soma aj

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**Resposta:** \( x = \frac{\pi}{4} \), \( x = \frac{3\pi}{4} \) 
 **Explicação:** \( \sin^2(x) = \frac{1}{2} \) implica \( \sin(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \). No 
intervalo \( [0, \pi] \), os valores são \( x = \frac{\pi}{4} \) e \( x = \frac{3\pi}{4} \). 
 
99. **Problema:** Determine a integral de \( \int e^{x} \cos(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{e^x (\cos(x) + \sin(x))}{2} + C \) 
 **Explicação:** Use integração por partes duas vezes. O resultado é \( \frac{e^x (\cos(x) + 
\sin(x))}{2} + C \). 
 
100. **Problema:** Calcule a soma dos primeiros 6 termos da progressão aritmética onde \( 
a_1 = 2 \) e \( d = 3 \). 
 **Resposta:** 90 
 **Explicação:** A fórmula para a soma dos primeiros \( n \) termos é \( S_n = \frac{n}{2} 
[2a_1 + (n - 1)d] \). Aqui, \( S_{6} = \frac{6}{2} [2 \cdot 2 + 5 \cdot 3] = 3 \cdot (4 + 15) = 90 \). 
Entendido! Vou começar a gerar os problemas. Por favor, aguarde um momento enquanto 
preparo as questões. 
 
1. **Calcule a integral indefinida** \(\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx\). 
 Resposta: \(x^3 - x^2 + x + C\). 
 Explicação: Integre termo a termo. 
 
2. **Determine o limite** \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\). 
 Resposta: 1. 
 Explicação: Limite fundamental da trigonometria. 
 
3. **Resolva a equação diferencial** \(\frac{dy}{dx} = 3x^2\). 
 Resposta: \(y = x^3 + C\). 
 Explicação: Integre a função derivada. 
 
4. **Calcule o determinante da matriz** \(\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\). 
 Resposta: -2. 
 Explicação: Determinante é \( (1 \cdot 4 - 2 \cdot 3) \). 
 
5. **Encontre os autovalores da matriz** \(\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}\). 
 Resposta: 3 e 1. 
 Explicação: Resolva \(\text{det}(A - \lambda I) = 0\). 
 
6. **Calcule a série de Taylor para** \(e^x\) ao redor de \(x = 0\). 
 Resposta: \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\). 
 Explicação: Expansão de \(e^x\) em torno de \(x = 0\). 
 
7. **Determine o valor da integral** \(\int_0^1 x e^x \, dx\). 
 Resposta: \(e - 2\). 
 Explicação: Use a integração por partes. 
 
8. **Calcule o limite** \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - x + 1}\). 
 Resposta: 1. 
 Explicação: Compare os termos de maior grau. 
 
9. **Encontre a solução da equação diferencial** \(\frac{d^2y}{dx^2} - 4y = 0\). 
 Resposta: \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\). 
 Explicação: Solução da equação diferencial homogênea. 
 
10. **Calcule a integral definida** \(\int_0^{\pi} \sin(x) \, dx\). 
 Resposta: 2. 
 Explicação: Integre a função \(\sin(x)\) no intervalo dado. 
 
11. **Determine o valor de \(\int_{0}^{\pi} x \sin(x) \, dx\).** 
 Resposta: \(\pi\). 
 Explicação: Use integração por partes. 
 
12. **Encontre o intervalo de convergência da série** \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}\). 
 Resposta: \(|x| < 1\). 
 Explicação: Teste de Raabe ou Raabe-Lebesgue.