exercicio bh

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**Resposta:** \( \frac{4}{3} \). 
 **Explicação:** Use a identidade \( \cos^3(x) = \cos(x) (1 - \sin^2(x)) \) e a substituição para 
resolver a integral. 
 
33. **Problema:** Calcule o valor de \( \int_0^\pi x \sin(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \pi \). 
 **Explicação:** Use a integração por partes para resolver a integral. Seja \( u = x \) e \( dv = 
\sin(x) dx \). 
 
34. **Problema:** Determine a transformada de Laplace de \( \ 
 
sin(2t) \). 
 **Resposta:** \( \frac{2}{s^2 + 4} \). 
 **Explicação:** A fórmula para a transformada de Laplace de \( \sin(at) \) é \( \frac{a}{s^2 + 
a^2} \). Aqui, \( a = 2 \). 
 
35. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' + y = 0 \) com condições iniciais \( y(0) = 
1 \) e \( y'(0) = 0 \). 
 **Resposta:** \( y(t) = \cos(t) \). 
 **Explicação:** A equação diferencial é uma EDO homogênea com coeficientes constantes. 
A equação característica é \( r^2 + 1 = 0 \), com raízes \( r = \pm i \). A solução geral é \( y(t) = 
C_1 \cos(t) + C_2 \sin(t) \). Usando as condições iniciais, \( C_1 = 1 \) e \( C_2 = 0 \). 
 
36. **Problema:** Encontre a integral \( \int e^{x} \cos(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{e^{x}( \cos(x) + \sin(x))}{2} + C \). 
 **Explicação:** Use a técnica de integração por partes duas vezes. 
 
37. **Problema:** Calcule o valor de \( \int_0^1 x e^x \, dx \). 
 **Resposta:** \( e - 2 \). 
 **Explicação:** Use a integração por partes para resolver a integral. 
 
38. **Problema:** Determine a integral \( \int_0^1 \frac{dx}{x^2 + 2x + 2} \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{4} e^{-1} \). 
 **Explicação:** Complete o quadrado no denominador e use a fórmula da integral da 
função racional. 
 
39. **Problema:** Resolva o sistema de equações \( x + 2y + 3z = 9 \), \( 2x + 4y + 6z = 18 \), e 
\( 3x + 6y + 9z = 27 \). 
 **Resposta:** Sistema indeterminado (inúmeras soluções). 
 **Explicação:** As equações são linearmente dependentes, resultando em um sistema com 
infinitas soluções. 
 
40. **Problema:** Determine a integral \( \int e^{x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** Não existe uma solução elementar. 
 **Explicação:** A integral \( \int e^{x^2} \, dx \) não pode ser expressa em termos de 
funções elementares. 
 
41. **Problema:** Encontre a inversa da matriz \( \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} 
\). 
 **Resposta:** \( \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \). 
 **Explicação:** Use a fórmula da inversa de uma matriz \( A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} 
\text{adj}(A) \), onde \( \text{det}(A) = -1 \). 
 
42. **Problema:** Resolva a equação \( x^2 + 4x + 5 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = -2 \pm i \). 
 **Explicação:** A equação é uma equação quadrática com discriminante negativo. As raízes 
são \( x = -2 \pm i \). 
 
43. **Problema:** Calcule o valor de \( \int_0^1 \sqrt{1 - x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação:** A integral representa a área de um quarto de círculo de raio 1. 
 
44. **Problema:** Encontre a matriz \( B \) tal que \( A B = I \), onde \( A = \begin{pmatrix} 1 & 
1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \). 
 **Resposta:** \( B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \). 
 **Explicação:** A matriz \( B \) é a inversa de \( A \), que pode ser calculada usando a 
fórmula da inversa.