6 - Apoio topográfico

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Apoio Topográfico: 
poligonais
Cláudio José da Silva de Sousa
claudiojose@professor.uema.br
Outubro/2022
Apoio topográfico
Apoio topográfico 
planimétrico
• É o conjunto de pontos materializados no 
terreno que proporciona o controle de 
posição dos levantamentos topográficos 
(NBR 13.133/2021, p.11).
Levantamento 
topográfico
• Emprego de métodos para determinar as 
coordenadas topográficas de pontos visando 
a sua representação planimétrica e 
altimétrica (NBR 13.133/2021, p. 13).
Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BY-SA-NC
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Levantamento 
planimétrico
• Método que projeta no plano horizontal os 
detalhes topográficos especificados de 
acordo com a finalidade (NBR 13.133/2021, 
p.14).
Rede de pontos
de apoio
• Mapeamento topográfico;
• Mapeamento cadastral;
• Levantamento e implantação de 
obras;
• Construção de vias de transporte;
• Monitoramento geodésico de obras;
• Pontos de controle para 
aerofotogrametria
Determinação 
de pontos 
planimétricos
Método de Poligonação
• Consiste em, a partir de pontos da rede geodésica oficial ou 
determinados por medições com a tecnologia GNSS, lançar 
novos pontos por intermédio do estabelecimento de uma 
poligonal geometricamente definida.
12
3
P
Q
𝚫𝚫𝚫𝚫 = 𝚫𝚫𝟐𝟐 − 𝚫𝚫𝟏𝟏𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏𝟐𝟐
𝚫𝚫𝟐𝟐
𝚫𝚫𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐
𝑷𝑷𝟏𝟏
𝑷𝑷𝟐𝟐
Calcular:
Distância horizontal entre P1 e P2
Dados:
Coordenadas de P1e P2
𝒀𝒀
𝑿𝑿
Cálculos topométricos: de azimute e de distância
𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂
𝚫𝚫𝒙𝒙
𝚫𝚫𝚫𝚫
𝚫𝚫𝚫𝚫
𝚫𝚫𝒙𝒙
𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒅𝒅𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝚫𝚫𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝚫𝚫𝚫𝚫𝟐𝟐
Azimute do alinhamento P1P2
𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝒅𝒅𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏𝟐𝟐
𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏𝟐𝟐
𝚫𝚫𝟐𝟐
𝚫𝚫𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐
𝑷𝑷𝟏𝟏
𝑷𝑷𝟐𝟐
𝚫𝚫𝚫𝚫 = 𝒅𝒅𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝒂𝒂𝒄𝒄𝒔𝒔𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏𝟐𝟐
Calcular:
As coordenadas do ponto P2
Dados:
Coordenadas de P1
Azimute do alinhamento P1P2
Distância horizontal entre P1P2
𝒀𝒀
𝑿𝑿
𝚫𝚫𝟐𝟐 = 𝚫𝚫𝟏𝟏 + 𝚫𝚫𝚫𝚫 = 𝚫𝚫𝟏𝟏 + 𝒅𝒅𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝒂𝒂𝒄𝒄𝒔𝒔𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒅𝒅𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒂𝒂𝒄𝒄𝒔𝒔𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏𝟐𝟐 =
𝜟𝜟𝚫𝚫
𝒅𝒅𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏𝟐𝟐 =
𝚫𝚫𝒙𝒙
𝒅𝒅𝟏𝟏𝟐𝟐
Cálculos topométricos: ponto lançado (irradiação)
𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏𝟐𝟐
𝚫𝚫𝟐𝟐
𝚫𝚫𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐
𝑷𝑷𝟏𝟏
𝑷𝑷𝟐𝟐
Calcular:
Ângulo horizontal em P2
Dados:
Azimute do alinhamento P1P2
𝒀𝒀
𝑿𝑿
𝑷𝑷𝟑𝟑
𝚫𝚫𝟑𝟑
𝒙𝒙𝟑𝟑
𝑨𝑨𝑨𝑨𝟐𝟐𝟑𝟑
𝜶𝜶𝟐𝟐 Medidos:
Direção horizontal L21, L23 
𝜶𝜶𝟐𝟐 = 𝑳𝑳𝟐𝟐𝟑𝟑 − 𝑳𝑳𝟐𝟐𝟏𝟏
𝑨𝑨𝑨𝑨𝟐𝟐𝟑𝟑 = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝜶𝜶𝟐𝟐
Cálculos topométricos: transporte de azimute
Azimute do alinhamento P2 P3
Se 𝐀𝐀𝐀𝐀+ 𝛂𝛂 > 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏: subtrair180𝟏
Se 𝐀𝐀𝐀𝐀+ 𝛂𝛂 < 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏: somar 180𝟏
𝚫𝚫𝟐𝟐
𝚫𝚫𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐
𝑷𝑷𝟏𝟏
𝑷𝑷𝟐𝟐
Calcular:
Coordenadas de P3
Dados:
Coordenadas de P1e P2𝒀𝒀
𝑿𝑿
𝑷𝑷𝟑𝟑
𝚫𝚫𝟑𝟑
𝒙𝒙𝟑𝟑
𝜶𝜶𝟐𝟐
Medidos:
Distância entre P1 e P2
Distância entre P2 e P3
Direção horizontal L21, L23 
2) 𝑨𝑨𝑨𝑨𝟐𝟐𝟑𝟑 = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝜶𝜶𝟐𝟐
𝟑𝟑) 𝚫𝚫𝟑𝟑 = 𝚫𝚫𝟐𝟐 + 𝚫𝚫𝚫𝚫 = 𝚫𝚫𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟐𝟐𝟑𝟑 ∗ 𝒂𝒂𝒄𝒄𝒔𝒔𝑨𝑨𝑨𝑨𝟐𝟐𝟑𝟑
𝟒𝟒) 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟐𝟐𝟑𝟑 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝑨𝑨𝑨𝑨𝟐𝟐𝟑𝟑
𝟏𝟏) 𝜶𝜶𝟐𝟐 = 𝑳𝑳𝟐𝟐𝟑𝟑 − 𝑳𝑳𝟐𝟐𝟏𝟏
Cálculos topométricos: transporte de coordenadas
𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏𝟐𝟐
𝑨𝑨𝑨𝑨𝟐𝟐𝟑𝟑
Poligonais de apoio: como estão classificadas?
𝟑𝟑
𝑨𝑨
𝑩𝑩
𝜶𝜶𝟑𝟑
𝜶𝜶𝟐𝟐
𝜶𝜶𝟏𝟏
𝑷𝑷
𝑸𝑸
𝑨𝑨𝑨𝑨𝑷𝑷𝑸𝑸
𝜶𝜶𝑷𝑷
𝟐𝟐 𝜶𝜶𝑨𝑨
Poligonal aberta
Topograficamente apoiada
𝟏𝟏
Poligonais de apoio: como estão classificadas?
𝟏𝟏
𝑷𝑷
𝑸𝑸
𝑨𝑨𝑨𝑨𝑷𝑷𝑸𝑸
𝟐𝟐
𝜶𝜶𝒊𝒊𝒔𝒔𝒊𝒊
𝟑𝟑
𝜶𝜶𝟏𝟏
𝜶𝜶𝟐𝟐
𝜶𝜶𝟑𝟑
𝜶𝜶𝑷𝑷
Poligonal fechada
Topograficamente apoiada
Poligonais de apoio: ângulos horizontais
𝟏𝟏
𝑷𝑷
𝑸𝑸
𝑨𝑨𝑨𝑨𝑷𝑷𝑸𝑸
𝟐𝟐
𝜶𝜶𝒊𝒊𝒔𝒔𝒊𝒊
𝟑𝟑
𝜶𝜶𝟏𝟏
𝜶𝜶𝟐𝟐
𝜶𝜶𝟑𝟑
𝜶𝜶𝑷𝑷
𝟑𝟑
𝑷𝑷
𝑸𝑸
𝑨𝑨𝑨𝑨𝑷𝑷𝑸𝑸𝟐𝟐
𝜶𝜶𝒊𝒊𝒔𝒔𝒊𝒊𝟏𝟏
𝜶𝜶𝟑𝟑
𝜶𝜶𝟐𝟐
𝜶𝜶𝟏𝟏
𝜶𝜶𝑷𝑷
Caminhamento anti-horário
Ângulos horizontais: internos
Caminhamento: horário
Ângulos horizontais: externos
Exercício de aplicação
• Calcular as coordenadas planas 
topográficas dos vértices da poligonal 
de apoio.
1) Compensação do erro de 
fechamento angular;
2) Compensação do erro do 
fechamento linear.
𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐿𝐿𝑃𝑃𝑃 − 𝐿𝐿𝑃𝑃𝑃𝑃 𝛼𝛼𝑃 = 𝐿𝐿𝑃2 − 𝐿𝐿𝑃𝑃𝑃
𝛼𝛼2 = 𝐿𝐿23 − 𝐿𝐿2𝑃
𝛼𝛼3 = 𝐿𝐿34 − 𝐿𝐿32
𝛼𝛼4 = 𝐿𝐿45 − 𝐿𝐿43
𝛼𝛼5 = 𝐿𝐿56 − 𝐿𝐿54
𝛼𝛼6 = 𝐿𝐿67 − 𝐿𝐿65
𝛼𝛼7 = 𝐿𝐿7𝑃𝑃 − 𝐿𝐿76
𝛼𝛼𝑃𝑃 = 𝐿𝐿𝑃𝑃𝑃𝑃 − 𝐿𝐿𝑃𝑃7
Cálculo dos ângulos horizontais horários
6
𝑄𝑄
𝑃𝑃
1
2
3
4
5
7
𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝛼𝛼𝑃
𝛼𝛼2
𝛼𝛼3
𝛼𝛼4
𝛼𝛼5
𝛼𝛼6𝛼𝛼7
𝛼𝛼𝑃𝑃
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑋𝑋𝑃𝑃 − 𝑋𝑋𝑃𝑃
𝑌𝑌𝑃𝑃 − 𝑌𝑌𝑃𝑃
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) + 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝛼𝛼𝑃𝑃 + �𝛼𝛼𝑖𝑖 ± n + 1 . 180𝟏
𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑝𝑝
𝒔𝒔𝒂𝒂 = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑷𝑷𝑸𝑸(𝒎𝒎𝒔𝒔𝒅𝒅𝒊𝒊𝒅𝒅𝒄𝒄) − 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑷𝑷𝑸𝑸(𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒂𝒂𝒅𝒅𝒄𝒄)
6
𝑄𝑄
𝑃𝑃
1
3
4
5
7
𝛼𝛼𝑃
𝛼𝛼2
𝛼𝛼3
𝛼𝛼4
𝛼𝛼5
𝛼𝛼6𝛼𝛼7
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)
𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝛼𝛼𝑃𝑃
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)
Erro de fechamento 
angular
1
2
3
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃2
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃2
𝛼𝛼2
𝐴𝐴𝐴𝐴23 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃2 + 𝛼𝛼2 − 180𝟏
𝛽𝛽
𝐴𝐴𝐴𝐴23
𝛽𝛽 = 𝛼𝛼2 − 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴23 = 𝛽𝛽 + 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃2
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑋𝑋𝑃𝑃 − 𝑋𝑋𝑃𝑃
𝑌𝑌𝑃𝑃 − 𝑌𝑌𝑃𝑃
2
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) + 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝛼𝛼𝑃𝑃 + �𝛼𝛼𝑖𝑖 ± n + 1 . 180𝟏
𝒔𝒔𝒂𝒂 = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑷𝑷𝑸𝑸(𝒎𝒎𝒔𝒔𝒅𝒅𝒊𝒊𝒅𝒅𝒄𝒄) − 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑷𝑷𝑸𝑸(𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒂𝒂𝒅𝒅𝒄𝒄)
Erro de fechamento angular
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑋𝑋𝑃𝑃 − 𝑋𝑋𝑃𝑃
𝑌𝑌𝑃𝑃 − 𝑌𝑌𝑃𝑃
= 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟏𝟏𝟕𝟕𝟏𝟏𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) = 62,78685788 + 322,51806 + 272,89972 + 844,275 ± 9 x 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) = 62,78685788 + 1439,69278 ± 9 x 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) = −117,52036 + 360 = 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟐𝟐,𝟒𝟒𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟒𝟒
𝒔𝒔𝒂𝒂 = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑷𝑷𝑸𝑸(𝒎𝒎𝒔𝒔𝒅𝒅𝒊𝒊𝒅𝒅𝒄𝒄) − 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑷𝑷𝑸𝑸(𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒂𝒂𝒅𝒅𝒄𝒄)
𝑛𝑛𝑐𝑐 = 242,47964 − 242,7868579
𝑛𝑛𝑐𝑐 = 242,47964 − 242,7868579
𝒔𝒔𝒂𝒂 = −𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟐𝟐
Cálculo do azimute de PQ medido
𝑨𝑨𝑨𝑨𝑷𝑷𝑸𝑸(𝒎𝒎𝒔𝒔𝒅𝒅𝒊𝒊𝒅𝒅𝒄𝒄) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑸𝑸𝑷𝑷(𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒂𝒂𝒅𝒅𝒄𝒄) + 𝜶𝜶𝒊𝒊𝒔𝒔𝒊𝒊 + �𝜶𝜶𝒊𝒊 + 𝜶𝜶𝒑𝒑 ± 𝐧𝐧 + 𝟏𝟏 .𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) + 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃2 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃 + 𝛼𝛼𝑃 ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴23 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃2 + 𝛼𝛼2 ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴34 = 𝐴𝐴𝐴𝐴23 + 𝛼𝛼3 ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴45 = 𝐴𝐴𝐴𝐴34 + 𝛼𝛼4 ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴56 = 𝐴𝐴𝐴𝐴45 + 𝛼𝛼5 ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴67 = 𝐴𝐴𝐴𝐴56 + 𝛼𝛼6 ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴7𝑃𝑃 = 𝐴𝐴𝐴𝐴67 + 𝛼𝛼7 ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝐴𝐴𝐴𝐴7𝑃𝑃 + 𝛼𝛼𝑃𝑃 ± 180𝟏
Transporte dos azimutes
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝟕𝟕𝟕𝟕 + 𝛼𝛼7 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼𝑃𝑃 ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝟕𝟕𝟕𝟕 + 𝛼𝛼6 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼7 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼𝑃𝑃 ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝟒𝟒𝟕𝟕 + 𝛼𝛼5 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼6 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼7 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼𝑃𝑃 ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝟑𝟑𝟒𝟒 + 𝛼𝛼4 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼5 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼6 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼7 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼𝑃𝑃 ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝟐𝟐𝟑𝟑 + 𝛼𝛼3 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼4 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼5 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼6 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼7 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼𝑃𝑃 ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝛼𝛼2 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼3 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼4 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼5 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼6 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼7 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼𝑃𝑃 ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑷𝑷𝟏𝟏 + 𝛼𝛼𝑃 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼2 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼3 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼4 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼5 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼6 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼7 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼𝑃𝑃 ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) + 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼𝑃 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼2 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼3 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼4 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼5 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼6 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼7 ± 180𝟏 + 𝛼𝛼𝑃𝑃 ± 180𝟏
Deduzindo a equação do azimute de PQ medido 
𝑨𝑨𝑨𝑨𝑷𝑷𝑸𝑸 (𝒎𝒎𝒔𝒔𝒅𝒅𝒊𝒊𝒅𝒅𝒄𝒄) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑸𝑸𝑷𝑷(𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒂𝒂𝒅𝒅𝒄𝒄) + 𝜶𝜶𝒊𝒊𝒔𝒔𝒊𝒊 + �𝜶𝜶𝒊𝒊 + 𝜶𝜶𝒑𝒑 ± 𝐧𝐧 + 𝟏𝟏 .𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝐴𝐴𝐴𝐴7𝑃𝑃 + 𝛼𝛼𝑃𝑃 ± 180𝟏
6
𝑄𝑄
𝑃𝑃
1
3
4
5
7
𝛼𝛼𝑃
𝛼𝛼2
𝛼𝛼3
𝛼𝛼4
𝛼𝛼5
𝛼𝛼6𝛼𝛼7
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)
𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝛼𝛼𝑃𝑃
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)
2
𝑛𝑛𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) − 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)
𝑻𝑻𝒔𝒔𝒂𝒂 = 𝒌𝒌. 𝒔𝒔. 𝒔𝒔
𝑇𝑇𝑛𝑛𝑐𝑐 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑎𝑎𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑛𝑛𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑎𝑛𝑛𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑎𝑎𝑓𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑘𝑘 = 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑣𝑣𝑝𝑝𝑝𝑝𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑛𝑛𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑𝑣𝑣𝑚𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑝𝑝𝑓𝑛𝑛
𝑣𝑣 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝑣𝑣𝑚𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑛𝑛𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑣𝑣𝑝𝑝𝑣𝑣𝐴𝐴𝑎𝑎𝑑𝑑𝑛𝑛
𝑛𝑛 = 𝑞𝑞𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑑𝑑𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑝𝑝 (𝛼𝛼𝑖𝑖 + 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝛼𝛼𝑝𝑝)
𝑛𝑛𝑐𝑐 ≤ 𝑇𝑇𝑛𝑛𝑐𝑐
6
𝑄𝑄
𝑃𝑃
1
2
3
4
5
7
𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝛼𝛼𝑃
𝛼𝛼2
𝛼𝛼3
𝛼𝛼4
𝛼𝛼5
𝛼𝛼6𝛼𝛼7
𝛼𝛼𝑃𝑃
Tolerância erro angular
Fonte: NBR 13.133/2021 p.7 Fonte: Silva e Segantine, 2015, p. 298.
6
𝑄𝑄
𝑃𝑃
1
2
3
4
5
7
𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝛼𝛼𝑃
𝛼𝛼2
𝛼𝛼3
𝛼𝛼4
𝛼𝛼5
𝛼𝛼6𝛼𝛼7
𝛼𝛼𝑃𝑃
𝒂𝒂𝒂𝒂 = −
𝒔𝒔𝒂𝒂
𝒔𝒔
𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ± 𝑎𝑎𝑐𝑐
𝛼𝛼𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝛼𝛼𝑃 ± 𝑎𝑎𝑐𝑐
𝛼𝛼2(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝛼𝛼2 ± 𝑎𝑎𝑐𝑐
𝛼𝛼3(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝛼𝛼3 ± 𝑎𝑎𝑐𝑐
𝛼𝛼4(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝛼𝛼4 ± 𝑎𝑎𝑐𝑐
𝛼𝛼5(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝛼𝛼5 ± 𝑎𝑎𝑐𝑐
𝛼𝛼6(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝛼𝛼6 ± 𝑎𝑎𝑐𝑐
𝛼𝛼7(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝛼𝛼7 ± 𝑎𝑎𝑐𝑐
Compensação dos ângulos horizontais horários
Compensação angular
𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑣𝑣𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑛𝑛𝑐𝑐 = 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑎𝑎𝑓𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑝𝑝
𝜶𝜶𝒊𝒊(𝒂𝒂𝒄𝒄𝒎𝒎𝒑𝒑) = 𝜶𝜶𝒊𝒊 ± 𝒂𝒂𝒂𝒂
𝛼𝛼𝑖𝑖(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑛𝑛 𝑓𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝐴𝐴𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝 𝑓𝑛𝑛𝑎𝑎𝑜𝑎𝑎𝑣𝑣𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑣𝑣𝑎𝑎𝑑𝑑𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑣𝑣𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎
𝛼𝛼𝑖𝑖 = 𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑛𝑛 𝑓𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝐴𝐴𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝 𝑓𝑛𝑛𝑎𝑎𝑜𝑎𝑎𝑣𝑣𝑛𝑛
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) + 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃2 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃 + 𝛼𝛼𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴23 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃2 + 𝛼𝛼2(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴34 = 𝐴𝐴𝐴𝐴23 + 𝛼𝛼3(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴45 = 𝐴𝐴𝐴𝐴34 + 𝛼𝛼4(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴56 = 𝐴𝐴𝐴𝐴45 + 𝛼𝛼5(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴67 = 𝐴𝐴𝐴𝐴56 + 𝛼𝛼6(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴7𝑃𝑃 = 𝐴𝐴𝐴𝐴67 + 𝛼𝛼7(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝐴𝐴𝐴𝐴7𝑃𝑃 + 𝛼𝛼𝑃𝑃 ± 180𝟏
Transporte dos azimutes
6
𝑄𝑄
𝑃𝑃
1
2
3
4
5
7
𝛼𝛼2
𝛼𝛼3
𝛼𝛼4
𝛼𝛼5
𝛼𝛼6𝛼𝛼7
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)
𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) + 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ± 180𝟏
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃2
𝛼𝛼𝑃
𝐴𝐴𝐴𝐴23
𝐴𝐴𝐴𝐴34
Cálculo dos azimutes 
dos alinhamentos
ALINHAMENTO DISTÂNCIA HORIZONTAL
P-1 538,27100
1-2 551,74900
2-3 633,55900
3-4 727,49700
4-5 597,85400
5-6 779,57000
6-7 740,08500
7-P 459,38000
6
𝑄𝑄
𝑃𝑃
1
2
3
4
5
7
𝛼𝛼2
𝛼𝛼3
𝛼𝛼4
𝛼𝛼5
𝛼𝛼6𝛼𝛼7
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃
𝑄𝑄
𝑃𝑃
1
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃
∆𝑥𝑥𝑃𝑃𝑃= 𝑑𝑑𝑃𝑃𝑃. 𝑣𝑣𝑛𝑛𝑛𝑛(𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃)
∆𝑦𝑦𝑃𝑃𝑃= 𝑑𝑑𝑃𝑃𝑃. 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑣𝑣(𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃)
Projeção das distâncias 
nas direções X e Y
𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏
𝑌𝑌
𝑋𝑋
𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏
𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏
𝑨𝑨𝑨𝑨𝟏𝟏
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐧𝐧𝑨𝑨𝑨𝑨 = +
𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬𝑨𝑨𝑨𝑨 = +
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐧𝐧𝑨𝑨𝑨𝑨 = +
𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬𝑨𝑨𝑨𝑨 = −
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐧𝐧𝑨𝑨𝑨𝑨 = −
𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬𝑨𝑨𝑨𝑨 = −
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐧𝐧𝑨𝑨𝑨𝑨 = −
𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬𝑨𝑨𝑨𝑨 = +
𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑣𝑣
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛
𝜟𝜟𝒙𝒙𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒅𝒅𝒊𝒊𝒊𝒊. 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝑨𝑨𝑨𝑨𝒊𝒊𝒊𝒊)
𝜟𝜟𝚫𝚫𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒅𝒅𝒊𝒊𝒊𝒊. 𝒂𝒂𝒄𝒄𝒔𝒔(𝑨𝑨𝑨𝑨𝒊𝒊𝒊𝒊)
𝛥𝛥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑋𝑋
𝛥𝛥𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑌𝑌
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝐴𝐴𝑣𝑣𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑣𝑣𝑛𝑛𝑓𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑣𝑣 − 𝑝𝑝
6
𝑄𝑄
𝑃𝑃
1
2
3
4
5
7
𝛼𝛼𝑃
𝛼𝛼2
𝛼𝛼3
𝛼𝛼4
𝛼𝛼5
𝛼𝛼6𝛼𝛼7
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)
𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝛼𝛼𝑃𝑃
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)
𝑃𝑃1
2
2 3
1
3 4
4 5
56
67
7 𝑃𝑃
𝑋𝑋
𝑌𝑌
�∆𝒙𝒙𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟏𝟏
Erros de fechamento 
linear nas direções X e Y
6
𝑄𝑄
𝑃𝑃
1
2
3
4
5
7
𝛼𝛼𝑃
𝛼𝛼2
𝛼𝛼3
𝛼𝛼4
𝛼𝛼5
𝛼𝛼6𝛼𝛼7
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)
𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝛼𝛼𝑃𝑃
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)
𝑃𝑃1
2
2 3
1
3 4
4 5
56
67
7 𝑃𝑃
𝑋𝑋
𝑌𝑌
�∆𝒙𝒙𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟏𝟏
𝒔𝒔𝒄𝒄𝒙𝒙 +
𝒔𝒔𝒄𝒄𝒙𝒙 −7 𝑃𝑃
Erros de fechamento linear
Precisão relativa do levantamento
𝑃𝑃𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝑣𝑣𝑚𝑛𝑛 =
𝑛𝑛𝑐𝑐
∑ 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑐𝑐𝑥𝑥 = �Δ𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑐𝑐𝑦𝑦 = �Δ𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑐𝑐 = 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑥𝑥2 + 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑦𝑦2
𝑛𝑛𝑐𝑐𝑥𝑥 = 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑎𝑎𝑓𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑣𝑣𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑋𝑋
𝑛𝑛𝑐𝑐𝑦𝑦 = 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑎𝑎𝑓𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑣𝑣𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑌𝑌
�𝛥𝛥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑣𝑣𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑎𝑎𝑣𝑣𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑚𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑋𝑋
�𝛥𝛥𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑣𝑣𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑎𝑎𝑣𝑣𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑚𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑌𝑌
𝑛𝑛𝑐𝑐 = 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑎𝑎𝑓𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑣𝑣𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎
Compensação do erro de fechamento linear
𝑪𝑪𝒄𝒄𝒙𝒙𝒊𝒊𝒊𝒊 = −
𝒔𝒔𝒄𝒄𝒙𝒙
∑𝒅𝒅𝒊𝒊𝒊𝒊
.𝒅𝒅𝒊𝒊𝒊𝒊 = − 𝒌𝒌𝒙𝒙.𝒅𝒅𝒊𝒊𝒊𝒊
𝑪𝑪𝒄𝒄𝚫𝚫𝒊𝒊𝒊𝒊 = −
𝒔𝒔𝒄𝒄𝚫𝚫
∑𝒅𝒅𝒊𝒊𝒊𝒊
.𝒅𝒅𝒊𝒊𝒊𝒊 = − 𝒌𝒌𝚫𝚫.𝒅𝒅𝒊𝒊𝒊𝒊
𝐶𝐶𝑐𝑐𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ,𝐶𝐶𝑐𝑐𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑚𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑣𝑣𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎 (𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛𝑚𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑋𝑋 𝑛𝑛 𝑌𝑌
𝑛𝑛𝑐𝑐𝑥𝑥,𝑛𝑛𝑐𝑐𝑦𝑦 = 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑎𝑎𝑓𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑣𝑣𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑋𝑋 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑌𝑌
�𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑝𝑝
𝑘𝑘𝑥𝑥 , 𝑘𝑘𝑦𝑦= 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑣𝑣𝑝𝑝𝑝𝑝𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑋𝑋 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑌𝑌
Compensação dos erros de fechamento linear 
nas direções X e Y
𝜟𝜟𝒙𝒙𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒂𝒂𝒄𝒄𝒎𝒎𝒑𝒑 = 𝜟𝜟𝒙𝒙𝒊𝒊𝒊𝒊 + 𝑪𝑪𝒄𝒄𝒙𝒙𝒊𝒊𝒊𝒊
𝜟𝜟𝚫𝚫𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒂𝒂𝒄𝒄𝒎𝒎𝒑𝒑 = 𝜟𝜟𝚫𝚫𝒊𝒊𝒊𝒊 + 𝑪𝑪𝒄𝒄𝚫𝚫𝒊𝒊𝒊𝒊
𝛥𝛥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ,𝛥𝛥𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑚𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑣𝑣𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑝𝑝 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛𝑚𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑋𝑋 𝑛𝑛 𝑌𝑌
𝛥𝛥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ,𝛥𝛥𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑚𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑝𝑝 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑋𝑋 𝑛𝑛 𝑌𝑌.
𝐶𝐶𝑐𝑐𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ,𝐶𝐶𝑐𝑐𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑚𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑣𝑣𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎 (𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛𝑚𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑋𝑋 𝑛𝑛 𝑌𝑌
Cálculo das coordenadas dos vértices da 
poligonal
𝒙𝒙𝒊𝒊 = 𝒙𝒙𝒊𝒊 + 𝚫𝚫𝒙𝒙𝒊𝒊𝒊𝒊(𝒂𝒂𝒄𝒄𝒎𝒎𝒑𝒑)
𝚫𝚫𝒊𝒊 = 𝚫𝚫𝒊𝒊 + 𝚫𝚫𝚫𝚫𝒊𝒊𝒊𝒊(𝒂𝒂𝒄𝒄𝒎𝒎𝒑𝒑)
𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑝𝑝
𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑣𝑣
𝑦𝑦𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑝𝑝
𝑦𝑦𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑣𝑣
𝛥𝛥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑣𝑣𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑝𝑝 𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑋𝑋
𝛥𝛥𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑣𝑣𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑝𝑝 𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑌𝑌
Organização dos cálculos topométricos em 
planilha Excel
Levantamento por Irradiação
Uma vez que foram definidas as 
coordenadas planas topográficas dos 
vértices da poligonal de apoio, elas 
podem ser usadas como referenciais 
para a obtenção das coordenadas de 
pontos irradiados.
6
𝑄𝑄
𝑃𝑃
1
2
3
4
5
7
𝑥𝑥𝑃,𝑦𝑦𝑃
𝑥𝑥2 𝑦𝑦2
𝑥𝑥3,𝑦𝑦3
𝑥𝑥4,𝑦𝑦4
𝑥𝑥6, 𝑦𝑦6
𝑥𝑥5, 𝑦𝑦5
𝑥𝑥7, 𝑦𝑦7
𝑥𝑥𝑃𝑃 ,𝑦𝑦𝑃𝑃
𝑥𝑥𝑃𝑃, 𝑦𝑦𝑃𝑃
I𝑃
𝑥𝑥𝐼𝐼1 𝑦𝑦𝐼𝐼1
𝐴𝐴𝐴𝐴3𝐼𝐼1
𝛼𝛼3
𝐴𝐴𝐴𝐴32
𝑦𝑦𝐼𝐼1 = 𝑦𝑦3 + 𝛥𝛥𝑦𝑦3𝐼𝐼1 = 𝑦𝑦3 + 𝑑𝑑3𝐼𝐼1 ∗ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴3𝐼𝐼1
𝑥𝑥𝐼𝐼1 = 𝑥𝑥3 + 𝛥𝛥𝑥𝑥3𝐼𝐼1 = 𝑥𝑥3 + 𝑑𝑑3𝐼𝐼1 ∗ 𝑣𝑣𝑛𝑛𝑛𝑛𝐴𝐴𝐴𝐴3𝐼𝐼1
𝐴𝐴𝐴𝐴3𝐼𝐼1 = 𝐴𝐴𝐴𝐴23 + 𝛼𝛼3 ± 180𝟏
Cálculo de área
A partir da determinação das 
coordenadas dos vértices da 
poligonal, é possível efetuar o 
cálculo de sua área a partir da 
fórmula de Gauss.
Fonte: Tuller e Saraiva, 2014, p.135.
𝑦𝑦𝐴𝐴
𝑦𝑦𝐵𝐵
𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑥𝑥𝐵𝐵
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝑦𝑦𝐵𝐵
𝑦𝑦𝐶𝐶
𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑥𝑥𝐶𝐶
𝐵𝐵
𝐶𝐶 𝑦𝑦𝐴𝐴 𝑦𝑦𝐶𝐶
𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑥𝑥𝐶𝐶
𝐴𝐴
𝐶𝐶
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐶𝐶
+
−
=
𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑦𝑦𝐵𝐵 . 𝑥𝑥𝐴𝐴−𝐵𝐵
2 +
𝑦𝑦𝐵𝐵 + 𝑦𝑦𝐶𝐶 . 𝑥𝑥𝐵𝐵−𝐶𝐶
2 −
𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑦𝑦𝐶𝐶 . 𝑥𝑥𝐶𝐶−𝐴𝐴
2 = 𝐴𝐴
𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑦𝑦𝐵𝐵 . 𝑥𝑥𝐴𝐴−𝐵𝐵 + 𝑦𝑦𝐵𝐵 + 𝑦𝑦𝐶𝐶 . 𝑥𝑥𝐵𝐵−𝐶𝐶 − 𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑦𝑦𝐶𝐶 . 𝑥𝑥𝐶𝐶−𝐴𝐴 = 2𝐴𝐴
𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑦𝑦𝐵𝐵 . 𝑥𝑥𝐵𝐵 − 𝑥𝑥𝐴𝐴 + 𝑦𝑦𝐵𝐵 + 𝑦𝑦𝐶𝐶 . 𝑥𝑥𝐶𝐶 − 𝑥𝑥𝐵𝐵 − 𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑦𝑦𝐶𝐶 . 𝑥𝑥𝐴𝐴 − 𝑥𝑥𝐶𝐶 = 2𝐴𝐴
− 𝑥𝑥𝐴𝐴. 𝑦𝑦𝐵𝐵 + 𝑥𝑥𝐵𝐵 .𝑦𝑦𝐶𝐶 + 𝑥𝑥𝐶𝐶 .𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑥𝑥𝐵𝐵 .𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑥𝑥𝐶𝐶 .𝑦𝑦𝐵𝐵 + 𝑥𝑥𝐴𝐴.𝑦𝑦𝐶𝐶 = 2𝐴𝐴
−det(𝑀𝑀𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑣𝑣𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑. 𝑎𝑎𝑡𝑡𝑣𝑣𝑛𝑛𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑣𝑣) = 2𝐴𝐴
−
𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑦𝑦𝐴𝐴
𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑦𝑦𝐵𝐵
𝑥𝑥𝐶𝐶 𝑦𝑦𝐶𝐶
= 2𝐴𝐴
𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑦𝑦𝐵𝐵 . 𝑥𝑥𝐴𝐴−𝐵𝐵
2
Cálculo de área
A partir da determinação das 
coordenadas dos vértices da 
poligonal, é possível efetuar o 
cálculo de sua área a partir da 
fórmula de Gauss.
Fonte: Tuller e Saraiva, 2014, p.135.
𝑦𝑦𝐴𝐴
𝑦𝑦𝐵𝐵
𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑥𝑥𝐵𝐵
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝑦𝑦𝐵𝐵
𝑦𝑦𝐶𝐶
𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑥𝑥𝐶𝐶
𝐵𝐵
𝐶𝐶 𝑦𝑦𝐴𝐴 𝑦𝑦𝐶𝐶
𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑥𝑥𝐶𝐶
𝐴𝐴
𝐶𝐶
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐶𝐶
+
−
=
𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑦𝑦𝐵𝐵 . 𝑥𝑥𝐴𝐴−𝐵𝐵 + 𝑦𝑦𝐵𝐵 + 𝑦𝑦𝐶𝐶 . 𝑥𝑥𝐵𝐵−𝐶𝐶 − 𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑦𝑦𝐶𝐶 . 𝑥𝑥𝐶𝐶−𝐴𝐴 = 2𝐴𝐴
𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑦𝑦𝐵𝐵 . 𝑥𝑥𝐵𝐵 − 𝑥𝑥𝐴𝐴 + 𝑦𝑦𝐵𝐵 + 𝑦𝑦𝐶𝐶 . 𝑥𝑥𝐶𝐶 − 𝑥𝑥𝐵𝐵 − 𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑦𝑦𝐶𝐶 . 𝑥𝑥𝐴𝐴 − 𝑥𝑥𝐶𝐶 = 2𝐴𝐴
− 𝑥𝑥𝐴𝐴. 𝑦𝑦𝐵𝐵 + 𝑥𝑥𝐵𝐵 .𝑦𝑦𝐶𝐶 + 𝑥𝑥𝐶𝐶 .𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑥𝑥𝐵𝐵 .𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑥𝑥𝐶𝐶 .𝑦𝑦𝐵𝐵 + 𝑥𝑥𝐴𝐴.𝑦𝑦𝐶𝐶 = 2𝐴𝐴
−det(𝑀𝑀𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑣𝑣𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑. 𝑎𝑎𝑡𝑡𝑣𝑣𝑛𝑛𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑣𝑣) = 2𝐴𝐴
−
𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑦𝑦𝐴𝐴
𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑦𝑦𝐵𝐵
𝑥𝑥𝐶𝐶 𝑦𝑦𝐶𝐶
= 2𝐴𝐴
𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑦𝑦𝐵𝐵 . 𝑥𝑥𝐴𝐴−𝐵𝐵
2
𝑦𝑦𝐵𝐵 + 𝑦𝑦𝐶𝐶 . 𝑥𝑥𝐵𝐵−𝐶𝐶
2
𝑦𝑦𝐴𝐴 + 𝑦𝑦𝐶𝐶 . 𝑥𝑥𝐶𝐶−𝐴𝐴
2
𝐴𝐴+ − =
Transformação da distância horizontal em 
distância UTM
Fonte: Silva e Segantine, 2015, p. 217..
Fonte: Silva e Segantine, 2015, p. 226..
Transformação da distância horizontal em 
distância UTM
𝒌𝒌𝒂𝒂 = 𝒌𝒌𝑼𝑼𝑻𝑻𝑼𝑼. 𝒌𝒌𝒂𝒂𝒄𝒄𝒂𝒂
𝑘𝑘𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 = 𝑘𝑘𝑐𝑐. 1 +
𝐸𝐸𝐸2
2.𝑅𝑅𝑂𝑂2
𝐸𝐸𝐸2 = 𝐸𝐸 − 500.000𝑛𝑛 (𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑀𝑀𝐶𝐶)
𝐸𝐸𝐸2 = 500.000𝑛𝑛 − 𝐸𝐸 (𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑣𝑣𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑀𝑀𝐶𝐶)
𝑅𝑅𝑐𝑐 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑣𝑣𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑇𝑇𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑃𝑃
𝑘𝑘𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎 = 1 − 𝐻𝐻𝑃𝑃
𝑅𝑅𝑐𝑐+𝐻𝐻𝑐𝑐
𝐻𝐻𝑃𝑃 = 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑃𝑃
𝑅𝑅𝑐𝑐 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑣𝑣𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑇𝑇𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑃𝑃
𝒅𝒅𝑼𝑼𝑻𝑻𝑼𝑼 = 𝒅𝒅𝑯𝑯. 𝒌𝒌𝒂𝒂
𝑑𝑑𝐻𝐻 = 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎 𝑓𝑛𝑛𝑎𝑎𝑣𝑣𝐴𝐴𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝
𝑘𝑘𝑎𝑎 = 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝
𝑘𝑘𝑐𝑐 = 0,9996
PONTO E (m) N (m)
P 220.633,662 7.542.850,539
Q 221.937,230 7.542.025,781
NUM. DE VERT.(n)
8
DELTA EQP DELTA NQP AZQP (CALC)
-1.303,568 824,758 302,3212398
DELTA EPQ DELTA NPQ AZPQ (CALC)
1.303,568 -824,758 122,3212398
AZ PQ (MED) ERRO ANGULAR CORR. ANG.
122,3162398 -0,005 0,000625
k alt Ro Ho
0,999885806 6.363.000,00 726,7
kutm kt
1,0005644 1,00045014
QUANT. ANG. MED PRECISÃO DO EQUIP (s") FATOR DE MULT. (k)
9 2 4
TOL. ERRO ANG ('') ERRO ANGULAR ('') VERIFICAÇÃO
24,0 18 OK
ERRO LE ERRO LN ERRO L
0,130 0,012 0,131
PRECISÃO KE KN
41.342 2,40721E-05 2,25017E-06
TOL. ERRO LINEAR VERIFICAÇÃO
50.000,00 ADMISSÍVEL
ESTAÇÃO PONTO VIS. DIR. HOR. MED. ÂNG. HOR. CAL. ÂNG. HOR. COMP. AZIMUTES DIST. HOR. DIST. PLANA UTM DELTA E DELTA N COMP. LINEAR E COMP. LINEAR N DELTA E COMP. DELTA N COMP. COORD. E COORD. N
Q 0,00000
1 300,99750
P 0,00000
2 82,96472
1 0,00000
3 229,48056
2 0,00000
4 98,83667
3 0,00000
5 134,85861
4 0,00000
6 135,50250
5 0,00000
7 88,37000
6 0,00000
P 201,28944
7 0,00000
Q 167,69500
1439,99500 1440,00000 5418,283 5420,722 0,130 0,012 0,000 0,000
219.481,865
220.104,527
220.633,662
7.543.174,879
7.543.641,398
7.544.192,794
7.544.503,813
7.544.249,341
7.543.641,470
7.543.372,834
7.542.850,539
221.279,069
220.967,745
221.123,406
220.444,160
219.764,891
311,019
0,000 0,000 0,000 0,000
-0,016 -0,002 622,662 -268,635
-0,018 -0,002 529,135 -522,295
324,340
-0,014 -0,001 -311,324 466,519
0,000
324,341
466,520
551,397
311,021
-254,470 -0,017 -0,002 -679,269 -254,471
-0,016 -0,002 -283,026 -607,872
-0,014 -0,001 155,661 551,396
-0,018746,71500
670,22100
677,84900
743,16600
725,02700
-0,017 -0,002 645,407-0,002 -679,247
722,336
560,852
572,952
747,051
725,353
670,523
678,154
743,501
204,96555
113,33617
134,62624
-607,870
-268,634
-522,294
122,32124
645,424
-311,310
155,675
-679,229
-679,252
-283,010
622,679
529,153
0,000
63,31936
326,28471
15,76589
294,60318
249,46242
722,01100
560,60000
572,69400
135,50313
88,37063
201,29007
167,69500
300,99750
82,96472
229,48056
300,99813
82,96535
229,48118
98,83729
134,85924
98,83667
134,85861
135,50250
88,37000
201,28944
167,69500P
P
1
2
3
4
5
6
7
	Apoio Topográfico: poligonais
	Apoio topográfico
	Apoio topográfico planimétrico
	Levantamento topográfico
	Levantamento planimétrico
	Rede de pontos de apoio
	Determinação de pontos planimétricos
	Número do slide 8
	Cálculos topométricos: de azimute e de distância
	Cálculos topométricos: ponto lançado (irradiação)
	Cálculos topométricos: transporte de azimute
	Cálculos topométricos: transporte de coordenadas
	Poligonais de apoio: como estão classificadas?
	Poligonais de apoio: como estão classificadas?
	Poligonais de apoio: ângulos horizontais
	Exercício de aplicação
	Erro de fechamento angular
	Erro de fechamento angular
	Cálculo do azimute de PQ medido
	Tolerância erro angular
	Compensação angular
	Cálculo dos azimutes dos alinhamentos
	Projeção das distâncias nas direções X e Y
	Erros de fechamento linear nas direções X e Y
	Número do slide 25
	Compensação do erro de fechamento linear
	Compensação dos erros de fechamento linear nas direções X e Y
	Cálculo das coordenadas dos vértices da poligonal
	Organização dos cálculos topométricos em planilha Excel
	Levantamento por Irradiação
	Cálculo de área
	Cálculo de área
	Transformação da distância horizontal em distância UTM
	Transformação da distância horizontal em distância UTM
	Número do slide 35