exercicios ax

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**Explicação:** Use integração por partes. 
 
59. **Problema:** Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^a}\) para \(a > 0\). 
 **Resposta:** 0. 
 **Explicação:** O termo \(x^a\) cresce mais rapidamente que \(\ln(x)\). 
 
60. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{x^3}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2} x^2 - \ln|x^2 + 1| + C\). 
 **Explicação:** Use divisão polinomial e substituição. 
 
61. **Problema:** Determine a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\). 
 **Explicação:** Use a regra do quociente. 
 
62. **Problema:** Calcule a integral \(\int e^{2x} \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{e^{2x}(2 \sin(x) - \cos(x))}{5} + C\). 
 **Explicação:** Use integração por partes duas vezes. 
 
63. **Problema:** Encontre o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\). 
 **Resposta:** 2. 
 **Explicação:** Fatorize o numerador e simplifique. 
 
64. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 2}\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{x + 1}{\sqrt{2}} \right) + C\). 
 **Explicação:** Complete o quadrado no denominador e use substituição trigonométrica. 
 
65. **Problema:** Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(\sin(x))\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = \cot(x)\). 
 **Explicação:** Use a regra da cadeia e a derivada do logaritmo. 
 
66. **Problema:** Encontre a integral \(\int e^{-x} \cos(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{e^{-x} (\cos(x) + \sin(x))}{2} + C\). 
 **Explicação:** Use integração por partes duas vezes. 
 
67. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^a}{e^x}\) para \(a > 0\). 
 **Resposta:** 0. 
 **Explicação:** O termo exponencial \(e^x\) cresce mais rápido que \(x^a\). 
 
68. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{x}{(x^2 + 1)^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C\). 
 **Explicação:** Use substituição \(u = x^2 + 1\). 
 
69. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 2}\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}\). 
 **Explicação:** Use a regra da cadeia. 
 
70. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos(x)}{x^2}\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2}\). 
 **Explicação:** Use a expansão em série de Taylor para \(e^x\) e \(\cos(x)\). 
 
71. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{e^{-x^2}}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** Não existe uma antiderivada expressável em termos de funções elementares. 
 **Explicação:** Esta integral não pode ser expressa em termos de funções elementares. 
 
72. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{\arctan(x)}{x}\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = \frac{1 - x \cdot \frac{1}{1+x^2}}{x^2}\). 
 **Explicação:** Use a regra do quociente e a derivada da função arctangente. 
 
73. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(x)}{x}\). 
 **Resposta:** 0. 
 **Explicação:** O termo \(x\) cresce mais rapidamente que \(\sin(x)\).