Para resolver a equação diferencial dada \( xe^{-y} \sin(x) \, dx + y \, dy = 0 \), vamos seguir os passos sugeridos. 1. Multiplicar todos os termos por \( e^y \): \[ e^y (xe^{-y} \sin(x) \, dx + y \, dy) = 0 \] Isso simplifica para: \[ x \sin(x) \, dx + y e^y \, dy = 0 \] 2. Separar as variáveis: \[ \frac{dy}{y e^y} = -\frac{dx}{x \sin(x)} \] 3. Integrar ambos os lados: - A integral do lado esquerdo: \[ \int \frac{dy}{y e^y} = \ln|y| - e^{-y} + C_1 \] - A integral do lado direito: \[ \int -\frac{dx}{x \sin(x)} = -\ln|x| + C_2 \] 4. Igualar as integrais e simplificar: \[ \ln|y| - e^{-y} = -\ln|x| + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \( X \cos(x) - \sin(x) = e^y + C \) B) \( X \cos(x) + \sin(x) = e^y e^y + C \) C) \( y \cos(x) = e^y e^y + C \) D) \( X \cos(x) + \sin(x) = e^y + C \) A alternativa que melhor se encaixa na forma da solução encontrada é a D: \( X \cos(x) + \sin(x) = e^y + C \). Portanto, a resposta correta é a alternativa D.