aulas do desafio BC

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58. **Questão**: Encontre o limite de \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\). 
 **Resposta**: 1. 
 **Explicação**: Use a expansão de Taylor para \(\ln(1 + x)\). 
 
59. **Questão**: Resolva a equação \(x^2 + 2x + 1 = 0\) para \(x\). 
 **Resposta**: \(x = -1\). 
 **Explicação**: A equação é \((x + 1)^2 = 0\). 
 
60. **Questão**: Calcule a integral \(\int x \ln(x) \, dx\) usando integração por partes. 
 **Resposta**: \(\frac{x^2 \ln(x)}{2} - \frac{x^2}{4} + C\). 
 **Explicação**: Use a regra de integração por partes. 
 
61. **Questão**: Encontre a derivada de \(f(x) = e^{x^3}\). 
 **Resposta**: \(3x^2 e^{x^3}\). 
 **Explicação**: Use a regra da cadeia para derivar \(e^{u}\). 
 
62. **Questão**: Resolva a equação \(2x^2 + 5x + 3 = 0\) para \(x\). 
 **Resposta**: \(x = -1\) e \(x = -\frac{3}{2}\). 
 **Explicação**: A equação fatorada é \((2x + 3)(x + 1) = 0\). 
 
63. **Questão**: Determine a integral \(\int_1^e \frac{dx}{x \ln(x)}\). 
 **Resposta**: 1. 
 **Explicação**: A integral é \(\ln|\ln(x)|\) avaliada de 1 a \(e\). 
 
64. **Questão**: Encontre o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 - x^2}{2x^3 + x}\). 
 **Resposta**: \(\frac{3}{2}\). 
 **Explicação**: Divida termos pelo maior expoente \(x^3\). 
 
65. **Questão**: Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - 1}{x}\) com \(y(1) 
= 0\). 
 **Resposta**: \(y = \pm \frac{1}{x}\). 
 **Explicação**: Resolva pela separação de variáveis. 
 
66. **Questão**: Calcule a integral \(\int x^2 e^{-x} \, dx\) usando integração por partes. 
 **Resposta**: \(-x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x} + C\). 
 **Explicação**: Use integração por partes duas vezes. 
 
67. **Questão**: Encontre a derivada de \(f(x) = \arcsin(x)\). 
 **Resposta**: \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\). 
 **Explicação**: A derivada da função arco seno é dada por \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\). 
 
68. **Questão**: Resolva a equação \(x^4 - 4x^2 + 4 = 0\). 
 **Resposta**: \(x = \pm 1\) e \(x = \pm 2\). 
 **Explicação**: Fatoração como \((x^2 - 2)^2 = 0\). 
 
69. **Questão**: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 2x + 5} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{x + 1}{\sqrt{3}}\right) + C\). 
 **Explicação**: Use completamento do quadrado para integrar. 
 
70. **Questão**: Determine a integral \(\int e^{2x} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{1}{2} e^{2x} + C\). 
 **Explicação**: A integral é \(\frac{e^{2x}}{2}\) mais uma constante de integração. 
 
71. **Questão**: Resolva a equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0\). 
 **Resposta**: \(y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\). 
 **Explicação**: A equação diferencial característica é \(r^2 - 1 = 0\). 
 
72. **Questão**: Encontre o limite de \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\). 
 **Resposta**: \(-\frac{1}{2}\). 
 **Explicação**: Use a expansão de Taylor para \(\cos(x)\).