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25. **Problema:** Determine a integral \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \sin(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{2} \). 
 **Explicação:** Use a identidade \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) para simplificar a integral. 
 
26. **Problema:** Calcule o determinante da matriz \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 
\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \). 
 **Resposta:** \( 6 \). 
 **Explicação:** O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da 
diagonal principal. 
 
27. **Problema:** Encontre o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 **Resposta:** \( 1 \). 
 **Explicação:** Este limite é a definição da derivada de \( e^x \) em \( x = 0 \). 
 
28. **Problema:** Determine a solução da equação \( x^2 - 6x + 9 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 3 \). 
 **Explicação:** A equação é um quadrado perfeito \( (x - 3)^2 = 0 \). 
 
29. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^2 \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{y} = x + C \). 
 **Explicação:** Use a separação de variáveis para resolver a equação diferencial. 
 
30. **Problema:** Encontre a integral \( \int x e^{2x} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} + C \). 
 **Explicação:** Use a integração por partes, escolhendo \( u = x \) e \( dv = e^{2x} dx \). 
 
31. **Problema:** Determine a solução da equação \( \sin(x) = \frac{1}{2} \). 
 **Resposta:** \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) ou \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), onde \( k \) é um 
inteiro. 
 **Explicação:** Encontre todos os ângulos cujas funções seno sejam \( \frac{1}{2} \). 
 
32. **Problema:** Encontre o valor da integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação:** Esta é a integral da função \( \frac{1}{1 + x^2} \), que resulta em \( \arctan(x) 
\). 
 
33. **Problema:** Resolva o sistema \( \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases} \). 
 **Resposta:** \( x = 2 \), \( y = 1.5 \). 
 **Explicação:** Use o método da substituição ou eliminação para encontrar \( x \) e \( y \). 
 
34. **Problema:** Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 **Explicação:** Use a regra da cadeia para derivar \( \ln(u) \) onde \( u = x^2 + 1 \). 
 
35. **Problema:** Encontre o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 - 2x + 1}{2x^3 + 4} \). 
 **Resposta:** \( \frac{3}{2} \). 
 **Explicação:** Divida o numerador e o denominador pelo termo de maior grau em \( x \) 
para simplificar. 
 
36. **Problema:** Determine a integral \( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C \). 
 **Explicação:** Use a decomposição em frações parciais para resolver a integral. 
 
37. **Problema:** Resolva a equação \( x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 1 \). 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \( (x - 1)^3 = 0 \). 
 
38. **Problema:** Determine a integral \( \int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \). 
 **Explicação:** Integre a função \( x^{-3} \) e avalie entre os limites 1 e 2. 
 
39. **Problema:** Calcule a derivada de \( f(x) = x \ln(x) \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = \ln(x) + 1 \). 
 **Explicação:** Use a regra do produto para derivar \( x \ln(x) \).