teste VII

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**Explicação:** A série de Basileia \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \). 
 
18. **Qual é a fórmula do erro local no método de Euler para resolver ODEs?** 
 a) \( O(h^2) \) 
 b) \( O(h^3) \) 
 c) \( O(h) \) 
 d) \( O(h^4) \) 
 **Resposta:** c) \( O(h) \) 
 **Explicação:** O erro local no método de Euler é proporcional a \( O(h) \), onde \( h \) é o 
tamanho do passo. 
 
19. **Qual é a fórmula para o método de interpolação polinomial de Lagrange?** 
 a) \( P(x) = \sum_{i=0}^n y_i \prod_{j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \) 
 b) \( P(x) = \sum_{i=0}^n \frac{y_i}{x - x_i} \prod_{j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \) 
 c) \( P(x) = \sum_{i=0}^n y_i \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \) 
 d) \( P(x) = \sum_{i=0}^n y_i \prod_{j = 0}^{i-1} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \) 
 **Resposta:** a) \( P(x) = \sum_{i=0}^n y_i \prod_{j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \) 
 **Explicação:** A fórmula de Lagrange para interpolação é \( P(x) = \sum_{i=0}^n y_i 
\prod_{j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \). 
 
20. **Qual é o método numérico usado para resolver equações diferenciais ordinárias de 
primeira ordem?** 
 a) Método de Gauss-Seidel 
 b) Método de Runge-Kutta 
 c) Método dos trapézios 
 d) Método de Newton-Raphson 
 **Resposta:** b) Método de Runge-Kutta 
 **Explicação:** O método de Runge-Kutta é amplamente utilizado para resolver equações 
diferenciais ordinárias de primeira ordem. 
 
21. **Qual é a equação característica para a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \)?** 
 a) \( r^2 - 4r + 4 = 0 \) 
 b) \( r^2 + 4r + 4 = 0 \) 
 c) \( r^2 - 4r - 4 = 0 \) 
 d) \( r^2 + 4r - 4 = 0 \) 
 **Resposta:** a) \( r^2 - 4r + 4 = 0 \) 
 **Explicação:** A equação característica da diferencial dada é \( r^2 - 4r + 4 = 0 \). 
 
22. **Qual é o valor de \( \int e^{3x} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{e^{3x}}{3} + C \) 
 b) \( \frac{e^{3x}}{3} \) 
 c) \( e^{3x} + C \) 
 d) \( \frac{e^{3x}}{2} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{e^{3x}}{3} + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( e^{3x} \) é \( \frac{e^{3x}}{3} + C \). 
 
23. **Qual é a solução geral da equação diferencial \( y' = ky \)?** 
 a) \( y = Ce^{kt} \) 
 b) \( y = Ce^{-kt} \) 
 c) \( y = C \ln(t) \) 
 d) \( y = C t^k \) 
 **Resposta:** a) \( y = Ce^{kt} \) 
 **Explicação:** A solução da equação diferencial \( y' = ky \) é \( y = Ce^{kt} \). 
 
24. **Qual é a fórmula para o método de Newton para encontrar raízes de funções?** 
 a) \( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \) 
 b) \( x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f(x_n)} \) 
 c) \( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f''(x_n)} \) 
 d) \( x_{n+1} = x_n - \frac{f''(x_n)}{f'(x_n)} \) 
 **Resposta:** a) \( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \) 
 **Explicação:** O método de Newton é dado pela fórmula \( x_{n+1} = x_n - 
\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \). 
 
25. **Qual é o valor da soma \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + 1} \)?** 
 a) \( \frac{\pi}{\sinh(\pi)} \) 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) \( \frac{\pi}{4} \) 
 d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi}{\sinh(\pi)} \) 
 **Explicação:** A série \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + 1} \) convergirá para \( 
\frac{\pi}{\sinh(\pi)} \). 
 
26. **Qual é a fórmula do método dos mínimos quadrados para ajustar uma linha reta?** 
 a) \( y = a + bx \) onde \( b = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum 
x_i)^2} \) e \( a = \frac{\sum y_i - b \sum x_i}{n} \) 
 b) \( y = a + bx \) onde \( b = \frac{\sum x_i y_i - n \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum 
x_i)^2} \) e \( a = \frac{n \sum y_i - b \sum x_i}{n} \) 
 c) \( y = a + bx \) onde \( b = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{\sum x_i^2} \) e \( a = 
\frac{\sum y_i - b \sum x_i}{n} \) 
 d) \( y = a + bx \) onde \( b = \frac{\sum y_i - n \sum x_i \sum x_i}{n \sum x_i^2 - (\sum 
x_i)^2} \) e \( a = \frac{n \sum y_i - b \sum x_i}{n} \) 
 **Resposta:** a) \( y = a + bx \) onde \( b = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum 
x_i^2 - (\sum x_i)^2} \) e \( a = \frac{\sum y_i - b \sum x_i}{n} \) 
 **Explicação:** A fórmula para a inclinação \( b \) e o intercepto \( a \) da linha ajustada 
pelos mínimos quadrados é fornecida acima. 
 
27. **Qual é a fórmula para o cálculo de uma integral definida usando a regra de Simpson?** 
 a) \( \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} [f(a) + 4 \sum_{i \text{ ímpar}} f(x_i) + 2 \sum_{i 
\text{ par}} f(x_i) + f(b)] \) 
 b) \( \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} [f(a) + 2 \sum_{i \text{ ímpar}} f(x_i) + 4 \sum_{i 
\text{ par}} f(x_i) + f(b)] \) 
 c) \( \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{4} [f(a) + 2 \sum_{i \text{ ímpar}} f(x_i) + 4 \sum_{i 
\text{ par}} f(x_i) + f(b)] \) 
 d) \( \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} [f(a) + 4 \sum_{i \text{ ímpar}} f(x_i) + 2 \sum_{i 
\text{ par}} f(x_i) + f(b)] \) 
 **Resposta:** a) \( \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} [f(a) + 4 \sum_{i \text{ ímpar}} 
f(x_i) + 2 \sum_{i \text{ par}} f(x_i) + f(b)] \) 
 **Explicação:** A regra de Simpson usa a fórmula \( \frac{h}{3} [f(a) + 4 \sum_{i \text{ 
ímpar}} f(x_i) + 2 \sum_{i \text{ par}} f(x_i) + f(b)] \).