calculo ensino medio aw

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82. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x^2}\) com a 
condição inicial \(y(1) = 1\). 
 **Resposta:** \(y(x) = \frac{x}{\ln(x) + C}\), onde \(C = 0\). 
 **Explicação:** Use separação de variáveis para encontrar a solução. 
 
83. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{2} \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)\). 
 **Explicação:** Use a substituição para resolver a integral. 
 
84. **Problema:** Determine o valor de \(\int_0^1 x^2 \ln(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{1}{9}\). 
 **Explicação:** Use integração por partes para resolver a integral. 
 
85. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(y'' + 2y' + y = 0\). 
 **Resposta:** \(y(x) = 
 
 (C_1 + C_2 x)e^{-x}\). 
 **Explicação:** Use o método dos coeficientes característicos. 
 
86. **Problema:** Encontre a transformada de Laplace de \(t e^{3t}\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{(s - 3)^2}\). 
 **Explicação:** Use a fórmula para a transformada de Laplace de \(t e^{at}\). 
 
87. **Problema:** Calcule o valor da integral \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\). 
 **Explicação:** Use a identidade trigonométrica para simplificar a integral. 
 
88. **Problema:** Resolva a equação \(x^3 - 2x + 1 = 0\). 
 **Resposta:** \(x = 1\), \(x \approx -0.5 \pm 0.866i\). 
 **Explicação:** Use métodos numéricos ou a fórmula de Cardano para encontrar as raízes. 
 
89. **Problema:** Determine a soma \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)}\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2}\). 
 **Explicação:** Use decomposição em frações parciais para simplificar a soma. 
 
90. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\). 
 **Explicação:** Esta é a integral da função arco tangente. 
 
91. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(y'' - 4y = 0\). 
 **Resposta:** \(y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\). 
 **Explicação:** Use o método dos coeficientes característicos. 
 
92. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_0^1 \frac{x^2}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2} - \ln(2)\). 
 **Explicação:** Use a substituição para resolver a integral. 
 
93. **Problema:** Resolva a equação \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\). 
 **Resposta:** \(x = \pm 1\), \(x = \pm 2\). 
 **Explicação:** Faça uma substituição \(u = x^2\) e resolva a equação quadrática. 
 
94. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\pi} \sin^3(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{4}{3}\). 
 **Explicação:** Use identidades trigonométricas para simplificar a integral. 
 
95. **Problema:** Encontre a transformada de Laplace de \(t^2 e^{-2t}\). 
 **Resposta:** \(\frac{2}{(s + 2)^3}\). 
 **Explicação:** Use a fórmula para a transformada de Laplace de \(t^n e^{-at}\). 
 
96. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(y' = x y^2\) com a condição inicial \(y(0) = 
1\). 
 **Resposta:** \(y(x) = \frac{1}{1 - x}\).