prova bf

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10. **Problema**: Encontre a solução da equação \(x^2 - 4x + 4 = 0\). 
 **Resposta**: \(x = 2\). 
 **Explicação**: A equação é um quadrado perfeito \((x-2)^2 = 0\). Portanto, a solução é \(x 
= 2\). 
 
11. **Problema**: Determine a integral de \(\int e^{x^2} \, dx\). 
 **Resposta**: A integral \(\int e^{x^2} \, dx\) não pode ser expressa em termos de funções 
elementares. 
 **Explicação**: A integral de \(e^{x^2}\) é conhecida por não ter uma antiderivada 
expressável com funções elementares. 
 
12. **Problema**: Calcule a soma dos quadrados dos primeiros \(n\) inteiros positivos. 
 **Resposta**: \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\). 
 **Explicação**: A fórmula para a soma dos quadrados dos primeiros \(n\) inteiros é derivada 
da série \(\sum_{k=1}^{n} k^2\). 
 
13. **Problema**: Resolva a integral \(\int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta**: 1. 
 **Explicação**: A integral de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x)\). Assim, \(\int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \, dx = 
-\cos(x) \bigg|_{0}^{\pi/2} = -\cos(\pi/2) + \cos(0) = 1\). 
 
14. **Problema**: Qual é o valor de \(\log_2 32\)? 
 **Resposta**: 5. 
 **Explicação**: \(32 = 2^5\), então \(\log_2 32 = 5\). 
 
15. **Problema**: Determine a integral de \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\arctan(x) + C\), onde \(C\) é a constante de integração. 
 **Explicação**: A integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\) é \(\arctan(x) + C\). 
 
16. **Problema**: Encontre a matriz inversa de \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{pmatrix}\). 
 **Resposta**: \(\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\). 
 **Explicação**: A matriz inversa de \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) é dada 
por \(\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\). Para a matriz dada, o 
determinante é -2. 
 
17. **Problema**: Resolva a equação \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0\). 
 **Resposta**: \(x = -1\) (tripla raiz). 
 **Explicação**: A equação pode ser fatorada como \((x + 1)^3 = 0\), então a única raiz é \(x 
= -1\). 
 
18. **Problema**: Qual é o valor de \(\sum_{k=1}^{\infty} 
 
 \frac{1}{k^2}\)? 
 **Resposta**: \(\frac{\pi^2}{6}\). 
 **Explicação**: Esta é a famosa série de Basileia, cuja soma é \(\frac{\pi^2}{6}\). 
 
19. **Problema**: Resolva a integral \(\int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{e - 1}{2}\). 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = x^2\), temos \(\int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx = 
\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^u \, du\), que resulta em \(\frac{e - 1}{2}\). 
 
20. **Problema**: Determine o valor de \(\int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação**: Usando a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), a integral torna-se 
\(\int_{0}^{\pi} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{2}\). 
 
21. **Problema**: Qual é o valor de \(\frac{d}{dx} \left( \ln(\sin(x)) \right)\)? 
 **Resposta**: \(\cot(x)\). 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, \(\frac{d}{dx} \left( \ln(\sin(x)) \right) = 
\frac{1}{\sin(x)} \cdot \cos(x) = \cot(x)\). 
 
22. **Problema**: Encontre a solução da equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0\). 
 **Resposta**: \(y = A \cos(x) + B \sin(x)\), onde \(A\) e \(B\) são constantes.