aprendendo matematica -D

Prévia do material em texto

**Explicação:** A soma das raízes de uma equação quadrática \(ax^2 + bx + c = 0\) é dada 
por \(-b/a\). Aqui, \(-(-4)/1 = 4\). 
 
16. **Qual é a transformação de Laplace de \(t^n\)?** 
 A) \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) 
 B) \(\frac{n!}{s^n}\) 
 C) \(\frac{n!}{s^{n}}\) 
 D) \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) 
 **Explicação:** A transformação de Laplace de \(t^n\) é \(\frac{n!}{s^{n+1}}\). 
 
17. **Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\)?** 
 A) \(\sqrt{\pi}\) 
 B) \(\frac{\pi}{2}\) 
 C) \(\sqrt{2\pi}\) 
 D) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Resposta:** A) \(\sqrt{\pi}\) 
 **Explicação:** A integral é uma forma conhecida da função gama e resulta em 
\(\sqrt{\pi}\). 
 
18. **Qual é o valor de \(\cosh(0)\)?** 
 A) \(0\) 
 B) \(1\) 
 C) \(-1\) 
 D) \(e\) 
 **Resposta:** B) \(1\) 
 **Explicação:** \(\cosh(0) = \frac{e^0 + e^0}{2} = 1\). 
 
19. **Qual é a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx\)?** 
 A) \(\frac{\pi}{2}\) 
 B) \(\pi\) 
 C) \(\frac{\pi}{4}\) 
 D) \(1\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Explicação:** Esta integral é a integral de \(\arctan(x)\) e seu valor é \(\frac{\pi}{2}\). 
 
20. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{2\pi} \sin(x) \, dx \)?** 
 A) \(0\) 
 B) \(2\pi\) 
 C) \(\pi\) 
 D) \(4\pi\) 
 **Resposta:** A) \(0\) 
 **Explicação:** A integral de \(\sin(x)\) sobre um período completo é zero porque \(\sin(x)\) 
é uma função ímpar e simétrica. 
 
21. **Qual é a fórmula do produto escalar de dois vetores \(\mathbf{a}\) e \(\mathbf{b}\) no 
espaço tridimensional?** 
 A) \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos(\theta)\) 
 B) \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \sin(\theta)\) 
 C) \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|\) 
 D) \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2\) 
 **Resposta:** A) \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| 
\cos(\theta)\) 
 **Explicação:** O produto escalar é dado por \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 
\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos(\theta)\), onde \(\theta\) é o ângulo entre \(\mathbf{a}\) 
e \(\mathbf{b}\). 
 
22. **Qual é o valor de \(\int_{0}^{1} x^n \, dx\) para \(n \neq -1\)?** 
 A) \(\frac{1}{n+1}\) 
 B) \(\frac{1}{n}\) 
 C) \(1\) 
 D) \(\frac{1}{n-1}\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{1}{n+1}\) 
 **Explicação:** A integral \(\int_{0}^{1} x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \bigg|_{0}^{1} = 
\frac{1}{n+1}\). 
 
23. **Qual é o valor de \(\int e^{x^2} \, dx\)?** 
 A) Não pode ser expressa em termos de funções elementares 
 B) \(\frac{e^{x^2}}{2}\) 
 C) \(e^{x^2}\) 
 D) \(\frac{e^{x^2}}{x}\) 
 **Resposta:** A) Não pode ser expressa em termos de funções elementares 
 **Explicação:** A integral de \(e^{x^2}\) não pode ser expressa em termos de funções 
elementares. 
 
24. **Qual é o valor de \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\)?** 
 A) \(\sqrt{\pi}\) 
 B) \(\frac{\pi}{2}\) 
 C) \(\sqrt{2\pi}\) 
 D) \(\pi\) 
 **Resposta:** A) \(\sqrt{\pi}\) 
 **Explicação:** A integral \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\) é conhecida e seu valor é 
\(\sqrt{\pi}\). 
 
25. **Qual é a fórmula para a área de um círculo?** 
 A) \(\pi r^2\) 
 B) \(2 \pi r\) 
 C) \(\pi d\) 
 D) \(2 r^2\) 
 **Resposta:** A) \(\pi r^2\) 
 **Explicação:** A fórmula para a área de um círculo é \(\pi r^2\), onde \(r\) é o raio. 
 
26. **Qual é o valor da soma das raízes da equação \(x^2 - 6x + 9 = 0\)?** 
 A) \(6\) 
 B) \(9\) 
 C) \(3\) 
 D) \(0\)