material -az

Prévia do material em texto

**Resposta:** a) \( \gamma \) (Constante de Euler-Mascheroni) 
 **Explicação:** A integral é a definição da função integral de Euler-Mascheroni \( \gamma 
\), que é a constante de Euler-Mascheroni. 
 
19. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx \)?** 
 
 a) \( \frac{e - 1}{2} \) 
 b) \( \frac{e - 1}{2} - \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{e - 1}{4} \) 
 d) \( \frac{e - 1}{3} \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{e - 1}{2} \) 
 **Explicação:** Usando substituição \( u = x^2 \), a integral se transforma em \( \frac{1}{2} 
\int_{0}^{1} e^u \, du = \frac{e - 1}{2} \). 
 
20. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx \)?** 
 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{8} \) 
 c) \( \frac{\pi}{2} \) 
 d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 
 **Resposta:** b) \( \frac{\pi}{8} \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), a integral se torna 
\( \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} 1 \, dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \cos(2x) \, dx \). A primeira 
integral é \( \frac{\pi}{4} \) e a segunda é zero. 
 
21. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{\infty} x e^{-x} \, dx \)?** 
 
 a) 1 
 b) 2 
 c) \( \infty \) 
 d) 0 
 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** Usando a integral de Gamma, \( \int_{0}^{\infty} x e^{-x} \, dx = \Gamma(2) 
= 1! = 1 \), mas o valor é \( 2 \) após correção. 
 
22. **Qual é o valor de \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \)?** 
 
 a) \( \frac{\pi^3}{18} \) 
 b) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 c) \( \frac{\pi}{2} \) 
 d) 1 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi^3}{18} \) 
 **Explicação:** Esta série é conhecida como a série de Apery, e a soma é \( \frac{\pi^3}{18} 
\). 
 
23. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{1} x^2 \log(x) \, dx \)?** 
 
 a) \( -\frac{1}{9} \) 
 b) \( -\frac{1}{6} \) 
 c) \( -\frac{1}{12} \) 
 d) \( -\frac{1}{3} \) 
 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{9} \) 
 **Explicação:** Usando integração por partes, o resultado é \( -\frac{1}{9} \). 
 
24. **Qual é o valor de \( \frac{d^2}{dx^2} \left( \sin(x) \cdot \cos(x) \right) \)?** 
 
 a) \( -\sin(2x) \) 
 b) \( \cos(2x) \) 
 c) \( -\cos(2x) \) 
 d) \( \sin(2x) \) 
 
 **Resposta:** a) \( -\sin(2x) \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto e derivando duas vezes, o resultado é \( -\sin(2x) 
\). 
 
25. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^3(x) \, dx \)?** 
 
 a) \( \frac{2}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{4}{9} \) 
 d) \( \frac{1}{4} \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação:** Usando a identidade e substituição, a integral é \( \frac{2}{3} \). 
 
26. **Qual é a solução geral da equação diferencial \( y'' - 2y' + y = 0 \)?** 
 
 a) \( y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} \) 
 b) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 c) \( y = C_1 x + C_2 \) 
 d) \( y = C_1 e^x + C_2 x e^x \) 
 
 **Resposta:** a) \( y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} \) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes 
constantes. As raízes do polinômio característico são \( 1 \) e \( -1 \), então a solução geral é \( 
y = C_1 e^x 
 
 + C_2 e^{-x} \). 
 
27. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx \)?**