AP1-ALII-2020-2-gabarito (1)

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Primeira Avaliação Presencial Casa – Álgebra Linear II – 01/10 (16h) a 03/10 (16h)
GABARITO
Questão 1 (3,0 pontos): Seja T : R3 −→ R3 o operador linear definido por
T (x, y, z) = (x+ y, 2x+ 2y, 3z)
a) [1,9 pts] Determine os autovalores e os respectivos autoespaços de T .
b) [0.5 pt] Determine uma base do R3 formada por autovetores de T .
c) [0,6 pt] Determine uma matriz inverśıvel P que diagonaliza T e a sua correspondente matriz
diagonal D.
Solução: Como T (1, 0, 0) = (1, 2, 0), T (0, 1, 0) = (1, 2, 0) e T (0, 0, 1) = (0, 0, 3), então
A =
 1 1 0
2 2 0
0 0 3
 .
O polinômio caracteŕıstico de A é:
p(λ) = det(λI3 − A)
= det
 λ− 1 −1 0
−2 λ− 2 0
0 0 λ− 3

= (λ− 3) det
[
λ− 1 −1
−2 λ− 2
]
= (λ− 3)
(
(λ− 1)(λ− 2)− 2
)
= (λ− 3)(λ2 − 3λ) = λ(λ− 3)2
Os autovalores de A são λ1 = 0 e λ2 = 3.
Para determinar os autoespaços E(λ1) e E(λ2) devemos resolver os sistemas lineares homogêneos
associados, respectivamente, às matrizes 0I3 − A e 3I3 − A.
Reduzindo por linhas a matriz 0I3 − A, obtemos:
0I3−A =
 −1 −1 0
−2 −2 0
0 0 −3
 ∼1
 1 1 0
−2 −2 0
0 0 −3
 ∼2
 1 1 0
0 0 0
0 0 −3
 ∼3
 1 1 0
0 0 0
0 0 1
 ∼4
 1 1 0
0 0 1
0 0 0
,
matriz reduzida por linhas à forma escalonada, onde fizemos a seguinte sequência de operações
elementares:
em ∼1: L1 ← −L1;
em ∼2: L2 ← L2 + 2L1
em ∼3: L3 ← −1
3L3;
em ∼4: L2 ↔ L3.
O sistema (0I3 − A)
 x
y
z
 =
 0
0
0
 é equivalente a
 1 1 0
0 0 1
0 0 0

 x
y
z
 =
 0
0
0
, portanto tem as
mesmas soluções. Assim, x+ y = 0 e z = 0.
Álgebra Linear 2 APX1 2020/2
E(λ1 = 0) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ y = 0 e z = 0}
= {(−y, y, 0) ; y ∈ R}.
Reduzindo por linhas a matriz 3I3 − A, obtemos:
3I3−A =
 2 −1 0
−2 1 0
0 0 0
 ∼1
 2 −1 0
0 0 0
0 0 0
 ∼2
 1 −1
2 0
0 0 0
0 0 0
, matriz reduzida por linhas à forma
escalonada, onde fizemos a seguinte sequência de operações elementares:
em ∼1: L2 ← L2 + L1;
em ∼2: L1 ← 1
2L1.
O sistema (3I3 − A)
 x
y
z
 =
 0
0
0
 é equivalente a
 1 −1
2 0
0 0 0
0 0 0

 x
y
z
 =
 0
0
0
, portanto tem
as mesmas soluções. Assim, x− 1
2y = 0 e
E(λ2 = 3) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 1
2y = 0}
=
{(
1
2y, y, z
)
; y, z ∈ R
}
b) Aproveitando os cálculos de E(λ1 = 0) do item anterior, os autovetores associados ao autovalor
λ1 = 0 são
v = (−y, y, 0) = y(−1, 1, 0) ; y ∈ R∗.
Escolhemos v1 = (−1, 1, 0), fazendo y = 1.
Os autovetores de T associados ao autovalor λ2 = 3 são
v =
(
1
2y, y, z
)
=
(
1
2 , 1, 0
)
y + (0, 0, 1)z, y ∈ R∗ ou z ∈ R∗.
É posśıvel escolher dois autovetores linearmente independentes em E(λ2 = 3), pois a sua dimensão
é 2. Por exemplo, tomamos v2 = (1, 2, 0) e v3 = (0, 0, 1) fazendo, respectivamente, y = 2 e z = 0,
y = 0 e z = 1. Logo, {v1, v2, v3} é uma base de R3 formada por autovetores de T .
c) Uma matriz inverśıvel P que diagonaliza T é a matriz de mudança de base, da base de autovetores
{v1, v2, v3} para a base canônica do R3, e é dada por P =
 −1 1 0
1 2 0
0 0 1
 e a correspondente matriz
diagonal é D =
 0 0 0
0 3 0
0 0 3
.
Questão 2 (2,0 pontos): Seja Π o plano de equação 2x+ y − 2z = 0.
a) [1,5 pt] Determine uma base ortonormal do R3 tal que o último vetor seja normal ao plano Π.
b) [0,5 pt] Dê exemplo de uma matriz ortogonal de ordem 3 tal que sua última coluna seja paralela
a
 2
1
−2
.
Solução:
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a) Primeiramente, vamos construir uma base ortogonal.
O vetor v3 = (2, 1,−2) é vetor normal ao plano Π de equação 2x+ y − 2z = 0.
Qualquer vetor do plano Π é ortogonal a (2, 1,−2). Escolhemos v1 = (1, 0, 1) ∈ Π, fazendo x = 1
e y = 0, obtendo z = 1.
Devemos agora determinar v2 = (a, b, c) 6= (0, 0, 0) tal que:
(i) v2 ∈ Π⇐⇒ 2a+ b− 2c = 0;
(ii) v2 ⊥ v1 ⇐⇒ 〈(a, b, c), (1, 0, 1)〉 = a+ c = 0 ⇐⇒
{
2a+ b− 2c = 0
a+ c = 0.
Reduzindo por linhas a matriz associada ao sistema, obtemos:[
2 1 −2
1 0 1
]
∼1
[
1 0 1
2 1 −2
]
∼2
[
1 0 1
0 1 −4
]
, matriz reduzida à forma em escada obtida pela
seguinte sequência de operações elementares:
em ∼1: L2 ↔ L1;
em ∼2: L2 ← L2 − 2L1.
Logo, a+ c = 0 e b− 4c = 0, que é equivalente a a = −c e b = 4c. Assim, v2 = (−c, 4c, c), c ∈ R.
Tomamos v2 = (−1, 4, 1), fazendo c = 1,
O conjunto {v1, v2, v3} é uma base ortogonal do R3 com o terceiro vetor normal ao plano. Norma-
lizando esses vetores obtemos
β =
{(
1√
2 , 0,
1√
2
)
,
(
− 1
3
√
2 ,
4
3
√
2 ,
1
3
√
2
)
,
(
2
3 ,
1
3 ,−
2
3
)}
que é uma base ortonormal do R3, com a propriedade requerida.
b) Toda matriz de mudança de base entre duas bases ortonormais é uma matriz ortogonal. Portanto,
a matriz P de mudança de base, da base ortonormal β acima para a base canônica do R3, é uma
matriz ortogonal com a propriedade requerida, onde P =

1√
2 − 1
3
√
2
2
3
0 4
3
√
2
1
3
1√
2
1
3
√
2 −
2
3
.
Questão 3 (2,0 pontos): Considere o operador linear T : R2 −→ R2 cujos autovalores são λ1 = 1
e λ2 = 3 com autoespaços
E(λ1 = 1) = {(−y, y) | y ∈ R} e E(λ2 = 3) = {y(1, 1) | y ∈ R}.
a) [0,6 pt] Dê exemplo de uma base do R2 formada por autovetores de T , indicando os autovalores.
b) [1,4 pts] Determine T (x, y).
Solução:
a) Note que T (−1, 1) = 1 · (−1, 1) e T (1, 1) = 3 · (1, 1).
Assim, β = {v1 = (−1, 1), v2 = (1, 1)} é uma base do R2 formada por autovetores de T .
b) Para determinar T (x, y) precisamos encontrar T (1, 0), T (0, 1) pois, dado (x, y) ∈ R2 temos que
T (x, y) = xT (1, 0) + yT (0, 1).
Para isto, precisamos escrever os elementos da base canônica {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} como com-
binação linear da base β (isto é equivalente a determinar a matriz Q de mudança de base, da base
canônica para a base β, Q = P−1, onde P é a matriz de mudança de base, da base β para a base
canônica).
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Note que:
(1, 0) =
(
−1
2
)
(−1, 1) +
(
1
2
)
(1, 1)
(0, 1) =
(
1
2
)
(−1, 1) +
(
1
2
)
(1, 1)
Assim,
T (1, 0) =
(
−1
2
)
T (−1, 1) +
(1
2
)
T (1, 1) =
(
−1
2
)
(−1, 1) +
(1
2
)
(3, 3) = (2, 1)
T (0, 1) =
(1
2
)
T (−1, 1) +
(1
2
)
T (1, 1) =
(1
2
)
(−1, 1) +
(1
2
)
(3, 3) = (1, 2).
Logo, T (x, y) = xT (1, 0) + yT (0, 1) = x(2, 1) + y(1, 2) = (2x+ y, x+ 2y).
Outra solução: Vamos determinar a matriz A, que representa T na base canônica.
Temos que A = PDP−1, onde P =
[
v1 v2
]
=
[
−1 1
1 1
]
é a matriz de mudança de base, da
base β para a base canônica, e D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
1 0
0 3
]
é a correspondente matriz diagonal.
Temos que P−1 = 1
−2
[
1 −1
−1 −1
]
=
[
−1
2
1
2
1
2
1
2
]
e
A =
[
−1 1
1 1
] [
1 0
0 3
] [
−1
2
1
2
1
2
1
2
]
=
[
−1 3
1 3
] [
−1
2
1
2
1
2
1
2
]
=
[
2 1
1 2
]
.
Logo, A
[
x
y
]
=
[
2 1
1 2
] [
x
y
]
=
[
2x+ y
x+ 2y
]
e T (x, y) = (2x+ y, x+ 2y).
Questão 4 (2,0 pontos): Seja A ∈M2(R), tal que P =
[
3 2
1 1
]
diagonaliza A e a correspondente
matriz diagonal é D =
[
−1 0
0 0
]
.
a) [0,7 pt] Dê exemplo de uma base do R2 formada por autovetores de A, indicando os respectivos
autovalores.
b) [1,3 pts] Determine A2020.
Solução:
a) Temos que P =
[
3 2
1 1
]
=
[
v1 v2
]
e D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
−1 0
0 0
]
, onde os vetores colunas
v1 = (3, 1) e v2 = (2, 1) são autovetores de A associados aos autovalores λ1 = −1 e λ2 = 0.
Logo, {v1 = (3, 1)︸ ︷︷ ︸
λ1=−1
, v2 = (2, 1)︸ ︷︷ ︸
λ2=0
} é uma base do R2 formada por autovetores de A.
b) Como A = PDP−1, então A2020 = PD2020P−1.
Temos que D2020 =
[
(−1)2020 0
0 02020
]
=
[
1 0
0 0
]
e P−1 =
[
1 −2
−1 3
]
. Assim,
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A2020 = PD2020P−1 =
[
3 2
1 1
] [
1 0
0 0
] [
1 −2
−1 3
]
=
[
3 0
1 0
] [
1 −2
−1 3
]
=
[
3 −6
1 −2
]
.
Questão 5 (1,0 ponto) Determinea matriz C que representa, na base canônica do R2, o operador
linear definido pela rotação de 3π
2 no sentido anti-horário seguida da reflexão com respeito ao eixo x.
Solução: A matriz da rotação de 3π
2 , no sentido anti-horário, na base canônica, é dada por
R =
[
cos 3π
2 − sen 3π
2
sen 3π
2 cos 3π
2
]
=
[
0 1
−1 0
]
.
A matriz da reflexão com respeito ao eixo x, na base canônica, é S =
[
1 0
0 −1
]
.
A matriz C pedida é C = SR =
[
1 0
0 −1
] [
0 1
−1 0
]
=
[
0 1
1 0
]
.
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