Logica Computacional - Sistemas de Numeracao_20240514-1846

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Prof. Msc. Edward Melo 
Sistemas de Numeração 
Conceito de Número 
• O primeiro grande passo do homem rumo à ciência e 
à tecnologia foi a concepção da idéia de número. 
• O número é um conceito abstrato, na verdade é a 
idéia comum a dois conjuntos que estão sendo 
comparados. 
• Uma teoria sobre o surgimento dos números surgiu, 
provavelmente, na Antiguidade, quando um pastor 
sentiu a necessidade de verificar se o rebanho de 
ovelhas que levava para o pasto era o mesmo que 
retornava. 
• É provável que ele comparava o conjunto de ovelhas 
(rebanho) com um conjunto de sementes ou pedras. 
Conceito de Número 
• Com o passar do tempo e com o crescimento 
do rebanho, o pastor deve ter passado a 
comparar por agrupamentos, o que deu 
origem ao conceito de base de um sistema de 
numeração. 
• Por exemplo, para cada ovelha era utilizada 
uma semente. Ao contar um agrupamento de 
vinte ovelhas, as sementes seriam substituídas 
por uma pedra. 
Conceito de Número 
• Mas o homem necessitava de um conjunto 
para estabelecer as comparações mais prático 
que pedras, um conjunto que estivesse “mais 
à mão” sempre que necessário. 
• Provavelmente este é o início do nosso 
sistema de numeração de base decimal. 
O Ábaco 
• Assim que o homem percebeu que, a partir de 
marcas feitas no barro ou numa tábua coberta de 
poeira, podia fazer cálculos mais rapidamente do que 
com os dedos, ele inventou o “ábaco”. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Abacus_6.png
Sistemas de Numeração 
• Um sistema de numeração é um sistema em que um conjunto de números 
são representados por numerais de uma forma consistente. 
• Em condições ideais, um sistema de numeração deve: 
– Representar uma grande quantidade de números úteis (ex.: todos os números 
inteiros, ou todos os números reais); 
– Dar a cada número representado uma única descrição (ou pelo menos uma 
representação padrão); 
– Refletir as estruturas algébricas e aritméticas dos números. 
• Por exemplo, a representação comum decimal dos números inteiros fornece 
a cada número inteiro uma representação única como uma sequência finita 
de algarismos, com as operações aritméticas (adição, subtração, 
multiplicação e divisão) estando presentes como os algoritmos padrões da 
aritmética. Contudo, quando a representação decimal é usada para os 
números racionais ou para os números reais, a representação deixa de ser 
padronizada: muitos números racionais têm dois tipos de numerais, um 
padrão que tem fim (por exemplo 2,31), e outro que repete-se 
periodicamente (como 2,30999999...). 
 
Notação Posicional 
Notação Posicional 
Notação Posicional 
Sistemas de Numeração 
• Tipos de Sistemas de Numeração 
– Decimal ou base 10 
– Binário ou base 2 
– Octal ou base 8 
– Hexadecimal ou base 16 
 
Sistema Decimal 
• Tem sua origem, provavelmente, na Antiguidade quando o homem 
associava coisas aos dedos da mão. 
• Para cada dedo, foi associado um “símbolo” diferente: 1, 2, 3, ..., 9. 
• Como existia a necessidade de representar o conjunto vazio, surgiu 
o 0 (zero). 
• Assim, para contar coisas até dez, o homem podia associar “dedos” 
ou “símbolos” que os representavam. 
• Porém, surgiu um problema: como representar quantidades 
maiores que dez sem ter que inventar um novo símbolo para cada 
valor? 
• Solução: utilizar os símbolos já existentes e combiná-los para formar 
representações de quantidades maiores. 
• Por isso, após atingir o nove no Sistema Decimal, repetimos a 
próxima dezena e somamos a unidade. 
Sistema Binário 
• É o sistema mais simples de numeração. 
• Possui apenas dois dígitos: 0 e 1. 
• As operações são executadas de forma rápida e 
simples. 
• Quanto mais extenso mais informação pode ser 
representada. 
• Exemplos: 
– Decimal Binário Decimal Binário 
– 0 0000 6 0110 
– 1 0001 7 0111 
– 2 0010 8 1000 
– 3 0011 9 1001 
– 4 0100 10 1010 
– 5 0101 11 ???? 
Conversão Binário x Decimal 
• O processo de conversão de binário para decimal 
consiste em representar o número decimal como uma 
soma de potências de dois e somar sua sequência. 
 
Exemplo: Converter 1011 da base 2 para base 10. 
1 0 1 1 
 1 x 20 = 1 x 1 = 1 
 1 x 21 = 1 x 2 = 2 
 0 x 22 = 0 x 4 = 0 
 1 x 23 = 1 x 8 = 8 
 11 
 
+ 
1011(2) = 11(10) 
Conversão Binário x Decimal 
• Exemplo: Converter 1000 da base 2 para base 10. 
1 0 0 0 
 0 x 20 = 0 x 1 = 0 
 0 x 21 = 0 x 2 = 0 
 0 x 22 = 0 x 4 = 0 
 1 x 23 = 1 x 8 = 8 
 8 
 
+ 
1000(2) = 8(10) 
Conversão Binário x Decimal 
• Exemplo: Converter 1101 da base 2 para base 10. 
1 1 0 1 
 1 x 20 = 1 x 1 = 1 
 0 x 21 = 0 x 2 = 0 
 1 x 22 = 1 x 4 = 4 
 1 x 23 = 1 x 8 = 8 
 13 
 
+ 
1101(2) = 13(10) 
Conversão Decimal x Binário 
• Para converter um número da base decimal 
para binário é necessário dividir o número 
sucessivas vezes por dois, até que o quociente 
seja igual a zero. 
• O resto da última divisão representa o dígito 
mais à esquerda do número binário, o resto da 
divisão o próximo dígito, e assim por diante. 
• Observe que o resto da divisão por dois será 
sempre 0 ou 1. 
Conversão Decimal x Binário 
• Converter 1968 da base 10 para base 2 
 
1968(10) = 11110110000 (2) 
Decimais fracionários em binários 
• Converte-se a parte do inteiro normalmente 
• Multiplica-se a parte fracionária por 2 sucessivamente, até que 
ela seja igual a zero ou se chegue na precisão desejada 
• Ex.: 0,562510 
Parte inteira -> 010 = 02 
Parte fracionada -> 0,562510 
fração x 2 = vai UM + fração seguinte 
0,5625 x 2 = 1 + 0,1250 
0,1250 x 2 = 0 + 0,2500 
0,2500 x 2 = 0 + 0,5000 
0,5000 x 2 = 1 + 0,0000 
Utiliza-se a sequência de 
“vai UM”, na ordem de 
cima para baixo: 
 
0,562510 = 0,10012 
Decimais fracionários em binários 
• Exercício.: Converta os números decimais fracionários abaixo 
em números binários fracionários. 
 
0,7510 = ? 
 
0,1010 = ? 
 
41,7810 =? 
 
 
0,112 
 
0,000112 
 
101001,1100012 
Sistema Hexadecimal 
• Foi criado para facilitar a manipulação de 
códigos em linguagem Assembly, em 
contrapartida ao sistema binário. 
• Sua origem deve-se à interpretação das 
instruções das linguagens de programação em 
bytes, que são compostos de oito dígitos 
(bits). 
• Como o sistema de numeração Decimal 
oferece apenas dez dígitos distintos, utiliza-se 
letras para completar o sistema Hexadecimal 
Sistema Hexadecimal - Conversão 
• Com quatro dígitos binários é possível 
representar todos os dígitos hexadecimais 
• Para fazer a conversão Hexadecimal x Binário, 
cada dígito hexadecimal é substituído pelo 
numero binário de 4 dígitos equivalente. 
• Para fazer a conversão Binário x Hexadecimal, 
basta agrupar quatro dígitos binários e 
substituir pelo dígito hexadecimal equivalente. 
 
Sistema Hexadecimal - Conversão 
Decimal Binário Hexadecimal 
0 0000 0 
1 0001 1 
2 0010 2 
3 0011 3 
4 0100 4 
5 0101 5 
6 0110 6 
7 0111 7 
8 1000 8 
9 1001 9 
10 1010 A 
11 1011 B 
12 1100 C 
13 1101 D 
14 1110 E 
15 1111 F 
Conversão Binário X Hexadecimal 
• 01010111(2) = ?(16) 
 
0101 0111 
5 7 57(16) ou 57h 
Conversão Binário X Hexadecimal 
• 11011011(2) = ?(16) 
 
1101 1011 
D B DB(16) ou DBh 
Conversão Hexadecimal x Binário 
• 9D8F(16) = ?(2) 
 
 9 D 8 F 
1001 1101 1000 1111 1001110110001111 
 
Conversão Hexadecimal x Binário 
• CAFE(16) = ?(2) 
 
 C A F E 
1100 1010 1111 1110 1100101011111110 
 
Sistema Octal 
• O sistema de numeração Octal utiliza 8 
dígitos. 
• Cada conjunto de 3 bits pode ser visto como 
um número Octal. 
• A conversão para decimal e binário é análoga 
à do sistemahexadecimal, sendo que no 
sistema Octal trabalha-se com agrupamentos 
de 3 dígitos ao invés de 4. 
 
Conversão da base 2 para base 8 
• Divide o número da direita para a esquerda em 
grupos de 3 bits (8=23) 
• Se o último grupo não é um múltiplo de 3 preenche-
se com zeros à esquerda 
• Para cada grupo achar o número octal 
correspondente 
• Ex: 
– (10100111)2 = 
– 010 100 111 
– 2 4 7 
– (247)8 
Conversão da base 8 para base 2 
• Semelhante a de 2 para a base 8 no sentido 
inverso 
• Substitui cada algarismo octal pelos 3 bits 
correspondentes 
• Ex: 
– (627)8 
– 6 2 7 
– 110 010 111 
– (110010111)2 
 
Conversão da base 2 para base 16 
• Idêntico a conversão da base 2 para 8 
considerando 4 bits (16 = 24) 
• Divide o número da direita para a esquerda em grupos de 
4 bits 
• Se o último grupo não é um múltiplo de 4 preenche-se 
com zeros à esquerda 
• Para cada grupo achar o número hexadecimal 
correspondente 
• Ex: 
– (101111)2 
– 0010 1111 
– 2 F 
– (2F)16 
Conversão da base 16 para base 2 
• Substitui cada algarismo hexadecimal pelos 4 
bits correspondentes 
 
• Ex: 
– A2 
– 10 2 
– 1010 0010 
– (10100010)2 
Conversão da base 16 para base 8 
• Primeiro converte de 16 para 2 
• Com o resultado em binário, converte-se para 8 
• Ex: 
– (A5)16 
– A 5 
– 10 5 
– 1010 0101 
– (10100101)2 
– 010 100 101 
– 2 4 5 
– (245)8 
 
Exercício 
• (22C)16 
• (10011001)2 
• (421)8 
• (1DE)16 
• (100100011)2 
• (231)8 
 
 
 
= (556)10 
= (153)10 
= (273)10 
= (478)10 
= (291)10 
= (153 )10 
Outra forma de converter base b  decimal 
• Multiplique o dígito mais a esquerda pela base b e 
some o próximo dígito à direita 
• Multiplique a soma pela base b e some o próximo 
dígito 
• Repita o processo até que o dígito mais a direita 
tenha sido somado 
• Ex: (261)8 
2 X 8 = 16 
(16+6) X 8 = 176 
176 + 1 = 177 
– Importante: observe que o último dígito não é 
multiplicado apenas somado 
Regra genérica! 
Conversão de uma base decimal para uma base B 
• Processo inverso da conversão da base B para 
decimal 
• Divisões sucessivas pela base B até o 
quociente ser zero 
• O resto da última divisão representa o dígito 
mais a esquerda do número 
• O resto da divisão anterior o próximo dígito, a 
assim sucessivamente 
Exercício 
• (216)10 
 
• (917)10 
 
• (97)10 
 
• (681)10 
 
• (27)10 
 
• (625)10 
 
 (330)8 
 
 (1625)8 
 
 (61)16 
 
 (2A9)16 
 
 (11011)2 
 
 (1001110001)2 
 
• (X)8 
 
• (X)8 
 
• (X)16 
 
• (X)16 
 
• (X)2 
 
• (X)2 
 
Exercício 
• (1110 )2 
• (1010100)2 
• (110000)2 
• (13)8 
• (20)8 
• (43)8 
• (1111100101)2 
• (10101)2 
• (1101010)2 
• (F)16 
• (14)16 
• (2E)16 
 
 
= (16)8 
= (124)8 
= (60)8 
= (1011)2 
= (10000)2 
= (100011)2 
= (3E5)16 
= (15)16 
= (6A)16 
= (1111)2 
= (10100)2 
= (101110)2 
 
• (X)8 
• (X)8 
• (X)8 
• (X)2 
• (X)2 
• (X)2 
• (X)16 
• (X)16 
• (X)16 
• (X)2 
• (X)2 
• (X)2 
 
 
Exercício 
• (127)8 
• (121074)8 
• (635)8 
• (3A7)16 
• (251)16 
• (AE)16 
 
 
= (57)16 
= (A23C)16 
= (19D)16 
= (1647)8 
= (1121)8 
= (256)8 
 
• (X)16 
• (X)16 
• (X)16 
• (X)8 
• (X)8 
• (X)8 
 
 
Aritmética Binária 
• Operações semelhante a operação decimal 
• Soma: 
– 0 + 0 = 0 
– 1 + 0 = 1 
– 1 + 1 = 0 com “vai 1” 
 
• Ex.: 
 10101 + 
 101101 
 1000010 
 
 
Exercício (base 2) 
• 1100 + 101 
• 1011 + 10100 
• 10111 + 1111 
 
 
 
= 10001 
= 11111 
= 100110 
 
Aritmética Binária 
Aritmética Binária 
• Subtração: 
– 0 - 0 = 0 
– 1 - 0 = 1 
– 1 - 1 = 0 
– 0 - 1 = não é possível, logo retira-se 1unidade da 
ordem a esquerda e passa-se a ordem à direita 
como 2 (visto que 1 unidade da ordem à esquerda 
vale uma base de unidades (no caso 2) da ordem a 
direita (nesse caso 2 - 1 = 1) 
• Ex: 
1010 - 
 111 
 11 
 
 
Exercício (base 2) 
• 100001 - 11100 
• 11101 - 110 
• 10001 - 1010 
 
 
 
= 101 
= 10111 
= 111 
 
Aritmética Binária 
Aritmética Octal 
• Semelhante a forma binária 
• Soma: 
• o “vai 1” ocorre quando a soma de dois 
algarismos for maior ou igual ao valor da base 
(no caso, 8) 
– 1 + 7 = 0 com “vai 1” 
– 5 + 6 = 11 - 8 = 3 com “vai 1” 
• Ex: 51 + 
 267 
 340 
Exercício (base 8) 
• 327 + 166 
• 27 + 11 
• 752 + 536 
 
 
 
 
= 515 
= 40 
= 1510 
 
Aritmética Octal 
Aritmética Octal 
• Semelhante a forma binária 
• Subtração: 
– quando não é possível a operação, retira-se 1 
unidade da ordem a esquerda e passa-se a ordem 
à direita como 8 (visto que 1 unidade da ordem à 
esquerda vale uma base de unidades) somando-se 
ao valor que existe na posição 
• Ex: 511 - 
327 
162 
 
Aritimética Hexadecimal 
• Semelhante a qualquer número 
• Soma: 
• o “vai 1” ocorre quando a soma de dois 
algarismos for maior ou igual ao valor da base 
(no caso, 16) 
– 1 + F = 0 com “vai 1” 
– 8 + A = 18 - 16 = 2 com “vai 1” 
• Ex: 9A + 
A1E 
AB8 
 
Exercício (base 8) 
• 156 - 17 
• 51 - 26 
• 612 - 66 
 
 
 
 
= 137 
= 23 
= 524 
 
Aritmética Octal 
Exercício (base 16) 
• 1A + C 
• 10A + FD 
• 69+18 
 
 
 
 
= 26 
= 207 
= 81 
 
Aritimética Hexadecimal 
Subtração Hexadecimal 
• Semelhante a qualquer número 
• Subtração: 
– quando não é possível a operação, retira-se 1 
unidade da ordem a esquerda e passa-se a ordem 
à direita como 16 (visto que 1 unidade da ordem à 
esquerda vale uma base de unidades) somando-se 
ao valor que existe na posição 
• Ex: 22C - 
 FF 
12D 
 
Exercício (base 16) 
• 2B1 - 128 
• 12A - 9B 
• 923 - 1AD 
 
 
 
 
= 189 
= 8F 
= 776 
Aritimética Hexadecimal 
Multiplicação Binária 
• Semelhante aos números decimais 
• soma sucessiva de um número quantas 
vezes for o valor do outro 
• operação de multiplicação normal: 
 0 X 0 = 0  0 X 1 = 0  1 X 1 = 1 
• Ex: 
 
 1011 
 x 101 
 1011 
 0000 
 1011__ 
 110111 
Divisão Binária 
• Semelhante aos números decimais 
• operação de multiplicação normal: 
 0 / 1 = 0  1 / 1 = 1 
• Ex: 
 
 10010 11 
- 11 110 
 011 
 00 
Exercício 
• 1010 X 11 
• 111 X 111 
• 11011 / 11 
• 10100 / 101 
 
 11110 
 110001 
 1001 
 100 
Frase do dia 
 Existem 10 tipos de pessoas que conhecem 
informática: 
 
– As que entendem e as que não entendem. 
Dúvidas??