Limites no infinito

Prévia do material em texto

LIMITES NO INFINITO 
Vamos analisar o comportamento de uma função à medida que os valores 
assumidos pela variável livre tornam-se cada vez maiores (para que isso seja 
possível deve estar definida em um intervalo do tipo para algum . 
Começamos com um exemplo: 
Considere a função racional 
 
 
, definida para todo número real exceto 
 (logo pode assumir valores tão grandes quanto quisermos). 
Construindo uma tabela para , observamos que para valores cada vez maiores 
de obtemos como resultados valores de cada vez mais próximos de 3. 
 
 
 
 
 
1 -0,25 
10 1,470588 
100 2,757009 
1000 2,974181 
10000 2,997402 
100000 2,99974 
1000000 2,999974 
 
Observando o gráfico, temos a impressão de que é 
possível encontrar valores para tão próximos de 3 
quanto quisermos, bastando para isso tomarmos 
valores de suficientemente grandes. 
 
Formalmente: 
Seja uma função definida em algum intervalo . Escrevemos 
 (e lemos “o limite de quando tende para infinito é ”) se os 
valores de tornam-se arbitrariamente próximos de quando tomamos 
suficientemente grande1. 
 
Perceba que este limite nos fornece informação a respeito da “extremidade direita” 
do gráfico da função. 
Voltando ao nosso exemplo podemos observar que “em sua extremidade direita” o 
gráfico de 
 
 
 aproxima-se da reta de equação , chamada de assíntota 
horizontal. 
Analisando algebricamente temos 
 
 
 
 
 
Quando cresce, tanto o numerador quanto o denominador crescem. Você poderia 
pensar em uma expressão da forma 
 
 
, e concluir de forma equivocada, que o 
resultado deveria ser 1. 
Ocorre que 
 
 
 é uma forma indeterminada (assim como 
 
 
, que já estudamos), e que 
para determinar sua resposta será necessária alguma manipulação algébrica. 
De fato, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma vez que 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
1
 É importante lembrar que o símbolo não representa um número. 
De maneira análoga analisaremos o comportamento da função à medida que os 
valores assumidos pela variável livre tornam-se cada vez menores (para que isso 
seja possível deve estar definida em um intervalo do tipo para algum 
 . 
Construindo uma nova tabela para , observamos novamente que para valores 
cada vez menores de obtemos como resultados valores de cada vez mais 
próximos de 3. 
 
 
 
 
 
-1 
-1,33333 
-10 11,66667 
-100 3,27957 
-1000 3,026183 
-10000 3,002602 
-100000 3,00026 
-1000000 3,000026 
 
Observando o gráfico, temos a impressão de que é 
possível encontrar valores para tão próximos de 3 
quanto quisermos, bastando para isso tomarmos 
valores de suficientemente pequenos. 
 
 
 
 
 
 
Formalmente: 
Seja uma função definida em algum intervalo . Escrevemos 
 (e lemos “o limite de quando tende para menos infinito é 
 ”) se os valores de tornam-se arbitrariamente próximos de quando 
tomamos suficientemente pequeno2. 
 
Perceba que este limite nos fornece informação a respeito da “extremidade 
esquerda” do gráfico da função. 
Algebricamente temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma vez que 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
Dizemos que uma reta de equação é uma assíntota horizontal ao gráfico de 
uma função se ou . 
 
Desta forma, o gráfico de uma função pode ter, no máximo, duas 
assíntotas horizontais distintas. Isso ocorre quando e 
 , com . 
 
 
 
 
2
 Vale a pena lembrar que o símbolo também não representa um número. 
Exemplo: Encontre as assíntotas horizontais do gráfico de 
 
√ 
. 
Para isso teremos que calcular separadamente os limites 
 
 
√ 
 e 
 
√ 
 
Observe que novamente temos indeterminações do tipo 
 
 
. 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
Como √ temos 
 
 
 
√ 
 
 
 ( 
 
 )
 √( 
 
 )
 
Como , podemos afirmar que a partir de certo ponto . Logo e o 
limite torna-se 
 
 
 ( 
 
 )
 √( 
 
 )
 
 
( 
 
 )
√( 
 
 )
 
 
√ 
 
 
 
 
Logo a reta de equação 
 
 
 é uma assíntota horizontal para o gráfico de . 
Quando , podemos afirmar que a partir de certo ponto . Logo 
e o limite torna-se 
 
 
 ( 
 
 )
 √( 
 
 )
 
 
( 
 
 )
 √( 
 
 )
 
 
√ 
 
 
 
 
Logo a reta de equação 
 
 
 também é uma assíntota 
horizontal para o gráfico de , esboçado ao lado. 
 
É possível também que ou não exista. Neste caso, o 
gráfico da função não possui assíntota horizontal. 
Exemplos: 
 
 
 O limite √ nos leva a outra forma indeterminada, . Para 
resolvê-lo vamos usar manipulação algébrica (que não altere o resultado, claro). 
 
 
 √ 
 
 √ 
 √ 
 √ 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 √ 
 
 
 O limite novamente nos leva à forma indeterminada do 
tipo . Vamos reescrevê-lo: 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 e não existem. O gráfico de não 
possui assíntota horizontal.