aulas XI

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22. **Qual é a série de Taylor de \( \cos(x) \) em torno de \( x = 0 \)?** 
 - A) \( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \) 
 - B) \( 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \) 
 - C) \( \frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \cdots \) 
 - D) \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \) 
 
 **Resposta:** A) \( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \) 
 **Explicação:** A série de Taylor para \( \cos(x) \) é \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 
x^{2n}}{(2n)!} \). 
 
23. **Qual é o valor da integral \( \int_{1}^{e} \frac{dx}{x \ln(x)} \)?** 
 - A) \( \ln(\ln(e)) - \ln(\ln(1)) \) 
 - B) \( 1 \) 
 - C) \( \ln(e) \) 
 - D) \( \ln(e) - \ln(1) \) 
 
 **Resposta:** B) \( 1 \) 
 **Explicação:** Esta integral é simplificada por substituição \( u = \ln(x) \), resultando em 1. 
 
24. **Qual é o valor da integral \( \int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \cos(x) \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{1}{2} \) 
 - B) \( 1 \) 
 - C) \( \frac{\pi}{4} \) 
 - D) \( 0 \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \), a integral se torna \( 
\frac{1}{4} \) de \( \sin(2x) \), avaliada entre 0 e \( \pi/2 \), resultando em \( \frac{1}{2} \). 
 
25. **Qual é a série de Taylor de \( \ln(1 + x) \) em torno de \( x = 0 \)?** 
 - A) \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \) 
 - B) \( x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots \) 
 - C) \( \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \cdots \) 
 - D) \( 1 - x + \frac{x^2}{2} - \cdots \) 
 
 **Resposta:** A) \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \) 
 **Explicação:** A série de Taylor para \( \ln(1 + x) \) é \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 
x^n}{n} \). 
 
26. **Qual é o valor da integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{\pi}{4} \) 
 - B) \( \frac{\pi}{2} \) 
 - C) \( 1 \) 
 - D) \( \frac{\pi}{8} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \arctan(x) \) avaliada entre 0 e 1, resultando em \( 
\frac{\pi}{4} \). 
 
27. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^2 \)?** 
 - A) \( y = \frac{1}{x + C} \) 
 - B) \( y = \frac{1}{x} + C \) 
 - C) \( y = \frac{1}{C - x} \) 
 - D) \( y = \frac{C}{x} \) 
 
 **Resposta:** A) \( y = \frac{1}{x + C} \) 
 **Explicação:** Separando variáveis e integrando, obtemos \( \frac{1}{y} = x + C \), ou \( y = 
\frac{1}{x + C} \). 
 
28. **Qual é o valor da integral \( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \)?** 
 - A) \( \sqrt{\pi} \) 
 - B) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 - C) \( \frac{\pi}{2} \) 
 - D) \( \pi \) 
 
 **Resposta:** B) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 **Explicação:** Esta integral é conhecida e pode ser resolvida usando a função gama ou 
transformada de Gauss. 
 
29. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = -ky \) com a condição inicial \( 
y(0) = y_0 \)?** 
 - A) \( y = y_0 e^{-kx} \) 
 - B) \( y = y_0 e^{kx} \) 
 - C) \( y = y_0 \cos(kx) \) 
 - D) \( y = y_0 \sin(kx) \) 
 
 **Resposta:** A) \( y = y_0 e^{-kx} \) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial de decaimento exponencial, cuja solução é 
\( y = y_0 e^{-kx} \). 
 
30. **Qual é a integral de \( x^2 e^{-x} \) de \( 0 \) a \( \infty \)?** 
 - A) \( 2 \) 
 - B) \( 4 \) 
 - C) \( 6 \) 
 - D) \( 8 \) 
 
 **Resposta:** C) \( 2 \) 
 **Explicação:** Esta integral pode ser resolvida usando a função gama, especificamente \( 
\Gamma(n+1) \), onde \( n = 2 \). 
 
31. **Qual é a solução para a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + \omega^2 y = 0 \)?** 
 - A) \( y = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x) \) 
 - B) \( y = C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{-\omega x} \) 
 - C) \( y = C_1 \cosh(\omega x) + C_2 \sinh(\omega x) \) 
 - D) \( y = C_1 \cos(\omega x) - C_2 \sin(\omega x) \)