 2,1,5 }
, donde e 
v = { x, y, z∈ ℝ3; x = 2y, z = 5y} = { 2y, y, 5y ∈ ℝ3; y ∈ ℝ}
v ∈ ℝ3
v1 = 1,2,3 e v2 = 0,1,5
v1, v2 = { x, y, z ∈ ℝ3; x, y, z = a. v1 + b. v2}.
Da igualdade temos que . Logo
v1, v2 = { x, y,−7x + 5y ∈ ℝ3; x, y ∈ ℝ}.
A = { 5,2 , 3,1 } gera o ℝ2
A = { x, y ∈ ℝ2; x, y = a 5,2 + b 3,1 }
A ⊆ ℝ2 �
x = 5a + 3b
y = 2a + b
x, y = −x + 3y 5,2 + 2x − 5y 3,1
ℝ2 ⊆ A A = ℝ2
ℝ2 ℝ2
37
3.3 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
 Sejam V um espaço vetorial e . Considere a equação:
 
 Essa equação, nas variáveis admite pelo menos a solução:
 chamada solução trivial. Dizemos que o conjunto A é linearmente independente (LI), 
ou, que os vetores são linearmente independentes, se a equação 
a possui apenas a solução trivial. Caso essa equação possua alguma 
solução que não seja a trivial, dizemos que o conjunto A é linearmente dependente (LD), 
ou que os vetores são linearmente dependentes.
 Exemplos:
1. No espaço vetorial , os vetores e 
são LI pois, 
2. No espaço vetorial , os vetores 
e são LD pois, . 
Teorema 3.3.1: Um conjunto é LD se, e somente se, pelo menos um desses 
vetores é combinação linear dos outros.
Prova: Suponhamos que seja LD. Então, por definição, a equação:
 
admite uma solução que não é a trivial, ou seja, pelo menos um dos coeficientes da equa-
ção acima é não nulo. Suponha, sem perda de generalidade, que . Assim temos:
A = {v1, v2, … , vn} ⊂ V 
v1, v2, … , vn
v1, … , vn
a1. v1 + ⋯+ an . vn = 0v
v1, … , vn
V = ℝ2 v1 = 1,3 e v2 = 5,15
V = ℝ3 v1 = 1,0,3 , v2 = 2,5,−1 v3 = 1,4,−2
a1. v1 + a2. v2 + a3. v3 = 0,0,0 ⟺
a1 1,0,3 + a2 2,5,−1 + a3 1,4,−2 = 0,0,0 ⟺
a1 = a2 = a3 = 0.
v2 = 5,15 −5. v1 + 1. v2 = 0,0
A = {v1, v2, … , vn}
A = {v1, v2, … , vn}
a1 ≠ 0
38
 
 e, portanto, é uma combinação linear dos demais vetores.
 Reciprocamente, suponha que um desses vetores seja combinação linear dos de-
mais. Sem perda de generalidade, considere esse vetor. Logo, existem 
escalares tais que:
 
 
 ou ainda,
 
 e, portanto, a equação:
 se verifica para . Logo A é LD.
 Observe que, equivalentemente, o teorema acima tem o seguinte enunciado: “Um 
conjunto é LI se, e somente se, nenhum desses vetores for combinação 
linear dos outros.” Em ambos os casos, quando A tem apenas dois elementos, basta verifi-
carmos se um vetor é múltiplo escalar do outro para classificarmos A em LI ou LD.
Vejamos alguns exemplos da aplicação desse teorema.
 Exemplos:
1. Os vetores são LD pois .
2. Os vetores são LI pois não existe um número real a tal 
que .
3. Os vetores .
v1
v1
b2, … , bn
b1 = −1
A = {v1, v2, … , vn}
v1 = 4,9,2 e v2 = 20,45,10 v2 = 2. v1
v1 = 1,8,4 e v2 = 2,8,8
a. v1 = v2
v1 = 1,3,2 , v2 = 5,0,−3 e v3 = −3,6,7 são LD pois v3 = 2v1 − v2
VAMOS PENSAR?
39
3.4 PROPRIEDADES DA DEPENDÊNCIA
E DA INDEPENDÊNCIA LINEAR
 Consideremos V um espaço vetorial. Temos as seguintes propriedades:
(I) Qualquer subconjunto unitário de V tal que, seu único elemento é diferente do vetor 
nulo, é LI.
 De fato, seja . Uma vez que temos que a se, e 
somente se, a=0. Logo A é LI.
(II) Se um subconjunto contém o vetor nulo, então esse conjunto A é LD.
(III) Se uma parte de um subconjunto é LD, então A também é LD. Da mesma 
forma temos que se um subconjunto é LI, então qualquer parte de B tam-
bém é LI.
A = {v}, com v ≠ 0v v ≠ 0v a. v = 0v
A ⊂ V
A ⊂ V
B ⊂ V B1
Veja a demonstração dessas propriedades em “Álgebra Linear” (2017) de Daniela Barude 
Fernandes, p. 92, disponível na Biblioteca Pearson. Link de acesso: https://bit.ly/3vMFHd1. 
Acesso em: 09 mar. 2021. 
BUSQUE POR MAIS
https://bit.ly/3vMFHd1.
40
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (FADESP-2018) Os vetores (1,2,5),(3,2,1) e (9,2,-11) no espaço vetorial geram um subes-
paço vetorial ao qual pertence o vetor:
a) (-20,-8,12)
b) (2,10,33)
c) (9,10,18)
d) (5,2,-2)
e) (0,1,0)
2. (FADESP-2018) Se são subespaços vetoriais de , 
com e , pode-se afirmar que se 
o vetor , então:
a) 2a-b+c=0
b) a+2b+c=0
c) a+2b-c=0
d) 3a+b+4c=0
e) a+b-c=0
3. Expressando como combinação linear de 
obtemos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4. (CESGRANRIO) São dados os vetores . Se o con-
junto é linearmente dependente, o valor de k é:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
5. O espaço gerado por u=(1,3,2) e v=(0,1,4) é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
ℝ3
V1 e V2 ℝ3
V1 = { x, y, z ; 2x − 3y + z = 0} V2 = { x, y, z ; x + 4y + 3z = 0}
a, b, c ∈ V1 ∩ V2
A = 2 −9−8 −11 A1 =
1 0
−1 2 e A2 =
0 3
2 5
A = −3A1 + 2A2
A = 2A1 − 3A2
A = 5A1 + 2A2
A = 3A1 − 4A2
A = A1 + A2
v1 = 1,2,−3 , v2 = 2,−1,4 e v3 = 7,4, k
{v1, v2, v3} 
{ x, y, 2x + y ∈ ℝ3; x, y ∈ ℝ}
{ x, 4z − 7x, z ∈ ℝ3; x, z ∈ ℝ}
{ x, y,−6x + 4y ∈ ℝ3; x, y ∈ ℝ}
{ x, 2x, 3 ∈ ℝ3; x ∈ ℝ}
{ 0,0,0 }
41
6. Qual dos conjuntos abaixo é LD?
a)
 
b) 
c) 
d) 
e) 
7. O valor de k para que o conjunto seja LD é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3 
e) 4
8. No espaço vetorial das matrizes linhas de ordem 1×3, qual desses conjuntos 
é LI?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
A = { 1,5,0 , 3,8,7 }
A = 1 2−4 −3 ,
3 6
−12 −9
A =
1 0 2
−1 3 −2
7 5 1
,
3 0 6
−3 9 −6
20 15 3
A = { 5,0,0 , 0,0,8 , 0,7,0 }
A = { 1,0 , 0,1 }
{ 1,0,−1 , 1,1,0 , k, 1,−1 }
M1×3(ℝ)
A = { 1 0 0 , 0 −2 0 , 0 0 −5 }
A = { 1 3 −2 , 5 15 −10 }
A = { 2 −5 0 , −6 15 0 }
A = { 1 2 −1 , 4 8 −4 , −5 −10 5 }
A = { 1 0 7 , 5 0 35 }
42
BASES UNIDADE
04
43
4.1 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
 Um conjunto é uma base do espaço vetorial V se:
 B é linearmente independente;
 B gera o espaço V.
 Exemplos:
 Considere o conjunto . Note que, dados tais que 
a(2,0)+b(0,-1)=(0,0) tem-se , ou seja, a=b=0 e, portanto, B é LI. Dado te-
mos que , ou seja, qualquer vetor de pode ser escrito como com-
binação linear dos elementos de B. Logo B gera o . Assim, concluímos que B é uma 
base de .
 Consideremos os vetores vetores 
de e seja . Note que, dados tais que 
e tem-se , logo B é LI. Temos também que,
qualquer pode ser escrito da seguinte forma 
 Logo, B gera o . Assim, concluímos que B é uma base de chamada de base ca-
nônica do .
 O conjunto é uma base do espaço (espaço dos polinômios de 
grau n).
 B=(1,2),(3,6) não é uma base de pois B é LD.
 A seguir, apresentaremos dois resultados que caracterizam as bases de um espaço 
vetorial.
 Teorema. Se é uma base de um espaço vetorial V, então todo conjunto 
com mais de n vetores será LD.Corolário. Duas bases quaisquer de um espaço vetorial tem o mesmo número de 
vetores. A demonstração desses resultados fica a cargo do leitor.
 Exemplo: 
 A base canônica do tem dois vetores: (1,0),(0,1). Logo, qualquer outra base 
do também terá 2 vetores e, além disso, qualquer subconjunto de com mais (ou me-
nos) de 2 vetores não será uma base de .
B = v1, v2, … , vn   ⊂ V
B = 2,0 , 0,−1   ⊂ ℝ2 a, b  ∈ ℝ
�2a = 0−b = 0
x, y ∈ ℝ2
x, y =
x
2 2,0 − y 0,−1
ℝ2
ℝ2
ℝ2
e1 = 1,0, … , 0 , e2 = 0,1,0, … , 0 , … , en = 0, … , 0,1
ℝn B = e1, e2, … , en a1, a2, … , an ∈ R a1 e1 + a2 e2 +⋯+ anen
= 0,0, … , 0 a1 = a2 = ⋯ = an = 0
x1, x2, … , xn ∈ ℝn
x1, x2, … , xn = x1e1 + x2e2 + ⋯+ xnen
ℝn ℝn
ℝn
B = 1, x,2 , … , xn Pn
ℝ2
B = v1, v2, … , vn
ℝ2
ℝ2
ℝ2
ℝ2
44
4.2 DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL
 Considere V um espaço vetorial. A dimensão de V, que denotaremos por dim V, é o 
número de vetores de uma base de V, ou seja, se uma base de V contém n vetores, então 
dim V=n. 
 Caso V tenha uma base com infinitos vetores, então a dimensão de V é infinita (dim 
V=∞).
 Exemplos:
 dim =2 pois, toda base de possui 2 vetores.
 dim =n pois, a base canônica de possui n vetores.
 dim pois, é uma base de P_n e, esse conjunto, possui n ele-
mentos.
ℝ2
ℝn
Pn = n + 1 1, x, x2, … , xn
ℝ2
ℝn
A dimensão de um espaço vetorial nem sempre é finita. Veja um exemplo de espaço com 
dimensão infinita em “Álgebra Linear com Aplicações” (2016), de Jeffrey Holt, p. 274. Dis-
ponível em: https://bit.ly/3pj1LJR. Acesso em: 13 mar. 2021
BUSQUE POR MAIS
 Observações: 
1. Se V é um espaço vetorial de dimensão n, então qualquer subespaço vetorial de V terá di-
mensão menor ou igual à n. Caso tenha dimensão igual à n, esse subespaço será o próprio 
espaço V. Por exemplo, a dimensão de qualquer subespaço de só poderá ser 0,1,2 ou 3 e, 
caso seja 3, esse subespaço é o próprio .
2. Se V é um espaço vetorial de dimensão n, então qualquer subconjunto com mais de n 
elementos é LD.
3. Vimos que um conjunto B é uma base de um espaço vetorial V se B é LI e se B gera V. 
Assim, se soubermos a dimensão de V, para encontrarmos uma base de V, basta que ape-
nas uma das condições (ser LI e gerar V) seja satisfeita, a outra ocorre automaticamente. 
Dessa forma:
(I) Se dim V=n, qualquer subconjunto de V com n vetores LI é uma base de V.
(II) Se dim V=n, qualquer subconjunto de V com n vetores que geram V é uma base de V.
 Por exemplo, como dim =2, o conjunto B={(1,-2),(3,1)} é uma base de pois, ne-
nhum desses vetores é múltiplo um do outro.
 Vejamos mais alguns teoremas que dizem respeito à base de um espaço vetorial.
 Teorema: Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Então, qualquer conjunto de 
ℝ3
ℝ3
ℝ2 ℝ2
https://bit.ly/3pj1LJR
45
4.3 COMPONENTES DE UM VETOR
vetores LI em V pode ser completado até formar uma base de V.
Veja a demonstração desse Teorema em “Álgebra Linear”, de Luana Fonseca Duarte Fer-
nandes, p. 105. Disponível em: https://bit.ly/3vNgM98. Acesso em: 13 mar. 2021.
BUSQUE POR MAIS
 Teorema: Considere uma base de um espaço vetorial V. Então, todo 
vetor é escrito de maneira única como combinação linear dos vetores de B.
 Exemplos:
 1. Sejam os vetores u=(1,3,2) e v=(0,2,1). Completar o conjunto u,v de modo a formar 
uma base de .
 Solução: Uma vez que , uma base de terá três vetores LI. Dessa forma, 
falta apenas um. Devemos escolher um vetor w que não seja combinação linear de u e v, ou 
seja, w ≠au+bv para todos . Dentre os infinitos vetores existentes, (2,1,1) é um deles 
pois,
 
 que é um sistema que não possui solução. Logo, (1,3,2),(0,2,1),(2,1,1) é uma base 
de .
B = v1, v2, … , vn
v  ∈ V
ℝ3
dim ℝ3 = 3 ℝ3
a, b  ∈ R
2,1,1 = a 1,3,2 + b 0,2,1
2,1,1 = a, 3a, 2a + 0,2b, b
2,1,1 = a, 3a + 2b, 2a + b
�
a = 2
3a + 2b = 1
2a + b = 1
 ,
ℝ3
 Seja V um espaço vetorial, uma base de tal que:
 
 Os números são chamados de componentes ou coordenadas de v em 
relação à base B e são representados da seguinte forma:
 
 A n-upla é chamada vetor-coordenada de v em relação à base B e, o vetor 
coluna é chamado matriz-coordenada de v em relação à base B.
B = v1, v2, … , vn V e v  ∈ V
a1, a2, … , an
a1, a2, … , ana1
⋮
an
https://bit.ly/3vNgM98
46
Ao escrever a matriz-coordenada de um vetor, devemos observar a ordem em que os ele-
mentos da base estão dispostos. Alterando a ordem dos vetores da base, a matriz-coordena-
da também será alterada.
VAMOS PENSAR?
4.4 MUDANÇA DE BASE
 Exemplo: 
 Consideremos as seguintes bases de :
 
 Dado o vetor v=(8,6) temos:
(8,6)=8(1,0)+6(0,1)
(8,6)=2(1,3)+3(2,0)
(8,6)=3(2,4)+2(1,-3).
 Com a notação acima temos:
 Como as bases são diferentes, o vetor-coordenada de v também será diferente de 
acordo com cada base. Logo, temos sempre que explicitar qual base estamos consideran-
do.
ℝ2
A = 1,0 , 0,1 ,B = 1,3 , 2,0 e C = 2,4 , 1,−3
vA = 8,6 ,vB = 2,3 e vC = 3,2
 Vimos que o vetor-coordenada de um elemento de um espaço vetorial varia de acor-
do com a base que está sendo considerada. Analisaremos agora como essa mudança ocor-
re, ou seja, como é possível calcular as coordenadas de um vetor com relação a uma base 
conhecendo as coordenadas desse vetor em outra base.
 Seja V um espaço vetorial, bases de V. Como A é 
uma base existem , com 1≤i,j≤n tais que:
 
 Dessa forma, as matrizes-coordenadas de em relação à base A são, respec-
tivamente:
A = {u1, u2, … , un} e B = {v1, v2, … , vn}
aij   ∈ ℝ (ou ℂ)
v1, … , vn
47
 Podemos juntar essas informações sobre as coordenadas dos vetores da base B com 
relação à base A na matriz:
 cujas colunas são formadas pelas coordenadas de com relação à 
base . A matriz é chamada de matriz mudança de base da base A para 
a base B.
 Exemplos:
 Considere as bases A=\{(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)\} e B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} de . .
Determine .
 Solução: Para determinar , precisamos escrever os vetores de B em relação à base 
A. Escrevendo qualquer vetor em relação à base A temos
 Substituindo (x,y,z) pelos vetores de B obtemos
(1,0,0)=1(1,0,1)+1(1,1,1)-1(1,1,2),
(0,1,0)=-1(1,0,1)+1(1,1,1)+0(1,1,2) e
(0,0,1)=0(1,0,1)-1(1,1,1)+1(1,1,2),
 ou seja, 
 2. Considerando A e B as bases descritas no item anterior, determine 
v1, … , vn
{u1, … , un} MAB
ℝ3
MAB
MAB
x, y, z ∈ R𝟛
x, y, z = a 1,0,1 + b 1,1,1 + c 1,1,2 = a, 0, a + b, b, b + c, c, 2c
∴ x, y, z = x − y 1,0,1 + x + y − z 1,1,1 + z− x 1,1,2 .
1,0,0 A =
1
1
−1
, 0,1,0 A =
−1
1
0
e 0,0,1 A =
0
−1
1
.
Logo, MAB =
1 −1 0
1 1 −1
−1 0 1
.
MAB
48
 Solução: Note que podemos escrever qualquer vetor (x,y,z) de em relação à base 
B da seguinte forma:
 Substituindo (x,y,z) pelos vetores de A obtemos:
(1,0,1)=1(1,0,0)+0(0,1,0)+1(0,0,1),
(1,1,1)=1(1,0,0)+1(0,1,0)+1(0,0,1) e
(1,1,2)=1(1,0,0)+1(0,1,0)+2(0,0,1).
 Logo, 
 Vejamos agora alguns resultados que envolvem a matriz mudança de base. A de-
monstração destes resultados fica a cargo do leitor.
 Proposição: Sejam A e B bases de um espaço vetorial V que possui dimensão finita. 
Se representam as coordenadas de v em relação às bases A e B respectivamente e, 
se é a matriz de mudança de base da base A para a base B, então:
 Proposição: Consideremos A,B,C bases de um espaço vetorial de dimensão finita V. 
Então:
 Proposição: Consideremos A,B bases de um espaço vetorial de dimensão finita V. 
Então a matriz possui inversa e essa inversa é dada por , que é a matriz de mudança 
da base B para a base A.
 Exemplo: 
 Seja o espaço vetorialconstituído pelos polinômios de grau 2 e considere as 
bases .
 a) Encontre as matrizes de mudança de base e .
 
 b) Se , determine . 
 
 
ℝ3
x, y, z = x 1,0,0 + y 0,1,0 + z 0,0,1
1,0,1 B =
1
0
1
, 1,1,1 B =
1
1
1
, 1,1,2 B =
1
1
2
e, portanto, 
MBA =
1 1 1
0 1 1
1 1 2
.
vA e vB
MAB
MAB MBA
V = P2
A = {1,1  −  x, 1 + x2}, B = {1, x, x2} de P2
MBA MA
B
vA =
1
−4
6
vB
49
c) Se , determine .
 d) Considere . Encontre as matrizes de mudança de 
base .
 Solução: a) Uma vez que B é a base canônica de , claramente, temos que 
 
 b) Como temos:
 c) Como temos:
 d) Como B é a base canônica de , claramente, temos que .
 Sabemos que , dessa forma:
vB =
8
−1
3
vA
C = {3,2 + x,−1 + x2}
MAC e MCB
P2
MBA =
1 1 1
0 −1 0
0 0 1
.
Vimos que MAB = MBA
−1
, logo MAB =
1 1 −1
0 −1 0
0 0 1
.
vB = MBA.vA
vB =
1 1 1
0 −1 0
0 0 1
.
1
−4
6
=
1  −  4 + 6
0 + 4 + 0
0 + 0 + 6
=
3
4
6
vB = MBA.vA
vA =
1 1 −1
0 −1 0
0 0 1
.
8
−1
3
=
8  −  1  −  3
0 + 1 + 0
0 + 0 + 3
=
4
1
3
P2 MBC =
3 2 −1
0 1 0
0 0 1
MAC = MBC. MAB
MAC =
3 2 −1
0 1 0
0 0 1
.
1 1 −1
0 −1 0
0 0 1
=
3 1 −4
0 −1 0
0 0 1
e,
MCA = MAC
−1 =
1/3 1/3 4/3
0 −1 0
0 0 1
.
50
As bases de um espaço vetorial servem para gerar e caracterizar todo o espaço vetorial, ela 
é uma espécie de referencial. Quando mudamos a base de um espaço estamos alterando 
esse referencial. Podemos agora escrever qualquer outro vetor desse espaço como combina-
ção linear de outros vetores.
VAMOS PENSAR?
51
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (IFET-RN) Considerando o espaço vetorial sobre 
e bases de V, a matriz de transição de B para A corresponde a:
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. (IFET-RN) Seja o espaço das matrizes de ordem 2 sobre o corpo F. Considere 
o subespaço vetorial de V, formado pelas matrizes antissimétricas. Em 
relação à dimensão de W é correto afirmar que o seu valor é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
3. (IFET-RN) Considere o sistema de equações lineares 
 
 Seja S o espaço solução desse sistema. É correto afirmar que:
a) A dimensão de S é 2
b) 
c) 
d) 
e) 
4. (CESGRANRIO-Adaptada) Seja S o subespaço vetorial de formado por todos os ter-
mos (x,y,z) que são soluções do sistema linear:
V = ℝ2 ℝ, A = { 1,2 , 2,−1 }
B = { 1,0 , 1,1 }
−1 3
2 1
−1 3
2 −1
1 −3
2 −1
1 3
−2 1
−1 −3
−2 −1
V = M2×2 F
W = {A ∈ V; At = −A}
�
x + y − 2z = 0
2x + y − z = 0
3x + 2y − 3z = 0
.
S = { 0,0,0 }
S = −1,3,1
S = 1,−3,−1 , 2,6,2
S = −1,−3,0 , 2,9,1
ℝ3
�2x + y + 3z = 0x − y + 2z = 0.
52
Considere as seguintes afirmativas relativas a S:
I. S é o espaço gerado pelos vetores (2,1,3) e (1,-1,2).
II. S tem dimensão 1.
III. (5,2,3) está em S.
Está CORRETO apenas o que se afirma em:
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) II e III
5. Considere a matriz de mudança da base C para a base B de : 
Se o elemento tem matriz de coordenadas com relação à base B dada por:
as coordenadas de v com relação à base C é: 
a) (2,0,4)
b) (0,4,2)
c) (1,4,2)
d) (4,0,2)
e) (0,3,1)
6. Considere as bases . A matriz de mudança da base C para a 
base B é dada por:
 
Dessa forma, a base C é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
7. Assinale a alternativa que representa uma base do espaço vetorial real formado pelos 
polinômios de grau 3:
ℝ3
MCB =
1 1 1
1 0 0
1 1 −1
.
v ∈ ℝ3
v B =
0
3
−1
,
B = { 1,1 , 2,0 } e C = {u1, u2}
MCB =
−1 1
1 −2
{ 4,−2 , −3,−1 }
{ −4,−2 , 3,−1 }
{ −4,−2 , −3,1 }
{ 4,2 , 3,−1 }
{ −4,−2 , −3,−1 }
53
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
8. A dimensão do espaço vetorial real formado pelas matrizes quadradas de ordem 3, cuja 
primeira linha é nula é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 9
{x, x2, x3}
{1, x2, x3 + x}
{2, x, x2, x3}
{3x3,4x2}
{1 + x, x + x2}
54
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
UNIDADE
05
55
5.1 TRANSFORMAÇÕES LINEARES
 Nesta unidade iremos trabalhar com as transformações lineares, que é um tipo de 
aplicação entre espaços vetoriais com algumas propriedades especiais.
 Consideremos V e W espaços vetoriais reais. Uma transformação linear 
T:  , é uma função que associa os elementos de V aos elementos de W que possui as 
seguintes propriedades:
 (I)
 (II)
V ⟶ W
T u + v = T u + T v , para todos u, v  ∈  V;
T αv = αT v , para todos α ∈ R ouC e v  ∈  V.
Figura 17: Diagrama de transformação linear (adição e multiplicação)
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
 Quando V=W, ou seja, quando a transformação T é de V em V, T é chamada de ope-
rador linear.
 Uma vez que T é uma função, cada vetor possui uma só imagem , que 
será denotada por w=T(v).
 Exemplos:
 1) , dada por T(x,y)=(3x,2y,x+y), é uma transformação linear.
 De fato, consideremos (x,y),(z,w) . Temos:
 e,
 
 Logo, T é uma transformação linear.
 2) T: , dada por T(x)=2x, é uma transformação linear. De fato, 
consideremos x,y  . Temos:
 
v  ∈ V w  ∈ W
T: ℝ2⟶ ℝ3
∈ ℝ2 e α ∈ R
T x, y + z, w = T x + z, y + w = 3 x + z , 2 y + w , x + z + y + w =
= 3x + 3z, 2y + 2w, x + y + z + w = 3x, 2y, x + y + 3z, 2w, z + w =
= T x, y + T z, w
ℝ ⟶ ℝ
∈ ℝ e α ∈ ℝ
56
 Logo, T é uma transformação linear. Como o domínio e o contradomínio de T são 
iguais, concluímos que T é um operador linear.
 Essa transformação, graficamente, representa uma reta que passa pela origem.
 3) , dada por T(x)=x+2, não é uma transformação linear. De fato, 
dados temos:
T(x+y)=x+y+2 e,
T(x)+T(y)=x+2+y+2=x+y+4.
 Logo, T(x+y)≠T(x)+T(y) e, portanto, T não é uma transformação linear.
 Nesse caso, graficamente, T representa uma reta que não passa pela origem. Assim, 
podemos concluir que, , dada por T(x)=ax+b, com é uma transformação 
linear se, e somente se, b=0.
 4) Dado um espaço vetorial real V, a aplicação identidade I:  , dada por I(v)=v é 
uma transformação linear. De fato, dados temos:
 
 Logo, I é uma transformação linear.
 5) A simetria em relação à origem (0,0,0) no , dada por T(v)=-v, é uma transforma-
ção linear. De fato, consideremos . Temos:
 
 Logo, T é uma transformação linear.
 6) A projeção ortogonal do sobre o plano xy, dada por T(x,y,z)=(x,y,0) é uma trans-
formação linear de . De fato, dados temos:
 
Logo, T é uma transformação linear.
ℝ3
T:ℝ ⟶ ℝ
x, y  ∈ R
T:ℝ ⟶ ℝ a, b  ∈ ℝ
 V ⟶ V
u,  v ∈ V e α ∈ R
u, v ∈ ℝ3 e α ∈ ℝ
ℝ3
ℝ3 em ℝ3 x, y, z , u, v, w ∈ ℝ3 e α ∈ ℝ
57
Uma maneira mais rápida de constatar que determinação função é uma transformação 
linear, é através da seguinte propriedade:
“Em toda transformação linear , a imagem do vetor nulo é o vetor 
nulo , ou seja, ”
Essa propriedade decorre do item (ii) da definição de transformação linear, tomando .
VAMOS PENSAR?
T:  V ⟶ W 0v ∈ V
0w ∈ W T 0v = 0w.
α = 0
5.2 PROPRIEDADE DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES
 Podemos fazer uma junção dos itens (i) e (ii) para obtermos a seguinte propriedade 
das transformações lineares:
 “Se for uma transformação linear, então:
 
 para todos e todos .
 De forma análoga, tem-se:
 
 para todos , ou seja, a imagem de uma com-
binação linear de vetores é uma combinação linear das imagens desses vetores, com os 
mesmos coeficientes.
 Exemplos:
 1) Seja uma transformaçãolinear, . De-
terminar T(5,-1,4),  sabendo que .
 Solução: Escrevendo (5,-1,4) como combinação linear de temos:
 
 Aplicando T na igualdade acima e usando a propriedade das transformações lineares 
temos:
T:  V ⟶ W
v1, v2 ∈ V a1, a2 ∈ R ouC ”
v1, v2, … , vn ∈ V e a1 , a2 , … , an ∈ ℝ ou ℂ
T: ℝ3⟶ ℝ2 v1 = 1,0,0 , v2 = 0,1,0 e v3 = 0,0,1
T v1 = 1,−2 , T v2 = 3,1 e T v3 = 0,2
v1, v2, v3
5,−1,4 = 5,0,0 + 0,−1,0 + 0,0,4 = 5 1,0,0 − 1 0,1,0 + 4 0,0,1 =
= 5v1 − 1v2 + 4v3.
T 5,−1,4 = 5T v1 − 1T v2 + 4T v3 = 5 1,−2 − 1 3,1 + 4 0,2 =
= 5,−10 + −3,−1 + 0,8 = 2,−3 .
Logo, T 5,−1,4 = 2,−3 .
58
 2) Verificar se , dada por T(x,y)=(x+1,y+7) é um operador linear.
 Solução: Vimos que, se T é um operador linear então, deve-se ter T(0,0)=(0,0).
Calculando T(0,0) temos:
T(0,0)=(0+1,0+7)=(1,7)≠(0,0).
 Portanto, T não é um operador linear.
 3) Considere uma transformação linear tal que T(1,-1)=(3,2,-2) e T(-1,2)=(1,-
1,3). Determine T(x,y).
 Solução: Escrevendo (x,y) como combinação linear de (1,-1) e (-1,2) temos
 Resolvendo o sistema acima obtemos a=2x+y e b=x+y. Portanto,
 4) Um operador linear é tal que:
T(1,0)=(1,4) e T(0,1)=(-2,6).
Determine T(x,y).
 Solução: Escrevendo (x,y) como combinação linear de (1,0) e (0,1) temos:
 5(x,y)=(x,0)+(0,y)=x(1,0)+y(0,1).
 Aplicando T na equação acima temos:
 5) Considere o espaço vetorial real das matrizes quadradas de ordem n e 
seja uma matriz fixa. Mostre que a aplicação , definida por T(A)=AB+BA é 
T: ℝ2⟶ ℝ2
T: ℝ2⟶ ℝ3
x, y = a 1,−1 + b −1,2
x, y = a − b,−a + 2b
� a − b = x−a + 2b = y 
T x, y = T a 1,−1 + b −1,2 = aT 1,−1 + bT −1,2
T x, y = 2x + y 3,2,−2 + x + y 1,−1,3
T x, y = 6x + 3y, 4x + 2y,−4x − 2y + x + y,−x − y, 3x + 3y
T x, y = 7x + 4y, 3x + y,−x + y
T: ℝ2⟶ ℝ2
T x, y = T x 1,0 + y 0,1 = xT 1,0 + yT 0,1 = x 1,4 + y −2,6
T x, y = x, 4x + −2y, 6y
T x, y = x − 2y, 4x + 6y
V = Mn×n ℝ
B  ∈ V T: V ⟶ V
59
um operador linear.
 Solução: Consideremos , e seja . Temos:
 
 Logo, T é uma transformação linear.
M,N  ∈ V α ∈ ℝ
T M + N = M + N B + B M + N = MB + NB + BM + BN =
= MB + BM + NB + BN = T M + T N
e
T αM = αM B + B αM = αMB + αBM = α MB + BM = αT M
 3) Considere uma transformação linear tal que T(1,-1)=(3,2,-2) e T(-1,2)=(1,-1,3). 
Determine T(x,y).
 Solução: Escrevendo (x,y) como combinação linear de (1,-1) e (-1,2) temos
 
 Resolvendo o sistema acima obtemos a=2x+y e b=x+y. Portanto,
T(x,y)=T(a(1,-1)+b(-1,2))=aT(1,-1)+bT(-1,2)
T(x,y)=(2x+y)(3,2,-2)+(x+y)(1,-1,3)
T(x,y)=(6x+3y,4x+2y,-4x-2y)+(x+y,-x-y,3x+3y)
T(x,y)=(7x+4y,3x+y,-x+y).
 4) Um operador linear é tal que:
T(1,0)=(1,4) e T(0,1)=(-2,6).
 Determine T(x,y).
 Solução: Escrevendo (x,y) como combinação linear de (1,0) e (0,1) temos:
 5(x,y)=(x,0)+(0,y)=x(1,0)+y(0,1).
 Aplicando T na equação acima temos:
T(x,y)=T(x(1,0)+y(0,1))=xT(1,0)+yT(0,1)=x(1,4)+y(-2,6)
T(x,y)=(x,4x)+(-2y,6y)
T(x,y)=(x-2y,4x+6y).
 5) Considere o espaço vetorial real das matrizes quadradas de ordem n e 
seja uma matriz fixa. Mostre que a aplicação , definida por T(A)=AB+BA é um 
operador linear.
 Solução: Consideremos e seja . Temos:
T: ℝ2⟶ ℝ3
x, y = a 1,−1 + b −1,2
x, y = a − b,−a + 2b
� a − b = x−a + 2b = y 
T: ℝ2⟶ ℝ2
V = Mn×n ℝ
B  ∈ V T: V ⟶ V
M,N  ∈ V α ∈ ℝ
60
 Logo, T é uma transformação linear.
T M + N = M + N B + B M + N = MB + NB + BM + BN =
= MB + BM + NB + BN = T M + T N
e
T αM = αM B + B αM = αMB+ αBM = α MB + BM = αT M .
5.3 NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
 O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os 
vetores tais que . Esse conjunto é denotado por N(T) ou por ker(T).
 
T:  V ⟶ W
v  ∈ V T v = 0W
Figura 18: Núcleo de uma transformação linear
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
 1) Claramente, temos que , pois , uma vez que 
 Exemplos:
 Considere dada por T(x,y)=(2x-y,2x+2y). O núcleo de T é o conjunto:
 Resolvendo a equação T(x,y)=(0,0) obtemos o sistema , que possui como 
solução x=y=0.
 Portanto, N(T)={(0,0)}.
 2) Considere dada por T(x,y,z)=(3x+y+8z,0,x-y+4z). Resolvendo a equação 
T(x,y,z)=(0,0) obtemos o sistema:
N T ⊂ V e N T ≠ 0V ∈ N T T 0V = 0W
T: ℝ2⟶ ℝ2
�2x − y = 02x + 2y
T: ℝ3⟶ ℝ3
�3x + y + 8z = 0x − y + 4z = 0 
61
 que possui como solução x=-3z e y=z. Logo:
5.3.1 PROPRIEDADES DO NÚCLEO
 Vejamos agora algumas propriedades do núcleo de uma transformação linear.
 Propriedade 1: Dada uma transformação linear é um subespaço ve-
torial de V;
 Prova: Considere e . Uma vez que T é uma transformação 
linear e u,v pertencem ao núcleo de T temos:
 
 Logo, pelo teorema de caracterização dos subespaços vetoriais, visto na unidade an-
terior, N(T) é um subespaço vetorial de V.
 Propriedade 2: Uma transformação linear é injetora se, e somente se, N(T)=
 Prova: Consideremos , ou seja, . Uma vez que T é uma transfor-
mação linear, temos que . Por hipótese T é injetora, 
logo e, portanto, .
 Consideremos tais que T(u)=T(v). Como T é uma transformação linear 
temos:
 Por hipótese , logo , ou seja u=v e, portanto, T é injetora.
T: V ⟶ W, N T
u, v ∈ N T α ∈ ℝ (ou ℂ)
T:  V ⟶ W
0V
(⟹) v ∈ N T T v = 0W
T 0V = 0W, logo T v = T 0V
v = 0V N T = 0V
(⟸) u, v  ∈ V
N T = 0V u − v = 0V
5.4 IMAGEM DE UMA 
TRANSFORMAÇÃO LINEAR
 A imagem de uma transformação linear , que denotaremos por Im(T), é o 
conjunto de vetores que são imagens de pelo menos um vetor , ou seja:
T:  V  ⟶ W
w  ∈ W v  ∈ V
62
Figura 19: Imagem de uma transformação linear T
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
 Observe que dizemos que T é sobre-
jetora, ou seja, para todo , existe pelo menos um tal que T(v)=w.
 Exemplos:
 1) Consideremos dada por T(x,y,z)=(x,y,0) a projeção ortogonal 
do sobre o plano xy. A imagem de T é o próprio plano xy:
 Claramente, T não é sobrejetora pois, não existe tal que T(x,y,z)=(0,0,1).
 2) A imagem da transformação identidade definida por I(v)=v é todo o es-
paço V.
 3) A imagem da transformação nula dada por T(v)=0_V é o conjunto 
Im(T)= 
 Assim como o núcleo, a imagem de uma transformação linear também 
é um subespaço vetorial de W. De fato, consideremos . Então 
existem tais que . Dessa forma temos:
 
 Uma vez que V é um espaço vetorial temos que . 
Portanto, e, pelo teorema de caracterização de espaços vetoriais, Im(T) 
é um subespaço vetorial de W.
T: ℝ3⟶ ℝ3
Im T ⊂ W e Im T ≠, pois 0W ∈ Im T . Se Im T = W
w  ∈ W v  ∈ V
ℝ3
x, y, z ∈ ℝ3
I: V ⟶ V
T:  V ⟶ V
0V .
T: V ⟶ W
w1, w2 ∈ Im T e α ∈ ℝ (ou ℂ)
u, v  ∈ V T u = w1 e T v = w2
u + v, αv  ∈ V
w1 + w2,αw1 ∈ Im T
5.5 TEOREMA DO NÚCLEO E DA IMAGEM
 Agora que já definimos o núcleo e a imagem de uma transformação linear, que vi-
mos que esses conjuntos são subespaços vetoriais, enunciaremos um dos principais teore-
mas da álgebra linear, que