errando e aprendendo III

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a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** 
 Esta integral é a integral que define o arco seno, 
 \[ \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \sin^{-1}(x) \Bigg|_0^1 = \frac{\pi}{2}. \] 
 
38. **Qual é a integral indefinida de \( \int e^x \cos(x) \, dx \)?** 
 a) \( e^x \sin(x) + C \) 
 b) \( e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 c) \( e^x (\sin(x) + \cos(x)) + C \) 
 d) \( e^x \cos(x) + C \) 
 **Resposta: b)** 
 **Explicação:** 
 Usando a integração por partes duas vezes, 
 \[ \int e^x \cos(x) \, dx = e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C. \] 
 
39. **Qual é a solução da equação diferencial \( y' + y = e^x \)?** 
 a) \( y = e^x + C e^{-x} \) 
 b) \( y = e^x + C e^x \) 
 c) \( y = e^x + C e^{-2x} \) 
 d) \( y = e^x + C e^{-2x} \) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** 
 Usando o método do fator integrante, 
 \[ y = e^x + C e^{-x}. \] 
 
40. **Qual é o traço da matriz \( \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 
3 \end{pmatrix} \)?** 
 a) 6 
 b) 3 
 c) 2 
 d) 1 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** 
 O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Portanto, 
 \[ \text{Traço} = 1 + 2 + 3 = 6. \] 
Claro! Aqui estão 100 problemas de matemática com logaritmos, cada um com múltiplas 
escolhas, resposta e explicação: 
 
1. Qual é o valor de \(\log_{2} 8\)? 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) 3 
 - D) 4 
 
 **Resposta:** C) 3 
 **Explicação:** \(\log_{2} 8\) é o expoente ao qual a base 2 deve ser elevada para obter 8. 
Como \(2^3 = 8\), \(\log_{2} 8 = 3\). 
 
2. Se \(\log_{10} x = 2\), qual é o valor de \(x\)? 
 - A) 100 
 - B) 200 
 - C) 10 
 - D) 1 
 
 **Resposta:** A) 100 
 **Explicação:** Se \(\log_{10} x = 2\), então \(x = 10^2 = 100\). 
 
3. Qual é o valor de \(\log_{5} 25\)? 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) 5 
 - D) 10 
 
 **Resposta:** B) 2 
 **Explicação:** \(\log_{5} 25\) é o expoente ao qual a base 5 deve ser elevada para obter 25. 
Como \(5^2 = 25\), \(\log_{5} 25 = 2\). 
 
4. Se \(\log_{b} 16 = 4\), qual é o valor de \(b\)? 
 - A) 2 
 - B) 4 
 - C) 8 
 - D) 16 
 
 **Resposta:** A) 2 
 **Explicação:** Se \(\log_{b} 16 = 4\), então \(b^4 = 16\). Como \(16 = 2^4\), então \(b = 2\). 
 
5. Qual é o valor de \(\log_{3} 81\)? 
 - A) 3 
 - B) 4 
 - C) 5 
 - D) 6 
 
 **Resposta:** B) 4 
 **Explicação:** \(\log_{3} 81\) é o expoente ao qual a base 3 deve ser elevada para obter 81. 
Como \(3^4 = 81\), \(\log_{3} 81 = 4\). 
 
6. Se \(\log_{7} y = 3\), qual é o valor de \(y\)? 
 - A) 49 
 - B) 21 
 - C) 7 
 - D) 343