Fundamentos de Estruturas - Philip Garrison

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Albano, J.F. – Vias de transporte
Allen, E.; Iano, J. – Fundamentos da engenharia de edificações:
materiais e métodos, 5.ed.
Beer, F.P. et al. – Estática e mecânica dos materiais
Beer, F.P. et al. – Mecânica dos materiais, 7.ed.
Cocian, L.F.E. – Introdução à engenharia
Dym, C.L. et al. – Introdução à engenharia: uma abordagem
baseada em projeto, 3.ed.
Leet, K.M.; Uang, C.; Gilbert, A.M. – Fundamentos da análise
estrutural, 3.ed.
Najafi, M. – Tecnologia não destrutiva: planejamento,
equipamentos e métodos
Nash, W.A.; Potter, M.C. – Resistência dos materiais, 5.ed.
Neville, A.M. – Propriedades do concreto, 5.ed.
Neville, A.M.; Brooks, J.J. – Tecnologia do concreto, 2.ed.
Peurifoy, R.L. et al. – Planejamento, equipamentos e métodos
para construção civil, 8.ed.
O projeto estrutural é parte fundamental de qualquer projeto
mecânico ou de construção civil, seja de uma máquina, de um
edifício ou de uma ponte. O cálculo estrutural envolve conceitos
físicos e formulações matemáticas para definição da geometria
e a análise da estabilidade e da resistência de uma estrutura.
Fundamentos de Estruturas traz os conceitos essenciais da
matéria em linguagem simples, clara, objetiva e ilustrativa para
facilitar sua compreensão e sua aplicação.
O leitor encontrará neste texto:
conceitos estruturais explicados com o uso de analogias e
de exemplos;
conceitos matemáticos expressos com clareza e no contexto
dos conceitos físicos envolvidos;
exemplos e casos do mundo real para enfatizar a relevância do
conteúdo apresentado.
Leitura indicada para as disciplinas de Estruturas, Estruturas
de Concreto e Alvenaria, Estruturas de Madeira, Estruturas
Metálicas, Resistência dos Materiais, Estabilidade, Análise de
Estruturas e afins ministradas nos cursos de engenharia civil,
arquitetura, construção civile engenharia mecânica.
Este livro contém apresentações em PowerPoint com
todas as fotografias do livro a cores. Também está dis-
ponível a solução (em inglês) de alguns dos problemas
propostos. Os interessados nestes materiais podem
acessar o , buscar pela página dosite loja.grupoa.com.br
livro e clicar no ícone Conteúdo Online.
D:\Trabalho\Bookman\03173 - GARRISON - Fundamentos de Estrutura - 3ed\Arquivo aberto\03173 - GARRISON_Fundamentos_Estruturas_3ed 20-06.cdr
quinta-feira, 12 de julho de 2018 16:14:26
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G242f Garrison, Philip.
 Fundamentos de estruturas [recurso eletrônico] / Philip 
 Garrison; tradução: Ronald Saraiva de Menezes; revisão 
 técnica: Luttgardes de Oliveira Neto. – 3. ed. – Porto Alegre: 
 Bookman, 2018.
 Editado como livro impresso em 2018.
 ISBN 978-85-8260-481-6
 1. Engenharia civil. I. Título.
CDU 624.01
Catalogação na publicação: Karin Lorien Menoncin – CRB 10/2147
Philip Garrison BSc, MBA, CEng, MICE, MIStructE, MCIHT, é engenheiro 
civil e estrutural credenciado e professor sênior de Design Estrutural do 
Departamento de Engenharia Civil da Leeds Beckett University.
2018
Tradução
Ronald Saraiva de Menezes
Revisão técnica
Luttgardes de Oliveira Neto
Doutor em Engenharia de Estruturas pela EESC/USP
Professor do Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Unesp
Versão impressa 
desta obra: 2018
Obra originalmente publicada sob o título Basic Structures, 3rd Edition
ISBN 9781118950876 / 1118950879
All Rights Reserved. Authorised translation from the English language edition published by John Wiley & 
Sons Limited. 
Responsibility for the accuracy of the translation rests solely with Bookman Companhia Editora Ltda and 
is not the responsbility of John Wiley & Sons Limited. 
No part of this book may be reproduced in any form without the permission of the original copyright 
holder, John Wiley & Sons Ltd.
Copyright © 2016, John Wiley & Sons Limited.
Gerente editorial: Arysinha Jacques Affonso
Colaboraram nesta edição:
Capa: Márcio Monticelli
Imagem da capa: ©shutterstock.com/evenfh, One World Trade Center, New York
Editora: Denise Weber Nowaczyk
Editoração: Clic Editoração Eletrônica Ltda.
Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à
BOOKMAN EDITORA LTDA., uma empresa do GRUPO A EDUCAÇÃO S.A.
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90040-340 Porto Alegre RS
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A meu pai e minha falecida mãe, Fred & Jean Garrison
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Agradecimentos
Escrever um livro é, em grande parte, um esforço individual e bastante solitário. Cada fotografia 
neste livro foi feita por mim, cada diagrama foi desenhado por mim e cada palavra no texto foi 
escrita por mim. Porém, muitas foram as pessoas que me ajudaram no caminho, incluindo cole-
gas e familiares passados e presentes. Meus agradecimentos vão especialmente a:
• Katie Bartozzi, Amanda Brown, Andrew Brown, Simon Garrison, Pete Gordon, Paul Hirst 
e o falecido Phil Yates.
• Julia Burden e Paul Sayer, da Blackwell Publishing.
• Minha esposa Jenny – minha maior fã e minha crítica mais carinhosa.
• Nick Crinson, cujo conhecimento enciclopédico sobre o metrô de Londres inspirou a ana-
logia apresentada no Capítulo 7, e sua esposa Maxine, que atraiu minha atenção para uma 
discussão sobre tipos de pontes em uma famosa obra de ficção!
• Colegas Matt Peat e Dave Roberts, que leram com diligência a primeira edição deste livro e 
apontaram diversos erros que eu e os revisores deixamos passar despercebidos.
• Brian Walker, que com paciência e ótimo humor ensinou matemática a mim e a meus colegas 
adolescentes na Aberdeen Grammar School nos idos dos anos 70. (Se você algum dia ler isso, 
Brian, entre em contato comigo. O Capítulo 27 é responsabilidade sua.)
• E Jim Adams, pois sem sua inspiração sequer haveria um livro.
E, papagueando aquele clichê banalizado por todos os autores a esta altura, meus agradeci-
mentos vão para todos os outros que deixei de mencionar, mas sem os quais etc., etc. – eles sabem 
quem são!
Por último na lista, mas não em importância, agradeço a você, leitor. Sei muito bem que 
livros-texto são caros e que o orçamento dos estudantes é esticado até o limite, por isso lhe agra-
deço pela fé depositada em mim, e estou seguro de que não sairá decepcionado.
E obrigado àqueles que compraram as edições anteriores do livro. Nos 11 anos desde sua 
publicação original, recebi incontáveis emails de leitores de todas as partes do mundo. Sempre é 
gratificante saber que pude ajudar um completo desconhecido que provavelmente nunca chega-
rei a conhecer. Continuem enviando!
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Sumário
 Introdução xi
 1 O que é engenharia de estruturas? 1
 2 Aprenda os termos empregados por engenheiros de estruturas 8
 3 Como as estruturas (e partes de estruturas) se comportam? 11
 4 Força, massa e peso 26
 5 Cargas – vivas ou mortas 32
 6 Equilíbrio – uma abordagem balanceada 38
 7 Mais sobre forças: resultantes e componentes 43
 8 Momentos 54
 9 Reações 67
 10 Diferentes tipos de apoio – e o que é uma rótula? 73
 11 Algumas palavras sobre estabilidade 81
 12 Introdução à análise de reticulados com nós articulados 93
 13 Método de resolução nos nós 98
 14 Método das seções 119
 15 Método gráfico 127
 16 Esforço cortante e momentos fletores 137
 17 Essa coisa chamada tensão 168
 18 Tensão direta (e de cisalhamento) 173
 19 Tensão por flexão 184
 20 Tensões axial e por flexão combinadas 205
 21 Materiais estruturais: concreto, aço, madeira e alvenaria 218
 22 Um pouco mais sobre materiais 229
 23 Até onde vai o meu vão? 235
 24 Calculando essas cargas 24225 Uma introdução à engenharia de estruturas 252
x Sumário
 26 Mais a respeito de tipos e formas estruturais 291
 27 Uma introdução à deflexão 310
 28 Tensão de cisalhamento 324
 29 Flambagem e torção 333
 30 Reticulados e arcos de três rótulas 344
 31 Trabalho Virtual 356
 32 Quadrados e círculos de tensão: uma introdução ao círculo de Mohr 363
 33 Treliças (sem números) 380
 34 Análise plástica 388
 Leituras complementares 402
 Apêndice 1: Pesos de materiais comuns de construção 403
 Apêndice 2: Conversões e relações entre unidades 405
 Apêndice 3: Matemática associada a triângulos retângulos 407
 Apêndice 4: Símbolos 409
 Apêndice 5: Checklist para arquitetos 410
 Apêndice 6: Aproveitando ainda mais da engenharia civil 411
Introdução
Quando eu tinha 16 anos, trabalhava aos sábados como repositor de gôndolas em um super-
mercado local. Um dia, durante uma pausa para o lanche, um colega de trabalho me perguntou 
o que eu fazia no resto da semana. Expliquei que tinha terminado o ensino médio e que estava 
estudando para obter o certificado mais avançado (o chamado A levels). Contei sobre as discipli-
nas e as notas necessárias. Ele então me perguntou sobre minhas aspirações profissionais (não 
nesses termos). Respondi que queria ser engenheiro. Ele ficou perplexo e disse: “O quê?! Com 
todas essas qualificações?”.
Engenheiros sofrem de uma falta de reconhecimento público quanto ao que sua profissão 
envolve – muita gente acha que passamos os dias nos subúrbios, consertando máquinas de lavar 
e televisões. Os arquitetos são mais sortudos neste quesito – o público têm um entendimento 
melhor de sua profissão: “Eles constroem prédios, não é isso?”.
Deixando de lado a percepção pública, carreiras na engenharia civil e na arquitetura podem 
ser extremamente gratificantes. Há poucas outras carreiras em que os indivíduos podem ser ver-
dadeiramente criativos, muitas vezes em grande escala. A profissão de engenheiro civil oferece 
uma variedade de ambientes de trabalho e um vasto leque de especializações. Engenheiros civis 
têm oportunidades de trabalhar por todo o mundo, em projetos de pequeno e de grande porte, e 
podem entrar em contato com uma ampla variedade de pessoas, desde o trabalhador mais subal-
terno numa obra até autoridades oficiais e chefes de estado.
No século XXI, há uma enorme demanda por engenheiros civis, e muitos jovens (e não tão 
jovens assim!) estão percebendo que esta é uma profissão em que vale a pena ingressar.
Tradicionalmente, alunos que optavam por cursos universitários de engenharia civil costu-
mavam ter certificados de A levels em disciplinas como matemática, física e química. No entan-
to, por diversas razões, muitos dos atuais estudantes em potencial possuem A levels (ou simi-
lar) em disciplinas não numéricas e não científicas. Ademais, uma quantidade considerável de 
pessoas “maduras” está ingressando na profissão já tendo uma carreira em algo completamente 
diferente. Na condição de tutor de admissões universitárias, converso com pessoas assim todos 
os dias. É possível, dependendo da especialidade por fim escolhida, desfrutar de uma carreira 
bem-sucedida em engenharia civil sem um profundo conhecimento matemático. Contudo, é ex-
tremamente difícil obter um diploma em engenharia civil sem alguma proficiência matemática.
E quanto aos arquitetos – essas são as pessoas criativas! Cada prédio que eles projetam tem 
uma estrutura, sem a qual o prédio não ficaria em pé. Arquitetos, assim como engenheiros civis, 
precisam compreender os mecanismos que levam a estruturas bem-sucedidas.
Este livro é sobre Estruturas. Estruturas é um tema estudado em cursos de formação em en-
genharia civil, assim como faz parte de cursos de arquitetura e áreas relacionadas (por exemplo, 
fiscalização de obras e gestão de construção).
O objetivo deste livro
Leciono estruturas para alunos de graduação em engenharia civil e arquitetura desde 1992. Du-
rante esse período, percebi que muitos estudantes têm dificuldades em entender e aplicar con-
ceitos básicos de estruturas.
xii Introdução
Os objetivos deste livro são:
• explicar os conceitos estruturais com clareza, usando analogias e exemplos para ilustrar 
cada ponto importante;
• expressar os aspectos matemáticos de uma maneira objetiva, para que possam ser entendi-
dos por estudantes com dificuldade em matemática, e de maneira contextualizada com os 
conceitos físicos envolvidos;
• manter o interesse do leitor mediante a incorporação de exemplos e casos do mundo real ao 
longo do texto, destacando a relevância do material que o estudante está aprendendo.
Este livro não presume qualquer conhecimento prévio de estruturas por parte do leitor. Mas 
presume, sim, que o leitor tenha conhecimento e capacidade matemática compatível com todo o 
material de ensino médio.
Público-alvo
Este livro é voltado para:
• Estudantes do curso de engenharia civil (ou similar), que estudarão as disciplinas de estru-
turas, mecânica estrutural, mecânica ou análise mecânica
• Estudantes do curso de arquitetura
Os seguintes leitores também encontrarão utilidade neste livro:
• estudantes em cursos relacionados a engenharia civil e arquitetura – como quantity sur-
veying, fiscalização de obras (building surveying), gestão de construção ou tecnologia ar-
quitetural – que precisam cursar uma disciplina de estruturas como parte de seus estudos;
• estudantes de curso técnico ou similar afim;
• pessoas que trabalham no setor de construção em qualquer função.
Os seguintes leitores considerarão este livro uma ferramenta útil de revisão:
• um estudante do segundo ano (ou subsequente) em um curso universitário de engenharia 
civil ou arquitetura;
• um profissional que atua no setor de engenharia civil ou construção e arquitetos atuantes.
Uma palavra sobre computadores
Existem programas de computador disponíveis para todas as especialidades, e a engenharia es-
trutural não é exceção. Certamente, alguns dos problemas neste livro podem ser resolvidos mais 
depressa usando tais programas. No entanto, não chego a mencionar programas de computador 
específicos neste livro, e quando por acaso menciono computadores, é em termos gerais. Há dois 
motivos para isso:
1. O propósito deste livro é familiarizar o leitor aos princípios básicos de estruturas. Ainda que 
um computador seja uma ferramenta útil para resolver problemas específicos, não é substi-
tuto para uma formação rigorosa nos fundamentos do tema.
2. Programas de computador são aprimorados e atualizados a toda hora. O pacote mais po-
pular e mais atualizado para engenharia estrutural enquanto escrevo estas palavras pode 
acabar datado (na melhor das hipóteses) ou obsoleto (na pior) quando você estiver lendo isto. 
Se você está interessado nos programas mais recentes, procure revistas especializadas em 
Introdução xiii
tecnologia ou artigos e anúncios nas publicações de engenharia civil, de engenharia estrutu-
ral e de arquitetura, ou, se você é estudante, consulte seus professores.
Às vezes organizo os temas envolvendo problemas estruturais solicitando que meus alunos 
primeiro os resolvam à mão e que depois confiram seus resultados analisando o mesmo pro-
blema com um programa de computador apropriado. Quando as respostas obtidas pelas duas 
abordagens diferem entre si, sempre é instrutivo descobrir se o erro está nos cálculos feitos à mão 
pelo aluno (o que se confirma na maioria dos casos) ou na análise por computador (o que ocorre 
com menos frequência, mas de fato acontece quando o estudante alimenta dados incorretos ou 
incompletos – o velho “entra lixo, sai lixo”!).
Material complementar
Você encontrará as imagens do livro a cores e a solução (em inglês) de alguns dos problemas 
propostos no site da Bookman Editora. Para acessar este material, basta ir até o site loja.grupoa.
com.br, buscar pelo livro e clicar em Conteúdo Online.
Uma visão geral deste livro
Se você é aluno de uma disciplina chamada estruturas, mecânica estrutural ou similar, os títulosdos capítulos acabarão se encaixando – mais ou menos – com os tópicos de aula apresentados 
por seu professor. Sugiro que você leia cada capítulo deste livro logo após ter assistido ao mó-
dulo correspondente em aula, a fim de reforçar seu conhecimento e suas habilidades no tópico 
envolvido. Aconselho todos os leitores a manterem à mão um lápis e uma caneta para fazerem 
anotações à medida que forem avançando no texto – sobretudo nos exemplos numéricos. Segun-
do minha própria experiência, isso aumenta muito a compreensão.
• Os Capítulos de 1–5 introduzem os conceitos, os termos e a linguagem fundamentais de 
estruturas.
• Os Capítulos de 6–10 partem dos conceitos fundamentais e mostram como eles podem ser 
usados, matematicamente, para solucionar problemas estruturais simples.
• O Capítulo 11 lida com o importantíssimo conceito da estabilidade e discute como assegurar 
que as estruturas sejam estáveis – e como reconhecer quando não são!
• Os Capítulos de 12–15 tratam a análise de reticulados com nós articulados, um tópico em 
que alguns estudantes encontram dificuldade.
• O Capítulo 16 aborda diagramas de força de cisalhamento e momento fletor – um tópico de 
extrema importância.
• Os Capítulos de 17–20 tratam da tensão em suas várias facetas.
• Materiais estruturais são abordados com mais profundidade em outros livros, mas o Capítu-
lo 21 traz uma introdução a este tópico.
• O Capítulo 22 tem mais a dizer sobre materiais, com uma palavra a respeito de padrões de 
projeto.
• Os Capítulos 23 e 24 lidam, respectivamente, com o projeto conceitual de estruturas e com 
o cálculo de cargas.
• O Capítulo 25 representa uma introdução descritiva ao projeto estrutural, que deve ser lida 
antes de se embarcar em um módulo sobre projeto estrutural.
• O Capítulo 26 examina tipos mais incomuns de estruturas.
• O Capítulo 27 aborda a deflexão e apresenta um método pelo qual as deflexões podem ser 
calculadas.
https://loja.grupoa.com.br/
https://loja.grupoa.com.br/
xiv Introdução
• Os Capítulos de 28–34 introduzem diversos tópicos mais intrincados que os estudantes en-
contrarão no segundo ou terceiro ano de um curso de engenharia civil.
Como usar este livro
Não é necessário ler este livro do início ao fim. Contudo, o livro foi estruturado de modo a acom-
panhar a mesma ordem que costuma ser adotada pelos professores que lecionam estruturas nos 
cursos superiores de engenharia civil. Se você é um estudante de um curso como esse, sugiro que 
leia o livro em estágios paralelos aos das suas aulas.
• Todos os leitores devem ler os Capítulos 1–5, já que estabelecem os fundamentos do tema.
• Estudantes de engenharia civil devem ler todos os capítulos deste livro, com a possível exce-
ção dos Capítulos 14 e 15, se esses tópicos não forem lecionados em seus cursos.
• Alunos de arquitetura devem se concentrar nos Capítulos 1–9, 21–24 e 26, mas também ler 
outros capítulos específicos recomendados por seu professor.
• Se você está estudando engenharia civil e deseja saber como obter mais da profissão ainda 
como aluno, consulte o Apêndice 6 para encontrar inspiração.
Para que complicar se é possível simplificar
James Dyson, o inventor do aspirador de ciclone duplo que leva seu nome, analisa um de seus 
projetos – o cilindro de plástico transparente no qual o lixo é coletado – em sua autobiografia:
Um jornalista que veio me entrevistar certa vez me perguntou: “A área onde a sujeira é co-
letada é transparente, exibindo todos os detritos para o lado de fora, invertendo o design 
clássico ao avesso. Trata-se de um aceno pós-modernista ao estilo arquitetônico capitaneado 
por Richard Rodgers no Centro Pompidou, onde as tubulações de ar condicionado e as es-
cadas rolantes, as próprias entranhas, são transformadas em componentes autorreferenciais 
de design?”
“Não”, respondi. “É para que a gente possa ver quando está cheio.”
 (De Against the Odds, de James Dyson e Giles Coren (Texere 2001))
É meu objetivo manter este livro o mais simples, direto e livre de jargão quanto possível.
1
O que é engenharia de estruturas?
Introdução
Neste capítulo, discutiremos o que, de fato, é uma estrutura. O profissional que lida com 
estruturas é o Engenheiro de Estruturas. Analisaremos o papel do Engenheiro de Estrutu-
ras no contexto de outros profissionais no ramo da construção. Também examinaremos as 
exigências estruturais de uma edificação e revisaremos as várias partes de uma estrutura e o 
modo como se inter-relacionam. Por fim, você receberá algumas orientações de como usar 
este livro dependendo do curso que você está fazendo ou da natureza de seu interesse em 
estruturas.
Estruturas no contexto da vida cotidiana
Há um novo movimento evidente nas grandes cidades britânicas. Estruturas industriais da era vi-
toriana estão sendo transformadas em apartamentos de luxo. Shopping centers antigos e ultrapassa-
dos dos anos 60 estão sendo derrubados e estão surgindo substitutos atraentes e contemporâneos. 
Conjuntos habitacionais construídos há mais de 40 anos estão sendo demolidos e substituídos por 
habitações sociais mais adequadas. Deslocamentos sociais estão ocorrendo: jovens profissionais es-
tão começando a morar nos centros das cidades e novos serviços, como cafeterias, bares e restau-
rantes, estão surgindo para atendê-los. Todos esses novos aproveitamentos exigem novos edifícios 
ou a reforma de edifícios antigos. Todo edifício precisa ter uma estrutura. Em alguns desses novos 
edifícios, a estrutura será externa (ou estará exposta) – em outras palavras, o esqueleto estrutural 
do edifício estará visível para os passantes. Em muitos outros, a estrutura estará oculta. Mas, quer 
possa ser vista ou não, a estrutura é uma parte essencial de qualquer edifício. Sem ela, não haveria 
edifício.
O que é uma estrutura?
A estrutura de uma edificação (ou de outro objeto) é responsável por manter intacta a forma da 
edificação sob a influência das forças, das cargas e de outros fatores ambientais aos quais ela está 
sujeita. É importante que a estrutura como um todo (ou qualquer parte dela) não desmorone, 
rompa ou se deforme até um grau inaceitável quando sujeita a tais forças ou cargas.
O estudo de estruturas envolve a análise das forças e tensões que ocorrem em uma estrutura 
e o projeto de componentes adequados para suportar tais forças e tensões.
Como analogia, considere o corpo humano, que compreende um esqueleto de 206 ossos. 
Se qualquer dos ossos do seu corpo se quebrasse, ou se qualquer das juntas entre esses ossos se 
deslocasse ou travasse, seu corpo lesionado “falharia” estruturalmente (e causaria bastante dor).
Exemplos de componentes estruturais (ou “elementos”, como são chamados pelos engenhei-
ros estruturais) incluem os seguintes:
• vigas de aço, pilares, tesouras de telhado e pórticos espaciais
• vigas de concreto armado, pilares (ou colunas), lajes, paredes de contenção e fundações
2 Fundamentos de Estruturas
• vigotas de madeira, pilares, vigas de madeira laminada colada e tesouras de telhado
• paredes e pilares de alvenaria
Para um exemplo de uma coleção densamente agrupada de estruturas, veja a Figura 1.1.
O que é um engenheiro?
Conforme mencionado na introdução, o público em geral não conhece exatamente o trabalho 
de um engenheiro. “Engenheiro” não é a palavra correta para a pessoa que vai consertar sua 
máquina de lavar ou a máquina de xerox do escritório. Na verdade, a palavra engenheiro vem do 
francês ingénieur, que se refere a alguém que usa sua engenhosidade para solucionar problemas. 
Um engenheiro, portanto, é um solucionador de problemas.
Quando compramos um produto – como um abridor de garrafa, uma bicicleta ou um pão 
– estamos na verdade comprando a solução de um problema. Você compraria um carro, por 
exemplo, não porque deseja ter uma tonelada de metal estacionada na frente da sua casa, mas por 
causa do serviço que ele é capaz de lhe prestar: um carro soluciona um problema de transporte. 
Há muitos outros exemplos:
• Uma lata de ervilhas resolve um problemade fome.
• Um andaime resolve um problema de alcance.
• Um lustra-móveis resolve um problema de limpeza.
• Uma casa ou um apartamento resolve um problema de acomodação.
• Uma universidade resolve um problema de educação.
Um engenheiro de estruturas resolve o problema de garantir que uma edificação – ou outra es-
trutura – seja adequada (em termos de resistência, estabilidade, custo, etc.) para o uso a que será 
destinada. Aprofundaremos este assunto mais adiante neste capítulo. Um engenheiro de estru-
turas não costuma trabalhar sozinho; ele é parte de uma equipe de profissionais, como veremos.
Figura 1.1 Skyline do sul de Manhattan, Nova York.
Essa é uma das maiores concentrações de arranha-céus do mundo: limitações de espaço na 
ilha de Manhattan fizeram com que a construção de edifícios se expandisse para o alto, em vez 
de para os lados, e a presença de rochas sólidas viabilizaram as fundações para essas altíssi-
mas estruturas.
Capítulo 1 • O que é engenharia de estruturas? 3
O engenheiro de estruturas no contexto de profissões
Se eu lhe perguntasse sobre os profissionais envolvidos no projeto de edificações, na sua lista 
provavelmente constaria os seguintes:
• arquiteto
• engenheiro de estruturas
• supervisor de orçamentos (quantity surveyor)
Obviamente, esta não é uma lista exaustiva. Há muitos outros profissionais envolvidos no pro-
jeto de edificações (como os fiscais de obras e os gerentes de projeto) e muitos outros ofícios e 
profissões envolvidos na construção de edificações em si, mas, para simplificar, vamos ater nossa 
discussão aos três listados.
O arquiteto é responsável pelo projeto de uma edificação no que diz respeito sobretudo à 
sua aparência e a qualidades ambientais, como níveis de iluminação e isolamento acústico. Seu 
ponto de partida é o desejo/a necessidade do cliente. (O cliente geralmente é a pessoa ou a orga-
nização que está pagando pela realização da obra.)
O engenheiro de estruturas é responsável por assegurar que a edificação seja capaz de su-
portar com segurança todas as forças às quais pode estar sujeita e que não irá se deformar nem 
fissurar indevidamente com o uso.
No Reino Unido e em muitas outras localidades, o quantity surveyor (supervisor de orça-
mentos) é responsável por estimar medições e preços da obra a ser realizada – e por fazer um 
acompanhamento dos custos conforme os trabalhos avançam.
Assim, em resumo:
1. O arquiteto assegura que a edificação tenha boa aparência.
2. O engenheiro (de estruturas) assegura que ela se sustente.
3. O supervisor de orçamentos assegura que sua construção seja econômica.
Essas são definições bastante simplistas, é claro, mas bastarão para nossos propósitos.
Acontece que eu não sou arquiteto e não sou supervisor de orçamentos. (Meu pai é supervi-
sor de orçamentos, mas não é ele quem está escrevendo este livro.) Contudo, sou um engenheiro 
de estruturas e este livro é sobre engenharia de estruturas. Então, no restante deste capítulo, 
iremos explorar o papel do engenheiro de estruturas de forma mais detalhada.
Compreensão estrutural
A função básica de uma estrutura é transmitir forças do ponto onde a carga é aplicada até o 
ponto de apoio e, consequentemente, até as fundações no solo. (Examinaremos o significado da 
palavra “carga” em maior profundidade no Capítulo 5, mas, por enquanto, considere carga como 
qualquer força que esteja agindo externamente em uma estrutura.)
Toda estrutura precisa satisfazer aos seguintes critérios:
1. Estética – precisa ter um bom visual.
2. Economia – não deve custar mais do que o cliente possa pagar; se possível, menos que isso.
3. Facilidade de manutenção.
4. Durabilidade – isso significa que os materiais utilizados devem ser resistentes a corrosão, 
esboroamento (pedaços caindo fora), ataque químico, apodrecimento e ataque de insetos.
5. Resistência a incêndios – embora poucos materiais sejam capazes de resistir por completo 
aos efeitos do fogo, é importante que uma edificação resista a incêndios por tempo suficiente 
para que seus ocupantes sejam evacuados em segurança.
4 Fundamentos de Estruturas
A fim de garantir que uma estrutura se comporte dessa maneira, precisamos desenvolver uma 
compreensão e uma conscientização de como a estrutura funciona.
Segurança e funcionalidade
São duas as principais exigências de qualquer estrutura: deve ser segura e deve ser funcional. 
“Segura” significa que a estrutura não deve colapsar – seja em parte ou no todo. “Funcional” 
significa que a estrutura não deve se deformar indevidamente sob os efeitos de deflexões, fissu-
rações ou vibrações. Vamos discutir esses pontos detalhadamente.
Segurança
Uma estrutura precisa sustentar as cargas esperadas sem colapsar – seja como um todo ou ape-
nas em parte. A segurança neste aspecto depende de dois fatores:
1. O carregamento que a estrutura deve sustentar foi corretamente estimado.
2. A resistência dos materiais que são utilizados na estrutura não se deteriorou.
A partir disso, fica evidente que precisamos saber como determinar a carga sobre qualquer parte 
de uma estrutura. Aprenderemos a fazer isso mais adiante no livro. Ademais, sabemos que os 
materiais se deterioram com o passar do tempo se não receberem a manutenção apropriada: o 
aço pode sofrer corrosão, o concreto pode esboroar ou sofrer carbonatação e a madeira pode 
apodrecer. O engenheiro de estruturas deve levar tudo isso em consideração ao projetar qual-
quer edificação.
Funcionalidade
Uma estrutura deve ser projetada de modo a não sofrer deflexões e fissuras indevidas com o 
uso. É difícil ou mesmo impossível eliminar por completo essas coisas – o importante é que a 
deflexão e as fissuras sejam mantidas dentro de certos limites. É preciso assegurar também que 
a vibração não exerça um efeito adverso sobre a estrutura – isso é especialmente importante em 
partes de edifícios que contenham fábricas ou maquinário.
Se, ao caminhar sobre o piso de um edifício, você sentir que o piso deforma ou “cede” sob seu 
peso, isso pode deixá-lo preocupado com a integridade da estrutura. Deflexão excessiva não sig-
nifica necessariamente que o piso está prestes a desmoronar, mas, como pode deixar as pessoas 
inseguras, a deflexão precisa ser “controlada” – em outras palavras, deve ser mantida dentro de 
certos limites. Para dar outro exemplo, se o lintel sobre o vão de uma porta deflete demais, isso 
pode causar um abaulamento do marco logo abaixo, impedindo a abertura e o fechamento da 
porta.
As fissuras são feias e podem ou não ser indicativas de um problema estrutural. Mas elas 
podem, por si só, causar problemas. Caso ocorra, por exemplo, uma fissura na face externa de 
uma parede de concreto armado, a chuva pode penetrar e causar a corrosão da armadura dentro 
do concreto, o que, por sua vez, levará ao esboroamento do concreto.
A composição da estrutura de um edifício
A estrutura de um edifício contém vários elementos, e a responsabilidade sobre a adequação de 
cada um deles cabe ao engenheiro de estruturas. Nesta seção, examinaremos brevemente suas 
respectivas formas e funções. Esses elementos serão analisados de forma mais aprofundada no 
Capítulo 3.
Capítulo 1 • O que é engenharia de estruturas? 5
O telhado de um edifício protege as pessoas e os equipamentos das intempéries. Um exemplo 
de uma estrutura de telhado é exibido na Figura 1.2.
Se você planeja comprar uma casa no Reino Unido que tenha telhado plano, pense bem. Alguns sis-
temas utilizados para impermeabilização de telhados planos se deterioram com o tempo, levando a 
vazamentos e a reformas potencialmente caras. O mesmo alerta vale para construções anexas que em-
pregam telhados planos, como varandas e extensões.
As paredes podem ter inúmeras funções. A mais óbvia delas é a de sustentação de carga – 
em outras palavras, a sustentação de qualquer parede, piso ou telhado sobre ela. Mas nem todas 
as paredes sustentam cargas. Dentre as outras funções de uma parede estão:
• divisão de recintos dentro de um edifício – definindo assim seuformato e extensão
• impermeabilização
• isolamento térmico – manter o calor dentro (ou fora)
• isolamento acústico – manter o barulho fora (ou dentro)
• resistência a fogo
• segurança e privacidade
• resistência lateral (horizontal) a cargas exercidas por solo, vento ou água retidos
Preste atenção na parede mais perto de você enquanto lê estas palavras. É provável que ela esteja 
sustentando uma carga? Quais outras funções essa parede cumpre?
Um piso proporciona apoio para os ocupantes, móveis e equipamentos em uma edificação. Os 
pisos em andares superiores de uma edificação são sempre suspensos, o que significa que se esten-
dem sobre paredes ou vigas de sustentação. Lajes térreas podem se assentar diretamente sobre o solo.
Escadarias possibilitam deslocamento vertical entre diferentes andares de uma edificação. 
A Figura 1.3 mostra uma escadaria de concreto em um edifício de vários andares. Fugindo ao 
comum, a escadaria fica totalmente visível do lado de fora do edifício. Como essa escadaria é 
sustentada estruturalmente?
Figura 1.2 Estrutura do telhado do centro comercial Quartier 206, em Berlim.
Uma estrutura de telhado bastante “musculosa”!
6 Fundamentos de Estruturas
Fundações representam a interface entre a estrutura da edificação e o solo debaixo dela. 
Uma fundação transmite todas as cargas de uma edificação para o solo, o qual limita o grau de 
assentamento (sobretudo assentamento desigual) de uma edificação. Por isso, solos com falhas 
em sua composição são evitados ou desconsiderados.
Numa pequena ilha arenosa no Caribe, um hotel de poucos andares estava sendo construído como par-
te de um resort maior. O empreiteiro do hotel (um indivíduo um tanto excêntrico) achou que poderia 
economizar dinheiro construindo sem fundações. Ele bem que poderia ter levado a cabo a ideia, não 
fosse por um engenheiro supervisor que percebeu que as paredes levantadas não pareciam estar assen-
tadas sobre nada mais rígido do que areia.
Uma discussão acalorada se seguiu entre a equipe responsável pelo projeto e o empreiteiro, o qual 
não apenas admitiu de pronto que nenhuma fundação fora preparada como também afirmou que, em 
sua opinião, aquilo realmente não era necessário. Em um país desenvolvido, o empreiteiro teria sido 
demitido no ato e provavelmente seria processado, mas as coisas eram um pouco mais livres e leves 
neste canto do Caribe.
Porém, a natureza impôs sua própria retaliação. Naquela noite, uma tempestade tropical se abateu, 
o mar inundou a ilha… e a estrutura parcialmente construída foi todinha levada pelas águas.
Em edificações, geralmente é necessário sustentar pisos ou paredes sem qualquer interrup-
ção ou divisão do espaço abaixo. Nesse caso, é usado um elemento horizontal chamado de viga. 
Uma viga transmite as cargas que suporta para pilares ou paredes em suas extremidades.
Figura 1.3 Uma escadaria bastante visível. Como ela é sustentada?
Mais adiante no livro, você aprenderá sobre balanços.
Capítulo 1 • O que é engenharia de estruturas? 7
Um pilar é um elemento vertical de sustentação de carga que geralmente suporta vigas e/ou 
outros pilares. Leigos costumam chamá-las de colunas ou postes. Elementos individuais de uma 
estrutura, como vigas e pilares, muitas vezes são chamados de elementos.
A Figura 1.4 mostra uma combinação incomum de duas estruturas separadas.
Algumas palavras para os estudantes em cursos de arquitetura
Se você está estudando arquitetura, talvez esteja se perguntando por que precisa estudar estru-
turas. O objetivo deste livro não é transformá-lo num engenheiro estrutural totalmente quali-
ficado, mas, como arquiteto, é importante que você entenda os princípios do comportamento 
estrutural. Além do mais, com algum treinamento básico, não há motivo pelo qual os arquitetos 
não possam projetar elementos estruturais simples (como vigotas de madeira para sustentar pi-
sos) por conta própria. Em projetos de maior porte, arquitetos trabalham em equipes multidis-
ciplinares que costumam incluir engenheiros estruturais. Portanto, é importante compreender 
a função do engenheiro estrutural assim como a linguagem os termos empregados por esses 
profissionais.
Como o estudo de estruturas afeta a formação de um arquiteto?
Caso você esteja em um curso de graduação em arquitetura, terá aulas sobre estruturas ao longo 
do curso. Também terá de fazer trabalhos acadêmicos envolvendo o projeto arquitetônico de edi-
ficações para satisfazer certos requisitos. É essencial perceber que todas as partes da edificação 
precisam ser sustentadas. Sempre faça a si mesmo a pergunta: “Como minha edificação vai parar 
em pé?”. Lembre-se: se sua maquete de um edifício tiver dificuldade de parar em pé, é muito 
improvável que a versão real consiga parar!
Figura 1.4 Um edifício convencional envolvido por uma estrutura externa envidraçada.
As duas estruturas parecem ser completamente independentes uma da outra.
2
Aprenda os termos empregados 
por engenheiros de estruturas
Introdução
Engenheiros estruturais utilizam as seguintes palavras (dentre outras, é claro) em discussões 
técnicas:
• força
• reação
• tensão
• momento
Nenhuma dessas palavras é nova; todas pertencem ao vocabulário comum utilizado nas con-
versas cotidianas. Na engenharia estrutural, porém, elas têm significado próprio. Neste capí-
tulo, vamos examinar brevemente seus significados específicos antes de explorá-las em mais 
detalhe.
Força
Uma força é uma influência sobre um objeto (parte de um edifício, por exemplo) capaz de causar 
movimento. O peso de pessoas e móveis dentro de um edifício, por exemplo, causa uma força 
vertical para baixo sobre o piso; já o vento soprando contra um edifício causa uma força horizon-
tal (ou quase) sobre sua face externa.
Força é discutida em mais profundidade no Capítulo 4, juntamente com termos relaciona-
dos, como massa e peso. As forças às vezes são chamadas de cargas – os diferentes tipos de carga 
são revisados no Capítulo 5.
Reação
Se você parar em pé sobre um piso (ou um telhado! – veja a Figura 2.1), o peso do seu corpo pro-
duzirá uma força descendente sobre o piso. O piso reage a ela empurrando para cima com uma 
força de igual magnitude à força para baixo gerada por seu peso corporal. A força ascendente 
é chamada de reação, já que sua própria presença é uma resposta à força descendente do seu 
corpo. De modo similar, uma parede ou um pilar que sustenta uma viga produzirá uma reação 
para cima como resposta às forças descendentes que a viga transmite para a parede (ou pilar) e 
uma fundação produzirá uma reação ascendente à força descendente no pilar ou na parede que 
a fundação está sustentando.
O mesmo vale para forças e reações horizontais. Se você empurrar horizontalmente uma 
parede, seu corpo estará aplicando uma força horizontal sobre ela – e a essa força a parede irá 
opor uma reação horizontal.
Capítulo 2 • Aprenda os termos empregados por engenheiros de estruturas 9
O conceito de uma reação é examinado em mais detalhes no Capítulo 6 e o cálculo de rea-
ções será tratado no Capítulo 9.
Tensão
A tensão é uma pressão interna. Um veículo pesado estacionado numa estrada está aplicando 
pressão sobre a superfície da estrada – quanto mais pesado o veículo e quanto menor a área 
de contato entre os pneus do veículo e a estrada, maior a pressão. Como consequência dessa 
pressão, as partes da estrada abaixo da superfície experimentarão uma pressão que, por estar 
dentro de um objeto (neste caso, a estrada) é denominada uma tensão. Como o efeito do peso 
do veículo tende a se espalhar, ou se dispersar, ao ser transmitido para baixo no interior da es-
trutura viária, a tensão (pressão interna em um ponto) diminuirá quanto mais descermos pelo 
interior da construção da estrada.
Assim, tensão é pressão interna em um determinado ponto dentro, por exemplo, de uma 
viga, de uma laje ou de um pilar. É provável que a intensidade da tensão acabe variando de um 
ponto a outro no interior do objeto.
A tensão é um conceito muito importante em engenhariaestrutural. Nos Capítulos 17-20, 
você aprenderá mais sobre cálculo de tensões.
Momento
Um momento é um efeito giratório. Quando você utiliza uma chave-inglesa para apertar um pa-
rafuso, quando avança mecanicamente os ponteiros de um relógio ou quando gira o volante de 
um carro, você está aplicando um momento. O conceito e o cálculo de momentos são analisados 
no Capítulo 8.
Figura 2.1 Oslo Opera House.
Os pisos nem sempre precisam ser planos! Na nova casa de ópera de Oslo, o público é encora-
jado a caminhar por todo o seu telhado inclinado.
10 Fundamentos de Estruturas
A importância de falar a língua corretamente
Um grande banco norte-americano planejava reformas no edifício de sua filial londrina, o que exigia 
uma remoção substancial de suas paredes internas. Embora um escritório bem conhecido de engenhei-
ros estruturais tivesse sido contratado para fazer o projeto, a obra em si ficou a cargo de uma firma 
de remodelagem/reforma de lojas que claramente não tinha experiência alguma naquele tipo de obra.
O cliente repassou os desenhos do engenheiro estrutural ao empreiteiro responsável por tal firma. 
Na reunião no local, o empreiteiro perguntou ao engenheiro estrutural se seria possível usar seções de 
aço em forma de “H” nos pontos onde pilares “UC” estavam indicados nos desenhos. O engenheiro 
estrutural ficou um tanto perplexo com isso e explicou que “UC” é a sigla usada para pilar universal 
(universal column), que são de fato seções “H”. O empreiteiro admitiu, meio encabulado, que pensara 
que “UC” era sigla de seção de canal em forma de U”!
O engenheiro estrutural ficou tão abalado com esse diálogo e suas potenciais consequências que 
recomendou fortemente que o cliente se visse livre da firma de remodelagem/reforma e contratasse 
empreiteiros que soubessem o que estavam fazendo.
3
Como as estruturas (e partes de 
estruturas) se comportam?
Introdução
Neste capítulo, discutiremos como partes de uma estrutura se comportam quando sujeitas a 
forças. Vamos examinar os significados dos termos compressão, tração, flexão e cisalhamento, 
com a ilustração de alguns exemplos. Mais adiante no capítulo, veremos os vários elementos que 
compõem uma estrutura e os diferentes tipos de estrutura.
Compressão
A Figura 3.1a mostra uma elevação – ou seja, uma visão lateral – de um pilar de concreto numa 
edificação. O pilar está sustentando vigas, lajes e outros pilares acima, e a carga, ou a força, de 
todos estes está incidindo para baixo sobre o topo do pilar. Essa carga é representada pela seta 
apontando para baixo. Intuitivamente, sabemos que o pilar está sendo esmagado por essa carga 
aplicada – ele está sofrendo compressão.
Como vimos brevemente no Capítulo 2 e discutiremos em mais profundidade no Capítulo 6, 
uma força descendente deve ser oposta a uma força igual ascendente para que a edificação fique 
estacionária – como deve ficar. Essa reação é representada pela seta que aponta para cima na base 
do pilar na Figura 3.1a. Acontece que tais regras de equilíbrio (força total para cima = força total 
para baixo) devem se aplicar não apenas ao pilar como um todo; elas devem se aplicar a todo e 
qualquer ponto dentro de uma estrutura estacionária.
Vejamos o que acontece na extremidade superior do pilar – especificamente no ponto C da 
Figura 3.1b. A força descendente mostrada na Figura 3.1a no ponto C deve ser oposta a uma força 
ascendente – também no ponto C. Assim, haverá uma força ascendente no interior do pilar neste 
ponto, conforme representada pela seta ascendente tracejada na Figura 3.1b. Vejamos agora o 
que acontece na extremidade inferior do pilar – o ponto D na Figura 3.1b. A força ascendente 
mostrada na Figura 3.1a no ponto D deve ser oposta a uma força descendente no mesmo ponto. 
Isso é representado pela seta descendente tracejada na Figura 3.1b.
Olhe para as setas tracejadas na Figura 3.1b. Essas setas representam as forças internas no 
pilar. Você perceberá que elas estão apontando em direções opostas uma à outra. Isso sempre 
ocorre quando um elemento estrutural está sob compressão: as setas que representam compres-
são apontam em direções opostas uma à outra.
Tração
A Figura 3.2 exibe um bloco pesado de metal suspenso desde o teto de um recinto por um pedaço de 
fio. O bloco metálico, sob os efeitos da gravidade, está puxando o fio para baixo, conforme represen-
tado pela seta descendente. Desse modo, o fio está sendo esticado e encontra-se, portanto, sob tração.
12 Fundamentos de Estruturas
Para que haja equilíbrio, essa força para baixo deve ser oposta a uma força igual para 
cima no ponto onde o fio está fixado ao teto. Essa força opositora está representada por uma 
seta para cima na Figura 3.2a. Vale ressaltar que se o teto não fosse forte o suficiente para 
aguentar o peso do bloco metálico, ou se o fio não estivesse bem amarrado, o peso acabaria 
em queda livre até o chão, e a essa altura já não haveria qualquer força ascendente. Assim 
como no pilar examinado anteriormente, as regras do equilíbrio (força total para cima = 
força total para baixo) devem se aplicar a todo e qualquer ponto dentro desse sistema se ele 
for estacionário.
(a) (b)
C
D
C
D
Figura 3.1 Um pilar sob compressão.
)b()a(
Teto
Bloco
metálico
pesado
E
F
E
F
Figura 3.2 Um pedaço de fio sob tração.
Capítulo 3 • Como as estruturas (e partes de estruturas) se comportam? 13
Vamos ver o que acontece na parte de cima do fio. A força ascendente mostrada na Figura 
3.2a no ponto E deve ser oposta a uma força descendente – também neste ponto. Assim, haverá 
uma força para baixo no fio nesse ponto, conforme representada pela seta tracejada descendente 
na Figura 3.2b. Vejamos agora o que acontece na extremidade inferior do fio – no ponto onde o 
bloco metálico está fixado (ponto F). A força descendente mostrada na Figura 3.2b no ponto F 
deve ser oposta a uma força ascendente nesse mesmo ponto. Essa força ascendente no fio nesse 
ponto é representada pela seta tracejada ascendente na Figura 3.2b.
Olhe para as setas tracejadas na Figura 3.2b. Essas setas representam as forças internas no 
fio. Você perceberá que elas estão apontando uma para a outra. Isso sempre ocorre quando um 
elemento estrutural está sob tração: as setas que representam tração apontam uma para a outra.
As notações-padrão envolvendo setas para as forças internas de elementos sob tração e com-
pressão são mostradas na Figura 3.3. Você deve se familiarizar com elas, pois iremos encontrá-
-las novamente nos próximos capítulos.
Obs.: tração e compressão são exemplos de forças axiais – elas atuam ao longo do eixo (ou 
linha central) do elemento estrutural considerado.
Flexão
Imagine uma viga simplesmente apoiada (ou seja, uma viga que simplesmente jaz sobre apoios 
em suas duas extremidades) sujeita a uma carga no ponto central. A viga tende a flexionar, con-
forme mostrada na Figura 3.4. Até que ponto a viga será flexionada depende de quatro fatores:
1. O material do qual a viga é feita. É de se esperar que uma viga feita de borracha flexione mais 
do que uma viga de concreto da mesma dimensão sob uma determinada carga.
2. As características de seção transversal da viga. O tronco de madeira de uma árvore de gran-
de diâmetro é mais difícil de flexionar do que um ramo fino da mesma extensão.
3. O vão da viga. Qualquer pessoa que já tenha tentado colocar livros em prateleiras em casa 
sabe que elas vergam até um grau inaceitável se não forem sustentadas em intervalos regu-
lares. O mesmo vale para a arara de pendurar cabides dentro de um guarda-roupa. A arara 
verga perceptivelmente sob o peso de todas aquelas roupas se não for sustentada centralmen-
te, e não apenas nas extremidades, reduzindo assim o seu vão.
4. A carga à qual a viga é sujeita. Quanto maior a carga, maior a f lexão. Suas prateleiras de 
livros vergam mais quando suportam pesadas coleções do que quando estão sob o peso de 
livros leves e esparsos.
Se você continuar aumentando a carga, a viga acabará quebrando. Claramente,quanto mais 
forte o material, mais difícil é quebrá-lo. Uma régua de madeira é bem fácil de quebrar ao ser 
flexionada; já uma régua de aço de dimensões similares enverga com facilidade, mas é bem im-
provável que você consiga quebrá-la com as próprias mãos.
Tração
Compressão
(Setas convergentes)
(Setas divergentes)
Figura 3.3 Notação de setas para forças internas de tração e compressão.
14 Fundamentos de Estruturas
Essa é evidentemente uma maneira pela qual uma viga pode fracassar em seu propósito – por 
meio de flexão excessiva. Vigas devem ser projetadas para que não falhem desse modo.
A propósito, uma maneira de determinar o grau de flexão ocorrido é calcular a deflexão, que 
é a distância vertical até a qual um determinado ponto na viga se moveu a partir de sua posição 
original. Examinaremos a deflexão mais adiante.
Cisalhamento
Imagine duas placas de aço que se sobrepõem levemente uma à outra, com um parafuso as co-
nectando através da parte sobreposta, conforme mostrado na Figura 3.5a. Imagine agora que 
uma força é aplicada sobre a chapa de cima, tentando puxá-la para a esquerda. Uma força igual é 
aplicada na placa de baixo, tentando puxá-la para a direita. Suponhamos agora que a força para 
a esquerda seja levemente aumentada, assim como a força para a direita. (Lembre-se que as duas 
forças devem ser iguais para que o sistema como um todo permaneça estacionário.) Se o para-
fuso não for tão forte quanto as placas, cedo ou tarde chegará um ponto em que ele se quebrará. 
Depois de quebrado, a parte de cima do parafuso seguirá para a esquerda junto com a placa 
superior e sua parte de baixo seguirá para a direita junto com a placa inferior.
Examinemos em detalhe o que acontece com as superfícies da falha (ou seja, a face inferior 
da parte de cima do parafuso e a face superior da parte de baixo do parafuso) imediatamente 
após a falha. Como você pode ver na parte ampliada da Figura 3.5a, as duas superfícies da falha 
estão deslizando uma pela outra. Isso é uma característica de uma falha por cisalhamento.
Voltaremos nossa atenção agora a uma vigota de madeira sustentando o primeiro pavimento 
de um edifício, conforme mostrada na Figura 3.5b. Imaginemos que as vigotas de madeira são 
sustentadas por paredes de alvenaria e que as próprias vigotas sustentam assoalhos, como seria o 
caso em uma habitação doméstica. Suponha que as vigotas sejam mais frágeis do que deveriam – 
em outras palavras, não são fortes o bastante para as cargas que tendem a sustentar.
Examinemos agora o que aconteceria se um objeto pesado – como uma grande peça de ma-
quinário – fosse colocado no piso perto de seus apoios, conforme mostrado na Figura 3.5b. Caso 
o objeto pesado se encontre próximo às paredes de sustentação, as vigotas talvez não sofram uma 
flexão indevida. No entanto, se o objeto for pesado o suficiente e as vigotas frágeis o suficiente, 
a vigota poderá simplesmente quebrar. Esse tipo de falha é análogo ao da falha no parafuso ana-
lisada anteriormente. Usando como referência a Figura 3.5b, a parte à direita da vigota se mo-
vimentará para baixo (conforme cai ao chão), enquanto a parte à esquerda da vigota continuará 
imóvel – em outras palavras, move-se para cima em relação à parte descendente à direita da viga. 
Carga
no ponto
central
Figura 3.4 Flexão de uma viga.
Capítulo 3 • Como as estruturas (e partes de estruturas) se comportam? 15
Assim, obtemos mais uma vez uma falha em que duas superfícies com falha deslizam uma pela 
outra: uma falha de cisalhamento. Sendo assim, uma falha de cisalhamento pode ser encarada 
como uma ação de corte ou fatiamento.
Assim, esta é uma segunda maneira de uma viga falhar – por cisalhamento. Vigas devem ser 
projetadas de modo a não falhar desse modo. (A propósito, a notação usando setas com a cabeça 
pela metade mostrada na Figura 3.5 é um símbolo-padrão usado para denotar cisalhamento.)
As consequências das falhas por flexão e cisalhamento – e como projetar elementos de modo 
a evitá-las – serão analisadas em mais profundidade no Capítulo 16.
Elementos estruturais e seus comportamentos
Os vários tipos de elementos estruturais que podem ser encontrados na estrutura de um edifício 
– ou qualquer outra – foram introduzidos no Capítulo 1. Agora que aprendemos a respeito dos 
conceitos de compressão, tração, flexão e a cisalhamento, veremos como essas diferentes partes 
de uma estrutura se comportam sob carga.
Vigas
As vigas podem ser simplesmente apoiadas, contínuas ou em balanço, conforme ilustrado na 
Figura 3.6. Elas estão sujeitas a flexão e a cisalhamento sob carga, e as deformações são mostra-
das por linhas tracejadas.
Uma viga simplesmente apoiada jaz sobre apoios, geralmente localizados em cada extremi-
dade da viga. Uma viga contínua tem dois ou mais vãos em uma unidade ininterrupta; ela pode 
simplesmente jazer sobre seus apoios, mas o mais comum é que fique engastada (ou fixada) por 
pilares acima e abaixo. Uma viga em balanço é sustentada apenas em uma extremidade, por isso, 
para evitar colapso, a viga deve ser contígua, ou rigidamente fixada, a esse apoio.
Vigas podem ser feitas de madeira, aço ou concreto armado ou protendido.
Objeto
pesado
(b) Cisalhamento em uma vigota de madeira
(a) Cisalhamento em um parafuso conectando duas placas
Figura 3.5 O conceito de cisalhamento.
16 Fundamentos de Estruturas
Lajes
Assim como as vigas, as lajes se estendem horizontalmente entre apoios e podem ser simples-
mente apoiadas, contínuas ou em balanço. Mas, ao contrário de vigas, que geralmente são estrei-
tas comparadas à sua altura, as lajes costumam ser amplas e relativamente rasas, sendo projeta-
das para formar o piso – veja a Figura 3.7.
As lajes podem ser armadas em uma direção, o que significa que são sustentadas pelas pare-
des em seus lados opostos, ou em cruz, o que significa que são sustentadas por paredes em todos 
os quatro lados. Essa descrição parte do princípio de que uma laje tem um plano retangular, o 
que quase sempre ocorre. As lajes costumam ser feitas de concreto armado, e em edifícios elas 
têm tipicamente de 150 a 300 mm de altura. Vãos maiores que o normal podem ser alcançados 
usando-se lajes nervuradas ou em formato de grelha, conforme mostradas na Figura 3.7c e d. 
Assim como as vigas, as lajes também sofrem flexão.
Pilares
Os pilares (ou colunas ou postes) são verticais e suportam carga axial estando, assim, sujeitos à 
compressão. Quando um pilar é delgado ou quando sustenta um arranjo assimétrico de vigas, ele 
também pode sofrer f lexão, conforme mostrado pela linha tracejada na Figura 3.8a. Pilares de 
concreto ou de alvenaria podem apresentar seção transversal quadrada, retangular, circular ou 
cruciforme, conforme ilustrados na Figura 3.8b. Pilares de aço podem ter formato de H ou uma 
seção oca, conforme ilustrados mais adiante neste capítulo.
Paredes
Assim como os pilares, as paredes são verticais e sujeitas acima de tudo à compressão, mas tam-
bém podem sofrer flexão. As paredes geralmente são feitas de alvenaria ou de concreto armado. 
Além das paredes convencionais de face plana, você também pode encontrar paredes “em quilha” 
(fin walls) ou paredes-diafragma, como mostradas na Figura 3.9. Paredes de contenção (muros 
de contenção) retêm uma massa de solo ou de água e, por isso, são projetadas para suportar flexão 
causada por forças horizontais, conforme indicada pela linha tracejada na Figura 3.9c.
A viga está sofrendo �exão reversa
sobre o apoio intermediário
Conexão rígida (engaste)
junto ao apoio
(a) Viga simplesmente apoiada (b) Viga em balanço
(c) Viga contínua
Figura 3.6 Tipos de vigas.
Capítulo 3 • Como as estruturas (e partes de estruturas) se comportam? 17
(a) Laje armada em uma direção (b) Laje armada em cruz
(c) Laje nervurada (d) Laje em formato de grelha
Plano
Seção B-B
BBAA
Plano
Seção A-A
Seção C-C
Plano Plano
Seção D-D
DDCC
Figura 3.7 Tipos de lajes.
(a) Comportamento do pilar (b) Seções transversais de pilares
Quadrado
Circular CruciformeRetangular
Figura 3.8 Tipos de pilares.
18 Fundamentos de Estruturas
(b) Parede diafragma (em planta)
(a) Parede “em quilha” [fin wall] (em planta)
(c) Parede de contenção (muro de
arrimo) (em seção transversal)
Solo
retido
Figura 3.9 Tipos de parede.
Sapata isolada – em planta
Sapata isolada – seçãoSapata corrida – seção
Sapata corrida – em planta
Radier – seção Fundação estaqueada – seção
Figura 3.10 Tipos de fundação.
Capítulo 3 • Como as estruturas (e partes de estruturas) se comportam? 19
Fundações
Conforme mencionado no Capítulo 1, tudo que é projetado por um arquiteto ou engenheiro 
civil precisa permanecer de pé sobre o chão – ou pelo menos ter algum contato com o chão. Isso 
requer o uso de fundações, cuja função é transferir com segurança as cargas provenientes da 
edificação para o solo. Existem diversos tipos de fundação. Uma fundação em sapata corrida 
oferece um apoio contínuo para paredes externas que sustentam carga. Uma fundação em sapa-
ta isolada oferece um apoio de difusão de carga para um pilar. Uma fundação em radier ocupa 
toda a área plana sob uma edificação e é usada em situações em que a alternativa seria o emprego 
de uma grande quantidade de fundações em sapata isolada ou corrida num espaço relativamente 
exíguo. Nos casos em que o solo apresenta pouca resistência e/ou a edificação é muito pesada, 
são usadas fundações sobre estacas. Elas contam com estacas no solo que transmitem com segu-
rança a carga da edificação para um subestrato mais resistente. Um grupo de estacas é recoberto 
por um grande bloco de concreto chamado de bloco de estacas. Todos esses tipos de fundação 
estão ilustrados na Figura 3.10, e um bloco de estacas em construção é mostrado na Figura 3.11.
Fundações de todos os tipos geralmente são feitas de concreto, mas aço e madeira também 
podem ser usados como estacas.
Arcos
A principal virtude de um arco, do ponto de vista da engenharia estrutural, é que ele se encontra 
sob compressão por toda sua extensão. Isso quer dizer que materiais que são frágeis sob tra-
ção – alvenaria, por exemplo – podem ser usados para vencer distâncias consideráveis. Arcos 
Figura 3.11 Radier em construção.
As armaduras estão sendo instaladas nos nichos dos blocos, mas o concreto ainda não foi 
depositado; as capas plásticas em amarelo indicam as bordas dos blocos – um enorme bloco 
atrás do guindaste com outros menores à direita.
20 Fundamentos de Estruturas
transmitem grandes pressões horizontais a seus apoios, a menos que tirantes horizontais sejam 
usados na base do arco. É para lidar com essas pressões horizontais que arcobotantes foram utili-
zados em catedrais medievais – veja a Figura 3.12. Você pode ler mais sobre arcos no Capítulo 26.
(a) Arco convencional
(b) Arco com tirante
Figura 3.12 Tipos de arco.
(a) Viga em treliça
(b) Treliças
Figura 3.13 Tipos de treliça.
Figura 3.14 Tipos de pórtico.
Capítulo 3 • Como as estruturas (e partes de estruturas) se comportam? 21
Treliças
Uma treliça é uma estrutura bi ou tridimensional projetada sob a noção de que cada “elemento” 
ou componente da estrutura está ou em pura tração ou em pura compressão e não sofre flexão. 
Treliças costumam ser empregadas na construção de telhados em tesoura: madeira tende a ser 
usada para construção doméstica e perfis metálicos para telhados com vãos mais amplos exigi-
dos em edificações industriais ou comerciais. Vigas em treliça, que são usadas no lugar de vigas 
sólidas e altas para grandes vãos, funcionam sob o mesmo princípio – veja a Figura 3.13.
Pórtico
Um pórtico é uma estrutura rígida que abrange dois pilares que sustentam vigas. As vigas po-
dem ser horizontais ou, como é mais comum, inclinadas a fim de sustentar um telhado. Pórti-
cos geralmente são feitos de aço, mas também podem ser feitos de concreto pré-moldado. Eles 
costumam ser usados em estruturas de grande porte e de um único pavimento, como galpões e 
megalojas de varejo – veja a Figura 3.14.
Estruturas estaiadas e suspensas
Estruturas estaiadas geralmente são pontes, mas às vezes são usadas na construção de estruturas 
com vãos excepcionalmente longos. Em vez de ser sustentado de baixo por pilares ou paredes, o 
vão é sustentado pela parte superior em certos pontos por cabos que passam por cima de mastros 
e de estabilizadores horizontais para serem firmemente ancorados no solo. Um princípio similar 
se aplica a pontes suspensas. Os cabos ficam sob tração e precisam ser projetados para sustentar 
forças tracionais consideráveis – veja a Figura 3.15. Exemplos de pontes de suspensão são mos-
trados nas Figuras 3.16 e 3.17.
Tipos de seção transversal
Existe uma vasta gama de formatos de seção transversal disponíveis. Seções-padrão estão ilus-
tradas na Figura 3.18.
• Vigas e lajes de madeira e concreto geralmente são retangulares em sua seção transversal.
• Pilares de concreto costumam ter seção transversal circular, quadrada, retangular ou cruci-
forme (ver texto anterior).
• Vigas de aço costumam ter formato de “I” ou uma seção celular.
• Pilares de aço geralmente têm formato em “H” ou uma seção celular.
• Vigas de concreto protendido às vezes têm seção em “T”, “U” ou “U” invertido.
• Treliças de aço às vezes têm seções em canaleta (“C”) ou em ângulo (“L” ou cantoneira).
• Terças de aço em forma de Z (não ilustradas) muitas vezes são usadas para sustentar telhados 
de aço e revestimentos.
Avaliação de estruturas existentes
Indiscrição na sauna a vapor
Numa manhã de sábado, depois de um treino desgastante na academia local, fui relaxar na sauna a va-
por. Meus companheiros eram dois homens na casa dos 20 anos de idade e um homem mais velho, pos-
sivelmente com seus 40 e poucos. Todos estavam sentados ali de sunga, alegremente suando em bicas.
22 Fundamentos de Estruturas
Os dois homens mais jovens claramente eram amigos. Assim que entrei na sauna, eles estavam em 
meio a uma conversa sobre uma festa que iria acontecer, que se deu mais ou menos assim:
HOMEM 1 O Craig vai?
HOMEM 2 É, acho que sim.
HOMEM 1 Ah, legal – ele é muito engraçado.
HOMEM 2 É mesmo – uma figura. (Pausa) Sábado passado o Craig estava saindo do clube de 
rúgbi na hora do almoço depois de uns drinques e bateu o carro. Daí ele empurrou o 
veículo para longe da estrada até um campo, jogou um monte de palha em volta dele, 
depois telefonou para a polícia dizendo que o carro tinha sido roubado.
HOMEM 1 (Após uma leve pausa) E deu certo?
HOMEM 2 Ãhn – é, acho que sim.
O homem mais velho, que até então havia permanecido em silêncio, começou a falar devagar e 
deliberadamente: “Um detalhe que as pessoas não se dão conta é que, dentro de uma sauna, policiais 
não usam uniforme”.
Um silêncio desconfortável se seguiu enquanto o peso de seu comentário se estabelecia. O policial 
acabou atenuando as coisas ao contar uma história similar ocorrida com ele, indo embora da sauna logo 
depois. Um dos jovens virou-se para mim e para seu amigo e disse: “Bom, isso poderia ter dado uma 
encrenca, não?”.
“Sim”, respondi, “sou investigador criminal”.
(a) Estrutura estaiada (em seção transversal)
(b) Ponte suspensa
Mastro
Ancoragem
Estabilizador
horizontal
Cabos
(sob tração)
Ancoragem
Cabos principais
(sob tração)
Torre (sob
compressão)
Figura 3.15 Estruturas estaiada e suspensa.
Capítulo 3 • Como as estruturas (e partes de estruturas) se comportam? 23
Figura 3.16 Ponte do Brooklyn, Cidade de Nova York.
Concebida por Joe Roebling e concluída por seu filho, Washington, em 1883, a Ponte do 
Brooklyn foi a primeira ponte suspensa do mundo a usar aço como seus cabos principais e 
era a mais longa ponte suspensa do mundo na época de sua construção; as fundações foram 
escavadas de dentro de caixões subaquáticos que usavam ar comprimido, causando doenças 
devastadoras entre os trabalhadores, incluindo o próprio Washington Roebling.
Figura 3.17 Ponte de pedestres Millenium e Tate Modern, Londres.
Duas estruturas contrastantes: uma moderna ponte de pedestres em baixa suspensão leva a 
uma antiga centralelétrica, em edifício de tijolos à vista, agora convertida em uma moderna 
galeria de arte.
24 Fundamentos de Estruturas
A história tem uma mensagem séria. As pessoas nem sempre são o que aparentam: um policial 
praticamente nu se parece igualzinho a todo mundo. De modo similar, estruturas nem sempre 
são o que podem aparentar, embora, neste caso, o problema geralmente envolva roupagem de-
mais, e não de menos. Em alguns edifícios, os projetistas optam por valorizar certa estrutura; 
em outros, a estrutura é totalmente ocultada. Você pode ouvir arquitetos (e outros) descreverem 
uma determinada edificação como “estruturalmente extrovertida”, querendo dizer que a estru-
tura fica claramente visível e talvez dominante em termos visuais.
Na sua futura carreira profissional, você pode ser chamado para inspecionar uma edificação 
existente, geralmente após outro profissional – talvez um fiscal de obras – ter identificado uma 
falha suspeita de ser de natureza estrutural. Nem sempre é fácil aferir como uma edificação já 
existente funciona em termos estruturais. Certamente, você pode colher pistas a partir da idade 
e do estilo da edificação, e plantas originais da estrutura construída podem ser bastante úteis, 
embora nem sempre sejam confiáveis e, para piorar, raramente estejam disponíveis.
Portanto, se você precisar conduzir uma avaliação estrutural de uma edificação já existente, 
meu conselho é avançar com cuidado.
Retangular Caixa ou caixão Seção em I Seção em T
Seção em U
Seção em U
invertido
Seção em ângulo
ou cantoneira
Seção em canaleta
ou em C
Seções celulares
Figura 3.18 Tipos de seção transversal.
Capítulo 3 • Como as estruturas (e partes de estruturas) se comportam? 25
O que você deve recordar deste capítulo
Os conceitos de compressão, tração, f lexão e cisalhamento são fundamentais para qualquer es-
tudo de mecânica estrutural. O leitor deve entender com clareza o significado e as implicações 
de cada um deles. Diferentes elementos de uma estrutura se deformam de maneiras diferentes 
sob carga. O leitor deve compreender e ser capaz de visualizar esses padrões de comportamento 
estrutural, que são fundamentais para projetos estruturais.
4
Força, massa e peso
Introdução
Neste capítulo, examinamos força, massa e peso – suas definições, suas relações mútuas, suas 
unidades de medida e suas aplicações práticas.
Força
Usamos o termo “força” na vida cotidiana. Alguém pode, por exemplo, forçar você a fazer al-
guma coisa. Isso significa que tal pessoa, por meio de suas palavras, ações ou outro comporta-
mento, compele você a tomar um certo curso de ação. Em um contexto técnico, a palavra força 
é similar: uma força é uma influência, ou ação, sobre um corpo ou objeto que causa – ou tenta 
causar – movimento. Por exemplo:
• O homem mostrado na Figura 4.1 está empurrando uma parede. Ao fazê-lo, está aplicando 
uma força horizontal nessa parede – em outras palavras, ele está tentando empurrar tal pa-
rede para longe de si.
• A Figura 4.2 mostra um homem parado de pé sobre uma superfície rígida. O peso do seu 
corpo está aplicando uma força vertical (para baixo) sobre o solo – em outras palavras, ele 
está tentando movimentar o chão para baixo.
A força é medida em unidades de newtons (N) ou quilonewtons (kN) – mas mais adiante trata-
remos disso.
Massa
Massa é a quantidade de matéria em um corpo ou objeto. Ela é medida em unidades de gramas 
(g) ou quilogramas (kg). Massa não deve ser confundida com peso.
Peso
Se você estudou física ou ciências, já deve ter se deparado com a seguinte equação:
Força = Massa × Aceleração
Para os engenheiros, uma forma muito mais útil dessa equação é
Peso = Massa × Aceleração da gravidade
Quando um objeto é jogado de uma certa altura, ele se acelera – isto é, aumenta consistentemente 
de velocidade – ao cair rumo ao chão. Essa aceleração é chamada de aceleração da gravidade, e seu 
valor próximo à superfície deste planeta é de 9,81 m/s2. Isso significa que, passado 1 s, um corpo 
em queda livre estará caindo a 9,81 m/s e, passados 2 s, terá alcançado (9,81 + 9,81) = 19,62 m/s, 
Capítulo 4 • Força, massa e peso 27
etc. A massa do objeto é irrelevante nesse contexto – um maço de penas cai com a mesma taxa que 
um grande pedaço de chumbo, já que apresentam a mesma taxa de aceleração.
Examinando a equação anterior, vemos que a relação entre massa e peso é governada pela 
aceleração da gravidade. Isso sugere que um objeto de uma certa massa pesará menos em um 
planeta onde a atração gravitacional é menor. Se você assistir às imagens televisionadas dos pou-
sos do programa Apollo na Lua ao final dos anos 60, perceberá que os astronautas parecem salti-
tar e quicar pela Lua de uma forma que seria vista como meio tola na Terra. Isso ocorre porque, 
embora a massa de um determinado astronauta (ou seja, a quantidade de matéria em seu corpo) 
seja obviamente a mesma na Lua como na Terra, a atração gravitacional (e, portanto, a aceleração 
da gravidade) é bem menor na Lua e, consequentemente, o peso do astronauta é bem menor na 
Lua do que na Terra.
A relação entre peso e massa
Voltando à Terra, se um objeto com 1 kg de massa estiver sujeito à aceleração da gravidade de 
9,81 m/s2 (que é ~ 10 m/s2), então a equação anterior nos diz que o peso do objeto é (1 × 10) = 10 N. 
Figura 4.1 Homem apoiado contra uma parede.
28 Fundamentos de Estruturas
Observe que o peso é uma força e é medido nas mesmas unidades que as forças: newtons (N) ou 
quilonewtons (kN). Assim:
um peso de 10 N é equivalente, na superfície da Terra, a uma massa de 1 kg
Provavelmente você sabe que o prefixo quilo- significa “1.000 vezes mais”, então:
1.000 N = 1 kN
Sendo assim, se um peso de 10 N é equivalente a uma massa de 1 kg, então um peso de 1.000 N 
(ou 1 kN) é equivalente a uma massa de 100 kg.
Mais uma relação: um peso de 10 kN equivale a uma tonelada (também conhecida como uma 
tonelada métrica), ou seja, 1.000 kg.
O que essas unidades significam em termos cotidianos?
1. No seu supermercado local, o açúcar é vendido em pacotes de 1 kg. Se você segurar um paco-
te de 1 kg de açúcar, obterá uma ideia do quanto representa uma massa de 1 kg (e, portanto, 
uma força de 10 N).
2. 1 kN equivale a 100 kg, o que, por sua vez, é aproximadamente 220 libras ou um pouco menos 
de 7 arrobas – 7 arrobas é o peso de um homem razoavelmente grande. Se você imaginar um ho-
mem grande conhecido seu, a massa do corpo dele está impondo uma força de 1 kN para baixo.
Figura 4.2 Homem em pé sobre um piso.
Capítulo 4 • Força, massa e peso 29
3. Um carro pequeno moderno pesa cerca de uma tonelada, portanto pesa aproximadamente 
10 kN.
Para resumir:
• 10 N é o peso de 1 kg (um pacote de açúcar)
• 1.000 N ou 1kN é o peso de uma pessoa de 100 kg (7 arrobas)
• 10 kN é o peso de 1.000 kg = 1 tonelada (um carro pequeno)
Densidade e peso específico
A densidade de um material pode ser calculada da seguinte forma:
Densidade kg m3 =
Massa kg
Volume m3
Peso específico é um conceito similar à densidade. O peso específico é o peso de um material 
por volume unitário e é medido em kN/m3. Os pesos específicos de materiais comuns usados em 
construção são apresentados no Apêndice 1.
Unidades em geral
Você sempre deve estar ciente das unidades que está usando em qualquer cálculo estrutural. O 
uso incorreto e a má compreensão de unidades podem levar a respostas incrivelmente imprecisas.
Os professores que corrigem e avaliam seus testes e provas conhecem bem os perigos de con-
fundir as unidades. Certifique-se de expressar as unidades em seus trabalhos acadêmicos. Por 
exemplo: a força sobre um pilar não é de 340, e sim de 340 kN. Omitir unidades é puro desleixo e 
a pessoa responsável por corrigir seu trabalho acadêmico pode duvidar dos seus conhecimentos, 
o que lhe renderá uma nota compatível com essa impressão.
Relações com outros sistemas de medida
O sistema métrico é o mais adotado atualmente nas obras científicas e técnicas; ainda assim, o 
ideal é que você saiba fazerconversões envolvendo o sistema Imperial de medidas – libras, pés, 
polegadas, etc. Isso é importante na sua futura carreira profissional porque:
• você talvez precise revisar cálculos ou desenhos feitos em certos países antes de sua adoção 
do sistema métrico, na década de 1960 (como Inglaterra, por exemplo);
• você pode estar trabalhando em (ou para) um país que não adota o sistema métrico;
• você pode estar lidando com uma profissão que se sente mais à vontade usando unidades 
não métricas – profissionais do mercado imobiliário no Reino Unido, por exemplo, ainda 
costumam medir áreas de recintos em pés quadrados em vez de metros quadrados.
Por exemplo:
• 1 libra = 0,454 kg
• 1 polegada = 25,4 mm
Para uma lista mais abrangente de conversões entre diferentes sistemas de medida, consulte o 
Apêndice 2.
30 Fundamentos de Estruturas
O que você deve recordar deste capítulo
• Massa é a quantidade de matéria de um objeto e é medida em gramas (g) ou quilogramas (kg).
• Peso é uma força e é medido em newtons (N) ou quilonewtons (kN).
• Densidade é o índice de massa em relação ao volume e é medido em kg/m3.
• Em qualquer cálculo estrutural, as unidades usadas sempre devem ser expressas.
Exercícios
As respostas estão no final do capítulo.
1. Calcule o peso, em kN, de cada uma das pessoas a seguir:
a) Uma jovem mulher com uma massa de 70 kg.
b) Uma mulher de meia-idade com uma massa de 95 kg.
Qual seria o peso de cada uma dessas pessoas na Lua, considerando a aceleração da gravida-
de na Lua como sendo um sexto daquela da Terra?
2. Calcule a massa de um tijolo com comprimento de 215 mm, largura de 102,5 mm e altura de 
65 mm se sua densidade é de 1.800 kg/m3. Qual seria o peso desse tijolo?
3. Calcule o peso de uma viga de concreto armado de 9 m de comprimento, largura de 200 mm 
e altura de 350 mm se o peso específico do concreto armado é de 24 kN/m3.
4. Como veremos nos próximos capítulos, o termo carga viva é utilizado para descrever uma 
carga não permanente em uma edificação – ou seja, aquelas cargas geradas por pessoas ou 
móveis. Se uma sala de aula de uma universidade tem 12 m de comprimento e 10 m de lar-
gura e é projetada para acomodar até 60 alunos, calcule a carga móvel na sala quando está 
cheia. (Observe que você precisará fazer um levantamento do peso individual de um aluno, 
de uma mesa e de uma cadeira.) Compare sua resposta com o valor da Norma Britânica de 
carga móvel (3,0 kN/m2) para salas de aula.
5. Uma rede internacional de hotéis planeja transformar seu hotel em um local especialmente 
glamoroso e exótico instalando uma piscina no terraço já existente de seu arranha-céu. A 
piscina terá 25 m de comprimento e 10 m de largura e sua profundidade irá variar unifor-
memente de 1 a 2 m. Calcule o volume de água na piscina. Se o peso específico da água é de 
10 kN/m3, calcule a massa de água na piscina, em toneladas. Se um pequeno carro moderno 
tem uma massa de 1 tonelada, calcule o número de carros que equivaleriam, em peso, à água 
contida na piscina proposta. Se você fosse o engenheiro estrutural do projeto, qual seria seu 
conselho inicial para o arquiteto e para o cliente?
6. Você está envolvido em um projeto de desenvolvimento habitacional. Você mede o local em 
um plano e descobre que ele é retangular, com 300 m de comprimento e 250 m de largura. 
“Qual é a área em acres?”, o incorporador lhe pergunta. Qual é a sua resposta? (Dica: con-
sulte o Apêndice 2.)
7. Você está radiante por ter ganhado o prêmio total de £1 milhão em dinheiro na sua recente 
participação em um programa de perguntas e respostas na TV. No entanto, sua euforia se 
esvai um pouco quando o produtor do programa lhe informa que o prêmio será pago intei-
ramente em moedas de 1 libra esterlina. Calcule a massa, o peso e o volume de 1 milhão de 
moedas de 1 libra esterlina.
Tendo em vista o repentino interesse de diversos tabloides por sua história, explique como 
você transportaria o dinheiro desde o estúdio de TV até a sua casa, a 300 km de distância.
Percebendo sua inquietude, o produtor se oferece para pagar seu prêmio em moedas de 
£2. Calcule a massa apropriada, o peso e o volume para este caso. Você aceitaria ou recusaria 
essa oferta?
Capítulo 4 • Força, massa e peso 31
Ao finalmente chegar em casa com seu reboque, você decide armazenar o dinheiro em 
um quarto vago. Admitindo uma construção com vigotas de madeira convencionais, você 
acredita que isso acarretaria um problema estrutural? Por quê?
Respostas
1. a) 0,7 kN; b) 0,95 kN. 
Na Lua: a) 0,117 kN; b) 0,158 kN.
2. 2,52 kg; 0,025 kN.
3. 15,1 kN.
4. A sua resposta provavelmente ficará na faixa de 0,5–1,0 kN/m2, dependendo de seus pres-
supostos.
5. 375 m3; 357 toneladas.
6. 18,5 acres.
5
Cargas – vivas ou mortas
Introdução: o que é uma carga?
Conforme discutido no Capítulo 2, uma carga é uma parte de uma estrutura. O termo “carga” 
é costumeiramente utilizado na vida cotidiana. Falamos na “carga” que uma máquina de la-
var roupas suporta. Um jogador de futebol imprime uma carga sobre outro quando o empurra 
acintosamente. A indústria aeronáutica utiliza o termo “fatores de carga” ao se referir a quantos 
passageiros embarcam em voos. Você faz uma “recarga” no seu celular pré-pago quando seu 
pacote está terminando e o governo aumenta a “carga” de impostos quando bem entende. Em 
resumo, você já está familiarizado com a palavra carga, e o seu uso em engenharia estrutural é, 
espero, fácil de entender.
Em estruturas, lidamos com três tipos diferentes de carga: cargas mortas (ou permanentes), 
cargas vivas (ou impostas) e cargas de vento ou eólicas (ou laterais).
Carga morta (permanente)
Como seu nome sugere, uma carga morta é algo que está sempre presente. Exemplos de carga 
morta incluem as cargas – ou forças – impostas pelos pesos de vários elementos de construção, 
como pisos, paredes, telhados, revestimento e divisórias permanentes. Esses itens – e seus res-
pectivos pesos – estão obviamente sempre presentes.
Carga viva (imposta)
Cargas vivas nem sempre estão presentes. São produzidas pela ocupação das edificações. Dentre 
os exemplos de cargas vivas estão pessoas e mobílias. Outros exemplos incluem cargas de neve 
sobre os telhados. Por sua própria natureza, as cargas vivas, ao contrário das cargas mortas, são 
variáveis. Uma sala de cinema com assentos para 300 espectadores, por exemplo, ficaria repleta 
de pessoas num sábado à tarde se um grande lançamento estivesse passando, mas ficaria com 
menos que um quarto de lotação numa tarde de meio de semana. E, obviamente, ficaria vazia 
se o cinema estivesse fechado. Assim, a carga viva nessa sala de cinema é representada por algo 
entre 0 e 300 pessoas. Uma sala de aula numa faculdade ou universidade é um exemplo similar: 
ela pode estar cheia de alunos ou vazia – ou qualquer fração intermediária. Além disso, pode ser 
necessária a remoção de todas as mesas e cadeiras da sala de aula para fins de, por exemplo, um 
evento.
Devido a essa variabilidade, cargas vivas não são tratadas da mesma forma que as cargas 
mortas em projetos estruturais.
Uma carga viva não necessariamente precisa estar se movendo, ser animada ou vibrar para 
entrar nesta categoria. Um cadáver num necrotério, por exemplo, é uma carga viva, pois está 
ali apenas temporariamente. Um carro dentro de um estacionamento de vários andares será 
considerado como uma carga viva, quer esteja em deslocamento ou não; o pressuposto, nova-
mente, é de que o carro está ali por um certo período de tempo, depois do qual desocupará o 
estacionamento.
Em resumo, cargas mortas permanecem no local o tempo inteiro; cargas vivas, não.
Capítulo 5 • Cargas – vivas ou mortas 33
Carga de vento ou eólica (lateral)
A carga de vento ou eólica é um exemplo de carga lateral. Ao contrário de cargas mortas e vivas, 
que geralmente atuam na direção vertical, cargas eólicas atuam horizontalmente ou em ângu-
los agudos em relação à horizontal. As cargas eólicas variam ao longo de países e ao longo do 
mundo, e seus efeitosvariam de acordo com o tipo de ambiente físico (centro urbano, subúrbio, 
campos abertos, etc.) e com a altura do edifício. Cargas eólicas podem atuar em qualquer direção 
planar, e sua intensidade pode variar continuamente.
Engenheiros estruturais precisam aferir os efeitos de todas essas cargas sobre qualquer edi-
ficação que venham a projetar, incluindo as duas estruturas bastante diferentes mostradas nas 
Figuras 5.1 e 5.2.
Cargas laterais (ou horizontais) que não as cargas eólicas incluem aquelas impostas pela 
pressão do solo (sobre muros de contenção, por exemplo) e pela pressão da água (sobre as paredes 
laterais de tanques de água). Outras cargas ainda podem incluir aquelas impostas por terremotos 
ou desabamentos.
Por que distinguir esses tipos de carga uns dos outros?
Como as diversas cargas recém descritas são diferentes em sua natureza, temos de lidar com 
elas de modos diferentes quando realizamos um projeto estrutural. A carga morta total em 
um determinado edifício, por exemplo, permanece constante, a menos que alterações sejam 
efetuadas em sua construção; já a carga viva pode variar hora a hora – ou mesmo minuto 
a minuto. Revisaremos isso quando examinarmos os fundamentos do projeto estrutural no 
Capítulo 22.
Figura 5.1 London Eye.
Construída para comemorar a virada do milênio, a London Eye – projetada por Marks Barfield 
Architects – é uma roda-gigante de aço e vidro semelhante a uma roda de bicicleta gigante, e 
muitos problemas estruturais e logísticos foram superados em seu projeto e construção.
34 Fundamentos de Estruturas
Natureza da carga
Além de considerarmos os diferentes tipos de carga, também precisamos levar em consideração 
a natureza das cargas. Isso inclui três tipos possíveis:
1. carga pontual
2. carga uniformemente distribuída
3. carga uniformemente variável
Analisemos cada uma delas individualmente (veja a Figura 5.3).
Carga pontual
Esta é a carga que atua em um único ponto. Por vezes, ela é chamada de carga concentrada. 
Um exemplo seria um pilar sustentado por uma viga. Como a área de contato entre o pilar e a 
viga costuma ser diminuta, assume-se que a carga fica concentrada em um único ponto. Cargas 
pontuais são expressas em unidades de kN e são representadas por uma grande seta na direção 
de atuação da carga ou força, conforme mostradas na Figura 5.3a.
Carga uniformemente distribuída
Uma carga uniformemente distribuída (muitas vezes abreviada como CUD) é uma carga que 
se difunde por igual ao longo de um comprimento ou de uma área. As cargas sustentadas por 
uma viga típica – o peso da própria viga, o peso da laje do pavimento que ela sustenta e o peso 
vivo sustentado pela laje –, por exemplo, são uniformes por todo o comprimento da viga. CUDs 
ao longo da viga (ou qualquer outro elemento que seja linear por natureza) são expressas em 
unidades de kN/m. De modo similar, as cargas sustentadas por uma laje serão uniformes ao 
Figura 5.2 Edifício do Parlamento Escocês, Edimburgo.
Para essa estrutura incomum – e excêntrica, diriam alguns – não houve qualquer problema es-
trutural em particular no seu projeto e construção, mas, mesmo assim, o Edifício do Parlamento 
Escocês levou três anos para ser concluído, a um custo de £414 milhões, quase 10 vezes mais 
do que o estimado originalmente.
Capítulo 5 • Cargas – vivas ou mortas 35
longo da laje e, como uma laje possui área em vez de comprimento linear, CUDs sobre uma laje 
são expressas em unidades de kN/m2. Existem pelo menos dois símbolos diferentes usados para 
CUD, conforme mostrados na Figura 5.3b.
Carga uniformemente variável
Uma carga uniformemente variável é uma carga que é distribuída ao longo do comprimento 
de um elemento linear, como uma viga, mas, em vez de a carga ser difundida por igual (como 
no caso de uma CUD), ela varia de maneira linear. Um exemplo comum disso é um muro de 
contenção. Um muro de contenção é projetado para reter o solo no lugar, o qual exerce uma 
força horizontal sobre o lado interno do muro de contenção. A força horizontal sobre o muro de 
contenção aumenta quanto mais avançamos para baixo do muro. Assim, a força será igual a zero 
bem no alto do muro de contenção, mas aumentará linearmente até um valor máximo na base 
do muro – veja a Figura 5.3c.
Caminhos de carga
É importante ser capaz de identificar os caminhos que as cargas percorrem ao longo de uma edi-
ficação. Como exemplo, examinaremos uma típica estrutura metálica em pórtico, composta de 
pilares verticais dispostos em grelha, conforme mostrado na Figura 5.4a. A cada pavimento do 
(a) Cargas pontuais
(b) Cargas uniformemente distribuídas (CUDs)
(c) Cargas uniformemente variáveis
Elevação de pilar
sustentado por viga
Representação simbólica
de carga pontual
Representações diferentes de cargas uniformemente distribuídas sobre
vigas (CUDs). O símbolo mostrado à direita é o adotado neste livro
Seção vertical através de
um muro de contenção
Representação simbólica de uma
carga uniformemente variada
sobre um muro de contenção
O solo retido empurra
horizontalmente um
muro de contenção
Figura 5.3 A natureza das cargas.
36 Fundamentos de Estruturas
edifício, os pilares suportam as vigas, que se estendem entre os pilares. Cada viga pode sustentar 
vigas secundárias, que se estendem entre as vigas principais (primárias). As vigas sustentam 
as lajes dos pavimentos, geralmente feitas de concreto armado ou com uma laje mista de aço/
concreto. As lajes sustentam seu próprio peso mais a carga viva sobre si. A Figura 5.4b exibe 
uma parte típica da planta baixa estrutural. A, C, D e F são pilares. As linhas AC, AF, DF e CD 
representam vigas principais, e a linha BE representa uma viga secundária. Uma laje de concreto 
se estende entre as vigas AF e BE. Outra laje de concreto se estende entre as vigas BE e CD.
Suponha que um equipamento bem pesado esteja localizado no ponto G. Claramente, ele é 
sustentado pela laje de concreto abaixo dele. A laje de concreto, por sua vez, é sustentada pelas 
vigas AF e BE, concluindo-se daí que o equipamento também é sustentado por essas vigas. Como 
o ponto G está mais perto de BE do que de AF, pode-se deduzir que a viga BE recebe uma parcela 
maior da carga do equipamento do que a viga AF.
A viga BE, por sua vez, é sustentada pelas vigas principais AC e DF. Como o ponto G está 
mais próximo a DF do que a AC, a viga DF sustenta uma parcela maior da carga do equipamento 
do que a viga AC. (Veremos como se calculam essas “parcelas” quando examinarmos as reações 
mais adiante no livro.)
Os pilares D e F sustentam as duas extremidades da viga DF. Como a viga BE jaz exatamente 
na metade do comprimento de DF, ela gera uma carga pontual no ponto medial de DF, carga essa 
que será compartilhada igualmente entre os dois pilares de sustentação D e F. Além disso, o pilar 
F sustenta uma porção da carga do equipamento transmitida via a viga AF. Similarmente, os 
pilares A e C também recebem uma parcela da carga do equipamento, via a viga AC. Ademais, o 
pilar A sustenta uma porção da carga do equipamento transmitida via viga AF.
As setas tracejadas na Figura 5.4c indicam os caminhos percorridos ao longo da estrutu-
ra pela carga do equipamento no ponto G. Os pilares transmitem as cargas do equipamento 
(a) Estrutura típica de pórtico metálico
(b)Parte da planta baixa estrutural (c) Caminhos de cargas adicionados
A B C
DEF
G
A B C
DEF
G
Figura 5.4 Caminhos de cargas numa estrutura.
Capítulo 5 • Cargas – vivas ou mortas 37
– juntamente com todas as outras cargas da estrutura, é claro – até as fundações, que precisam 
ser resistentes o bastante para transmitirem com segurança as cargas para o solo abaixo.
A fim de simplificar a explicação, levamos em consideração apenas os caminhos de carga ge-
rados por uma carga específica. Obviamente, existem diversas cargas em um edifício e todas elas 
têm que ser levadas em consideração na análise estrutural e no projeto. Examinaremos alguns 
exemplos disso no Capítulo 24.
Uma coisa é um projetista imporum limite de peso para uma ponte; outra coisa bem diferente é asse-
gurar que o limite de peso seja obedecido.
Um complexo recreativo à beira-mar estava sendo construído numa pequena ilha tropical adjacen-
te a um glamoroso resort de férias. Uma ponte de concreto foi projetada para ligar a ilha ao continente. 
Como a ponte sustentaria apenas a passagem de “bondinhos” (similar aos bondes que são comuns nos 
parques temáticos) que transportariam os visitantes desde o estacionamento no continente até a atra-
ção, a ponte foi projetada para um veículo pesando 4 toneladas.
Durante a construção do complexo recreativo em si, foi observado que vagões estavam cruzan-
do a ponte com 25 toneladas de concreto. Não havia placa alguma indicando um limite de peso nem 
qualquer barreira física para impedir quem quer que fosse de cruzá-la. Por sorte, a ponte acabou sendo 
construída superdimensionada em muito quanto ao projeto original e não desabou – nem mostrou 
qualquer sinal de desgaste – sob tamanhas cargas.
6
Equilíbrio – 
uma abordagem balanceada
Introdução
O eminente cientista Isaac Newton (1642-1727) provavelmente é mais conhecido por suas três 
leis do movimento. Se você estudou física, já se deparou com elas antes. Uma delas dá origem à 
fórmula força = massa × aceleração mencionada no Capítulo 4.
Neste capítulo, estamos interessados na Terceira Lei do Movimento de Newton, que em sua 
essência declara:
“Para cada ação existe uma reação igual e oposta.”
Isso significa que se um objeto encontra-se estacionário – como um edifício, ou qualquer parte 
sua, geralmente se encontra – então qualquer força exercida sobre ele deve ser oposta por outra 
força, igual em magnitude, mas oposta em sentido. Em outras palavras, uma condição de equilí-
brio será estabelecida. Veja a Figura 6.1 para um exemplo.
Equilíbrio vertical
O equilíbrio vertical dita que:
Força total para cima = força total para baixo
Se, por exemplo, um homem pesando cerca de 7 arrobas parar de pé sobre o piso de um recinto, 
a força para baixo sobre o piso devido ao peso do seu corpo será de 1 kN. Supondo-se que o piso 
encontra-se estacionário, ele deve estar empurrando para cima com uma força de 1 kN.
Vejamos o que aconteceria se o piso não reagisse com a mesma força para cima que a força 
para baixo encontrada. Se o piso pudesse, por alguma razão, exercer uma força de apenas, diga-
mos, 0,5 kN em resposta à força para baixo de 1 kN gerada pelo homem, o piso não seria capaz 
de suportar o peso do homem. O piso se quebraria e o homem cairia através dele. Por outro lado, 
caso o piso reagisse ao peso do homem exercendo uma força para cima de, digamos, 2 kN, o 
homem sairia voando pelo ar como uma bala de canhão humana.
Nos dois casos, podemos ver que, se as forças para cima e para baixo não se compensarem 
mutuamente, ocorrerá movimento (seja ascendente ou descendente). Se nenhuma ocorrer (em 
outras palavras, o homem nem cai através do piso nem sai voando pelos ares), podemos con-
cluir que, como tudo se encontra estacionário, as forças se igualam e o equilíbrio vertical é 
observado.
Capítulo 6 • Equilíbrio – uma abordagem balanceada 39
Equilíbrio horizontal
Isso nos diz que:
Força total para a esquerda = Força total para a direita
Exemplo 6.1: “cabo de guerra”
Um cabo de guerra é uma competição física envolvendo duas equipes e um pedaço bem com-
prido de corda. As duas equipes normalmente possuem números iguais de participantes. Cada 
equipe se distribui ao longo de uma extremidade da corda, conforme ilustrado na Figura 6.2. 
A equipe à esquerda da corda está empregando toda sua força para puxar a corda (junto com a 
equipe opositora) para a esquerda. De modo similar, a equipe à direita da corda está empregando 
toda sua força para puxar a corda para a direita. Caso haja um rio separando as duas equipes, a 
equipe mais forte será a vencedora quando a equipe opositora cair dentro do rio.
Uma bandeirola demarcadora é fixada ao ponto medial da corda. Vamos supor que você seja 
o árbitro, observando de longe o progresso da competição. Você ficará de olho na posição da 
bandeirola. Se ela começar a se movimentar para a esquerda, você interpretaria isso como um 
sinal de que a equipe à esquerda está ganhando. Em outras palavras, a força para a esquerda é 
maior do que a força para a direita, e o movimento ocorre porque as duas forças não se cancelam. 
De modo similar, se a bandeirola começar a ir para a direita, isso indicaria que a equipe à direita 
está ganhando – já que a força para a direita é maior do que a força para a esquerda. Novamente, 
as duas forças estão desequilibradas, causando movimento.
Contudo, se a bandeirola não se movimentar para lado algum e permanecer exatamente 
na mesma posição por mais que as duas equipes se esforcem e puxem, você deduziria que as 
duas equipes estão parelhas e que nenhuma está ganhando. Neste caso, a bandeirola não se 
Figura 6.1 Ponte com arco de aço, Ilkley, West Yorkshire.
Em arcos, a natureza das forças leva a forças horizontais sendo geradas para fora nas extre-
midades dos arcos. Para que ocorra equilíbrio, essas forças para fora devem ser opostas por 
forças para dentro (ou seja, em sentido contrário). Essas forças para dentro podem ocorrer na 
forma da reação de um bloco sólido junto à ponte. Alternativamente, como é o caso desta pon-
te, o tabuleiro atua como um elemento de tração horizontal que liga as duas extremidades do 
arco uma à outra, assumindo assim as forças que impelem para fora.
40 Fundamentos de Estruturas
movimenta porque a força para a esquerda é exatamente a mesma que a força para a direita. Em 
outras palavras, se a bandeirola – ou qualquer outro objeto – demarcando a corda durante um 
cabo de guerra permanecer estacionária, então a força para a esquerda e a força para direita são 
as mesmas. Assim, temos equilíbrio horizontal.
Exemplo 6.2: o recostado
Quando você se recosta em uma parede, conforme mostrado na Figura 6.3, seu corpo aplica uma 
força sobre a parede – para a direita, no caso da Figura 6.3. A parede irá reagir produzindo uma 
força (ou reação) para a esquerda, igual em magnitude à força aplicada.
Figura 6.2 Cabo de guerra.
Força Reação
Figura 6.3 Empurrando contra uma parede.
Força total para cima = Força total para baixo
Força total para a esquerda = Força total para a direita
Figura 6.4 Equilíbrio.
Capítulo 6 • Equilíbrio – uma abordagem balanceada 41
Se, por algum motivo, a parede não for capaz de produzir uma reação horizontal igual e 
oposta, significa que a parede não é forte o bastante ou que não está fixada ao chão de modo 
apropriado. Seja como for, a parede acabará cedendo e ocorrerá movimento.
O que aprendemos sobre equilíbrio horizontal e vertical está resumido na Figura 6.4.
A aplicação de equilíbrio
Como as edificações costumam permanecer estacionárias, isso nos informa que as forças atuan-
tes sobre uma edificação – ou sobre qualquer parte dela – devem estar em equilíbrio.
Observe a viga mostrada na Figura 6.5. A viga é sustentada por pilares em cada uma de suas 
extremidades e suporta as cargas verticais F1, F2 e F3 em vários pontos ao longo de seu compri-
mento. Onde existem forças para baixo, é preciso haver forças opositoras para cima, ou reações. 
Vamos chamar a reação na extremidade esquerda da viga de R1. A reação na extremidade direi-
ta da viga chamaremos de R2. Usando nosso conhecimento sobre equilíbrio vertical, podemos 
afirmar que:
Força total para cima = Força total para baixo
Portanto:
R1 + R2 = F1 + F2 + F3
Agora, se F1 = 5 kN, F2 = 10 kN e F3 = 15 kN, então
R1 + R2 = 5 + 10 + 15 kN
Então:
R1 + R2 = 30 kN
Seria útil calcular R1 e R2, já que representam as forças nos pilares de sustentação. Mas a equação 
anterior não nos informa a magnitude de R1 nem de R2; ela meramente nos informa que a soma 
das duas é 30 kN. Para que possamos descobrir o valor tanto de R1 quanto de R2, precisamos 
saber mais. Continuaremos neste tema no Capítulo 9. Enquanto isso, veja a Figura 6.6 para umaaplicação prática de equilíbrio.
F1 F2 F3
R1 R2
Figura 6.5 Aplicação de equilíbrio vertical.
42 Fundamentos de Estruturas
O falecido cirurgião veterinário de Yorkshire James Herriot descreve, em seu livro Vet in Harness (Mi-
chael Joseph, 1974), um encontro com um touro em um espaço confinado. O touro, que havia recém 
recebido uma injeção aplicada pelo Sr. Herriot, decidiu recostar-se no veterinário, que se viu em um 
sanduíche entre uma divisória de madeira e o corpo do animal. Como aprendemos no Capítulo 3, essa 
ação teria colocado o corpo do Sr. Herriot em compressão, mantido no mesmo lugar por reações opos-
tas provenientes do touro e da divisória de madeira. Como ele mesmo conta: “Minha vida estava sendo 
esmagada para fora de mim. Com os olhos esbugalhados, gemendo, mal conseguindo respirar, eu fazia 
toda a força que podia, mas não conseguia me mover um centímetro sequer… Eu estava certo de que 
meus órgãos internos estavam lentamente virando geleia e, enquanto me debati em completo pânico, o 
enorme animal jogou ainda mais o seu peso sobre mim.
Nem gosto de pensar no que teria acontecido se a madeira às minhas costas não estivessem velhas 
e apodrecidas, mas assim que comecei a sentir meus sentidos se esvaindo ouvi o rachar e estalar das 
tábuas e acabei caindo dentro do estábulo vizinho”.
Assim, de repente – e felizmente para o Sr. Herriot – a força gerada pelo touro superou a resistência 
da divisória de madeira e ela se quebrou. Ela não conseguiu mais produzir uma reação para manter o Sr. 
Herriot em compressão e, desse modo, provavelmente salvou sua vida.
O que você deve recordar deste capítulo
Se qualquer objeto (um edifício ou uma parte sua, por exemplo) encontra-se estacionário, então 
está em equilíbrio. Isso significa que as forças exercidas sobre ele se anulam mutuamente da 
seguinte forma:
• Força total para cima = Força total para baixo
• Força total para a esquerda = Força total para a direita
Figura 6.6 Edifícios altos feitos de pedra, Honfleur, França.
Esses históricos edifícios de pedra possuem vários andares e devem, portanto, aplicar forças 
bastante grandes sobre o solo abaixo deles, que, por sua vez, deve ser resistente o suficiente 
para produzir uma força para cima igual a essa força para baixo – caso não fosse capaz disso, 
os edifícios já teriam afundado no solo há muito tempo.
7
Mais sobre forças: 
resultantes e componentes
Introdução
Nos capítulos anteriores, você aprendeu o que é uma força. Neste capítulo, veremos como as for-
ças – individualmente ou em grupos – podem ser estudadas. Você aprenderá a combinar forças 
em resultantes e a “decompor” forças em componentes.
Comecemos examinando uma analogia.
A analogia do metrô
Imagine que você tenha chegado a Londres e esteja planejando um passeio pela cidade utili-
zando o sistema de metrô. Você está na estação Green Park e deseja ir até Oxford Circus. Você 
consulta o diagrama de linhas e estações afixado na entrada da estação. (Uma representação da 
parte relevante dele é exibida na Figura 7.1.) Você percebe que a maneira mais rápida de chegar 
até Oxford Circus partindo de Green Park é se deslocar diretamente até lá pela Linha Victoria. 
Oxford Circus é apenas uma estação distante de Green Park.
No entanto, ao entrar na estação, você passa por um cartaz em que está escrito: “Linha Vic-
toria fechada devido a dificuldades técnicas”. Claramente, essa notícia implica que você deve 
alterar seus planos. Supondo que você não queira ir a pé nem de ônibus ou de táxi, restam-lhe 
duas opções para chegar a Oxford Circus o mais rápido possível:
1. Pegar a Linha Jubilee na direção norte até a próxima estação, Bond Street, fazer baldeação 
para a Linha Central no sentido leste e viajar até a próxima estação, Oxford Circus.
2. Pegar a Linha Piccadilly na direção leste até a próxima estação, Piccadilly Circus, fazer bal-
deação para a Linha Bakerloo no sentido norte e viajar até a próxima estação, Oxford Circus.
Claramente, uma dessas duas opções será mais rápida que a outra, dependendo da frequência 
de trens e da facilidade de transferência entre plataformas na estação de baldeação. Embora seja 
difícil prever qual opção lhe levaria mais depressa até Oxford Circus, podemos afirmar com 
confiança que ambas rotas acabarão lhe conduzindo – cedo ou tarde – até lá.
Se representarmos uma jornada por uma seta na direção da jornada – com o comprimento 
da seta representando o comprimento da jornada – nossas duas opções de rota podem ser ilus-
tradas pelos dois diagramas mostrados na Figura 7.2. Em ambos, a rota direta desejada (pela 
Linha Victoria temporariamente indisponível) foi indicada por uma seta tracejada. Como seria 
de se esperar, cada rota indireta é mais longa (em distância) do que a rota direta entre as estações 
Green Park e Oxford Circus, mas o resultado final é o mesmo: você chegará à estação Oxford 
Circus.
Qualquer que seja a opção escolhida, o seu ponto de partida será na estação Green Park e o 
seu destino final será a estação Oxford Circus.
Retornaremos a essa analogia mais adiante no capítulo.
44 Fundamentos de Estruturas
Resolução de forças
Estabelecemos o conceito de força no Capítulo 4. Como explicado então, uma força é uma in-
fluência ou ação exercida sobre um corpo que causa – ou tenta causar – movimento. Forças po-
dem atuar em qualquer direção, mas a direção em que uma determinada força atua é importante. 
Você recordará de seus estudos em matemática que algo que possui tanto magnitude quanto 
direção é chamado de uma quantidade vetorial. Como uma força possui magnitude e direção, 
ela é um exemplo de uma quantidade vetorial.
Para que uma força seja definida por completo, precisamos declarar:
• sua magnitude (50 kN, por exemplo)
• sua direção, ou linha de ação (vertical, por exemplo)
• seu ponto de aplicação (a 2 m da extremidade esquerda de uma viga, por exemplo)
Green
Park
Oxford
Circus
Linha Piccadilly
Linha Central
Li
nh
a 
Ju
bi
le
e
Li
nh
a 
B
ak
er
lo
o
Bond
Street
Piccadilly
Circus
Linha
Victoria
Figura 7.1 Fragmento da rede de metrô londrina.
(a) Opção 1 (b) Opção 2
Green
Park
Green
Park
Oxford
Circus
Oxford
Circus
Linha Piccadilly
Linha Central
Li
nh
a 
Ju
b
ile
e
Li
nh
a 
B
ak
er
lo
o
Obs.: as setas tracejadas representam a rota
preferível (mas indisponível) ao viajante.
Figura 7.2 Opções de rota de Green Park até Oxford Circus.
Capítulo 7 • Mais sobre forças: resultantes e componentes 45
O que acontece quando diversas forças atuam sobre o mesmo ponto?
Claramente, é possível que diversas forças atuem sobre o mesmo ponto. Essas forças podem 
apresentar diferentes magnitudes e atuar em diferentes direções. Seria conveniente se pudésse-
mos simplificá-las de tal modo que fossem representadas por apenas uma força, atuando em uma 
certa direção. Essa força única é chamada de força resultante.
A analogia de “Donald e Tristan”
Imagine uma mesinha com rodinhas parada no meio de uma grande sala com piso de madeira 
muito polido. Essa mesa tem rodinhas ou rodízios que facilitam a sua movimentação em qual-
quer direção. Donald entra na sala e começa a empurrar a mesa na direção leste. A mesa avança 
para o leste, conforme mostrado na Figura 7.3a. Nesse momento, Tristan, um amigo de Donald, 
entra na sala e empurra a mesa na direção norte, enquanto Donald continua tentando empurrá-
-la na direção leste.
Como seria de se esperar, sob a influência dos dois amigos empurrando a mesa em direções 
diferentes, o objeto avança numa direção aproximadamente a nordeste. A Figura 7.3b indica essa 
atividade como se fosse vista de cima (uma visão planar), com a seta tracejada representando o 
movimento da mesa. Mas em qual direção, exatamente, ela se movimentaria?
)b()a(
)d()c(
Donald
Donald
Tr
is
ta
n
Donald
Tr
is
ta
n
Donald
Tr
is
ta
n
Figura 7.3 Resultantes de forças.
46 Fundamentos de Estruturas
Bem, isso depende do esforço relativo que Donald e Tristan despendem no exercício. Se Do-
nald investir bastante energiaem seu empurrão para o leste, enquanto Tristan faz uma tentativa 
esmorecida em seu empurrão rumo ao norte, a mesa avançará na direção mostrada pela seta 
tracejada na Figura 7.3c. (O comprimento das setas representa a magnitude das forças.) Em com-
pensação, se Tristan se entregar com afinco ao seu empurrão rumo ao norte e Donald fizer corpo 
mole em sua investida na direção leste, ela avançará na direção mostrada pela seta tracejada na 
Figura 7.3d. (Novamente, o comprimento das setas representa a magnitude das forças.) Em am-
bos os casos, há duas forças envolvidas: uma exercida por Donald e outra exercida por Tristan. 
Como vimos anteriormente, essas duas forças apresentam magnitudes diferentes e atuam em 
direções diferentes.
Da Figura 7.3b até 7.3d, a seta tracejada representa a força resultante. Em cada um dos casos, 
a magnitude e a direção dessa força resultante representam o efeito combinado dos empurrões 
de Donald e Tristan. Se conhecêssemos a magnitude da força (ou seja, quantos kN) que cada um 
dos homens estava aplicando no exercício, poderíamos calcular a magnitude – e a direção exata 
– da força resultante.
Podemos, é claro, ter mais do que duas forças. Tarquínio, um amigo mútuo de Donald e 
Tristan, pode entrar na sala e começar a empurrar a mesa numa direção diferente, enquanto Do-
nald e Tristan se esforçam como antes. A mesa avançaria numa direção diferente. Novamente, a 
direção de movimento da mesa representa a direção da força resultante.
Resultantes de forças
A força resultante (vamos chamá-la de R) é a única força que exerceria o mesmo efeito sobre um 
objeto que um sistema de duas ou mais forças. Resultantes podem ser calculadas por trigonome-
tria simples ou por métodos gráficos. O Exemplo 7.1 mostra como a trigonometria pode ser usada.
Exemplo 7.1
Um objeto é sujeito a três forças de magnitudes diferentes, atuando em direções diferentes, con-
forme mostrado na Figura 7.4a. Usando uma abordagem gráfica, determine a magnitude e a 
direção da força resultante.
Podemos considerar as forças em qualquer ordem. Começaremos examinando a força ver-
tical de 4 kN. Usando papel milimetrado e escolhendo uma escala conveniente (1 cm = 1 kN, 
neste caso), começaremos por um ponto A. A força vertical pode ser representada por uma linha 
que aponta para cima saindo do ponto A, com 4 cm de comprimento (para representar 4 kN). O 
ponto ao qual chegamos será chamado de ponto B (veja a Figura 7.4b). Em seguida, passemos a 
considerar a força horizontal de 4kN, que atua para a direita. Partindo do ponto B, desenhe uma 
linha horizontal de 4 cm de comprimento (voltada para a direita), representando a força horizon-
tal de 4 kN. O ponto ao qual chegamos será o ponto C.
Por fim, vamos considerar a força de 3 kN, que atua numa diagonal para a esquerda e para 
cima a um ângulo de 45°. Partindo do ponto C, essa força será representada por uma linha de 3 
cm de comprimento (representando 3 kN) na direção apropriada. O ponto ao qual chegamos será 
chamado de ponto D (veja a Figura 7.4c). Em seguida, desenhe uma linha reta conectando os pon-
tos A e D. Essa linha representa a força resultante. Medindo o diagrama resultante (Fig. 7.4d), des-
cobrimos que a linha tem 6,41 cm de comprimento, a um ângulo de 72,9° em relação à horizontal.
Portanto, a força resultante é de 6,41 kN, atuando a um ângulo de 72,9° em relação à hori-
zontal (para cima e para a direita). Esta é a força única que teria o mesmo efeito que as três forças 
originais atuando juntas.
Como alternativa, este problema poderia ter sido abordado matematicamente, usando o teo-
rema de Pitágoras e trigonometria básica, que estão no Apêndice 3. A solução matemática deste 
problema está demonstrada na Figura 7.5.
Capítulo 7 • Mais sobre forças: resultantes e componentes 47
4 kN
(a) Forças sobre o objeto (b) Início do diagrama de forças
(c) Diagrama de forças completo (d) Diagrama de forças com resultante
4 kN
3 kN
45°
4 cm
A
B
4 cm
A
B
3 cm
4 cm
C
D
4 cm
A
B
3 cm
4 cm
C
D
Seta tracejada
representa
força resultante
Figura 7.4 Objeto sujeito a três forças.
4
4
3
(42 + 42) = 5,66 kN
(5,662 + 32)
= 6,41 kN
45°
°
tan = 3/5,66, então = 27,9°
 = 45 + 27,9 = 72,9°
Figura 7.5 Solução matemática ao exemplo das resultantes.
48 Fundamentos de Estruturas
Mais exemplos
Cada um dos exemplos mostrados na Figura 7.6 compreende duas forças a ângulos retos uma em 
relação à outra. Em cada caso, a tarefa é encontrar a magnitude e a direção da força resultante. 
Isso pode ser calculado matematicamente ou pelo método gráfico.
A fim de determinar resultantes via cálculos matemáticos, você precisará relembrar da ma-
temática básica associada a triângulos retângulos, ou seja, com o teorema de Pitágoras e com as 
definições das funções trigonométricas conhecidas como seno, cosseno e tangente. O Apêndice 
3 traz uma breve revisão desse assunto. Para determinar resultantes via método gráfico, você 
precisa representar em papel milimetrado as forças como linhas cujos comprimentos são pro-
porcionais às magnitudes das forças. As linhas precisam ficar voltadas para as mesmas direções 
que as forças correspondentes.
Como quer que você decida determinar a resultante, não importando a ordem em que você 
considera as forças, sempre chegará à mesma resposta – essa foi a ideia deixada na “analogia do 
metrô”, quando vimos que há mais de uma rota de Green Park até Oxford Circus. No entanto, 
você precisa considerar as forças pelo método do “nariz-cauda” adotado no exemplo anterior (e 
mostrado na Figura 7.4c); caso contrário, sua resposta para a direção acabará errada. Segundo a 
minha experiência, de longe o equívoco mais comum dos estudantes ao lidarem com esse tipo de 
problema é não desenharem as forças “nariz-cauda”. Por isso, certifique-se de que o “nariz” (ou 
seja, a parte pontuda da seta) de cada força fique adjacente à “cauda” (o lado não pontudo da seta) 
da próxima força, já que “nariz-nariz” ou “cauda-cauda” irá gerar a resposta errada.
8 kN
6 kN
Exemplo
solucionado
8 kN
6 kN
R = (62+ 82) = 10
 = tan–1(6/8)
 = 36,9°
R
Solução
16 kN 12 kN
8 kN
10 kN
4
5
5 kN 5 kN
16 kN
1
2
3
3 kN
4 kN
1 kN
7 kN
12 kN 12 kN
45° 45°
Figura 7.6 Exemplos de componentes.
Capítulo 7 • Mais sobre forças: resultantes e componentes 49
Estude o exemplo solucionado no alto da Figura 7.6. Observe como ele foi resolvido: antes 
de mais nada, todas as forças foram expressas de maneira nariz-cauda; em seguida, a magnitu-
de da força resultante foi calculada usando-se o teorema de Pitágoras, e sua direção usando-se 
trigonometria.
Agora volte sua atenção para os outros cinco exemplos apresentados na Figura 7.6. A Figura 
7.7 mostra as soluções para os exemplos exibidos na Figura 7.6.
Se você obteve a direção errada para os dois primeiros exemplos, então você não deve estar 
expressando as forças da maneira nariz-cauda obrigatória; em cada um dos casos, o problema 
tem de ser reconstruído conforme mostrado na Figura 7.7. Se você acertou os dois primeiros 
exemplos, mas chegou a um beco sem saída no exemplo número 3, então o seu conhecimento 
matemático sobre triângulos retângulos é adequado, mas você perdeu de vista o que as resultan-
tes de fato são. Lembre-se: para obter a resultante de duas ou mais forças, expresse as forças (em 
qualquer ordem) seguindo a regra “nariz-cauda” e depois desenhe uma linha ligando a cauda 
da primeira força com o nariz da força final. No caso do Exemplo 3, essa força resultante acaba 
apontando verticalmente para cima.
Você deve ter percebido que os problemas 4 e 5 podem ser simplificados. No problema nú-
mero 4, por exemplo, a força de 16 kN para a direita é parcialmente cancelada pela força de 12 kN 
para a esquerda, gerando uma força total de 4 kN para a direita (ou seja, 16 menos 12). De modo 
similar, a força para cima será de 2 kN (ou seja, 10 menos 8).
Você encontrará mais exemplos ao final deste capítulo.
1. R = (32+ 42) = 5 kN; = 53,1°
2. R = (12+ 72) = 7,07 kN; =8,1°
3. R = (122+ 122) = 17 kN; = 90° (ou seja, apontando verticalmente para cima)
4. R = (22+ 42) = 4,47 kN; = 26,6°
5. R = 16 kN (por inspeção), apontando verticalmente para baixo.
4 kN
2 kN
4 5
16 kN
1 2 3
3 kN
4 kN
1 kN
7 kN
12 kN
12 kN
45°
45°
17 kN
7,07 kN
5 kN
53,1°
8,1°
4,47 kN
26,6°
Figura 7.7 Componentes: soluções dos exemplos.
50 Fundamentos de Estruturas
Componentes de forças
Já vimos como expressar diversas forças diferentes que atuam juntas sobre o mesmo ponto como 
uma única força – a resultante. Agora iremos inverter o processo, começando por uma única 
força e decompondo-a em duas forças que, consideradas em conjunto, exercem o mesmo efeito 
que a força única original.
Essas duas forças são chamadas de componentes. Da mesma forma que um aparelho de te-
levisão contém muitos componentes eletrônicos, e todos devem estar presentes para que a tele-
visão funcione bem, nossas duas componentes de força também precisam estar presentes para 
representarem corretamente a força original. Componentes são o substituto de uma força origi-
nal por duas forças a ângulos retos uma em relação à outra (geralmente uma horizontal e uma 
vertical).
Pode ser demonstrado que, para qualquer força F a um ângulo θ em relação à horizontal, a 
componente horizontal sempre será F.cos θ, e a componente vertical sempre será F. sen θ (veja a Fi-
gura 7.8). Como truque mnemônico, basta lembrar que o seno “sobe” e representa a força vertical.
Para cada exemplo da Figura 7.9, calcule a magnitude e a direção das duas componentes 
(uma horizontal, a outra vertical) da força apresentada.
Em cada um dos casos, certifique-se de identificar corretamente se a força horizontal apon-
ta para a esquerda ou para a direita, e se a força vertical aponta para cima ou para baixo – tais 
F.cos 
F
.s
en
 
F
Figura 7.8 Componentes de força – caso geral.
45°
14 kN
30°
60 kN
60°
30 kN
25°
200 kN
1
2
3
4
Figura 7.9 Componentes de força – exemplos.
Capítulo 7 • Mais sobre forças: resultantes e componentes 51
detalhes são importantes! Compare suas respostas com as seguintes soluções (onde H = compo-
nente horizontal e V = componente vertical):
1. H = 14.cos 45 = 9,9 kN →, V = 14.sen 45° = 9,9 kN ↑
2. H = 30.cos 60 = 15 kN ←, V = 30.sen 60° = 26 kN ↑
3. H = 60.cos 30 = 52 kN ←, V = 60.sen 30° = 30 kN ↓
4. H = 20.cos 25 = 181 kN →, V = 200.sen 25° = 84,5 kN ↓
Mais adiante neste livro, veremos como é útil ser capaz de substituir uma força que atua em ân-
gulo por duas forças componentes, uma horizontal e a outra vertical.
Para uma aplicação no mundo real, veja a Figura 7.10.
O que você deve recordar deste capítulo
• A resultante de diversas forças que atuam sobre um mesmo ponto é uma única força que 
exerce o mesmo efeito que as forças originais atuando em conjunto.
• Qualquer força pode ser substituída por duas componentes que, atuando em conjunto, 
exercem o mesmo efeito que a força única original. As duas componentes ficam a ângu-
los retos uma em relação à outra e geralmente são assumidas como horizontal e vertical, 
respectivamente.
Figura 7.10 Passarela estaiada, Aeroporto de Dublin.
Essa passarela coberta está suspensa por cabos sustentados por mastros; os projetistas tive-
ram de calcular as componentes horizontal e vertical das forças nesses cabos inclinados.
52 Fundamentos de Estruturas
3 kN
6 kN
12 kN
9 kN
1
2
3
3 kN
4 kN
1 kN
7 kN
14 kN 200 kN
45°
60°
25°
30°
160 kN
120 kN
60°
90 kN
40°
100 kN
4
5
7 8
6
40°
50°
40°
36 kN
60 kN
18 kN
Figura 7.11 Exercícios resultantes e componentes.
5 kN
20 kN
10 kN
15 kN
100 kN
50 kN
85 kN
F1
°
20°
30°
45°
60°
55° 35°
25°
(a) (b)
Figura 7.12 Mais exercícios.
Capítulo 7 • Mais sobre forças: resultantes e componentes 53
Exercícios
Encontre a resultante para cada um dos exemplos envolvendo múltiplas forças na Figura 7.11 e 
distribua em componentes cada um dos exemplos envolvendo uma única força.
Mais exercícios
1. Calcule a magnitude e a direção da resultante do sistema de forças mostrado na Figura 7.12a.
2. Se as quatro forças mostradas na Figura 7.12b estão em equilíbrio (e, portanto, a força resul-
tante é zero), calcule a força F1 e o ângulo θ.
8
Momentos
Projetado pelo arquiteto britânico Sir Norman Foster, o moderno domo de vidro mostrado na 
Figura 8.1 é o glorioso coroamento no histórico prédio do parlamento alemão.
Introdução
Quando você utiliza uma chave-inglesa para apertar ou afrouxar um parafuso, você está apli-
cando um momento.* Um momento é um efeito rotatório e está relacionado ao conceito de ala-
vanca. Quando você usa uma chave de fenda para forçar a abertura de uma lata de tinta ou um 
abridor de garrafa para tirar a tampinha de uma cerveja ou um pé de cabra para erguer uma 
tampa de bueiro, você está aplicando força de alavanca e, portanto, está aplicando momento.
O que é momento?
Momento é um efeito giratório. Um momento sempre atua em torno de um determinado ponto 
e se dá em sentido horário ou anti-horário. Um momento em torno de um ponto A gerado por 
uma força F é definido como a força F multiplicada pela distância perpendicular entre a linha de 
ação da força e o ponto.
A unidade do momento é kN.m ou N.mm. Obs.: Um momento é uma força multiplicada por 
uma distância; portanto, sua unidade é unidade de força (kN ou N) multiplicada por unidade 
de distância (m ou mm) – daí kN.m ou N.mm. A unidade de momento jamais é kN ou kN/m.
Em ambos os casos ilustrados na Figura 8.2, se M é o momento em torno do ponto A, então 
M = F.x.
Exemplos práticos de momentos
Gangorra
Uma gangorra é um equipamento encontrado em muitos parques infantis. Compreende uma 
longa prancha de madeira com um assento em cada extremidade. A prancha de madeira é sus-
tentada em seu ponto de apoio. Como o apoio é articulado, ele fica livre para rotacionar. Uma 
criança senta em cada assento nas extremidades da gangorra e usa sua articulação para se mo-
vimentar para cima e para baixo. Uma série de gangorras modernas é mostrada na Figura 8.3.
Imagine duas crianças pequenas sentadas em lados opostos de uma gangorra, conforme 
mostradas na Figura 8.4. Se as duas crianças tiverem o mesmo peso e estiverem sentadas à mes-
ma distância até o apoio articulado, não haverá movimento algum, já que o momento em sentido 
*N. de T.: Também chamado de torque e momento de alavanca. Não confundir com as grandezas físicas momento linear 
e momento de inércia. 
Capítulo 8 • Momentos 55
Figura 8.1 Domo do Reichstag, Berlim.
A
x
F A
F
x
Figura 8.2 Momentos ilustrados.
Figura 8.3 Gangorras.
56 Fundamentos de Estruturas
horário em torno do apoio gerado pela criança na extremidade direita (F × x) é igual ao momento 
em sentido anti-horário em torno do apoio gerado pela criança na extremidade esquerda (F × x). 
Sendo assim, os dois momentos se cancelam mutuamente.
Se a criança na extremidade esquerda for substituída por um adulto ou por uma criança mui-
to maior, conforme mostrado na Figura 8.4b, a criança na extremidade direita se movimentaria 
para cima rapidamente. Isso ocorre porque o momento (em sentido anti-horário) gerado pela 
pessoa mais pesada na extremidade esquerda (força grande × distância) é maior do que o mo-
mento (em sentido horário) gerado pela criança pequena na extremidade direita (força pequena 
× distância). O momento total, assim, é no sentido anti-horário, fazendo a criança pequena se 
movimentar para cima.
Retornemos à situação original, com duas crianças pequenas em lados opostos dessa gangor-
ra. Porém, suponhamos agora que a criança do lado esquerdo se aproxime mais do ponto central, 
conforme mostrado na Figura 8.4c. Como resultado, a criança na extremidade direita se movi-
menta para baixo. Isso ocorre porque o momento em sentido anti-horário gerado pela criança no 
lado esquerdo (força × pequena distância) é menor do que o momento em sentido horário gerado 
pela criança no lado direito (força × grande distância). O movimento total é, portanto, emsenti-
do horário, fazendo a criança no lado direito se movimentar para baixo.
F = força grande
f = força pequena
M = momento grande
m = momento pequeno
(a) Gangorra em equilíbrio
xx FF
(b) Gangorra fora de equilíbrio devido a uma carga
xx
fF
M m
Momento
total
(c) Gangorra fora de equilíbrio devido à posição de uma carga
xx/2 ff
m
M
Momento
total
Figura 8.4 Forças em uma gangorra.
Capítulo 8 • Momentos 57
Chaves-inglesas, porcas e parafusos
Por sua própria experiência, o leitor deve saber que é muito mais fácil desatarraxar uma porca 
ou um parafuso bem apertado usando uma chave-inglesa comprida do que uma chave-inglesa 
curta. Isso ocorre porque, embora a força aplicada possa ser a mesma, a distância do “braço de 
alavanca” é mais longa, causando assim um maior efeito rotatório ou momento a ser aplicado. 
Problemas práticos usando “alavanca” também ilustram esse princípio, como os exemplos já 
mencionados de forçar a abertura de latas de tinta, garrafas de cerveja ou tampas de bueiro.
Problemas numéricos envolvendo momentos
A partir do texto anterior, pode-se perceber que é importante distinguir entre momentos no 
sentido horário e no sentido anti-horário. Afinal de contas, girar uma chave-inglesa em sentido 
horário (apertando uma porca) tem um efeito muito diferente de girar uma chave-inglesa em 
sentido anti-horário (afrouxando uma porca). Neste livro:
• momentos em sentido horário são considerados positivos (+)
• momentos em sentido anti-horário são considerados negativos (–)
Obviamente, é bem possível que um determinado ponto de referência experimente diversos mo-
mentos simultaneamente, alguns dos quais podem ser em sentido horário (+) e outros em senti-
do anti-horário (–). Em tais casos, momentos devem ser somados algebricamente para se obter o 
momento total (líquido).
Alguns exemplos resolvidos de cálculo de momento
Em cada um dos exemplos a seguir, envolvendo vigas simples, iremos calcular o momento líqui-
do em torno do ponto A (lembre-se: sentido horário é +, sentido anti-horário é –).
Exemplo 8.1: (veja a Figura 8.5a)
Por inspeção, a força de 4 kN está tentando girar a viga em sentido horário em torno de A, então o 
momento será positivo (+). A distância de 2 m é medida horizontalmente a partir da linha de ação 
(vertical) da força de 4 kN; em outras palavras, a distância apresentada é medida na perpendicular 
(isto é, a um ângulo reto ou de 90°) em relação à linha de ação da força, conforme exigido.
Lembre-se: um momento é uma força multiplicada por uma distância. Se usarmos o símbolo 
M para representar momento, então neste caso:
M = +(4 kN × 2 m) = +8 kN.m
Exemplo 8.2: (veja a Figura 8.5b)
Dessa vez há duas forças, proporcionando dois momentos. Um equívoco comum com este exem-
plo é pressupor que, como as duas forças atuam em direções opostas (isto é, uma para cima e a 
outra para baixo), os momentos também devem se opor um ao outro. Na verdade, uma análise 
mais cuidadosa revelará que os dois momentos em torno de A gerados pelas duas forças atuam 
em sentido horário (+). Sendo assim, o momento em torno de A para cada força é calculado, e os 
dois são somados, da seguinte forma:
M = + (5 kN × 3 m) + (4 kN × 2 m) 
= + 15 kN.m + 8 kN.m 
= + 23 kN.m
(Se você tentou resolver este exemplo e obteve como resposta +7 kN.m, é porque caiu na arma-
dilha recém mencionada!)
58 Fundamentos de Estruturas
Exemplo 8.3: (veja a Figura 8.5c)
Mais uma vez, há duas forças, proporcionando dois momentos. A força de 7 kN claramente gera 
um momento em sentido horário em torno de A. Já a linha de ação da força de 98 kN passa exa-
tamente sobre o ponto de referência A; em outras palavras, sua linha de ação apresenta distância 
zero até A. Como um momento é sempre uma força multiplicada por uma distância, se a distân-
cia for zero então conclui-se que o momento também deve ser zero (já que multiplicar qualquer 
número por zero resulta em um produto igual a zero). Assim, neste exemplo:
M = +(7 kN × 4 m) + (98 kN × 0 m) 
= +28 kN.m + 0 kN.m 
= +28 kN.m
A lição a ser aprendida a partir deste exemplo: se a linha de ação de uma força passar por um 
certo ponto, então o momento dessa força em torno desse ponto é igual a zero.
Exemplo 8.4
Na Figura 8.5d, a força de 6 kN está girando em sentido anti-horário em torno de A, então o 
momento resultante será negativo (–).
M = –(6 kN × 3 m) = –18 kN.m
Exemplo 8.5
Na Figura 8.5e, a força de 5 kN está girando em sentido horário em torno de A; portanto, ela 
irá gerar um momento positivo (+). Em contraste, a força de 2 kN está girando em sentido anti-
-horário em torno de A; portanto, ela irá gerar um momento em sentido anti-horário (–).
)b()a(
)d()c(
)g( )f()e(
A
6 kN
3 m
4 kN
5 kN
A
2 m 3 m
A
7 kN
4 m
98 kN
A
4 kN
2 m
A
5 kN
3 m 2 m
2 kN
A
6 kN
5 
m A
3 kN
5 m
53,1°
Figura 8.5 Exemplos resolvidos envolvendo momento.
Capítulo 8 • Momentos 59
M = +(5 kN × 3 m) – (2 kN × 5 m) 
= +15 kN.m – 10 kN.m 
= +5 kN.m
Exemplo 8.6
Na Figura 8.5f, nem todas as forças são verticais. Mas as mesmas regras se aplicam aqui.
M = –(6 kN × 5 m) = –30 kN.m
Exemplo 8.7
O exemplo um pouco mais difícil da Figura 8.5g acabará confundindo os leitores que ainda não 
compreenderam que um momento é uma força multiplicada por uma distância perpendicular 
(ou “braço de alavanca”). Há duas maneiras de resolver este problema – veja a Figura 8.6.
Primeiro, você pode usar trigonometria para encontrar a distância perpendicular. A Figu-
ra 8.6a servirá para lhe recordar das definições de senos, cossenos e tangentes em termos dos 
comprimentos dos lados de um triângulo retângulo. Aplicando isso ao problema atual, des-
cobrimos a partir da Figura 8.6b que a distância perpendicular, x, neste caso é de 4 m. Então, 
M = +(3 kN × 4 m) = +12 kN.m.
Segundo, podemos resolver o problema encontrando as componentes vertical e horizontal 
da força de 3 kN. No Capítulo 7, aprendemos que qualquer força pode ser expressa como a resul-
tante de duas componentes, uma horizontal e uma vertical. Para qualquer força F atuando a um 
ângulo θ em relação ao eixo horizontal, pode ser demonstrado que:
• a componente horizontal é sempre F × cos θ
• a componente vertical é sempre F × sen θ (como o seno atua para cima: “sobe”)
Neste problema, a força de 3 kN atua a um ângulo de 53,1° em relação à horizontal. Assim, sua 
componente vertical = 3 × sen 53,1° = 2,4 kN. ↓
E sua componente horizontal = 3 × cos 53,1° = 1,8 kN. ←
(a)
)c()b(
Adjacente (adj)
O
p
os
to
 (o
p
s)
Hipotenusa (hip)
sen = ops/hip
cos = adj/hip
tan = ops/adj
5 m
A
5 m
A
2,4 kN
1,8 kN
3 kN
53,1°
x
Figura 8.6 Momentos e resoluções de forças.
60 Fundamentos de Estruturas
Agora o problema pode ser expresso conforme mostrado na Figura 8.6c.
Observe que, como a linha de ação da força de 1,8 kN (estendida) passa sobre o ponto A, o 
momento dessa força em torno do ponto A será zero.
M = +(2,4 kN × 5 m) + (1,8 kN × 0 m) 
= +12 kN.m
(Obviamente, esta é a mesma resposta que a obtida pelo método anterior!) Há mais alguns 
exemplos ao final deste capítulo para você tentar resolver.
Observações sobre o cálculo de momentos
A partir da discussão e dos exemplos dados, podem-se extrair as seguintes observações e adver-
tências:
• Sempre confira se um determinado momento atua em sentido horário (+) ou anti-horário (–).
• Se a linha de ação de uma força F passa sobre (ou por) um ponto A, então o momento de força 
F em torno do ponto A é zero.
• Pode ser necessário distribuir forças em componentes a fim de calcular momentos (confor-
me mostrado).
Equilíbrio de momentos
Imagine que você esteja fazendo algum trabalho mecânico em um carro e esteja com uma chave-
-inglesa encaixada num parafuso específico no compartimento do motor do carro. Você está 
tentando atarraxar o parafuso, por isso está forçando em sentido horário. Em outras palavras, 
você está aplicando um momento em sentido horário. Agora imagine que um amigo (no sentido 
mais vago possível da palavra!) estejacom outra chave-inglesa encaixada no mesmo parafuso, 
torcendo-o em sentido anti-horário. Isso exerce o efeito de desatarraxar o parafuso.
Se o momento em sentido anti-horário que o seu amigo está aplicando for da mesma mag-
nitude que o momento em sentido horário que você está aplicando (independentemente do fato 
de que as duas chaves-inglesas possam ter comprimentos diferentes), você pode imaginar que os 
dois efeitos se cancelariam mutuamente – em outras palavras, o parafuso não se movimentaria. 
Isso se aplica a qualquer objeto sujeito a momentos de torção iguais em direções opostas: o objeto 
não se moveria.
Portanto, se o momento total em sentido horário em torno de um ponto é igual ao momento 
total em sentido anti-horário em torno deste mesmo ponto, nenhum movimento pode ocorrer. 
Se, em contrapartida, não houver movimento algum (como costuma ocorrer com uma edifi-
cação ou com parte de uma edificação), então os momentos em sentido horário e anti-horário 
devem estar mutuamente equilibrados. Este é o princípio do equilíbrio de momentos, que pode 
ser usado em conjunção com as regras de equilíbrio de forças (examinado anteriormente) a fim 
de resolver problemas estruturais.
Para resumir: se um objeto (como uma edificação ou qualquer ponto em uma edificação) 
estiver estacionário, o momento líquido no ponto será zero. Em outras palavras, momentos em 
sentido horário em torno do ponto serão cancelados por momentos iguais e opostos em sentido 
anti-horário.
Equilíbrio revisitado
Conforme analisado no Capítulo 6, se um objeto, ou um ponto em uma estrutura, estiver esta-
cionário, sabemos que as forças devem estar em equilíbrio da seguinte forma (o símbolo Σ, a letra 
grega sigma, significa “a soma de”):
Capítulo 8 • Momentos 61
ΣV = 0, isto é, força total para cima = força total para baixo (↑ = ↓) 
ΣH = 0, isto é, força total para a esquerda = força total para a direita (← = →)
A partir de nosso conhecimento recém adquirido a respeito de momentos, podemos adicionar 
uma terceira regra de equilíbrio:
ΣM = 0, isto é, momento total em sentido horário = momento total em sentido anti-horário
Podemos usar essas três regras de equilíbrio para resolver problemas estruturais, especificamen-
te o cálculo de reações em extremidades, conforme discutido no Capítulo 9.
Pares
Como você sabe, a palavra par significa dois. No contexto dos momentos, um par é um sistema de 
duas forças de magnitude igual, a uma certa distância uma da outra, atuando em direções opostas.
Um exemplo de um par é mostrado na Figura 8.7. Neste caso, duas forças de 30 kN atuam 
em direções opostas, e suas linhas de ação encontram-se separadas por 0,8 m. Vamos calcular o 
momento em torno dos pontos A-E:
Momento em torno do ponto A = (30 kN × 0 m) + (30 kN × 0,8 m) = 24 kN.m 
Momento em torno do ponto B = (30 kN × 0,25 m) + (30 kN × 0,55 m) = 24 kN.m 
Momento em torno do ponto C = (30 kN × 0,5 m) + (30 kN × 0,3 m) = 24 kN.m 
Momento em torno do ponto D = (30 kN × 0,7 m) + (30 kN × 0,1 m) = 24 kN.m 
Momento em torno do ponto E = (30 kN × 0,8 m) + (30 kN × 0 m) = 24 kN.m 
Momento em torno do ponto F = (30 kN × 1,1 m) – (30 kN × 0,3 m) = 24 kN.m
Como você pode ver, qualquer que seja o ponto escolhido, o momento sempre terá o mesmo 
valor para qualquer par específico.
Vejamos o caso geral: se um par de forças apresenta um valor de F kN cada, e as forças en-
contram-se a x metros de distância uma da outra, o momento desse par de forças em torno de 
qualquer ponto sempre será F multiplicado por x. No exemplo anterior, o momento em torno de 
qualquer ponto é 30 kN × 0,8 m = 24 kN.m.
Muros de contenção: uma ilustração de equilíbrio
Um muro de contenção (muro de arrimo) é uma parede com uma função estrutural específica: 
reter o avanço da terra. Se o nível do solo em um dos lados do muro é diferente do nível no outro, 
30 kN
30 kN
0,25 m
0,25 m
0,20 m
0,10 m
0,30 m
0,8 m
A
B
C
D
E
F
Figura 8.7 Exemplo de um par.
62 Fundamentos de Estruturas
então o muro está atuando como um muro de contenção. Quanto maior a diferença de nível, 
maior a pressão da terra atuando horizontalmente sobre o muro e, portanto, mais forte o muro 
precisará ser para resistir a essa pressão. Veja a Figura 8.8.
Você pode ter muros de contenção no seu quintal, especialmente se o quintal como um todo 
se encontrar em um declive. Nessa situação, a altura da terra contida provavelmente é pequena, 
talvez menos de meio metro; sendo assim, um muro de contenção de tijolo ou pedra costuma ser 
mais do que suficiente para dar conta do serviço.
Muros de contenção mais significativos podem ser encontrados definindo recortes para fer-
rovias ou rodovias, sobretudo em cidades cujos terrenos custam caro e não há espaço para uma 
barreira com leve inclinação para acomodar a diferença de níveis. Nessa situação, a diferença no 
nível do solo entre os dois lados do muro pode alcançar vários metros, e tais muros de contenção 
costumam ser de concreto, embora possam ser revestidos por tijolos ou pedras para melhorar 
sua aparência.
Uma seção transversal através de um típico muro de contenção feito de concreto é mostra-
da na Figura 8.9a. Ele abrange uma laje horizontal em sua base, que precisa estar rigidamente 
conectada a uma parede vertical, ou “corpo”. O corpo atua como uma escora vertical e precisa 
ser projetado de acordo. Existem três questões de estabilidade envolvendo muros de contenção:
1. Sustentação: o peso do muro (e qualquer coisa em cima dele) não deve ser grande demais a 
ponto de fazê-lo afundar verticalmente no solo.
2. Deslizamento: a força exercida pela terra retida não deve ser grande demais a ponto fazer o 
muro, como um todo, deslizar para frente.
3. Tombamento: o momento gerado pela força sobre o muro não deve ser grande demais a pon-
to de fazer o muro tombar.
Vamos considerar cada um desses três efeitos.
Sustentação
Como vimos, para haver equilíbrio, a força total para baixo deve equivaler à força total para 
cima. Em outras palavras, o solo deve ser resistente o suficiente para proporcionar uma força to-
tal para cima (ou reação, como veremos no Capítulo 9) que se oponha à força para baixo gerada 
pelo peso do muro de contenção – veja a Figura 8.9b. Caso o solo não seja resistente para propor-
cionar essa força para cima, não ocorrerá equilíbrio e o muro se afundará no solo.
Deslizamento
A força da terra empurrando horizontalmente contra o muro de contenção (para a direita na 
Figura 8.9c) deve sofrer resistência de uma força equivalente para a esquerda, para que seja 
D
ife
re
nç
a 
d
e 
ní
ve
l
Figura 8.8 Muros de contenção – o conceito.
Capítulo 8 • Momentos 63
satisfeita a segunda lei do equilíbrio (forças horizontais precisam se cancelar). Essa força para a 
esquerda deve se dar por fricção entre a base do muro e o solo abaixo dela. Se não houver fricção 
suficiente, não ocorrerá equilíbrio, e o muro se moverá para a direita.
Tombamento
A força da terra empurrando contra a parede levará potencialmente a uma rotação do muro em 
sentido horário em torno de sua base (veja a Figura 8.9d). Como aprendemos no início deste 
capítulo, tal rotação seria causada por um momento em sentido horário. Para que a parede não 
acabe rotacionando fisicamente, o equilíbrio será assegurado se um momento suficiente em sen-
tido anti-horário for aplicado pelo peso do muro atuando para baixo.
Repare no muro de contenção mostrado na Figura 8.10. A força empurrando na direção 
do tombamento do muro, o peso do muro e a força resistente de fricção foram calculados e são 
mostrados na Figura 8.10. A força vertical de 40 kN é gerada pelo peso do concreto que forma o 
corpo e a força vertical de 30 kN é gerada pelo peso do concreto que forma a base. A força vertical 
de 130 kN é gerada pelo “bloco” retangular de terra acima da base e a força horizontal de 75 kN 
para a direita é o efeito geral da pressão horizontal da terra sobre o muro. Podemos conferir o 
equilíbrio da seguinte forma:
Equilíbrio vertical:
Força total para baixogerada pelo peso do muro e da terra sobre ele = 130 + 30 + 40 = 200 kN
Força total para cima (reação) = 200 kN
Portanto, força total para baixo ↓ = força total para cima ↑, então ocorre equilíbrio vertical.
(a) Um típico muro de contenção
(c) Forças horizontais (deslizamento) (d) Momentos (tombamento)
(b) Forças verticais (sustentação)
Base
C
or
p
o
Reação
Figura 8.9 Forças sobre um muro de contenção.
64 Fundamentos de Estruturas
Equilíbrio horizontal:
Força total para a direita gerada pela pressão horizontal da terra = 75 kN
Força total para a esquerda gerada pela fricção entre o lado de baixo da base e o solo sob ela = 75 kN
Portanto, força total para a direita → = força total para a esquerda ←, então ocorre equilíbrio 
horizontal.
Equilíbrio de momentos:
Momentos em sentido horário em torno do ponto A = (75 kN × 1,4 m) + (200 kN × 1,16 m) = 337 kN.m
Momentos em sentido anti-horário em torno do ponto A = (130 kN × 2,0 m) + (30 kN × 1,5 m) + 
(40 kN × 0,8 m) = 337 kN.m
Portanto, momento em sentido horário = momento em sentido anti-horário, então ocorre equi-
líbrio de momentos.
Como as três equações de equilíbrio são satisfeitas, o muro de contenção encontra-se em equilí-
brio e permanecerá estacionário sob as forças e os momentos aos quais ele está sujeito.
Tampão da banheira, uma ilustração de momentos
As fotos na Figura 8.11 mostram um tampão de ralo do tipo giratório nas posições fechado e 
aberto, respectivamente. Esse tipo de tampão de banheira fica conectado ao ralo por um eixo 
horizontal através do diâmetro do tampão. O tampão pode ser aberto ou fechado usando-se o 
dedo para girá-lo em torno do eixo fixo. Uma vedação de borracha impede vazamentos.
Todas as dimensões
estão em milímetros
2000 600400
38
00
40
0
14
00
A
800
1500
2000
1160
200 kN
75 kN
40 kN130 kN
30 kN
75 kN
Figura 8.10 Exemplo de muro de contenção.
Capítulo 8 • Momentos 65
Figura 8.11 (a) Um tampão giratório de banheira fechado (b) Um tampão giratório de banheira 
aberto.
3 
m
30 kN
A
1
4 m
10 kN
A
2
A
5 m
10 kN
45 kN
60 kN 3
A
10 kN
30 kN
5 kN
4 m3 
m
2 
m
4
A
2,828 m
0,172 m55 kN
9 kN
14 kN
45°
5
3 m 2 m2 m
A
6
5 kN
5 kN 6 kN 7 kN
Figura 8.12 Exemplos de momento.
66 Fundamentos de Estruturas
Quando a banheira está cheia d’água, o peso do líquido sobre cada uma das partes semicir-
culares do tampão separadas pelo eixo fixo é igual e, portanto, os momentos gerados pelo peso 
da água em torno do eixo fixo são iguais. Como esses momentos são equivalentes em magnitude 
e opostos em direção, o tampão fica em equilíbrio e não tende a girar. No entanto, se um dos 
lados do botão for pressionado por um dedo, irá gerar um momento adicional, tirando o tampão 
do equilíbrio e abrindo-o. Observe que, apesar da pressão da água (possivelmente bastante gran-
de) sobre o tampão, apenas uma pequena força é necessária para abri-lo.
O que você deve recordar deste capítulo
• Momento é um dos conceitos mais importantes em mecânica estrutural.
• Um momento é um efeito giratório, seja em sentido horário ou anti-horário, em torno de um 
determinado ponto.
• Se a linha de ação de uma força passar sobre um ponto em torno do qual momentos estão 
sendo medidos, então o momento de tal força em torno do ponto é zero. (É muito impor-
tante lembrar deste conceito, já que ele aparece diversas vezes na solução de problemas mais 
adiante neste livro.)
• Pode ser necessário distribuir forças em componentes a fim de calcular momentos.
Exercícios
Em cada um dos exemplos apresentados na Figura 8.12, calcule o momento líquido, em unidades 
de kN.m., em torno do ponto A.
Respostas
1. M = +90 kN.m
2. M = −40 kN.m
3. M = +50 kN.m
4. M = +90 kN.m
5. M = +1 kN.m
6. M = +63 kN.m
9
Reações
Obs.: Os símbolos de apoio usados nos diagramas deste capítulo serão explicados no Capítulo 10.
Introdução
No Capítulo 6, examinamos o conceito de equilíbrio. Determinamos que se um corpo ou objeto 
de qualquer espécie encontra-se estacionário, então as forças sobre ele se cancelam da seguinte 
forma:
Força total para cima = Força total para baixo 
Força total para a esquerda = Força total para a direita
Isso está resumido na Figura 6.4.
O conceito de momento, ou efeito giratório, foi introduzido no Capítulo 2 e analisado em 
mais profundidade no Capítulo 8. Neste capítulo, aprenderemos a usar essas informações para 
calcular reações – ou seja, as forças para cima que ocorrem em apoios de vigas como reação às 
forças sobre a viga.
Equilíbrio de momentos
Ao final do Capítulo 8 você aprendeu que se um objeto ou corpo encontra-se estacionário, ele 
não gira, e o momento total em sentido horário em torno de qualquer ponto no objeto é igual 
ao momento total em sentido anti-horário em torno do mesmo ponto. Essa é a terceira regra do 
equilíbrio e podemos acrescentá-la às primeiras duas apresentadas no Capítulo 6. As três regras 
do equilíbrio estão expressas na Figura 9.1.
Na Figura 9.2, cada viga de aço impõe uma força para baixo sobre o pilar de apoio e, como 
resposta, o pilar apresenta uma reação para cima junto à viga que ele suporta.
Cálculo de reações
As três regras do equilíbrio podem ser usadas para calcular reações. Conforme discutido no Ca-
pítulo 2 e novamente no Capítulo 6, uma reação é uma força (geralmente para cima) que ocorre 
em um apoio de uma viga ou de um elemento estrutural similar. Uma reação contrabalança as 
forças (geralmente para baixo) na estrutura, mantendo o equilíbrio. É importante ser capaz de 
calcular essas reações. Se o apoio for um pilar, por exemplo, a reação representa a força no pilar, 
que precisaríamos conhecer a fim de projetá-lo adequadamente.
68 Fundamentos de Estruturas
Vejamos o exemplo mostrado na Figura 9.3. A linha horizontal mais grossa representa uma 
viga de 6 m de vão que está apoiada simplesmente em suas duas extremidades, A e B. A única 
carga aplicada sobre a viga é uma carga pontual de 18 kN, que atua verticalmente para baixo na 
posição a 4 m do ponto A. Vamos calcular as reações RA e RB (ou seja, as reações de apoio nos 
pontos A e B, respectivamente).
Força total para cima =
Força total para baixo
Força total para a esquerda =
Força total para a direita
Momento total em sentido horário =
Momento total em sentido anti-horário
Figura 9.1 As regras do equilíbrio.
Figura 9.2 Edifício de estrutura metálica em construção. Repare nas vigas de seção celular 
(isto é, com seção vazada) de aço, nos pilares de aço e no piso de aço perfilado do tipo steel 
deck.
Capítulo 9 • Reações 69
A partir do equilíbrio vertical, abordado no Capítulo 6, sabemos que:
Força total para cima = Força total para baixo
Aplicando isso ao exemplo mostrado na Figura 9.3, podemos ver que:
RA + RB = 18 kN
Isso, é claro, não nos diz o valor de RA nem nos diz o valor de RB. Meramente nos informa que 
a soma de RA e RB é 18 kN. Para calcular RA e RB, claramente precisamos fazer algo diferente.
Apliquemos nosso conhecimento recém adquirido sobre equilíbrio de momentos. Já apren-
demos que, quando uma estrutura encontra-se estacionária, então em qualquer ponto específico 
da estrutura:
Momento total em sentido horário = Momento total em sentido anti-horário
Isso se aplica a qualquer ponto da estrutura. Por isso, calculando os momentos em torno do 
ponto A:
(18 kN × 4 m) = (RB × 6 m)
Portanto, RB = 12 kN. Repare que não há momento gerado pela força RA. Isso ocorre porque a 
força RA tem sua linha de ação exatamente sobre o ponto (A) em torno do qual estamos calcu-
lando os momentos.
De forma similar, calculando os momentos em torno do ponto B:
Momento total em sentido horário = Momento total em sentido anti-horário
(RA × 6 m) = (18 kN × 2 m)
Portanto, Ra = 6 kN.
Para conferir, vamos somar RA e RB:
RA + RB = 6 + 12 = 18 kN
que é o que esperaríamos a partir da primeira equação.
Uma palavra de cautela
É fácil cometer um equívoco e obter as duas reações de forma invertida. Como método de con-
ferência, imagine um homem parado sobre uma tábua deandaime sustentada por pilares de an-
daime em cada extremidade, conforme mostrado na Figura 9.4. O homem está posicionado mais 
perto do apoio do lado esquerdo. Quais dos dois apoios está trabalhando mais para sustentar o 
peso do homem?
O bom senso nos diz que o apoio do lado esquerdo deve estar tendo mais trabalho para su-
portar o peso do homem, simplesmente porque o homem está parado mais perto deste apoio. Em 
outras palavras, esperaríamos que a reação do apoio da esquerda fosse a maior dentre os dois.
A
18 kN
RBRA
m2m4
B
C
Figura 9.3 Cálculo de reações para cargas pontuais.
70 Fundamentos de Estruturas
Examinando mais uma vez o exemplo da Figura 9.3, como a carga de 18 kN é aplicada mais 
para o lado direito da viga, esperaríamos que a reação na extremidade direita (RB) fosse maior do 
que a reação na extremidade esquerda (RA). E de fato é.
Sempre é uma boa ideia fazer essa “conferência de bom senso” para garantir que você tenha 
obtido as reações nos lados certos do problema. Para resumir: se a carga aplicada sobre uma viga 
é claramente maior em um extremo da viga, você esperaria que a reação também fosse maior 
nessa extremidade.
Cálculo de reações quando cargas uniformemente 
distribuídas estão presentes
Até aqui neste capítulo, analisamos apenas problemas envolvendo cargas pontuais e evitamos 
estrategicamente aqueles envolvendo cargas uniformemente distribuídas (CUDs). E há um bom 
motivo para isso: a análise de problemas com cargas pontuais é muito mais fácil, e vem sendo 
minha política ao escrever este livro – e também na vida em geral – começar pelas coisas mais 
fáceis para só então avançar para as mais difíceis.
Na prática, as cargas encontradas em edificações “reais” e em outras estruturas são em sua 
maioria cargas uniformemente distribuídas – ou podem ser representadas como tal –, e por isso 
precisamos saber como calcular reações em extremidades. O principal problema que encontra-
mos é como calcular os momentos. Para cargas pontuais, é tudo muito objetivo – o momento 
apropriado é calculado multiplicando-se a carga (em kN) pela distância dela até o ponto em 
torno do qual estamos calculando os momentos. Porém, com uma carga uniformemente distri-
buída, como estabelecemos a distância apropriada?
A Figura 9.5 representa uma porção de carga uniformemente distribuída de comprimento x. 
A intensidade da carga uniformemente distribuída é w kN/m. A linha pontilhada na Figura 9.5 
representa a linha central da carga uniformemente distribuída. Vamos supor que quiséssemos 
calcular o momento dessa porção de CUD em torno do ponto A, que está situado a uma distân-
cia a até a linha central da CUD. Nessa situação, o momento da CUD em torno do ponto A é a 
carga total multiplicada pela distância desde a linha central da CUD até o ponto em torno do 
qual estamos calculando os momentos. A CUD total é w × x, a distância pertinente é a, então:
Momento da CUD em torno de A = w × a × x
Aplique esse princípio sempre que estiver trabalhando com cargas uniformemente distribuídas.
Figura 9.4 Homem sobre uma tábua de andaime.
Capítulo 9 • Reações 71
Exemplo envolvendo cargas uniformemente distribuídas
Calcule as reações nas extremidades para a viga mostrada na Figura 9.6. Use o mesmo procedi-
mento que antes.
Equilíbrio vertical:
RA + RB = (3 kN/m × 2 m) = 6 kN
Calculando os momentos em torno de A:
(3 kN/m × 2 m) × 1 m = RB × 4 m
Portanto:
RB = 1,5 kN
Calculando os momentos em torno de B:
(3 kN/m × 2 m) × 3 m = RA × 4 m
Portanto:
RA = 4,5 kN
Para conferir:
RA + RB = 4,5 + 1,5 = 6 kN
(conforme esperado a partir da primeira equação).
A
a
x
Linha central do
comprimento da carga
w kN/m
Figura 9.5 Cálculo de momento fletor para o caso geral de carga uniformemente distribuída 
(CUD).
A
3 kN/m
RA RB
m 2m 2
B
C
3 m1 m
Figura 9.6 Cálculos de reações para cargas uniformemente distribuídas.
72 Fundamentos de Estruturas
O que você deve recordar deste capítulo
A terceira regra do equilíbrio diz que se um objeto, ou qualquer parte dele, estiver estacionário, 
o momento total em sentido horário em torno de qualquer ponto no objeto é o mesmo que o 
momento total em sentido anti-horário em torno desse mesmo ponto. Essa regra pode ser usada 
junto com as duas primeiras regras do equilíbrio a fim de calcular reações em apoios.
Exercícios
Tente resolver os exemplos apresentados na Figura 9.7. Para cada um, calcule as reações nas 
posições de apoio.
Respostas
a. RA = 75 kN, RB = 45 kN
b. RA = 7,5 kN, RB = 16,5 kN
c. RA = 17,5 kN, RB = 22,5 kN
d. RA = 17,5 kN, RB = 12,5 kN
)b()a(
)d()c(
6 kN 18 kN
1 m 1 m2 m
A B
RA RB
40 kN/m
BA
3 m 1 m
RA RB
30 kN 10 kN
1 m 3 m 2 m
RA RB
A B
RA RB
1 m 1 m 2 m
20 kN
5 kN/m
A B
Figura 9.7 Mais exemplos de reações.
10
Diferentes tipos de apoio – 
e o que é uma rótula?
O que é uma rótula?
Eu ficaria lisonjeado em saber que você está lendo este livro na praia, em uma linda paisagem 
rural ou em algum outro local ao ar livre. Mas o mais provável é que você esteja dentro de um 
prédio – talvez em casa, no escritório ou na universidade – e, neste caso, é bem possível que haja 
uma porta no seu campo de visão. Caso se trate de uma porta convencional (não uma porta de 
correr, por exemplo), ela deve estar presa com dobradiças. Para que servem essas dobradiças? 
Bem, elas possibilitam abrir a porta girando-a em torno do eixo vertical junto ao qual as dobra-
diças estão situadas.
A Figura 10.1a e b mostra a visão planar de uma porta em suas posições fechada e parcial-
mente aberta, respectivamente, além de parte da parede adjacente. Você poderia se aproximar 
dessa porta e abri-la ou fechá-la, em parte ou totalmente, ao seu bel prazer. As dobradiças lhe 
possibilitam fazer isso ao facilitarem a rotação. Caso a porta estivesse fixada rigidamente à pa-
rede, você não seria capaz de abri-la de jeito algum. Outro detalhe: embora você possa abrir e 
fechar a porta à vontade, nada que você faça com a porta afetará a parte da parede do outro lado 
das dobradiças. Ela permanecerá imóvel. Dito de outra forma, as dobradiças não transmitem 
movimentos rotacionais para a parede. Esse é um conceito especialmente importante e represen-
ta a base da análise de reticulados com nós articulados, que examinaremos nos Capítulos 12-15.
A palavra rótula, conforme usada em engenharia estrutural, é análoga à dobradiça numa 
parede. Uma rótula é indicada simbolicamente por um pequeno círculo vazio no meio. Imagine 
duas barras de aço conectadas por um nó rotulado (articulado), conforme mostrado na Figura 
10.2. De início, as duas barras estão alinhadas, conforme mostradas na Figura 10.2a; em seguida, 
a barra à esquerda é girada cerca de 30 graus em sentido anti-horário, conforme mostrada na 
Figura 10.2b. A barra à direita não é afetada por esse movimento rotacional por parte da barra 
à esquerda.
Uma rótula, portanto, possui duas características importantes:
1. Uma rótula permite movimento rotacional em torno de si mesma.
2. Uma rótula é incapaz de transmitir efeitos rotacionais, ou momentos.
Diferentes tipos de apoio
Até aqui, temos falado sobre apoios (de vigas, etc.) e os indicado por meio de setas apontando 
para cima, sem refletir sobre o tipo ou a natureza do apoio. Como veremos agora, existem três 
tipos diferentes de apoio: deslizante, articulado (rotulado) e engastado.
Apoios deslizantes
Imagine uma pessoa calçando patins e parada em meio a um piso muito polido. Caso você 
se aproximasse dela e lhe desse um forte empurrão por trás (o que não é recomendado sem 
74 Fundamentos de Estruturas
combinar com a pessoa antes), ela avançaria na direção que você a empurrou. Como ela está de 
patins sobre um piso liso, haveria fricção mínima para resistir ao deslizar da pessoa pelo piso.
Um apoio deslizante como parte de uma estrutura é análogo a essa pessoa calçando patins: 
um apoio deslizante é livre para se movimentar horizontalmente. Apoios deslizantes são indica-
dos usando-se o símbolo mostrado na Figura 10.3a. Caberessaltar que isso é puramente simbó-
lico e que um apoio deslizante real provavelmente não se pareceria com esse símbolo. Na prática, 
um apoio deslizante pode incluir suportes deslizantes de borracha, por exemplo, ou rolamentos 
de aço entre duas placas de aço, conforme mostrados na Figura 10.3b.
Apoios articulados
Lembre-se da analogia da dobradiça de porta. Um apoio articulado (rotulado) permite rotação, 
mas não pode se mover na horizontal ou na vertical – exatamente da mesma forma que uma do-
bradiça de porta proporciona rotação, mas ela própria não pode sair de sua posição em direção 
alguma.
Apoios engastados
Aperte suas mãos formando dois punhos cerrados, separe-os horizontalmente em cerca de 30 
cm e peça para um amigo colocar uma régua sobre seus dois punhos, formando um vão entre 
eles. Seus punhos estão sustentando a régua com segurança em suas duas extremidades. Agora 
remova um dos apoios tirando um dos punhos de baixo da régua. O que acontece? A régua cai 
no chão. Por quê? Você removeu um dos apoios, e o único apoio restante não é capaz de sustentar 
a régua por si só – veja a Figura 10.4a e b.
(a) Porta fechada (b) Porta aberta
Figura 10.1 Uma porta vista de cima.
(a) Duas barras alinhadas (b) Rotação da barra à esquerda
Figura 10.2 Barras de aço conectadas por uma rótula.
(a) Símbolo de rolamento (b) Um apoio deslizante real
Figura 10.3 Apoio deslizante – simbolicamente e na realidade.
Capítulo 10 • Diferentes tipos de apoio – e o que é uma rótula? 75
Porém, se você segurar a régua entre seu dedão e seus dedos restantes em apenas uma das 
extremidades, ela será sustentada horizontalmente sem cair. Isso ocorre porque, ao segurá-la, 
sua mão agora impede que a régua faça uma rotação e acabe caindo no chão – veja a Figura 10.4c.
Em estruturas, o apoio equivalente à sua mão no exemplo anterior é chamado de apoio en-
gastado. Assim como sua mão segurando a régua, um apoio engastado não permite rotação.
Há muitas situações em que é necessário (ou pelo menos desejável) que uma viga ou laje seja 
sustentada em apenas uma de suas extremidades – por exemplo, uma sacada. Nessas situações, 
o apoio em uma única extremidade precisa ser um apoio engastado porque, como acabamos de 
ver, este não permite rotação e, portanto, não leva ao colapso do elemento estrutural envolvido 
– veja a Figura 10.5. Assim como um apoio articulado, um apoio engastado não pode se mover 
em direção alguma a partir de sua posição. Mas, ao contrário de um apoio articulado, um apoio 
engastado não pode rotar; é fixo em todos os aspectos.
(a) Régua sustentada simplesmente por dois punhos
(b) Um punho removido
(c) Régua segurada com �rmeza em uma das extremidades
Figura 10.4 O que é um apoio engastado?
(a) Símbolo de apoio engastado (b) Um apoio engastado real
Figura 10.5 Apoio engastado – simbolicamente e na realidade.
76 Fundamentos de Estruturas
Agora que você já formou uma imagem mental dos três tipos de apoio (deslizante, articulado 
e engastado), vamos aprofundar um pouco mais o estudo de cada um deles. Faremos isso no 
contexto de reações e momentos.
Restrições
Consideremos cada um dos seguintes aspectos como uma restrição:
1. reação vertical
2. reação horizontal
3. momento resistente
Restrições por diferentes tipos de apoio
Apoio deslizante
Retornemos ao nosso patinador parado sobre um piso muito polido. Como o piso o está susten-
tando, deve estar proporcionando uma reação para cima para contrabalançar o peso corporal 
do patinador. No entanto, já vimos que se empurrarmos o nosso patinador, ele se moverá. As 
rodinhas nos patins e a ausência de fricção produzida pelo piso fazem com que o patinador não 
ofereça qualquer resistência a nosso empurrão. Em outras palavras, o patinador não é capaz de 
oferecer qualquer reação horizontal ao nosso empurrão (em contraste com uma parede sóli-
da, por exemplo, que não se moveria se fosse empurrada e que, portanto, forneceria uma certa 
reação horizontal). Além disso, nada está impedindo o patinador de levar um tombo (isto é, de 
acabar rotacionando).
A partir dessa análise, podemos ver que um apoio deslizante proporciona uma única restri-
ção: reação vertical. (Não há qualquer reação horizontal ou de momento.)
Apoio articulado
Conforme discutido anteriormente, um apoio articulado (rotulado) permite rotação (então não 
há resistência alguma a momento), mas como não pode se mover na horizontal nem na vertical, 
deve haver tanto uma reação horizontal quanto uma vertical presentes. Assim, um apoio arti-
culado proporciona duas restrições: reação vertical e reação horizontal. (Não incide momento 
algum.)
Apoio engastado
Vimos anteriormente que um apoio engastado é fixo em todos os aspectos: não pode se mover 
nem na horizontal nem na vertical e não pode rotacionar. Isso significa que haverá reações tanto 
horizontal quanto vertical e, como não pode rotacionar, também é preciso haver um momento 
associado a um apoio engastado. A propósito, esse momento é chamado de momento de extre-
midade fixa – veja o Capítulo 8 se precisar esclarecer o conceito de momento.
Portanto, um apoio engastado proporciona três restrições: reação vertical, reação horizontal 
e momento resistente.
Para resumir:
• Um apoio deslizante proporciona uma restrição: reação vertical.
• Um apoio articulado proporciona duas restrições: reação vertical e reação horizontal.
• Um apoio engastado proporciona três restrições: reação vertical, reação horizontal e mo-
mento resistente.
Isso está ilustrado na Figura 10.6.
Capítulo 10 • Diferentes tipos de apoio – e o que é uma rótula? 77
Equações simultâneas
Vamos revisar nosso conhecimento matemático por alguns minutos – especificamente, equa-
ções e equações simultâneas.
Responda à pergunta a seguir afirmando simplesmente Sim ou Não: você é capaz de resolver 
a seguinte equação?
x + 6 = 14
Claramente, a resposta é Sim. Você pode solucionar a equação anterior com grande facilidade 
(x = 8), mas por quê? O motivo de você conseguir resolvê-la com tamanha facilidade é que ela 
apresenta apenas uma incógnita (x, nesse caso).
Agora veja se você consegue resolver as duas equações simultâneas a seguir:
2x + 6y = –22 
3x – 4y = 19
Novamente, é possível solucionar essas duas equações (embora você talvez precise refrescar seus 
conhecimentos matemáticos para isso). A solução, a propósito, é x = 1, y = –4. Mais uma vez, 
por que é possível resolver essas equações? A razão desta vez é que, embora haja duas incógnitas 
(x e y), temos também duas equações.
Avalie agora se você conseguiria solucionar as seguintes equações simultâneas:
4x + 2y – 3z = 78 
2x + y – z = 34
Caso você não tenha percebido por conta própria, vou poupá-lo do tédio de tentar resolvê-las e 
avisar de antemão: você não tem como resolver o problema neste caso. O motivo é que desta vez 
temos três incógnitas (x, y e z), mas apenas duas equações.
Poderíamos continuar investigando dessa forma por algum tempo e, se o fizéssemos, acaba-
ríamos descobrindo o seguinte:
• Se tivermos a mesma quantidade de incógnitas que de equações, um problema matemático 
pode ser resolvido.
• No entanto, se tivermos mais incógnitas do que equações, um problema matemático não 
pode ser resolvido.
Relacionando isso com análise estrutural, se olharmos de volta para o procedimento que usamos 
para calcular reações no Capítulo 9, veremos que estávamos resolvendo três equações. Essas 
equações eram representadas por:
1. Equilíbrio vertical (força total para cima = força total para baixo)
(a) Apoio deslizante (b) Apoio articulado (rotulado) (c) Apoio engastado
V
H
VV
H
Figura 10.6 Restrições proporcionadas por vários tipos de apoio.
78 Fundamentos de Estruturas
2. Equilíbrio horizontal (força total para a direita = força total para a esquerda)
3. Equilíbrio de momentos (momento total em sentido horário = momento total em sentido 
anti-horário)
Como temos três equações, podemos usá-las para resolver um problema envolvendo até três 
incógnitas. Nesse contexto, umaincógnita é representada por uma restrição, conforme definido 
anteriormente neste capítulo. (Lembre-se: um apoio deslizante possui uma restrição, um apoio 
articulado possui duas restrições e um apoio engastado possui três restrições.) Portanto, um sis-
tema estrutural com até três restrições é solucionável – tal sistema é considerado estaticamente 
determinado (ED) – ao passo que um sistema estrutural com mais do que três restrições não é 
solucionável (a menos que usemos técnicas estruturais avançadas que estão além do escopo deste 
livro) – um sistema desse tipo é considerado estaticamente indeterminado (EI).
Sendo assim, se inspecionarmos uma estrutura simples, examinarmos seu apoio e então con-
tarmos o número de restrições, podemos determinar se a estrutura é estaticamente determinada 
(até três restrições no total) ou estaticamente indeterminada (mais do que três restrições).
Analisemos os três exemplos mostrados na Figura 10.7.
Exemplo 10.1
Essa viga possui um apoio articulado (duas restrições) em sua extremidade esquerda e um apoio 
deslizante (uma restrição) em sua extremidade direita. Então o número de restrições é de (2 + 1) 
= 3; portanto, o problema é solucionável e é estaticamente determinado.
(a) Exemplo 1
(b) Exemplo 2
(c) Exemplo 3
Figura 10.7 Determinação estática.
Capítulo 10 • Diferentes tipos de apoio – e o que é uma rótula? 79
Exemplo 10.2
Esse reticulado com nós articulados possui um apoio articulado (duas restrições) em cada extre-
midade. Então o número de restrições é de (2 + 2) = 4. Como 4 é maior do que 3, o problema não 
é solucionável e é estaticamente indeterminado.
Exemplo 10.3
Essa viga possui um apoio engastado (três restrições) em sua extremidade esquerda e um 
apoio deslizante (uma restrição) em sua extremidade direita. Então o número de restrições é 
de (3 + 1) = 4; portanto, o problema novamente não é solucionável e é estaticamente indeter-
minado.
O que você deve recordar deste capítulo
• Apoios de estruturas se dividem em três tipos: deslizante, articulado (rotulado) e engastado. 
Cada um proporciona um certo grau de restrição para a estrutura nesse ponto.
• Conhecendo-se o número de apoios que uma estrutura possui e a natureza de cada apoio, 
pode-se determinar se a estrutura é estaticamente determinada (ED) ou estaticamente inde-
terminada (EI).
• Uma estrutura estaticamente determinada é aquela que pode ser analisada usando-se os 
princípios de equilíbrio abordados nos capítulos anteriores deste livro. Já uma estaticamente 
indeterminada não pode ser analisada usando-se tais princípios.
A Figura 10.8 mostra a estação ferroviária Lille Europe, no norte da França. Olhe para a sua 
estrutura. Será que é necessário haver arcos em uma edificação desse tipo, ou será que eles estão 
lá para emprestar um visual um pouco mais interessante para uma estrutura que de outra forma 
seria um tanto monótona?
Figura 10.8 Estação ferroviária Lille Europe, França.
80 Fundamentos de Estruturas
Exercícios
Determine se cada uma das estruturas exibidas na Figura 10.9 é estaticamente determinada (ED) 
ou estaticamente indeterminada (EI).
1
2
3
Figura 10.9 Determinação estática – exercícios.
11
Algumas palavras sobre 
estabilidade
Introdução
É essencial que uma estrutura seja resistente o bastante para conseguir suportar as cargas e mo-
mentos aos quais se vê sujeita. Mas resistência não é suficiente; a estrutura também precisa ser 
estável.
Neste capítulo, examinaremos o que significa estabilidade em termos estruturais – e como 
podemos determinar se um certo sistema reticulado estrutural é ou não é estável. Em seguida, 
analisaremos em termos práticos como a estabilidade é alcançada e assegurada em edificações.
Estabilidade de sistemas estruturais reticulados
Muitas edificações e outras estruturas possuem uma estrutura reticulada. Edificações feitas de 
aço incluem um sistema reticulado, ou esqueleto, de aço. Se você vive numa cidade grande ou 
perto de uma, já deve ter visto tais esqueletos sendo construídos. Muitas pontes possuem um 
esqueleto de aço. Dentre os exemplos famosos, estão a Tyne Bridge, em Newcastle upon Tyne, e a 
Sydney Harbour Bridge, na Austrália.
Vamos estudar a montagem de um reticulado a partir do zero. Nosso reticulado consistirá 
em barras de metal (“elementos”) unidas entre si em suas extremidades por rótulas. (O conceito 
de rótula, que é um tipo de conexão que permite rotação, foi discutido no Capítulo 10.) Repa-
re nos dois elementos conectados por um nó articulado (rotulado) mostrados na Figura 11.1a. 
Trata-se de uma estrutura estável? (Em outras palavras, é possível que os dois elementos se movi-
mentem um em relação ao outro?) Como a rótula permite que os dois elementos se movimentem 
um em relação ao outro, esta claramente não é uma estrutura estável.
Agora vamos adicionar um terceiro elemento conectado por nós articulados para formar um 
triângulo, conforme mostrado na Figura 11.1b. Trata-se de uma estrutura estável? Sim, é estável, 
porque, embora os nós sejam articulados, não é possível haver movimento dos três elementos um 
em relação aos outros. Sendo assim, esta é uma estrutura estável e rígida. Na verdade, o triângulo 
é a mais básica das estruturas estáveis, conforme mencionaremos de novo na discussão a seguir.
Se adicionarmos um quarto elemento, produziremos o reticulado mostrado na Figura 11.1c. 
Trata-se de uma estrutura estável? Não, não se trata. Muito embora o triângulo nela seja estável, 
o elemento tipo “espora” encontra-se livre para rotacionar com relação ao triângulo, tornando 
essa estrutura em geral não estável.
Repare agora no reticulado mostrado na Figura 11.1d, que é montado adicionando-se um 
quinto elemento. Esta é uma estrutura estável. Caso você duvide disso, tente determinar qual ou 
quais elementos individuais na estrutura podem se mover com relação ao restante do reticulado. 
Você perceberá que nenhum deles pode e que, portanto, esta é uma estrutura estável. É por isso 
82 Fundamentos de Estruturas
que você frequentemente encontra esse detalhe em reticulados estruturais na forma de contra-
ventamentos (reforço em X), que ajudam a garantir a estabilidade geral de uma estrutura.
Vamos adicionar mais outro elemento a fim de obter o reticulado mostrado na Figura 
11.1e. Trata-se de uma estrutura estável? Não, não se trata. De maneira similar ao reticulado 
retratado na Figura 11.1c, ele possui um elemento em forma de esporão que se encontra livre 
para rotacionar com relação ao restante da estrutura. Ao adicionarmos mais um elemento, po-
demos obter o reticulado mostrado na Figura 11.1f e veremos que esta é uma estrutura rígida, 
ou estável.
Poderíamos seguir nessa mesma veia, mas acho que você já deve ter percebido um certo 
padrão emergindo. A mais básica das estruturas estáveis é o triângulo (Fig. 11.1b). Podemos adi-
cionar dois elementos a um triângulo a fim de obter um “novo” triângulo. Todos aqueles reticu-
lados que abrangem uma série de triângulos (Fig. 11.1d e f) são estáveis; os demais, que possuem 
elementos em forma de esporão, não são.
Vejamos agora se conseguimos bolar um jeito de prever matematicamente se um determina-
do reticulado é estável ou não. Na Tabela 11.1, cada reticulado da Figura 11.1 é avaliado. A letra m 
representa o número de elementos em um reticulado e a letra j representa o número de nós (ob-
serve que as extremidades livres e não conectadas dos elementos também são consideradas nós). 
A coluna intitulada “Estrutura estável?” meramente registra se o reticulado é estável (“Sim”) ou 
não (“Não”).
Pode-se demonstrar que se m = 2j – 3, então a estrutura é estável. Se essa equação não for 
satisfeita, então a estrutura não é estável. Isso se confirma na Tabela 11.1: compare os itens na 
coluna intitulada “Estrutura estável?” com aqueles na coluna intitulada “Satisfaz m = 2j – 3?”.
)d()c(
)b()a(
)f()e(
Figura 11.1 Montagem de um sistema reticulado.
Capítulo 11 • Algumas palavras sobre estabilidade 83
Estabilidade interna de estruturasreticuladas – um resumo
1. Um reticulado que contém exatamente o número correto de elementos necessários para se 
manter estável é chamado de um reticulado perfeito. Em tais casos, m = 2j – 3, onde m é 
o número de elementos em um reticulado e j é o número de nós (incluindo extremidades 
livres). Os reticulados b, d e f na Figura 11.1 são exemplos disso.
2. Um reticulado que possui menos do que o número necessário de elementos é instável, sendo 
chamado de mecanismo. Em tais casos, m < 2j – 3. Os reticulados a, c e e na Figura 11.1 são 
exemplos disso. Em cada um dos casos, um elemento do reticulado encontra-se livre para se 
mover com relação aos demais.
3. Um reticulado que contém mais do que o número necessário de elementos é “hiperestático” e 
contém elementos redundantes que poderiam (em teoria) ser removidos. Exemplos disso são 
apresentados a seguir e, em tais casos, m > 2j – 3. Esses reticulados são estaticamente indeter-
minados (EI). Encontramos este termo no Capítulo 10 – ele significa que os reticulados não 
podem ser matematicamente analisados sem que se recorra a técnicas estruturais avançadas.
Exemplos
Para cada um dos reticulados mostrados na Figura 11.2, usamos a equação m = 2j – 3 para de-
terminar se o reticulado em questão é (a) um reticulado perfeito (ED), (b) um mecanismo (Mec) 
ou (c) estaticamente indeterminado (EI). Nos casos em que o reticulado é um mecanismo, in-
dicamos o modo pelo qual o reticulado poderia se deformar. Nos casos em que o reticulado é 
estaticamente indeterminado, tente determinar quais elementos poderiam ser removidos sem 
afetar a estabilidade da estrutura. As respostas são dadas na Tabela 11.2.
Os reticulados mostrados na Figura 11.2b, c e g são estaticamente indeterminados. Isso 
significa que eles são hiperestáticos e que um ou mais elementos poderiam ser removidos sem 
comprometer a estabilidade. No caso da Figura 11.2b, qualquer elemento individual poderia ser 
removido da parte de cima do reticulado, e a estrutura ainda continuaria estável. Na Figura 
11.2c, dois elementos poderiam ser removidos sem comprometer a estabilidade – mas os dois 
elementos a serem removidos devem ser escolhidos com cuidado. Uma escolha sensata seria 
remover um elemento diagonal de cada um dos dois quadrados. Já na Figura 11.2g, qualquer 
elemento poderia ser removido.
Os reticulados mostrados na Figura 11.2d, e e h são mecanismos. Isso significa que uma 
parte do reticulado é capaz de se mover em relação ao restante do reticulado. Na Figura 11.2d, 
o triângulo superior encontra-se livre para rotacionar em torno da rótula central do reticulado, 
independentemente da parte inferior do reticulado. Já na Figura 11.2e, a parte quadrada do reti-
culado encontra-se livre para se deformar, como veremos em um exemplo mais adiante.
O modo de deformação do reticulado na Figura 11.2h é menos fácil de visualizar. Ele é exi-
bido na Figura 11.3.
Tabela 11.1 Quais estruturas são estáveis?
m j Estrutura estável? 2j – 3 Satisfaz m = 2j – 3?
11.1a 2 3 Não 3 N
11.1b 3 3 Sim 3 S
11.1c 4 4 Não 5 N
11.1d 5 4 Sim 5 S
11.1e 6 5 Não 7 N
11.1f 7 5 Sim 7 S
84 Fundamentos de Estruturas
(a) (b) (c)
)f()e()d(
)h()g(
Figura 11.2 Estes reticulados são estáveis?
Tabela 11.2 Estabilidade dos reticulados mostrados na Figura 11.2
m j 2j – 3
Satisfaz m = 2j – 3? 
(ou > ou <) Tipo de estabilidade
11.2a 9 6 9 = ED
11.2b 10 6 9 > EI
11.2c 11 6 9 > EI
11.2d 8 6 9 < Mec
11.2e 6 5 7 < Mec
11.2f 7 5 7 = ED
11.2g 6 4 5 > EI
11.2h 14 9 15 < Mec
Capítulo 11 • Algumas palavras sobre estabilidade 85
Casos gerais
Observe os dois primeiros reticulados na Figura 11.4. Se aplicarmos a fórmula m = 2j – 3 ao 
quadrado padrão retratado na Figura 11.4a, descobriremos que ele é instável, ou um mecanismo. 
Ele pode se deformar na maneira indicada pelas linhas tracejadas. É por isso que, em estruturas 
“reais”, contraventamentos muitas vezes precisam ser incluídos para garantir estabilidade.
Se olharmos para o reticulado mostrado na Figura 11.4b, perceberemos que ele é um qua-
drado reforçado por duas barras diagonais. Aplicando a fórmula m = 2j – 3, descobrimos que ele 
é estaticamente indeterminado, o que significa que ele contém pelo menos um elemento redun-
dante. Investigando um pouco mais, descobrimos que podemos remover qualquer um dos seis 
elementos sem afetar a estabilidade da estrutura.
Ao longo dos anos em que venho lecionando essa matéria, descobri que muitos alunos de-
rivam um grande nível de conforto quando lhes é ensinado um conjunto de regras, ou uma 
“fórmula mágica”, capaz de serem aplicadas na obtenção da resposta correta em qualquer que 
seja a situação.
Eles têm uma tendência a encararem coisas assim como muletas a serem usadas como subs-
tituto do pensamento analítico. Tais estudantes costumam recorrer prontamente à fórmula 
m = 2j – 3, examinada anteriormente, como se fosse uma panaceia universal para determinar a 
estabilidade (ou não) de reticulados com nós articulados. Tenho más notícias para tais leitores: a 
fórmula nem sempre funciona! (A bem da verdade, preciso esclarecer que há outros estudantes 
que se encantam ao descobrir a exceção à regra – e ao informá-la ao professor.)
Preste atenção no reticulado mostrado na Figura 11.4c. Ele contém nove elementos e seis 
nós, então m = 9 e j = 6; conclui-se daí que m = 2j – 3 neste caso, o que sugere que se trata de um 
reticulado perfeito. Mas, na realidade, uma inspeção do reticulado mostra que isso não é verda-
de. A parte esquerda do reticulado é formada por um quadrado sem contraventamento, o que 
é um mecanismo e pode se deformar da mesma maneira que o reticulado mostrado na Figura 
11.4a. Mas a parte direita do reticulado possui contraventamento duplo, o que significa que ela 
é “hiperestática” e contém elementos redundantes, da mesma forma que o reticulado mostrado 
na Figura 11.4b. Assim, parte do reticulado mostrado na Figura 11.4c é um mecanismo e a outra 
parte é estaticamente indeterminada, mas isso não torna o reticulado em geral perfeito, confor-
me previsto pela fórmula!
A lição a ser tirada disso é que a fórmula m = 2j – 3 deve ser encarada apenas como um guia 
– ela nem sempre funciona. Todo reticulado sempre deve ser inspecionado para conferir se exis-
tem quaisquer sinais de algum (a) mecanismo ou (b) de hiperestaticidade.
Figura 11.3 Deformação do reticulado mostrado na Figura 11.2h.
86 Fundamentos de Estruturas
Reticulados sobre apoios
Até aqui neste capítulo, ignoramos convenientemente o fato de que, na prática, reticulados pre-
cisam ser sustentados. Precisamos, portanto, levar em consideração o efeito dos apoios na esta-
bilidade geral dos reticulados.
No Capítulo 10, aprendemos sobre os três tipos diferentes de apoio (deslizante, articulado e 
engastado). Também vimos que:
• um apoio deslizante proporciona uma restrição (r = 1)
• um apoio articulado proporciona duas restrições (r = 2)
• um apoio engastado proporciona três restrições (r = 3)
Leia novamente o Capítulo 10 caso esteja inseguro quanto a isso.
A fórmula m = 2j – 3 já usada é agora modificada para m + r = 2j, onde apoios estão presentes. 
Como antes, m é o número de elementos e j é o número de nós. A letra r representa o número 
total de restrições (uma para cada apoio deslizante, duas para cada apoio articulado e três para 
cada apoio engastado).
• Se m + r = 2j, então o reticulado é um reticulado perfeito e estaticamente determinado (ED), 
o que significa que pode ser analisado pelos métodos explicados nos capítulos a seguir deste 
livro.
• Se m + r < 2j, então o reticulado é um mecanismo – ele é instável e não deve ser usado como 
uma estrutura.
• Se m + r > 2j, então o reticulado contém elementos redundantes e é estaticamente indetermi-
nado (EI), o que significa que não pode ser analisado sem que se recorra a métodos avança-
dos de análise estrutural.
(a) Quadrado-padrão (instável) (b) Um quadrado hiper-reforçado
(c) Reticulado perfeito, mecanismo ou hiper-reforçado?
Figura 11.4 Estabilidade de reticulados– casos gerais.
Capítulo 11 • Algumas palavras sobre estabilidade 87
Exemplos
Para cada uma dos reticulados mostrados na Figura 11.5, use a equação m + r = 2j para deter-
minar se o reticulado é (a) estaticamente determinado, (b) um mecanismo ou (c) estaticamente 
indeterminado. Nos casos em que o reticulado é um mecanismo, indique a maneira pela qual 
o reticulado pode se deformar. Nos casos em que o reticulado é estaticamente determinado, 
determine quais elementos poderiam ser removidos sem afetar a estabilidade da estrutura. As 
respostas são dadas na Tabela 11.3.
)b()a(
)d()c(
(e) (f)
Figura 11.5 Essas estruturas são estáveis?
Tabela 11.3 Estabilidade das estruturas mostradas na Figura 11.5
m j 2j r m + r Satisfaz m + r = 2j? (ou > ou <) Tipo de estabilidade
11.5a 7 5 10 3 10 = ED
11.5b 9 8 16 8 17 > EI
11.5c 9 6 12 2 11 < Mec
11.5d 8 6 12 3 11 < Mec
11.5e 7 5 10 3 10 = ED
11.5f 10 7 14 6 16 > EI
88 Fundamentos de Estruturas
Os reticulados mostrados na Figura 11.5b e f são estaticamente indeterminados. Isso signifi-
ca que são hiperestáticos e que um ou mais elementos podem ser removidos. No caso da Figura 
11.5b, um dos elementos diagonais pode ser removido (mas não ambos!) e a estrutura continua-
ria estável. Na Figura 11.5f, o elemento diagonal de “escora” pode ser removido sem comprome-
ter a estabilidade. Os reticulados mostrados na Figura 11.5c e d são mecanismos. A estrutura na 
Figura 11.5c é obviamente instável, encontrando-se livre para rotacionar em torno de seu único 
apoio central. Na Figura 11.5d, a parte quadrada do reticulado encontra-se livre para se defor-
mar da maneira indicada na Figura 11.4a.
Estabilidade de estruturas “reais”
Na prática, a estabilidade de uma estrutura é assegurada por uma dentre três maneiras:
1. pilares-parede (shear walls)/núcleo rígido
2. contraventamentos
3. nós rígidos
Examinemos cada uma delas detalhadamente.
Pilar-parede (shear wall)/núcleo rígido
Essa forma de estabilidade é geralmente (mas não exclusivamente) usada em edifícios de con-
creto. Observe a planta estrutural do pavimento superior de um típico edifício de concreto, con-
forme mostrado na Figura 11.6a. A estrutura compreende uma planta do conjunto dos pilares, 
que sustentam vigas e lajes a cada pavimento. O vento sopra horizontalmente contra o edifício 
de qualquer direção. É importante, obviamente, que o prédio não tombe da mesma forma que 
um “castelo de cartas” sob os efeitos dessa força eólica horizontal. Podemos projetar cada pilar 
individual para resistir às forças eólicas, mas, por vários motivos, não é assim que isso costuma 
ser feito.
Na verdade, são usados pilares-parede (shear walls). Essas paredes são projetadas para se-
rem rígidas e fortes o suficiente para resistirem a todas as forças laterais atuando sobre o edi-
fício. Como a maioria dos edifícios possuem escadarias e fossos de elevador, as paredes que os 
cercam costumam ser projetadas e construídas para cumprir esse papel, conforme mostradas 
na Figura 11.6b. Em prédios maiores, os pilares-parede podem ser construídos de modo a com-
por um núcleo interno (núcleo rígido) do edifício, que geralmente contém escadarias, fossos 
de elevador e dutos para serviços. A NatWest Tower em Londres é um exemplo dessa forma de 
construção.
Contraventamentos
Esta forma de estabilidade é comum em prédios com esqueleto de aço. A Figura 11.7a mostra 
a elevação de um prédio de esqueleto de aço com três pavimentos, sobre o qual o vento está 
soprando. Não há nada que impeça o prédio de se inclinar e desabar da maneira indicada pelas 
linhas tracejadas.
Uma forma de assegurar a estabilidade é impedir que os “quadrados” na elevação do prédio 
se tornem trapézios. Anteriormente neste capítulo, vimos que (a) um triângulo é a mais básica 
das estruturas estáveis e (b) um elemento diagonal pode impedir que um quadrado se deforme 
(ilustrado na Figura 11.1b e d, respectivamente). Assim, contraventamentos são usados para ga-
rantir estabilidade, conforme mostrados na Figura 11.7b.
Capítulo 11 • Algumas palavras sobre estabilidade 89
Grandes “galpões” comerciais modernos, muitas vezes ocupados por lojas de eletrônicos e 
ferragens, são encontrados na maioria das grandes e médias cidades britânicas. Eles geralmente 
são estruturas de aço de um único pavimento e a estrutura da edificação muitas vezes fica visí-
vel internamente. Da próxima vez que você for até uma loja dessas, dê uma boa olhada em sua 
estrutura, você perceberá pilares de aço a intervalos (típicos) de 5 ou 6 m ao longo da edificação. 
Se você reparar na end bay (isto é, o espaço entre o pilar final e o próximo), você talvez se depare 
com um arranjo em zigue-zague de elementos diagonais. Eles estão ali pelo motivo discutido 
anteriormente: a fim de proporcionar estabilidade lateral para a edificação como um todo. A Fi-
gura 11.8 exibe um exemplo bastante explícito de contraventamento em um novo edifício de 
escritórios: observe também a “ponte” de treliça metálica sobre a entrada principal.
Nós rígidos
O terceiro método para proporcionar estabilidade lateral é simplesmente construir os nós rígi-
dos e resistentes o suficiente para que não seja possível haver movimento das vigas com relação 
aos pilares. Os pontos pretos na Figura 11.9 indicam nós rígidos que impedem a ocorrência da 
ação retratada na Figura 11.7a.
(a) Planta típica de um edifício de escritórios de concreto armado
Vento
(b) Mesma planta com pilares-parede adicionados
Fosso de
elevador
Fosso de
escadaria
Fosso de
escadaria
Figura 11.6 Provisão de estabilidade usando pilares-parede (shear walls).
90 Fundamentos de Estruturas
(a) Seção através de um edifício de três pavimentos com pórtico metálico
(b) Mesma seção com contraventamento adicionado
Vento
Figura 11.7 Provisão de estabilidade usando contraventamento.
Figura 11.8 Edifício de escritórios, Euston Road, Londres.
Capítulo 11 • Algumas palavras sobre estabilidade 91
Figura 11.9 Provisão de estabilidade usando nós rígidos.
1
2
3
4
5
A B C D
EF
A
B
C
D
E
A B
C
D
A B C
D E F
G H J
A B
C
D E F
GH
Figura 11.10 Exercícios.
92 Fundamentos de Estruturas
O que você deve recordar deste capítulo
• Todas as estruturas devem ser estáveis; caso contrário, elas podem desabar. Ser resistente 
não é suficiente.
• Um determinado sistema estrutural reticulado pode ser hipostático, isostático ou hiperes-
tático. Qual dessas condições se aplica é algo que pode ser determinado por meio de uma 
combinação de inspeção e cálculo.
• A estabilidade lateral em edificações pode ser assegurada de uma dentre três maneiras: pila-
res-parede, contraventamentos e nós rígidos.
Exercícios
1. Para cada um dos exemplos mostrados na Figura 11.10, determine se o reticulado é (a) um 
reticulado perfeito (isostático), (b) instável (um mecanismo) ou (c) hiperestático (contendo 
elementos redundantes). Se o reticulado for instável, determine onde um elemento poderia 
ser acrescentado para torná-lo estável. Se o reticulado for hiperestático, determine quais ele-
mentos poderiam ser removidos sem que a estrutura deixasse de ser estável.
2. Selecione uma estrutura reticulada perto de onde você mora. Determine como a estabilidade 
lateral é conferida à estrutura e declare os motivos pelos quais o projetista pode ter escolhido 
esse método específico para garantir a estabilidade.
12
Introdução à análise de reticulados 
com nós articulados
Vigas simples e treliças
O conceito de viga já foi analisado em capítulos anteriores. Já vimos que se uma viga simples em 
uma edificação recebe carga por cima, ela acabará vergando, conforme mostrada na Figura 12.1. 
Você prontamente pode imaginar que o material na parte de cima da viga está sendo esmagado, ou 
comprimido. Em contraste, o material na parte de baixo da viga está sendo esticado, ou tracionado.
A quantidade de movimento para baixo, ou deflexão, a partir da horizontal depende em 
parte do material usado – obviamente é muito mais fácil f lexionar uma viga feitade borracha do 
que uma viga do mesmo tamanho feita de madeira.
Outro fator que dita a deflexão de uma viga é o formato e o tamanho da seção transversal da 
viga. Se imaginarmos uma viga com seção transversal retangular, quanto mais baixa for a viga, mais 
fácil será flexioná-la. O leitor pode verificar isso com facilidade ao pegar uma régua de plástico por 
suas extremidades e tentar flexioná-la. Se a régua estiver orientada com sua superfície plana na hori-
zontal, é fácil flexioná-la em um plano vertical. Em compensação, se a régua estiver posicionada com 
seu “fio” para cima, é difícil flexioná-la em um plano vertical, conforme mostrada na Figura 12.2.
Podemos deduzir daí – tudo mais permanecendo igual – que quanto mais alta for uma viga, 
mais resistente ela será. (Esse princípio é demostrado matematicamente no Capítulo 19.)
O problema é que, embora uma viga de perfil alto possa ser mais resistente do que uma viga 
de perfil baixo, ela também requer mais material, e material custa dinheiro. Você pode argumen-
tar que o uso de mais material é um preço que vale a pena ser pago por uma viga mais resistente, 
mas existe um jeito de driblar esse problema. Em vez de termos uma viga sólida e alta, podemos 
alcançar o mesmo resultado usando um sistema reticulado formado por elementos, conforme 
mostrado na Figura 12.3. Os elementos do alto e de baixo (ou “banzos”, como costumam ser 
chamados) estarão, respectivamente, sob compressão e tração, assim como ocorre com as partes 
de cima e de baixo de uma viga sólida. Tal sistema reticulado é chamado de treliça – ele costuma 
ser feito de aço, mas pode ser feito de madeira. Você já deve ter visto pontes ferroviárias que se 
parecem com a da Figura 12.3.
Outros exemplos são mostrados nas Figuras 12.4, 12.5 e 12.6. A Figura 12.4 mostra uma 
moderna passarela de treliça sobre um rio; a Figura 12.5 ilustra uma treliça com altura de um 
pavimento usada na estrutura de um edifício; e a Figura 12.6 mostra uma treliça sustentando um 
edifício de vários pavimentos sobre um grande vão.
O que é um reticulado com nós articulados?
Sistemas reticulados formados por elementos estruturais, como pontes ferroviárias metálicas 
(conforme ilustrado na Figura 12.7) ou torres de transmissão, são muitas vezes analisados como 
reticulados com nós articulados. Isso significa que os nós entre os elementos são encarados como 
rótulas ou dobradiças, que por definição não podem transmitir momentos de um elemento para 
outro. (Consulte o Capítulo 10 para uma explicação do conceito de rótula.)
94 Fundamentos de Estruturas
Compressão
Tração
Figura 12.1 Flexão de vigas.
(a) Régua deitada – fácil de �exionar
(b) Régua de pé – muito difícil de �exionar
Figura 12.2 Vigas mais altas são mais resistentes.
Figura 12.3 Uma ponte ferroviária de aço.
Figura 12.4 Ponte com treliça sobre o rio Spree, Berlim.
Capítulo 12 • Introdução à análise de reticulados com nós articulados 95
Pode-se demonstrar que as forças nos elementos de tais sistemas reticulados são puramente 
axiais. Em outras palavras, as forças nos elementos atuam ao longo da linha dos elementos, o que 
significa que cada elemento experimenta um dos seguintes efeitos:
• compressão pura
• tração pura
• nenhuma força axial
Figura 12.5 Treliça em fachada, Sony Centre, Berlim.
Figura 12.6 Edifício sobre vão sustentado por treliça gigante, Roterdã.
96 Fundamentos de Estruturas
Os elementos de um reticulado com nós articulado não experimentam forças de flexão nem de 
cisalhamento.
Você pode questionar por que é legítimo analisar estruturas reais como reticulados com nós 
articulados. Afinal de contas, se você inspecionar a junção de dois elementos de aço em uma 
ponte ferroviária ou torre de transmissão, descobrirá que a junção é feita de uma combinação de 
placas anguladas, parafusos e soldas, e pode ser bastante complexa – então ela jamais deveria, a 
bem da verdade, ser vista como um nó articulado, certo?
É verdade – nós em reticulados estruturais não costumam ser articulados na prática. Contu-
do, para fins de análise, consideramos que os nós são articulados pelos dois seguintes motivos:
1. Se você fosse analisar a mesma estrutura (a) pressupondo que os nós são articulados e, em 
seguida, (b) como uma estrutura de nós rígidos, os resultados seriam similares.
2. É muito mais fácil analisar os nós como se fossem rótulas.
Conclui-se, portanto, que devemos ser capazes de analisar reticulados com nós articulados.
Figura 12.7 Sistemas estruturais reticulados de aço.
Capítulo 12 • Introdução à análise de reticulados com nós articulados 97
Como reticulados com nós articulados são analisados?
Pelo termo “análise”, no contexto de reticulados com nós articulados, queremos dizer calcular:
*N. de R.T.: Neste momento no livro, inicia-se a análise interna das estruturas e de seus elementos estruturais, principal-
mente. Neste caso, as “forças” nos elementos são internas, distinguindo-se das forças externas, aplicadas externamente 
nos elementos e denominadas até aqui de cargas. Usualmente, na engenharia de estruturas, essas forças internas são de-
nominadas esforços, mais especificamente esforço axial, esforço de momento f letor, esforço de cisalhamento ou esforço 
cortante e esforço de momento torçor.
1. a magnitude da força em cada elemento;
2. se a força é de tração ou de compressão.
Há três técnicas para fazer isso:
1. método de resolução nos nós
2. método das seções
3. método gráfico
Elas são examinadas nos Capítulos 13, 14 e 15, respectivamente.*
13
Método de resolução nos nós
Introdução
O método de resolução nos nós é o primeiro dos três métodos alternativos para analisar reti-
culados com nós articulados. Por “analisar” queremos dizer o processo de calcular a força (que 
começaremos a denominar esforço) em cada elemento do reticulado com nós articulados e de-
terminar se cada uma dessas forças (desses esforços) encontra-se sob tração ou compressão.
Há outras duas técnicas para isso:
1. método das seções
2. método gráfico (ou do diagrama de esforços)
Essas duas técnicas são analisadas nos Capítulos 14 e 15, respectivamente. O método das seções 
é apropriado apenas se os esforços em alguns dos elementos (mas não em todos) forem neces-
sários. Já o método gráfico, como o nome sugere, envolve desenhos em escala, os quais, por sua 
própria natureza, introduzem erros.
Estudantes muitas vezes encontram dificuldade em entender as técnicas de análise de reticu-
lados com nós articulados. Isso porque essas técnicas são em parte intuitivas por natureza. Devido 
a essas dificuldades, estudantes de arquitetura muitas vezes não são ensinados a analisar reticula-
dos com nós articulados; e quando o são, as instruções que recebem muitas vezes são meramente 
conceituais. Alguns professores preferem ensinar o método gráfico para estudantes de engenharia 
civil porque (a) ele não é matemático e (b) obedece a um procedimento rígido, o que facilita o en-
sino e também a compreensão por parte dos alunos. No entanto, o método da resolução nos nós 
apresenta uma aplicação mais universal e por isso será ensinado neste capítulo.
As regras
Ao longo de toda a análise de reticulados com nós articulados pelo método da resolução nos nós, 
existem três regras a serem lembradas. Essas regras já foram ensinadas em capítulos anteriores 
deste livro e são as seguintes:
Regra 1: o esforço axial atua na mesma direção do elemento
As forças em qualquer elemento de um reticulado com nós articulados são esforços axiais. Em 
outras palavras, os esforços axiais atuam ao longo da linha central de um elemento. Sendo assim, 
se um elemento é vertical, os esforços axiais nesse elemento devem ser verticais. Se um elemento 
é horizontal, os esforços axiais sobre ele serão horizontais. E se um elemento encontra-se incli-
nado a um ângulo de, digamos, 30° com relação à horizontal, os esforços axiais nesse elemento 
atuarão ao longo dessa linha.
Regra 2: o equilíbrio se aplica por toda parte
As regras básicas do equilíbrio se aplicama todos os nós (e em todos os elementos) de um reti-
culado com nós articulados. Isso significa que a soma de todas as forças para baixo sobre o nó 
Capítulo 13 • Método de resolução nos nós 99
equivale exatamente à soma de todas as forças para cima sobre o nó. Significa também que a for-
ça total para a esquerda é exatamente equivalente à força total para a direita. Consulte o Capítulo 
6 se precisar desses conceitos.
Regra 3: forças podem ser desmembradas em componentes
Quando uma força atua em ângulo (isto é, não é nem horizontal nem vertical), essa força pode 
ser distribuída em componentes – uma horizontal e uma vertical – as quais, consideradas em 
conjunto, exercem os mesmos efeitos que a força original. Lembre-se: se uma força F atua a um 
certo ângulo θ em relação à horizontal, sua componente horizontal sempre será F.cos θ e sua 
componente vertical sempre será F.sen θ (“sobe”). Consulte o Capítulo 7 se você precisar revisar 
o conceito de componentes.
Certifique-se de que tenha compreendido integralmente as três regras anteriores antes de 
prosseguir, já que elas se farão necessárias a cada passo dos exemplos a seguir.
A abordagem geral
Como o termo “método de resolução nos nós” sugere, a técnica envolve o exame de cada nó de 
um reticulado, um por um. Os nós mais fáceis de analisar são aqueles nos quais todas as for-
ças e elementos encontram-se ou na horizontal ou na vertical. Isso porque, em tais nós, não há 
elementos diagonais – cujas forças precisariam ser desmembradas em componentes verticais e 
horizontais.
Observe a Figura 13.1a, que exibe uma das extremidades de um reticulado. Nenhum elemen-
to diagonal irradia do canto B. O nó nesse canto está sujeito a uma força vertical de 30kN e a uma 
força horizontal de 64 kN, conforme mostrado.
Como a estrutura presumivelmente encontra-se estacionária, as regras de equilíbrio se apli-
carão ao nó.
Como a força total para cima = força total para baixo, então o elemento vertical desse sistema re-
ticulado (elemento AB) deve experimentar uma força de 30 kN para cima no ponto B (para se opor à 
força externa de 30 kN para baixo). De modo similar, como a força total para a esquerda = força total 
para a direita, então o elemento horizontal BD deve experimentar uma força de 64 kN para a direita 
nesse ponto (para se opor à força externa de 64 kN para a esquerda). Veja a Figura 13.1b.
Outra coisa a lembrar é que, assim como os nós, os elementos também precisam estar em 
equilíbrio. No elemento horizontal, temos uma força de 64 kN para a direita; ela deve ser contra-
balançada por uma força de 64 kN para a esquerda no outro extremo do elemento. No elemento 
vertical, há uma força de 30 kN para cima; ela deve ser contrabalançada por uma força de 30 kN 
para baixo no outro extremo do elemento. Veja a Figura 13.1c. No elemento vertical, as setas es-
tão apontando para longe uma da outra, então este elemento está sob esforço axial de compres-
são. Já no elemento horizontal, as setas estão apontando uma para a outra, então este elemento 
está sob esforço axial de tração (veja o Capítulo 3 para rememorar).
Observe agora o sistema reticulado mostrado na Figura 13.2a. Levaria algum tempo para 
analisar o reticulado inteiro, mas há certos elementos para os quais poderíamos determinar os 
esforços axiais com bastante objetividade. Especificamente, poderíamos examinar os nós nos 
quais não há elementos diagonais nem forças inclinadas, ou seja, os nós B, C e H.
Usando a abordagem explicada anteriormente, podemos ver logo de cara que a força no ele-
mento BD deve ser de 12 kN (para contrabalançar a força horizontal externa de 12 kN em B) e 
que ele estará sob esforço axial de compressão (as setas apontam para longe uma da outra). Além 
disso, o esforço axial no elemento AB deve ser zero, já que não há qualquer força vertical externa 
para ser oposta no ponto B (ou, dito de outra forma, há uma força vertical externa de 0 kN a ser 
contrabalançada no ponto B).
100 Fundamentos de Estruturas
(c)
30
 k
N
64 kN
64 kN
30 kN
A
B
C
D
)b()a(
64 kN
30 kN
A
B
C
D
30
 k
N
64 kN
64 kN
30 kN
A
B
C
D
Figura 13.1 Elementos em que os esforços axiais são facilmente calculados.
(a)
(b)
24
 k
N
12 kN
12 kN
24 kN
G
H
A
B
C
D
E
F
12 kN
24 kN
G
H
A
B
C
D
E
F
= =
Figura 13.2 Mais elementos em que os esforços axiais são facilmente calculados.
Capítulo 13 • Método de resolução nos nós 101
Passando para o nó H, vemos que a força no elemento GH deve ser de 24 kN (para contraba-
lançar a força vertical externa de 24 kN em H) e que ele estará sob esforço axial de tração (setas 
apontando uma para a outra). O esforço axial no elemento FH deve ser zero, já que não há qual-
quer força horizontal externa para ser oposta no ponto H (ou, dito de outra forma, há uma força 
horizontal externa de 0 kN a ser contrabalançada no ponto H).
Por fim, examinemos o nó C. O esforço axial no elemento vertical CD deve ser zero, já que 
não há qualquer força vertical externa para ser oposta no ponto C. Além do mais, considerando-
-se o equilíbrio horizontal no elemento C, os esforços axiais nos elementos AC e CE devem ser 
equivalentes – embora não possamos obter seus valores sem uma análise mais aprofundada.
Os esforços axiais que conhecemos estão mostrados na Figura 13.2b.
Cuidado com a pegadinha!
Observe agora o reticulado mostrado na Figura 13.3a. Olhando para ele, e sem fazer cálculo 
algum, qual é o esforço axial no elemento CD?
Já apresentei esse problema a estudantes em inúmeras ocasiões. Uma resposta comum à per-
gunta anterior é “60 kN”. Acho isso deprimente, pois, se você acha que o esforço axial no elemen-
to CD é 60 kN, lamento informar que você está enganado!
Olhe para o nó D. Não há qualquer força vertical externa ali – ou, se você preferir encarar a 
questão assim, a força vertical externa em D é de 0 kN. Para contrabalançá-la, o esforço axial no 
elemento CD deve ser de 0 kN. Os esforços axiais no reticulado são mostrados na Figura 13.3b. 
(Repare que, para o equilíbrio horizontal no nó D, os esforços axiais nos elementos BD e DF de-
vem ser equivalentes.)
Então por que o esforço axial no elemento CD não é de 60 kN?
Para responder essa pergunta, vamos nos concentrar no nó C. Certamente, há uma força 
externa para baixo de 60 kN atuando ali, a qual, para haver equilíbrio, deve estar sendo con-
trabalançada por uma força para cima de 60 kN. Mas o elemento CD não suportará essa força 
vertical sozinho: os elementos diagonais BC e CF também estão presentes no nó C e suportarão 
uma certa componente vertical de força. Portanto, a força de 60 kN para cima é partilhada entre 
os elementos BC, CD e CF – e, conforme vimos anteriormente, o elemento CD na verdade não 
suporta esforço axial algum nesse caso.
Casos-padrão
A partir da discussão anterior, podemos gerar alguns casos-padrão de esforços axiais em certos 
elementos de reticulados de nós articulados. Esses casos-padrão estão ilustrados na Figura 13.4.
Na Figura 13.4a, um exame do equilíbrio vertical no nó A nos diz que o esforço axial no ele-
mento AB deve ser F1 para contrabalançar a força vertical externa de F1 no nó A. (Observe que a 
)b()a(
12 kN
36 kN
60 kN
A
B
C
D
E
F
12 kN
36 kN
60 kN
A
B
C
D
E
F = =
Figura 13.3 Um caso que costuma gerar mal-entendido.
102 Fundamentos de Estruturas
força externa de F3 no nó B não exerce qualquer influência direta no elemento AB.) O equilíbrio 
horizontal no nó A nos diz que o esforço axial no elemento AC – qualquer que ele seja – deve ser 
equivalente ao esforço axial em AD e, como os sentidos das setas devem se opor um ao outro no 
nó A para haver equilíbrio, os elementos AC e AD encontram-se ou ambos sob compressão ou 
ambos sob tração. Isso é ilustrado na Figura 13.4b.
Como não há elementos diagonais presentes no nó E na Figura 13.4c, o esforço axial no 
elemento vertical EG deve ser equivalente à reação R de apoio. Além do mais, o esforço axial no 
elemento horizontal EH deve ser zero,já que não há qualquer carga horizontal externa opositora. 
Veja a Figura 13.4d.
Se considerarmos o equilíbrio horizontal e vertical no nó J na Figura 13.4e, perceberemos 
que os esforços axiais nos elementos KJ e JL devem ambos ser igual a zero, já que não há nem 
forças externas nem elementos diagonais no nó J. Isso é mostrado na Figura 13.4f.
(a) (b)
)d()c(
(e) (f)
(g )h()
F1
F3
A
B
DC
F1
F3
A
B
DC
F1
F2 F2
G
H
E
R
G
H
E
R
R
K
L
J
R
P
T
SS
U
K
L
J
R
P
U T VV Q Q
Figura 13.4 Casos-padrão.
Capítulo 13 • Método de resolução nos nós 103
A essa altura, você deve perceber que o esforço axial no elemento ST na Figura 13.4g não é P. 
Há elementos diagonais no nó S; as componentes verticais dos esforços axiais nesses elementos 
diagonais se oporão à força P. O esforço axial em ST, na verdade, é igual a zero, porque não há 
qualquer força vertical externa opositora (nem elementos diagonais para proporcionar uma for-
ça vertical opositora) no nó T. Veja a Figura 13.4h.
Estude os casos-padrão mostrados na Figura 13.4 e observe sobretudo a presença ou ausência 
de elementos diagonais nos diversos nós.
A influência de elementos diagonais
A vida seria bem mais fácil se, de um ponto de vista analítico, os reticulados de nós articulados 
não contivessem qualquer elemento diagonal. Infelizmente, eles estão sempre presentes: elemen-
tos diagonais são obrigatórios para garantir a estabilidade de reticulados. Então como podemos 
analisar nós em que elementos diagonais estão presentes? Olhe para a Figura 13.5a, que mostra 
um nó na extremidade de um reticulado. O nó compreende um elemento horizontal (AB) co-
nectado a um elemento inclinado a um ângulo de 60° em relação à horizontal (BC). Uma força 
externa vertical de 3 kN atua sobre o nó. Queremos descobrir os esforços axiais nos elementos 
AB e BC.
Se solucionarmos B verticalmente, podemos determinar o esforço axial no elemento BC. 
A força total para baixo no nó (3 kN) será igual a força total para cima, que deve ser a componen-
te vertical do esforço axial no elemento BC. Então:
FBC.sen60° = 3 kN, portanto FBC = 3,46 kN
Se agora solucionarmos B horizontalmente, podemos calcular o esforço axial no elemento AB. 
O esforço axial no elemento AB será igual à componente horizontal do esforço axial no elemento 
BC. Então:
FAB = FBC.cos60°, portanto FAB = (3,46 × 0,5) = 1,73 kN
Agora olhe para o nó L mostrado na Figura 13.5b. Queremos calcular o esforço axial em cada 
elemento (KL, LM e LN), mas não é possível fazê-lo a partir das informações disponíveis: se ten-
tarmos resolver horizontal ou verticalmente, geraremos equações com mais de uma incógnita, 
as quais não podem ser solucionadas. Ao analisarmos um reticulado com nós desse tipo, não 
devemos começar nossa análise nesse nó. Em vez disso, devemos começar por outro nó que se 
pareça com os dos exemplos anteriores.
Agora trabalharemos com um sistema reticulado inteiro para calcularmos todos os esforços 
axiais em tal reticulado. (Obs.: se o cálculo anterior não faz sentido algum para você, retorne e 
leia o Capítulo 7 – especialmente a parte sobre componentes.)
)b()a(
A
B
C
K
L
M
N
15 kN
3 kN
60° 60°
Figura 13.5 Nós com elementos diagonais.
104 Fundamentos de Estruturas
Exemplo resolvido 1
Veja a Figura 13.6. O procedimento é o seguinte:
1. Calcule as reações de extremidade RA e RE da mesma maneira que faria em se tratando de 
uma viga (veja o Capítulo 9).
2. Vá avançando nó por nó pelo reticulado, usando as regras apresentadas anteriormente para 
calcular os esforços axiais (e os sentidos desses esforços) em cada elemento.
Dúvida frequente: como posso saber por qual nó começar e qual ordem seguir de um nó para 
outro?
É aqui que a análise se torna intuitiva. Você tem de começar por um nó onde não haja mais 
do que uma incógnita – mas identificar um nó assim não é fácil para um novato. Geralmente, 
você deve começar numa posição de apoio e então avançar para um nó adjacente. O exemplo a 
seguir lhe mostra como fazer.
Determinação de reações
A partir do equilíbrio vertical, a força total para cima ↑ = força total para baixo ↓. Portanto:
RA + RE = 60 kN
Isso não nos diz qual é valor de RA; e tampouco nos diz qual é o valor de RE. Simplesmente nos 
informa que as duas juntas equivalem a 60 kN. Para avaliar RA e RE, precisamos de mais uma 
equação. Essa equação adicional pode ser determinada a partir do equilíbrio de momentos – 
examinado no Capítulo 6 – que nos diz que o momento total em sentido horário em torno de um 
ponto estacionário é igual ao momento total em sentido anti-horário em torno do mesmo ponto.
Cálculo dos momentos em torno do ponto A
Momento em sentido horário em torno do ponto A devido a forças externas = 60 kN × 3 m
Momento em sentido anti-horário em torno do ponto A devido a forças externas = RE × 5 m
60 kN
RERA
m 2m 3
2 
m
A
1 2
B C D
E
F
Figura 13.6 Exemplo resolvido 1.
Capítulo 13 • Método de resolução nos nós 105
Igualando as duas equações:
RE × 5 m = 60 kN × 3 m
Portanto:
RE = 60 kN × 3 m/5 m = 36 kN
Agora, como RA + RE = 60 kN (analisado anteriormente), então:
RA = 60 – 36 = 24 kN
Aplicando a “conferência de bom senso” (introduzida no Capítulo 9): a carga de 60 kN (que é 
a única carga sobre a estrutura) atua um pouco à direita do centro, fazendo com que o apoio 
da direita “tenha mais trabalho” sustentando a estrutura. Sendo assim, esperaríamos que a 
reação à direita (RE) seja a maior das duas, o que de fato se confirma (36 kN é maior do que 
24 kN).
Agora vamos acrescentar as reações que calculamos em nosso diagrama reticulado. Veja a 
Figura 13.7.
Análise do reticulado
Ao longo desta análise, a seguinte notação será usada:
FAB representa o esforço axial no elemento AB 
FBC representa o esforço axial no elemento BC
… e assim por diante.
Nó A
Há três “pernas” no nó A:
• a reação vertical RA
• o elemento vertical AB
• o elemento horizontal AF
60 kN
RE = 36 kNRA = 24 kN
m 2m 3
2 
m
A
B C D
E
F
1 2
Figura 13.7 Exemplo resolvido 1 – com reações calculadas.
106 Fundamentos de Estruturas
Solucionando verticalmente no nó A
O termo “solucionando verticalmente” significa que estamos considerando as forças verticais 
(e componentes verticais das forças) associadas ao nó A, lembrando que, para haver equilíbrio, a 
força total para cima em A tem de ser igual à força total para baixo em A.
O nó A experimenta uma força para cima de 24 kN, na forma da reação vertical RA. Isso sig-
nifica que, para haver equilíbrio, é preciso haver uma força (opositora) para baixo de 24 kN em 
A. Como o elemento AF, sendo horizontal, só pode conter uma força puramente horizontal (isto 
é, nenhuma componente de força vertical – veja a Regra 3), a força para baixo de 24 kN só pode 
ocorrer no elemento AB. Portanto, o esforço axial no elemento AB, FAB, é de 24 kN, e seu sentido 
é para baixo na extremidade A.
Elemento AB
O princípio do equilíbrio se aplica a todas as partes de uma estrutura ou sistema reticulado: não 
apenas em todos os nós, mas também em todos os elementos. Acabamos de determinar que a 
força no elemento AB é de 24 kN para baixo na extremidade A. Conforme explicado anterior-
mente, sempre que há uma força para baixo é preciso haver uma força equivalente e oposta para 
cima, o que leva à conclusão de que deve haver uma força para cima de 24 kN no elemento AB 
na extremidade B.
Solucionando horizontalmente no nó A
O termo “solucionando horizontalmente” significa que estamos considerando as forças horizon-
tais (e as componentes horizontais das forças) associadas ao nó A, lembrando que, para haver 
equilíbrio, a força total para a esquerda em A tem de ser igual à força total para a direita em A.
A reação em A, RA, é puramente vertical e não possui qualquer componente horizontal. De 
modo similar, o esforço axial no elemento AB (que sabemos ser de 24 kN) também é puramente 
vertical e não possui qualquer componente horizontal. Como não há qualquer outra força exter-
na no nó A, o único elementono nó A que pode experimentar uma força horizontal é o elemento 
AF. E como não há outra força horizontal para opô-la, o esforço axial no elemento AF, FAF, deve 
ser zero.
Nosso sistema reticulado agora se parece conforme mostrado na Figura 13.8.
Agora podemos desenvolver uma análise similar do nó E. Usando exatamente a mesma 
abordagem que aplicamos anteriormente para o nó A, é possível demonstrar que a força no 
60 kN
RA = 24 kN RE = 36 kN
m 2m 3
2 
m
A
B C D
E
F
24
 k
N
21
Figura 13.8 Exemplo resolvido 1 – esforços nos elementos AB e AF calculados.
Capítulo 13 • Método de resolução nos nós 107
elemento DE, FDE, é de 36 kN para baixo (na extremidade E) e que o esforço axial no elemento 
FE, FFE, é zero.
Nosso sistema reticulado está representado na Figura 13.9.
Nó B
Há três “pernas” no nó B:
• o elemento vertical AB (que contém apenas um esforço axial vertical)
• o elemento horizontal BC (que contém apenas um esforço axial horizontal)
• o elemento inclinado BF (que, sendo inclinado, conterá componentes vertical e horizontal 
de força)
Solucionando verticalmente no nó B
Os dois únicos elementos conectados no nó B que podem ter uma componente vertical de força 
são AB e BF. (O elemento BC, sendo horizontal, não tem qualquer força vertical – veja a Regra 1 
no início deste capítulo.)
Já sabemos que há uma força vertical para cima de 24 kN no nó B contida no elemento AB. 
Para haver equilíbrio, é preciso haver uma força opositora (para baixo) de 24 kN e isso precisa 
ocorrer no elemento BF (isto é, o único elemento no nó B que pode conter uma força vertical). 
Portanto, a componente vertical da força no elemento BF deve ser de 24 kN para baixo.
Lembrando que a componente vertical de uma força F a um ângulo θ é F.sen θ, conclui-se 
que, nesse caso:
FBF.sen θ1 = 24 kN
Como θ1 é o ângulo AFB = tan-1(2/3) = 33,7°. Portanto,
FBF.sen 33,7° = 24 kN
Então,
FBF = 24/sen 33,7° = 43,3 kN
Vejamos agora qual é o sentido dessa força. Afirmamos que a componente vertical da for-
ça no elemento BF (na extremidade B) deve atuar para baixo. Isso significa que a força no 
60 kN
RA = 24 kN RE = 36 kN
m 2m 3
2 
m
A
B C D
E
F
24
 k
N
36
 k
N
21
Figura 13.9 Exemplo resolvido 1 – esforços axiais nos elementos DE e EF calculados.
108 Fundamentos de Estruturas
elemento BF (na extremidade B) deve atuar para baixo e para a direita. Como o equilíbrio 
deve se aplicar tanto em elementos quanto em nós, isso implica que a força no elemento BF na 
extremidade F deve se opor à força na extremidade B; em outras palavras, ela deve atuar para 
cima e para a esquerda.
Como as setas no elemento BF apontam uma para a outra, o elemento BF deve estar sob 
esforço axial de tração. (Recorde-se do Capítulo 3 que se as setas em um elemento apontam uma 
para a outra, tal elemento se encontra sob tração.)
O sistema reticulado agora se parece conforme mostrado na Figura 13.10.
Solucionando horizontalmente no nó B
Os dois únicos elementos conectados no nó B que podem ter uma componente horizontal de 
força são BF e BC. (O elemento BA, sendo vertical, não tem qualquer força horizontal – veja, 
novamente, a Regra 1.) Se a força no elemento BF (na extremidade B) é de 43,3 kN para baixo e 
para a direita, então a componente horizontal dessa força é FBF.cos θ1 = 43,3 × cos 33,7° = 36 kN 
(para a direita).
Para haver equilíbrio, é preciso haver uma força opositora (para a esquerda) de 36 kN e ela 
precisa ocorrer no elemento BC (isto é, o único elemento no nó B que pode conter uma força 
horizontal). Portanto, a força no elemento BC (na extremidade B) é de 36 kN para a esquerda. 
Ela será contrabalançada por uma força de 36 kN para a direita na extremidade C. Sendo assim, 
as duas setas no elemento BC apontam para longe uma da outra e, portanto, o elemento BC deve 
estar sob esforço axial de compressão.
Nosso sistema reticulado está representado na Figura 13.11.
Agora podemos desenvolver uma análise similar do nó D. Usando exatamente a mesma 
abordagem que aplicamos anteriormente para o nó B, é possível demonstrar que a força no ele-
mento DF, FDF, é de 50,9 kN para baixo e para a esquerda (na extremidade D) e que a força no 
elemento DC, FDC, é de 36 kN para a direita (na extremidade D). (Se você não entende de onde 
vêm esses valores, lembre-se que temos um ângulo diferente nesse caso: θ2 = 45°.)
Nosso sistema reticulado agora se parece conforme mostrado na Figura 13.12.
60 kN
RE = 36 kNRA = 24 kN
m 2m 3
2 
m
A
B C D
E
F
24
 k
N
36
 k
N
 
43,3 kN
21
Figura 13.10 Exemplo resolvido 1 – esforço axial no elemento BF calculado.
Capítulo 13 • Método de resolução nos nós 109
Nó C
A análise do nó C é bastante objetiva, já que não há elementos inclinados para complicar as 
coisas.
Solucionando verticalmente no nó C
Há uma força externa vertical de 60 kN para baixo no nó C. Para contrabalançá-la, a força no 
elemento CF (na extremidade C) deve atuar para cima. Como a força na outra extremidade de 
CF será para baixo, o elemento encontra-se sob esforço axial de compressão.
60 kN
RE = 36 kNRA = 24 kN
m 2m 3
2 
m
A
B C D
E
F
24
 k
N
36
 k
N43,3 kN
36 kN
21
Figura 13.11 Exemplo resolvido 1 – esforço axial no elemento BC calculado.
60 kN
RA = 24 kN RE = 36 kN
m 2m 3
2 
m
A
B C D
E
F
24
 k
N
36
 k
N43,3 kN
36 kN 36 kN
50,9 kN
21
Figura 13.12 Exemplo resolvido 1 – esforços axiais nos elementos DF e DC calculados.
110 Fundamentos de Estruturas
Solucionando horizontalmente no nó C
A força de 36 kN no elemento BC (na extremidade C) atua para a direita; portanto, para contra-
balançá-la, a força no elemento CD (na extremidade C) deve ser de 36 kN, mas para a esquerda. 
Como a força na outra extremidade de CD será para a direita, o elemento encontra-se sob esforço 
axial de compressão.
O sistema reticulado agora se parece conforme mostrado na Figura 13.13.
A esta altura, já estabelecemos as magnitudes e os sentidos dos esforços axiais em todos os 
elementos. Então, encerramos este exemplo? Não exatamente. Seria prudente conferir nossos 
resultados, pois, afinal de contas, é bastante possível que tenhamos cometido um erro nos nossos 
cálculos em algum momento. Podemos fazer isso encontrando as soluções em um ponto que 
ainda não levamos em consideração em nossas análises e conferindo, via cálculos, se as forças 
previamente calculadas se equilibram em tal ponto.
Para conferir: solucionando horizontalmente no nó F
Como nos demais casos, a força total para cima no nó F deve equivaler à força total para baixo. 
Não há qualquer força externa atuando no nó F. Os seguintes elementos se encontram no nó F: 
AF, BF, CF, DF e EF. Os elementos AF e EF são horizontais, então não podem ter forças verticais 
(nem componentes verticais de força) em si; portanto, eles podem ser ignorados na solução ver-
tical. Com isso, ficam restando os elementos BF, CF e DF.
Em nossos cálculos anteriores, descobrimos que as componentes verticais das forças nos 
elementos BF e DF atuam para cima, e descobrimos que a força vertical no elemento (vertical) CF 
atua para baixo. Conclui-se então que, para haver equilíbrio, a soma das componentes verticais 
de forças nos elementos BF e DF (atuando para cima) deve equivaler à força vertical no elemento 
CF (atuando para baixo).
Componente vertical da força no elemento BF:
= FBF.sen θ1 = 43,3 × sen 33,7° = 24 kN ↑
Componente vertical da força no elemento DF:
= FDF.sen θ2 = 50,9 × sen 45° = 36 kN ↑
Força vertical no elemento CF:
60 kN ↓
60 kN
m 2m 3
2 
m
A
B C D
E
F
24
 k
N
36
 k
N43,3 kN
36 kN 36 kN
50,9 kN
60
 k
N
21
RA = 24 kN RE = 36 kN
Figura 13.13 Exemplo resolvido 1 – reticulado totalmente analisado.
Capítulo 13 • Método de resolução nos nós 111
Como 24 + 36 = 60, há um equilíbrio vertical no nó F, e, portanto, nossos cálculos anteriores 
confirmam-se corretos. Um processo similar poderia ser conduzido para se conferir a existência 
de equilíbrio horizontal no nó F.
Exemplo resolvido 2
Veja a Figura 13.14. Umexemplo diferente, mas com os mesmos princípios e procedimento.
Determinação de reações
A partir do equilíbrio vertical, a força total para cima ↑ = força total para baixo ↓. Portanto:
RA + RC = 200 kN
Mais uma vez, isso não nos diz qual é o valor de RA; e tampouco nos diz qual é o valor de RC. 
Simplesmente nos informa que as duas juntas equivalem a 200 kN. Para avaliar RA e RC, precisa-
mos de mais uma equação. Essa equação adicional pode ser determinada a partir do equilíbrio 
de momentos, examinado no Capítulo 6, que nos diz que o momento total em sentido horário 
em torno de um ponto estacionário é igual ao momento total em sentido anti-horário em torno 
do mesmo ponto.
Cálculo dos momentos em torno do ponto A
Momento em sentido horário em torno do ponto A devido a forças externas = 200 kN × 0,5 m
Momento em sentido anti-horário em torno do ponto A devido a forças externas = RC × 2 m
Igualando as duas equações:
RC × 2 m = 200 kN × 0,5 m
Portanto:
RC = 200 kN × 0,5 m/2 m = 50 kN
200 kN
RCRA
0,5 m 1,5 m
A
B
C
60° 30°
Figura 13.14 Exemplo resolvido 2.
112 Fundamentos de Estruturas
Agora, como RA + RC = 200 kN (analisado anteriormente), então:
RA = 200 – 50 = 150 kN
Aplicando a “conferência de bom senso”: a carga de 200 kN (que é a única carga sobre a estru-
tura) atua um pouco à esquerda do centro, fazendo com que o apoio da esquerda “tenha mais 
trabalho” sustentando a estrutura. Sendo assim, esperaríamos que a reação à esquerda (RA) seja 
a maior das duas, o que de fato se confirma.
Agora vamos acrescentar as reações que calculamos em nosso diagrama reticulado. Veja a 
Figura 13.15.
Análise do reticulado
Como antes, a seguinte notação será usada ao longo desta análise:
FAB representa o esforço axial no elemento AB 
FBC representa o esforço axial no elemento BC
… e assim por diante.
Nó A
Há três “pernas” no nó A:
• a reação vertical RA
• o elemento inclinado AB
• o elemento horizontal AC
O nó A experimenta uma força para cima de 150 kN, na forma da reação vertical RA. Isso signi-
fica que, para haver equilíbrio, é preciso haver uma força (opositora) para baixo de 150 kN em 
A. Como o elemento AC, sendo horizontal, só pode conter uma força puramente horizontal (isto 
é, nenhuma componente de força vertical – veja a Regra 3), então a força para baixo de 150 kN 
200 kN
RC= 50 kNRA = 150 kN
0,5 m 1,5 m
A
B
C
60° 30°
Figura 13.15 Exemplo resolvido 2 – com reações calculadas.
Capítulo 13 • Método de resolução nos nós 113
só pode ocorrer no elemento AB. Portanto, a componente vertical de força no elemento AB é de 
150 kN. Então,
FAB × sen 60° = 150 kN
Portanto,
FAB = 150/sen 60° = 173,2 kN
cujo sentido aponta para baixo (e para a esquerda) na extremidade A.
Elemento AB
Como no exemplo anterior, a força para baixo (e para a esquerda) de 173,2 kN na extremidade A 
do elemento AB deve ser contrabalançada por uma força equivalente para cima (e para a direita) 
de 173,2 kN na extremidade B. (Como as setas apontam para longe uma da outra, o elemento AB 
encontra-se sob esforço axial de compressão.)
Solucionando horizontalmente no nó A
O termo “solucionando horizontalmente” significa que estamos considerando as forças horizon-
tais (e as componentes horizontais das forças) associadas ao nó A, lembrando que, para haver 
equilíbrio, a força horizontal total para a esquerda em A é igual à força horizontal total para a 
direita em A.
A reação em A, RA, é puramente vertical e não possui qualquer componente horizontal. Mas 
a força no elemento AB (que sabemos ser de 173,2 kN) é inclinada e, portanto, terá uma compo-
nente horizontal. O elemento AC, sendo horizontal, experimentará uma força horizontal. Como 
não há nenhuma outra força externa no nó A, a força no elemento AC deve ser equivalente à 
componente horizontal da força no elemento AB – mas oposta em sentido. Assim,
FAC = FAB × cos 60°
Mas,
FAB = 173,2 kN (calculado anteriormente)
Portanto,
FAC = 173,2 × cos 60° = 173,2 × 0,5 = 86,6 kN
Como a componente horizontal da força no elemento AB (na extremidade A) atua para a esquer-
da, a força horizontal no elemento AC (na extremidade A) deve atuar para a direita.
Nosso sistema reticulado agora se parece conforme mostrado na Figura 13.16.
Agora podemos desenvolver uma análise similar do nó C. Usando exatamente a mesma 
abordagem que aplicamos anteriormente para o nó A, é possível demonstrar que a força no ele-
mento CB, FCB, é de 100 kN para baixo e para a direita (na extremidade C) e que a força no ele-
mento BA, FBA, é de 86,6 kN para a esquerda (na extremidade C), que, como seria de se esperar, 
contrabalança exatamente a força de 86,6 kN para a direita na extremidade A desse elemento. 
(Como as setas no elemento AB apontam uma em sentido à outra, o elemento encontra-se sob 
esforço axial de tração.)
Nosso sistema reticulado agora se parece conforme mostrado na Figura 13.17.
A esta altura, já estabelecemos as magnitudes e os sentidos dos esforços axiais em todos os 
elementos, mas, como fizemos no exemplo anterior, seria prudente conferir os resultados encon-
trando as soluções em um ponto que ainda não levamos em consideração em nossas análises e 
conferindo, via cálculos, se as forças previamente calculadas se equilibram em tal ponto. Caso 
você se dê ao trabalho de solucionar verticalmente no nó C, verá que nele as forças se equilibram.
114 Fundamentos de Estruturas
Exemplo resolvido 3
Veja a Figura 13.18 para um terceiro e final exemplo resolvido. Depois disso, você deve ser capaz 
de avançar nos exemplos tutoriais apresentados no final do capítulo. Lembre-se que as mesmas 
regras sempre se aplicam. (Dica: talvez seja útil você fazer o seu próprio desenho da Figura 13.18 
e ir completando as reações e os esforços nos elementos à medida que formos calculando.)
200 kN
RC= 50 kNRA = 150 kN
0,5 m 1,5 m
A
B
C
60° 30°
173,2 kN
86,6 kN
Figura 13.16 Exemplo resolvido 2 – esforços axiais nos elementos AB e AC calculados.
200 kN
RC= 50 kNRA = 150 kN
0,5 m 1,5 m
A
B
C
60° 30°
173,2 kN
86,6 kN
100 kN
Figura 13.17 Exemplo resolvido 2 – reticulado totalmente analisado.
Capítulo 13 • Método de resolução nos nós 115
Determinação de reações
Como sempre, começamos pela determinação das reações. Se considerarmos as forças horizon-
tais primeiro, o único lugar em que podemos ter uma reação horizontal é o nó A (o outro apoio, 
F, é deslizante e, portanto, não pode sustentar uma reação horizontal). A reação horizontal em A 
deve ser de 20 kN (para a esquerda) para contrabalançar a única outra força horizontal mostrada 
na Figura 13.18, que é uma força horizontal de 20 kN (para a direita) no nó E.
Passando agora para as reações verticais: cada um dos dois apoios experimentará uma rea-
ção vertical para cima: VA no apoio A e VF no apoio F. Como sempre, a força total para cima = 
força total para baixo, então:
VA + VF = 10 + 40 = 50 kN
Calculando momentos em torno de pontos de apoio
Se calcularmos os momentos em torno do ponto A, obteremos uma equação que podemos solu-
cionar para VF. Não se esqueça de incluir as forças horizontais. A equação fica assim:
(20 kN × 6 m) + (40 kN × 10 m) + (10 kN × 5 m) = (VF × 15 m) 
Solucionando, obtemos VF = 38 kN.
Se calcularmos os momentos em torno do ponto F, obteremos uma equação que podemos 
solucionar para VA.
Deixarei que você derive essa equação por conta própria – ela envolverá VA e as forças de 10, 
20 e 40 kN; cada uma das quais deve ser multiplicada por sua distância até F – a qual pode ser 
solucionada para resultar VA = 12 kN.
Forças “facilmente calculadas”
Seguindo a linha de análise apresentada mais cedo neste capítulo, identifiquemos agora aqueles 
elementos nos quais os esforços axiais podem ser prontamente determinados sem cálculos. Em 
geral, tais elementos estão ligados a nós que não estão vinculados a qualquer elemento diagonal. 
10 kN
20 kN
GH
A
B C D E
F
VA
HA
VF
40 kN
5 m 5 m 5 m
6 
m
Figura 13.18 Exemplo resolvido 3.
116 Fundamentos de Estruturas
No exemploatual, tais nós são A, D e F, e podemos deduzir facilmente os esforços axiais nos 
seguintes elementos:
• Elemento AH = 20 kN (tração) para contrabalançar a reação horizontal de 20 kN para a 
esquerda em A.
• Elemento AB = 12 kN (compressão) para contrabalançar a reação vertical de 12 kN para 
cima em A.
• Elemento DG = 0 kN (nenhuma força vertical em D). Não 40 kN!
• Os elemento CD e DE devem ter o mesmo esforço axial em si (para manter o equilíbrio 
horizontal em D), embora ainda não saibamos a magnitude e o sentido (isto é, tracional ou 
compressivo) de tal esforço.
• Elemento GF = 0 kN, já que não há qualquer força horizontal em F.
• Elemento EF = 38 kN (compressão) para contrabalançar a reação vertical de 38 kN para cima 
em F.
Os resultados do nosso trabalho até aqui são mostrados na Figura 13.19.
Nó E
Os esforços axiais nos elementos restantes podem agora ser calculados usando o método de reso-
lução nos nós. Lembre-se, nós normalmente começamos pelos nós de apoio, mas todas as forças 
em A e F já foram determinadas. Poderíamos passar para a análise ou de B ou de E; por nenhuma 
razão especial, começarei pelo nó E.
Vamos começar calculando o ângulo θ mostrado na Figura 13.18.
tan θ = 6 m/5 m = 1,2, então θ = 50,2° 
sen 50,2° = 0,768 e cos 50,2° = 0,640
Solucionando verticalmente no nó E
FGE × sen 50,2° = 38 kN, então FGE = 38/0,768 = 49,5 kN (tracional)
Solucionando horizontalmente no nó E
Pressupondo que o esforço axial em DE é compressivo,
FDE + 20 = FGE × cos 50,2°, então FDE = 11,7 kN (positivo, então compressivo, conforme 
pressuposto)
Passemos agora para o nó G.
HA =20 kN
VF =38 kNVA =12 kN
10 kN
20 kN
GH
A
B C D E
F
40 kN
5m 5m 5m
6
m
20 kN
12
 k
N
38
 k
N
Figura 13.19 Exemplo resolvido 3 – com reações calculadas.
Capítulo 13 • Método de resolução nos nós 117
Solucionando verticalmente no nó G
Pressupondo que o esforço axial em CG é tracional,
FDG + (FCG × sen 50,2°) + (FGE × sen 50,2°) = 40 kN 
0 + (FCG × 0,768) + (49,5 × 0,768) = 40 kN 
Então FCG = 2,6 kN (positivo, então tracional, conforme pressuposto).
Solucionando horizontalmente no nó G
Pressupondo que o esforço axial em HG é tracional,
FHG + (FCG × cos 50,2°) = (FGE × cos 50,2°) + FGF 
FHG + (2,6 × 0,640) = (49,5 × 0,640) + 0 
Então FHG = 30 kN (positivo, então tracional, conforme pressuposto).
Passemos agora para o nó B.
Solucionando verticalmente no nó B
FBH × sen 50,2° = 12 kN, então FBH = 15,6 kN (tracional)
Solucionando horizontalmente no nó B
FBC = FBH × cos 50,2° = (15,6 × 0,640)= 10 kN (compressivo)
Passemos agora para o nó H.
Solucionando verticalmente no nó H
Pressupondo que o esforço axial em CH é compressivo,
(FBH × sen 50,2°) – FCH = 10 kN 
(15,6 × 0,768) – FCH = 10 kN 
Então FCH = 2 kN.
O único esforço axial restante a ser calculado é no elemento CD. Mas, como sabemos que os 
esforços axiais nos elementos CD e DE devem ser os mesmos (equilíbrio horizontal em D), então 
FCD = 11,7 kN (compressivo).
O reticulado totalmente analisado é mostrado na Figura 13.20.
HA =20 kN
VA =12 kN
VF =38 kN
10 kN 40 kN
20 kN
GH
A
B C D E
F
5 m 5 m 5 m
6 
m
20 kN
12
 k
N
38
 k
N
10 kN 11,7 kN 11,7 kN
30 kN
2 
kN
15,6 kN
2,6 kN
49
,5
 k
N
Figura 13.20 Exemplo resolvido 3 – reticulado totalmente analisado.
118 Fundamentos de Estruturas
Exercícios
Use o método de resolução nos nós para encontrar os esforços axiais em todos os elementos de 
cada reticulado apresentado na Figura 13.21.
A
3 m 3 m 3 m 3 m
3 
m
20 kN 50 kN 20 kN
B
C
D
E
F
G
H
J
K
1
2
3
4
3 m 3 m 3 m
4 
m
20 kN
25 kN
30 kN
A
B
C
D
EF
A
B
C
2 m
2 
m
HA
VA
VE
VA
RA
RJ
VA
HA
VC
HD
VD
6 kN
18 kN
12 kN
25 kN
50 kN 30 kN 20 kN
5 
m
5 m 5 m 5 m
A
B
C
D
E
F
G
H
Figura 13.21 Método da resolução nos nós – exercícios.
14
Método das seções
Introdução
Às vezes não precisamos (nem queremos) determinar o esforço axial em cada elemento de um 
determinado reticulado de nós articulados, como fizemos ao aplicar o método de resolução nos 
nós no Capítulo 13. Talvez queiramos calcular o esforço em apenas um ou dois elementos. Em 
tais casos, o método das seções vem a calhar.
No método de resolução nos nós, avançamos passo a passo por toda a estrutura, nó por nó, 
de uma extremidade à outra. Como você deve ter percebido, isso pode se tornar tedioso, sobre-
tudo quando a estrutura possui uma grande quantidade de elementos e nós. Já no método das 
seções, estabelecemos uma “linha de corte” estrategicamente situada através da estrutura. Mas 
a determinação da posição correta da linha de corte que nos permitirá resolver o problema rapi-
damente é algo crucial e em parte intuitivo, como veremos.
Para ver por que às vezes não queremos avançar ao longo de toda a estrutura elemento por 
elemento, observe as Figuras 14.1 e 14.2.
Embasamento do método das seções
Imagine um sistema reticulado de aço que forma parte de uma ponte ferroviária, conforme 
mostrado na Figura 14.3a. Vamos supor que queiramos encontrar os esforços axiais apenas nos 
elementos AB, BC e CD. Se a ponte ferroviária fosse uma estrutura já existente e fôssemos irres-
ponsáveis o bastante para usar ferramentas para cortar fisicamente a estrutura seguindo uma 
linha que atravessa os elementos AB, BC e CD, conforme mostrada na Figura 14.3b, então o que 
aconteceria? Obviamente, a ponte desabaria.
Será que existem circunstâncias sob as quais a ponte não desabaria caso fosse cortada con-
forme mostrado? Bem, o desabamento parece bastante inevitável, mas há uma circunstância sob 
a qual (em teoria, pelo menos) a ponte não desabaria.
• Se fosse possível usar algum sistema de cordas de aço, polias e escoras para proporcionar 
exatamente os mesmos esforços que existiam nos elementos antes de terem sido cortados, 
então a ponte não desabaria.
Isso significa que, se pudéssemos calcular as forças externas na estrutura cortada que seriam 
necessárias para manter tal estrutura cortada em equilíbrio geral (indicadas como FAB, FBC e FCD 
na Figura 14.3c), elas seriam as mesmas que as forças internas que existiam nos elementos AB, 
BC e CD, respectivamente, antes de terem sido cortados.
120 Fundamentos de Estruturas
Figura 14.1 Planetário de Nova York.
Nesse caso, uma estrutura (um edifício planetário esférico) fica envolta por outra: um imenso 
cubo de vidro apoiado internamente por treliças de aço.
Figura 14.2 Swiss Re Building, Londres.
Conhecido popularmente como o “pepino” devido a seu formato peculiar, ele foi projetado para 
oferecer a máxima metragem útil com otimização aerodinâmica; o arquiteto Sir Norman Foster 
e o engenheiro Ove Arup usaram um “diagrid” externo (elementos de aço formando uma série 
de triângulos) para criar o formato curvado complexo do prédio.
Capítulo 14 • Método das seções 121
Então, para resumir, o método das seções envolve o cálculo das forças em certos elemen-
tos de uma estrutura fingindo que os elementos em questão foram cortados ao meio para, de-
pois, calcular as forças externas na estrutura “cortada”. Esse processo será ilustrado por meio do 
exemplo a seguir.
Exemplo do método das seções
Suponha que queremos calcular os esforços nos elementos CD, HD e HG da estrutura mostrada 
na Figura 14.4a. Precisamos escolher uma linha de corte apropriada. Neste caso, uma boa op-
ção seria um corte vertical passando através de todos os três elementos, conforme mostrado na 
figura.
Antes de mais nada, temos de calcular as reações da maneira usual.
(c) Reticulado cortado
FAB
FBC
FCD
A
C
(a) Reticulado original
A B
C D
(b) Reticulado com linha de corte
Li
nh
a 
 
 d
e 
co
rt
e
A B
C D
Figura 14.3 Ponte ferroviária de aço.
122 Fundamentos de Estruturas
Cálculo das reações
A partir do equilíbrio horizontal da estrutura como um todo,
HF = 15 kN (isto é, Força total → = Força total ←)
A partir do equilíbrio vertical,
VA + VF = 50 + 20 = 70 kN (isto é, Força total ↑ = Força total ↓)
Calculando os momentos em torno do ponto A (isto é, Momentototal em sentido horário = 
Momento total em sentido anti-horário),
(50 kN × 6 m) + (20 kN × 9 m) = (VF × 12 m) + (15 kN × 4 m) + (15 kN × 4 m)
(a) Antes do “corte”
(b) Depois do “corte”
A
B C D
E
F
GHJ
A
B C FCD
FHD
FHG
HJ
Li
nh
a 
d
e 
 c
or
te
40 kN
50 kNVA
HF
VF
20 kN
15 kN
50 kN
15 kN
3 m 3 m 3 m 3 m
4 
m
4 
m
D
9 m
3 m
4 m
Figura 14.4 Exemplo do método das seções.
Capítulo 14 • Método das seções 123
Assim,
VF = 30 kN
Calculando os momentos em torno do ponto F,
(VA × 12 m) = (15 kN × 8 m) + (50 kN × 6 m) + (20 kN × 3 m)
Assim,
VA = 40 kN
Se você não conseguiu acompanhar os cálculos recém apresentados, então sugiro que revise os 
capítulos a respeito de momentos e reações (Capítulos 8 e 9).
A seção “cortada”
Suponhamos agora que cortamos o reticulado seguindo a linha mostrada na Figura 14.4a. Des-
cartaremos a parte do reticulado que encontra-se situada à direita da linha de corte e consi-
deraremos apenas a parte à esquerda, conforme mostrada na Figura 14.4b. Se conseguirmos 
descobrir as forças externas FCD, FHD e FHG, que manterão esse reticulado em equilíbrio, elas 
corresponderão às forças internas que existiam nos elementos CD, HD e HG (respectivamente) 
no reticulado de nós articulados original.
Equilíbrio do reticulado mostrado na Figura 14.4b
Considerando o equilíbrio vertical,
40 kN – 50 kN + (FHD × sen θ) = 0 (isto é, Força total ↑ = Força total ↓)
Você deve perceber que (FHD × sen θ) é a componente vertical da força no elemento HD. Revise o 
Capítulo 7 se você estiver em dúvida quanto a isso.
A partir de trigonometria básica relacionada a um triângulo retângulo,
tan θ = 4 m/3 m = 1,333
Portanto, θ = 53,1°.
Então, se
40 kN – 50 kN + (FHD × sen 53,1°) = 0
isso gera
FHD = 12,5 kN
Ainda precisamos encontrar FCD e FHG. Calculemos os momentos em torno do ponto H. (Como 
a força incógnita FHG passa pelo ponto H, não haverá termo algum envolvendo FHG na equação 
se usarmos H como nosso “ponto pivotal” para calcular momentos. Pelo mesmo motivo, FHD e a 
força vertical de 50 kN em H também não entrarão na equação.)
Calculando momentos em torno do ponto H
(isto é, Momento total em sentido horário = Momento total em sentido anti-horário)
(FCD × 4 m) + (40 kN × 6 m) = (15 kN × 4 m)
Assim,
FCD = –45 kN
(O sinal de menos indica que a força atua na direção oposta àquela presumida – então, ela atua 
para a esquerda.)
124 Fundamentos de Estruturas
A única força que falta encontrar é FHG. Mesmo que agora já conheçamos FCD e FHD, a vida 
ficaria muito mais fácil se pudéssemos calcular os momentos em torno do ponto pelo qual essas 
duas forças passam (ou seja, o ponto D), pois não haveria termo algum envolvendo FCD nem FHD 
(nem, inclusive, a força horizontal de 15 kN em B). Repare que não importa que o ponto D se en-
contre fora do reticulado que estamos analisando: as regras de equilíbrio valem para momentos 
calculados em torno de qualquer ponto, onde quer que esteja.
Calculando momentos em torno do ponto D
(isto é, Momento total em sentido horário = Momento total em sentido anti-horário)
(40 kN × 9 m) = (50 kN × 3 m) + (FHG × 4 m)
Assim,
FHG = 52,5 kN
A esta altura, já calculamos as forças (ou os esforços axiais) FCD, FHD e FHG. Poderíamos conferir 
nossos cálculos considerando o equilíbrio horizontal (isto é, Força total → = Força total ←) da 
estrutura mostrada na Figura 14.4b. Mas deixarei tal conferência por sua conta…
Então, para resumir:
• A força no elemento CD é de 45 kN e é compressiva.
• A força no elemento HD é de 12,5 kN e é tracional.
• A força no elemento HG é de 52,2 kN e é tracional.
Resumo do método das seções
1. Calcule as reações nas extremidades da maneira usual.
2. Decida em qual ou quais elementos você precisa determinar o esforço.
3. Desenhe uma linha que corte através do(s) elemento(s) em questão. (A linha de corte pode 
ser vertical, horizontal ou inclinada. Pode ser necessário usar diferentes linhas de corte para 
diferentes elementos.)
4. Desse momento em diante, considere apenas a parte do reticulado em um dos lados da linha 
de corte (não importa qual dos lados).
5. Use as regras de equilíbrio para determinar as forças (agora externas) nos elementos em 
questão. Leve em consideração o equilíbrio vertical e/ou horizontal e calcule os momentos 
em torno de um ponto escolhido estrategicamente. Essas forças externas correspondem às 
forças internas que existiam nos elementos antes deles serem “cortados”.
O que você deve recordar deste capítulo
Este capítulo explica o método das seções. Trata-se de um procedimento bastante útil quando 
estamos interessados em calcular os esforços axiais em apenas alguns dos elementos (como um 
ou dois deles) em um reticulado de nós articulados. O conceito envolve fingir que a estrutura 
foi cortada através do elemento relevante, para então calcular as forças externas que seriam ne-
cessárias para manter a estrutura “cortada” em pé (isto é, em equilíbrio). Essas forças externas 
correspondem às forças internas (esforços axiais) que existiam nos elementos “cortados” antes 
de terem sofrido tal corte.
Capítulo 14 • Método das seções 125
Exercícios
Use o método das seções para calcular o esforço axial e o seu sentido (tração ou compressão) 
nos elementos declarados no texto a seguir de cada reticulado de nós articulados mostrados na 
Figura 14.5:
• Reticulado 1: CD, DE, EG e GH
• Reticulado 2: BE e BF
• Reticulado 3: BC, CD e DE
1
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m
3 
m
48 kN
48 kN
A
B
C
D
E
F
G
H
J
K
2
3
24 kN120 kN
8 m 8 m 8 m
6 
m
6 
m
AB
C
DEF
G
20 kN 20 kN 20 kN
6 m 6 m 6 m
5 
m
A B C D
EFG
Figura 14.5 Exercícios.
126 Fundamentos de Estruturas
Confira suas respostas usando o método de resolução nos nós (Capítulo 13).
Respostas
(Todas as respostas estão em kN.)
• Reticulado 1: 57,6 (C), 48 (T), 144 (T), 129,8 (T)
• Reticulado 2: 62,5 (T), 60 (C)
• Reticulado 3: 296 (T), 200 (C), 112 (C)
15
Método gráfico
Introdução
Os Capítulos 13 e 14 examinaram dois métodos de análise de reticulados de nós articulados: o 
método de resolução nos nós e o método das seções. Ambas são técnicas matemáticas em sua 
natureza, envolvendo cálculos. Existe uma terceira técnica, chamada de método gráfico (tam-
bém conhecida como método do diagrama de forças). O método gráfico é o tema deste capítulo.
O método gráfico não envolve qualquer cálculo matemático, desde que as reações tenham 
sido calculadas do modo usual. Isso, em si, já o torna atraente para alguns estudantes. Como o 
nome sugere, os esforços axiais nos elementos e o tipo de esforço são determinados pela constru-
ção de diagramas de escala, para os quais você precisará de papel milimetrado.
Exemplo 15.1
O método gráfico é mais bem explicado por meio de um exemplo. O exemplo que utilizaremos 
ao longo deste capítulo está ilustrado na Figura 15.1.
Nos métodos anteriores de análise de reticulados de nós articulados atribuímos uma letra 
a cada nó. No método gráfico não rotulamos os nós; em vez disso, rotulamos as áreas ou zonas 
entre os elementos do reticulado e fazemos isso de acordo com a Notação de Bow, que é explicada 
mais adiante no texto.
Resumo do método gráfico (diagrama de forças)
1. Desenhe uma linha de carga para as cargas aplicadas e reações, em escala. Comece a partir 
do apoio mais à esquerda.
2. Usando a Notação de Bow (veja o texto), construa um diagrama de forças, um nó por vez, 
desenhando cada linha em paralelo à direção do elemento no sistema reticulado.
3. Os valores de carga agora podem ser convertidos a partir da escala no diagrama.
4. Para determinar o tipo de esforço em um elemento (isto é, compressivo ou tracional), “viaje” 
em sentido horário em torno de um nó e observe o sentido da força junto ao nó.
5. Construa uma tabela.
Notação de Bow
A Notação de Bow, batizada em homenagem ao seu criador, é uma convenção para rotular as 
várias zonas em um diagrama de um reticulado de nós articulados. A Notação de Bow sugere o 
seguinte:
1. Atribua uma letra a cadaespaço entre as cargas externas aplicadas e as reações.
2. Atribua um número aos espaços entre os elementos internos.
3. Comece pela letra “A” entre as reações e avance em torno do reticulado em sentido horário.
4. Comece pelo número 1 no primeiro espaço à esquerda dentro do sistema reticulado.
128 Fundamentos de Estruturas
Se rotularmos nosso reticulado de acordo com a Notação de Bow, ele ficará como o mostrado na 
Figura 15.2. Repare que as fronteiras entre as zonas externas (A, B, etc.) são definidas pelas posi-
ções das linhas das forças externas e reações e que os elementos do sistema reticulado definem as 
fronteiras entre as zonas internas (1, 2, etc.).
Conforme formos avançando por este problema, estaremos construindo um diagrama (cha-
mado de diagrama de forças) em uma folha em branco de papel milimetrado. Ao fazermos 
isso, continuaremos revisitando o diagrama mostrado na Figura 15.2, o qual chamaremos de 
diagrama reticulado.
20 kN 40 kN
80 kN
4 m 4 m
3 
m
Figura 15.1 Exemplo de método gráfico.
Nk 04Nk 02
80 kN
4 m 4 m
3 
m
A F
B
E
C D
1
2
3
4
HD = 80 kN
VE= 50 kN VD =10 kN
Figura 15.2 Aplicação da Notação de Bow (diagrama reticulado).
Capítulo 15 • Método gráfico 129
Cálculo das reações
Comecemos pelo cálculo das reações, as quais chamaremos de VE (reação vertical, apoio da es-
querda), VD (reação vertical no apoio da direita) e HD (reação horizontal, apoio da direita).
A partir do equilíbrio horizontal,
HD = 80 kN →
A partir do equilíbrio vertical,
VE + VD = 20 + 40 = 60 kN
Calculando os momentos em torno do apoio da esquerda,
(40 kN × 8 m) = (80 kN × 3 m) + (VD × 8 m)
Então,
VD = 10 kN
e, portanto,
VE = 50 kN
Construção do diagrama de forças
Agora estamos preparados para começar a construir o diagrama de forças. As várias etapas na 
construção deste diagrama estão ilustradas na Figura 15.3.
Comece com uma folha em branco de papel milimetrado. Em um lugar no meio da folha, 
escolha um ponto e identifique-o como a. Este símbolo a (em minúscula) no diagrama de forças 
corresponde à zona A (em maiúscula) no diagrama reticulado. No diagrama reticulado (Fig. 
15.2), você perceberá que para ir da zona A até a zona B é preciso cruzar por uma força de 50 kN 
para cima. Isso é representado no diagrama de forças pelo desenho de uma linha verticalmente 
para cima saindo da posição a (representando a zona A) por uma distância representando 50 kN 
até chegar a uma nova posição b (que representa a zona B). Para fazer isso em papel milimetrado, 
você precisará adotar uma escala adequada – sugiro que uma escala de 1 mm = 1 kN seria ade-
quada para este problema em uma folha de papel milimetrado A4.
Assim, a linha de 50 mm de comprimento, saindo do ponto a para cima até o ponto b no 
diagrama de forças, representa a força para cima (reação) de 50 kN que você precisa atravessar 
para ir da zona A para a zona B no diagrama reticulado.
Retornando ao diagrama reticulado, para ir da zona B até a zona C, é preciso atravessar uma 
força de 20 kN para baixo (veja a Fig. 15.2). No diagrama de forças (Fig. 15.3), isso é representa-
do pelo desenho de uma força verticalmente para baixo a partir da posição b de comprimento 
20 mm (equivalente a 20 kN). O ponto ao qual você chegará deve ser identificado por um c e 
representa a zona C no diagrama reticulado.
Retornando ao diagrama reticulado outra vez, pode-se perceber que:
• para ir da zona C até a zona D, é preciso atravessar uma força de 40 kN (verticalmente para 
baixo);
• para ir da zona D até a zona E, é preciso atravessar uma força de 80 kN (para a esquerda);
• para ir da zona E até a zona F, é preciso atravessar uma força de 80 kN (para a direita);
• para ir da zona F até a zona A, é preciso atravessar uma força de 10 kN (verticalmente para 
cima).
130 Fundamentos de Estruturas
Isso é representado, respectivamente, por:
• uma linha vertical para baixo saindo de c, com 40 mm de comprimento, e chegando a d;
• uma linha horizontal para a esquerda saindo de d, com 80 mm de comprimento, e chegando 
a e;
• uma linha horizontal para a direita saindo de e, com 80 mm de comprimento, e chegando a f;
• uma linha vertical para cima saindo de f, com 10 mm de comprimento, e chegando a a.
O diagrama de forças resultante é mostrado na Figura 15.3a.
A próxima tarefa é localizar os pontos 1, 2, 3 e 4 no diagrama de forças, que respectivamente 
representam as zonas 1, 2, 3 e 4 no diagrama reticulado. Examine a zona 1 no diagrama reticu-
lado (Fig. 15.2). Ela é separada da zona B por um elemento vertical e da zona C por um elemento 
horizontal. Isso determina que, em nosso diagrama de forças:
• o ponto 1 recai numa linha vertical que também passa pelo ponto b;
• o ponto 1 recai numa linha horizontal que também passa pelo ponto c.
Portanto, o ponto 1 (representando a zona 1) deve recair no ponto mostrado na Figura 15.3b.
Passando para a zona 2 no diagrama reticulado, pode-se perceber que ela está separada da 
zona A por um elemento horizontal e da zona 1 por uma linha diagonal inclinada para cima 
e para a direita a um ângulo de “4 quadrados para o lado, 3 quadrados para cima” (ou 36,9°). 
)b()a(
)d()c(
80
40
20
50
10
d, f
e
a
c
b
20
d, f
e
a
c,1
b
2
20
d, f
e
a
c,1
b
2
3
d, f
e
a
c,1
b
2
3
4
50
40 40
30
10
Figura 15.3 Diagrama de forças.
Capítulo 15 • Método gráfico 131
Assim, o ponto 2 pode ser encontrado em nosso diagrama de forças a partir das duas regras 
seguintes:
• o ponto 2 recai na linha diagonal (ângulo conforme mencionado anteriormente) que passa 
pelo ponto 1;
• o ponto 2 recai na linha horizontal que passa pelo ponto a.
Então o ponto 2 deve se situar no ponto mostrado na Figura 15.3b.
Por um processo similar, o ponto 3 situa-se no ponto onde uma linha vertical que passa pelo 
ponto 2 intersecta uma linha horizontal pelo ponto c (veja a Figura 15.3c), e o ponto 4 situa-se no 
ponto onde uma linha vertical que passa pelo ponto e se encontra com uma linha horizontal pelo 
ponto a. O diagrama de forças completo é mostrado na Figura 15.3d.
Usando o diagrama de forças para determinar a magnitude das forças
Agora vem a parte fácil. Para determinar o esforço axial em um dos elementos, basta converter 
a escala de distância entre os dois pontos relevantes no diagrama de forças (Fig. 15.3). Para de-
terminar, por exemplo, o esforço axial no elemento diagonal à direita do sistema reticulado, o 
qual separa a zona 3 da zona 4 no diagrama reticulado (Fig. 15.2), você precisa medir a distância 
entre os pontos 3 e 4 no diagrama de forças (Fig. 15.3d). Essa distância é de 50 mm e, portanto, 
o esforço axial no elemento é de 50 kN. (Obs.: não faça a conversão a partir das distâncias mos-
tradas nos diagramas deste livro, pois elas não estão em escala correta; porém, o seu diagrama 
de forças estará.)
De modo similar, para determinar o esforço axial no elemento central vertical, o qual separa 
as zonas 2 e 3 no diagrama reticulado, é necessário medir a distância entre os pontos 2 e 3 no 
diagrama de forças. A partir da Figura 15.3d, pode-se perceber prontamente que essa distância é 
de 30 mm e que, portanto, o esforço axial no elemento é de 30 kN.
Se você desse continuidade a esse processo para os elementos restantes, obteria os esforços 
axiais mostrados na Tabela 15.1.
Estamos agora a meio caminho de resolver este problema. Já encontramos as magnitudes 
dos esforços axiais em cada elemento. Continue lendo para descobrir como determinar o tipo de 
esforço (tração ou compressão) em cada elemento.
As referências dos elementos representam as zonas (conforme mostradas na Figura 15.2) 
entre as quais o elemento se encontra. O elemento B-1, por exemplo, encontra-se entre as zonas 
B e 1 (isto é, o elemento vertical à esquerda), o elemento 3-4 encontra-se entre as zonas 3 e 4 (isto 
é, o elemento inclinado à direita), e assim por diante.
Tabela 15.1 Esforços axiais nos elementos do Exemplo 15.1
Referência do elemento Esforço axial no elemento (kN)
B-1 20
C-1 0
1-2 50
A-240
2-3 30
C-3 40
3-4 50
A-4 80
E-4 10
132 Fundamentos de Estruturas
A analogia do motorista de van
Imagine que você é o motorista de uma van de entregas no vilarejo de Mitchellstown. Certo dia, 
você precisa fazer entregas em endereços situados em três vilarejos diferentes: Pennyport, Jacks-
ton e Charlesville. Cabe a você decidir a ordem em que visitará os três vilarejos. O sistema de 
rodovias que liga os três vilarejos entre si e a Mitchellstown é mostrado na Figura 15.4a. A partir 
dela, você pode ver que as duas opções mais eficientes são as seguintes:
1. Mitchellstown – Pennyport – Jackston – Charlesville – Mitchellstown (isto é, circuito em 
sentido horário)
2. Mitchellstown – Charlesville – Jackston – Pennyport – Mitchellstown (isto é, circuito em 
sentido anti-horário)
Você está tentando se decidir por uma das duas rotas quando o seu patrão sai correndo de 
dentro do seu escritório. Ele lhe diz que recebeu um telefonema urgente e pede para que você 
comece pela entrega em Charlesville. Então não há mais o que decidir: você precisa visitar os 
vilarejos na ordem apresentada na segunda opção, mostrada na Figura 15.4b.
Cálculo do sentido (compressivo ou tracional) dos esforços 
axiais no sistema reticulado
Retornando ao exemplo apresentado na Figura 15.1, até aqui já desenhamos nosso diagrama de 
forças (Fig. 15.3), a partir do qual convertemos as escalas para obter a magnitude dos esforços 
(apresentadas na Tabela 15.1). Mas como fazemos para determinar quais desses esforços são de 
tração e quais são de compressão?
Nó no canto superior direito do reticulado
Observe o canto superior direito do reticulado em nosso exemplo. Inspecionando-se a Figura 
15.2, é possível perceber que cinco zonas se encontram nesse ponto. (Se isso ajudar, e caso você 
tenha interesses agronômicos, é possível considerar esse ponto como o local onde cinco campos 
)b()a(
Charlesville
Mitchellstown
Jackston
Pennyport
Charlesville
Mitchellstown
Jackston
Pennyport
Figura 15.4 Rota de entregas do motorista da van.
Capítulo 15 • Método gráfico 133
se encontram e você deve dar um nome a cada um deles.) As cinco zonas que se encontram nesse 
ponto são: C, D, E, 3 e 4.
Se agora nos voltarmos para o diagrama de forças (Fig. 15.3d) e para as linhas grossas sobre-
postas a ele representando as ligações entre esses cinco pontos (c, d, e, 3 e 4), acabaríamos com o 
diagrama mostrado na Figura 15.5a. Agora sabemos que a força de 40 kN para baixo separa as 
zonas C e D (Fig. 15.2), então isso pode ser representado por uma seta apontando para baixo en-
tre os pontos c e d na Figura 15.5a. De modo similar, a força de 80 kN para a esquerda separando 
as zonas D e E pode ser representada por uma seta apontando para a esquerda entre os pontos d 
e e na Figura 15.5a.
Tomando por referência a analogia do motorista da van discutida anteriormente, os sentidos 
dessas duas forças determinam os sentidos das outras forças para completar o circuito na Figura 
15.5a – mostrados pelos sentidos das setas. Assim, a força na linha e-4 atua para cima, a na 4-3 
atua para cima e para a direita, e aquela na linha 3-c atua para a direita, conforme mostradas na 
Figura 15.5a. Quando transferimos os sentidos dessas forças para os elementos correspondentes 
no diagrama reticulado, vemos que os sentidos das forças no diagrama reticulado serão como os 
mostrados na Figura 15.5b.
Nó no canto inferior esquerdo do reticulado
Examinemos agora o canto inferior esquerdo do reticulado. Olhando para a Figura 15.2, pode-se 
perceber que quatro zonas se encontram nesse ponto, ou seja, A, B, 1 e 2. Se agora nos voltássemos 
ao diagrama de forças (Fig. 15.3d) e sobrepuséssemos nele as linhas grossas representando as liga-
ções entre esses quatro pontos (a, b, 1 e 2), acabaríamos com o diagrama mostrado na Figura 15.5c.
Sabemos agora que uma força de 50 kN para cima separa as zonas A e B (veja a Fig. 15.2), 
então isso pode ser representado por uma seta apontando para cima entre os pontos a e b na 
Figura 15.5c.
)b()a(
)d()c(
d, fe
a
c,1
b
2
3
4
d, fe
a
c,1
b
2
3
4
C D
E
4
3
40 kN
80 kN
VE
1
2
B
A
Figura 15.5 Determinação dos sentidos das forças.
134 Fundamentos de Estruturas
20 kN 40 kN
80 kN
4 m 4 m
3 
m
A F
B
E
C D
1
2
3
4
HD = 80 kN
VD = 10 kNVE= 50 kN
Tração
Compressão
Nenhuma força
Figura 15.6 Sentido dos esforços axiais nos elementos.
Figura 15.7 Telhado com reticulado espacial em aço, estação de metrô Lille Europe, França.
Capítulo 15 • Método gráfico 135
Mais uma vez, o sentido dessa força determina os sentidos das demais forças para completar 
o circuito na Figura 15.5c – mostrados pelos sentidos das setas. Isso nos diz que a força na linha 
b-1 atua para baixo, a na 1-2 atua para baixo e para a esquerda, e aquela na linha 2-a atua para a 
direita. Assim, os sentidos das forças no diagrama reticulado serão mostrados como na Figura 
15.5d. Repetindo-se o processo para cada um dos nós, obtém-se a formação de setas mostrada 
na Figura 15.6. Lembre-se:
• quando as setas apontam uma para a outra, isso indica tração;
• quando as setas apontam uma para longe da outra, isso indica compressão.
60 kN 108 kN 162 kN 80 kN
3 
m
3 m 3 m 3 m
1
2
4
3
4 
m
4 
m
4 
m
3 m
8 kN
12 kN
16 kN
5 m 5 m 5 m
3 
m
8 kN
16 kN16 kN
8 kN
40 kN 60 kN
3 m3 m
Todos os
ângulos a 60°
Figura 15.8 Exercícios.
136 Fundamentos de Estruturas
Assim, para resumir, o procedimento para determinar quais elementos encontram-se sob tração 
e quais encontram-se sob compressão é o seguinte:
1. Analise um nó por vez.
2. Para cada nó escolhido, considere quais números/letras de zonas fazem contato direto com 
o nó.
3. Sobre o diagrama de forças, desenhe uma linha grossa ligando os números de zonas corres-
pondentes.
4. O sentido da força entre duas das letras de zonas geralmente é conhecido. A partir disso, o 
sentido de todas as outras forças pode ser determinado.
O telhado mostrado na Figura 15.7, que foi fotografado a partir da plataforma de uma estação 
ferroviária subterrânea muitos metros abaixo, é um típico reticulado espacial. Um reticulado 
espacial é um reticulado de nós articulados com três dimensões e precisa ser projetado de acordo 
com isso.
O que você deve recordar deste capítulo
Este capítulo descreve o método gráfico, que é um procedimento para determinar os esforços 
axiais em reticulados de nós articulados usando desenhos em vez de cálculos. A melhor maneira 
de aprender o método é acompanhar o exemplo usado neste capítulo e aplicá-lo nos exercícios 
a seguir.
Exercícios
Use o método gráfico para determinar os esforços axiais em cada elemento de cada um dos 
exemplos ilustrados na Figura 15.8. Em cada caso, descubra se o esforço é tracional ou compres-
sivo. Em seguida, ou confira suas respostas usando o método de resolução nos nós (Capítulo 13), 
ou confira os esforços em elementos selecionados usando o método das seções (Capítulo 14).
16
Esforço cortante e momentos fletores
Introdução
Já abordamos os conceitos de cisalhamento e de flexão no Capítulo 3. Neste capítulo, esses con-
ceitos são explorados detalhadamente e as quantificações e cálculos que eles envolvem são ex-
plicados.
Deformação de estruturas
Imagine que as vigas indicadas pelas grossas linhas horizontais na Figura 16.1 são bastante fle-
xíveis, mas não lá muito resistentes, sendo facilmente deformadas (defletidas) sob as cargas mos-
tradas. As linhas na Figura 16.2 indicam os formatos de deformação das vigas correspondentes 
na Figura 16.1.
Alquebramento e tosamento
Discutiremos em breve as deformações mostradas na Figura 16.2, mas, antes disso, vamos defi-
nir dois termos importantes. Você provavelmente já se deparou com algum objeto em tosamento 
antes – por exemplo, sua cama talvez esteja afundada no meio (se isso for verdade, meu conselho: 
arranje uma cama melhor – vale todo o investimento). O tosamento, ou a deformação para bai-
xo, é ilustrado na Figura 16.3a.
Alquebramento – uma deformaçãopara cima – é o oposto (ou imagem especular) de tosa-
mento. O conceito de alquebramento é ilustrado na Figura 16.3b.
Exame das formas defletidas mostradas na Figura 16.2
Observe, como um exemplo, a viga 1 na Figura 16.1, que encontra-se simplesmente apoiada em 
ambas extremidades e está sujeita a uma carga pontual central. Claramente, a viga tenderá a so-
frer tosamento sob a carga, conforme indicado pela linha no diagrama correspondente na Figura 
16.2. Quando a viga se arqueia dessa forma, as fibras bem na sua parte superior são esmagadas 
umas contra as outras; em outras palavras, elas serão comprimidas. De modo similar, as fibras 
na parte inferior da viga serão distendidas, o que indica que a parte de baixo da viga encontra-se 
sob tração. O fato de que a base da viga encontra-se sob tração é indicado pela letra T (de tração) 
situada embaixo da linha na viga 1 da Figura 16.2.
Já a viga 2 na Figura 16.1 tenderá a sofrer alquebramento (ou “abaulamento”) sobre o apoio 
central como resultado das cargas pontuais em ambas extremidades. Esse perfil de alquebra-
mento é indicado pela linha no diagrama correspondente na Figura 16.2. Neste caso, veremos 
que a parte de cima da viga ficará sob tração e, portanto, indicamos tração (letra T) acima da 
linha na posição de apoio.
138 Fundamentos de Estruturas
1 2
3 4
5 6
7
8
Figura 16.1 Deformações em vigas.
1 2
3 4
5
6
7
T
T T
T T
T T
T
T
T
T
8
T
TT
Figura 16.2 Deformações em vigas – indicadas.
Capítulo 16 • Esforço cortante e momentos fletores 139
Podemos analisar as vigas restantes na Figura 16.1 de uma maneira similar e obter os perfis 
deformados e as posições de tração para cada uma delas (indicados pelas linhas e pela letra T, 
respectivamente, na Figura 16.2).
Se você tem dificuldade em visualizar a deformação da viga mostrada na viga 4, replique 
a situação segurando uma régua horizontal comum ao pressioná-la firmemente com sua mão 
esquerda em sua extremidade esquerda e ao aplicar uma torção em sentido anti-horário com sua 
mão direita na extremidade direita. Você verá, então, a régua se deformar da maneira retratada 
na viga 4 da Figura 16.2, e sua parte de baixo ficará sob tração.
Ao examinar os formatos deformados das vigas indicadas na Figura 16.2 para as vigas 6 e 7, 
lembre-se que um apoio engastado prende firmemente uma viga, enquanto um apoio rotulado 
(ou simples) permite a ocorrência de rotação. (Veja o Capítulo 10 para revisar os vários tipos de 
apoio.)
Se você tem total compreensão da Figura 16.2, avance para a próxima seção.
Cisalhamento e flexão
Fomos introduzidos aos conceitos de cisalhamento e de flexão no Capítulo 3. Esses dois termos 
representam as maneiras pelas quais um elemento estrutural (uma viga, por exemplo) pode fa-
lhar, e isso é ilustrado nas Figuras 3.4 e 3.5. Para recordá-lo:
• Cisalhamento é uma ação de corte ou fatiamento que faz uma viga simplesmente se quebrar 
ou se romper. Conforme discutido no Capítulo 3, uma carga pesada situada próximo ao 
apoio de uma viga frágil pode levar à ocorrência de uma falha por cisalhamento.
(a) Tosamento
(b) Alquebramento
Figura 16.3 Tosamento e alquebramento.
A
10 kN30 kN
Nk 51Nk 52
2 m 1 m 1 m 2 m
Figura 16.4 Exemplo 16.1 – esforço cortante e momento fletor em um ponto.
140 Fundamentos de Estruturas
• Quando uma viga é sujeita a uma carga, ela é flexionada. Quanto mais carga é aplicada, mais 
a viga é f lexionada. Quanto mais a viga é f lexionada, maiores serão as tensões tracionais e 
compressivas induzidas na viga. A partir de certo ponto, tais tensões ultrapassarão as ten-
sões que o material é capaz de suportar e uma falha acabará ocorrendo – em outras palavras, 
a viga acabará quebrando. Em resumo, se você aumentar a flexão de uma viga, mais cedo ou 
mais tarde ela se quebrará.
Assim, uma viga pode falhar por cisalhamento ou por flexão. Uma pergunta natural a esta altura 
é: qual dos dois ocorrerá primeiro? Infelizmente, não existe uma resposta geral para essa pergun-
ta. Em algumas circunstâncias, uma viga apresentará falha por cisalhamento; em outros casos, 
uma viga apresentará falha por flexão. O que acontecerá primeiro vai depender do perfil longi-
tudinal da viga: seus vãos, a posição e a natureza de seus apoios e as posições e as magnitudes das 
cargas sobre ela. Apenas fazendo cálculos podemos determinar se uma falha por cisalhamento 
ou por flexão ocorrerá primeiro.
A primeira coisa que precisamos fazer é desenvolver um sistema para quantificar efeitos de 
cisalhamento e de flexão. Essas quantificações são chamadas de esforço cortante (ou esforço de 
cisalhamento) e de momento fletor, respectivamente, e são definidas nos parágrafos a seguir.
Esforço cortante (ou esforço de cisalhamento)
Um esforço cortante (também chamado de esforço de cisalhamento) é um esforço que tende a 
produzir uma falha por cisalhamento em algum ponto de uma viga. O valor do esforço cortante 
em qualquer ponto de uma viga = a soma algébrica de todas as forças atuando para cima e para 
baixo à esquerda do ponto em questão. (O termo “soma algébrica” significa que as forças para 
cima são consideradas como positivas e as forças para baixo são consideradas negativas.)
Exemplo 16.1
Observe o exemplo mostrado na Figura 16.4, em que as reações nas extremidades já foram calcu-
ladas como 25 kN e 15 kN, conforme mostradas (você pode conferir esses valores). Para calcular 
o esforço cortante no ponto A, ignore tudo à direita de A e examine todas as forças que existem 
à esquerda de A. Lembre-se: forças para cima são positivas e forças para baixo são negativas. 
Somando as forças entre si:
Esforço cortante em A = +25 – 30 – 10 = –15 kN
Momento fletor
O momento fletor é a magnitude do efeito de flexão em qualquer ponto de uma viga. Já encon-
tramos momentos no Capítulo 8, onde aprendemos que um momento é uma força multiplicada 
A
10 kN30 kN
25 kN 15 kN
4 m
2 m
1 m
Figura 16.5 Momento fletor no ponto A.
Capítulo 16 • Esforço cortante e momentos fletores 141
por uma distância perpendicular, atuando ou em sentido horário ou em sentido anti-horário, 
e medida em kN.m ou N.mm. O valor do momento fletor em qualquer ponto de uma viga = a 
soma de todos os momentos fletores à esquerda do ponto em questão. (Considere os momentos 
em sentido horário positivos e os momentos em sentido anti-horário negativos.)
Observe novamente a viga mostrada na Figura 16.4. Para calcular o momento fletor no pon-
to A, ignore tudo à direita de A e examine as forças (e, consequentemente, os momentos) que 
existem à esquerda de A. Você deve perceber que, como estamos calculando o momento em A, 
todas as distâncias devem ser medidas a partir do ponto A até a posição de cada força relevante. 
Veja a Figura 16.5 para esclarecimentos.
Momento fletor em A = (25 kN × 4 m) – (30 kN × 2 m) – (10 kN × 1 m) 
= 100 – 60 – 10 
= 30 kN.m
A Figura 16.6 exibe um caso mais geral. A viga AB sustenta duas cargas pontuais, M e N, 
situadas nas posições mostradas. As reações nas extremidades em A e B são RA e RB, respec-
tivamente. Suponha que estejamos interessados em descobrir o esforço cortante na posição X, 
que está situada a uma distância x1 do apoio A, a uma distância x2 da carga pontual M e a uma 
distância x3 da carga pontual N. O esforço cortante e o momento fletor em X são calculados do 
seguinte modo:
Esforço cortante em X = RA – M – N 
Momento fletor em X = (RA × x1) – (M × x2) – (N × x3)
(Lembre-se: momentos em sentido horário são positivos, momentos em sentido anti-horário são 
negativos.)
Esforço cortante e momento fletor: alguns exemplos
Considerando cada um dos três exemplos mostrados na Figura 16.7, calcule o esforço cortante e 
o momento fletor no ponto D. Confira suas respostas com as apresentadas a seguir:
a. Esforço cortante em D = –52 kN; momento fletor em D = 104 kN.m
b. Esforço cortante em D = –17,5 kN; momento fletor em D = 35 kN.m
c. Esforço cortante em D = –5 kN; momento fletor em D = 45 kN.m
(Se você não sabe ao certo de onde vieramtais respostas, leia novamente os exemplos e as regras 
apresentados anteriormente. No exemplo (b), a componente vertical da força de 14,4 kN inclina-
da é 10 kN; retorne ao Capítulo 7 para esclarecimentos.)
X
NM
x3
x2
RB
RA
x1
A B
Figura 16.6 Esforços cortantes e momentos fletores – caso geral.
142 Fundamentos de Estruturas
Até aqui, vimos como calcular valores de esforço cortante e de momento fletor em um ponto 
específico de uma viga. Porém, enquanto engenheiros, estamos menos interessados nos valores 
em um ponto específico e mais interessados em como o esforço cortante e o momento f letor 
variam ao longo de todo o comprimento de uma viga. Sendo assim, podemos calcular e desenhar 
representações gráficas de esforço cortante e de momento f letor e suas variações ao longo de 
uma viga. Esses desenhos são chamados de diagramas de esforço cortante (ou esforço de cisalha-
mento) e de momento fletor.
Diagramas de esforço cortante e de momento fletor
Exemplo 16.2
Olhe para o exemplo mostrado na Figura 16.8a. A viga é sustentada em suas duas extremidades, 
A e G, e experimenta uma carga pontual de 18 kN no ponto E, que está a 4 m da extremidade 
esquerda da viga. As reações nas extremidades esquerda e direita são de 6 kN e 12 kN, respecti-
vamente, conforme já calculadas no Capítulo 9.
Iremos calcular os valores de esforço cortante e momento fletor a intervalos de 1 m ao lon-
go da viga, ou seja, nos pontos A, B, C, D, E, F e G. Ao fazer isso, ou ao lidar com um exemplo 
B
70 kN51 kN
RC= 52 kN
RC= 17,5 kNRA = 22,5 kN
RA = 20 kN RC= 20 kN
RA = 69 kN
2 m 1 m 1 m
A
C
B
30 kN
14,14 kN
3 m 3 m 4 m
A
C
B
15 kN35 kN
2 m 1 m 1 m
A
C
2 m
2 m
10 kN
1 m 1 m
10 kN
45°
(a)
(b)
(c)
D
E
D E
D
E
F
Figura 16.7 Esforços cortantes e momentos fletores em um ponto – exemplos.
Capítulo 16 • Esforço cortante e momentos fletores 143
similar por conta própria, sugiro que você utilize papel milimetrado e alinhe referências verti-
cais para facilitar seus traçados.
Esforço cortante
(Lembre-se: sempre olhe para o que está acontecendo à esquerda do ponto no qual você está 
tentando calcular o esforço cortante.) Antes de mais nada, trace uma linha reta representando 
esforço cortante zero. Esta será a linha referencial a partir da qual o diagrama de esforço cortante 
é traçado.
Não há nada à esquerda do ponto A, então o esforço cortante no ponto A é zero.
Se avançarmos uma distância bem pequena (digamos, 2 mm) para direita de A, encontrare-
mos agora uma força de 6 kN para cima à esquerda do ponto que estamos considerando. Assim, 
o esforço cortante nesse ponto é de 6 kN. Podemos representar esse efeito por uma linha reta 
vertical no ponto A, começando na linha referencial de esforço zero e subindo até um ponto 
representando 6 kN. Como cada um dos pontos B, C, D e E apresenta uma força de 6 kN a sua 
esquerda (isto é, a reação no ponto A), então o esforço cortante em cada um desses pontos é de 
6 kN. Esses valores podem ser plotados em nosso diagrama de esforço cortante.
A
18 kN
6 kN 12 kN
m 2m 4
GB
6
18 12
0
0
6 6
12 12
(a) Diagrama de viga
 (b) Diagrama de esforço cortante (kN)
 (c) Diagrama de momento �etor (kN . m)
0 0
24
C D
E
F
6 6 6
12
6
12
18
12
Figura 16.8 Exemplo 16.2 – diagramas de esforço cortante e de momento fletor.
144 Fundamentos de Estruturas
Observe agora um ponto a uma distância bem pequena (digamos, 2 mm) para direita de E. Se 
examinarmos todas as forças à esquerda desse ponto, percebemos que há uma força de 6 kN para 
cima (em A) e uma força de 18 kN para baixo (em E). O esforço cortante nesse ponto deve ser de 
(6 – 18) = –12 kN (o que significa 12 kN abaixo da linha referencial). Os esforços cortantes em F 
e logo a esquerda de G terão o mesmo valor (–12 kN).
No ponto G propriamente dito, a soma de todas as forças = (6 kN – 18 kN + 12 kN) = 0 kN. 
Então o esforço cortante em G é zero. O diagrama de esforço cortante está traçado na Figura 
16.8b.
Momentos fletores
Mais uma vez, estamos olhando exclusivamente para as forças e momentos à esquerda de cada 
ponto em questão. Calcularemos o momento em cada ponto, lembrando que:
• momentos em sentido horário são positivos; momentos em sentido anti-horário são nega-
tivos;
• as distâncias são medidas a partir da força em questão até o ponto sendo examinado.
Momento fletor em A = +(6 kN × 0 m) = 0 kN.m
Momento fletor em B = +(6 kN × 1 m) = 6 kN.m
Momento fletor em C = +(6 kN × 2 m) = 12 kN.m
Momento fletor em D = +(6 kN × 3 m) = 18 kN.m
Momento fletor em E = +(6 kN × 4 m) – (18 kN × 0 m) = 24 kN.m
Momento fletor em F = +(6 kN × 5 m) – (18 kN × 1 m) = 12 kN.m
Momento fletor em G = +(6 kN × 6 m) – (18 kN × 2 m) = 0 kN.m
O diagrama de momento fletor está traçado na Figura 16.8c.
Dica: como estamos olhando apenas para os esforços cortantes e momentos f letores à es-
querda de um ponto específico, talvez você ache útil, para começar, usar um pedaço de papel 
para cobrir a parte do diagrama à direita do ponto que você está considerando.
Há um jeito mais fácil
Ainda que o exemplo anterior tenha nos dado uma boa amostra de como calcular e construir 
diagramas de esforço cortante e de momento fletor, torna-se um tanto tedioso levar em conside-
ração cada metro ao longo da viga dessa forma. A seguir, apresentamos um modo mais rápido de 
traçar diagramas de esforço cortante e de momento fletor para o exemplo anterior.
Diagrama de esforço cortante – “siga as setas”
Trace uma linha referencial representando esforço cortante zero. Em seguida, comece pela extre-
midade esquerda da viga. Nesse ponto, há uma força de 6 kN para cima. Então, trace uma linha 
para cima a partir da linha zero – suba 6 kN, até um valor de +6 kN. Avançando para a direita a 
partir de A, não encontramos qualquer outra força ou particularidades até chegarmos ao ponto 
E; portanto, o diagrama de esforço cortante entre A e E será representado por uma linha reta 
horizontal entre esses dois pontos no valor de +6 kN.
No ponto E, há uma força de 18 kN para baixo. Nosso diagrama de esforço cortante refletirá 
isso sendo rebaixado em 18 kN, o que nos leva de +6 kN para –12 kN. Avançando para a direita 
a partir de E, não encontramos qualquer outra força ou particularidades até chegarmos ao ponto 
G; portanto, o diagrama de esforço cortante entre E e G será representado por uma linha reta 
horizontal no valor de –12 kN.
No ponto G, há uma força de 12 kN para cima. Já estamos em –12 kN, então a força de 12 kN 
para cima nos leva de volta para zero. (Repare que o diagrama de esforço cortante sempre acaba 
Capítulo 16 • Esforço cortante e momentos fletores 145
voltando para a linha zero. Se isso não acontece com o seu diagrama, você cometeu um erro em 
algum ponto.)
O diagrama de esforço cortante é mostrado na Figura 16.8b. Obviamente, ele é o mesmo que 
calculamos antes. Observe que não há nada de “mágico” nesse processo. Tudo o que fizemos foi 
seguir as setas. Para resumir: se uma força atua para cima (por exemplo, a reação de 6 kN em A), 
então o diagrama de esforço cortante pula para cima nessa mesma quantidade. Por outro lado, 
se uma força atua para baixo (por exemplo, a força de 18 kN em E), então o diagrama de esforço 
cortante pula para baixo em tal ponto, nessa mesma quantidade.
Diagrama de momento fletor – apenas em pontos de “eventos” e una os pontos
Anteriormente, calculamos o momento fletor a intervalos de 1 m ao longo da viga. Na verdade, 
precisamos fazer isso apenas em pontos de “eventos”, plotar os valores e juntar os pontos. Pontos 
de “eventos” (termo meu) são aqueles pontos em que o problema apresenta alguma particularida-
de, como uma carga pontual, uma reação ou uma extremidade da viga. Se você ficar em dúvida se 
um ponto específico é ou não de “evento”, pressuponha que ele seja. Os pontos de “evento” nessa 
viga são A, E e G. Calculamos anteriormente os valores de momento nesses três pontos como sen-
do 0, 24 e 0 kN.m, respectivamente. Basta plotar esses valores e unir os pontosplotados por meio 
de linhas retas para você obter o diagrama de momento fletor mostrado na Figura 16.8c.
Há mais uma questão a ser observada. Você talvez tenha se perguntado por que optamos, na 
Figura 16.8c, por indicar os valores de momento fletor abaixo da linha zero ao invés de acima 
dela. A convenção sugere que o diagrama de momento fletor seja plotado do lado da viga que ex-
perimenta tração. A partir da discussão no início deste capítulo – e, especificamente, a partir da 
Figura 16.1 – você perceberá que no exemplo atual a viga acabará sofrendo tosamento, indicando 
que a tração ocorre na parte de baixo da viga, o que sugere que plotemos o diagrama de momento 
fletor abaixo da linha zero.
Para resumir: o diagrama de momento fletor é desenhado ou acima ou abaixo da linha zero, 
dependendo de se a viga experimenta tração na parte de cima ou na parte de baixo no ponto em 
questão (parte de cima: acima da linha, parte de baixo: abaixo da linha).
O formato dos diagramas de esforço cortante e de momento fletor
Se você examinar o formato dos diagramas anteriores de esforço cortante e de momento fletor, 
perceberá as seguintes características:
• O diagrama de esforço cortante é uma série de “degraus”; em outras palavras, ele contém 
apenas linhas retas horizontais e verticais.
• O diagrama de momento fletor compreende linhas retas inclinadas.
Essas características valem para todos os casos em que uma viga experimenta somente cargas 
pontuais (isto é, nenhuma carga uniformemente distribuída).
Para resumir: quando uma viga experimenta apenas cargas pontuais, o diagrama de esforço 
cortante será uma série de degraus e o diagrama de momento fletor conterá somente linhas retas 
(geralmente inclinadas).
A relação entre esforço cortante e momento fletor
É possível que você venha a explorar a relação matemática entre esforço cortante e momento 
fletor em um estágio mais avançado do seu curso. Uma coisa a prestar atenção agora é a regra a 
seguir, que vale para todos os casos:
Onde o esforço cortante é zero, o momento fletor é ou um máximo local, ou um mínimo local 
ou zero.
146 Fundamentos de Estruturas
Se olharmos novamente para o exemplo na Figura 16.8, vemos que o diagrama de esforço cortan-
te toca (ou atravessa) a linha zero em A, E e G. Se olharmos para o momento fletor em cada um 
desses três pontos, vemos que ele é zero em A e G e um máximo (24 kN.m) em E.
Essa regra é muito útil em problemas nos quais é difícil identificar a posição de momento 
fletor máximo. Em tais casos, o segredo está em identificar a ou as posições de esforço cortante 
zero.
Mais exemplos
Desenhe diagramas de esforço cortante e de momento fletor para cada uma das três vigas mos-
tradas na Figura 16.7. As soluções são dadas nas Figuras 16.21–16.23 ao final deste capítulo.
Diagramas de esforço cortante e de momento fletor para cargas 
uniformemente distribuídas
No Capítulo 9 vimos como calcular momentos para cargas uniformemente distribuídas (CUD). 
Talvez valha a pena você revisitar esse capítulo para refrescar a memória. A regra para calcular 
momentos fletores para cargas uniformemente distribuídas é mostrada na Figura 9.5, a qual, por 
conveniência, está reproduzida aqui como a Figura 16.9. Tomando essa figura como referência, o 
momento de cargas uniformemente distribuídas em torno de A é a carga total multiplicada pela 
distância da linha central da CUD até o ponto em torno do qual estamos calculando momentos. 
A CUD total é w × x, a distância em questão é a, então:
Momento da CUD em torno de A = w × a × x
Aplique esse princípio sempre que estiver trabalhando com cargas uniformemente distribuídas.
Exemplo 16.3
A viga AB, exibida na Figura 16.10, tem um vão de 6 m. Ela sustenta uma carga uniformemente 
distribuída de 4 kN/m ao longo de todo o seu comprimento. Desenhe os diagramas de esforço 
cortante e de momento fletor.
Antes de mais nada, calcule as reações. Devido à simetria tanto da viga em si quanto da carga 
aplicada, isso é fácil neste caso. A reação em cada extremidade será metade do total da carga 
sobre a viga. Então,
RA = RG = (4 kN/m × 6 m)/2 = 12 kN
Tentaremos agora a abordagem metro a metro – que já fez sua estreia no exemplo anterior – para 
desenhar os diagramas de esforço cortante e de momento fletor. Assim, iremos calcular os valo-
res de esforço cortante e momento fletor nos pontos A, B, C, D, E, F e G.
A
a
x
Linha central do
comprimento de carga
w kN/m
Figura 16.9 Cálculo do momento fletor para carga uniformemente distribuída (CUD) – caso 
geral.
Capítulo 16 • Esforço cortante e momentos fletores 147
Esforço cortante
(Lembre-se: sempre olhe para o que está acontecendo à esquerda do ponto no qual você está ten-
tando calcular o esforço cortante.) Como antes, desenhe uma linha reta representando esforço cor-
tante zero. Essa será a linha referencial a partir da qual o diagrama de esforço cortante é traçado.
Não há nada à esquerda do ponto A, então o esforço cortante no ponto A é zero.
Se avançarmos uma distância bem pequena (digamos, 2 mm) para direita de A, encontra-
remos agora uma força de 12 kN para cima (a reação em A) à esquerda do ponto que estamos 
considerando. Assim, o esforço cortante nesse ponto é de 12 kN. Podemos representar esse efeito 
por uma linha reta vertical no ponto A, começando na linha referencial de força zero e subindo 
até um ponto representando 12 kN.
Cada um dos pontos B, C, D, E, F e G apresenta essa força de 12 kN à sua esquerda (isto é, o 
ponto de reação A), mas eles também apresentam forças para baixo à sua esquerda. Examinemos 
cada uma desse pontos por sua vez.
Ponto B: 
Força para cima à esquerda = 12 kN 
Força para baixo à esquerda = (4 kN/m × 1 m) = 4 kN 
Portanto, esforço cortante no ponto B = 12 – 4 = 8 kN
A
4 kN/m
RA = 12 kN RG = 12 kN
6 m
B
G
12
0
0
12
4 12
12
(a) Diagrama de viga
 (b) Diagrama de esforço cortante (kN)
 (c) Diagrama de momento �etor (kN . m)
0 0
16
C D E F
8
4
0
8
10
16
18
10
Figura 16.10 Exemplo 16.3 – diagramas de esforço cortante e de momento fletor – exemplo 
de CUD.
148 Fundamentos de Estruturas
Ponto C: 
Força para cima à esquerda = 12 kN 
Força para baixo à esquerda = (4 kN/m × 2 m) = 8 kN 
Portanto, esforço cortante no ponto C = 12 – 8 = 4 kN
Ponto D: 
Força para cima à esquerda = 12 kN 
Força para baixo à esquerda = (4 kN/m × 3 m) = 12 kN 
Portanto, esforço cortante no ponto D = 12 – 12 = 0 kN
Ponto E: 
Força para cima à esquerda = 12 kN 
Força para baixo à esquerda = (4 kN/m × 4 m) = 16 kN 
Portanto, esforço cortante no ponto E = 12 – 16 = –4 kN
Ponto F: 
Força para cima à esquerda = 12 kN 
Força para baixo à esquerda = (4 kN/m × 5 m) = 20 kN 
Portanto, esforço cortante no ponto F = 12 – 20 = –8 kN
Imediatamente à esquerda do ponto G: 
Força para cima à esquerda = 12 kN 
Força para baixo à esquerda = (4 kN/m × 6 m) = 24 kN 
Portanto, esforço cortante no ponto G = 12 – 24 = –12 kN 
No ponto G, há uma reação para cima de 12 kN. Então o esforço cortante líquido em G será 
de –12 + 12 = 0 kN.
Esses valores podem ser plotados em nosso diagrama de esforço cortante na Figura 16.10b.
Momentos fletores
Mais uma vez, estamos olhando exclusivamente para as forças e momentos à esquerda de cada 
ponto em questão. Como nos exemplos anteriores, calcularemos o momento em cada ponto, 
lembrando que:
• momentos em sentido horário são positivos, e momentos em sentido anti-horário são nega-
tivos;
• as distâncias são medidas a partir da força em questão até o ponto sendo examinado.
Momento fletor em A = +(12 kN × 0 m) 
= 0 kN.m
Momento fletor em B = +(12 kN × 1 m) – (4 kN/m × 1 m × 0,5 m) = 12 – 2 
= 10 kN.m
Momento fletor em C = +(12 kN × 2 m)– (4 kN/m × 2 m × 1 m) = 24 – 8 
= 16 kN.m
Momento fletor em D = +(12 kN × 3 m)– (4 kN/m × 3 m × 1,5 m) = 36 – 18 
= 18 kN.m
Momento fletor em E = +(12 kN × 4 m) – (4 kN/m × 4 m × 2 m) = 48 – 32 
= 16 kN.m
Momento fletor em F = +(12 kN × 5 m) – (4 kN/m × 5 m × 2,5 m) = 60 – 50 
= 10 kN.m
Momento fletor em G = +(12 kN× 6 m) – (4 kN/m × 6 m × 3 m) = 72 – 72 
= 0 kN.m
O diagrama de momento fletor está traçado na Figura 16.10c.
Capítulo 16 • Esforço cortante e momentos fletores 149
O formato dos diagramas de esforço cortante e de momento fletor 
para cargas uniformemente distribuídas
Se você examinar o formato dos diagramas de esforço cortante e de momento fletor na Figura 
16.10, perceberá as seguintes características:
• O diagrama de esforço cortante compreende linhas retas inclinadas.
• O diagrama de momento fletor é curvado (parabólico).
Em geral, em casos em que uma viga experimenta cargas uniformemente distribuídas ao longo 
de toda ou parte de sua extensão, os diagramas de esforço cortante e de momento fletor ao longo 
da parte considerada da viga sempre terão tais características.
Para resumir: quando uma viga experimenta cargas uniformemente distribuídas, o diagrama 
de esforço cortante compreenderá linhas retas inclinadas e o diagrama de momento f letor será 
curvado.
Diagramas de esforço cortante e de momento fletor para casos-padrão
Existem três casos-padrão de cargas sobre vigas que são tão comuns que o mais recomendável 
seria o leitor decorar seus resultados. São eles:
• viga com uma carga pontual centralizada
• viga com uma carga pontual não centralizada
• viga sustentando uma carga uniformemente distribuída ao longo de toda a sua extensão
Tais casos, juntamente com seu respectivos diagramas de esforço cortante e de momento fle-
tor, são mostrados nas Figuras 16.11–16.13. Usando as técnicas discutidas anteriormente, você 
deve ser capaz de obter essas reações e valores de esforço cortante e de momento f letor por 
conta própria.
Observe que o resultado para o momento f letor máximo em uma viga com carga unifor-
memente distribuída ao longo de toda sua extensão (wL2/8) é de uso especialmente comum na 
prática – veja a Figura 16.13.
Alguns anos atrás, um colega meu em uma empresa de consultoria em engenharia declarou, com certa 
irreverência: “wL2/8 – isso é tudo que você precisa saber!”. Embora não seja de todo verdade (nem justo), 
o comentário demonstra ao menos a importância de tal resultado. Essa importância, aliás, talvez fique 
mais clara com outra história: em uma competição “amistosa” de descida de corredeiras organizada en-
tre os empreiteiros e os engenheiros residentes em um local em que certa vez trabalhei, o bote vencedor 
recebera o nome de “Dáblio L Quadrado Sobre Oito”.
Um exemplo envolvendo cargas pontuais e cargas uniformemente distribuídas
Agora que já vimos alguns exemplos envolvendo cargas pontuais e alguns envolvendo cargas 
uniformemente distribuídas, bem como alguns casos-padrão, vejamos um exemplo fora do pa-
drão envolvendo ambos.
Como você pode ver, o exemplo mostrado na Figura 16.14a contém diversas cargas pontuais 
e também duas cargas uniformemente distribuídas (CUDs) de diferentes intensidades. Isso pode 
parecer um tanto desafiador à primeira vista, mas, se seguirmos as regras, podemos determinar 
as reações com facilidade e, consequentemente, os diagramas de esforço cortante e de momento 
fletor para este caso.
Como sempre, começaremos calculando as reações. Antes de mais nada, calcularemos a car-
ga total para baixo.
150 Fundamentos de Estruturas
Carga total para baixo = 30 kN + (5 kN/m × 2 m) + 14 kN + 10 kN + (10 kN/m × 3 m) 
= 94 kN
Para que haja equilíbrio, força total para cima = força total para baixo; então a soma das duas 
reações deve ser de 94 kN.
RA + RG = 94 kN
Calculando os momentos em torno de A:
Momento total em sentido horário = Momento total em sentido anti-horário
(30 kN × 1 m) + (5 kN/m × 2 m × 2 m) + (14 kN × 4 m) + (10 kN × 5 m) 
 + (10 kN × 3 m × 6,5 m) = (RG × 9 m) 
 9RG = 30 + 20 + 56 + 50 + 195 = 351 kN 
 RG = 39 kN
Calculando os momentos em torno de G:
Momento total em sentido horário = Momento total em sentido anti-horário
A
P
RB=P/2RA =P/2
L
B
P/2
0
0
P/2
P/2
P/2
(a) Diagrama de viga
(b) Diagrama de esforço cortante
(c) Diagrama de momento �etor
00
C
0
PL/4
Figura 16.11 Caso-padrão 1 – diagramas de esforço cortante e de momento fletor para uma 
viga sustentando uma carga pontual centralizada.
Capítulo 16 • Esforço cortante e momentos fletores 151
(RA × 9 m) = (30 kN × 8 m) + (5 kN × 2 m × 7 m) + (14 kN × 5 m) + (10 kN × 4 m) 
+ (10 kN/m × 3 m × 2,5 m)
 9RA = 240 + 70 + 70 + 40 + 75 = 495 kN
 RA = 55 kN
Para conferir: RA + RG = 55 + 39 = 94 kN (correto)
Agora que as reações já foram calculadas, o diagrama de esforço cortante pode ser traçado. 
Como vimos mais cedo neste capítulo, na seção intitulada “Há um jeito mais fácil”, comece dese-
nhando uma linha horizontal representando esforço cortante zero. Em seguida, partindo da ex-
tremidade esquerda da viga (ponto A), construa o diagrama de esforço cortante da seguinte forma:
• No ponto A, trace uma linha vertical para cima a partir da linha referencial até um valor de 
55 kN. Isso representa a reação para cima, RA, que tem um valor de 55 kN.
• Como não há carga alguma entre A e B, trace uma linha horizontal reta de A para a direita.
• Em B, trace uma linha vertical para baixo de comprimento 30 kN, que representa a força de 
30 kN para baixo. Você chegará ao valor de 25 kN (isto é, 55 – 30).
• Entre B e C, há uma CUD de 5 kN/m, o que significa que o esforço cortante “perde” 5 kN 
para cada metro viajado. A distância entre B e C é de 2 m, o que sugere uma perda total de 
A
P
RB=Pa/LRA =Pb/L
L
B
Pb/L
0
0
Pb/L
Pa/L
Pa/L
(a) Diagrama de viga
(b) Diagrama de esforço cortante
(c) Diagrama de momento �etor
0 0
C
0
Pab/L
a b
Figura 16.12 Caso-padrão 2 – diagramas de esforço cortante e de momento fletor para uma 
viga sustentando uma carga pontual não centralizada.
152 Fundamentos de Estruturas
esforço cortante de (5 × 2) = 10 kN ao longo dessa extensão, representada por uma linha reta 
inclinada. O valor alcançado em C será de 15 kN (isto é, 25 – 10).
• Entre C e D não há atuação de cargas, então o valor do esforço cortante permanece em 15 kN. 
Isso é representado por uma linha reta horizontal entre esses dois pontos.
• Em D, trace uma linha vertical para baixo de comprimento 14 kN, que representa a força de 
14 kN para baixo. Você chegará ao valor de 1 kN (isto é, 15 – 14).
• Entre D e E não há carga alguma, então o valor do esforço cortante permanece em 1 kN. Isso 
é representado por uma linha reta horizontal entre os dois pontos.
• Em E, trace uma linha vertical para baixo de comprimento 10 kN, que representa a força de 
10 kN para baixo. Você chegará ao valor de –9 kN (isto é, 1 – 10).
• Entre E e F, há uma CUD de 10 kN/m, o que significa que o esforço cortante “perde” 10 kN 
para cada metro viajado. A distância entre E e F é de 3 m, o que sugere uma perda total de 
esforço cortante de (10 × 3) = 30 kN ao longo dessa extensão, representada por uma linha reta 
inclinada. O valor alcançado em F será de –39 kN (isto é, –9 – 30).
• Entre F e G não há carga alguma, então o valor do esforço cortante permanece em –39 kN. 
Isso é representado por uma linha reta horizontal entre os dois pontos.
• Em G, trace uma linha vertical para cima de comprimento 39 kN, que representa a reação 
para cima, RG, de 39 kN. Você chegará ao valor de 0 kN (isto é, –39 + 39).
A
w kN/m
RA =wL/2 RB=wL/2
L
B
wL/2
0
0
wL/2
wL/2
wL/2
(a) Diagrama de viga
(b) Diagrama de esforço cortante
(c) Diagrama de momento �etor
0 0
C
0
wL2/8
Figura 16.13 Caso-padrão 3 – diagramas de esforço cortante e de momento fletor 
para uma viga sustentando uma carga uniformemente distribuída ao longo de toda sua 
extensão.
Capítulo 16 • Esforço cortante e momentos fletores 153
Como sempre, o diagrama de esforço cortante retorna exatamente a um valor de zero na 
extremidade da direita. O diagrama de esforço cortante é mostrado na Figura 16.14b.
Agora podemos voltar nossa atenção para o diagrama de momento fletor. Calcule o momen-
to fletor em cadaum dos pontos de A a G, plote os pontos em um gráfico e então junte os pontos 
no gráfico ou com uma linha reta (se não houver carga atuando entre os pontos) ou com uma 
linha curva (se houver uma CUD atuando entre os pontos).
Momento fletor em A = 0 kN.m
Momento fletor em B = (55 kN × 1 m) = 55 kN.m
Momento fletor em C = (55 kN × 3 m) – (30 kN × 2 m) – (5 kN/m × 2 m × 1 m) 
= 95 kN.m
Momento fletor em D = (55 kN × 4 m) – (30 kN × 3 m) – (5 kN/m × 2 m × 2 m) 
= 110 kN.m
Momento fletor em E = (55 kN × 5 m) – (30 kN × 4 m) – (5 kN/m × 2 m × 3 m) 
 – (14 kN × 1 m) = 111 kN.m
Momento fletor em F = (55 kN × 8 m) – (30 kN × 7 m) – (5 kN/m × 2 m × 6 m) 
 – (14 kN × 4 m) – (10 kN × 3 m) – (10 kN/m × 3 m × 1,5 m) 
= 39 kN.m
Momento fletor em G = 0 kN.m
B
30 kN 14 kN
RA = 55 kN RG = 39 kN
A C
5 kN/m
D E
0 0
39
39
9
1
55
Parabólica Parabólica
0
55
95
39
111
0
F
G
10 kN
10 kN/m
1 m 2 m 1 m 1 m 3 m 1 m
1
15
55
25 15
110
(a) Diagrama de viga
(b) Diagrama de esforço cortante (kN)
 (c) Diagrama de momento �etor (kN . m)
Figura 16.14 Exemplo envolvendo tanto cargas pontuais quanto CUDs.
154 Fundamentos de Estruturas
O diagrama de momento fletor está mostrado na Figura 16.14c.
Observe o seguinte:
• Não há cargas atuando entre os pontos A e B, C e D, D e E e F e G, então o diagrama de mo-
mento fletor entre esses pontos é uma linha reta inclinada.
• Há uma carga uniformemente distribuída (CUD) entre B e C, e também entre E e F, então o 
diagrama de momento fletor entre esses pontos é uma linha curva (parabólica).
• O diagrama de esforço cortante cruza a linha zero em E, então, conforme esperado, o valor 
máximo de momento fletor (111 kN.m) também ocorre em E.
Mais exemplos envolvendo cargas uniformemente distribuídas
Desenhe os diagramas de esforço cortante e de momento fletor para cada uma das vigas mostra-
das na Figura 16.15. As soluções são dadas nas Figuras 16.24–16.26 ao final deste capítulo.
B
6 kN/m
RA
RA
RA
RE
RB
RC
3 m 
A C
B
3 kN/m
50 kN
4 m 6 m 
A C
B
5 kN 5 kN
1 m1 m 1 m
A C
3 m
5 m
3 m
12 kN/m
(a)
(b)
(c)
D
10 kN/m
5 kN
D
E
Figura 16.15 Mais exemplos de diagramas de esforço cortante e de momento fletor.
Capítulo 16 • Esforço cortante e momentos fletores 155
O que mais os diagramas de esforço cortante e de momento fletor 
podem nos dizer?
Olhe para a viga mostrada na Figura 16.16a. Ela está apoiada em A e C e experimenta uma carga 
pontual em B e na extremidade livre D. Ao examinarmos a viga e inferirmos o modo como ela 
pode flexionar (da mesma maneira como fizemos com os exemplos bem no início deste capítu-
lo), podemos deduzir que:
• a viga está sofrendo tosamento no ponto B;
• a viga está sofrendo alquebramento no apoio C;
• a viga está sofrendo alquebramento no ponto D.
Claramente, em algum lugar entre os pontos B e C, a natureza da deflexão da viga passa de tosa-
mento para alquebramento. Esse ponto é denominado ponto de inflexão. Mas onde, exatamente, 
o ponto de inflexão ocorre?
A essa altura, você deve ser capaz de calcular as reações e traçar os diagramas de esforço 
cortante e de momento fletor. Isso é mostrado na Figura 16.16b e c, respectivamente.
A
25 kN 
RA = 5 kN RB= 30 kN
2 m
B
5
0
0
5 10
20
(a) Diagrama de viga
0 0
C
20
30
10 kN
2 m 3 m
D
10
30
25
10
(d) Forma de�etida
Tosamento Alquebramento
 (b) Diagrama de esforço cortante (kN)
 (c) Diagrama de momento �etor (kN . m)
Figura 16.16 Formas defletidas e inflexão.
156 Fundamentos de Estruturas
Mais cedo neste capítulo, você foi introduzido a uma convenção determinando que o diagra-
ma de momento fletor sempre é traçado do lado da tração em relação à linha zero. Isso sugere que:
• se o perfil do momento fletor encontra-se abaixo da linha zero, a tração ocorre na face infe-
rior da viga, o que sugere que a viga está sofrendo tosamento;
• se o perfil do momento fletor encontra-se acima da linha zero, a tração ocorre na face supe-
rior da viga, o que sugere que a viga está sofrendo alquebramento.
A partir daí, conclui-se que onde o diagrama de momento fletor cruza a linha zero, a natureza da 
deflexão da viga passa de tosamento para alquebramento (ou vice-versa). Portanto, um ponto de 
inflexão ocorre em qualquer ponto onde o perfil do momento fletor cruze a linha zero. No exem-
plo atual, este ponto encontra-se a 2,5 m da extremidade esquerda da viga. Isso é determinado 
reconhecendo-se que os dois triângulos (hachurados) que constituem o diagrama de momento 
fletor são similares (no sentido matemático da palavra). O perfil defletido da viga é mostrado 
na Figura 16.16d.
Exemplo 16.4
Trace os diagramas de esforço cortante e de momento fletor e esboce a forma defletida para a 
viga desenhada na Figura 16.17. Identifique a posição dos pontos de inflexão. (A solução é dada 
na Figura 16.27 ao final deste capítulo.)
Mais a respeito do ponto de inflexão
Conforme mencionado antes, o ponto de inflexão é onde o modo de flexão de uma viga passa 
de alquebramento para tosamento (ou vice-versa) e, portanto, as tensões nas fibras externas da 
parte de cima e da parte de baixo passam de tração para compressão (ou vice-versa). Sua posição 
situa-se onde o diagrama de momento fletor cruza a linha zero.
A posição do ponto de inflexão é de especial importância em vigas de concreto, que são frá-
geis sob tração e que, portanto, são reforçadas com barras de aço. O ponto de inflexão identifica 
onde a zona de tração acaba – ou começa – em qualquer face específica de uma viga (isto é, em 
cima ou embaixo) e, consequentemente, o ponto no qual é preciso haver reforço.
Vejamos mais um exemplo.
Exemplo 16.5
A Figura 16.18 mostra uma viga sustentando cargas pontuais em A, C e D, e uma carga uni-
formemente distribuída entre os pontos D e F. A viga está apoiada nos pontos B e E. Calcule as 
reações de apoio RB e RE, trace os diagramas de esforço cortante e de momento fletor e identifi-
que a posição dos pontos de inflexão.
A
20 kN 
RD = 47,5 kNRB= 62,5 kN
2 m
B
C
10 kN
2 m 3 m
D
E
80 kN
2 m
Figura 16.17 Exemplo 16.4.
Capítulo 16 • Esforço cortante e momentos fletores 157
Solução
Veja a Figura 16.19 para conferir os diagramas. Os cálculos são os seguintes:
Carga total para baixo = 10 + 40 + 20 + (8 kN/m × 5 m) = 110 kN
1 m 3 m 3 m 3 m 2 m
10 kN 40 kN 20 kN
8 kN/m
RERB
A
B
C D E F
Figura 16.18 Exemplo 16.5.
1 m 3 m 3 m 3 m 2 m
10 kN 40 kN 20 kN
8 kN/m
RB RE
A
B
C D E F
Diagrama de esforço cortante (kN)
Diagrama de momento �etor (kN.m)
0
0
0
0
–10
36,66
–3,34
–23,34
–47,33
16
10
100
90
16
Pontos de in�exão
Figura 16.19 Exemplo 16.5 – solução.
158 Fundamentos de Estruturas
Calculando os momentos em torno de B:
(40 kN × 3 m) + (20 kN × 6 m) + (8 kN × 5 m × 8,5 m) = 9RE + (10 kN × 1 m) 
9RE = 120 + 120 + 340 – 10 = 570 kN 
RE = 570/9 = 63,33 kN 
RE = 63,33 kN
Calculando os momentos em torno de E:
9RB =(10 kN × 10 m) + (40 kN × 6 m) + (20 kN × 3 m) + (8 kN × 5 m × 0,5 m) 
9RB = 100 + 240 + 60 + 20 = 420 kN 
RB = 420/9 = 46,66 kN 
RB = 46,66 kN
Para conferir: RB + RE = 46,66 + 63,33 = 110 kN (correto)
Momento fletor em A = 0 (por inspeção) 
Momento fletor em B = –(10 kN × 1 m) = –10 kN.m 
Momento fletor em C = –(10 kN × 4 m) + (46,66 kN × 3 m) = 100 kN.m 
Momento fletor em D = –(10 kN × 7 m) – (40 kN × 3 m) + (46,66 kN × 3 m) 
= 90 kN.m
Momento fletor em E = –(10 kN × 10 m) – (40 kN × 6 m) – (20 kN × 3 m) 
 – (8 kN × 3 m × 1,5 m) + (46,66 kN × 9 m) 
= –16 kN.m
Momento fletor em F = 0 (por inspeção)
Momento máximo de alquebramento = 16 kN.m
Os pontos de inflexão estão indicados no diagrama de momento fletor.
A posição do ponto de inflexão à esquerda encontra-se (10 kN × 3 m/110 kN) = 0,27 m à 
direita de B, ou seja, 1,27 m à direita de A.
O que você deve recordar deste capítulo
• Cisalhamento é uma ação de corte ou fatiamento que faz com que uma viga se quebre ou se 
rompa.
• Quando uma viga é sujeita a uma carga, ela é flexionada. Se a carga for aumentada, a flexão 
aumentaráe, mais cedo ou mais tarde, a viga se quebrará (caso não apresente falha por cisa-
lhamento antes disso).
• Um esforço cortante (ou esforço de cisalhamento) é um esforço que tende a produzir uma 
falha por cisalhamento em um certo ponto de uma viga.
• O valor do esforço cortante em qualquer ponto de uma viga = a soma algébrica de todas as 
forças que atuam para cima e para baixo à esquerda do ponto em questão.
• Uma viga pode apresentar falha por flexão ou por cisalhamento. O que acontecerá antes só 
pode ser determinado via cálculos.
• O momento fletor é a magnitude do efeito de flexão em qualquer ponto de uma viga. O valor 
do momento fletor em qualquer ponto de uma viga = a soma de todos os momentos fletores 
à esquerda do ponto em questão.
• Diagramas de esforço cortante e de momento fletor são representações gráficas de esforço 
cortante e de momento fletor e de sua variação ao longo de uma viga.
Capítulo 16 • Esforço cortante e momentos fletores 159
• O diagrama de momento fletor é traçado ou acima ou abaixo da linha zero, dependendo se 
a viga experimenta tração em sua parte superior ou inferior no ponto considerado (parte 
superior: acima da linha, parte inferior: abaixo da linha).
• Onde o esforço cortante é zero, o momento fletor é ou um máximo local, ou um mínimo 
local ou zero. Conclui-se daí que a posição de máximo momento fletor pode ser determinada 
traçando-se o diagrama de esforço cortante em primeiro lugar.
• Quando uma viga experimenta apenas cargas pontuais, o diagrama de esforço cortante será 
uma série de degraus e o diagrama de momento fletor conterá somente linhas retas (geral-
mente inclinadas).
• Quando uma viga experimenta cargas uniformemente distribuídas, o diagrama de esfor-
ço cortante compreenderá linhas retas inclinadas e o diagrama de momento f letor será 
curvado.
• O ponto de inflexão é onde a forma defletida de uma viga passa de alquebramento para 
tosamento ou vice-versa. O diagrama de momento fletor cruzará a linha zero nesse ponto.
• E não se esqueça de wL2/8!
Exercícios
Desenhe diagramas de esforço cortante e de momento fletor para cada uma das vigas mostradas 
na Figura 16.20.
)b()a(
)d()c(
30 kN 20 kN
4 m 3 m1 m
A
B
C
D
16 kN/m
A
B
C
5 m 3 m
RA RC
RC
RA
10 kN/m
50 kN
4 m 2 m 2 m
RA RA RDRD
A
B C
D
3 m 3 m 3 m
40 kN/m 30 kN/m
A
B C
D
Figura 16.20 Exercícios.
160 Fundamentos de Estruturas
B
70 kN51 kN
RA = 69 kN RC= 52 kN
2 m 1 m 1 m
A
C
2 m
D
E
0
0
69 69
18 18 
52 52
0 0
138
156
104
(a) Diagrama de viga
(b) Diagrama de esforço cortante (kN)
(c) Diagrama de momento �etor (kN.m)
Figura 16.21 Solução para a Figura 16.7a.
Capítulo 16 • Esforço cortante e momentos fletores 161
B
30 kN
14,14 kN
RC= 17,5 kNRA = 22,5 kN
3 m 3 m 4 m
A
C
2 m
10 kN45° D E
(a) Diagrama de viga
(b) Diagrama de esforço cortante (kN)
(c) Diagrama de momento �etor (kN.m)
0 0
0 0
22,5 22,5
12,5 12,5
17,5 17,5
67,5
105
35
Figura 16.22 Solução para a Figura 16.7b.
162 Fundamentos de Estruturas
B 
15 kN35 kN
RC= 20 kNRA = 20 kN
2 m1 m 1 m
A 
C 
1 m 1 m
10 kN
D
E
F
(a) Diagrama de viga
(b) Diagrama de esforço cortante (kN)
(c) Diagrama de momento �etor (kN.m)
0 0
0 0
20
50 45 40
20 20
30 30
5 5
20 20
Figura 16.23 Solução para a Figura 16.7c.
Capítulo 16 • Esforço cortante e momentos fletores 163
B
6 kN/m
RA = 13,5 kN RB= 4,5 kN
3 m
CA
3 m
X
x = 2,25 m
13,5
0 0
4,54,5
(a) Diagrama de viga
(b) Diagrama de esforço cortante
(kN)
(c) Diagrama de momento �etor (kN.m)
00
13,5
15,2
RetoCurvado
Figura 16.24 Solução para a Figura 16.14a.
164 Fundamentos de Estruturas
B
3 kN/m
50 kN
RA = 30 kN RC= 105 kN
4 m 6 m
A
C
5 m
D
10 kN/m
5 kN
(a) Diagrama de viga
0 0
5
55
50
30
18
32
(b) Diagrama de esforço cortante (kN)
150 
96
Tosamento Alquebramento
(c) Diagrama de momento �etor (kN.m)
0 0
Figura 16.25 Solução para a Figura 16.14b.
Capítulo 16 • Esforço cortante e momentos fletores 165
B
5 kN 5 kN
RE = 16,5 kNRA = 29,5 kN
1 m 1 m 1 m
A C
3 m
12 kN/m
D
E
(a) Diagrama de viga
0 0
16,516,511,5
6,5
29,5
(b) Diagrama de esforço cortante (kN)
x = 2,46 m
RetoParabólico
(c) Diagrama de momento �etor (kN.m)
0
36,3 34,5 28
16,5
0
Figura 16.26 Solução para a Figura 16.14c.
166 Fundamentos de Estruturas
A
20 kN 
RD = 47,5 kNRB= 62,5 kN
2 m
B
20
0 0
20
37,5
(a) Diagrama de viga
(b) Diagrama de esforço cortante (kN)
C
42,5
10 kN
2 m 3 m
D
10
37,5
E
80 kN
2 m
10
42,5
Distância a = 2 m × (40/85) = 0,94 m
Distância b = 2 m × (45/75) = 1,2 m
(d) Forma de�etida
Alquebramento Tosamento Alquebramento
 (c) Diagrama de momento �etor (kN . m)
a b
0 0
40
45
30
Figura 16.27 Solução para o Exemplo 16.14.
Capítulo 16 • Esforço cortante e momentos fletores 167
A Figura 16.28 exibe uma viga em balanço (cantiléver) em um shopping center na Alema-
nha. Ela permite que a área de uma cafeteria num pavimento superior fique suspensa (por uma 
distância modesta) sobre a circulação de pedestres logo abaixo. Repare como a altura da viga 
de sustentação diminui rumo à extremidade “livre” (isto é, não apoiada). Isso ocorre porque o 
momento fletor na viga também diminui rumo à extremidade livre.
Figura 16.28 Sacada em balanço (cantiléver) em shopping center.
17
Essa coisa chamada tensão
Introdução
Se você está estudando para se tornar um arquiteto, ficará aliviado em saber que a maioria dos 
leigos tem alguma ideia do trabalho que um arquiteto faz. No entanto, os estudantes de enge-
nharia civil provavelmente já devem ter descoberto, para sua consternação, que o público em 
geral – mesmo aquelas pessoas de maior formação – não faz a menor ideia do que um engenheiro 
civil faz, apesar dos esforços das entidades profissionais em promover a profissão. Contudo, se 
pressionados, alguns responderão que engenheiros “lidam com tensão”, e é sobre isso que este 
capítulo vai tratar.
Se alguns membros do público em geral estão cientes de que engenheiros lidam com tensões, 
talvez tenha sido surpreendente que as tensões mal tenham sido mencionadas nos 16 primeiros ca-
pítulos deste livro. Porém, este e os próximos três capítulos são dedicados exclusivamente à tensão.
Conforme veremos, a tensão é uma pressão interna em um ponto dentro de um elemento 
estrutural que ocorre como resultado das cargas e dos momentos aos quais esse elemento é sub-
metido. Como existe um limite para a quantidade de tensão que qualquer material consegue 
suportar, é importante conferir no projeto estrutural se essa tensão não é ultrapassada.
A Figura 17.1 mostra uma tenda estrutural de alta tecnologia: o telhado do Sony Centre, em 
Berlim.
Quinze arcos gigantescos, a cerca de 7 m de distância uns dos outros, formam a estrutura 
principal do prédio incomum exibido na Figura 17.2. Os apoios verticais para os pavimentos 
nesse prédio estão ou suspensos a partir dos alcances superiores do arco ou, no caso dos pilares 
nas extremidades, apoiados pela parte inferior do arco. O apoio da extremidade (visível abaixo 
da folhagem da árvore na fotografia) encontra-se, portanto, sob compressão e é perceptivelmente 
mais robusto do que os outros apoios verticais (que encontram-se sob tração); isso porque ele 
precisa ser projetado contra a possibilidade de flambagem (ou seja, f lexão e esmagamento).
O que é tensão?
Tensão é pressão interna. Pressão é definida matematicamente como força/área. Como exemplo, 
vamos supor que você esteja cogitando passar um período viajando pelo exterior. Como você 
passará muitos meses fora, parte da sua preparação inclui a compra de uma mochila. Quando 
estiver completamente cheia, a mochila sem dúvida ficará bem pesada, então é importante esco-
lher uma que seja o mais confortável possível de carregar.
Por experiência, você sabe que uma mochila com tiras estreitas para os ombros logo ficará 
desconfortável – ou mesmo dolorosa. Uma tira extremamente estreita – um pedaço de barbante, 
por exemplo – se tornaráextremamente desconfortável e você provavelmente gemerá em agonia 
conforme o barbante for cortando seus ombros. Isso porque a carga contida na mochila é trans-
mitida para o seu ombro através de uma área comparativamente pequena, fazendo com que a 
pressão seja grande (já que pressão = força/(pequena) área).
Capítulo 17 • Essa coisa chamada tensão 169
Por outro lado, uma mochila de tiras largas será bem mais confortável de carregar. Isso por-
que a carga produzida pelo objetos dentro da mochila será distribuída por uma área bem mais 
ampla, fazendo a pressão ser muito menor. Então a mensagem é: escolha uma mochila com tiras 
largas nos ombros e você se sentirá bem mais confortável.
Figura 17.1 Telhado do Sony Centre, Berlim.
Figura 17.2 Ludwig-Erhard-Haus (“O Tatu”), Berlim.
170 Fundamentos de Estruturas
Ao passo que a pressão é externa a um objeto – como a pressão transmitida ao seu ombro 
pelas tiras de uma mochila ou a pressão sobre uma laje de concreto devido a um maquinário pe-
sado ou a pressão que uma edificação exerce sobre suas fundações para o solo abaixo – a tensão 
é um fenômeno similar, mas considerado em um ponto no interior (por exemplo) de um pilar de 
concreto, de uma viga de metal ou de uma vigota de madeira.
Assim como acontece com a pressão, tensão direta é definida matematicamente como força/
área. (Os leitores devem observar que é apenas a tensão direta que é definida assim; a tensão por 
flexão e a tensão de cisalhamento são diferentes, conforme veremos nos próximos capítulos.)
Unidades de tensão
Como sabemos, a força é medida em newtons (N) ou quilonewtons (kN) e a área é medida em 
milímetros quadrados (mm2) ou metros quadrados (m2). Como a tensão direta é força/área, ela 
pode ser expressa em unidades de kN/m2 ou N/mm2. Na engenharia civil, usamos N/mm2 como 
a unidade de tensão, devido ao fato de que a tensão encontrada na prática pode ser expressa em 
cifras mais fáceis de trabalhar quando em unidades de N/mm2.
Existe um limite para a tensão que qualquer material específico é capaz de suportar. Essa 
tensão é conhecida como a tensão admissível ou a resistência do material. Obviamente, alguns 
materiais são mais resistentes do que outros. A resistência da madeira, por exemplo, costuma 
ficar na faixa de 4 a 7 N/mm2, dependendo da espécie. A resistência do concreto fica comumente 
entre 25 e 40 N/mm2, enquanto a resistência do tipo de aço que costuma ser usado em constru-
ções estruturais de aço é de 275 N/mm2.
Repare na inclinação do mastro principal da ponte estaiada exibida na Figura 17.3. O que 
isso lhe diz sobre a natureza das tensões na ponte?
Tensão e deformação
Usamos os termos tensão e deformação no cotidiano em circunstâncias que nada têm a ver com 
estruturas. Ouvimos, por exemplo, pessoas dizerem “ele está sob tensão” ou “ela está se sentindo 
tensa”. O uso “popular” das palavras tensão e deformação é análogo aos empregos técnicos des-
sas palavras, conforme veremos.
Figura 17.3 Erasmusbrug em Roterdã: uma ponte estaiada.
Capítulo 17 • Essa coisa chamada tensão 171
Tensão pode surgir como resultado de certas situações ou circunstâncias. Você pode consi-
derar, por exemplo, as situações a seguir tensas:
• Você está dentro de um avião que está sendo sequestrado.
• Seu cônjuge acaba de anunciar que está lhe abandonando.
• Seu chefe lhe diz que “seus serviços não são mais necessários”.
• O seu carro enguiça.
Você pode reagir às situações tensas de diversas maneiras:
• Você pode se irritar e gritar com alguém.
• Você pode cair no choro.
• Você pode decidir que uma bebida bem forte cairia bem.
A tensão é representada pela situação (o avião sequestrado, sua esposa lhe abandonando, etc.) e a 
deformação é representada pela sua reação a ela (as lágrimas, a raiva ou a bebida forte).
Na engenharia estrutural, vale o mesmo princípio. O pilar de um prédio, por exemplo, ex-
perimenta tensão como resultado das forças que atuam sobre ele, geradas pelos pavimentos e 
paredes que está sustentando. Essas forças estão tentando comprimir, ou esmagar, o pilar – em 
outras palavras, as forças estão infligindo tensão ao pilar. O pilar reagirá a essa tensão de “es-
magamento” permitindo-se diminuir em comprimento. A redução no comprimento (como uma 
proporção do comprimento original do pilar) é a deformação.
De maneira similar, um cabo tirante em uma ponte suspensa experimenta uma tensão que 
está tentando esticar o cabo, ao qual ele responde aumentando seu comprimento. Esse aumento 
de comprimento (como uma proporção do comprimento original do cabo) é a deformação.
No próximo capítulo, você aprenderá mais a respeito de tensão e deformação em engenharia 
estrutural e a calcular seus valores.
As partes de cima dos arranha-céus mostrados na Figura 17.4 parecem estar prestes a des-
pencar, mas espera-se que os engenheiros tenham feito seus cálculos corretamente.
Figura 17.4 Arranha-céus ou blocos descuidadamente empilhados?
172 Fundamentos de Estruturas
Tipos de tensão
Tensões direta e de cisalhamento são discutidas no Capítulo 18. Já a tensão por flexão é explicada 
no Capítulo 19. Tensões axiais e por flexão combinadas são investigadas no Capítulo 20.
O que você deve recordar deste capítulo
• Tensão é a pressão interna que ocorre em um determinado ponto dentro de um elemento 
estrutural.
• A unidade de tensão é N/mm2.
• Deformação é uma medida do que acontece como resultado da tensão, como uma extensão 
ou redução de comprimento.
18
Tensão direta (e de cisalhamento)
Introdução
O Capítulo 17 introduziu os conceitos de tensão e deformação. Neste capítulo, examinaremos a 
tensão direta e a tensão de cisalhamento. Também aprenderemos a calcular deformações.
Tensão direta (axial)
Conforme discutido no Capítulo 17, tensão é uma pressão interna. Uma tensão direta (axial) 
ocorre como resultado de uma força direta (esforço axial) que atua ao longo do eixo do elemento 
e perpendicularmente à sua seção transversal. Dependendo do sentido do esforço, o elemento 
pode experimentar tração, o que causa extensão (ou alongamento) do elemento, ou pode experi-
mentar compressão, o que causa contração (ou esmagamento) do elemento. Lembre-se que, para 
haver equilíbrio, as forças em um sentido devem ser contrabalançadas por forças equivalentes no 
sentido oposto (veja o Capítulo 6). Exemplos incluem um pilar de concreto experimentando uma 
carga vertical, conforme mostrado na Figura 18.1a, e uma barra de aço experimentando uma 
carga horizontal, conforme mostrada na Figura 18.1b.
Você perceberá que, como a carga sobre o pilar na Figura 18.1a está tentando esmagá-lo, ela 
está induzindo uma tensão compressiva sobre ele. Por outro lado, a força sobre a barra de aço na 
Figura 18.1b está tentando esticá-la, então está produzindo uma tensão tracional sobre ela. Em 
ambos os casos, se os valores da força (P) e da área de seção transversal (A) forem conhecidos, a 
tensão direta (axial) pode ser calculada usando-se a seguinte equação:
Tensão direta (σ) =
Força (P)
Área (A)
Conforme explicado no Capítulo 17, a tensão calculada deve ser expressa em unidades de N/mm2.
É importante observar que a tensão tem o mesmo valor em todos os pontos na seção trans-
versal do pilar ou da barra, e costuma-se pressupor, além disso, que a tensão será a mesma por 
toda a extensão do elemento.
Tensão de cisalhamento
Uma tensão de cisalhamento ocorre como resultado de uma força (ou de um esforço) de cisalhamen-
to. Você deve recordar dos capítulos anteriores que cisalhamento é uma ação de corte ou fatiamento 
– se, por exemplo, você fatiar um pedaço de pão com uma faca, estará aplicando força de cisalha-
mento sobre o pão. Forças (ou esforços) de cisalhamento, portanto, atuam perpendicularmente ao 
eixo do elemento. Assim como ocorre com as tensões diretas, as forças (ou os esforços) de cisalha-
mento devem ser contrabalançadas por forças equivalentes no sentido oposto – você não consegui-
ria, por exemplo, fatiar um pedaço de pão sem segurá-lo no lugar com sua outra mão (quefornece a 
força opositora) ao mesmo tempo. Um exemplo é uma viga de madeira que experimenta um esforço 
de cisalhamento – e, portanto, uma tensão de cisalhamento – conforme mostrada na Figura 18.2.
174 Fundamentos de Estruturas
Se a zona hachurada na Figura 18.2 representa a seção transversal (de área A) onde ocorre 
uma falha por cisalhamento, e a força de cisalhamento (ou esforço de cisalhamento) associada é 
V, a tensão de cisalhamento é calculada pela seguinte equação:
Tensão de cisalhamento (τ) =
Força de cisalhamento (V)
Área (A)
Assim como a tensão direta, a tensão de cisalhamento calculada deve ser expressa em unidades 
de N/mm2.
Repare nos símbolos usados para tensão direta (σ) e para tensão de cisalhamento (τ). Estes 
são os símbolos-padrão usados em engenharia estrutural. Uma lista completa de símbolos usa-
dos neste livro é oferecida no Apêndice 4.
Deformação
O pilar de concreto exibido na Figura 18.1a terá seu comprimento reduzido (espera-se que numa 
quantia muito pequena) como resultado do esforço axial compressivo ao qual ele está sujeito. De 
modo similar, a barra de aço na Figura 18.1b terá seu comprimento aumentado (novamente, por 
uma pequena quantia). Essas mudanças de comprimento, como uma proporção do comprimen-
to original do elemento, dão origem à deformação, definida da seguinte forma:
(a) Pilar de concreto
(compressão)
(b) Barra de aço (tração)
Figura 18.1 Tensões diretas.
Figura 18.2 Tensão de cisalhamento numa viga.
Capítulo 18 • Tensão direta (e de cisalhamento) 175
Deformação longitudinal (ε) =
Alteração no comprimento (δL)
Comprimento original (L)
Vale ressaltar que a deformação longitudinal, sendo simplesmente a razão entre dois compri-
mentos, não possui unidade. Trata-se de uma proporção. Se desejado, pode ser expressa como 
uma porcentagem.
Agora vamos tentar resolver alguns exemplos numéricos.
Exemplo 18.1: tensão e deformação em compressão
Um pilar quadrado de concreto em um edifício de escritórios é mostrado na Figura 18.3. A seção 
transversal do pilar tem dimensões de 400 mm × 400 mm e sustenta uma carga vertical total de 
2000 kN. Calcule a tensão direta compressiva em qualquer ponto do pilar.
Se o pilar diminuiu 3,5 mm em comprimento como resultado da carga e o seu comprimento 
original era de 4 m, calcule a deformação longitudinal no pilar.
Solução
O pilar está claramente sob esforço axial de compressão.
A área da seção transversal do pilar é A = 400 × 400 = 160.000 mm2.
Esforço axial P = 2.000 kN = 2.000 × 103 N
Tensão (σ) =
Esforço axial (P)
Área (A)
=
2.000 × 103
160.000
= 12,5N mm2
Deformação longitudinal (ε) =
Alteração no comprimento (δL)
Comprimento original (L)
=
3,5 mm
4.000 mm
= 8,7 × 10−4 = 0,000875
(Lembre-se: deformação não possui unidade.)
3,
5 
m
m
40
00
 m
m
2000 kN
400 mm
400 mm
2000 kN )b()a(
Figura 18.3 Tensão compressiva e deformação (Exemplo 18.1).
176 Fundamentos de Estruturas
Exemplo 18.2: tensão e deformação em tração
A barra circular de aço mostrada na Figura 18.4 tem um diâmetro de 30 mm e está sujeita a um 
esforço axial tracional de 50 kN. Calcule a tensão direta tracional em qualquer ponto da barra.
Se a barra, cujo comprimento original era de 2 m, estende-se em comprimento por 0,67 mm 
como resultado do esforço, calcule a deformação longitudinal na barra.
Solução
O procedimento é similar ao do Exemplo 18.1, mas dessa vez o elemento encontra-se sob esforço 
axial de tração.
A área da seção transversal da barra é A = πr2 = π × 152 = 706,9 mm2. (Lembre-se que o raio 
de um círculo é igual a metade do diâmetro. O diâmetro neste caso é de 30 mm, então o raio é 
15 mm.)
Esforço axial P = 50 kN = 50 × 103 N
Tensão (σ) =
Esforço axial (P)
Área (A)
=
50 × 103 N
706,9 mm2 = 70,73 N mm2
Deformação longitudinal (ε) =
Alteração no comprimento (δL)
Comprimento original (L)
=
0,67 mm
2.000 mm
= 0,000335
Novamente, deformação não possui unidade.
Exemplo 18.3: tensão de cisalhamento
O esforço de cisalhamento na extremidade da vigota de madeira mostrada na Figura 18.5 é men-
surada como 18 kN. Se a vigota de madeira tem 50 mm de largura e 200 mm de espessura, calcu-
le a tensão de cisalhamento nesse ponto da vigota.
Solução
Tensão de cisalhamento (τ) =
Esforço de cisalhamento (V)
Área (A)
=
18 × 103 N
50 × 200 mm2 = 1,8N mm2
0,
67
 m
m
20
00
 m
m
50 kN
)b()a( 50 kN
30 mm
Figura 18.4 Tensão e deformação tracionais (Exemplo 18.2).
Capítulo 18 • Tensão direta (e de cisalhamento) 177
A relação entre tensão e deformação
Seria natural a esta altura se perguntar se existe alguma relação entre tensão e deformação. Vi-
mos no Capítulo 17 que deformação é a reação à tensão. No Exemplo 18.1, vimos que uma tensão 
de 12,5 N/mm2 sobre um determinado pilar de concreto gerou uma deformação longitudinal 
de 0,000875. Você poderia se perguntar se uma tensão duas vezes maior produziria o dobro de 
deformação– ou se o triplo de tensão produziria o triplo de deformação, e assim por diante. Em 
outras palavras, será que a tensão é proporcional à deformação?
Caso você já tenha cursado uma disciplina sobre materiais, deve saber esta resposta. Para a 
maioria dos materiais, a resposta é sim: tensão e deformação são proporcionais – até certo ponto. 
Como você pode ver na Figura 18.6, quando um gráfico de tensão × deformação é plotado, o que 
se obtém é uma linha reta até certo ponto, conhecido como limite de proporcionalidade. (Além 
do limite de proporcionalidade, o formato do gráfico depende do material, mas deixa de ser uma 
linha reta.)
Se a tensão é proporcional à deformação, então, matematicamente falando, tensão/deforma-
ção = uma constante (lei de Hooke). Essa constante é conhecida como módulo de Young, tem o 
símbolo E e unidades de N/mm2 ou kN/mm2.
Módulo de Young (E) =
Tensão (σ)
Deformação (ε)
(Para mais informações sobre Hooke e Young, veja o final deste capítulo.)
No Exemplo 18.1, descobrimos que a tensão e a deformação compressivas experimentadas 
por um pilar de concreto eram de 12,5 N/mm2 e 0,000875, respectivamente. Portanto,
Módulo de Young =
12,5N mm2
0,000875
= 14.286N mm2 = 14,3kN mm2
Já no Exemplo 18.2, descobrimos que a tensão e a deformação tracionais experimentadas por 
uma barra de aço eram de 70,73 N/mm2 e 0,000335, respectivamente. Portanto,
Módulo de Young para o aço =
70,73N mm2
0,000335
= 211.134N mm2
= 211kN mm2
(a) Elevação (b) Seção transversal
50
20
0
Figura 18.5 Vigota de madeira em cisalhamento.
178 Fundamentos de Estruturas
Como prever alterações no comprimento
Agora já sabemos que:
Tensão direta (σ) =
Esforço axial (P)
Área (A)
e
Deformação longitudinal (ε) =
Alteração no comprimento (δL)
Comprimento original (L)
Combinando essas duas equações e rearranjando-as, obtemos:
Alteração no comprimento (δL) =
PL
AE
A partir dessa equação, podemos calcular a alteração no comprimento de um elemento estrutu-
ral se conhecermos o seu comprimento (L), o esforço axial ao qual ele está sujeito (P), a área de 
sua seção transversal (A) e o valor de seu módulo de Young. Este último pode ser obtido a partir 
de tabelas de dados científicos se necessário.
Exemplo 18.4: calculando a alteração no comprimento de um elemento sob 
tensão direta
Uma presilha de aço em uma estrutura espacial reticulada de um telhado tem originalmente 
2 m de comprimento. Se a presilha é uma barra sólida de 40 mm de diâmetro, calcule qual seria 
a extensão esperada da barra de aço se um esforço axial tracional de 150 kN fosse aplicado nela. 
O módulo de Young para o aço é de 205 kN/mm2. Se a extensão ultrapassasse o limite aceitável, 
quais medidas você poderia tomar para reduzi-la?
Solução
Área da seção transversal da barra de aço = πr2 = π × 1.256,6 mm2
Limite de
proporcionalidade
O
Tensão
( )
Deformação ( )
Figura 18.6 Gráfico de tensão × deformação.
Capítulo 18 • Tensão direta (e de cisalhamento) 179
Alteração no comprimento (δL) =
PL
AE
=
150 × 103 N × 2.000mm
1.256,6mm2 × 205 × 103 N mm2
= 1,16 mm
Esta extensão de 1,16 mm é pequenae provavelmente tolerável na maioria das estruturas. Seja 
como for, examinando-se a fórmula da “alteração no comprimento”, as seguintes medidas pode-
riam ser tomadas para reduzir a extensão se desejado:
• Reduzir o esforço axial sobre o elemento.
• Reduzir o comprimento do elemento.
• Aumentar a área da seção transversal do elemento (essa costuma ser a opção mais prática).
• Usar um material com um módulo de Young maior.
A relação entre a alteração no comprimento e a alteração na largura
Já vimos que, se aplicarmos força compressiva em um elemento estrutural, como um pilar, ele 
irá se encurtar; e se uma força tracional for aplicada sobre um elemento, como uma barra de aço, 
ele se distenderá. Ademais, acabamos de ver como calcular essa redução ou esse aumento no 
comprimento em milímetros usando uma fórmula simples.
Agora vejamos o que aconteceria com as dimensões laterais quando esforços axiais são 
aplicados. Se pegássemos um pedaço de massa de modelar e aumentássemos seu comprimento 
esticando-a, você perceberia que a espessura da massa de modelar ficaria cada vez menor (ficaria 
mais fina) até ela acabar rompendo. O encurtamento não é tão fácil de demostrar com massa de 
modelar. No entanto, se você pegasse um material rígido mas compressível e o comprimisse, ou 
o esmagasse, você notaria que sua espessura acabaria aumentando (ele ficaria mais grosso). Veja 
a Figura 18.7.
Recapitulando:
• Tração leva a um aumento no comprimento e a uma redução na largura.
• Compressão leva a uma redução no comprimento e a um aumento na largura.
Então, como calculamos essas alterações na largura?
Como calcular alterações na largura
Como você já deve suspeitar, a relação entre a alteração no comprimento e a alteração na largura 
é uma propriedade de cada material. Trabalhos experimentais mostram que a deformação rela-
cionada a alterações no comprimento (isto é, deformação longitudinal, (ε)) é proporcional à de-
formação lateral (εL), da mesma forma que a tensão é proporcional à deformação. Anteriormente 
neste capítulo, vimos que a razão entre tensão (σ) e deformação (ε) é uma propriedade material 
denominada módulo de Young (E). Assim, não deve ser surpresa que a razão entre deformação 
longitudinal (ε) e deformação lateral (εL) é outra propriedade material; esta é chamada de coefi-
ciente de Poisson. O coeficiente de Poisson recebe o símbolo .
Deformação lateral (εL)/deformação longitudinal (ε) = – coeficiente de Poisson ( ) 
Então εL = – .ε
O sinal de menos (–) demostra que quando a deformação lateral aumenta, a deformação longi-
tudinal diminui, e vice-versa.
180 Fundamentos de Estruturas
Exemplo 18.5: deformação lateral
Calcule a alteração na dimensão lateral, em milímetros, para a barra de aço mostrada no Exem-
plo 18.4 se o coeficiente de Poisson para o aço é = 0,33.
Deformação longitudinal ε = Alteração no comprimento (δL)/comprimento original (L) 
= 1,16 mm/2.000 mm 
= 0,00058 = 5,8 × 10-4
Deformação lateral εL = .ε 
= 0,33 × 0,00058 
= 1,914 × 10-4
Alteração na dimensão lateral = Deformação lateral × largura original 
= 1,914 × 10-4 × 40 mm 
= 0,0077 mm
Inicial
Final (agora mais longa e mais estreita)
Inicial
Final (agora mais curta e mais grossa)
(b) Barra de aço sob compressão
(a) Barra de aço sob tração
Figura 18.7 Barras de aço sob tração e compressão.
Capítulo 18 • Tensão direta (e de cisalhamento) 181
Exemplo 18.6: deformação lateral para uma seção transversal em forma de H
A Figura 18.8 mostra um pilar de aço sustentando os pavimentos superiores de um prédio baixo 
de escritórios. As dimensões da seção transversal são aquelas mostradas. Se a carga axial sobre o 
pilar é de 1.500 kN, o comprimento original do pilar é de 3 m, o módulo de Young (E) para o aço 
é de 200 kN/mm2 e o coeficiente de Poisson ( ) é 0,33, calcule:
a. a tensão direta (σ) em qualquer ponto no pilar;
b. a deformação longitudinal (ε) no pilar;
c. a alteração no comprimento (δL) do pilar;
d. a deformação lateral (εL) no pilar;
e. o aumento na espessura da alma na direção x–x;
f. o aumento no comprimento da alma na direção y–y;
g. o aumento na largura da aba na direção x–x.
Solução
Área da seção transversal do pilar: A = (250 × 20) + (250 × 20) + (210 × 15) = 13.150 mm2
Tensão direta σ = P/A = 1.500 × 103 N/13.150 mm2 = 114 N/mm2
Deformação longitudinal ε = σ/E = 114/200 × 103 = 0,00057
Alteração no comprimento δL = ε.L = 0,00057 × 3.000 m = 1,71 mm
Deformação lateral εL = .ε = 0,33 × 0,00057 = 0,00019
Aumento na espessura da alma na direção x–x = εL × 15 mm = 0,00285 mm
Aumento no comprimento da alma na direção y–y = εL × 250 mm = 0,0475 mm
Aumento na largura da aba na direção x–x = εL × 250 mm = 0,0475 mm
A Figura 18.9 exibe o Grande Arche de la Défense em Paris. Observe o toldo bem embaixo 
do cubo gigante de lados abertos. Para lhe dar uma ideia da escala, a Catedral de Notre Dame de 
Paris caberia embaixo desse toldo, que fica conectado ao arco principal por uma série de cabos 
250
15
20
20
210
Figura 18.8 Exemplo 18.6 (seção transversal).
182 Fundamentos de Estruturas
de aço. Usando as técnicas explicadas neste capítulo, os projetistas determinaram a força em 
cada cabo e, assim, calcularam as tensões às quais os cabos estão sujeitos.
O que você deve recordar deste capítulo
Tensão direta (σ) =
Esforço axial (P)
Área (A)
Tensão de cisalhamento (τ) =
Esforço de cisalhamento (V)
Área (A)
Deformação longitudinal (ε) =
Alteração no comprimento (δL)
Comprimento original (L)
Módulo de Young (E) =
Tensão (σ)
Deformação (ε)
Alteração no comprimento (δL) =
PL
AE
Exercícios
1. Calcule a tensão direta em um pilar de concreto armado com seção transversal de 400 mm 
× 350 mm sujeito a uma carga compressiva de 3.000 kN. Expresse sua resposta em N/mm2.
2. Uma haste circular de aço, formando parte de uma estrutura reticulada, está sujeita a um 
esforço tracional de 750 kN. Se a tensão admissível no aço é de 460 N/mm2, qual é o diâmetro 
Figura 18.9 Grande Arche de la Défense, Paris.
Capítulo 18 • Tensão direta (e de cisalhamento) 183
mínimo da haste em milímetros? Se a haste estivesse em compressão ao invés de tração, 
quais outros fatores precisariam ser levados em consideração?
3. Um pilar de madeira está sujeito a uma força compressiva de 60 kN. Se a tensão admissível 
à compressão da madeira é 6 N/mm2, escolha um tamanho adequado para a seção do pilar. 
Expresse sua resposta em termos das dimensões da seção transversal do pilar, em milímetros.
4. Uma força é aplicada em uma barra de aço, originalmente com 3 m de comprimento, fazen-
do com que ela se estenda em 1,5 mm. Calcule a deformação longitudinal (ε) da barra.
5. Uma presilha de aço de 3,5 m de comprimento é sujeita a uma força tracional de 150 kN. Se 
a barra é redonda, de diâmetro 20 mm, e se o valor do módulo de Young (E) para o aço é de 
200 kN/mm2, calcule a alteração no comprimento da barra.
6. Um amortecedor de alumínio (um elemento de compressão) de 1,5 m de comprimento faz 
parte de uma estrutura reticulada leve e está sujeito a uma força compressiva de 50 kN. Cal-
cule a deformação longitudinal no amortecedor e determine a alteração em seu comprimen-
to. Assuma que a área de sua seção transversal é de 220 mm2 e que o módulo de Young = 70 
kN/mm2.
7. Uma nova ponte suspensa no Extremo Oriente tem um dos maiores vãos do mundo. Cada 
um dos seus cabos principais tem 1 m de diâmetro e é projetado para sustentar um esforço 
axial tracional de 13.000 toneladas. Assumindo, para simplificar, que cada cabo principal 
é feito de aço sólido (em vez de uma coleção de muitos cabos de menor diâmetro, como na 
realidade), calcule a tensão em cada cabo principal, em unidades de N/mm2.
Respostas
1. 21,4 kN/mm2
2. 45,6 mm; flambagem
3. 100 mm × 100 mm ou 75 mm × 150 mm
4. ε = 0,0005, ou 0,05%
5. 8,35 mm
6. ε = 0,00325, δL = 4,87 mm
7. σ = 166 N/mm2
Quem foram Mr. Hooke e Mr. Young?
Robert Hooke (1635–1703) é considerado por muitos um dos maiores cientistas experimentais do sé-
culo XVII. Ele nutriaamplos interesses na maior parte dos ramos da ciência e colaborou com outros 
cientistas renomados de sua época, incluindo Isaac Newton, mas infelizmente os dois não se davam 
bem. Hooke também tinha interesse em arquitetura e auxiliou Sir Christopher Wren na reconstrução 
da Catedral de St. Paul após o Grande Incêndio de 1666. A Lei de Hooke, examinada neste capítulo, é o 
princípio científico pelo qual ele é mais lembrado.
Thomas Young (1773–1829) também nutria uma ampla gama de interesses profissionais. Além de ser 
um físico cujos experimentos em elasticidade levaram ao módulo que recebe seu nome, Young tinha 
qualificações médicas e pesquisou intensivamente nos ramos da luz e da óptica.
19
Tensão por flexão
Introdução
No Capítulo 18, investigamos as tensões diretas – aquelas causadas por cargas diretas ou esforços 
axiais sobre elementos estruturais. Neste capítulo, estudaremos as tensões por flexão. Como 
o nome sugere, essas tensões estão associadas à f lexão de uma viga ou outro tipo de elemento 
estrutural.
Teoria da flexão
Observe a viga mostrada na Figura 19.1a, que tem apoio simples em suas duas extremidades. 
Se uma carga pontual centralizada for aplicada sobre a viga, o perfil de flexão resultante será o 
mostrado na Figura 19.1b. Alternativamente, se a viga exibida na Figura 19.1a for sujeita a uma 
carga longitudinal que não atua ao longo da linha do eixo central da viga, ela será f lexionada 
novamente, apresentando o perfil de tensão mostrado na Figura 19.1c.
Assim, flexão pode ser induzida em uma viga de dois modos:
1. aplicação de carga perpendicular ao eixo longitudinal da viga;
2. aplicação de carga axial excêntrica.
Se decidíssemos pintar faixas verticais a intervalos regulares ao longo de uma viga de apoios 
simples antes de aplicar carga a ela, o resultado seria aquele mostrado na Figura 19.2a. Depois da 
viga ser flexionada sob a carga, seu perfil de tensão se pareceria com o da Figura 19.2b. Você per-
ceberá que as faixas na viga flexionada na Figura 19.2b permanecem retas, porém apresentando 
um giro relativo entre si (ou seja, não mantendo a mesma distância umas das outras na parte de 
cima e na parte de baixo. Isso sugeriria que, embora a viga tenha sido flexionada, seções trans-
versais específicas (conforme representadas pelas faixas pintadas) continuam retas e, portanto, 
não foram flexionadas.
Observe a seção transversal de uma viga retangular, mostrada na Figura 19.3a. Se a viga for 
f lexionada, sabemos de nossos estudos anteriores que a parte de cima da viga ficará sob com-
pressão, enquanto sua parte de baixo ficará sob tração. Isso implica que deve haver algum nível 
na seção transversal que será a interface entre as zonas de compressão e de tração. Essa interface 
é chamada de eixo neutro ou plano neutro, e veremos que não existe qualquer tensão nesse nível.
A Figura 19.3b é um simples diagrama de força. A compressão na parte de cima da viga é repre-
sentada pela força C. A tração na parte de baixo da viga é representada pela força T. Observe que, 
conforme necessário para haver equilíbrio, as forças C e T são equivalentes mas opostas em sentido.
A Figura 19.3c é um diagrama de tensão no qual a linha vertical representa tensão zero. 
Podemos perceber prontamente que a tração máxima – e, portanto, a tensão tracional máxima 
– ocorre bem embaixo da viga e vai diminuindo à medida que subimos pela seção transversal 
da viga a partir desse nível. De modo similar, a compressão máxima – e, portanto, a tensão 
compressiva máxima – ocorre bem no topo da viga e vai diminuindo à medida que descemos 
pela seção transversal da viga a partir desse nível. Se unirmos esses dois valores máximos por 
Capítulo 19 • Tensão por flexão 185
uma linha reta, nosso diagrama de tensão fica como aquele mostrado na Figura 19.3c. Repare na 
variação linear (isto é, a linha reta) em tensão conforme descemos pela seção transversal.
Como acabamos de ver (Fig. 19.3c), a tração ocorre na parte de baixo de uma viga que está 
sofrendo tosamento. Como o concreto é frágil sob tração, um reforço de aço é adicionado onde é 
mais útil, ou seja, próximo à face inferior da viga. Mas os pedreiros em geral, e os armadores em 
(a)
(b) Flexão na viga causada por carga pontual centralizada
(c) Flexão na viga causada por carga axial excêntrica
 Viga antes da carga ser aplicada
Figura 19.1 Flexão em vigas.
(a) Seções transversais (de lado) antes da carga ser aplicada
(b) Seções transversais (de lado) depois da carga ser aplicada
Figura 19.2 Efeito da flexão na seção transversal de uma viga.
186 Fundamentos de Estruturas
particular, não receberam aulas de mecânica estrutural. Ocasionalmente, nos deparamos com 
casos em que um armador considera inconveniente colocar todo o reforço necessário com barras 
de aço próximas à face inferior e, portanto, coloca parte dele próximo do meio da seção. A Figura 
19.3 demonstra que qualquer reforço de aço colocado perto da metade da seção é inútil, já que a 
tensão é mínima nesse ponto e, portanto, o aço não realiza trabalho algum. Para piorar, a parte 
de baixo da seção ainda fica sub-reforçada e, consequentemente, propensa a falhas.
Pressuposições para a teoria da flexão
1. O material é linearmente elástico (conforme representado pelo gráfico de linha reta na 
Figura 19.3c).
2. O módulo de Young (E) é o mesmo na compressão e na tração. (Veja o Capítulo 18 se precisar 
recordar do módulo de Young e de sua importância.)
3. O material é homogêneo (isto é, espacialmente uniforme). Isso obviamente não é verdade 
quando estamos considerando uma seção transversal abrangendo dois materiais diferentes, 
como concreto armado.
4. As seções planas permanecem planas depois da flexão – isto é, não são flexionadas. Veja a 
discussão da Figura 19.2.
Eixo neutro
Conforme examinado anteriormente, o eixo neutro ocorre na interface das zonas de compressão 
e de tração de um elemento estrutural que experimenta flexão. O eixo neutro possui as seguintes 
características:
• O eixo neutro ocorre no nível em que não há tensão alguma.
• Para seções simétricas e homogêneas, o eixo neutro ocorre na metade da altura da seção.
• O eixo neutro passa pelo centroide (ver definição mais adiante) se o material for homogêneo.
(a) Seção transversal (b) Diagrama de força (c) Diagrama de tensão
Tensão
compressiva
máxima
Tensão
tracional
máxima
C
T
Eixo neutro
0
0
Figura 19.3 Teoria da flexão aplicada à seção transversal de uma viga.
Capítulo 19 • Tensão por flexão 187
A equação de flexão dos engenheiros
A equação apresentada no texto a seguir é conhecida como a “equação de flexão dos engenhei-
ros”. Sua derivação não está incluída aqui pois contém uma matemática bastante assustadora, 
mas pode ser encontrada em livros-texto mais avançados que tratam de estruturas. É bem mais 
importante que você se familiarize com a equação em si – em vez de com sua derivação – e com 
o significado de seus vários termos:
onde:
σ = tensão por flexão (N/mm2)
y = distância (medida, em milímetros, verticalmente para cima ou para baixo) até um nível espe-
cífico a partir do eixo neutro (veja a Fig. 19.4a)
M = momento fletor na seção transversal em questão (kN.m ou N.mm)
E = módulo de Young (kN/mm2 ou N/mm2)
R = raio da curvatura (mm) (veja a Fig. 19.4b)
I = segundo momento de área (mm4) (veja explicação a seguir)
O segundo momento de área (ou momento de inércia de área) é uma propriedade geométrica de 
uma seção transversal. Sua derivação é complexa, envolvendo cálculo. Basta dizer que para uma 
seção transversal de largura b e altura d, o segundo momento de área é I = bd3/12.
(a) Geometria de uma seção transversal retangular
(b) Raio de curvatura
b
d
d
/2
d
/2
y
y
Eixo
neutro
R
O ponto A representa o centro
do círculo cuja parte da
circunferência é formada
pelo per�l �exionado da viga
A
Figura 19.4 Equação de flexão dos engenheiros – alguns termos.
188 Fundamentos de Estruturas
Módulo da seção
Outro parâmetro é o módulo da seção, também conhecidocomo módulo elástico. Ele recebe o 
símbolo z e é definido da seguinte forma:
Agora, para uma seção retangular, conforme mencionado anteriormente:
Além disso, para uma seção retangular que é homogênea (mesmo material por todo o volume), o 
eixo neutro deve ocorrer exatamente na metade da seção. Portanto, a distância vertical máxima 
que pode ser viajada desde o eixo neutro e ainda se manter dentro da mesma seção é d/2. Então, 
ymax = d/2.
Assim, substituindo na equação anterior para o caso especial de uma seção retangular:
Portanto, para uma seção retangular,
A equação básica da tensão
A partir da equação de flexão dos engenheiros (examinada previamente),
Portanto,
Mas
Então,
Ou, rearranjando,
Quando leciono essa matéria para meus alunos, expresso a opinião de que, à primeira vista, esta 
última equação não é interessante ou empolgante, e a reação dos estudantes pode ser descrita 
como de concordância passiva. No entanto, essa equação – por menos emocionante que possa 
parecer – forma a base de todos os projetos estruturais. Permita-me explicar.
Capítulo 19 • Tensão por flexão 189
Se o momento f letor (M) pode ser calculado – o que geralmente é verdade quando a car-
ga aplicada e o vão da viga são conhecidos (veja o Capítulo 16) – e a tensão admissível (σ) do 
material é conhecida (ela pode ser obtida em tabelas de dados científicos), o módulo da seção 
necessário (z) pode ser determinado. Assim que o valor obrigatório de z é conhecido, uma viga 
de madeira de tamanho adequado ou uma viga pré-moldada de aço de seção em forma de I 
pode ser selecionada (ou via cálculos ou consultando-se uma tabela), conforme mostrado nos 
Exemplos 19.1 e 19.2
Exemplo 19.1: viga de madeira
Uma viga de madeira tem um vão de 3 m e sustenta uma carga uniformemente distribuída de 
3,35 kN/m, conforme mostrada na Figura 19.5. Por considerações de pé-direito, uma viga com 
seção de 225 mm de altura deve ser usada. Se a tensão por f lexão admissível na madeira é de 
6 N/mm2, determine um tamanho adequado (largura × altura) para a viga.
Momento fletor máximo (M) =
wL2
8
=
3,35 × 32
8
= 3,77 kN m
=
M
z
, então, rearranjando, z =
M
mas z =
bd2
6
para uma seção retangular
Portanto,
bd2
6
=
M
Rearranjando, b=
6M
d2 =
6 × 3,77 × 106 N mm
6 N mm2 × 2252 mm2
Então b mínimo = 74,5 mm.
Portanto, use uma viga de madeira de 75 mm de largura × 225 mm de altura.
Exemplo 19.2: projeto de viga de aço
Uma viga de aço deve ter um vão de 5 m e sustentar uma carga de 25 kN/m, incluindo seu pró-
prio peso, conforme mostrada na Figura 19.6. Se a tensão admissível no aço é de 180 N/mm2, 
selecione uma seção adequada de viga de aço a partir das tabelas.
A partir das informações anteriores, w = 25 kN/m e L = 5 m.
(a) Elevação (b) Seção transversal
x
22
5
3,0 m
3,35 kN/m
Figura 19.5 Dimensionando uma viga de madeira (Exemplo 19.1).
190 Fundamentos de Estruturas
Momento fletor máximo (M) =
wL2
8
=
25 × 52
8
= 78,1 kN m
znecessário =
M
=
78,1 × 106 N mm
180 N mm2 = 433.889 mm3 = 433,9 cm3
Tabelas com propriedades de vigas de aço padronizadas devem ser usadas agora. Precisamos 
selecionar uma que apresente um valor de módulo da seção de 433,9 cm3 ou superior. A termino-
logia usada na classificação de vigas de aço é explicada no Capítulo 24.
As possibilidades incluem uma viga de aço de 305 × 127UB37 (z = 471 cm3) e uma viga de 
254 × 146UB37 (z = 434 cm3).
Se a primeira destas for selecionada,
Tensão real por �exão (σ) =
M
z =
78,1 × 106
471.000 mm3 = 165,8 N mm2
Como isso é menos do que a tensão permissível, de 180 N/mm2, essa opção é válida. (Obs.: veja o 
Capítulo 16 para a origem de M = wL2/8.)
Repita o exemplo anterior com um vão de 6 m. Você descobrirá que o módulo da seção (z) 
necessário dessa vez é de 625.000 mm3 e que, portanto, uma seção de viga de aço diferente preci-
sa ser escolhida a partir das tabelas.
Cálculo do segundo momento de área (I) para seções simétricas
Conforme mencionado anteriormente, o valor I para uma seção retangular de largura b e altura 
d é bd3/12. Outra informação importante é que o valor de I para um círculo de diâmetro D é 
πD4/64. Munido dessas informações, é fácil calcular valores de I para seções em forma de I ou 
para seções retangulares ocas (conforme ilustradas na Figura 19.7) ou seções circulares ocas. Em 
cada um dos casos, o formato pode ser considerado como a diferença entre os valores de I de dois 
ou mais retângulos (como mostrado na Figura 19.7) ou a diferença entre os valores de I de dois 
círculos.
Observe os dois exemplos exibidos na Figura 19.8. No primeiro caso, o valor de I para a seção 
em forma de I pode ser determinado pela diferença entre os valores de I para seções retangulares. 
No segundo caso, o valor de I para o cano oco é obtido subtraindo-se o valor de I para o círculo 
de dentro do valor de I para o círculo de fora. Os cálculos são apresentados a seguir.
Para a seção em forma de I exibida na Figura 19.8a,
(a) Elevação (b) Seção transversal
5,0 m
25 kN/m
Figura 19.6 Dimensionando uma viga de aço (Exemplo 19.2).
Capítulo 19 • Tensão por flexão 191
A partir da seção de cano oco mostrada na Figura 19.8b,
(a) Uma seção em forma de I
(b) Uma seção retangular oca
Figura 19.7 Cálculo do segundo momento de área para formatos simétricos comuns.
(a) Uma seção em forma de I (b) Um cano oco
30
0
27
0
Todas as dimensões estão em milímetros
26
0
20
20
20
150
Figura 19.8 Calcule o segundo momento de área (I) para estes formatos simétricos.
192 Fundamentos de Estruturas
Cálculo do segundo momento de área (I) para seções assimétricas
A má notícia é que, para seções assimétricas, a determinação do valor do segundo momento 
de área (I) é bem mais complicada. Em resumo, o procedimento para seções assimétricas é o 
seguinte:
1. Determine a posição do centroide da seção usando a abordagem explicada a seguir. Como 
você aprendeu mais cedo neste capítulo, o eixo neutro sempre passa através do centroide de 
uma seção (assumindo que a seção é feita do mesmo material uniformemente). Assim, uma 
vez determinada a posição do centroide, você também determinou o nível do eixo central.
2. Uma vez que você conhece a posição do eixo central, use o teorema do eixo paralelo (expli-
cado mais adiante) para calcular o valor do segundo momento de área (I).
Centroides e como localizá-los
O centroide é o centro geométrico da área de um corpo, formato ou seção. Se um corpo possui 
densidade uniforme, seu centro de gravidade será no centroide. Quando um elemento estrutural 
é homogêneo (isto é, do mesmo material em todo seu conteúdo) e experimenta f lexão pura, o 
eixo neutro (ou seja, o eixo de tensão zero) passará pelo centroide. Portanto, a localização do cen-
troide de uma seção transversal nos permite localizar o nível do eixo neutro (ou plano neutro) 
relacionado a tal seção transversal.
A Figura 19.9 mostra as posições de centroide de alguns formatos comuns. Como podemos 
ver, os centroides de retângulos e círculos ocorrem no centro de área (isto é, o ponto óbvio), ao 
a
a
b b
G
Retângulo R
ai
o
G
Círculo
e e e
Triângulo
retângulo
c
c
c
G Em cada um dos casos,
o ponto G representa a
posição do centroide
Figura 19.9 Posições de centroide de formatos comuns.
Capítulo 19 • Tensão por flexão 193
passo que o centroide de um triângulo retângulo ocorre a um terço da extensão a partir do canto 
do ângulo reto – ou a dois terços da extensão a partir do vértice.
Centroides de formatos irregulares
Um formato irregular e a localização do centroide estão indicados na Figura 19.10, a partir da 
qual pode ser demonstrado que:
ou
De modo similar,
onde e são as distâncias a partir do eixo x e do eixo y (respectivamente) até o centroide G. Vale 
ressaltar que o símbolo Σ significa “soma de”. Em outras palavras, a distância até o centroide 
da área total a partir do eixo ou linha referencial apropriada é igual à soma dos produtos área-
-distância divididos pela área total.
Não se preocupe muito se você não entendeupor completo os aspectos matemáticos aqui – o 
que importa mesmo são o resultado e sua aplicação.
G
x
A
Y
2
X1
O
y
x
y
Figura 19.10 Centroides de formatos irregulares.
194 Fundamentos de Estruturas
Centroides de seções transversais que podem ser 
divididas em formatos regulares
A maioria das seções transversais encontradas em engenharia civil pode ser dividida em retân-
gulos e triângulos constituintes. As posições dos centroides em tais seções transversais podem 
ser calculadas usando-se as fórmulas anteriores.
Exemplo
A viga mostrada na Figura 19.11 pode ser dividida em quatro retângulos, conforme ilustrado. 
A posição do centroide da seção pode ser localizada a partir das seguintes equações:
x1
x2
x3
x4
ei
xo
 y
eixo x
y 2
y 1
y 3
y 4
Zona 1Zona 2
Zona 3
Zona 4
Centroide
x
y
Figura 19.11 Centroides de grupos de retângulos.
Capítulo 19 • Tensão por flexão 195
onde
A1 = área da zona 1
A2 = área da zona 2, etc.
x1 = distância do eixo y até o centroide da zona 1
x2 = distância do eixo y até o centroide da zona 2, etc.
y1 = distância do eixo x até o centroide da zona 1
y2 = distância do eixo x até o centroide da zona 2, etc.
Teorema do eixo paralelo
O teorema do eixo paralelo pode ser usado para calcular valores de I (isto é, valores de segun-
do momento de área) para seções que podem ser divididas em partes retangulares individuais. 
(Para um retângulo regular, I = bd3/12.)
Primeiro, o nível do eixo neutro (isto é, a posição do centroide) precisa ser determinado, da 
maneira previamente discutida. Observe o elemento retangular destacado na Figura 19.12, que 
forma parte de uma seção transversal maior. Pode-se demostrar que:
ou, para um retângulo,
h
Centroide
b
d
C C
X X
Figura 19.12 Teorema do eixo paralelo.
196 Fundamentos de Estruturas
onde
Ixx = segundo momento de área do elemento retangular em torno do eixo neutro da seção com-
posta (isto é, em torno do eixo X–X);
ICC = segundo momento de área do elemento retangular em torno do eixo através de seu centroi-
de (isto é, em torno do eixo C–C)
A = área do elemento retangular
b = largura do elemento retangular
d = altura do elemento retangular
h = distância entre o eixo centroidal do elemento retangular e o eixo centroidal da seção 
composta
O IXX total para a seção composta é igual à soma dos termos de IXX para as partes individuais.
Exemplo 19.3: tensões por flexão numa seção em forma de T
Uma viga com a seção transversal mostrada na Figura 19.13 encontra-se simplesmente apoiada e 
apresenta um momento fletor máximo de 16,0 kN.m. Calcule:
• posição do eixo neutro
• tensão tracional máxima
• tensão compressiva máxima
Solução
Use a parte de cima da viga como um eixo de referência a partir do qual as distâncias podem ser 
calculadas. Uma maneira metódica de abordar este problema seria realizando os cálculos em 
forma tabular – veja a Tabela 19.1.
y2
y1
h2
h1
y
Linha referencial
100
20
130
Zona 1
Zona 2
Centroide
da zona 2
Centroide
da zona 1
Representa o centroide
da seção inteira
Todas as dimensões estão em milímetros20
Figura 19.13 Cálculo do segundo momento de área para uma seção em forma de T 
(Exemplo 19.3).
Capítulo 19 • Tensão por flexão 197
Na coluna 7,
42,4 = 52,4 – 10 
32,6 = 85 – 52,4
Divida a seção transversal em dois retângulos: que a barra superior seja a zona 1 e que a 
haste inferior do T seja a zona 2. A largura (b) e a altura (d) de cada zona são dadas nas colunas 
2 e 3 da Tabela 19.1. Em cada caso, elas são multiplicadas entre si para gerar a área de cada zona, 
mostrada na coluna 4.
Os valores de y são as distâncias verticais do topo da seção (o nível referencial) até os centroi-
des de cada zona. Pode-se perceber a partir da Figura 19.13 que esses valores são 10 mm (metade 
de 20 mm) para a zona 1 e 85 mm (20 mm + metade de 130 mm) para a zona 2. Esses valores são 
dados na coluna 5 da Tabela 19.1.
Os valores dados na coluna 6 são A (a partir da coluna 4) multiplicado por y (a partir da 
coluna 5). A partir da coluna 6, pode-se perceber que a soma dos valores de Ay é 241.000 mm3 e, 
a partir da coluna 4, a soma dos valores de A (isto é, a área total da seção) é 4.600 mm2. Assim, a 
distância até o centroide da seção desde o topo ( ) é calculada como:
(Essa é a resposta da parte 1 da questão.)
Agora que a posição do centroide da seção foi determinada, as distâncias h do eixo centroidal 
da seção até os centroides das zonas individuais (representados como h1 e h2 na Figura 19.13) 
podem ser calculadas. Esses valores são dados na coluna 7 da Tabela 19.1.
A coluna 8, Ah2, é A (a partir da coluna 4) multiplicado por h2 (a partir da coluna 7). A coluna 
9 é o valor de I (= bd3/12) para cada zona retangular.
Ao examinarmos o teorema do eixo paralelo (ver texto anterior), descobrimos que:
Assim, IXX é a soma de todos os valores na coluna 8 e todos os valores na coluna 9:
IXX = (6,35 + 3,73) × 106 = 10,08 × 106 mm4
Agora que conhecemos o valor de I, podemos calcular as tensões por flexão.
Mais cedo neste capítulo, vimos que:
Tabela 19.1 Cálculo do segundo momento de área para o Exemplo 19.3
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 
Zona
b 
(mm)
d 
(mm)
A 
(mm2)
y 
(mm)
Ay 
(mm3)
h 
(mm)
Ah2 
(mm4) (x 106)
I = bd3/12 
(mm4) (x 106)
1 100 20 2.000 10 20.000 42,4 3,59 0,07
2 20 130 2.600 85 221.000 32,6 2,76 3,66
Soma 4.600 241.000 6,35 3,73
198 Fundamentos de Estruturas
onde:
σ = tensão por flexão
M = momento fletor
y = distância do eixo central até o topo ou a base da seção
I = segundo momento de área
Neste exemplo,
M = 16,0 kN.m = 16,0 × 106 N.mm (dado da questão)
I = 10,08 × 106 mm4 (já calculado)
y = 52,4 mm (até o topo da seção)
y = (150 – 52,4) = 97,6 mm (até a base da seção)
Como essa seção encontra-se sobre apoio simples, a tensão tracional máxima ocorre na base da 
seção e a tensão compressiva máxima ocorre no topo. Então,
Tensão tracional máxima (base da seção) =
My
I
=
16,0 × 106 N mm × 97,6 mm
10,08 × 106 mm4 = 154,9 N mm2
Tensão compressiva máxima (topo da seção)=
My
I
=
16,0 × 106 N mm × 52,4 mm
10,08 × 106 mm4 = 83,2 N mm2
Exemplo 19.4: tensão por flexão numa seção não simétrica em forma de I
Determine o momento fletor máximo que pode ser aplicado a uma viga de apoio simples cuja 
seção transversal é mostrada na Figura 19.14 se:
• tensão tracional máxima = 2,0 N . mm2
• tensão compressiva máxima = 20 N . mm2
Como no exemplo anterior, usaremos uma tabela (Tabela 19.2) para calcular a posição do eixo 
neutro e o valor do segundo momento de área (I).
Novamente, usaremos o limite superior da viga como linha referencial. (Obs.: você pode 
escolher qualquer nível como sua referência, desde que se mantenha consistente até o fim.)
A partir da Tabela 19.2:
Na coluna 7, 
372,7 = 387,7 – 15 
57,7 = 387,7 – 330 
262,3 = 650 – 387,7
y =
Ay
A
=
17.524.000
45.200
= 387,7 mm até o topo (282,3 até a base)
IXX = (2.604,33 + 543,07) × 106 = 3.147,4 × 106 mm4
Capítulo 19 • Tensão por flexão 199
Ao contrário do exemplo anterior, não são as tensões por flexão que queremos calcular desta vez. 
Precisamos determinar os momentos fletores associados a valores específicos de tensão tracional 
e compressiva.
A partir da equação de flexão dos engenheiros:
y1
y2
h1
h2
h3
y3
Linha referencial
320
30
600
Zona 1
Zona 2
Centroide
da zona 2
Centroide
da zona 1
Representa o centroide
da seção inteira Todas as dimensões estão em milímetros
30
440
40
Zona 3
Eixo centroidal
Centroide
da zona 3
y
Figura 19.14 Cálculo do segundo momento de área para uma seção não simétrica em forma 
de I (Exemplo 19.4).
Tabela 19.2 Cálculo do segundo momento de área para o Exemplo 19.4
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 
Zona
b 
(mm)
d 
(mm)
A 
(mm2)
y 
(mm)
Ay 
(mm3)
h 
(mm)
Ah2 
(mm4) (x 106)
I = bd3/12 
(mm4) (x 106)
1 320 30 9.600 15 144.000 372,7 1.333,50 0,72
2 30 600 18.000 330 5.940.000 57,7 59,93 540,00
3 440 40 17.600 650 11.440.000 262,3 1.210,90 2,35
Soma 45.200 17.524.000 2.604,33 543,07200 Fundamentos de Estruturas
Portanto, rearranjando, temos:
Usando essa equação, podemos calcular o momento que causaria a máxima tensão (compressi-
va) no topo da viga e o momento que causaria a máxima tensão (tracional) na sua base. No topo 
da viga:
Na base da viga,
Assim, o momento máximo por flexão que poderia ser aplicado na viga seria o menor dentre os 
dois valores calculados, isto é, 22,3 kN.m.
O que você deve recordar deste capítulo
• Uma viga com apoio simples sujeita a f lexão (em um modo de tosamento) experimentará 
tensão tracional máxima na sua base e tensão compressiva máxima no seu topo.
• A magnitude da tensão varia linearmente entre o topo da seção e sua base.
• O nível no qual não ocorre tensão é denominado eixo neutro. Para seções simétricas 
feitas homogeneamente do mesmo material, o eixo neutro ocorre na metade da altura da 
seção.
• Antes que determinada seção transversal possa ser analisada em termos de tensão, o segun-
do momento de área precisa ser calculado. Embora isso seja relativamente fácil para seções 
simétricas, torna-se mais complicado para seções não simétricas, para as quais o teorema do 
eixo paralelo deve ser usado.
Exercícios
1. Uma viga de madeira de seção transversal retangular com 75 mm de largura e 300 mm de al-
tura sustenta uma carga pontual de 5 kN no ponto médio de seu vão de 4 m e apoios simples. 
Determine a tensão máxima por flexão na viga.
2. Uma viga de aço com uma seção transversal simétrica em forma de I sustenta uma carga 
uniformemente distribuída de 25 kN/m ao longo de um vão de 3 m com apoios simples. 
As dimensões da seção transversal (todas em milímetros) são apresentadas na Figura 19.15. 
Calcule:
a) a tensão máxima por flexão na viga;
b) o raio da curvatura da viga, considerando-se que E = 205 kN/mm2;
c) a tensão por flexão no topo da alma na viga no local de momento fletor máximo.
3. Um tubo oco com 50 mm de diâmetro externo e 44 mm de diâmetro interno é sujeito a um 
momento fletor de 0,50 kN.m. Determine a tensão máxima por flexão.
Capítulo 19 • Tensão por flexão 201
4. A seção retangular oca de concreto armado mostrada na Figura 19.16 compreende a se-
ção transversal de uma viga de 5 m que sustenta uma carga uniformemente distribuída de 
15 kN/m. Calcule:
a) a tensão máxima por flexão na viga;
b) o raio de curvatura da viga, considerando-se que E = 20 kN/mm2.
5. A Figura 19.17 exibe a geometria da seção transversal de uma viga de aço. A seção transversal 
da viga é simétrica em torno dos eixos X–X e Y–Y. A viga tem um vão de 4 m e sustenta uma 
carga uniformemente distribuída de 4 kN/m. Calcule:
a) o segundo momento de área em torno do eixo X–X (IXX);
b) o momento fletor máximo na viga;
c) a tensão máxima por flexão;
d) a deformação correspondente à tensão calculada em c. se o módulo de Young (E) para a 
viga de aço for de 205 kN/mm2.
6. A Figura 19.18 mostra a geometria de uma seção de aço em forma de T. Uma viga é construída 
a partir dessa seção e usada para sustentar um momento fletor máximo de 75 kN.m. Calcule:
a) a altura do eixo centroidal (X–X) a partir do topo da seção;
b) o segundo momento de área em torno do eixo X–X (IXX);
c) a tensão máxima por flexão na viga quando ela é sujeita ao momento fletor máximo de 
75 kN.m.
7. A Figura 19.19 mostra a seção transversal de uma viga de aço. A seção é simétrica em torno 
do eixo Y–Y, e o eixo X–X passa pelo centroide da seção e forma o eixo neutro. Calcule:
a) a altura do eixo centroidal (X–X) a partir do topo da seção;
b) o segundo momento de área em torno do eixo X–X (IXX);
c) a tensão máxima por flexão na viga quando ela é sujeita ao momento fletor máximo de 
50 kN.m.
100
20
0
15
20
20
Todas as dimensões
estão em milímetros
Figura 19.15 Exercício 2.
202 Fundamentos de Estruturas
150
35
0
0303
30
30
Todas as
dimensões estão
em milímetros
Figura 19.16 Exercício 4.
100
25
0
10
10
10
Todas as dimensões
estão em milímetros
Figura 19.17 Exercício 5.
Capítulo 19 • Tensão por flexão 203
200
30
020
20
Todas as dimensões
estão em milímetros
Figura 19.18 Exercício 6.
100
18
0
10
10
10
Todas as dimensões
estão em milímetros
80
Figura 19.19 Exercício 7.
204 Fundamentos de Estruturas
Respostas
1. 4,44 N/mm2
2. a) 74,6 N/mm2; b) 274,7 m; c) 59,7 N/mm2
3. 101,8 N/mm2
4. a) 23,3 N/mm2; b) 150,5 m
5. a) 38,9 × 106 mm4; b) 8 kN.m; c) 25,7 N/mm2; d) 1,25 × 10–4
6. a) 97,5 mm; b) 89,2 × 106 mm4; c) 170,3 N/mm2
7. a) 85 mm; b) 16,35 × 106 mm4; c) 290,6 N/mm2
Sugestões para estudos adicionais
Usando um programa comum de planilhas, construa uma planilha que seja capaz de calcular os 
seguintes dados para qualquer que seja a seção transversal em forma de T ou I usando o teorema 
do eixo paralelo:
1. a altura do eixo neutro a partir do topo da seção, em milímetros;
2. o segundo momento de área da seção (IXX) em mm4;
3. para qualquer momento M (em kN.m), as tensões por f lexão no topo da seção, na base da 
seção e nos níveis em que a alma encontra a aba no topo e na base.
Use a sua planilha para conferir suas respostas dos exercícios.
Estenda sua planilha para calcular IXX para seções simétricas usando o método da “diferença 
de área”, introduzido anteriormente neste capítulo, e mostre que as respostas são iguais àquelas 
obtidas usando-se o teorema do eixo paralelo.
(Dica: identifique as dimensões A, B, C, D, E e F conforme mostradas na Figura 19.20. Você 
pode usar a mesma planilha tanto para seções em forma de T quanto em forma de I, já que com 
uma seção em forma de T, as dimensões E e F serão ambas zero.)
A
BC
D
E
F
Figura 19.20 Sugestões para estudos adicionais.
20
Tensões axial e por flexão 
combinadas
Introdução
No Capítulo 18, estudamos tensões diretas. Descobrimos que o valor da tensão direta é constan-
te em uma seção transversal e igual ao esforço axial (P) dividido pela área da seção transversal 
(A). No Capítulo 19, investigamos as tensões por flexão. Ali, descobrimos que o valor da tensão 
por flexão não é constante na seção transversal (na verdade, varia linearmente) e que seu valor 
máximo é dado pelo momento fletor (M) dividido pelo módulo da seção (z).
Neste capítulo, veremos o que acontece quando tensões diretas e tensões por flexão são com-
binadas.
Tensões combinadas por fórmula
Tensão direta (axial) (σ) =
P
A
(do Capítulo 18)
Tensão máxima por flexão (σ) =
M
z
(do Capítulo 19)
Essas duas equações podem ser combinadas, conforme mostrado a seguir:
Tensões axial e por flexão combinadas =
P
A
±
M
z
Não é fácil perceber como essa equação pode ser aplicada. Para ajudar, olhe para a Figura 
20.1. Os dois diagramas mostrados exibem a elevação de um pilar antes e depois de uma carga 
longitudinal excêntrica ser aplicada. Como você vê, o lado esquerdo do pilar (lado A) é em-
purrado para baixo a partir de sua posição original sob os efeitos da carga axial, enquanto o 
lado direito do pilar (lado B) é puxado para cima. Isso sugere que o lado A está experimentan-
do compressão ao passo que o lado B está experimentando tração. Contudo, é preciso lembrar 
que esse efeito f letor (M/z) está se somando à compressão (P/A) causada pelo esforço axial P. 
Assim, o efeito f letor aumenta a compressão no lado A e reduz a compressão no lado B. Se a 
força for suficientemente excêntrica, o lado B pode inclusive ficar sob tração, isto é, se M/z for 
maior do que P/A.
Cada diagrama na Figura 20.2 representa uma visão planar de um pilar que é quadrado 
em sua seção transversal. Os quatro lados são denominados A, B, C e D. Em cada diagrama, o 
grande ponto preto representa a posição em que a carga longitudinal é aplicada.
206 Fundamentos de Estruturas
(a) Antes da carga ser aplicada (b) Depois da carga ser aplicada
Linha central
do pilar
A B
A
B
Figura 20.1 Pilar sob carga axial excêntrica.
(a) Carga pontual
centralizada
(b) Carga excêntrica
voltada para A
(c) Carga excêntrica
voltada para D
(d) Carga excêntrica (e) Carga excêntrica (f) Cargas excêntricas
(g) Cargas excêntricas (h)Cargas excêntricas (i) Cargas excêntricas
A
B
C D xx
y
y 
A
B
C D xx
y
y
A
B
C D xx
y
y
A
B
C D
xx
y
y
A
B
C D
xx
y
y
A
B
C D
xx
y
y
A
B
C D
xx
y
y
A
B
C D
xx
y
y
A
B
C D
xx
y
y
Figura 20.2 Carga excêntrica sobre um pilar.
Capítulo 20 • Tensões axial e por flexão combinadas 207
Em cada um dos casos, determine qual ou quais lados do pilar experimentam tração e qual 
ou quais lados experimentam compressão. Para simplificar as coisas, introduziremos como con-
venção um sinal de +/– de acordo com os seguintes padrões:
• Se um lado for empurrado para baixo sob a carga aplicada, ele experimenta compressão (+).
• Se um lado for puxado para cima sob a carga aplicada, ele experimenta tração (–).
As respostas, na forma de sinais de menos e mais, são mostradas na Figura 20.3.
Tenha o exercício anterior em mente ao avançar neste capítulo. Isso o ajudará a determinar 
qual sinal é necessário em vários pontos de seus cálculos.
Outro jeito de enxergar as tensões axial e por flexão combinadas
Observe a seção transversal retangular mostrada na Figura 20.4a. No Capítulo 18, aprendemos 
que a tensão direta (axial) tem um valor P/A que é constante na seção transversal. Isso é ilustrado 
na Figura 20.4b. Em contraste, aprendemos no Capítulo 19 que o valor da tensão por flexão varia 
linearmente na seção transversal, com um valor máximo de M/z. Isso é ilustrado na Figura 19.3 
(a) Carga pontual
centralizada
(b) Carga excêntrica
voltada para A
(c) Carga excêntrica
voltada para D
(d) Carga excêntrica (e) Carga excêntrica (f) Cargas excêntricas
(g) Cargas excêntricas (h) Cargas excêntricas (i) Cargas excêntricas
A
B
C D xx
y
y
A
B
C D xx
y
y
A
B
C D xx
y
y
A
B
C D xx
y
y
A
B
C D xx
y
y
A
B
C D xx
y
y
A
B
C D xx
y
y
A
B
C D xx
y
y
A
B
C D xx
y
y
+ Representa compressão, – Representa tração
+
+ +
+
+
–
+–
+
+
–
– +
+
–
–
+
+–
–
+ +
–– ++
– –
+ 
+
+
++
+
+ +
+ +
+
+
+
–
+–
Figura 20.3 Efeito de carga excêntrica sobre um pilar.
208 Fundamentos de Estruturas
e é mostrado novamente aqui, na Figura 20.4c. Se combinarmos os dois gráficos, o resultado 
depende dos valores relativos de P/A e M/z. Se P/A for maior do que M/z, o gráfico combinado 
se parecerá com o da Figura 20.4d. Mas se P/A for menor que M/z, a combinação será como a 
mostrada na Figura 20.4e. Observe que este último caso acaba gerando tensão tracional quando 
é negativo.
As fórmulas
Mais cedo no livro, já afirmei que não sou lá muito fã de “fórmulas mágicas” nas quais os es-
tudantes podem encaixar números e produzir uma resposta (possivelmente correta) sem com-
preender muito bem o que estão fazendo. No entanto, cálculos para situações de tensões axial e 
por flexão combinadas são dependentes de certas fórmulas – mas você precisa saber quando usar 
um sinal de mais e quando usar um sinal de menos. E, como vale para qualquer outra fórmula, 
você precisa entender o que significam os seus diversos termos.
Anteriormente neste capítulo, encontramos a seguinte equação:
Tensões axial e por flexão combinadas =
P
A
±
M
z
Agora, uma força P atuando numa excentricidade e a partir da linha central da seção transversal 
aplicará um momento (P × e) nessa linha central. Assim,
M = Pe
Além disso, no Capítulo 19 aprendemos que z = I/y. A partir disso, podemos gerar outras duas 
equações para tensões axial e por flexão combinadas, da seguinte forma:
Tensões axial e por flexão combinadas =
P
A
±
My
I
Eixo neutro
0
00
0
P/A M/z
M/z
P/A +M/z P/A +M/z
P/A – M/z P/A – M/z
0
0
0
0
(a) Seção
transversal
(b) Tensões
diretas
(c) Tensões
por �exão
(d) (e)
Tensões axial e por �exão combinadas
Figura 20.4 Combinações de tensão.
Capítulo 20 • Tensões axial e por flexão combinadas 209
ou:
Tensões axial e por �exão combinadas =
P
A
±
Pey
I
Para refrescar a memória sobre o significado de cada símbolo, veja a Figura 20.5.
Exemplo 20.1
Uma força de 200 kN atua verticalmente para baixo sobre um pilar cuja seção transversal tem 
dimensões 400 mm × 300 mm. A força atua a uma excentricidade de 100 mm ao longo do eixo 
Y–Y a partir do centro da seção, conforme mostrado na Figura 20.6a. Calcule a tensão no pilar 
nas seguintes posições:
• ao longo da face superior do pilar (posição A);
• no nível de aplicação da carga (ponto K);
• no centroide da seção transversal (ponto L);
• no nível a 50 mm “abaixo” da linha central (ponto M);
• ao longo da face inferior do pilar (posição B).
M
e
P
b
d
y
Área A = bd
M = Pe
z = bd2/6 (veja o Capítulo 19)
I = bd3/12 (veja o Capítulo 19)
y = distância vertical do eixo neutro
 até o nível de interesse
Figura 20.5 Símbolos numa equação de tensões axial e por flexão combinadas.
210 Fundamentos de Estruturas
Sabemos o seguinte:
P = 200 kN (ou 200 × 103 N)
A = bd = (300 mm × 400 mm) = 120.000 mm2
e = 100 mm
M = Pe = (200 × 103 N × 100 mm) = 20 × 106 N.mm
y é a distância do eixo centroidal (X–X) até a posição em que estamos interessados em calcular 
a tensão. Seus valores para as posições A, K, L, M e B são, respectivamente, 200, 100, 0, 50 e 
200 mm.
Os sinais também são importantes. Como a força P está empurrando para baixo sobre a 
parte superior da seção, ela induzirá compressão (+) para os pontos A e K, zero para L e tração 
(–) para os pontos M e B.
Para o ponto A: A =
200 × 103
120 000
+
20 × 106 × 200
1,6 × 109 = 1,67 + 2,5 = 4,17 N mm2
Para o ponto K: K =
200 × 103
120 000
+
20 × 106 × 100
1,6 × 109 = 1,67 + 1,25 = 2,92 N mm2
)b()a(
40
0 10
0
P = 200 kN
300
50
10
0
P = 200 kN
300
50 P = 100 kN
A
B
K
L
M
B
M
L
K
A
Figura 20.6 Exemplo resolvido 20.1.
Capítulo 20 • Tensões axial e por flexão combinadas 211
Para o ponto L: L =
200 × 103
120.000
+
20 × 106 × 0
1,6 × 109 = 1,67 + 0 = 1,67 N mm2
Para o ponto M: M =
200 × 103
120.000
−
20 × 106 × 50
1,6 × 109 = 1,67−0,625 = 1,045 N mm2
Para o ponto B: B =
200 × 103
120.000
−
20 × 106 × 200
1,6 × 109 = 1,67−2,5 = −0,83 N mm2
Agora vamos dificultar um pouco o problema. Suponhamos que, além da força de 200 kN mos-
trada anteriormente, uma força de 100 kN atua no ponto M, conforme ilustrado na Figura 20.6b.
O momento geral em torno do eixo X–X agora é:
M = (200 × 103 N × 100 mm) – (100 × 103 N × 50 mm) = 15 × 106 N.mm
A força total, P, agora é:
(200 kN + 100 kN) = 300 kN (ou 300 × 103 N)
Assim, o primeiro termo da equação agora é:
As outras quantidades permanecem as mesmas. Então agora as tensões são as seguintes:
Para o ponto A: A = 2,5 +
15 × 106 × 200
1,6 × 109 = 2,5 + 1,875 = 4,375 N mm2
Para o ponto K: K = 2,5 +
15 × 106 × 100
1,6 × 109 = 2,5 + 0,938 = 3,438 N mm2
Para o ponto L: L = 2,5 +
15 × 106 × 0
1,6 × 109 = 2,5 + 0 = 2,5 N mm2
Para o ponto M: M = 2,5−
15 × 106 × 50
1,6 × 109 = 2,5−0,047 = 2,45 N mm2
Para o ponto B: B = 2,5−
15 × 106 × 200
1,6 × 109 = 2,5−1,875 = 0,625 N mm2
Essas tensões, para cada um dos dois casos considerados, estão tabuladas na Tabela 20.1.
Tabela 20.1 Tensões derivadas do Exemplo 20.1
Ponto Descrição do ponto
Tensão (em N/mm2) apenas 
para a carga de 200 kN
Tensão (em N/mm2) para carga 
de 200 kN + carga de 100 kN
A Face superior do pilar + 4,17 + 4,375
K 100 mm acima do centro + 2,92 + 3,438
L No centro da seção do pilar + 1,67 + 2,5
M 50 mm abaixo do centro + 1,045 + 2,453
B Face inferior do pilar – 0,83 + 0,625
212 Fundamentos de Estruturas
Cuidado com a diferença entre e e y
Muitos estudantes ficam confusos com a diferença entre e e y. Tal distinção é crucial para com-
preender os problemas envolvendo tensões axial e por flexão combinadas, e ela é a seguinte:
• e representa a excentricidade da(s) carga(s) – ou seja, a distância desde o ponto de ação da 
carga até o eixo centroidal relevante (eixo X–X no caso anterior). No exemplo recém mencio-
nado, e = 100 mm para a carga de 200 kN e 50 mm para a carga de 100 kN.
• y representa a distância do eixo centroidal até o nível em que queremos conhecer a tensão.Valores máximo e mínimo de tensão
Examine as cifras na Tabela 20.1. Você verá que, em cada um dos casos, a tensão máxima ocorre 
na face superior (posição A) e que a tensão mínima ocorre na face inferior (posição B).
Os valores das tensões máxima e mínima são especialmente importantes para os engenhei-
ros, pois projetamos um pilar (ou outro elemento estrutural) para sustentar a pior tensão à qual 
ele provavelmente estará sujeito. A “pior” tensão costuma ser o valor máximo, mas o valor mí-
nimo também é de especial interesse, sobretudo se for negativo (como é no caso do ponto B no 
Exemplo 20.1). Um valor negativo de tensão sugere a presença de tração, e em muitas situações 
precisamos evitar tensões tracionais. Retornaremos a esse tema mais adiante.
Tensões combinadas em duas dimensões
Até aqui, consideramos tensões apenas em uma dimensão. (Na Figura 20.6, por exemplo, os pon-
tos A, K, L, M e B encontram-se todos na mesma linha.) Isso basta para situações em que as cargas 
atuam diretamente sobre os eixos centroidais, mas o que acontecem quando isso não é verdade?
Examine a Figura 20.7, que mostra a seção transversal de um pilar sobre o qual uma carga 
P atua num ponto que é excêntrico em relação ao centroide do pilar em ambas as direções – em 
P
BA
CD
xx
y
y
Mx
My
Momento Mx em sentido horário quando visto pelo lado BC
Momento My em sentido horário quando visto pelo lado DC
Figura 20.7 Tensões causadas por rotações em torno de ambos os eixos – caso geral.
Capítulo 20 • Tensões axial e por flexão combinadas 213
outras palavras, o ponto não fica nem sobre o eixo X–X nem sobre o eixo Y–Y. Os quatro vértices 
do pilar são identificados como A, B, C e D.
A carga excêntrica P induzirá movimento tanto em torno do eixo X–X quanto do eixo Y–Y. 
Chamaremos esses momentos de Mx e My, respectivamente.
zx = bd2/6 e zy = db2/6
(O módulo elástico da seção, z, foi introduzido no Capítulo 19.)
As tensões nos quatro vértices (A, B, C e D) do pilar podem ser calculadas a partir das se-
guintes equações:
Exemplo 20.2
Como no Exemplo 20.1, um pilar cuja seção transversal tem dimensões 400 mm × 300 mm 
experimenta uma carga de 200 kN. Dessa vez, porém, a carga é aplicada excentricamente em 
ambos eixos, conforme mostrada na Figura 20.8. Calcule a tensão em cada um dos vértices do 
pilar (A, B, C e D).
40
010
0 P = 200 kN
300
50
A B
D C
x x
y
y
Figura 20.8 Exemplo resolvido 20.2.
214 Fundamentos de Estruturas
P = 200 kN (ou 200 × 103 N)
A = (300 mm × 400 mm) = 120.000 mm2
Mx = +(200 × 103 N × 100 mm) = 20 × 106 N.mm
My = +(200 × 103 N × 50 mm) = 10 × 106 N.mm
zx = bd2/6 = 300 × 4002/6 = 8,0 × 106 mm3
zy = db2/6 = 400 × 3002/6 = 6,0 × 106 mm3
Repare que Mx e My são ambos positivos, porque ambos atuam na mesma direção que o caso 
geral mostrado na Figura 20.7.
Então, as tensões nos quatro vértices são as seguintes:
σA = 1,67 + 2,5 – 1,67 = + 2,5 N/mm2
σB = 1,67 + 2,5 + 1,67 = +5,84 N/mm2
σC = 1,67 – 2,5 + 1,67 = + 0,84 N/mm2
σD = 1,67 – 2,5 – 1,67 = – 2,5 N/mm2
Observe o valor negativo de tensão no ponto D – isso indica que tensão tracional está sendo 
experimentada ali.
Pressão sobre fundações
Os princípios já explicados envolvendo cargas excêntricas sobre pilares são igualmente aplicáveis 
para cargas excêntricas sobre fundações. Pilares em prédios precisam ser sustentados em sua 
base por uma fundação, cuja função é transmitir com segurança todas as cargas da estrutura 
para o solo (veja o Capítulo 1). Neste caso, costuma-se usar uma sapata isolada de concreto, con-
forme ilustrado no Capítulo 3.
Ao projetar as fundações em sapata é importante certificar-se de que a pressão suportável no 
solo (ou seja, a pressão máxima que o solo é capaz de suportar) não seja excedida. Sendo assim, é 
fundamental poder calcular a pressão real em qualquer ponto da fundação. Na prática, as pres-
sões máxima e mínima ocorrem em um dos quatro vértices, então é suficiente calcular a pressão 
real em cada um deles.
A Figura 20.7, à qual nos referimos anteriormente ao examinar tensões em pilares, é igual-
mente aplicável ao caso geral de pressão em fundações. Trata-se de uma visão planar de uma 
fundação em sapata retangular de concreto cujos quatro vértices são denominados A, B, C e D.
Os dois eixos centroidais são denominados X–X e Y–Y. Uma carga excêntrica P atua numa 
posição que causa um momento em sentido horário (conforme visto a partir do lado BC) em 
torno do eixo X–X e um momento em sentido horário (conforme visto a partir do lado DC) em 
torno do eixo Y–Y. As pressões nos vértices A, B, C e D são dadas pelas quatro equações discuti-
das anteriormente.
Capítulo 20 • Tensões axial e por flexão combinadas 215
(Obs.: embora tenhamos usado N e mm como unidades ao calcular tensões em pilares, as 
forças de maior magnitude em fundações sugerem que kN e m são unidades mais apropriadas ao 
se calcularem pressões em fundações.)
Exemplo 20.3
Calcule a pressão em cada vértice da fundação mostrada na Figura 20.9. A carga de 80 kN cau-
sará uma rotação em sentido horário em torno do eixo x (conforme vista a partir do lado BC), 
que é o mesmo sentido assumido para o caso geral da Figura 20.7. Daí o sinal positivo no cálculo 
de Mx a seguir.
A carga de 80 kN causará uma rotação em sentido anti-horário em torno do eixo y (conforme 
vista a partir do lado DC), que é a direção oposta à rotação em sentido horário assumida no caso 
geral da Figura 20.7. Daí o sinal negativo no cálculo de My a seguir:
3 m
1,5 m 1,5 m
1,5 m
0,75 m
0,75 m0,7 m
80 kN
A B
CD
0,
2 
m
x x
y
y
Figura 20.9 Exemplo de aplicação de carga excêntrica sobre uma fundação.
216 Fundamentos de Estruturas
Como a pressão no vértice C é negativa, isso sugere que ocorre tração nesse ponto. Em outras pa-
lavras, a fundação tenderia a se elevar no ponto C, o que obviamente não é desejável na prática!
O que você deve recordar deste capítulo
Este capítulo explica como combinar tensões axial e por flexão em um pilar ou uma fundação. 
Para isso, mostramos o procedimento de cálculo necessário para obter a tensão (ou pressão) 
geral em qualquer ponto de um pilar (ou fundação). Cuidado com os sinais (+ ou –) e não se es-
queça que uma tensão negativa indica a ocorrência de tração no ponto em questão.
Exercícios
Calcule as tensões em cada um dos quatro vértices (A, B, C e D) dos quatro exemplos ilustrados 
na Figura 20.10. Em cada um dos casos, identifique os pontos (se é que existem) em que ocorre 
tração. (Obs.: em todos os casos, a carga atua no sentido para a página.)
)b()a(
)d()c(
0,3 m
0,
2 
m
4 m
2 
m
100 kN
A B
CD
3 m
2 
m
A B
CD
0,
25
 m
0,3 m
100 kN
2,
6 
m
2,0 m
0,
4 
m
64 kN
BA
C
D
250 mm
40
0 
m
m
A B
CD
50 kN
100 kN
60 mm
60 mm
12
0 
m
m
80
 m
m
Figura 20.10 Exercícios.
Capítulo 20 • Tensões axial e por flexão combinadas 217
Respostas
Os valores dados ocorrem nos pontos A, B, C e D, respectivamente.
a. +23,67, +23,67, +0,95, +0,95 kN/m2
b. +25,63, +14,37, –0,63, +10,63 kN/m2
c. +19,17, +39,17, +14,17, –5,83 kN/m2
d. –419, +1.019, +3.419, +1.981 kN/m2
21
Materiais estruturais: concreto, 
aço, madeira e alvenaria
Introdução
O foco principal deste livro são os fundamentos da análise estrutural. Até aqui, não prestamos 
muita atenção no material constituinte de uma viga, um pilar ou uma laje. Existem, é claro, mui-
tos materiais disponíveis para usarmos, mas neste capítulo vamos examinar os quatro principais 
materiais estruturais, que são: concreto, aço, madeira e alvenaria.
Tanto arquitetos quanto engenheiros têm que decidir já num estágio inicial qual material 
(ou combinação de materiais) usarão em um projeto específico. Mas é difícil tomar tal decisão se 
você não sabe nada sobre os diversos materiais. O propósito deste capítulo é discutir diferentes 
materiais disponíveis para o profissional da construção.
Qual é o melhor material?
Uma pergunta natural a essa altura é: qual é o melhor material? Bem, depende do que você quer 
dizer com“melhor”. “Melhor” significa mais resistente, mais rígido, mais barato, prontamente 
disponível ou mais atraente? Ou tudo isso? Ou talvez nada disso?
Se pararmos para pensar, concluiremos que não existe um material de construção que seja 
o melhor em todos os aspectos. Se existisse, todas as estruturas de edificações no mundo seriam 
feitas exclusivamente deste material. Isso claramente não acontece. Quando observamos o mun-
do à nossa volta, vemos edificações de tijolos ou de pedra, de madeira, com estruturas de aço ou 
de concreto armado. Em certas partes do mundo, vemos edificações construídas de gelo, lama ou 
bambu. Fica claro que há muitos materiais diferentes que podem ser utilizados em edificações e 
cada um tem suas vantagens e desvantagens.
A analogia da chaleira elétrica
Se você observar seu ambiente cotidiano, perceberá que objetos específicos tendem a ser feitos 
de certos materiais. Isso porque tais materiais são especialmente apropriados para certas apli-
cações. Pneus de carro, por exemplo, são feitos de borracha, janelas são feitas de vidro e canetas 
geralmente são feitas de plástico.
Sabemos também que certos materiais são flagrantemente inadequados para determinadas 
aplicações. Por exemplo:
• lentes de contato jamais são feitas de aço
• fuselagens de aviões jamais são construídas com tijolos
• computadores jamais são feitos de concreto
• radiadores jamais são feitos de plástico (embora talvez até pudessem ser)
Capítulo 21 • Materiais estruturais: concreto, aço, madeira e alvenaria 219
Vejamos o caso de uma chaleira elétrica como exemplo. Se você revisar as propriedades desejá-
veis numa chaleira elétrica, talvez chegue a algumas ou a todas as seguintes conclusões:
• Resistência: a chaleira elétrica deve ser forte o bastante para conter água e resistir à pressão 
do vapor em seu interior. Também deve ser resistente o bastante para não quebrar se alguém 
deixá-la cair numa superfície dura.
• Propriedades termais: a chaleira elétrica deve ser capaz de resistir à temperatura da água em 
ebulição e não deve quebrar, derreter ou se deformar a tais temperaturas. Também deve ser 
capaz de suportar mudanças bruscas de temperatura se, por exemplo, água fria for derrama-
da dentro de uma chaleira elétrica que recém continha água fervente.
• Rigidez: a chaleira elétrica não deve se deformar devido à pressão da água ou do vapor.
• Descarte: o que acontecerá com a chaleira elétrica no fim de sua vida útil?
• Disponibilidade de materiais: os materiais devem estar prontamente disponíveis nas quanti-
dades necessárias para a produção em massa de chaleiras elétricas.
• Custos de fabricação: o processo fabril deve ser suavemente integrado, para que as chaleiras 
elétricas sejam produzidas ao menor custo possível.
• Durabilidade: a chaleira elétrica não deve apodrecer, ser corroída ou se degradar de alguma 
outra forma com o uso.
• Vedação: a chaleira elétrica deve ser à prova d’água.
• Atratividade: a chaleira elétrica deve ter um visual suficientemente atraente para que as pes-
soas desejem comprá-la.
Um fabricante de chaleiras elétricas tem de encontrar um material que apresente todas as pro-
priedades listadas. Até o fim dos anos 70, todas as chaleiras elétricas eram feitas de aço; então, fo-
ram desenvolvidos plásticos capazes de suportar as altas temperaturas sem se deformarem. Hoje 
em dia, a maioria das chaleiras elétricas é feita de plástico, pois existem plásticos disponíveis que 
atendem a todos os requisitos recém citados e que são mais baratos do que o aço. Vejamos quais 
seriam as consequências de fabricar chaleiras elétricas usando outros materiais.
• Uma chaleira elétrica de madeira é possivelmente mais cara de fabricar. Seria difícil obter 
uma vedação à prova d’água, e a madeira acabaria apodrecendo sob tamanha umidade e 
vapor, a menos que conservantes – que podem ser venenosos! – fossem usados.
• Seria difícil (e, portanto, economicamente inviável) criar uma chaleira elétrica de concreto 
com as dimensões necessárias; caso contrário, ela seria pesada demais. Ademais, a superfície 
do concreto poderia acabar se dissolvendo na água em ebulição.
• Uma chaleira elétrica de alvenaria seria impraticável pelos mesmos motivos que uma feita de 
concreto, com a formação de juntas à prova d’água representando um problema adicional.
Então qual foi o motivo dessa conversa sobre as propriedades preferíveis numa chaleira elétrica? 
Bem, algumas das propriedades recém listadas, desejáveis na fabricação de chaleiras elétricas, 
também representam propriedades importantes dos materiais a serem usados em estruturas. 
Examinemos algumas delas detalhadamente.
Fatores a serem considerados na seleção de materiais
Disponibilidade
Materiais de construção são usados em grandes quantidades e, portanto, precisam estar pronta-
mente disponíveis. Pedras e argila são extraídas na maior parte do Reino Unido, por isso a alve-
naria (uso de pedras, tijolos e blocos de concreto) é amplamente usada em construção doméstica. 
(Até os anos 60, por exemplo, todas as edificações na cidade escocesa de Aberdeen eram feitas 
de granito, que estava facilmente disponível numa jazida local). Em algumas partes do mundo, 
220 Fundamentos de Estruturas
outros materiais localmente disponíveis são excelentes para construção. Além disso, a mão de 
obra local costuma estar familiarizada com o uso de materiais localmente disponíveis.
Resistência
Os materiais precisam ser resistentes o suficiente (sob tração e/ou compressão) para o seu pro-
pósito-alvo. Claramente, alguns materiais são mais resistentes do que outros. A escolha de um 
material frágil demais para uma aplicação específica é um equívoco óbvio, mas a seleção de um 
material mais resistente do que o necessário também é indesejável.
Rigidez
Rigidez, ou dureza, não deve ser confundida com resistência: alguns materiais resistentes não 
são rígidos (como as cordas) e alguns materiais rígidos não são resistentes (como o vidro). Quan-
to mais rígido um material, menos ele sofrerá deflexão. A rigidez de um material é proporcional 
ao valor do seu módulo de Young. (Para uma derivação do módulo de Young, veja o Capítulo 18.) 
Os valores típicos para o módulo de Young sendo considerados neste capítulo são os seguintes:
• Aço: 210 kN/mm2
• Alumínio: 71 kN/mm2
• Concreto: 14 kN/mm2
• Madeira: 5 – 10 kN/mm2
Pode-se perceber, a partir desses valores, que o aço é de longe o mais rígido dentre os materiais 
estruturais comuns – para uma mesma seção transversal, o aço é três vezes mais rígido do que o 
alumínio, 15 vezes mais rígido do que o concreto e mais de 20 vezes mais rígido do que a madei-
ra. Lembre-se, porém, que isso só vale para uma mesma seção transversal, então essas rigidezes 
relativas irão variar dependendo da seção transversal usada.
Vimos no Capítulo 1 que a deflexão precisa ser controlada, mas é menos crítica em algumas 
aplicações do que em outras. Um material super-rígido, portanto, nem sempre é necessário ou 
mesmo desejável.
Velocidade de construção
Alguns tipos de construções podem ser erigidas mais depressa do que outras. Uma estrutu-
ra reticular de aço pode ser completada em bem menos tempo do que uma de alvenaria. Mas 
velocidade de construção nem sempre é crucial, e às vezes uma perda em agilidade pode ser 
contrabalançada por custos menores. Para ilustrar, basta imaginar alguém lhe dizendo que uma 
edificação pode ser construída duas vezes mais rápido, só que pelo dobro do custo.
Custo/economia
Uma questão complexa. Arquitetos e engenheiros estão sempre procurando minimizar custos. 
Há um velho ditado que diz que um engenheiro pode fazer por um centavo aquilo que qualquer 
pessoa pode fazer por dois centavos. Precisamos levar em consideração o custo das matérias-
-primas, o custo de conversão do material em sua forma utilizável, custos de transporte e custos 
associados à mão de obra.
Capacidade de acomodar movimento
Todas as edificações tendem a se mover. Alguns materiais são capazes de acomodar isso melhordo que outros. Construções de tijolos, por exemplo, conseguem suportar movimento melhor do 
que uma estrutura com pórtico de aço.
Capítulo 21 • Materiais estruturais: concreto, aço, madeira e alvenaria 221
Durabilidade
Com o passar do tempo, alguns materiais apodrecem, se decompõem, sofrem corrosão ou per-
dem lascas, etc. Com certos materiais, isso acontece antes do que com outros; em outras palavras, 
alguns materiais são mais duráveis do que outros. Custos e programas de manutenção precisam 
ser levados em consideração. É notório, por exemplo, que a Ponte Ferroviária do Rio Forth, na 
Escócia, é repintada a cada 3 ou 5 anos a fim de controlar a corrosão da estrutura de aço.
Descarte
Nada dura para sempre. Que destino será dado à edificação ao final de sua vida útil? O material 
poderá ser reutilizado ou convertido em algo aproveitável? Quais são os custos associados a isso?
Proteção contra incêndio
Existe a lamentável possibilidade de que qualquer edificação venha a pegar fogo. Alguns mate-
riais apresentam melhores propriedades anti-incêndio do que outros.
Tamanho e natureza do local
A localização de uma edificação pode influenciar a escolha de materiais. Problemas de engarra-
famentos, exigências legais locais e obstruções físicas podem limitar o porte das entregas ao local 
e quantas vezes ao dia elas podem ocorrer.
Analisaremos agora cada um dos principais materiais estruturais individualmente. Como 
você verá, cada material tem suas vantagens e desvantagens.
Concreto
Concreto é fabricado misturando-se ingredientes – cimento, agregados miúdos (areia), agrega-
dos graúdos (seixos e pedras britadas) e água – em proporções predeterminadas de uma maneira 
controlada para formar um fluido cinzento semelhante a mingau. Esse concreto fresco é trans-
portado para o local onde se faz necessário e é derramado em “moldes” do formato e tamanho 
exigidos. Esses moldes, conhecidos como formas ou nichos, costumam ser feitos de madeira ou 
de aço. Reações químicas ocorrem no concreto, que levam ao assentamento, endurecimento e 
ganho em resistência ao longo de um período de semanas.
A produção de concreto precisa ser cuidadosamente controlada. Em primeiro lugar, seus 
materiais constituintes de ocorrência natural são variáveis em qualidade. Em segundo, concreto 
fresco é suscetível a altas ou baixas temperaturas e precisa ser aplicado em seu destino o mais 
rápido possível antes da “pega” (ou seja, antes de seu endurecimento). Em terceiro lugar, um tra-
tamento descuidado do concreto fresco – quando, por exemplo, ele é derramado de uma grande 
altura ou quando bate contra a forma – pode levar à segregação de seus constituintes, o que pode 
afetar a integridade do concreto acabado.
O concreto é resistente sob compressão (usualmente 30 – 40 N/mm2), mas frágil sob tração 
(3 – 8 N/mm2). Como vimos no Capítulo 3, qualquer elemento estrutural f lexionado – como 
uma viga ou uma laje – experimenta tração; portanto, se um elemento for feito de concreto, ele 
precisa ser reforçado por barras de aço. Concreto com barras de aço é conhecido como concreto 
armado. Na prática, todo o concreto visto em estruturas é concreto armado.
O concreto armado tem inúmeras vantagens:
• Apresenta alta resistência à compressão.
• É moldável em qualquer formato desejável.
• Por ser moldável, pode ser usado para formar elementos estruturalmente contínuos.
222 Fundamentos de Estruturas
• É durável: não sofre corrosão nem apodrece.
• Apresenta boas propriedades anti-incêndio.
• Também tem boas propriedades de isolamento térmico e acústico.
• É relativamente barato de se produzir – embora sua colocação no local exija bastante mão de 
obra, o que aumenta os custos.
• Pode ser usado em composição (isto é, dois materiais atuando em conjunto) com aço estrutural.
• Pode ser amplamente usado em fundações, pilares, vigas, lajes, pontes, estradas e dormentes 
ferroviários.
• É adequado para estruturas de pequenos vãos em edifícios altos ou baixos.
• O concreto protendido – concreto no qual fios ou cabos protendidos são instalados – é mais 
resistente do que o concreto armado e, portanto, elementos mais longos e mais esbeltos po-
dem ser obtidos. Por isso, o concreto protendido é adequado para grandes vãos e pórticos 
rígidos. Você lerá mais a respeito de protensão no Capítulo 25.
• Elementos feitos de concreto (vigas, pilares, etc.) podem ser produzidos em fábricas para, só 
então, depois de endurecidos, serem transportados para um local de construção e erigidos na 
posição desejada. Tais elementos são chamados de pré-moldados. A construção mais usual 
com concreto, em que o material é derramado em formas ou nichos no local, é chamada de 
construção in situ.
Contudo, as seguintes desvantagens do concreto armado também precisam ser levadas em con-
sideração:
• É pesado, tanto física quanto esteticamente.
• Como indicado anteriormente, a construção usando concreto armado precisa ser cuidadosa-
mente controlada e exige bastante mão de obra. É “bagunçada”, exigindo formas, armadura, 
colocação e compactação do concreto.
• Depois de derramado, o concreto leva várias semanas para atingir a resistência necessária. Isso 
atrasa as atividades de construção subsequentes (a menos que o concreto seja pré-moldado).
• Ainda que não sofra corrosão ou apodrecimento, o concreto pode sofrer outros problemas, 
como esboroamento, fissuras (levando a possível corrosão da armadura) e carbonação (rea-
ção química com a atmosfera que causa deterioração).
Alvenaria
Tradicionalmente, o termo alvenaria remete à ocupação do alvenel (pedreiro). Nos tempos atuais, 
o termo costuma se aplicar às construções envolvendo tijolos e blocos cerâmicos ou de concreto.
Tijolos e blocos (cerâmicos ou de concreto) vêm em pequenas unidades cuboides que podem 
ser erguidas manualmente. Eles são dispostos em fileiras por um pedreiro para formar paredes 
ou pilares. Argamassa é usada para “colar” as unidades individuais umas às outras e preencher 
as lacunas ou quaisquer irregularidades entre as unidades.
As vantagens da alvenaria são as seguintes:
• Possui grande resistência compressiva, tornando-a ideal para paredes, pilares e arcos, todos 
os quais encontram-se sob compressão pura.
• É durável – nenhum acabamento é necessário.
• É feito de matérias-primas facilmente encontradas a baixo custo.
• Nenhuma planta complicada é necessária.
• Apresenta uma aparência atraente.
• Apresenta flexibilidade em termos de design – tijolos e blocos podem ser combinados para 
compor formatos complexos.
• A alvenaria apresenta boas propriedades anti-incêndio e boas propriedades térmicas/acústicas.
Capítulo 21 • Materiais estruturais: concreto, aço, madeira e alvenaria 223
As desvantagens da alvenaria são as seguintes:
• Possui baixíssima resistência à tração, o que significa que não pode ser usada para elementos 
que sofrem flexão, como vigas e lajes.
• Comparada à madeira (o outro material usado para construção doméstica de poucos pavi-
mentos), a alvenaria é pesada; portanto, amplas fundações são necessárias, e os custos de 
transporte são altos.
• Gelo e ataque químico podem causar esboroamento em alvenaria.
• Eflorescência – formações de salitre de má aparência (mas inofensivas) – podem ocorrer em 
alvenaria após um ciclo de umedecimento e secagem.
Devido à sua durabilidade, edificações de alvenaria têm excelente potencial para novos aprovei-
tamentos. A Figura 21.1 exibe uma igreja tradicional de pedra na cidade holandesa de Maastricht 
que atualmente desfruta de uma vida nova como uma livraria.
Madeira
A madeira é o único material estrutural que é usado em seu estado de ocorrência natural. O com-
primento e a seção transversal de uma viga de madeira são limitados pela altura e pela espessura 
da árvore da qual ela é obtida.
Vigas de madeira mais longas e de maior seção transversal podem ser obtidas fatiando-se a 
madeira em tábuas mais finas e colando-as entre si ao longo de seus comprimentos e em suas 
Figura 21.1 Uma igreja transformada em livraria.224 Fundamentos de Estruturas
extremidades, mas este é um processo caro raramente usado no Reino Unido. Isso é conhecido 
como madeira laminada colada (MLC).
São dois os tipos de madeira disponíveis:
1. as folhosas (hardwood), obtidas de árvores decíduas (que perdem suas folhas);
2. as coníferas (softwood), obtidas de árvores perenes.
As coníferas costumam ser usadas para propósitos estruturais.
A madeira é um dos materiais mais antigos usados em edificação e apresenta as seguintes 
vantagens estruturais:
• É leve, com uma alta razão resistência/peso.
• É fácil de cortar e moldar.
• Ao contrário do que seria de se esperar, comporta-se bem em caso de incêndio.
• Apresenta boa durabilidade química.
• Tem uma aparência agradável.
• É relativamente barata.
• Embora tenha pouca rigidez, é relativamente rígida considerando-se sua leveza.
• É adequada para estruturas de edificações baixas que sustentam cargas pequenas ou mode-
radas, para pórticos rígidos e para coberturas.
Mas a madeira apresenta as seguintes desvantagens:
• Devido à sua baixa resistência, seus vãos são limitados, assim como a altura de edificações 
de madeira.
• É difícil formar junções em certas circunstâncias.
• Como mencionado há pouco, o tamanho de uma peça de madeira está limitado ao tamanho 
da árvore da qual ela provém.
• A madeira é suscetível a apodrecimento e degradação se não passar por manutenção ade-
quada.
Aço
As peças estruturais de aço são fabricadas em perfis padronizados. Elas apresentam as seguintes 
vantagens:
• Sua resistência é alta tanto sob tração quanto sob compressão (mas aço sob compressão pode 
ser um problema – veja logo adiante).
• O aço apresenta uma alta razão resistência/peso.
• Como os perfis de aço são produzidos em fábricas sob condições cuidadosamente aferidas, 
um alto controle de qualidade é garantido.
• A aparência do aço é elegante, com elementos esbeltos, superfícies suaves e bordas retas e 
agudas.
• Pré-fabricação é possível.
• O aço apresenta alta rigidez.
• O aço é um material econômico: uma pequena quantidade sustenta uma carga relativamente 
grande.
• O aço é indicado para edifícios baixos/altos e estruturas de telhados com quaisquer vãos.
O aço, porém, apresenta as seguintes desvantagens:
• É pesado: são necessários guindastes para levantar elementos metálicos.
• É um material de alto custo.
• Apresenta um problema de durabilidade: sofre corrosão se não receber proteção e manutenção.
Capítulo 21 • Materiais estruturais: concreto, aço, madeira e alvenaria 225
• Apresenta baixa resistência a fogo; portanto, elementos estruturais metálicos precisam ser 
protegidos por outros materiais.
• Devido aos perfis esbeltos usados em elementos metálicos, eles são propensos à f lambagem 
sob compressão. Este é um critério importante ao se projetar um elemento estrutural metálico.
O Sage, na cidade de Gateshead, norte da Inglaterra, é uma casa de espetáculos que abrange três 
salas de concerto separadas, envelopadas por uma casca de aço e vidro que se curva em três di-
mensões, o que exigiu a fabricação de elementos metálicos complexos. Seus críticos afirmam que 
o edifício ficou parecendo uma lesma gigante.
Alumínio
O alumínio raramente é usado como material estrutural, exceto em estruturas muito pequenas 
(como estufas). Suas principais propriedades são as seguintes:
• Sua resistência é aproximadamente a mesma que a do aço-carbono (mild steel).
• É mais rígido do que o concreto ou a madeira.
• É menos rígido do que o aço, mas é mais leve.
• Apresenta uma alta razão resistência/peso.
• Mas é caro.
Então como eu decido quais materiais usar em 
determinada edificação?
A discussão a seguir diz respeito a construções no Reino Unido, embora parte dela também pos-
sa se aplicar a outras partes do mundo.
Estrutura com pórtico ou sem pórtico?
A primeira decisão a ser tomada é se a estrutura terá ou não um pórtico. Em uma estrutura com 
pórtico, um “esqueleto” de vigas e pilares é usado para conduzir as cargas estruturais edifício 
Figura 21.2 Sage, Gateshead, Inglaterra.
226 Fundamentos de Estruturas
abaixo, até suas fundações. O pórtico costuma ser feito de aço ou de concreto armado, mas em 
estruturas bem pequenas (geralmente de um único pavimento), ele pode ser feito de madeira ou 
de alumínio. O edifício acabado costuma apresentar também paredes externas e internas, mas 
elas não são estruturais e não sustentam outras cargas além de seu próprio peso.
Em uma estrutura sem pórtico, as paredes sustentam cargas e costumam ser feitas de alvena-
ria, mas também podem ser feitas de concreto armado.
Exemplo 21.1
Imagine o seguinte cenário:
Dependendo de sua especialização, você chefia ou um escritório de arquitetura ou uma agên-
cia de consultoria em engenharia. Um dos seus clientes, uma incorporadora, propõe construir 
um edifício comercial em um local específico. As dimensões do prédio planejado ainda precisam 
ser concluídas, mas sabe-se que ele terá dois pavimentos, com área total de 60 m × 20 m. Depois 
de completado, o prédio será alugado ou para uma única empresa ou, com as subdivisões apro-
priadas, para inúmeras empresas inquilinas de menor porte.
Na primeira reunião com a equipe responsável pelo projeto, o cliente pede seu conselho so-
bre a necessidade de ter ou não um pórtico estrutural. Escreva sua resposta, apresentando justi-
ficativas completas para sua escolha.
Após refletir sobre isso, sua resposta provavelmente seria de que uma estrutura com pórtico 
é a opção apropriada, pelos seguintes motivos:
• Está claro que o uso do prédio não foi rigidamente definido. Trata-se de um edifício de escri-
tórios, mas pode ser ocupado por várias empresas, e as empresas inquilinas podem crescer (e 
consequentemente precisar de mais espaço) ou encolher (exigindo menos espaço). Empresas 
inquilinas podem ir e vir com o passar do tempo. Sendo assim, o espaço disponível deve ser o 
mais flexível possível, a fim de acomodar as necessidades variáveis dos inquilinos. O melhor 
é que tal f lexibilidade não seja tolhida pela presença de paredes internas de sustentação de 
carga (paredes estruturais).
• A ausência de paredes estruturais implica que haverá mais área útil. Embora esse aumento 
em área útil acabe sendo relativamente pequeno, será uma boa notícia para a incorporadora 
cliente, que estará ávida para espremer o máximo possível de metros quadrados locáveis 
dentro do prédio.
• Se não houver paredes estruturais – que seriam feitas de concreto ou de alvenaria e, portan-
to, relativamente pesadas – o edifício como um todo será mais leve. Essa leveza relativa im-
plicaria na atuação de cargas menores sobre as fundações, o que, por sua vez, significaria que 
as fundações poderiam ser menos substanciais e, portanto, mais baratas. Seu cliente ficaria 
encantado com qualquer economia de custos que você pudesse lhe oferecer.
• Estruturas com pórtico de aço ou de concreto armado podem ser erigidas em bem menos 
tempo que estruturas com cargas sustentadas por alvenaria. Isso novamente agradará seu 
cliente, que preferirá ver a estrutura concluída (e, assim, faturando com locações) o mais 
cedo possível – de preferência para ontem.
No entanto, como ocorre com a maioria dos projetos no “mundo real”, as coisas não avançam 
assim, sem sobressaltos, e ocorre uma virada nesse enredo:
Na segunda reunião com a equipe responsável pelo projeto, o seu cliente se mostra temeroso 
pela possível chegada de uma recessão que causará uma diminuição drástica na demanda por 
ocupação de escritórios. Ele vislumbra, porém, uma demanda crescente por acomodações hote-
leiras de qualidade e, por isso, acabou substituindo o projeto do edifício de escritórios pelo pro-
jeto de um hotel no mesmo local, o qual, quando concluído, será vendido para a rede hoteleira 
Dream Easy Inn. Devido a restrições de planejamento, a altura e as dimensões gerais do prédio 
continuarão as mesmas que antes.
Capítulo 21 • Materiais estruturais: concreto, aço, madeira e alvenaria 227
Seu cliente lhe pergunta