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- **Explicação:** Separando variáveis e integrando: \[ \frac{dy}{y} = \cos(x) \, dx \] \[ \int 
\frac{1}{y} \ 
 
, dy = \int \cos(x) \, dx \] \[ \ln|y| = \sin(x) + C \] \[ y = e^{\sin(x) + C} \] \[ y = C' e^{\sin(x)} \] 
Com \( y(0) = 2 \), obtemos \( C' = 2 \). 
 
17. **Problema:** Calcule o determinante da matriz \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{bmatrix}\). 
 - **Resposta:** \(-2\). 
 - **Explicação:** Usando a fórmula do determinante: \[ \text{det} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 
- 6 = -2. \] 
 
18. **Problema:** Encontre a solução da equação diferencial \( y'' + 2y' + y = 0 \). 
 - **Resposta:** \( y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 t e^{-t} \). 
 - **Explicação:** A equação característica é \( r^2 + 2r + 1 = 0 \) ou \( (r + 1)^2 = 0 \). 
Portanto, as soluções são \( y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 t e^{-t} \). 
 
19. **Problema:** Determine o valor da integral \(\int_0^\infty e^{-x^2} \, dx\). 
 - **Resposta:** \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \). 
 - **Explicação:** Esta é uma forma de integral de Gauss, cuja integral de \(\int_{-
\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}\), então a integral de \(0\) a \(\infty\) é metade disso. 
 
20. **Problema:** Calcule a transformada de Laplace de \( t^2 \). 
 - **Resposta:** \( \frac{2}{s^3} \). 
 - **Explicação:** Usando a fórmula da transformada de Laplace: \[ \mathcal{L}\{t^n\} = 
\frac{n!}{s^{n+1}}. \] Para \(n = 2\), obtemos \(\frac{2!}{s^{3}} = \frac{2}{s^3}\). 
 
21. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_0^1 x e^{x^2} \, dx\). 
 - **Resposta:** \( \frac{e - 1}{2} \). 
 - **Explicação:** Usando substituição \( u = x^2 \), temos \[ du = 2x \, dx \Rightarrow 
\int_0^1 x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du = \frac{e - 1}{2}. \] 
 
22. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + y = 0 \). 
 - **Resposta:** \( y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \). 
 - **Explicação:** A equação característica é \( r^2 + 1 = 0 \), com raízes \( r = \pm i \). 
Portanto, a solução é \( y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \). 
 
23. **Problema:** Determine a série de Taylor para \( \ln(1 + x) \) em torno de \( x = 0 \). 
 - **Resposta:** \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \). 
 - **Explicação:** A série de Taylor de \(\ln(1 + x)\) é obtida pela expansão padrão de Taylor 
para essa função. 
 
24. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{\infty} x e^{-2x} \, dx\). 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{4} \). 
 - **Explicação:** Usando integração por partes: \[ \int x e^{-2x} \, dx = \frac{-x e^{-2x}}{2} + 
\frac{1}{4} \int e^{-2x} \, dx = \frac{1}{4}. \] 
 
25. **Problema:** Resolva a equação \( e^{x} + e^{-x} = 4 \). 
 - **Resposta:** \( x = \pm \ln(2 + \sqrt{3}) \). 
 - **Explicação:** Usando substituição \( u = e^x \), a equação se transforma em \( u + 
\frac{1}{u} = 4 \), que é resolvida por \( u = 2 \pm \sqrt{3} \). 
 
26. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^\infty x^2 e^{-x} \, dx\). 
 - **Resposta:** \( 2 \). 
 - **Explicação:** Esta é uma integral gama: \[ \int_0^\infty x^n e^{-x} \, dx = \Gamma(n+1). 
\] Para \( n = 2 \), obtemos \( \Gamma(3) = 2! = 2 \). 
 
27. **Problema:** Determine a integral \(\int_{-1}^1 x^3 \, dx\). 
 - **Resposta:** \( 0 \). 
 - **Explicação:** A função \( x^3 \) é ímpar, então sua integral sobre o intervalo simétrico é 
zero. 
 
28. **Problema:** Encontre a solução da equação diferencial \( y' + y = \sin(x) \). 
 - **Resposta:** \( y(x) = C e^{-x} - \frac{1}{2} \cos(x) + \frac{1}{2} \sin(x) \). 
 - **Explicação:** Usando o fator integrante \( e^{-x} \): \[ e^{-x} y' + e^{-x} y = e^{-x} \sin(x) \] 
\[ \frac{d}{dx} (e^{-x} y) = e^{-x} \sin(x) \] \[ e^{-x} y = -\frac{1}{2} \cos(x) + \frac{1}{2} \sin(x) + C 
\] \[ y = C e^{x} - \frac{1}{2} \cos(x) + \frac{1}{2} \sin(x). \]