Apresentao-Difuso

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Unidade II
Difusão nos materiais
Da mesma forma que a corrente elétrica está associada ao transporte de
cargas elétricas através de um fio condutor quando este está sujeito a
uma diferença de potencial elétrico, a DIFUSÃO está associada ao
transporte de massa que ocorre em um sistema quando nele existe um
gradiente de concentração química (Diferença nas concentrações).
Difusão
A presença da difusão em nosso cotidiano não é tão
rotineira, mas é grande sua importância para a fabricação
de componentes ou estruturas de engenharia.
• Para ocorrer a movimentação dos átomos são necessárias duas 
condições:
1. deve existir um espaço livre adjacente ao átomo;
2. o átomo deve possuir energia suficiente para quebrar as ligações
químicas que o une a seus átomos vizinhos; causar uma distorção
no reticulado.
• Foram propostos vários mecanismos diferentes para explicar o movimento 
atômico durante a difusão. Sendo assim podemos classifica-los em:
Todos os cristais, no equilíbrio térmico, com temperaturas acima do zero absoluto,
possuem alguns locais de rede não ocupados. Um átomo pode “saltar” de uma posição
de lacuna dentro de uma vizinhança disponível, conforme figura abaixo :
Difusão por Lacuna
O átomo move-se pelo “salto” de um sítio intersticial para uma vizinhança, podendo
dilatar ou distorcer a rede.
Difusão Intersticial
O átomo intersticial pode mover para a superfície de um sítio de rede normal.
Difusão Substitucional
Este mecanismo é proposto para explicar a própria difusão de metais e ligas,
envolvendo a troca direta de mais átomos.
Difusão por Troca de Moléculas Adjacentes
Exemplos de Aplicação
1. Endurecimento de aços e ligas
2. Dopagem de semicondutores
3. Oxidação de metais
4. Sinterização (materiais cerâmicos)
O par de difusão é formado quando as superfícies de duas barras de materiais
metálicos distintos são colocadas em contato íntimo e aquecidas por um dado
tempo.
Par de difusão
Um par de difusão zinco-cobre antes de ser
submetido a um tratamento térmico a
temperatura elevada.
Representações esquemáticas das localizações
dos átomos de Zn (círculos à esquerda) e Cu
(círculos à direita) no interior do par de
difusão.
Gráfico das concentrações do zinco e do 
cobre em função da posição ao longo do par 
de difusão. A linha sólida representa a 
concentração do Zn e a linha pontilhada a do 
Cu. 
Um par de difusão zinco-cobre após ser
submetido a um tratamento térmico a
temperatura elevada, mostrando a zona de
difusão com formação de liga.
Representação esquemática das localizações
dos átomos de Zn (círculos vermelhos) e Cu
(círculos amarelos) no interior do par de
difusão, após tratamento térmico.
Concentrações de cobre e zinco em função da
posição ao longo do par de difusão, após
tratamento térmico. A linha preta tracejada
representa a concentração de Cu e a linha
vermelha a de Zn.
FLUXO DE DIFUSÃO
Quantifica-se a rapidez com que o fenômeno da difusão se processa no
tempo através do FLUXO DE DIFUSÃO (J).
• O Fluxo de Difusão é definido como sendo a massa (ou, de forma
equivalente, o número de átomos) M que se difunde por unidade de
tempo através de uma área unitária perpendicular à direção do
movimento da massa,
J=
𝑀
𝐴.𝑡
J=
1
𝐴
𝑑𝑀
𝑑𝑡
Na forma diferencial:
As unidades no (SI) para J são 
quilogramas (ou átomos) por 
metro quadrado por segundo 
(kg.m-2 s-1 ou átomos.m-2.s-1 )
O FLUXO DE DIFUSÃO num dado x é proporcional ao valor do gradiente 
dC/dx em x.
J𝑥 = −𝐷
𝑑𝐶
𝑑𝑥
A constante de proporcionalidade D* é chamada de COEFICIENTE DE DIFUSÃO, e 
é expressa em m2/s.
Difusão em estado estacionário
Para que J não varie com o tempo é necessário que J também não varie com 
a posição. Assim, para o eixo x.
𝑑𝐶
𝑑𝑥
=cte
Quando J não varia com o tempo (C também não varia com o tempo) e temos a 
DIFUSÃO EM ESTADO ESTACIONÁRIO (ou DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE).
C = f(x) é uma função linear de x. 
Uma placa de ferro está exposta a 700°C a uma atmosfera carbonetante (rica em
carbono) em um de seus lados e a uma atmosfera descarbonetante (deficiente
em carbono) no outro lado. Se uma condição de regime estacionário é atingida,
calcule o fluxo de difusão do carbono através da placa, dado que as
concentrações de carbono nas posições a 5 e a 10 mm (5x10-3 e 10-2 m) abaixo da
superfície são 1,2 e 0,8 Kg/m3 , respectivamente. Considere um coeficiente de
difusão de 3x10-11 m 2 /s nessa temperatura.
Exemplo 1:
𝐽 = −𝐷
∆𝐶
∆𝑥
𝐽 = −3𝑥10−11
𝑚2
𝑠
1,2 − 0,8 𝑘𝑔/𝑚3
5𝑥10−3 −1𝑥10−2 𝑚
𝐽 = 2,4𝑥10−11
𝑘𝑔
𝑚2𝑠
XA Xb
𝐽 = −𝐷
𝐶𝐴 − 𝐶𝐵
𝑥𝐴 − 𝑥𝐵
Uma mistura gasosa contendo H2, N2, O2 e vapor d’água é pressurizada contra uma
lamina de 6 mm de espessura de Paládio cuja área é 0,25 m2 a 600°C. O coeficiente
de difusão é DH/Pd(600°C) = 1,7x10-8 m2/s e a concentração no lado da placa de alta
e baixa pressão é respectivamente 2,0 e 0,4 KgH2/m3Pd. A difusão acontece em
estado estacionário. H2 é purificado por difundir-se mais rapidamente que os demais
gases, atingindo a outra face da lamina que está mantida sob pressão atmosférica.
Calcular o fluxo de difusão do H2 (purificação) em kg/hora.
Exemplo 2:
𝐽 = −𝐷
∆𝐶
∆𝑥
𝐽 = −𝐷
𝐶𝐴 − 𝐶𝐵
𝑥𝐴 − 𝑥𝐵
𝐽 = −1,7𝑥10−8
𝑚2
𝑠
2,0 − 0,4 𝑘𝑔/𝑚3
0 − 6𝑥10−3 𝑚
𝐽 = 0,453𝑥10−5
𝑘𝑔
𝑚2𝑠
Fluxo em Kg/h?
𝐽 = −𝐷
∆𝐶
∆𝑥
∙ 𝐴
𝐽 = 0,453𝑥10−5
𝑘𝑔
𝑚2𝑠
∙ 0,25𝑚2
𝐽 = 0,113𝑥10−5
𝑘𝑔
𝑠
𝐽 = 0,113𝑥10−5
𝑘𝑔
𝑠
∙
3600 𝑠
1 ℎ
𝐽 = 4,07𝑥10−3
𝑘𝑔
ℎ
FATORES QUE INFLUENCIAM A DIFUSÃO:
✓ ESPÉCIE EM DIFUSÃO
✓ TEMPERATURA
FATORES QUE INFLUENCIAM A DIFUSÃO:
✓ Espécie em difusão (Interdifusão ou Autodifusão)
As espécies em difusão assim como o material hospedeiro influenciam no
coeficiente de difusão.
ex: existe uma diferença significativa no coeficiente de difusão do carbono e
O ferro α a 500 oC (2,4x 10-12 versus 3,0x10-21 m2/s)
ESPÉCIE EM DIFUSÃO
✓ A temperatura tem uma influência significativa no coeficiente de difusão
Tendo em vista que o coeficiente de difusão cresce exponecialmente
TEMPERATURA
lnD= ln D0 -
𝑄𝑑
𝑅𝑇
D= D0 exp(-
𝑄𝑑
𝑅𝑇
)
Ln D/ D0= -Qd/RT
Tabela: Dados de coeficientes de difusão
COEFICIENTE DE DIFUSÃO:
lnD= ln D0 -
𝑄𝑑
𝑅𝑇
logD= log D0 -
𝑄𝑑
2,3𝑅𝑇
Do= Uma constante pré-exponencial independente da temperatura (m2/s)
Qd= Energia de ativação para a difusão (j/mol ou eV/átomo)
R= constante dos gases 8,314 J/mol.K ou 8,62 x10-5 eV/átomo. K
Gráfico do logaritmo do coeficiente de difusão versus inverso da temperatura
EFEITO KIRKENDALL
EFEITO KIRKENDALL
Lâminas de cobre e níquel mantidas em
contato a 1000oC por 15 min. Poros
formados no cobre devido à maior difusão
do Cu no Ni comparado com a difusão
do Ni no Cu. Poros de Kirkendall
Lâmina de alumínio deixada em contato 
com lâminas de titânio a 630oC por 10horas. 
Poros formados na região central da chapa 
de alumínio por efeito
Kirkendall
Exemplo 3: Classifique em ordem decrescente as magnitudes dos 
coeficientes de difusão para os seguintes sistemas.
Dado: Tanto o Fe como o Cr possuem estrutura cristalina CCC, e os raios 
atômicos para o Fe, Cr e N são 0,124, 0,125 e 0,065 nm, respectivamente. 
N no Fe a 700°C 
Cr no Fe a 700°C 
N no Fe a 900°C 
Cr no Fe a 900°C 
Quanto menor for o tamanho do átomo, mais facilmente ele vai difundir,
graças ao mecanismo de difusão intersticial. Como o átomo de N é menor que
o de Cr, ele difunde intersticialmente na estrutura do ferro.
Quanto maior for a temperatura, maior será o coeficiente de difusão, pois D 
depende de T: 
D= D0 exp(-
𝑄𝑑
𝑅𝑇
)
Resposta:
N (900oC)> N(700oC)>Cr(900oC)> Cr(700oC)
DIFUSÃO EM ESTADO NÃO-ESTACIONÁRIO
Na maioria das situações práticas envolvendo difusão ocorre em condições de
ESTADO NÃO-ESTACIONÁRIO (ou REGIME TRANSITÓRIO ou CONDIÇÕES
TRANSIENTES).
• Na difusão em estado não-estacionário tanto o fluxo de difusão, quanto o gradiente
de concentração, numa dada posição x e variam com o tempo t.
Perfis de concentração
em três instantes de
tempo diferentesdo
processo de difusão.
SEGUNDA LEI DE FICK
Para descrever a difusão em estado não-estacionário, é utilizada a equação diferencial 
parcial:
𝜕𝐶
𝜕𝑡
= 𝐷
𝜕2𝐶
𝜕𝑥2
Quando são especificadas condições de contorno que possuem um sentido físico, 
é possível obter-se soluções para segunda lei de Fick. Essas soluções são funções 
C = f(x,t) que representam as concentrações em termos tanto da posição quanto 
do tempo.
➢ Uma solução da segunda lei de Fick C = f(x,t) importante na prática é aquela
para um sólido semi-infinito* em que a concentração do soluto CS na superfície
é mantida constante durante a difusão. Assume-se também que os átomos do
soluto presentes no interior do sólido, antes do processo de difusão, estão
uniformemente distribuídos com concentração C0.
➢ condições de contorno acima podem ser representadas por:
SEGUNDA LEI DE FICK
Para t = 0, C = C0 em 0 ≤ x ≤∞.
Para t > 0, C = CS ( A concentração constante na superfície do sólido) em x=0
C = C0 em x =∞.
Uma barra sólida é considerada semi-infinita se nenhum dos átomos em difusão é capaz de atingir a 
extremidade oposta da barra durante o tempo de procedimento da difusão. Uma barra de comprimento 
L pode ser considerada semi-infinita na prática quando L > 10 (Dt)1/2.
Com as condições de contorno consideradas a solução da segunda lei de Fick resulta:
Condições de contorno
𝐶𝑥 − 𝐶0
𝐶𝑠 − 𝐶0
= 1 − 𝑒𝑟𝑓
𝑥
2 𝐷𝑡
Para t = 0, f(x,0) =C = C0 em 0 ≤ x ≤∞.
Para t > 0, f(0,t) = C = CS ( A concentração constante na superfície do sólido) em 
x=0
C = C0 em x =∞.
𝜕𝐶
𝜕𝑡
= 𝐷
𝜕2𝐶
𝜕𝑥2
Cementar significa introduzir carbono na
superfície. Este tratamento é bastante realizado
em engrenagens. O objetivo é aumentar a
dureza superficial do material – pois, em regra
geral, a dureza de um aço aumenta com o
aumento do teor de carbono.
𝐶𝑥 − 𝐶0
𝐶𝑠 − 𝐶0
= 1 − 𝑒𝑟𝑓
𝑥
2 𝐷𝑡
A solução da segunda lei de Fick se aplica,
por exemplo,para processos de cementação
(ou carbonetação) de chapas de aço (ou seja,
chapas de ligas ferro-carbono).
função erf(z) representa a Função Erro de Gauss e é dada por
erf 𝑧 =
2
𝜋
න
0
𝑧
𝑒−𝑦
2
𝑑𝑦
Exemplo 4:
Considere uma liga (Ferro-carbono) contendo uma concentração inicial uniforme de
Carbono de 0,25% p, que deve ser tratada a 950oC (1750oF). Se a concentração de
carbono na superfície for repentinamente elevada e mantida em 1,2%p, quanto
tempo será necessário para atingir um teor de carbono de 0,8 %p em uma posição a
0,5mm abaixo da superfície? O coeficiente de difusão para o carbono no ferro nessa
temperatura é de 1,6x10-11 m2/s; assuma que a peça de aço seja semi-infinita.
Obs: A peça é exposta a um hidrocarboneto gasoso metano CH4
𝐶𝑥 − 𝐶0
𝐶𝑠 − 𝐶0
= 1 − 𝑒𝑟𝑓
𝑥
2 𝐷𝑡
𝑒𝑟𝑓
𝑥
2 𝐷𝑡
=0,421
0,8 − 0,25
1,2 − 0,25
= 1 − 𝑒𝑟𝑓
𝑥
2 𝐷𝑡
𝑒𝑟𝑓
𝑥
2 𝐷𝑡
=0,421
𝑒𝑟𝑓 𝑧 =0,421
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,4
0,41
0,37 0,38 0,39 0,4 0,41 0,42 0,43 0,44
z
erf(z)
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,4
0,41
0,37 0,38 0,39 0,4 0,41 0,42 0,43 0,44
z
erf(z)
0,3794 0,4210 0,4284
z
𝑧 − 0,35
0,4 − 0,35
=
0,4210 − 0,3794
0,4284 − 0,3794
𝑧 − 0,35
0,4 − 0,35
=
0,4210 − 0,3794
0,4284 − 0,3794
𝑧 = 0,392
𝑒𝑟𝑓
𝑥
2 𝐷𝑡
z =
𝑥
2√𝐷𝑡
D=1,6x10-11 m2/s
x=0,5x 10-3 m
𝑧2=
𝑥
2√𝐷𝑡
2
t= 7,04 horas
função erf(z) representa a Função Erro de Gauss e é dada por
erf 𝑧 =
2
𝜋
න
0
𝑧
𝑒−𝑦
2
𝑑𝑦
Pretende-se cementar um aço com 0,1%C p, mantendo-o em uma atmosfera com
1,2%C p em alta temperatura, até que se atinja 0,45%C p em uma profundidade de 2
mm abaixo da superfície. Qual o tempo total de cementação se o coeficiente de
difusão for D = 2x10-11 m2/s? .
Exemplo 5:
𝐶𝑥 − 𝐶0
𝐶𝑠 − 𝐶0
= 1 − 𝑒𝑟𝑓
𝑥
2 𝐷𝑡
𝑒𝑟𝑓
𝑥
2 𝐷𝑡
=0,6818
0,45 − 0,1
1,2 − 0,1
= 1 − 𝑒𝑟𝑓
𝑥
2 𝐷𝑡
𝑧 = 0,7060
𝑒𝑟𝑓
𝑥
2 𝐷𝑡
z =
𝑥
2√𝐷𝑡
D=2,0x10-11 m2/s
x=2x 10-3 m
𝑧2=
𝑥
2√𝐷𝑡
2
t= 27,86 horas
Exemplo 6: 
A cementação de 1 mm de uma engrenagem a 800°C requer 10 h. Qual seria o 
tempo necessário para se obter a mesma profundidade a 900°C? O regime é 
transiente
Dado: Q para a difusão de C de ferro CFC = 137859 J/mol. R = 8,314 J/mol.K. 
𝐶𝑥 − 𝐶0
𝐶𝑠 − 𝐶0
= 1 − 𝑒𝑟𝑓
𝑥
2 𝐷𝑡
Cx (800°C) = Cx (900°C) 
C0 (800°C) = C0 (900°C) 
Cs (800°C) = Cs (900°C) 
Tanto a 800°C quanto a 900°C, desejamos formar uma camada de mesma 
espessura e mesma composição. Assim: 
Por consequência: 
erf(z) (800°C) = erf(z) (900°C) 
E por isso: 
z (800°C) = z (900°C) 
Ou seja, como: 
z =
𝑥
2√𝐷𝑡
Temos que: 
𝑥(800𝑜𝐶)
2√𝐷(800𝑜𝐶)𝑡(800𝑜𝐶)
=
𝑥(900𝑜𝐶)
2√𝐷(900𝑜𝐶)𝑡(900𝑜𝐶)
√𝐷(800𝑜𝐶) 𝑡(800𝑜𝐶) =√𝐷(900𝑜𝐶) 𝑡(900𝑜𝐶)
𝐷(800𝑜𝐶) 𝑡(800𝑜𝐶) =𝐷(900𝑜𝐶) 𝑡(900𝑜𝐶)
𝑡(1173𝐾) =𝐷(1073𝐾) 𝑡(1073𝐾) /𝐷(1173𝐾)
𝑡(1173𝐾) = 𝑡(1073𝐾) ∙
D0 exp(−
𝑄𝑑
𝑅𝑇)
D0 exp(−
𝑄𝑑
𝑅𝑇)
𝑡(1173𝐾) =2,66 h
Um Liga de 7kg constituída por ferro e carbono está exposta a 700°C a uma
atmosfera (rica em carbono) durante 8 h. A concentração inicial de carbono na liga é
de 0,2%p, mantendo-o em uma atmosfera com 1,2%C p em alta temperatura, até
que se atinja uma profundidade de 2 mm . Qual a massa de carbono total depois do
processo? Considere um coeficiente de difusão de 3x10-11 m2/s nessa temperatura.
Exemplo 7:
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