calculo 2 AS

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d) 1 
 **Resposta:** a) -1 
 **Explicação:** Usando a integração por partes com \( u = \ln(x) \) e \( dv = dx \), obtemos \( 
\int_{0}^{1} \ln(x) \, dx = -1 \). 
 
20. **Qual é a solução geral da equação diferencial \( y' + 3y = e^{-x} \)?** 
 a) \( C e^{-3x} - \frac{1}{4} e^{-x} \) 
 b) \( C e^{-3x} + \frac{1}{4} e^{-x} \) 
 c) \( C e^{-3x} - \frac{1}{2} e^{-x} \) 
 d) \( C e^{-3x} + \frac{1}{2} e^{-x} \) 
 **Resposta:** a) \( C e^{-3x} - \frac{1}{4} e^{-x} \) 
 **Explicação:** A solução da equação diferencial é encontrada usando o método de 
variação de parâmetros ou o método dos coeficientes indeterminados. 
 
21. **Qual é o valor da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** Esta é uma série geométrica com razão \( \frac{1}{2} \) e o valor da soma é 
\( \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 1 \). 
 
22. **Qual é o valor da integral \( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \sqrt{\pi} \) 
 b) \( \pi \) 
 c) \( \sqrt{\pi}/2 \) 
 d) \( \pi/2 \) 
 **Resposta:** a) \( \sqrt{\pi} \) 
 **Explicação:** Usando a integral gaussiana, a integral \( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx 
\) é \( \sqrt{\pi} \), então a integral desde 0 até \( \infty \) é \( \sqrt{\pi}/2 \). 
 
23. **Determine o valor de \( \frac{d^2}{dx^2} \left( \sin(x^2) \right) \).** 
 a) \( 2x \cos(x^2) - 4x^3 \sin(x^2) \) 
 b) \( 2x \cos(x^2) - 2x^3 \sin(x^2) \) 
 c) \( 2x \cos(x^2) + 2x^3 \sin(x^2) \) 
 d) \( 2x \cos(x^2) + 4x^3 \sin(x^2) \) 
 **Resposta:** a) \( 2x \cos(x^2) - 4x^3 \sin(x^2) \) 
 **Explicação:** A primeira derivada é \( 2x \cos(x^2) \). A segunda derivada é \( 2x \cos(x^2) 
- 4x^3 \sin(x^2) \). 
 
24. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) \( \frac{\pi}{6} \) 
 d) \( \frac{\pi}{8} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 ** 
 
Explicação:** A integral é \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(x) \big|_0^1 = 
\frac{\pi}{4} \). 
 
25. **Qual é a solução da equação \( x^2 - 4x + 4 = 0 \)?** 
 a) \( x = 2 \) 
 b) \( x = 4 \) 
 c) \( x = 1 \) 
 d) \( x = 0 \) 
 **Resposta:** a) \( x = 2 \) 
 **Explicação:** A equação é um quadrado perfeito \( (x - 2)^2 = 0 \), então a solução é \( x = 
2 \). 
 
26. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) -1 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** O limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}\) é 0 porque \( \ln(x) \) cresce 
mais lentamente que \( x \). 
 
27. **Determine o valor da integral \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx \).** 
 a) \( \pi/2 \) 
 b) \( \pi \) 
 c) \( \pi/4 \) 
 d) \( \pi/6 \) 
 **Resposta:** a) \( \pi/2 \) 
 **Explicação:** A integral é \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \). 
 
28. **Qual é o valor da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \)?** 
 a) \( \zeta(3) \) 
 b) \( \pi^3/6 \) 
 c) \( \pi^3/4 \) 
 d) \( \pi^3/3 \) 
 **Resposta:** a) \( \zeta(3) \) 
 **Explicação:** A soma desta série é conhecida como a constante de Apéry, \( \zeta(3) \), 
onde \( \zeta(s) \) é a função zeta de Riemann. 
 
29. **Qual é o valor da integral \( \int_{0}^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx \)?** 
 a) \( \pi/4 \) 
 b) \( \pi/2 \) 
 c) \( \pi/6 \) 
 d) \( \pi/8 \) 
 **Resposta:** a) \( \pi/4 \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \), a integral é \( 
\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} (1 + \cos(2x)) \, dx = \pi/4 \).