Matemática Computacional: Bases Numéricas e Lógica Binária

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Prof. Gian Carlo Brustolin
Matemática Computacional
Aula 1
Conversa Inicial
Apresenta métodos matemáticos 
necessários ou adaptados às 
necessidades computacionais
Matemática computacional
Bases numéricas
– decimal, octal, hexadecimal e binária
Conversão entre as bases
Erros de conversão
– absoluto e relativo
Lógica binária
– NOT, AND, OR, XOR, SHIFT
Aritmética binária – +, *, /, -
Bases numéricas, lógica e aritmética binária
Duas perguntas:
160 + 10-1 + (1/4-2) = ?
Por que contamos somente até 9?
Bases numéricas, lógica e aritmética binária
Duas perguntas:
160 + 10-1 + (1/4-2) = 
1 + 0,1 + (42) = 17,1
Por que contamos
somente até 9?
O 10, na verdade, está fora
dos algarismos da base 10 
A invenção do zero
Bases numéricas, lógica e aritmética binária
Mali lucky/Shutterstock.
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Bases numéricas
Posicional – valor depende da posição
Não posicional
– III ∩∩ ou ∩ III ∩ ou ∩∩ III
Conjunto de símbolos ou de algarismos
Arábico
Não arábico (43 = XLIII)
Bases numéricas, lógica e aritmética binária
Bases numéricas
Decimal
Octal
Hexadecimal 
Binária
Bases numéricas Base decimal (β = 10)
Posicional crescente da direita para a 
esquerda, partindo da posição 0 (zero)
Cj. de símbolos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Posição indica o expoente da
base do sistema (β = 10)
(153)10 = (1x102) + (5x101) + (3x100)
(32,37) 10 = (3x101) + (2x100) + (3x10-1) + (7x10-2)
Base octal (β = 8)
Posicional crescente da direita para a 
esquerda, partindo da posição 0 (zero)
Cj. de símbolos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Posição indica o expoente da
base do sistema 
(153)8 = (1x82) + (5x81) + (3x80)=64+40+30=(107)10;
(32,37)8 = (3x81) + (2x80) + (3x8-1) + (7x8-2) 
24+2+0,375+0,109375=(26,484375)10
Base hexadecimal (β = 16)
Posicional crescente da direita para a 
esquerda, partindo da posição 0 (zero)
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
Representações:
0xNNNN 
NNNNh
#NNNN
Assim: 0x 1F = 1F h = #1F = 31
= 1 *161 + F *160 = 1 *16 + 15 *1
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Base binária (β = 2)
Posicional crescente da direita para a 
esquerda, partindo da posição 0 (zero)
{0, 1} ou {F, V} ou {Não, Sim} ou…
(1001)2 = (1x23) + (0x22) + (0x21) + (1x20) 
8 + 0 + 0 + 1 = (9)10
(10,11)2 = (1x21) + (0x20) + (1x2-1) + (1x2-2) 
2 + 0 + 0,5 + 0,25 = (2,75)10
Conversão entre as bases
Da base (β) para a base 10 (decimal)
Da base decimal para β
Parte inteira
Parte não inteira
Conversão direta entre (algumas) bases
Conversão entre bases Base (β) para base 10 (decimal)
Fatoração
(abc,de)β = (a. β2 + b.β1 + c.β0++ d.β-1 + e.β-2)10
(1001)2 = (1x23) + (0x22) + (0x21) + (1x20) 
8 + 0 + 0 + 1 = (9)10
(32,37)8 = (3x81) + (2x80) + (3x8-1) + (7x8-2) 
24 + 2 + 0,375 + 0,109375 = (26,484375)10
Base decimal para base (β)
Parte inteira do valor:
divisões sucessivas do número na
base 10 pela base β, até que o
quociente seja menor que β 
Parte fracionária:
multiplicações sucessivas pela base β,
até obtermos um valor exclusivamente 
inteiro, descartando a parte inteira da 
multiplicação anterior
Base decimal para base (β)
– parte INTEIRA
(24)10 = (?)2
(24)10 = (11000)2
24
0
2
12
0 
2
6
0
2
3
1
2
1 
(342)10 = (?)8
(342)10 = (526)8
342
6
8
42
2
8
5
4
Base decimal para base (β)
– parte NÃO INTEIRA
(0,828125)10 = (?) 2
0,828125 x 2 = 1,65625
0,65625 x 2 = 1,31125
0,3125 x 2 = 0,625
0,625 x 2 = 1,25
0,25 x 2 = 0,50
0,50 x 2 = 1
(0,828125)10 = (0,110101)2
Veremos na prática
Conversão direta entre bases
Erros de conversão
Quando convertemos números entre
bases numéricas, podem ocorrer erros,
mas apenas se arredondamos um número 
Por que arredondamos?
Exatidão: aproximação
ou ocorrência de dízimas 
Precisão: quantidade insuficiente
de dígitos para representar o
valor no sistema destino
Erros de conversão
Um erro qualquer pode
ser apresentado como
absoluto ou relativo
(veremos detalhes em breve)
Erros de conversão 
Lógica binária
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Como as operações de um computador 
podem ser executadas, já que usa
somente binário?
O computador é uma combinação de circuitos 
eletrônicos elementares que realizam 
operações, por meio da programação
Estes circuitos elementares são
conhecidos como portas lógicas
Lógica binária
Uma porta lógica também pode ser 
descrita como uma máquina de 
estados elementar, que executa 
uma função de transição entre 
entrada e saída dita tabela verdade
Lógica binária
Porta 
NOT
AND
OR 
XOR
SHIFT
Lógica binária
NOT: negação ou inversão ou complemento
É realizada com apenas um operador:
um único bit por vez
Resultado: inverso do valor desse operador
Expressões lógicas: 
~A
Ᾱ
Porta NOT
A Ᾱ
A ~A
0 1
1 0
AND: conjunção binária, isto é, uma
operação muito semelhante à multiplicação
É realizada com dois operadores:
um par de bits por vez
Resultado: 1 somente se
ambas as entradas forem 1
Expressões lógicas: 
&
Porta AND
A B A & B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
É realizada com, ao menos, dois bits
Resultado: 1 quando qualquer
dos operandos for 1
Expressões lógicas: 
+
Porta OR
A B A + B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A
B
C
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É realizada com, ao menos, dois bits
Resultado: 1 quando os
operandos são diferentes
Expressões lógicas: 
⊕
Porta XOR
A
B
C
A B A ⊕B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Deslocamento ou rotação
É realizada com nibble, bytes...
Resultado: dobra ou resulta em metade 
Expressões lógicas: 
<< shift left
>> shift right
SHIFT
Em binário 0 1 0 0 1 1 0 1 << 1 0 0 1 1 0 1 0
Em decimal 77 x2 154
Em binário 0 1 0 0 1 1 0 1 >> 0 0 1 0 0 1 1 0
Em decimal 77 /2 38
Aritmética binária As operações aritméticas básicas são 
realizadas por meio de portas lógicas
Os processos para a realização das 
operações seguem as mesmas regras 
da aritmética decimal
Aritmética binária
Aritmética binária
Adição
Subtração
Multiplicação
Divisão
Assemelha-se à soma decimal,
incluindo Carry Out (vai um)
Adição
A B A + B Carry Out
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
7
Assemelha-se à soma decimal, incluindo 
Carry Out (vai um). Vamos relembrar:
0989 +11 = 0989 + 0011
1 1 1
0989 0999 0001 1101
0011 0011 0011 0011
0 00 000 1000
Adição
Assemelha-se à soma decimal, incluindo 
Carry Out (vai um)
0101 +11 = 1101 + 0011
1 1 1
0101 0111 0001 1101
0011 0011 0011 0011
0 00 000 1000
Adição
A B A + B Carry
Out
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
Assemelha-se à subtração decimal,
incluindo “empresta” um
Subtração
A B A + B Carry Out
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
101
– 011
010
“empresta” um
Assemelha-se à decimal, incluindo
Carry Out (vai um)
Multiplicação
1 1 0
x 1 0 1
1 1 0
+ 0 0 0
1 1 0
1 1 1 1 0
Assemelha-se à decimal...
Divisão
1 0 1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 1
1 0 0 0
– 1 1 1
1
Entendemos as diferenças entre bases 
e como converter bases de expoente 2
Conhecemos as portas lógicas e 
aprendemos a realizar operações 
aritméticas básicas na base 2
Finalizando