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**Explicação:** Utilize a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\) e depois a 
substituição para simplificar a integral. 
 
22. **Problema:** Determine a integral \(\int_{0}^{1} \frac{\ln(x)}{x} \, dx\). 
 
 **Resposta:** O valor da integral é \(-\frac{1}{2}\). 
 
 **Explicação:** A integral pode ser resolvida usando a substituição \(x = e^{-t}\) e a fórmula 
padrão. 
 
23. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{\infty} x e^{-x^2} \, dx\). 
 
 **Resposta:** O valor da integral é \(\frac{1}{2}\). 
 
 **Explicação:** A substituição \(u = x^2\) transforma a integral em uma forma mais simples 
que pode ser resolvida diretamente. 
 
24. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1 - x^2)^{3/2}}\). 
 
 **Resposta:** O valor da integral é \(1\). 
 
 **Explicação:** Utilize a substituição \(x = \sin(\theta)\) para simplificar a integral. 
 
25. **Problema:** Determine a série de Taylor de \(\sin(x)\) em torno de \(x = 0\). 
 
 **Resposta:** A série de Taylor é \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\). 
 
 **Explicação:** A função \(\sin(x)\) tem derivadas alternando sinais e valores que resultam 
na série mencionada. 
 
26. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{e^x - 1} \, dx\). 
 
 **Resposta:** O valor da integral é \(\frac{\pi^4}{15}\). 
 
 **Explicação:** Esta integral pode ser resolvida utilizando a função zeta de Riemann e a 
série de Euler. 
 
27. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \ln(\sin(x)) \, dx\). 
 
 **Resposta:** O valor da integral é \(-\pi \ln(2)\). 
 
 **Explicação:** Utilize a identidade \(\sin(x)\) e a simetria da função para simplificar a 
integral. 
 
28. **Problema:** Determine a integral \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2 + \sqrt{x}}\). 
 
 **Resposta:** O valor da integral é \(\frac{\pi}{4}\). 
 
 **Explicação:** A integral pode ser resolvida usando a substituição adequada e 
simplificações. 
 
29. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} \, dx\). 
 
 **Resposta:** O valor da integral é \(\frac{\pi}{2}\). 
 
 **Explicação:** Esta integral é conhecida como a integral de Dirichlet. 
 
30. **Problema:** Determine a série de Fourier de \(f(x) = |x|\) para \(x \in [-\pi, \pi]\). 
 
 **Resposta:** A série de Fourier é \(f(x) = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 
\pi^2}{n^2} \cos(nx)\). 
 
 **Explicação:** A função \( |x| \) é uma função par e a série é obtida a partir da fórmula de 
séries para funções pares.