Cálculo Diferencial e Integral

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Cálculo Diferencial e Integral 1
Lista 2 - 29/04/2024
NOME: RA:
1. Calcule os limites laterais
(a) lim
x→π−
|x − π|
x − π
(b) lim
x→π+
|x − π|
x − π
(c) lim
x→8−
1
x − 8
(d) lim
x→8+
1
x − 8
(e) lim
x→2+
x2 − 5x + 4
2 − x
( f ) lim
x→2+
√
x − 2.
2. Determine o limite infinito
(a) lim
x→−3+
x + 2
x + 3
(b) lim
x→1
2 − x
(x − 1)2 (c) lim
x→3+
ln(x2 − 9)
(d) lim
x→π−
cotg x (e) lim
x→2π−
x cossec x ( f ) lim
x→2+
x2 − 2x − 8
x2 − 5x + 6
.
3. Calcule os seguintes limies, lembrando-se que lim
x→0
sen x
x
= 1
(a) lim
x→0
sen (x/3)
x
(b) lim
x→0
sen ax
bx
(c) lim
t→0
sen 22t
t2
(d) lim
x→π
2
cos x
x − π
2
(e) lim
t→0
sen 2t
1 − cos t
(f) lim
x→0
x cotg x
(g) lim
x→0
1 − cos ax
bx
(h) lim
x→0
sen 3x
5x
(i) lim
x→0
x sen
2
x
1
(j) lim
x→0
x cos(1/x).
4. Calcule o limite, se existir
(a) lim
h→0
(−5 + h)2 − 25
h
(b) lim
t→1
t4 − 1
t3 − 1
(c) lim
x→−1
x2 + 2x + 1
x4 − 1
(d) lim
t→0
√
1 + t −
√
1 − t
t
(e) lim
h→0
(x + h)3 − x3
h
(f) lim
h→0
1
(x+h)2 − 1
x2
h
.
5. Use o Teorema do Confronto para mostrar que lim
x→0
(x2 cos 20πx) = 0. Ilustre,
fazendo os gráficos das funções f (x) = −x2, g(x) = x2 cos 20πx e h(x) = x2, no
Geogebra.
6. Use o Teorema do Confronto para calcular o seguinte limite:
lim
x→0
(
√
x3 + x2) sen
π
x
.
7. Se 4x − 9 ≤ f (x) ≤ x2 − 4x + 7 para x ≥ 0, encontre lim
x→4
g(x) = 0.
8. Calcule os seguintes limites
a) lim
x→0
x4 cos
2
x
b) lim
x→0+
√
x esen (π/x).
9. Na Teoria da Relatividade, a fórmula da contração de Lorentz
L = L0
√
1 − v2/c2
2
expressa o comprimento L de um objeto como uma função de sua velocidade v em
relação a um observador, onde L0 é o comprimento do objeto em repouso e c é a
velocidade da luz. Encontre lim
v→c−
L e interprete o resultado. Por que é necessário o
limite à esquerda?
10. Se lim
x→1
f (x)− 8
x − 1
= 10, encontre lim
x→1
f (x).
11. Se lim
x→0
f (x)
x2 = 5, encontre os seguintes limites
(a) lim
x→0
f (x), (b) lim
x→0
f (x)
x
.
12. Explique por que a função é descontı́nua no número dado a. Esboce o gráfico
da função com a ajuda do Geogebra
a) a = 0
f (x) =
{
ex se x < 0
x2 se x ≥ 0
b) a = 1
f (x) =

x2 − x
x2 − 1
se x ̸= 1
x2 se x = 1
c) a = 3
f (x) =

2x2 − 5x − 3
x − 3
se x ̸= 3
6 se x = 3.
13. Calcule os limites lim
x→−3+
f (x), lim
x→−3−
f (x) e diga se existe o lim
x→−3
f (x). Diga
também se f é contı́nua no ponto −3.
(a)
f (x) =

1
2 − 3x
se x < −3
3
√
x + 2 se x ≥ −3
(b)
f (x) =

9
x2 se x ≤ −3
3
√
4 + x se x > −3.
3
14. Use a continuidade para calcular os limites
a) lim
x→4
5 +
√
x√
5 + x
b) lim
x→π
sen (x + sen x)
c) lim
x→1
ex2−x
d) lim
x→2
arctg
(
x2 − 4
3x2 − 6x
)
.
15. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da
equação dada no intervalo especificado.
a) x4 + x − 3 = 0, (1, 2)
b) 3
√
x = 1 − x, (0, 1)
c) ex = 3 − 2x, (0, 1)
d) sen x = x2 − x, (1, 2).
16. Encontre as assı́ntotaas horizontais e verticais de cada curva. Após resolver
desenhe o gráfico no Geogebra para comparar com sua resposta
a) y =
2x + 1
x − 2
b) y =
x2 + 1
2x2 − 3x − 2
c) y =
2x2 + x − 1
x2 + x − 2
d) y =
1 + x4
x2 − x4
e) y =
2ex
ex − 5
.
BOM TRABALHO!!!
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