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FMA-404 Lista de Exerćıcios IX 1
Lista de Exerćıcios IX
❶ Considere um sistema de momento angular J. Limitemo-nos ao sub-
espaço tridimensional expandido pelos três kets | + 1〉, |0〉 e | − 1〉,
auto-estados comuns dos operadores J
2 (com auto-valores 2h̄2) e Jz
(com auto-valores +h̄, 0,−h̄). O hamitoniano do sistema é:
H0 = aJz +
b
h̄
J2
z ,
onde a e b são duas constantes positivas, tendo dimensão de freqüência
angular.
(a) Quais os ńıveis de energia do sistema? Para que valores de b/a há
degenerescência?
(b) Aplicamos agora um campo magnético B0 numa direção arbitrária
u designada pelos ângulos polares θ e φ. A interação com B0
do momento magnético do sistema m = γJ é descrita pelo ha-
miltoniano: W = ω0 Ju, onde ω0 = −γ|B0| é a freqüência de
Larmor no campo B0, e Ju a componente de J na direção u:
Ju = Jz cos θ + Jx sin θ cosφ + Jy sin θ sin φ. Escreva a matriz re-
presentando W na base dos auto-estados de H0.
(c) Suponha que b = a e que a direção u é paralela a Ox. Por outro
lado, ω0 << a. Calcule as energias e os auto-estados do sistema:
em primeira ordem em ω0 para as energias e em ordem 0 para os
auto-estados.
(d) Suponha que b = 2a, que ω0 << a e que a direção u seja arbitrária.
Qual é, na base {|+1〉, |0〉, |−1〉}, o desenvolvimento dos estados
fundamentais |ψ0〉 de H0 +W , até primeira ordem em ω0?
(e) Calcule o valor esperado do momento magnético, 〈m〉, no estado
|ψ0〉, 〈m〉 e B0 são paralelos? Mostre que podemos escrever:〈Mi〉 =∑
j χijBj , com i, j = x, y, z. Calcule os coeficientes χij (compo-
nentes do tensor de suceptibilidade magnética).
② Considere um sistema formado de um spin eletrônico S e de dois spins
nucleares I1 e I2 (S pode ser, por exemplo, o spin de um elétron solitário
de uma molécula diatômica paramagnética, I1 e I2 os spins dos dois
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núcleos dessa molécula). Suponha que S, I1 e I2 são todos spins 1
2
; o
espaço dos estados do sistmea de três spins é representado pela base
ortonormal de oito kets |ǫS ǫ1 ǫ2〉, auto-vetores comuns de Sz, I1z, I2z ,
com auto-valores respectivos ǫS h̄/2, ǫ1 h̄/2, ǫ2 h̄/2 (com ǫS = ±,
ǫ1 = ±, ǫ2 = ±).
(a) Comecemos ignorando todos os acoplamentos entre os três spins.
Supomos que, por outro lado, eles estão mergulhados em um
campo magnético uniforme B paralelo a Oz. Os fatores giro-
magnéticos de I1 e I2 sendo iguais, o hamiltoniano H0 do sistema
se escreve: H0 = ΩSz + ωI1z + ωI2z onde Ω e ω são constantes
reais positivas proporcionais a |B|. Assuma que Ω > 2ω. Quais
são as energias posśıveis do sistema de três spins e seus graus de
degenerescência? Faça um diagrama dos ńıveis de energia.
(b) Leve em conta agora o acoplamento entre spins descrito pelo ha-
miltoniano:
W = aS · I1 + aS · I2,
onde a é uma constante real positiva. Que condições devem sa-
tisfazer ǫS, ǫ1, ǫ2, ǫ
′
S, ǫ1́, ǫ
′
2
para que aS · I1 tenha um elemento de
matriz não nulo entre |ǫS ǫ1 ǫ2〉 e |ǫ′S ǫ
′
1
ǫ′
2
〉? Mesma questão para
aS · I2.
(c) Suponha que ah̄2 << h̄Ω, h̄ω, de forma que W possa ser tratado
como uma perturbação face a H0. Quais são, em primeira ordem
em W , os auto-valores do hamiltoniano total H = H0+W ? Quais
são os auto-estados de H , em ordem 0 em W ? Faça um diagrama
dos ńıveis de energia.
(d) Dentro do contexto da aproximação do ı́tem (c), determine as
freqüências que aparecerão na evolução de 〈Sx〉 quando conside-
ramos o acoplamento W entre spins.
③ Vamos utilizar o método variacional para determinar as energias de
uma part́ıcula de massa m em um poço potencial infinito: V (x) = 0
para −a ≤ x ≤ a e V (x) = ∞ em qualquer outro lugar.
(a) Começaremos por aproximar, no intervalo [−a, a], a função de
onda do estado fundamental pelo polinômio par mais simples que
se anula em x = ±a:
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ψ(x) = a2 − x2 para − a ≤ x ≤ a
ψ(x) = 0 em qualquer outro lugar
Calcule o valor médio do hamiltoniano H nesse estado; compa-
rando o resultado com o obtido com o valor real, avalie o erro
cometido.
(b) Aumentamos a famı́lia de funções teste tomando um polinômio
par de grau quatro que se anula em x = ±a:
ψ(x)α = (a2 − x2)(a2 − αx2) para − a ≤ x ≤ a
ψ(x)α = 0 em qualquer outro lugar
Mostre que o valor médio de H no estado ψ(x)α vale:
〈H〉(α) =
h̄2
2ma2
33α2 − 42α+ 105
2α2 − 12α+ 42
.
Deduza que os valores de α que tornam 〈H〉(α) extremo são dados
pelas ráızes da equação: 13α2 − 98α+ 21 = 0.
(c) Mostre que uma das ráızes da equação do ı́tem (b) fornece quando
usando em 〈H〉(α) um valor de energia muito mais preciso que
obtido no ı́tem (a).
④ Considere um poço potencial tridimensional infinito cúbico:
V (x, y, z) = 0 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a,
= ∞ em qualquer outro lugar
Calcule o valor da energia do estado fundamental e do primeiro estado
excitado, em primeira ordem de teoria de perturbação, para o sistema
perturbado pelo hamiltoniano: H ′ = V0 para 0 < x < a/2 e 0 < y <
a/2, H́ = 0 fora dessa região.
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