aprendendo na pratica c

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71. **Problema:** Encontre a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}\). 
 **Resposta:** 1 
 **Explicação:** A série é telescópica e a soma é 1. 
 
72. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** A integral é \(\arctan(x)\), então \(\left[\arctan(x)\right]_0^1 = 
\frac{\pi}{4}\). 
 
73. **Problema:** Determine o valor da integral \(\int_0^\infty e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\sqrt{\pi}\) 
 **Explicação:** Esta é a integral Gaussiana, e seu valor é \(\sqrt{\pi}\). 
 
74. **Problema:** Encontre a transformada de Laplace de \(t \sin(at)\). 
 **Resposta:** \(\frac{2a}{(s^2 + a^2)^2}\) 
 **Explicação:** A transformada de Laplace de \(t \sin(at)\) é dada por \(\frac{2a}{(s^2 + 
a^2)^2}\). 
 
75. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + y = 0\). 
 **Resposta:** \(y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x}\) 
 **Explicação:** A solução é obtida resolvendo a equação característica associada à equação 
diferencial. 
 
76. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^1 \frac{x^2}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2} - \frac{\ln 2}{2}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = x^2 + 1\), obtemos a resposta. 
 
77. **Problema:** Determine o valor de \(\int_0^\pi \sin^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), a integral é 
\(\frac{\pi}{2}\). 
 
78. **Problema:** Resolva a equação \(x^3 - 3x - 2 = 0\). 
 **Resposta:** \(x = 2, -1 \pm \sqrt{3}\) 
 **Explicação:** Fatorando a equação, obtemos as raízes \(x = 2\) e \(x = -1 \pm \sqrt{3}\). 
 
79. **Problema:** Calcule a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi^2}{6} - 1\) 
 **Explicação:** Usando técnicas de séries e frações parciais, encontramos a soma. 
 
80. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{e^x}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** Não existe uma forma fechada conhecida para esta integral. 
 **Explicação:** A integral não tem uma forma fechada simples e é geralmente expressa em 
termos de funções especiais. 
 
81. **Problema:** Determine o valor da integral \(\int_0^1 \frac{x^2}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2} - \frac{\ln 2}{2}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição adequada e técnicas de integração, obtemos a 
resposta. 
 
82. **Problema:** Resolva a equação \(x^4 + 4x^2 + 4 = 0\). 
 **Resposta:** \(x = \pm i\) 
 **Explicação:** Fatorando a equação, obtemos as raízes \(x = \pm i\). 
 
83. **Problema:** Encontre o valor da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\). 
 **Resposta:** \(\zeta(3)\) 
 **Explicação:** Esta é a série de Riemann para \(\zeta(3)\), e seu valor é aproximadamente 
1.20206. 
 
84. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^\pi \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** 2 
 **Explicação:** A integral de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x)\), então \(\left[-\cos(x)\right]_0^\pi = 
2\).