RESUMO TRANS MASSA

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUIMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MICHEL ZAMPIERI FIDELIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE: 
TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PONTA GROSSA 
2017 
TRANSFERÊNCIA DE MASSA – NOTAS DE AULA 
 A transferência de massa: 
 Quando um sistema dois ou mais componentes na qual as concentrações variam de 
ponto a ponto, há uma tendência natural da massa ser transferida, minimizando as diferenças 
de concentração entre os sistemas. O transporte de um constituinte de uma região de alta 
concentração para aquela de menor concentração é chamado de transferência de massa. 
 A difusão: 
 De que maneira a água que bebemos e os alimentos que ingerimos chegam até as nossas 
células? Para responder essa pergunta é preciso entender como as substâncias transitam entre 
os compartimentos do nosso organismo. 
 Difusão é o movimento aleatório e individual de partículas, em uma mistura qualquer, a 
favor de seu gradiente de concentração - ou seja, da região mais concentrada para a menos - e 
sem gasto de energia. Esse movimento, chamado de movimento browniano, faz com que as 
partículas atinjam uma uniformidade de distribuição por toda a extensão disponível, conferindo 
à mistura um estado de maior energia devido ao aumento da entropia. A difusão pode acontecer 
em misturas sólidas, líquidas ou gasosas. 
 
 A difusão mássica ocorre em líquidos e sólidos, bem como em gases. Contudo, uma vez 
que a transferência de massa é fortemente influenciada pelo espaçamento molecular, a difusão 
ocorre mais facilmente em gases do que nos sólidos. 
1- Coeficientes e mecanismos da Difusão 
1.1 – A Primeira Lei de Fick: 
A primeira Lei de Fick nos dá a velocidade de transporte de massa. Para difusão 
molecular na direção y, temos: 
𝐼𝐴 = −𝐷𝐴𝐵 𝜌
𝑑𝑥𝐴
𝑑𝑦
 
Onde: 
IA → fluxo do constituinte A. 
dxA/dy →.gradiente da força motriz. 
DAB → coeficiente de difusão para uma mistura binária de A e B. 
xA → fração mássica do constituinte. 
y → distância percorrida no eixo y. 
ρ → densidade. 
Como para gases ideais ρ é constate, e utilizando a seguinte relação: 
ρ𝐴 = ρ xA 
Temos então: 
𝐼𝐴 = −𝐷𝐴𝐵 
𝑑ρ𝐴
𝑑𝑦
 
Para determinação do coeficiente de difusão ou difusividade (DAB), duas composições 
gasosas diferentes (A e B), são mantidas em duas regiões isoladas, bem definidas, num aparelho 
de volume constante. As duas regiões, em condições idênticas de pressão e temperatura, são 
colocadas em comunicação, de maneira tal que TA e dxA/dy podem ser medidos e ρ para gases 
ideais é constante, por meio da equação de Fick, determinamos DAB. 
 Aceitando o fato de DAB sempre variar largamente com a composição. De fato, DAB é 
também função da pressão e da temperatura. 
 Para sistemas não ideais, o valor numérico de DAB depende da escolha do sistema de 
referência, portanto não se conseguiu nenhuma forma da lei de Fick que assegura um 
coeficiente de difusão razoavelmente constante. 
 
1.2 – Difusividade 
 Sólidos 
Um componente se difundirá através de outro sólido, a uma velocidade mensurável, se 
houver um gradiente de concentração adequado e se a temperatura for suficientemente 
elevada. 
 A difusividade entre dois sólidos é dada por: 
𝐷𝐴𝐵 = 𝐷0 𝑒
−𝐸 𝑅𝑇⁄ 
Onde E é a energia de ativação para um átomo “quebrar” a rede cristalina que impede 
que este seja retirado. 
 Líquidos 
Na teoria hidrodinâmica a difusividade é relacionada, com a força que age sobre uma esfera 
que se move num meio continuo, e pode ser calculada pela equação: 
𝐷𝐴𝐵𝜇𝐵 = 7,4. 10
−8 
𝑥𝑀𝐵
𝑉𝐴0,6
 
Onde: 
DAB → coeficiente de difusão, para uma solução diluída. 
μB → viscosidade da solução (diluída). 
T → temperatura. 
MB → massa molecular do solvente. 
VA → volume molar do soluto. 
χ → parâmetro de associação do solvente. 
 Gases 
O valor de difusividade entre os gases é determinado experimentalmente, e alguns mais 
comuns já estão tabelados: 
Sistema Temperatura, K DAB (cm2/s) 
Ar-Cloro 293 0,124 
Ar-Água 298 0,260 
Ar-etanol 298 0,135 
 
 
2- Equações da continuidade em transferência de massa 
As equações da continuidade permitem analisar pontualmente o fenômeno de 
transferência de massa por intermédio do conhecimento da distribuição de concentração de um 
determinado soluto no tempo e no espaço, sujeito ou não a transformações. 
2.1 – Equação da continuidade mássica de um soluto A 
 A equação da continuidade mássica de um certo soluto A nasce do balanço de taxa de 
matéria, a qual flui através das fronteiras de um elemento de volume eleito no meio contínuo e 
daquela taxa que varia no interior do elemento de volume, o qual está representado na Figura. 
 
O balanço material para uma dada espécie química A através de um volume de controle 
apropriado é: 
 
Elegendo a espécie A como soluto, faz-se um balanço material a partir da equação 24 e Figura 
2: 
 
Sabendo que o fluxo mássico absoluto de A é dado pela equação: 
 
O balanço de massa realizado na direção x fica: 
1) Entrada de A na face ABCD 
 
2) Saída de A na face EFGH 
 
3) Taxa de produção de A por reação química 
 
Onde rA é a taxa de produção de massa de A por unidade de tempo e de volume devido à reação 
química no interior do elemento de volume. O sobrescrito “ indica que a reação química ocorre 
em todos os pontos no interior do volume de controle. 
4) Taxa de acumulo de A por unidade de tempo 
 
 Utilizando – se a definição de derivada parcial: 
 
Aplicada ao fluxo mássico de A nas direções x, y e z: 
 
 
 
 Realizando um balanço de massa da mesma forma que realizamos para o eixo x, nos 
eixos y e z e substituindo os resultados na equação do balanço de massa geral, temos: 
 
Simplificando os termos e dividindo por ΔxΔyΔz, temos: 
 
Considerando que: 
 
 
Onde: 
é o operador divergente. 
Portanto: 
 
Que é a equação da continuidade mássica do soluto A em coordenadas retangulares. 
Essa equação representa a variação de concentração mássica, A, fruto do movimento de A e de 
sua produção ao consumo. 
Para a espécie B, a equação é análoga à da espécie A: 
 
2.2 – Lei da conservação da massa: 
𝑟𝐴"′ = −𝑟𝐵”’ 
(Para cada massa de A produzido, desaparece o mesmo para B) 
Para uma mistura binária: 
 
Assim: 
 
 
Considerando que: 
 
Temos: 
 
(Equação da continuidade para uma mistura binária) 
Considerando 
 
A equação da continuidade para uma mistura binária fica: 
 
Da análise vetorial, temos: 
 
Substituindo na equação anterior: 
 
Para o caso da concentração mássica da solução, ρ, ser constante: 
 
Equações do fluxo global (molar ou mássica): 
 
2.3 – Equação da continuidade de um soluto A em termos da lei ordinária da difusão: 
 Sendo a equação da continuidade mássica de um soluto A: 
 
O fluxo total mássico da espécie A como sendo: 
 
Onde: 
é a contribuição DIFUSIVA e: 
é a contribuição CONVECTIVA. 
Assim sendo, a equação da continuidade fica: 
 
(MASSICA) 
(MOLAR) 
3- Difusão em regime permanente sem reação química 
Dadas as equações da continuidade mássica do soluto A: 
(MOLAR) 
(MÁSSICA) 
Considerando que não há reação e acúmulo (Regime permanente), as equações 
tornam-se: 
(MOLAR) 
(MÁSSICA) 
Com o fluxo mássico unidirecional teremos: 
 
As equações em coordenadas retangulares apontam o fluxo de matéria 
constante: nA,Z = cte e NA,Z = cte. O restante das equações em coordenadas cilíndricas 
e esféricas mostram que a taxa de matéria é que vem a ser constante. 
3.1 – Concentração média das espécies A e B. 
 
Onde v = xyz é o volume do meio difusivo em coordenadas cartesianas. Visto que 
estamos tratando de fluxo unidirecional em z, a variação do volume será dv = xydz, 
com x e y constantes. Desse modo, a definição fica: 
, e 
3.2 – Fluxo de matéria de A. 
 
Em termos de pressão parcial: 
 
3.3 – Difusão pseudo-estacionária em um filme gasoso estagnado 
 A Figura a seguir ilustraum capilar semipreenchido por líquido puro volátil A. 
Supondo que sobre esse líquido exista um filme gasoso estagnado B, deseja-se avaliar o 
coeficiente de difusão do vapor de A nessa película. Após um intervalo de tempo 
considerável, nota-se a variação do nível do líquido, a partir do topo do capilar desde Z0 
(t = 0) até Z1 (t = t1). A equação que descreve o fluxo mássico de um soluto “A” desde 
Z0 até Z1 em um filme de gás estagnado “B” em um tubo capilar de dimensões infinitas 
é: 
 
 
O fluxo de A na direção oposta de z é: 
e considerando o fluxo de B estagnado, 
temos: 
 
Z0 = altura entre o topo da coluna e a superfície do líquido antes de iniciar o processo 
de difusão de “A” em “B” ( t = 0 ); 
Z1 = altura entre o topo da coluna e a superfície do líquido após iniciar o processo de 
difusão de “A” em “B” ( t = qualquer ); 
yA,t = fração molar de “A” no topo do tubo; 
yA,S = fração molar de “A” na superfície do líquido; 
C = concentração molar global na coluna gasosa; 
DA,B = coeficiente de difusão de “A” em “B”. 
Em muitas operações de transferência de massa, uma das condições de contorno pode 
mover-se com o tempo. O modelo pseudo-estacionário pode ser usado quando a 
difusão varia em pequena quantidade sobre um longo período de tempo. Assim, o 
fluxo molar NA,Z em regime pseudo-estacionário será dado por: 
, substituindo na equação acima: 
 
ρA = concentração mássica de “A”; 
MA = massa molecular de “A”. 
4- Convecção mássica forçada 
4.1 – Convecção mássica 
Foi visto anteriormente na introdução (Aula 1) que o fenômeno da transferência 
de massa, de algum modo, está vinculado ao binômio causa-efeito, no qual para uma 
determinada causa decorre o efeito, havendo uma resistência ao transporte à ação da 
causa: 
 
Para a difusão, identificou-se à resistência o inverso da mobilidade que o soluto tem em 
relação à solução (ou seja, o coeficiente de difusão); enquanto que a força motriz era o 
gradiente de concentração. O princípio é o mesmo para o fenômeno da convecção 
mássica: i. há uma causa -> força motriz; 
ii. há um efeito -> fluxo de matéria; 
iii. há uma mobilidade associada para vencer a resistência ao transporte -> coeficiente 
convectivo de transferência de massa. 
Como decorrência dessas considerações, escreve-se o seguinte fluxo molar para 
a convecção mássica: 
, onde: 
(CA – CB) = diferença de concentração (força motriz ao transporte); 
NA,z = fluxo molar do soluto A na direção z; 
Km = coeficiente convectivo de transferência de massa (coeficiente fenomenológico). 
Então: 
 
Transferência de massa entre fases: 
A Figura 1 ilustra a situação na qual o soluto migra da fase leve (fase G) à pesada (fase 
L) e está representada por G → L. Nessa Figura supõe-se que as fases leve e pesada estão 
situadas em filmes estagnados de espessuras δy e δx, respectivamente. Nas fases G e L 
existem misturas binárias soluto/inerte, em que o soluto é o mesmo em ambas as fases 
(Ex.: NH3), enquanto que os inertes são distintos entre sí (ex.: Ar e Água). 
 
A partir da Figura, o fluxo global do soluto na fase leve é: 
, onde: . 
Ou em função da pressão parcial: 
, onde: 
5- Convecção mássica 
A Transferência de Massa convectiva envolve o transporte de matéria entre o 
limite de uma superfície e um fluido em movimento (sólido-fluido) ou entre 2 fluidos 
relativamente imiscíveis em movimento (fluido-fluido). 
A eq. da taxa por convecção pode ser expressa por: 
 
NA = T.M. molar da espécie A medida em relação as coordenadas fixas no espaço; 
kc = coeficiente de T.M. convectiva 
∆CA = diferença de concentração entre a concentração da superfície limite e a 
concentração média. 
 Fazendo uma analogia à transferência de calor convectiva: 
 
Baseado no coeficiente de T.C., observa-se que há uma complexidade na 
determinação do coef. de massa. Ambos os coeficientes relacionam-se por: 
I. Propriedades do fluido 
II. Características dinâmicas do fluido em escoamento 
III. Geometria do sistema especifico de interesse 
A distinção entre escoamento laminar e turbulento terá uma consideração 
importante em qualquer situação de convecção. 
Se o escoamento é laminar, todo o transporte entre a superfície e o movimento 
do fluido será via molecular. 
 
 Se o escoamento for turbulento, haverá um movimento físico de bolsões de 
matéria atravessando as linhas de corrente, transportadas por bordas presentes no 
escoamento, como no caso de transferência de calor, as maiores taxas de transferência 
de massa estão associadas com condições turbulentas. 
 
 A camada limite hidrodinâmica é mais significativa na transferência de massa 
convectiva e esta é similar, mas não necessariamente igual em espessura na camada 
limite térmica. Quando a transferência de massa envolve um soluto dissolvido em uma 
taxa estacionária, a partir de uma superfície sólida e então difundindo dentro de um 
fluido em movimento, o coeficiente de transferência de massa convectiva é dada por: 
 
NA = nº de moles do soluto A na interface por tempo e unidade de área interfacial 
CA,s = composição do soluto no fluido no equilíbrio com o sólido para T e P do sistema 
CA = composição, para qualquer ponto, dentro da fase fluida. 
Quando a concentração na camada limite é definida, CA, pode ser escolhido 
como a concentração do componente A para o limite da C.L. e expressa como: CA∞ 
Se o escoamento estiver em um meio fechado, a composição CA poderá ser a 
concentração volumétrica ou a concentração da mistura (média). 
Há 4 métodos de avaliação do coeficiente de transferência de massa, sendo eles: 
I. Análise dimensional associado a um experimento 
II. Análise da camada limite Exata 
III. Análise da camada limite Aproximada 
IV. Analogia entre transferência de massa, calor e momentum 
 
5.1 – Parâmetros adimensionais 
 São utilizados para correlacionar dados do transporte convectivo. 
 Transferência da quantidade de movimento, encontra-se os nº de Re e Eu. 
 Transferência de calor convectiva, tem-se nº de Pr e Nu. 
As difusividades moleculares dos 3 fenômenos de transporte são definidas: 
1) Difusividade de movimento: 
2) Difusividade térmica: 
3) Difusividade mássica: DAB 
- A razão entre a difusividade molecular do movimento e a difusão molecular de massa, 
tem-se o número de Schmidt. 
- A razão da difusividade térmica para a difusividade molecular de massa é designado 
por nº de Lewis. 
Estes dois números combinados representam as propriedades do fluido, isto é, cada nº 
pode ser tratado como uma propriedade de um sistema difusivo. 
 Considere a transferência de massa do soluto A, partindo da superfície sólida 
para uma fluido em movimento. O perfil de concentração é: 
 
 A transferência de massa entre a superfície e o fluido pode ser escrito como: 
 
 Se a transferência de massa na superfície for por difusão molecular: 
 
 Quando a concentração limite, CAs, é constante, essa equação simplifica-se para: 
 
 As duas últimas equações podem ser igualadas, desde que elas definam o mesmo 
fluxo do componente A deixando a superfície e entrando no fluido, temos: 
Rearranjando: 
, multiplicando pelo comprimento característico (L): 
 
 
 
 (Sh) (NuA,B) 
A análise dimensional prediz os vários parâmetros adimensionais os quais podem 
ajudar a correlacionar os dados experimentais. Existem dois processos de transferência 
de massa importantes no qual serão considerados: 
1) Transferência de massa dentro de uma corrente fluida sob convecção forçada. 
2) Transferência de massa dentro de uma fase em movimento sob convecção 
natural. 
 
6- Convecção mássica forçada 
Considere a transferência de massa da parede de um tubo circular para um 
fluido escoando através de um duto. A transferência é um resultado da força motriz da 
concentração, CAs – CA. 
As variáveis importantes, seus símbolos e suas representações adimensionais 
estãolistadas abaixo: 
 
 As variáveis acima incluem termos descritivos do sistema geométrico, do 
escoamento, das propriedades, das propriedades do fluido e a quantidade no qual esta 
variável de interesse, kc. 
 Pelo método de Buckingham de agrupamentos de variáveis pode-se determinar 
o número de adimensionais, conforme: 
K = n – m 
Onde n = nº de variáveis e m = nº de dimensões 
Logo, tem-se: k = 6 – 3 = 3. 
Variáveis da base escolhidas são: DAB, ρ e D. 
 
Equalizando os expoentes das dimensões em ambos os lados da equação, temos: 
L: 0 = 2ª – 3b + c + 1 
t: 0 = -a + 1 
M: 0 = b 
A solução dessas equações, para os três expoentes não conhecidos, é: 
a = -1 
b = 0 
c = 1 
Para: 
 
Os outros grupos podem ser determinados da mesma forma: 
 
Dividindo Π2 por Π3 : 
 
O resultado da análise dimensional da transferência de massa sob convecção forçada 
em um duto circular pode ser relacionado na forma: 
 análoga 
7- Convecção mássica natural 
As correntes da convecção natural desenvolveram-se caso exista variação de 
densidade dentro de uma fase gasosa ou liquida. Esta variação pode ser devido a 
diferença de temperatura ou concentração. 
No caso da convecção natural envolvendo a transferência de massa de uma parede 
plana vertical para um fluido adjacente, as variáveis diferenciarão daquelas usadas na 
análise de convecção forçada. 
As variáveis, seus símbolos e representações adimensionais estão listadas a seguir. 
 
Pelo método de Buckinghan há 3 grupos adimensionais (Π) com as variáveis de base: 
DAB, L e µ obtendo: 
 
Escrevendo os 3 grupos Π na forma adimensional: 
 
 
 
Multiplicando Π 3e Π 2, obtêm-se um parâmetro no qual é análogo ao Nº de Grashof 
para transferência de calor sob convecção natural. 
 
O resultado da análise da transferência de massa sob convecção natural sugere uma 
relação na forma: 
 
 
EXERCICIOS 
Questão 1: Se um cubo de açúcar for colocado em uma xícara de café, responda sobre 
o fenômeno de transferência de massa: 
a. Qual é o mecanismo físico responsável pela dispersão do açúcar no café se este não 
for mexido? Discuta sobre a força motriz e a resistência do meio presentes neste 
fenômeno. 
b. Repita os questionamentos da letra a. para a situação em que o café é misturado com 
o auxílio de uma colher. 
c. Indique como o aumento de temperatura do meio e a presença de várias substâncias 
no café influenciam o fenômeno em análise. 
Questão 2: Considerando o par de gases NH3/etileno, cite e explique o efeito das 
variáveis que influenciam o coeficiente de difusão. 
Questão 3: Ao estudar às metodologias para estimativa do coeficiente de difusão em 
gases, verifica-se que em um meio binário (A difundente e B meio), DAB = DBA. 
Entretanto, quando a difusão ocorre em líquidos, verifica-se que o coeficiente de difusão 
numa mistura binária depende, dentre outros fatores, da concentração de cada espécie 
presente, ou seja, DAB ≠ DBA. Explique o porquê desta diferença e indique parâmetros 
que influenciam para que se observe este fato. 
Questão 4: Considerando-se a difusão em líquidos não - eletrolíticos, indique os fatores 
que modificam o coeficiente de difusão, explicando sua influência. 
Questão 5: Estimar o coeficiente de difusão do ácido acético diluído (CH3COOH) em 
água a 282,9 K usando a expressão proposta por SIDDIQI e LUCAS. Comparar com o valor 
experimental 0,769 x 10-5 cm²/s, determinando o desvio percentual encontrado. Citar 
e explicar quais os fatores que deveriam ser levados em conta caso se tratasse de uma 
solução concentrada de ácido acético. 
Resp.: DABo = 6,568 x 10-6 cm²/s; desvio = 14,6%. 
Questão 6: Uma mistura gasosa a 1 atm e 105oC possui a seguinte composição molar: 
5% de CO, 20% de H2O, 4% de O2 e 71% de N2. As velocidades absolutas de cada espécie 
são, respectivamente, iguais a 10 cm s, 19 cm s, 13 cm/s e 11 cm s. De posse destas 
informações calcule: a) As contribuições convectivas (molar e mássica) do fluxo de O2 
na mistura; b) As contribuições difusivas (molar e mássica) do fluxo de O2 na mistura; 
c) Os fluxos totais (molar e mássico) do fluxo de O2 na mistura. 
Resp.: a) JO2c =1,63 x 10-5 gmol/(cm²/s); jO2c = 5,01 x 10-4 g/(cm²/s) ; b) JO2 =4,77 x 
10-7 gmol/(cm²/s); jO2 = 3,53 x 10-5 g/(cm²/s); c) NO2 = 1,68 x 10-5 gmol/(cm²/s); nO2 
= 5,36 x 10-4 g/(cm²/s). 
Questão 7: Enunciar a equação da Continuidade (em base mássica) para a transferência 
de massa de um soluto A numa mistura. i) Desmembre o fluxo de transferência de massa 
e indique os termos contendo contribuições difusiva e convectiva 
Questão 8: Em processos de difusão em regime transiente, os números adimensionais 
BiM (Biot mássico) e FoM (Fourier mássico) são considerados essenciais para o 
entendimento dos fenômenos difusivos. A respeito destes números adimensionais 
responda: a. Como estes números são calculados (escreva a fórmula e explique cada 
termo). b. O que cada um destes números representa/significa? c. O que ocorre no caso 
limite em que o BiM tende a infinito? No que isso implica fisicamente? 
Questão 9: Conceitue convecção mássica e contribuição convectiva, diferenciando-as 
escrevendo as equações em termos mássicos. Discorra sobre convecção mássica e 
contribuição convectiva. Defina, explique o significado de cada termo, dê exemplos 
onde cada um destes aparece e diferencie-os dentro de um mesmo problema. 
Questão 10: Explique a importância da análise adimensional no entendimento de 
fenômenos de transferência de massa. Defina, explique o significado físico dos números 
adimensionais de Reynolds, Sherwood, Stanton mássico e Schmidt e encontre uma única 
expressão que mostre como estes se relacionam matematicamente. 
REFERÊNCIAS 
CREMASCO, M. A. Fundamentos de Transferência de Massa. 2. ed. São Paulo: Unicamp, 
2009. 
ÇENGEL, Yunus A. Transferência de Calor e Massa: Uma Abordagem Prática, 3ª Edição. 
São Paulo, SP: McGraw-Hill Interamericana do Brasil Ltda., 2009. 
Welty, J. R., Wicks, C. E., & Wilson, R. E. (1976). Fundamentals of momentum, heat, and 
mass transfer. New York: Wiley.